ویژگی های مثلث قائم الزاویه
دانش آموزان عزیز کلاس هفتم، شما قبلاً می دانید که به چه اشکال هندسی مثلث گفته می شود، می دانید چگونه علائم برابری آنها را ثابت کنید. موارد خاص مثلث را هم می دانید: متساوی الساقین و قائم الزاویه. شما به خوبی از خواص مثلث متساوی الساقین آگاه هستید.
اما مثلث های قائم الزاویه نیز خواص زیادی دارند. یکی از موارد واضح مربوط به قضیه مجموع زاویه داخلی مثلث است: در یک مثلث قائم الزاویه، مجموع زوایای تند 90 درجه است. شگفت انگیزترین ویژگی مثلث قائم الزاویه را در کلاس هشتم با مطالعه قضیه معروف فیثاغورث خواهید آموخت.
اکنون در مورد دو ویژگی مهم دیگر صحبت خواهیم کرد. یکی برای مثلث های قائم الزاویه 30 درجه و دیگری برای مثلث های قائم الزاویه تصادفی است. اجازه دهید این خصوصیات را فرموله و اثبات کنیم.
شما به خوبی می دانید که در هندسه زمانی که شرایط و نتیجه گیری در گزاره تغییر می کند، معمول است که گزاره هایی را برعکس گزاره های اثبات شده تنظیم کنید. جملات معکوس همیشه درست نیستند. در مورد ما، هر دو گزاره معکوس درست است.
اموال 1.1 در مثلث قائم الزاویه، ساق مقابل زاویه 30 درجه برابر با نصف هیپوتنوز است.
اثبات: مستطیل ∆ ABC را در نظر بگیرید، که در آن ÐA=90°، ÐB=30°، سپس ÐC=60°..gif" width="167" height="41">، بنابراین، آنچه نیاز به اثبات داشت.
Property 1.2 (معکوس به ویژگی 1.1) اگر در مثلث قائم الزاویه ساق برابر با نصف هیپوتنوز باشد، زاویه مقابل آن 30 درجه است.
اموال 2.1 در یک مثلث قائم الزاویه، میانه رسم شده به سمت هیپوتنوز برابر با نصف هیپوتانوز است.
بیایید یک ∆ ABC مستطیلی را در نظر بگیریم که در آن РВ=90 درجه است.
BD-median، یعنی AD=DC. بیایید آن را ثابت کنیم.
برای اثبات این موضوع، یک ساخت اضافی ایجاد می کنیم: BD را فراتر از نقطه D ادامه می دهیم تا BD=DN و N را با A و C وصل می کنیم..gif" width="616" height="372 src=">
داده شده: ∆ABC، ÐC=90o، ÐA=30o، ÐBEC=60o، EC=7cm
1. ÐEBC=30o، زیرا در یک مستطیل شکل ∆BCE مجموع زوایای تند 90o است.
2. BE=14cm (خاصیت 1)
3. ÐABE=30o، چون ÐA+ÐABE=ÐBEC (خاصیت زاویه خارجی مثلث) بنابراین ∆AEB متساوی الساقین است AE=EB=14cm.
BC=2AN=20 سانتی متر (خاصیت 2).
وظیفه 3. ثابت کنید که ارتفاع و میانه یک مثلث قائم الزاویه به سمت هیپوتانوس زاویه ای برابر با اختلاف بین زوایای تند مثلث تشکیل می دهد.
داده شده: ∆ ABC، ÐBAC=90°، AM-میانگین، AH-ارتفاع.
اثبات: RMAN=RS-RV.
اثبات:
1)РМАС=РС (با ویژگی 2 ∆ AMC-متساوی الساقین، AM=SM)
2) ÐMAN = ÐMAS-ÐNAS = ÐS-ÐNAS.
باید ثابت کرد که РНАС=РВ. این نتیجه از این واقعیت است که ÐB+ÐC=90° (در ∆ ABC) و ÐNAS+ÐC=90° (از ∆ ANS).
بنابراین، RMAN = RС-РВ، چیزی است که باید ثابت شود.
https://pandia.ru/text/80/358/images/image014_39.gif" width="194" height="184">داده شده: ∆ABC، ÐBAC=90°، AN-height، .
یافتن: РВ، РС.
راه حل: بیایید میانه AM را در نظر بگیریم. بگذارید AN=x، سپس BC=4x و
VM=MS=AM=2x.
در یک ∆AMN مستطیلی، هیپوتنوز AM 2 برابر بزرگتر از ساق AN است، بنابراین ÐAMN=30 درجه است. از آنجایی که VM=AM،
РВ=РВAM100%">
اجازه دهید AC را فراتر از نقطه A گسترش دهیم تا AD=AC. سپس ∆ABC=∆ABD (روی 2 پا). BD=BC=2AC=CD، بنابراین ∆DBC-متساوی الاضلاع، ÐC=60o و ÐABC=30o.
مشکل 5
در مثلث متساوی الساقین یکی از زوایا 120 درجه و قاعده 10 سانتی متر است ارتفاع کشیده شده به ضلع را پیدا کنید.
راه حل: برای شروع، توجه می کنیم که زاویه 120 درجه فقط می تواند در راس مثلث باشد و ارتفاع کشیده شده به سمت ضلع در ادامه آن کاهش می یابد.
AB - پله، K - بچه گربه.
در هر موقعیتی از نردبان، تا زمانی که در نهایت به زمین بیفتد، ∆ABC مستطیلی است. MC - میانه ∆ABC.
با توجه به ویژگی 2 SK = 1/2AB. یعنی در هر لحظه از زمان طول قطعه SK ثابت است.
پاسخ: نقطه K در امتداد یک کمان دایره ای با مرکز C و شعاع SC=1/2AB حرکت می کند.
مشکلات برای راه حل مستقل
یکی از زوایای مثلث قائم الزاویه 60 درجه است و تفاوت بین هیپوتونوس و ساق کوتاهتر 4 سانتی متر است. طول هیپوتانوس را پیدا کنید. در یک ∆ ABC مستطیلی با هیپوتنوز BC و زاویه B برابر با 60 درجه، ارتفاع AD رسم می شود. اگر DB=2cm DC را پیدا کنید. B ∆ABC ÐC=90o، CD - ارتفاع، BC=2ВD. ثابت کنید که AD=3ВD. ارتفاع مثلث قائم الزاویه، هیپوتنوس را به قسمت های 3 سانتی متر و 9 سانتی متر تقسیم می کند. زوایای مثلث و فاصله وسط هیپوتنوز تا ساق بلندتر را بیابید. نیمساز مثلث را به دو مثلث متساوی الساقین تقسیم می کند. زوایای مثلث اصلی را پیدا کنید. میانه مثلث را به دو مثلث متساوی الساقین تقسیم می کند. آیا امکان یافتن زاویه وجود دارد؟
مثلث اصلی؟
در زندگی، ما اغلب باید با مسائل ریاضی دست و پنجه نرم کنیم: در مدرسه، در دانشگاه، و سپس به فرزندمان در تکمیل کردن کمک کنیم. مشق شب. افراد در حرفه های خاص روزانه با ریاضیات روبرو می شوند. بنابراین، یادآوری یا به خاطر سپردن مفید است قوانین ریاضی. در این مقاله به یکی از آنها خواهیم پرداخت: پیدا کردن ضلع یک مثلث قائم الزاویه.
مثلث قائم الزاویه چیست
ابتدا بیایید به یاد بیاوریم که مثلث قائم الزاویه چیست. راست گوشه- این شکل هندسیاز سه بخش که نقاطی را که روی یک خط مستقیم قرار نمی‌گیرند به هم متصل می‌کنند و یکی از زوایای این شکل 90 درجه است. به اضلاعي كه زاويه قائمه تشكيل مي دهند، پا و ضلعي كه در مقابل زاويه قائم قرار دارد، هيپوتنوز ناميده مي شود.
پیدا کردن ساق مثلث قائم الزاویه
راه های مختلفی برای تشخیص طول پا وجود دارد. من می خواهم آنها را با جزئیات بیشتری در نظر بگیرم.
قضیه فیثاغورث برای یافتن ضلع مثلث قائم الزاویه
اگر هیپوتنوس و ساق را بدانیم، می‌توانیم طول پای مجهول را با استفاده از قضیه فیثاغورث پیدا کنیم. این به نظر می رسد: "مربع هیپوتنوس برابر است با مجموع مربع های پا." فرمول: c²=a²+b²، که در آن c فرضیه، a و b پاها هستند. فرمول را تبدیل می کنیم و می گیریم: a²=c²-b².
مثال. فرض 5 سانتی متر و ساق آن 3 سانتی متر است فرمول را تبدیل می کنیم: c²=a²+b² → a²=c²-b². بعد حل می کنیم: a²=5²-3²; a²=25-9; a²=16; a=√16; a=4 (سانتی متر).
نسبت های مثلثاتی برای یافتن ساق مثلث قائم الزاویه
همچنین اگر هر ضلع دیگر و هر زاویه حاد مثلث قائم الزاویه مشخص باشد، می توانید یک پای مجهول پیدا کنید. چهار گزینه برای پیدا کردن پا با استفاده از وجود دارد توابع مثلثاتی: توسط سینوس، کسینوس، مماس، کتانژانت. جدول زیر به ما در حل مشکلات کمک می کند. بیایید این گزینه ها را در نظر بگیریم.
ساق مثلث قائم الزاویه را با استفاده از سینوس پیدا کنید
سینوس یک زاویه (سین) نسبت ضلع مقابل به هیپوتنوز است. فرمول: sin=a/c، که در آن a پای مقابل زاویه داده شده، و c پایین‌تر است. سپس فرمول را تبدیل می کنیم و به دست می آوریم: a=sin*c.
مثال. هیپوتونوس 10 سانتی متر، زاویه A 30 درجه است. با استفاده از جدول، سینوس زاویه A را محاسبه می کنیم که برابر با 1/2 است. سپس با استفاده از فرمول تبدیل شده حل می کنیم: a=sin∠A*c; a=1/2*10; a=5 (سانتی متر).
ساق مثلث قائم الزاویه را با استفاده از کسینوس پیدا کنید
کسینوس یک زاویه (cos) نسبت ساق مجاور به هیپوتنوز است. فرمول: cos=b/c، که در آن b ساق مجاور یک زاویه معین و c هیپوتانوس است. بیایید فرمول را تبدیل کنیم و بدست آوریم: b=cos*c.
مثال. زاویه A برابر با 60 درجه، هیپوتونوس برابر با 10 سانتی متر است، با استفاده از جدول، کسینوس زاویه A را محاسبه می کنیم، برابر با 1/2 است. بعد حل می کنیم: b=cos∠A*c; b=1/2*10، b=5 (سانتی متر).
ساق مثلث قائم الزاویه را با استفاده از مماس پیدا کنید
مماس یک زاویه (tg) نسبت ضلع مقابل به ضلع مجاور است. فرمول: tg=a/b که a ضلع مقابل زاویه و b ضلع مجاور آن است. بیایید فرمول را تبدیل کنیم و به دست آوریم: a=tg*b.
مثال. زاویه A برابر با 45 درجه، هیپوتانوس برابر با 10 سانتی متر است، با استفاده از جدول، مماس زاویه A را محاسبه می کنیم، برابر است با حل: a=tg∠A*b; a=1*10; a=10 (سانتی متر).
ساق مثلث قائم الزاویه را با استفاده از کوتانژانت پیدا کنید
کوتانژانت زاویه (ctg) نسبت ضلع مجاور به ضلع مقابل است. فرمول: ctg=b/a، جایی که b ساق مجاور زاویه است و ساق مقابل است. به عبارت دیگر، کوتانژانت یک "مماس معکوس" است. دریافت می کنیم: b=ctg*a.
مثال. زاویه A 30 درجه، پایه مقابل 5 سانتی متر است.طبق جدول مماس زاویه A √3 است. محاسبه می کنیم: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b=5√3 (سانتی متر).
بنابراین اکنون می دانید که چگونه یک پا را در یک مثلث قائم الزاویه پیدا کنید. همانطور که می بینید، چندان دشوار نیست، نکته اصلی این است که فرمول ها را به خاطر بسپارید.
حل مسائل هندسی نیاز به دانش زیادی دارد. یکی از تعاریف اساسی این علم، مثلث قائم الزاویه است.
این مفهوم به معنای متشکل از سه زاویه و
اضلاع، با یکی از زوایای اندازه گیری 90 درجه. ضلع هایی که یک زاویه قائمه را تشکیل می دهند، ساق و ضلع سوم که در مقابل آن قرار دارد، هیپوتنوس نامیده می شود.
اگر پاهای چنین شکلی با هم برابر باشند به آن مثلث قائم الزاویه متساوی الساقین می گویند. در این صورت عضویت در دو وجود دارد که به این معنی است که خواص هر دو گروه رعایت می شود. بیاد داشته باشیم که زوایای قاعده یک مثلث متساوی الساقین کاملاً همیشه برابر است، بنابراین زوایای تند چنین شکلی شامل 45 درجه خواهد بود.
وجود یکی از ویژگی های زیر به ما اجازه می دهد که بگوییم یک مثلث قائم الزاویه با دیگری برابر است:
- اضلاع دو مثلث مساوی است.
- ارقام دارای هیپوتنوز یکسان و یکی از پاها هستند.
- هیپوتنوز و هر یک از زوایای حاد برابر هستند.
- شرط برابری ساق و زاویه حاد برقرار است.
مساحت یک مثلث قائم الزاویه به راحتی هم با استفاده از فرمول های استاندارد و هم به عنوان مقداری برابر با نصف حاصلضرب پاهای آن محاسبه می شود.
در یک مثلث قائم الزاویه روابط زیر مشاهده می شود:
- ساق چیزی بیش از میانگین متناسب با هیپوتنوز و برآمدگی آن بر روی آن نیست.
- اگر دایره ای را در اطراف یک مثلث قائم الزاویه توصیف کنید، مرکز آن در وسط هیپوتانوس خواهد بود.
- ارتفاع رسم شده از زاویه قائم، میانگین متناسب با برآمدگی های پایه های مثلث بر روی هیپوتانوس آن است.
نکته جالب این است که مهم نیست مثلث قائم الزاویه چیست، این خصوصیات همیشه رعایت می شوند.
قضیه فیثاغورس
علاوه بر ویژگی های فوق، مثلث های قائم الزاویه با شرایط زیر مشخص می شوند:
این قضیه به نام موسس آن - قضیه فیثاغورث - نامگذاری شده است. او این رابطه را زمانی کشف کرد که در حال مطالعه خواص مربع های ساخته شده بر روی آنها بود
برای اثبات قضیه یک مثلث ABC می سازیم که ساق های آن را a و b و فرض را با c نشان می دهیم. در ادامه دو مربع می سازیم. برای یکی، ضلع هیپوتونوس و برای دیگری مجموع دو پا خواهد بود.
سپس مساحت مربع اول را به دو صورت می توان یافت: به صورت مجموع مساحت های چهار مثلث ABC و مربع دوم یا به عنوان مربع ضلع؛ طبیعتاً این نسبت ها برابر خواهند بود. به این معنا که:
با 2 + 4 (ab/2) = (a + b) 2، عبارت حاصل را تبدیل می کنیم:
c 2 + 2 ab = a 2 + b 2 + 2 ab
در نتیجه به دست می آوریم: c 2 = a 2 + b 2
بنابراین، شکل هندسی یک مثلث قائم الزاویه نه تنها با تمام خصوصیات مشخصه مثلث مطابقت دارد. وجود یک زاویه راست منجر به این واقعیت می شود که شکل دارای روابط منحصر به فرد دیگری است. مطالعه آنها نه تنها در علم، بلکه در زمینه نیز مفید خواهد بود زندگی روزمره، از آنجایی که چنین شکلی به عنوان مثلث قائم الزاویه در همه جا یافت می شود.
یک مثلث در هندسه نشان دهنده یکی از اشکال اساسی است. از درس های قبلی می دانید که مثلث یک شکل چند ضلعی است که دارای سه زاویه و سه ضلع است.
مثلث نامیده می شود مستطیل شکل، اگر زاویه قائمه 90 درجه داشته باشد.
یک مثلث قائم الزاویه دارای دو ضلع عمود بر یکدیگر است که به آنها می گویند پاها
; سمت سوم آن نامیده می شود هیپوتنوئوس
. هیپوتنوس بزرگترین ضلع این مثلث است.
- با توجه به ویژگی های عمود و مورب، هیپوتنوس از هر یک از پاها بلندتر است (اما کمتر از مجموع آنها).
- مجموع دو زاویه تند یک مثلث قائم الزاویه برابر با یک زاویه قائمه است.
- دو ارتفاع مثلث قائم الزاویه با پاهای آن منطبق است. بنابراین، یکی از چهار نقطه قابل توجه در رئوس زاویه قائم مثلث می افتد.
- مرکز محیط یک مثلث قائم الزاویه در وسط هیپوتنوز قرار دارد.
- میانه یک مثلث قائم الزاویه که از راس زاویه قائم به سمت هیپوتنوس کشیده شده است، شعاع دایره ای است که پیرامون این مثلث محصور شده است.
خواص و ویژگی های مثلث قائم الزاویه
من – اموال. در مثلث قائم الزاویه مجموع زوایای تند آن 90 درجه است. در مقابل ضلع بزرگتر مثلث زاویه بزرگتر و در مقابل زاویه بزرگتر ضلع بزرگتر قرار دارد. در مثلث قائم الزاویه، بزرگترین زاویه، زاویه قائمه است. اگر بزرگترین زاویه در یک مثلث بیش از 90 درجه باشد، آنگاه قائم الزاویه بودن چنین مثلثی متوقف می شود، زیرا مجموع همه زوایا از 180 درجه تجاوز می کند. از همه اینها نتیجه می شود که هیپوتنوس بزرگترین ضلع مثلث است.
II ملک است. ساق یک مثلث قائم الزاویه که در مقابل زاویه 30 درجه قرار دارد، برابر با نیمی از هیپوتونوس است.
III – e ملک. اگر در یک مثلث قائم الزاویه ساق برابر با نصف هیپوتنوز باشد، آنگاه زاویه ای که در مقابل این پا قرار دارد برابر با 30 درجه خواهد بود.
سطح متوسط
راست گوشه. راهنمای کامل مصور (2019)
راست گوشه. سطح اول.
در مشکلات، زاویه راست اصلا ضروری نیست - پایین سمت چپ، بنابراین باید یاد بگیرید که مثلث قائم الزاویه را در این شکل تشخیص دهید.
و در این
و در این 
مثلث قائم الزاویه چه چیز خوبی دارد؟ خب...اول اینکه برای کناره هاش اسم های قشنگی داره.
به نقاشی توجه کنید!
به یاد داشته باشید و اشتباه نگیرید: دو پا وجود دارد و تنها یک هیپوتونوز وجود دارد(یک و تنها، منحصر به فرد و طولانی ترین)!
خوب، ما در مورد نام ها بحث کرده ایم، اکنون مهمترین چیز: قضیه فیثاغورث.
قضیه فیثاغورس.
این قضیه کلید حل بسیاری از مسائل مربوط به مثلث قائم الزاویه است. این توسط فیثاغورث در زمان های بسیار قدیم ثابت شد و از آن زمان تاکنون برای کسانی که آن را می شناسند سود زیادی به همراه داشته است. و بهترین چیز در مورد آن این است که ساده است.
بنابراین، قضیه فیثاغورس:
این لطیفه را به خاطر دارید: "شلوار فیثاغورثی از هر طرف برابر است!"؟
بیایید همین شلوارهای فیثاغورثی را بکشیم و به آنها نگاه کنیم. 
شبیه شورت نیست؟ خوب، در کدام طرف و در کجا برابر هستند؟ چرا و این شوخی از کجا آمده است؟ و این لطیفه دقیقاً با قضیه فیثاغورث یا به طور دقیق تر با روشی که فیثاغورث خود قضیه اش را صورت بندی کرد مرتبط است. و آن را اینگونه بیان کرد:
"مجموع مناطق مربع، ساخته شده بر روی پاها، برابر است مساحت مربع، ساخته شده بر روی هیپوتانوس."
آیا واقعاً کمی متفاوت به نظر می رسد؟ و بنابراین، هنگامی که فیثاغورث بیانیه قضیه خود را ترسیم کرد، این دقیقاً همان تصویری است که ظاهر شد.
در این تصویر مجموع مساحت مربع های کوچک برابر با مساحت مربع بزرگ است. و برای اینکه بچه ها بهتر به یاد بیاورند که مجموع مربع های پاها برابر است با مربع هیپوتونوس، یک نفر شوخ طبع این شوخی را در مورد شلوار فیثاغورثی مطرح کرد.
چرا اکنون قضیه فیثاغورث را فرموله می کنیم؟
آیا فیثاغورث رنج کشید و در مورد مربع صحبت کرد؟
ببینید در زمان های قدیم... جبر وجود نداشت! هیچ نشانه ای و غیره وجود نداشت. هیچ کتیبه ای وجود نداشت. آیا می توانید تصور کنید چقدر وحشتناک بود که دانش آموزان بیچاره باستانی همه چیز را با کلمات به خاطر بسپارند؟؟! و ما می توانیم خوشحال باشیم که یک فرمول ساده از قضیه فیثاغورث داریم. بیایید دوباره آن را تکرار کنیم تا بهتر به خاطر بسپاریم:
الان باید راحت باشه:
| مربع هیپوتانوس برابر است با مجموع مربع های پاها. |
خوب، مهم ترین قضیه در مورد مثلث قائم الزاویه بحث شده است. اگر به چگونگی اثبات آن علاقه دارید، سطوح تئوری زیر را بخوانید و حالا بیایید جلوتر برویم ... به جنگل تاریک ... مثلثات! به کلمات وحشتناک سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت.
سینوس، کسینوس، مماس، کتانژانت در مثلث قائم الزاویه.
در واقع، همه چیز اصلاً ترسناک نیست. البته، تعریف واقعی سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت باید در مقاله مورد بررسی قرار گیرد. اما من واقعاً نمی خواهم، نه؟ ما می توانیم خوشحال باشیم: برای حل مسائل مربوط به یک مثلث قائم الزاویه، می توانید به سادگی موارد ساده زیر را پر کنید:
چرا همه چیز فقط در گوشه است؟ گوشه کجاست؟ برای درک این موضوع، باید بدانید که عبارات 1 تا 4 چگونه در کلمات نوشته می شوند. نگاه کن، بفهم و به خاطر بسپار!
1.
در واقع به نظر می رسد این است:
در مورد زاویه چطور؟ آیا پایی وجود دارد که مقابل گوشه باشد، یعنی پای مخالف (برای یک زاویه)؟ البته دارند! این یک پا است!
در مورد زاویه چطور؟ با دقت نگاه کن. کدام پا در مجاورت گوشه است؟ البته پا این بدان معنی است که برای زاویه، پا مجاور است، و
حالا، توجه کن! ببین چی گرفتیم:
ببین چقدر باحاله:
حال به سراغ مماس و کتانژانت می رویم.
حالا چگونه می توانم این را با کلمات بنویسم؟ ساق نسبت به زاویه چیست؟ البته برعکس - روبروی گوشه "نهفته است". در مورد پا چطور؟ مجاور گوشه. پس ما چه داریم؟
ببینید چگونه صورت و مخرج جای خود را عوض کرده اند؟
و حالا دوباره گوشه ها و رد و بدل شد:
خلاصه
بیایید به طور خلاصه همه چیزهایی را که یاد گرفتیم بنویسیم.
 |
قضیه فیثاغورس: |
قضیه اصلی در مورد مثلث قائم الزاویه قضیه فیثاغورث است.
قضیه فیثاغورس
راستی، خوب به خاطر دارید که پاها و هیپوتونوس چیست؟ اگر خیلی خوب نیست، به تصویر نگاه کنید - دانش خود را تازه کنید
این کاملاً ممکن است که قبلاً بارها از قضیه فیثاغورث استفاده کرده باشید، اما آیا تا به حال فکر کرده اید که چرا چنین قضیه ای درست است؟ چگونه می توانم آن را ثابت کنم؟ بیایید مانند یونانیان باستان رفتار کنیم. بیایید یک مربع با یک ضلع رسم کنیم.
ببینید چقدر زیرکانه اضلاعش را به طول و طول تقسیم کردیم!
حالا بیایید نقاط مشخص شده را به هم وصل کنیم
اما در اینجا ما به چیز دیگری اشاره کردیم ، اما شما خودتان به نقاشی نگاه می کنید و فکر می کنید که چرا اینطور است.
مساحت مربع بزرگتر چقدر است؟ درست، . در مورد یک منطقه کوچکتر چطور؟ قطعا، . مساحت کل چهار گوشه باقی مانده است. تصور کنید که ما آنها را در یک زمان دو تا گرفتیم و با هیپوتنوس آنها را به یکدیگر تکیه دادیم. چی شد؟ دو مستطیل. این بدان معنی است که مساحت "برش ها" برابر است.
حالا بیایید همه را کنار هم بگذاریم.
بیایید تبدیل کنیم:
بنابراین ما فیثاغورث را ملاقات کردیم - قضیه او را به روشی باستانی اثبات کردیم.
مثلث قائم الزاویه و مثلثات
برای مثلث قائم الزاویه، روابط زیر برقرار است:
سینوس یک زاویه حاد برابر است با نسبت طرف مقابل به هیپوتنوز
کسینوس یک زاویه حاد برابر است با نسبت پای مجاور به هیپوتنوز.
مماس یک زاویه تند برابر است با نسبت طرف مقابل به ضلع مجاور.
کوتانژانت یک زاویه حاد برابر است با نسبت ضلع مجاور به طرف مقابل.
و بار دیگر همه اینها در قالب یک تبلت:
خیلی راحته!
نشانه های برابری مثلث های قائم الزاویه
I. از دو طرف
II. توسط پا و هیپوتونوز
III. توسط هیپوتانوز و زاویه حاد
IV. در امتداد ساق و زاویه حاد
آ) 
ب) 
توجه! در اینجا بسیار مهم است که پاها "مناسب" باشند. به عنوان مثال، اگر اینگونه باشد:
پس مثلث ها مساوی نیستند، با وجود این واقعیت که آنها یک زاویه حاد یکسان دارند.
نیاز به در هر دو مثلث پا مجاور بود، یا در هر دو طرف مقابل بود.
آیا دقت کرده اید که چگونه علائم تساوی مثلث های قائم الزاویه با علائم معمول تساوی مثلث ها متفاوت است؟ به مبحث نگاهی بیندازید و به این نکته توجه کنید که برای برابری مثلث های معمولی باید سه عنصر آنها برابر باشند: دو ضلع و زاویه بین آنها، دو زاویه و ضلع بین آنها یا سه ضلع. اما برای برابری مثلث های قائم الزاویه فقط دو عنصر متناظر کافی است. عالیه، درسته؟
وضعیت تقریباً با علائم تشابه مثلث های قائم الزاویه یکسان است.
علائم تشابه مثلث های قائم الزاویه
I. در امتداد یک زاویه حاد
II. از دو طرف
III. توسط پا و هیپوتونوز
میانه در مثلث قائم الزاویه
چرا اینطور است؟
به جای مثلث قائم الزاویه، یک مستطیل کامل را در نظر بگیرید.
بیایید یک مورب رسم کنیم و یک نقطه را در نظر بگیریم - نقطه تقاطع مورب ها. از قطرهای یک مستطیل چه می دانید؟
و چه چیزی از این نتیجه می شود؟
پس معلوم شد که
- - میانه:
این واقعیت را به خاطر بسپار! کمک زیادی می کند!
شگفت‌انگیزتر این است که برعکس آن نیز صادق است.
چه فایده ای می توان از این واقعیت به دست آورد که میانه رسم شده به هیپوتنوز برابر با نصف هیپوتانوز است؟ بیایید به تصویر نگاه کنیم
با دقت نگاه کن. داریم: یعنی فواصل نقطه تا هر سه رأس مثلث برابر است. اما فقط یک نقطه در مثلث وجود دارد که فواصل آن از هر سه رأس مثلث برابر است و این مرکز دایره است. پس چه اتفاقی افتاد؟
پس بیایید با این "علاوه بر ..." شروع کنیم.
بیایید نگاه کنیم و.
اما مثلث های مشابه همه زوایای برابر دارند!
همین را می توان در مورد و نیز گفت
حالا بیایید آن را با هم ترسیم کنیم:
چه فایده ای می توان از این شباهت «سه گانه» به دست آورد؟
خوب، برای مثال - دو فرمول برای ارتفاع مثلث قائم الزاویه
بیایید روابط طرفین مربوطه را بنویسیم:
برای پیدا کردن ارتفاع، نسبت را حل می کنیم و بدست می آوریم اولین فرمول "ارتفاع در مثلث قائم الزاویه":
بنابراین، بیایید شباهت را اعمال کنیم: .
حالا چه خواهد شد؟
دوباره نسبت را حل می کنیم و فرمول دوم را می گیریم:
شما باید هر دوی این فرمول ها را به خوبی به خاطر بسپارید و از یکی که راحت تر است استفاده کنید. بیایید دوباره آنها را بنویسیم
قضیه فیثاغورس:
در مثلث قائم الزاویه، مربع هیپوتنوس برابر است با مجموع مربع های پاها: .
نشانه های برابری مثلث های قائم الزاویه:
- از دو طرف:
- توسط پا و هیپوتانوز: یا
- در امتداد ساق و زاویه حاد مجاور: یا
- در امتداد ساق و زاویه حاد مقابل: یا
- توسط هیپوتانوز و زاویه حاد: یا.
علائم تشابه مثلث های قائم الزاویه:
- یک گوشه حاد: یا
- از تناسب دو پا:
- از تناسب ساق و هیپوتنوز: یا.
سینوس، کسینوس، مماس، کتانژانت در مثلث قائم الزاویه
- سینوس زاویه حاد مثلث قائم الزاویه نسبت ضلع مقابل به هیپوتنوز است:
- کسینوس یک زاویه حاد مثلث قائم الزاویه نسبت ساق مجاور به هیپوتونوس است:
- مماس زاویه تند مثلث قائم الزاویه نسبت ضلع مقابل به ضلع مجاور است:
- کتانژانت یک زاویه تند مثلث قائم الزاویه، نسبت ضلع مجاور به ضلع مقابل است: .
ارتفاع مثلث قائم الزاویه: یا.
در مثلث قائم الزاویه، میانه رسم شده از رأس زاویه قائمه برابر با نصف هیپوتانوس است: .
مساحت مثلث قائم الزاویه:
- از طریق پاها: