جدول انتگرال های نامعین. ضد مشتق

در این صفحه خواهید یافت:

1. در واقع، جدول ضد مشتقات - می توان آن را دانلود کرد فرمت PDFو چاپ کنید؛

2. ویدئو در مورد نحوه استفاده از این جدول.

3. دسته ای از مثال های محاسبه ضد مشتق از کتاب های درسی و تست های مختلف.

در خود ویدیو، ما بسیاری از مشکلات را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد که در آن شما باید ضد مشتقات توابع را محاسبه کنید، اغلب بسیار پیچیده هستند، اما مهمتر از همه، آنها توابع قدرت نیستند. تمام توابع خلاصه شده در جدول پیشنهادی در بالا، مانند مشتقات، باید به طور خلاصه شناخته شوند. بدون آنها، مطالعه بیشتر انتگرال ها و کاربرد آنها برای حل مسائل عملی غیرممکن است.

امروز ما به مطالعه ضد مشتقات ادامه می دهیم و به کمی بیشتر می رویم موضوع پیچیده. اگر دفعه قبل فقط به ضد مشتق‌های توابع قدرت و ساختارهای کمی پیچیده‌تر نگاه کردیم، امروز به مثلثات و موارد دیگر خواهیم پرداخت.

همانطور که در درس گذشته گفتم، ضد مشتقات، بر خلاف مشتقات، هرگز با استفاده از قوانین استاندارد "کاملا" حل نمی شوند. علاوه بر این، خبر بد این است که بر خلاف مشتق، ممکن است ضد مشتق اصلاً در نظر گرفته نشود. اگر یک تابع کاملا تصادفی بنویسیم و سعی کنیم مشتق آن را پیدا کنیم، با احتمال بسیار بالا موفق خواهیم شد، اما ضد مشتق تقریباً هرگز در این مورد محاسبه نخواهد شد. اما یک خبر خوب وجود دارد: دسته نسبتاً بزرگی از توابع به نام توابع ابتدایی وجود دارد که محاسبه ضد مشتقات آن بسیار آسان است. و تمام ساختارهای پیچیده‌تر دیگری که در انواع تست‌ها، تست‌ها و امتحانات مستقل داده می‌شوند، در واقع از این توابع ابتدایی از طریق جمع، تفریق و سایر اقدامات ساده تشکیل شده‌اند. نمونه های اولیه چنین توابعی مدت هاست که محاسبه و در جداول ویژه جمع آوری شده اند. این توابع و جداول هستند که امروز با آنها کار خواهیم کرد.

اما ما مانند همیشه با یک تکرار شروع می کنیم: بیایید به یاد بیاوریم که ضد مشتق چیست، چرا تعداد بی نهایت آنها وجود دارد و چگونه آنها را تعریف کنیم. فرم کلی. برای انجام این کار، من دو مشکل ساده را انتخاب کردم.

حل مثال های آسان

مثال شماره 1

اجازه دهید بلافاصله توجه داشته باشیم که $\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$ و به طور کلی وجود $\text( )\!\!\pi\ !\!\ text( )$ بلافاصله به ما اشاره می کند که ضد مشتق مورد نیاز تابع مربوط به مثلثات است. و در واقع، اگر به جدول نگاه کنیم، متوجه خواهیم شد که $\frac(1)(1+((x)^(2)))$ چیزی بیش از $\text(arctg)x$ نیست. پس بیایید آن را بنویسیم:

برای پیدا کردن، باید موارد زیر را یادداشت کنید:

\[\frac(\pi )(6)=\text(arctg)\sqrt(3)+C\]

\[\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+C\]

مثال شماره 2

در اینجا ما نیز در مورد صحبت می کنیم توابع مثلثاتی. اگر به جدول نگاه کنیم، در واقع، این چیزی است که اتفاق می افتد:

ما باید در بین کل مجموعه ضد مشتقات موردی را پیدا کنیم که از نقطه مشخص شده عبور می کند:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\arcsin \frac(1)(2)+C\]

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+C\]

در نهایت آن را بنویسیم:

ساده است. تنها مشکل این است که به منظور شمارش ضد مشتقات توابع ساده، باید جدول آنتی مشتق ها را یاد بگیرید. با این حال، پس از مطالعه جدول مشتق برای شما، فکر می کنم این مشکلی نخواهد داشت.

حل مسائل حاوی تابع نمایی

برای شروع، بیایید فرمول های زیر را بنویسیم:

\[((e)^(x))\به ((e)^(x))\]

\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)\]

بیایید ببینیم که این همه در عمل چگونه کار می کند.

مثال شماره 1

اگر به محتویات براکت ها نگاه کنیم، متوجه می شویم که در جدول آنتی مشتق ها چنین عبارتی وجود ندارد که $((e)^(x))$ در یک مربع باشد، بنابراین این مربع باید گسترش یابد. برای این کار از فرمول های ضرب اختصاری استفاده می کنیم:

بیایید پاد مشتق را برای هر یک از اصطلاحات پیدا کنیم:

\[((e)^(2x))=((\left(((e)^(2)) \راست))^(x))\to \frac(((\left(((e)^ (2)) \راست))^(x)))(\ln ((e)^(2)))=\frac(((e)^(2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(((e)^(-2)) \راست))^(x))\to \frac(((\left(((e) )^(-2)) \راست))^(x)))(\ln ((e)^(-2)))=\frac(1)(-2((e)^(2x))) \]

حالا بیایید تمام اصطلاحات را در یک عبارت جمع کنیم و آنتی مشتق کلی را بدست آوریم:

مثال شماره 2

این بار درجه بزرگتر است، بنابراین فرمول ضرب اختصاری بسیار پیچیده خواهد بود. پس بیایید پرانتزها را باز کنیم:

حالا بیایید سعی کنیم ضد مشتق فرمول خود را از این ساختار بگیریم:

همانطور که می بینید، در ابتدایی ها تابع نماییهیچ چیز پیچیده یا فراطبیعی وجود ندارد. همه آنها از طریق جداول محاسبه می شوند، اما دانش آموزان با دقت احتمالا متوجه خواهند شد که ضد مشتق $((e)^(2x))$ بسیار نزدیکتر به $((e)^(x))$ است تا $((a) )^(x))$. بنابراین، شاید قانون خاصی وجود داشته باشد که با دانستن ضد مشتق $((e)^(x))$، اجازه می دهد $((e)^(2x))$ را پیدا کنید؟ بله، چنین قانونی وجود دارد. و علاوه بر این، بخشی جدایی ناپذیر از کار با جدول ضد مشتقات است. اکنون با استفاده از همان عباراتی که به عنوان مثال با آنها کار کردیم، آن را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد.

قوانین کار با جدول ضد مشتقات

بیایید دوباره تابع خود را بنویسیم:

در مورد قبلی از فرمول زیر برای حل استفاده کردیم:

\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\operatorname(lna))\]

اما اکنون اجازه دهید این کار را کمی متفاوت انجام دهیم: به یاد بیاوریم که بر چه مبنایی $((e)^(x))\ به ((e)^(x))$. همانطور که قبلاً گفتم، چون مشتق $((e)^(x))$ چیزی بیش از $((e)^(x))$ نیست، بنابراین ضد مشتق آن برابر با همان $((e) ^ خواهد بود. (x)) دلار. اما مشکل این است که ما $((e)^(2x))$ و $((e)^(-2x))$ داریم. حالا بیایید سعی کنیم مشتق $((e)^(2x))$ را پیدا کنیم:

\[((\left(((e)^(2x)) \راست))^(\prime ))=((e)^(2x))\cdot ((\left(2x \راست))^( \prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

بیایید دوباره ساختمان را بازنویسی کنیم:

\[((\left(((e)^(2x)) \راست))^(\prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

\[((e)^(2x))=((\left(\frac((((e)^(2x)))(2) \راست))^(\prime ))\]

این بدان معنی است که وقتی ما ضد مشتق $((e)^(2x))$ را پیدا می کنیم، به شکل زیر می رسیم:

\[((e)^(2x))\to \frac(((e)^(2x)))(2)\]

همانطور که می بینید، ما همان نتیجه قبلی را گرفتیم، اما از فرمول برای پیدا کردن $((a)^(x))$ استفاده نکردیم. اکنون ممکن است احمقانه به نظر برسد: چرا وقتی یک فرمول استاندارد وجود دارد محاسبات را پیچیده کنیم؟ با این حال، در عبارات کمی پیچیده تر خواهید دید که این تکنیک بسیار موثر است، به عنوان مثال. استفاده از مشتقات برای یافتن ضد مشتقات.

به عنوان یک گرم کردن، بیایید ضد مشتق $((e)^(2x))$ را به روشی مشابه پیدا کنیم:

\[((\left(((e)^(-2x)) \راست))^(\prime ))=((e)^(-2x))\cdot \left(-2 \راست)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(\frac(((e)^(-2x)))(-2) \راست))^(\prime ))\]

هنگام محاسبه، ساخت ما به صورت زیر نوشته می شود:

\[((e)^(-2x))\to -\frac(((e)^(-2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))\to -\frac(1)(2\cdot ((e)^(2x)))\]

ما دقیقاً همان نتیجه را گرفتیم، اما مسیر دیگری را در پیش گرفتیم. این مسیری است که اکنون برای ما کمی پیچیده تر به نظر می رسد، در آینده برای محاسبه آنتی مشتق های پیچیده تر و استفاده از جداول موثرتر خواهد بود.

توجه داشته باشید! این خیلی نکته مهم: ضد مشتقات، مانند مشتقات، به طرق مختلف قابل شمارش هستند. با این حال، اگر همه محاسبات و محاسبات برابر باشند، پاسخ یکسان خواهد بود. ما به تازگی این را با مثال $((e)^(-2x))$ مشاهده کردیم - از یک طرف، ما این ضد مشتق را "راست از طریق" محاسبه کردیم، با استفاده از تعریف و محاسبه آن با استفاده از تبدیل، از سوی دیگر، ما به یاد آوردیم که $ ((e)^(-2x))$ را می توان به صورت $((\left(((e)^(-2)) \راست))^(x))$ نشان داد و فقط پس از آن استفاده کردیم ضد مشتق برای تابع $( (a)^(x))$. با این حال، پس از تمام تحولات، نتیجه همان بود که انتظار می رفت.

و اکنون که همه اینها را فهمیدیم، وقت آن است که به چیز مهمتری برویم. اکنون ما دو ساختار ساده را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد، اما تکنیکی که در هنگام حل آنها استفاده می شود، ابزار قدرتمندتر و مفیدتر از "اجرا کردن" بین پاد مشتق های همسایه از جدول است.

حل مسئله: پیدا کردن پاد مشتق یک تابع

مثال شماره 1

بیایید مقدار موجود در اعداد را به سه کسر جداگانه تقسیم کنیم:

این یک انتقال نسبتاً طبیعی و قابل درک است - اکثر دانش آموزان با آن مشکلی ندارند. بیایید عبارت خود را به صورت زیر بازنویسی کنیم:

حالا بیایید این فرمول را به خاطر بسپاریم:

در مورد ما موارد زیر را دریافت خواهیم کرد:

برای خلاص شدن از شر همه این کسرهای سه طبقه، پیشنهاد می کنم موارد زیر را انجام دهید:

مثال شماره 2

بر خلاف کسر قبلی، مخرج یک حاصل ضرب نیست، بلکه یک جمع است. در این صورت دیگر نمی توانیم کسر خود را به مجموع چند تقسیم کنیم کسرهای ساده، اما باید سعی کنید به نحوی مطمئن شوید که صورتگر تقریباً همان عبارت مخرج را دارد. در این مورد، انجام آن بسیار ساده است:

این نماد، که در زبان ریاضی به آن "جمع صفر" می گویند، به ما امکان می دهد دوباره کسر را به دو قسمت تقسیم کنیم:

حالا بیایید آنچه را که دنبالش بودیم پیدا کنیم:

تمام محاسبات همین است. علیرغم پیچیدگی ظاهری بیشتر نسبت به مشکل قبلی، مقدار محاسبات حتی کمتر بود.

تفاوت های ظریف راه حل

و اینجاست که مشکل اصلی کار با ضد مشتقات جدولی نهفته است، این به ویژه در کار دوم قابل توجه است. واقعیت این است که برای انتخاب برخی از عناصری که به راحتی از طریق جدول محاسبه می شوند، باید بدانیم دقیقاً به دنبال چه چیزی هستیم و در جستجوی این عناصر است که کل محاسبه ضد مشتقات را تشکیل می دهد.

به عبارت دیگر، فقط به خاطر سپردن جدول ضد مشتقات کافی نیست - شما باید بتوانید چیزی را ببینید که هنوز وجود ندارد، اما منظور نویسنده و گردآورنده این مشکل چیست. به همین دلیل است که بسیاری از ریاضیدانان، معلمان و استادان دائماً استدلال می کنند: "مصرف ضد مشتقات یا ادغام چیست - آیا این فقط یک ابزار است یا یک هنر واقعی است؟" در واقع، به نظر شخصی من، یکپارچگی اصلاً یک هنر نیست - هیچ چیز عالی در آن وجود ندارد، فقط تمرین است و تمرین بیشتر. و برای تمرین، بیایید سه مثال جدی دیگر را حل کنیم.

ما در عمل یکپارچه سازی را آموزش می دهیم

وظیفه شماره 1

بیایید فرمول های زیر را بنویسیم:

\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

\[\frac(1)(x)\to \ln x\]

\[\frac(1)(1+((x)^(2)))\to \text(arctg)x\]

بیایید موارد زیر را بنویسیم:

مشکل شماره 2

بیایید آن را به صورت زیر بازنویسی کنیم:

کل ضد مشتق برابر خواهد بود با:

وظیفه شماره 3

دشواری این کار این است که بر خلاف توابع قبلی در بالا، هیچ متغیری $x$ وجود ندارد، i.e. ما نمی‌دانیم چه چیزی را اضافه یا کم کنیم تا حداقل چیزی شبیه آنچه در زیر آمده است به دست آوریم. با این حال، در واقع، این عبارت حتی ساده تر از هر یک از عبارات قبلی در نظر گرفته می شود، زیرا این تابع را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

اکنون ممکن است بپرسید: چرا این توابع برابر هستند؟ بیایید بررسی کنیم:

بیایید دوباره آن را بازنویسی کنیم:

بیایید بیان خود را کمی تغییر دهیم:

و وقتی همه اینها را برای شاگردانم توضیح می‌دهم، تقریباً همیشه همین مشکل پیش می‌آید: با تابع اول همه چیز کم و بیش روشن است، با عملکرد دوم نیز می‌توانید با شانس یا تمرین آن را بفهمید، اما چه نوع آگاهی جایگزینی دارید. برای حل مثال سوم باید داشته باشید؟ در واقع، نترس. تکنیکی که ما هنگام محاسبه آخرین ضد مشتق استفاده کردیم "تجزیه یک تابع به ساده ترین آن" نامیده می شود و این یک تکنیک بسیار جدی است و یک درس ویدیویی جداگانه به آن اختصاص داده خواهد شد.

در همین حال، من پیشنهاد می کنم به آنچه که اخیراً مطالعه کردیم، یعنی به توابع نمایی برگردیم و مشکلات محتوای آنها را تا حدودی پیچیده کنیم.

مسائل پیچیده تر برای حل توابع نمایی ضد مشتق

وظیفه شماره 1

به موارد زیر توجه کنیم:

\[((2)^(x))\cdot ((5)^(x))=((\left(2\cdot 5 \راست))^(x))=((10)^(x) )\]

برای یافتن ضد مشتق این عبارت، به سادگی از فرمول استاندارد - $((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)$ استفاده کنید.

در مورد ما، ضد مشتق به این صورت خواهد بود:

البته، در مقایسه با طرحی که به تازگی حل کرده ایم، این طرح ساده تر به نظر می رسد.

مشکل شماره 2

باز هم، به راحتی می توان فهمید که این تابع را می توان به راحتی به دو عبارت جداگانه تقسیم کرد - دو کسر جداگانه. بیایید بازنویسی کنیم:

باقی مانده است که ضد مشتق هر یک از این اصطلاحات را با استفاده از فرمول شرح داده شده در بالا پیدا کنیم:

علیرغم پیچیدگی ظاهری بیشتر توابع نمایی در مقایسه با توابع توان، حجم کلی محاسبات و محاسبات بسیار ساده تر بود.

البته، برای دانش‌آموزان آگاه، آنچه که اخیراً مورد بحث قرار گرفتیم (مخصوصاً در پس زمینه آنچه قبلاً بحث کردیم) ممکن است عباراتی ابتدایی به نظر برسد. با این حال، هنگام انتخاب این دو مشکل برای درس ویدیویی امروز، هدفم این نبود که تکنیک پیچیده و پیچیده دیگری را به شما بگویم - تنها چیزی که می‌خواستم به شما نشان دهم این است که از استفاده از تکنیک‌های جبر استاندارد برای تبدیل توابع اصلی نترسید. .

استفاده از تکنیک "مخفی"

در پایان ، می خواهم به تکنیک جالب دیگری نگاه کنم که از یک طرف فراتر از آنچه که امروز عمدتاً مورد بحث قرار گرفتیم است ، اما از طرف دیگر ، اولاً اصلاً پیچیده نیست ، یعنی. حتی دانش‌آموزان مبتدی نیز می‌توانند به آن تسلط پیدا کنند، و ثانیاً، اغلب در انواع آزمون‌ها و کارهای مستقل یافت می‌شود، یعنی. آگاهی از آن علاوه بر آگاهی از جدول آنتی مشتقات بسیار مفید خواهد بود.

وظیفه شماره 1

بدیهی است که آنچه پیش روی ماست چیزی بسیار شبیه به آن است تابع توان. در این صورت باید چکار کنیم؟ بیایید در مورد آن فکر کنیم: $x-5$ تفاوت زیادی با $x$ ندارد - آنها فقط $-5$ را اضافه کردند. بیایید آن را اینگونه بنویسیم:

\[((x)^(4))\to \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((\left(\frac(((x)^(5)))(5) \راست))^(\prime ))=\frac(5\cdot ((x)^(4))) (5)=((x)^(4))\]

بیایید سعی کنیم مشتق $((\left(x-5 \right))^(5))$ را پیدا کنیم:

\[((\left(((\left(x-5 \راست))^(5)) \راست))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \راست)) ^(4))\cdot ((\left(x-5 \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \راست))^(4))\]

این دلالت می کنه که:

\[((\left(x-5 \right))^(4))=((\left(\frac(((\left(x-5 \right))^(5)))(5) \ درست))^(\prime ))\]

چنین مقداری در جدول وجود ندارد، بنابراین ما اکنون خودمان این فرمول را با استفاده از فرمول استاندارد ضد مشتق برای تابع توان استخراج کرده ایم. جواب را اینگونه بنویسیم:

مشکل شماره 2

بسیاری از دانش آموزانی که به راه حل اول نگاه می کنند ممکن است فکر کنند که همه چیز بسیار ساده است: فقط $x$ را در تابع power با یک عبارت خطی جایگزین کنید، و همه چیز در جای خود قرار می گیرد. متأسفانه همه چیز به این سادگی نیست و اکنون این را خواهیم دید.

با قیاس با عبارت اول، موارد زیر را می نویسیم:

\[((x)^(9))\to \frac(((x)^(10)))(10)\]

\[((\left((\left(4-3x \راست))^(10)) \راست))^(\prime ))=10\cdot ((\left(4-3x \راست)) ^(9))\cdot ((\left(4-3x \راست))^(\prime ))=\]

\[=10\cdot ((\left(4-3x \راست))^(9)\cdot \left(-3 \right)=-30\cdot ((\left(4-3x \راست)) ^(9)\]

با بازگشت به مشتق خود، می توانیم بنویسیم:

\[((\left(((\left(4-3x \راست))^(10)) \راست))^(\prime ))=-30\cdot ((\left(4-3x \راست) )^(9))\]

\[((\left(4-3x \راست))^(9))=((\left(\frac(((\left(4-3x \راست))^(10)))(-30) \راست))^(\prime ))\]

این بلافاصله به شرح زیر است:

تفاوت های ظریف راه حل

لطفاً توجه داشته باشید: اگر بار گذشته اساساً چیزی تغییر نکرده است ، در مورد دوم به جای -10 دلار ، -30 دلار ظاهر می شود. تفاوت بین -10 دلار و -30 دلار چیست؟ بدیهی است که با ضریب 3- دلار. سوال: از کجا آمده است؟ اگر دقت کنید، می بینید که در نتیجه محاسبه مشتق یک تابع مختلط گرفته شده است - ضریبی که برابر با $x$ بود در ضد مشتق زیر ظاهر می شود. این خیلی قانون مهم، که در ابتدا قصد نداشتم در آموزش ویدیویی امروز به آن بپردازم، اما بدون آن ارائه آنتی مشتقات جدولی ناقص بود.

پس بیایید دوباره این کار را انجام دهیم. اجازه دهید تابع قدرت اصلی ما وجود داشته باشد:

\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

حال به جای $x$، عبارت $kx+b$ را جایگزین می کنیم. آن وقت چه خواهد شد؟ باید موارد زیر را پیدا کنیم:

\[((\left(kx+b \right))^(n))\to \frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+1 \راست)\cdot k)\]

بر چه اساسی این ادعا را داریم؟ بسیار ساده. بیایید مشتق ساختار نوشته شده در بالا را پیدا کنیم:

\[((\left(\frac(((\left(kx+b \راست))^(n+1)))(\left(n+1 \راست)\cdot k) \راست))^( \prime ))=\frac(1)(\left(n+1 \right)\cdot k)\cdot \left(n+1 \right)\cdot ((\left(kx+b \راست))^ (n))\cdot k=((\چپ(kx+b \راست))^(n))\]

این همان عبارتی است که در ابتدا وجود داشت. بنابراین، این فرمول نیز صحیح است و می توان از آن برای تکمیل جدول ضد مشتقات استفاده کرد یا بهتر است به سادگی کل جدول را حفظ کرد.

نتیجه گیری از تکنیک "راز:

• هر دو تابعی که اکنون به آنها نگاه کردیم، در واقع می‌توانند با گسترش درجه‌ها به پاد مشتق‌های نشان‌داده‌شده در جدول تقلیل یابند، اما اگر بتوانیم کم و بیش به نحوی با درجه چهارم کنار بیاییم، آنگاه حتی درجه نهم را هم در نظر نمی‌گیرم. جرات کرد فاش کرد
• اگر بخواهیم اختیارات را گسترش دهیم، حجم محاسباتی به دست می آید که کار سادهبه اندازه کافی از ما وام می گرفت تعداد زیادی اززمان.
• به همین دلیل است که چنین مسائلی که حاوی عبارات خطی هستند، نیازی به حل "سرسخت" ندارند. به محض اینکه با یک پاد مشتق روبرو شدید که فقط با وجود عبارت $kx+b$ در داخل آن با نمونه موجود در جدول تفاوت دارد، فوراً فرمول نوشته شده در بالا را به خاطر بسپارید، آن را با آنتی مشتق جدول خود جایگزین کنید، و همه چیز بسیار خوب خواهد شد. سریع تر و راحت تر

طبیعتاً به دلیل پیچیدگی و جدی بودن این تکنیک، بارها در درس های ویدیویی آینده به بررسی آن باز خواهیم گشت، اما این برای امروز تمام است. امیدوارم این درس واقعا به آن دسته از دانش‌آموزانی که می‌خواهند آنتی‌مشتق‌ها و ادغام را درک کنند، کمک کند.

انتگرال های اصلی که هر دانش آموز باید بداند

انتگرال های فهرست شده اساس، اساس مبانی هستند. این فرمول ها را حتما باید به خاطر بسپارید. هنگام محاسبه انتگرال های پیچیده تر، باید دائماً از آنها استفاده کنید.

به فرمول های (5)، (7)، (9)، (12)، (13)، (17) و (19) توجه ویژه ای داشته باشید. فراموش نکنید که هنگام ادغام یک ثابت دلخواه C به پاسخ خود اضافه کنید!

انتگرال یک ثابت

∫ A d x = A x + C (1)

ادغام یک تابع قدرت

در واقع، می‌توانیم خود را به فرمول‌های (5) و (7) محدود کنیم، اما بقیه انتگرال‌های این گروه به قدری اتفاق می‌افتند که ارزش کمی توجه به آنها را دارد.

∫ x d x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 d x = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x d x = 2 x + C (4)
∫ 1 x d x = ln | x | +C (5)
∫ 1 x 2 d x = - 1 x + C (6)
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n≠ - 1) (7)

انتگرال توابع نمایی و توابع هذلولی

البته فرمول (8) (شاید راحت ترین برای حفظ) را می توان به عنوان یک مورد خاص از فرمول (9) در نظر گرفت. فرمول های (10) و (11) برای انتگرال های سینوس هذلولی و کسینوس هذلولی به راحتی از فرمول (8) به دست می آیند، اما بهتر است این روابط را به سادگی به خاطر بسپارید.

∫ e x d x = e x + C (8)
∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0، a ≠ 1) (9)
∫ s h x d x = c h x + C (10)
∫ c h x d x = s h x + C (11)

انتگرال های اساسی توابع مثلثاتی

اشتباهی که دانش آموزان اغلب مرتکب می شوند این است که علائم فرمول (12) و (13) را با هم اشتباه می گیرند. به خاطر داشته باشید که مشتق سینوس برابر با کسینوس است، به دلایلی بسیاری از مردم معتقدند که انتگرال تابع sinx برابر با cosx است. این درست نیست! انتگرال سینوس برابر با "منهای کسینوس" است، اما انتگرال cosx برابر با "فقط سینوس" است:

∫ sin x d x = − cos x + C (12)
∫ cos x d x = گناه x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 sin 2 x d x = - c t g x + C (15)

انتگرال هایی که به توابع مثلثاتی معکوس تقلیل می یابند

فرمول (16)، منتهی به آرکتتانژانت، طبیعتاً یک مورد خاص از فرمول (17) برای a=1 است. به طور مشابه، (18) یک مورد خاص از (19) است.

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = - a r c c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 - x 2 d x = arcsin x + C = - arccos x + C (18)
∫ 1 a 2 - x 2 d x = arcsin x a + C = - arccos x a + C (a > 0) (19)

انتگرال های پیچیده تر

همچنین توصیه می شود این فرمول ها را به خاطر بسپارید. آنها همچنین اغلب استفاده می شوند و خروجی آنها بسیار خسته کننده است.

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x 2 + a 2 | +C (20)
∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | +C (21)
∫ a 2 - x 2 d x = x 2 a 2 - x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0) (22)
∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x 2 + a 2 | + C (a > 0) (23)
∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0) (24)

قوانین کلی ادغام

1) انتگرال مجموع دو تابع برابر است با مجموع انتگرال های مربوطه: ∫ (f (x) + g (x)) d x = ∫ f (x) d x + ∫ g (x) d x (25)

2) انتگرال اختلاف دو تابع برابر است با اختلاف انتگرال های متناظر: ∫ (f (x) − g (x)) d x = ∫ f (x) d x − ∫ g (x) d x (26)

3) ثابت را می توان از علامت انتگرال خارج کرد: ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)

به راحتی می توان دریافت که ویژگی (26) به سادگی ترکیبی از ویژگی های (25) و (27) است.

4) انتگرال یک تابع پیچیده، اگر عملکرد داخلیخطی است: ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)

در اینجا F(x) یک پاد مشتق برای تابع f(x) است. لطفا توجه داشته باشید: این فرمول فقط زمانی کار می کند که تابع داخلی Ax + B باشد.

مهم: هیچ فرمول جهانی برای انتگرال حاصلضرب دو تابع و همچنین برای انتگرال یک کسری وجود ندارد:

∫ f (x) g (x) d x = ? ∫ f (x) g (x) d x = ? (سی)

البته این بدان معنا نیست که یک کسر یا محصول را نمی توان یکپارچه کرد. فقط این است که هر بار که انتگرالی مانند (30) را می بینید، باید راهی برای "مبارزه کردن" با آن اختراع کنید. در برخی موارد، ادغام توسط قطعات به شما کمک می کند، در برخی دیگر باید متغیر را تغییر دهید، و گاهی اوقات حتی فرمول های جبر "مدرسه ای" یا مثلثات می تواند کمک کند.

یک مثال ساده از محاسبه انتگرال نامعین

مثال 1. انتگرال را بیابید: ∫ (3 x 2 + 2 sin x − 7 e x + 12) d x

اجازه دهید از فرمول های (25) و (26) استفاده کنیم (انتگرال مجموع یا تفاوت توابع برابر است با مجموع یا تفاضل انتگرال های مربوطه. ما به دست می آوریم: ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 sin x d x − ∫ 7 e x d x + ∫ 12 d x

به یاد داشته باشیم که ثابت را می توان از علامت انتگرال خارج کرد (فرمول (27)). عبارت به فرم تبدیل می شود

3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ sin x d x − 7 ∫ e ​​x d x + 12 ∫ 1 d x

حالا بیایید فقط از جدول انتگرال های پایه استفاده کنیم. ما باید فرمول های (3)، (12)، (8) و (1) را اعمال کنیم. بیایید تابع توان، سینوسی، نمایی و ثابت 1 را ادغام کنیم. فراموش نکنید که یک ثابت دلخواه C را در پایان اضافه کنید:

3 x 3 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C

پس از تبدیل های ابتدایی به پاسخ نهایی می رسیم:

X 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C

خود را با تمایز آزمایش کنید: مشتق تابع حاصل را بگیرید و مطمئن شوید که با انتگرال اصلی برابر است.

جدول خلاصه انتگرال ها

🔻 A d x = A x + C

∫ x d x = x 2 2 + C

∫ x 2 d x = x 3 3 + C

∫ 1 x d x = 2 x + C

∫ 1 x d x = ln | x | +C

∫ 1 x 2 d x = - 1 x + C

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ - 1)

∫ e x d x = e x + C

∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0، a ≠ 1)

∫ s h x d x = c h x + C

∫ c h x d x = s h x + C

∫ sin x d x = − cos x + C

∫ cos x d x = گناه x + C

∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C

∫ 1 گناه 2 x d x = - c t g x + C

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = - a r c c t g x + C

∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0)

∫ 1 1 - x 2 d x = arcsin x + C = - arccos x + C

∫ 1 a 2 - x 2 d x = arcsin x a + C = - arccos x a + C (a > 0)

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x 2 + a 2 | +C

∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | +C

∫ a 2 - x 2 d x = x 2 a 2 - x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0)

∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x 2 + a 2 | + C (a > 0)

∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0)

جدول انتگرال ها (قسمت دوم) را از این لینک دانلود کنید

اگر در دانشگاه تحصیل می کنید، اگر در ریاضیات بالاتر (تحلیل ریاضی، جبر خطی، تئوری احتمال، آمار) مشکل دارید، اگر به خدمات یک معلم واجد شرایط نیاز دارید، به صفحه معلم خصوصی ریاضی بالاتر بروید. ما با هم مشکلات شما را حل خواهیم کرد!

همچنین ممکن است که شما علاقه مند باشید به

در مدرسه، بسیاری از افراد در حل انتگرال ها شکست می خورند یا با آنها مشکل دارند. این مقاله به شما کمک می کند تا آن را بفهمید، زیرا همه چیز را در آن خواهید یافت. جداول انتگرال.

انتگرالیکی از محاسبات و مفاهیم اصلی در تحلیل ریاضی است. ظهور آن ناشی از دو هدف است:
گل اول- بازیابی یک تابع با استفاده از مشتق آن.
گل دوم- محاسبه مساحت واقع در فاصله نمودار تا تابع f(x) روی خط مستقیم که در آن a بزرگتر یا مساوی x بزرگتر یا مساوی b و محور x است.

این اهداف ما را به انتگرال های معین و نامعین سوق می دهند. ارتباط بین این انتگرال ها در جستجوی خواص و محاسبه نهفته است. اما همه چیز جریان می یابد و همه چیز در طول زمان تغییر می کند، راه حل های جدیدی پیدا شد، اضافات مشخص شد، در نتیجه انتگرال های معین و نامعین را به اشکال دیگر ادغام سوق داد.

چه اتفاقی افتاده است انتگرال نامعین تو پرسیدی. این یک تابع ضد مشتق F(x) از یک متغیر x در بازه a بزرگتر از x بزرگتر از b است. هر تابع F(x) نامیده می شود، در یک بازه معین برای هر نام x، مشتق برابر است با F(x). واضح است که F(x) ضد مشتق است برای f(x) در فاصله a بزرگتر از x بزرگتر از b است. این بدان معنی است که F1(x) = F(x) + C. C - هر ثابت و پاد مشتق برای f(x) در یک بازه معین است. این بیانیهمعکوس، برای تابع f(x) - 2 ضد مشتقات فقط در ثابت تفاوت دارند. بر اساس قضیه حساب انتگرال، معلوم می شود که هر پیوسته در بازه a

انتگرال معین به عنوان یک حد در مجموع انتگرال، یا در موقعیت یک تابع معین f(x) تعریف شده در برخی از خطوط (a,b) که دارای یک F پاد مشتق بر روی آن است، به معنی تفاوت عبارات آن در انتهای یک خط مشخص می شود. F(b) - F(a).

برای نشان دادن مطالعه این موضوع، پیشنهاد می کنم ویدیو را تماشا کنید. با جزئیات می گوید و نحوه یافتن انتگرال ها را نشان می دهد.

هر جدول انتگرال به خودی خود بسیار مفید است، زیرا به حل نوع خاصی از انتگرال کمک می کند.

همه انواع ممکنلوازم التحریر و بیشتر می توانید از طریق فروشگاه آنلاین v-kant.ru خرید کنید. یا فقط لینک لوازم التحریر سامارا (http://v-kant.ru) را دنبال کنید کیفیت و قیمت ها شما را شگفت زده خواهد کرد.

اجازه دهید انتگرال های توابع ابتدایی را فهرست کنیم که گاهی به آنها جدولی می گویند:

هر یک از فرمول های بالا را می توان با گرفتن مشتق سمت راست اثبات کرد (نتیجه انتگرال خواهد بود).

روش های یکپارچه سازی

بیایید به چند روش ادغام اولیه نگاه کنیم. این شامل:

1. روش تجزیه(ادغام مستقیم).

این روش مبتنی بر استفاده مستقیم از انتگرال های جدولی و همچنین استفاده از ویژگی های 4 و 5 انتگرال نامعین (یعنی خارج کردن ضریب ثابت از براکت ها و / یا نمایش انتگرال به عنوان مجموع توابع - تجزیه است. از انتگرال به شرایط).

مثال 1.به عنوان مثال، برای یافتن(dx/x 4) می‌توانید مستقیماً از انتگرال جدول برایx n dx استفاده کنید. در واقع،(dx/x 4) =x -4 dx=x -3 /(-3) +C= -1/3x 3 +C.

بیایید به چند نمونه دیگر نگاه کنیم.

مثال 2.برای یافتن آن، از همان انتگرال استفاده می کنیم:

مثال 3.برای پیدا کردن آن باید بردارید

مثال 4.برای یافتن، تابع انتگرال را در فرم نشان می دهیم و از انتگرال جدول برای تابع نمایی استفاده کنید:

بیایید استفاده از براکت را یک عامل ثابت در نظر بگیریم.

مثال 5.برای مثال بیایید پیدا کنیم . با توجه به آن، دریافت می کنیم

مثال 6.ما آن را پیدا خواهیم کرد. زیرا ، بیایید از انتگرال جدول استفاده کنیم ما گرفتیم

در دو مثال زیر می توانید از براکتینگ و انتگرال جدول نیز استفاده کنید:

مثال 7.

(ما استفاده می کنیم و );

مثال 8.

(ما استفاده می کنیم و ).

بیایید به مثال های پیچیده تری که از انتگرال مجموع استفاده می کنند نگاه کنیم.

مثال 9.مثلا پیدا کنیم
. برای اعمال روش بسط در صورت، از فرمول مکعب مجموع  استفاده می کنیم و سپس چند جمله ای حاصل را بر مخرج تقسیم می کنیم.

=((8x 3/2 + 12x+ 6x 1/2 + 1)/(x 3/2))dx=(8 + 12x -1/2 + 6/x+x -3/2)dx= 8 dx+ 12x -1/2 dx+ + 6dx/x+x -3/2 dx=

لازم به ذکر است که در انتهای راه حل یک ثابت مشترک C نوشته می شود (و نه ثابت های جداگانه در هنگام ادغام هر جمله). در آینده نیز پیشنهاد می‌شود تا زمانی که عبارت حداقل یک انتگرال نامعین داشته باشد، ثابت‌ها را از ادغام عبارت‌های منفرد در فرآیند حل حذف کنیم (یک ثابت را در انتهای راه حل خواهیم نوشت).

مثال 10.پیدا خواهیم کرد . برای حل این مشکل، صورت را فاکتورسازی می کنیم (بعد از این می توانیم مخرج را کاهش دهیم).

مثال 11.ما آن را پیدا خواهیم کرد. در اینجا می توان از هویت های مثلثاتی استفاده کرد.

گاهی اوقات، برای تجزیه یک عبارت به اصطلاح، باید از تکنیک های پیچیده تری استفاده کنید.

مثال 12.پیدا خواهیم کرد . در انتگرال کل قسمت کسر را انتخاب می کنیم . سپس

مثال 13.پیدا خواهیم کرد

2. روش جایگزینی متغیر (روش جایگزینی)

این روش بر اساس فرمول زیر است: f(x)dx=f((t))`(t)dt، که در آن x =(t) یک تابع قابل تمایز در بازه مورد بررسی است.

اثبات بیایید مشتقات مربوط به متغیر t را از سمت چپ و راست فرمول پیدا کنیم.

توجه داشته باشید که در سمت چپ یک تابع پیچیده وجود دارد که آرگومان میانی آن x = (t) است. بنابراین، برای متمایز کردن آن نسبت به t، ابتدا انتگرال را نسبت به x متمایز می کنیم و سپس مشتق آرگومان میانی را نسبت به t می گیریم.

( f(x)dx)` t = ( f(x)dx)` x *x` t = f(x) `(t)

مشتق از سمت راست:

(f((t))`(t)dt)` t =f((t))`(t) =f(x)`(t)

از آنجایی که این مشتقات برابر هستند، بر اساس قضیه لاگرانژ، سمت چپ و راست فرمول ثابت شده با یک ثابت مشخص متفاوت است. از آنجایی که انتگرال های نامعین خود تا یک مدت ثابت نامعین تعریف می شوند، این ثابت را می توان از نماد نهایی حذف کرد. اثبات شده است.

تغییر موفقیت آمیز متغیر به شما امکان می دهد انتگرال اصلی را ساده کنید و در ساده ترین موارد آن را به جدولی کاهش دهید. در کاربرد این روش بین روش های جایگزینی خطی و غیرخطی تمایز قائل می شود.

الف) روش جایگزینی خطیبیایید به یک مثال نگاه کنیم.

مثال 1.
. بگذارید t= 1 – 2x، سپس

dx=d(½ - ½t) = - ½dt

لازم به ذکر است که متغیر جدید نیازی به نوشتن صریح ندارد. در چنین مواردی، آنها در مورد تبدیل یک تابع تحت علامت دیفرانسیل یا در مورد معرفی ثابت ها و متغیرها در زیر علامت دیفرانسیل صحبت می کنند، یعنی. O جایگزینی متغیر ضمنی.

مثال 2.به عنوان مثال، اجازه دهیدcos(3x + 2)dx را پیدا کنیم. با ویژگی های دیفرانسیل dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2)، سپسcos(3x + 2)dx =(1/3)cos(3x + 2)d (3x + + 2) = (1/3)cos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3) sin (3x + 2) +C.

در هر دو مثال در نظر گرفته شده، از جانشینی خطی t=kx+b(k0) برای یافتن انتگرال ها استفاده شد.

در حالت کلی، قضیه زیر معتبر است.

قضیه جانشینی خطی. فرض کنید F(x) پاد مشتق تابع f(x) باشد. سپسf(kx+b)dx= (1/k)F(kx+b) +C، که در آن k و b چند ثابت هستند،k0.

اثبات

با تعریف انتگرال f(kx+b)d(kx+b) =F(kx+b) +C. Hod(kx+b)= (kx+b)`dx=kdx. بیایید عامل ثابت k را از علامت انتگرال خارج کنیم: kf(kx+b)dx=F(kx+b) +C. حال می‌توانیم سمت چپ و راست برابری را از هم جدا کنیم و گزاره‌ای را که تا تعیین جمله ثابت ثابت می‌شود، بدست آوریم.

این قضیه بیان می کند که اگر در تعریف انتگرال f(x)dx= F(x) + C به جای آرگومان x عبارت (kx+b) را جایگزین کنیم، این منجر به ظهور یک اضافی می شود. فاکتور 1/k در مقابل ضد مشتق.

با استفاده از قضیه اثبات شده، مثال های زیر را حل می کنیم.

مثال 3.

پیدا خواهیم کرد . در اینجا kx+b= 3 –x، یعنی k= -1،b= 3. سپس

مثال 4.

ما آن را پیدا خواهیم کرد. Herekx+b= 4x+ 3، یعنی k= 4،b= 3. سپس

مثال 5.

پیدا خواهیم کرد . در اینجا kx+b= -2x+ 7، یعنی k= -2،b= 7. سپس

.

مثال 6.پیدا خواهیم کرد
. در اینجا kx+b= 2x+ 0، یعنی k= 2،b= 0.

.

اجازه دهید نتیجه به دست آمده را با مثال 8 مقایسه کنیم که با روش تجزیه حل شد. حل مشکل مشابه با استفاده از روشی متفاوت، به جواب رسیدیم
. بیایید نتایج را با هم مقایسه کنیم: بنابراین، این عبارات با یک عبارت ثابت با یکدیگر تفاوت دارند ، یعنی پاسخ های دریافتی هیچ تناقضی با یکدیگر ندارند.

مثال 7.پیدا خواهیم کرد
. بیایید یک مربع کامل در مخرج انتخاب کنیم.

در برخی موارد، تغییر یک متغیر انتگرال را مستقیماً به جدولی کاهش نمی دهد، اما می تواند راه حل را ساده کند و استفاده از روش بسط را در مرحله بعدی ممکن می کند.

مثال 8.مثلا پیدا کنیم . t=x+2 را جایگزین کنید، سپس dt=d(x+2) =dx را جایگزین کنید. سپس

,

که در آن C = C 1 – 6 (هنگامی که عبارت (x+ 2) را به جای دو عبارت اول جایگزین می کنیم، ½x 2 -2x– 6 دریافت می کنیم).

مثال 9.پیدا خواهیم کرد
. بگذارید t= 2x+ 1، سپس dt= 2dx;dx=½dt;x= (t– 1)/2.

بیایید عبارت (2x+1) را جایگزین t کنیم، پرانتزها را باز کنیم و موارد مشابه را بدهیم.

توجه داشته باشید که در فرآیند تبدیل ما به یک ترم ثابت دیگر حرکت کردیم، زیرا گروه اصطلاحات ثابت را می توان در طول فرآیند تبدیل حذف کرد.

ب) روش جایگزینی غیرخطیبیایید به یک مثال نگاه کنیم.

مثال 1.
. Lett= -x 2. در مرحله بعد، می توان x را بر حسب t بیان کرد، سپس یک عبارت برای dx پیدا کرد و تغییری از متغیر را در انتگرال مورد نظر پیاده کرد. اما در این مورد ساده تر است که کارها را متفاوت انجام دهید. بیایید finddt=d(-x 2) = -2xdx را پیدا کنیم. توجه داشته باشید که عبارت xdx فاکتوری از انتگرال انتگرال مورد نظر است. اجازه دهید آن را از برابری به دست آمده بیان کنیمxdx= - ½dt. سپس

در مطالب قبلی، موضوع یافتن مشتق مورد توجه قرار گرفت و کاربردهای مختلف آن نشان داده شد: محاسبه شیب مماس بر یک نمودار، حل مسائل بهینه‌سازی، مطالعه توابع برای یکنواختی و مازاد. $\newcommand(\tg)(\mathop(\mathrm(tg))\nlimits)$ $\newcommand(\ctg)(\mathop(\mathrm(tg))\nolimits)$ $\newcommand(\arctg)( \mathop(\mathrm(arctg))\nlimits)$ $\newcommand(\arcctg)(\mathop(\mathrm(arcctg))\nlimits)$

تصویر 1.

مشکل یافتن سرعت لحظه ای $v(t)$ با استفاده از مشتق در طول مسیری که قبلاً شناخته شده بود، که با تابع $s(t)$ بیان شده بود، نیز در نظر گرفته شد.

شکل 2.

مشکل معکوس نیز بسیار رایج است، زمانی که شما باید مسیر $s(t)$ را که توسط یک نقطه در زمان $t$ طی شده است، با دانستن سرعت نقطه $v(t)$ پیدا کنید. اگر به خاطر بیاوریم، سرعت لحظه ای $v(t)$ به عنوان مشتق تابع مسیر $s(t)$ پیدا می شود: $v(t)=s’(t)$. یعنی برای حل مسئله معکوس، یعنی محاسبه مسیر، باید تابعی را پیدا کنید که مشتق آن برابر با تابع سرعت باشد. اما می دانیم که مشتق مسیر سرعت است، یعنی: $s’(t) = v(t)$. سرعت برابر است با زمان شتاب: $v=at$. به راحتی می توان تعیین کرد که تابع مسیر مورد نظر به شکل: $s(t) = \frac(at^2)(2)$ باشد. اما این یک راه حل کاملاً کامل نیست. راه‌حل کامل به این شکل خواهد بود: $s(t)= \frac(at^2)(2)+C$، که $C$ مقداری ثابت است. این که چرا چنین است بیشتر مورد بحث قرار خواهد گرفت. در حال حاضر، بیایید صحت راه حل پیدا شده را بررسی کنیم: $s"(t)=\left(\frac(at^2)(2)+C\right)"=2\frac(at)(2)+0 =at=v(t)$.

شایان ذکر است که یافتن مسیر بر اساس سرعت، معنای فیزیکی یک پاد مشتق است.

تابع حاصل $s(t)$ ضد مشتق تابع $v(t)$ نامیده می شود. نام بسیار جالب و غیرمعمولی است، اینطور نیست. حاوی معنای بزرگی است که ماهیت این مفهوم را توضیح می دهد و به درک آن منجر می شود. متوجه خواهید شد که شامل دو کلمه "اول" و "تصویر" است. خودشان حرف می زنند. یعنی این همان تابعی است که برای مشتقی که داریم، اولیه است. و با استفاده از این مشتق به دنبال تابعی هستیم که در ابتدا، "first"، "first image" بود، یعنی ضد مشتق. گاهی اوقات به آن تابع اولیه یا ضد مشتق نیز می گویند.

همانطور که می دانیم، فرآیند یافتن مشتق، تمایز نامیده می شود. و فرآیند یافتن پاد مشتق را ادغام می نامند. عملیات ادغام معکوس عملیات تمایز است. عکس آن نیز صادق است.

تعریف.یک ضد مشتق برای یک تابع $f(x)$ در یک بازه معین، یک تابع $F(x)$ است که مشتق آن برابر با این تابع $f(x)$ برای همه $x$ از بازه مشخص شده است: $F' (x)=f (x)$.

ممکن است کسی سوالی داشته باشد: اگر در ابتدا در مورد $s(t)$ و $v(t)$ صحبت می‌کردیم، $F(x)$ و $f(x)$ از کجا آمده‌اند. واقعیت این است که $s(t)$ و $v(t)$ موارد خاصی از تعیین تابع هستند که در این مورد معنای خاصی دارند، یعنی به ترتیب تابع زمان و تابع سرعت هستند. در مورد متغیر $t$ هم همینطور است - نشان دهنده زمان است. و $f$ و $x$ به ترتیب نوع سنتی تعیین کلی یک تابع و یک متغیر هستند. ارزش توجه ویژه به نماد ضد مشتق $F(x)$ را دارد. اول از همه، دلار F$ سرمایه است. ضد مشتقات با حروف بزرگ نشان داده شده است. در مرحله دوم، حروف یکسان هستند: $F$ و $f$. یعنی برای تابع $g(x)$ ضد مشتق با $G(x)$ و برای $z(x)$ با $Z(x)$ نشان داده می شود. صرف نظر از نمادگذاری، قوانین برای یافتن یک تابع ضد مشتق همیشه یکسان است.

بیایید به چند نمونه نگاه کنیم.

مثال 1.ثابت کنید که تابع $F(x)=\frac(1)(5)\sin5x$ پاد مشتق تابع $f(x)=\cos5x$ است.

برای اثبات این موضوع از تعریف و به طور دقیق ترواقعیت این است که $F'(x)=f(x)$، و مشتق تابع $F(x)$ را پیدا کنید: $F'(x)=(\frac(1)(5) \sin5x)'= \frac (1)(5)\cdot 5\cos5x= \cos5x$. این بدان معناست که $F(x)=\frac(1)(5) \sin5x$ ضد مشتق $f(x)=\cos5x$ است. Q.E.D.

مثال 2.پیدا کنید کدام توابع با ضد مشتقات زیر مطابقت دارند: a) $F(z)=\tg z$; ب) $G(l) = \sin l$.

برای یافتن توابع مورد نیاز، مشتقات آنها را محاسبه می کنیم:
a) $F’(z)=(\tg z)’=\frac(1)(\cos^2 z)$;
ب) $G(l) = (\sin l)’ = \cos l$.

مثال 3.ضد مشتق برای $f(x)=0$ چه خواهد بود؟
بیایید از تعریف استفاده کنیم. بیایید فکر کنیم کدام تابع می تواند مشتق برابر $0$ داشته باشد. با یادآوری جدول مشتقات، متوجه می‌شویم که هر ثابتی چنین مشتقی خواهد داشت. دریافتیم که ضد مشتق مورد نظر ما این است: $F(x)=C$.

راه حل به دست آمده را می توان به صورت هندسی و فیزیکی توضیح داد. از نظر هندسی به این معنی است که مماس بر گراف $y=F(x)$ در هر نقطه از این نمودار افقی است و بنابراین با محور $Ox$ منطبق است. از نظر فیزیکی با این واقعیت توضیح داده می شود که نقطه ای با سرعتی برابر با صفر در جای خود باقی می ماند، یعنی مسیری که طی کرده است بدون تغییر است. بر این اساس می توانیم قضیه زیر را فرموله کنیم.

قضیه. (نشانه ثبات توابع). اگر در یک بازه $F'(x) = 0$ باشد، تابع $F(x)$ در این بازه ثابت است.

مثال 4.تعیین کنید کدام توابع ضد مشتقات a) $F_1 = \frac(x^7)(7)$ هستند. ب) $F_2 = \frac(x^7)(7) – 3$; ج) $F_3 = \frac(x^7)(7) + 9$; د) $F_4 = \frac(x^7)(7) + a$، که $a$ یک عدد است.
با استفاده از تعریف ضد مشتق، نتیجه می گیریم که برای حل این مشکل باید مشتقات توابع ضد مشتق را محاسبه کنیم. هنگام محاسبه، به یاد داشته باشید که مشتق یک ثابت، یعنی هر عددی، برابر با صفر است.
الف) $F_1 =(\frac(x^7)(7))"= 7 \cdot \frac(x^6)(7) = x^6$;
ب) $F_2 =\left(\frac(x^7)(7) – 3\right)"=7 \cdot \frac(x^6)(7)= x^6$;
ج) $F_3 =(\frac(x^7)(7) + 9)'= x^6$;
د) $F_4 =(\frac(x^7)(7) + a)' = x^6$.

ما چه می بینیم؟ چندین توابع مختلف ابتدایی یک تابع هستند. این نشان می‌دهد که هر تابعی دارای بی‌نهایت پاد مشتق‌ها است، و آنها به شکل $F(x) + C$ هستند که $C$ یک ثابت دلخواه است. یعنی عملیات ادغام بر خلاف عملیات تمایز چند ارزشی است. بر این اساس، اجازه دهید قضیه ای را فرموله کنیم که ویژگی اصلی ضد مشتقات را توصیف می کند.

قضیه. (خاصیت اصلی ضد مشتقات). اجازه دهید توابع $F_1$ و $F_2$ باشند توابع ضد مشتق$f(x)$ در یک بازه زمانی. سپس برای همه مقادیر از این بازه برابری زیر صادق است: $F_2=F_1+C$ که $C$ مقداری ثابت است.

واقعیت وجود تعداد نامتناهی از ضد مشتقات را می توان به صورت هندسی تفسیر کرد. با استفاده از ترجمه موازی در امتداد محور $Oy$، می توان نمودارهای هر دو ضد مشتق را برای $f(x)$ از یکدیگر بدست آورد. این هست معنای هندسیضد مشتق

توجه به این نکته بسیار مهم است که با انتخاب ثابت $C$ می توانید اطمینان حاصل کنید که نمودار ضد مشتق از نقطه خاصی عبور می کند.

شکل 3.

مثال 5.یک پاد مشتق برای تابع $f(x)=\frac(x^2)(3)+1$ پیدا کنید که نمودار آن از نقطه $(3; 1)$ می گذرد.
بیایید ابتدا همه ضد مشتقات را برای $f(x)$ پیدا کنیم: $F(x)=\frac(x^3)(9)+x + C$.
سپس یک عدد C پیدا می کنیم که نمودار $y=\frac(x^3)(9)+x + C$ از نقطه $(3; 1)$ عبور می کند. برای انجام این کار، مختصات نقطه را در معادله نمودار جایگزین کرده و آن را با $C$ حل می کنیم:
$1= \frac(3^3)(9)+3 + C$, $C=-5$.
ما یک نمودار $y=\frac(x^3)(9)+x-5$ به دست آوردیم که با ضد مشتق $F(x)=\frac(x^3)(9)+x-5$ مطابقت دارد.

جدول آنتی مشتقات

جدولی از فرمول ها برای یافتن مشتقات ضد مشتقات را می توان با استفاده از فرمول های یافتن مشتقات گردآوری کرد.

جدول آنتی مشتقات

کارکرد	ضد مشتقات
$0$	$C$
$1$	$x+C$
$a\in R$	$ax+C$
$x^n، n\ne1$	$\displaystyle \frac(x^(n+1))(n+1)+C$
$\displaystyle \frac(1)(x)$	$\ln|x|+C$
$\sin x$	$-\cos x+C$
$\cos x$	$\sin x+C$
$\displaystyle \frac(1)(\sin^2 x)$	$-\ctg x+C$
$\displaystyle \frac(1)(\cos^2 x)$	$\tg x+C$
$e^x$	$e^x+C$
$a^x، a>0، a\ne1$	$\displaystyle \frac(a^x)(\ln a) +C$
$\displaystyle \frac(1)(\sqrt(1-x^2))$	$\arcsin x+C$
$\displaystyle -\frac(1)(\sqrt(1-x^2))$	$\arccos x+C$
$\displaystyle \frac(1)(1+x^2)$	$\arctg x+C$
$\displaystyle -\frac(1)(1+x^2)$	$\arcctg x+C$

شما می توانید صحت جدول را به روش زیر بررسی کنید: برای هر مجموعه از آنتی مشتق ها که در ستون سمت راست قرار دارند، مشتق را پیدا کنید که منجر به توابع مربوطه در ستون سمت چپ می شود.

برخی از قوانین برای یافتن ضد مشتقات

همانطور که می دانید، بسیاری از توابع بیشتر هستند ظاهر پیچیده، به جای مواردی که در جدول ضد مشتقات نشان داده شده است، و می تواند هر ترکیب دلخواه از مجموع و محصول توابع از این جدول را نشان دهد. و در اینجا این سؤال مطرح می شود: چگونه می توان ضد مشتقات چنین توابعی را محاسبه کرد. برای مثال، از جدول می‌دانیم که چگونه ضد مشتق‌های $x^3$، $\sin x$ و $10$ را محاسبه کنیم. برای مثال، چگونه می توان ضد مشتق $x^3-10\sin x$ را محاسبه کرد؟ با نگاهی به آینده، شایان ذکر است که برابر با $\frac(x^4)(4)+10\cos x$ خواهد بود.
1. اگر $F(x)$ ضد مشتق برای $f(x)$، $G(x)$ برای $g(x)$ باشد، پس برای $f(x)+g(x)$ ضد مشتق خواهد بود. برابر با $ F(x)+G(x)$.
2. اگر $F(x)$ یک پاد مشتق برای $f(x)$ و $a$ یک ثابت باشد، آنگاه برای $af(x)$ ضد مشتق $aF(x)$ است.
3. اگر برای $f(x)$ پاد مشتق $F(x)$ باشد، $a$ و $b$ ثابت هستند، آنگاه $\frac(1)(a) F(ax+b)$ ضد مشتق است. برای $f (ax+b)$.
با استفاده از قوانین به دست آمده می توانیم جدول ضد مشتقات را گسترش دهیم.

کارکرد	ضد مشتقات
$(ax+b)^n، n\ne1، a\ne0$	$\displaystyle \frac((ax+b)^n)(a(n+1)) +C$
$\displaystyle \frac(1)(ax+b)، a\ne0$	$\displaystyle \frac(1)(a)\ln|ax+b|+C$
$e^(ax+b)، a\ne0$	$\displaystyle \frac(1)(a) e^(ax+b)+C$
$\sin(ax+b)، a\ne0$	$\displaystyle -\frac(1)(a)\cos(ax+b)+C$
$\cos(ax+b)، a\ne0$	$\displaystyle \frac(1)(a)\sin(ax+b)+C$

مثال 5.آنتی مشتق ها را پیدا کنید:

الف) $\displaystyle 4x^3+10x^7$؛

ب) $\displaystyle \frac(6)(x^5) -\frac(2)(x)$;

ج) $\displaystyle 5\cos x+\sin(3x+15)$;

د) $\displaystyle \sqrt(x)-2\sqrt(x)$.

a) $4\frac (x^(3+1))(3+1)+10\frac(x^(7+1))(7+1)+C=x^4+\frac(5)( 4) x^8+C$;

ب) $-\frac(3)(2x^4) -2\ln|x|+C$;

ج) $5 \sin x - \frac(1)(3)\cos(3x + 15) + C$;

د) $\frac(2)(3)x\sqrt(x) - \frac(3)(2) x\sqrt(x) + C$.