معادلات دیفرانسیل آنلاین معادلات دیفرانسیل

یا قبلاً با توجه به مشتق حل شده اند یا می توان آنها را با توجه به مشتق حل کرد. .

حل کلی معادلات دیفرانسیل از نوع بر روی بازه ایکسرا می توان با گرفتن انتگرال هر دو طرف این برابری پیدا کرد.

ما گرفتیم .

اگر به خواص نگاه کنید انتگرال نامعین، سپس راه حل کلی مورد نظر را پیدا می کنیم:

y = F(x) + C,

جایی که F(x)- یکی از توابع ضد مشتق f(x)در بین ایکس، آ با- ثابت دلخواه

لطفا توجه داشته باشید که در اکثر مشکلات فاصله ایکسنشان نمی دهد. یعنی باید برای همه راه حلی پیدا کرد. ایکس، برای کدام و تابع مورد نظر y، و معادله اصلی معنا پیدا می کند.

اگر شما نیاز به محاسبه یک راه حل خاص برای یک معادله دیفرانسیل دارید که شرایط اولیه را برآورده می کند y (x 0) = y 0، سپس پس از محاسبه انتگرال عمومی y = F(x) + C، هنوز باید مقدار ثابت را تعیین کرد C = C 0استفاده كردن شرایط آغازین. یعنی یک ثابت C = C 0از معادله تعیین می شود F(x 0) + C = y 0و حل جزئی مورد نظر معادله دیفرانسیل به شکل زیر خواهد بود:

y = F(x) + C 0.

بیایید به یک مثال نگاه کنیم:

بیایید یک راه حل کلی برای معادله دیفرانسیل پیدا کنیم و صحت نتیجه را بررسی کنیم. اجازه دهید راه حل خاصی برای این معادله پیدا کنیم که شرایط اولیه را برآورده کند.

راه حل:

پس از ادغام معادله دیفرانسیل داده شده، به دست می آید:

.

بیایید این انتگرال را با استفاده از روش ادغام با قطعات در نظر بگیریم:

که.، یک راه حل کلی برای معادله دیفرانسیل است.

برای اطمینان از صحت نتیجه، بیایید بررسی کنیم. برای انجام این کار، راه حلی را که پیدا کردیم در معادله داده شده جایگزین می کنیم:

.

آن موقع است که معادله اصلی به یک هویت تبدیل می شود:

بنابراین حل کلی معادله دیفرانسیل به درستی تعیین شد.

راه حلی که ما پیدا کردیم یک راه حل کلی برای معادله دیفرانسیل برای هر مقدار واقعی آرگومان است ایکس.

باقی مانده است که یک راه حل خاص برای ODE محاسبه شود که شرایط اولیه را برآورده کند. به عبارت دیگر، محاسبه مقدار ثابت ضروری است با، که در آن برابری صادق خواهد بود:

.

.

سپس، جایگزینی C = 2در حل کلی ODE، یک راه حل خاص از معادله دیفرانسیل به دست می آوریم که شرط اولیه را برآورده می کند:

.

معادله دیفرانسیل معمولی با تقسیم دو طرف معادله بر مشتق قابل حل است f(x). این تبدیل معادل خواهد بود اگر f(x)تحت هیچ شرایطی به صفر نمی رسد ایکساز فاصله ادغام معادله دیفرانسیل ایکس.

به احتمال زیاد موقعیت هایی وجود دارد که برای برخی از مقادیر استدلال وجود دارد ایکس ∈ ایکسکارکرد f(x)و g(x)به طور همزمان صفر می شوند. برای مقادیر مشابه ایکسجواب کلی معادله دیفرانسیل هر تابعی است y، که در آنها تعریف شده است، زیرا .

اگر برای برخی از مقادیر آرگومان ایکس ∈ ایکسشرط برآورده است، به این معنی که در این مورد ODE هیچ راه حلی ندارد.

برای بقیه ایکساز فاصله ایکسحل کلی معادله دیفرانسیل از معادله تبدیل شده تعیین می شود.

بیایید به نمونه هایی نگاه کنیم:

مثال 1.

بیایید یک راه حل کلی برای ODE پیدا کنیم: .

راه حل.

از خصوصیات توابع ابتدایی پایه مشخص است که تابع لگاریتم طبیعیبرای مقادیر آرگومان غیر منفی تعریف شده است، بنابراین دامنه عبارت است ln(x+3)فاصله وجود دارد ایکس > -3 . این بدان معنی است که معادله دیفرانسیل داده شده برای آن معنا دارد ایکس > -3 . برای این مقادیر آرگومان، عبارت x+3ناپدید نمی شود، بنابراین می توانید ODE را برای مشتق با تقسیم 2 قسمت بر حل کنید x + 3.

ما گرفتیم .

در مرحله بعد، معادله دیفرانسیل حاصل را با توجه به مشتق حل شده ادغام می کنیم: . برای گرفتن این انتگرال از روش قرار دادن آن در زیر علامت دیفرانسیل استفاده می کنیم.

حل معادلات دیفرانسیل. با تشکر از ما سرویس آنلاینشما می توانید معادلات دیفرانسیل از هر نوع و پیچیدگی را حل کنید: ناهمگن، همگن، غیرخطی، خطی، مرتبه اول، درجه دوم، با متغیرهای قابل تفکیک یا غیر قابل تفکیک و غیره. شما یک راه حل برای معادلات دیفرانسیل به صورت تحلیلی با توصیف همراه با جزئیات. بسیاری از مردم علاقه مند هستند که چرا تصمیم گیری لازم است معادلات دیفرانسیلبرخط؟ این نوع معادله در ریاضیات و فیزیک بسیار رایج است که حل بسیاری از مسائل بدون محاسبه معادله دیفرانسیل غیرممکن خواهد بود. معادلات دیفرانسیل در اقتصاد، پزشکی، زیست شناسی، شیمی و سایر علوم نیز رایج است. راه حل چنین معادله ای است حالت آنلایناین کار شما را بسیار ساده تر می کند، به شما این فرصت را می دهد که مطالب را بهتر درک کنید و خود را آزمایش کنید. مزایای حل معادلات دیفرانسیل آنلاین یک وب سایت خدمات ریاضی مدرن به شما امکان می دهد معادلات دیفرانسیل را به صورت آنلاین با هر پیچیدگی حل کنید. همانطور که می دانید وجود دارد تعداد زیادی ازانواع معادلات دیفرانسیل و هر یک از آنها روش های حل خود را دارد. در سرویس ما می توانید به صورت آنلاین راه حل های معادلات دیفرانسیل را از هر ترتیب و نوع پیدا کنید. برای دریافت راه‌حل، پیشنهاد می‌کنیم داده‌های اولیه را پر کرده و روی دکمه «راه‌حل» کلیک کنید. خطاها در عملکرد سرویس مستثنی هستند، بنابراین می توانید 100٪ مطمئن باشید که پاسخ صحیح را دریافت کرده اید. معادلات دیفرانسیل را با سرویس ما حل کنید. معادلات دیفرانسیل را به صورت آنلاین حل کنید. به طور پیش فرض، در چنین معادله ای، تابع y تابعی از متغیر x است. اما شما همچنین می توانید تعیین متغیر خود را مشخص کنید. به عنوان مثال، اگر y(t) را در یک معادله دیفرانسیل مشخص کنید، سرویس ما به طور خودکار تعیین می کند که y تابعی از متغیر t است. ترتیب کل معادله دیفرانسیل به ترتیب حداکثر مشتق تابع موجود در معادله بستگی دارد. حل چنین معادله ای به معنای یافتن تابع مورد نظر است. خدمات ما به شما کمک می کند معادلات دیفرانسیل را به صورت آنلاین حل کنید. برای حل معادله تلاش زیادی از طرف شما لازم نیست. شما فقط باید سمت چپ و راست معادله خود را در فیلدهای مورد نیاز وارد کنید و روی دکمه "Solution" کلیک کنید. هنگام وارد کردن، مشتق یک تابع باید با آپستروف مشخص شود. در عرض چند ثانیه یک راه حل دقیق و آماده برای معادله دیفرانسیل دریافت خواهید کرد. خدمات ما کاملا رایگان است. معادلات دیفرانسیل با متغیرهای قابل تفکیک. اگر در یک معادله دیفرانسیل عبارتی در سمت چپ وجود داشته باشد که به y بستگی دارد و در سمت راست عبارتی وجود داشته باشد که به x بستگی دارد، آنگاه چنین معادله دیفرانسیل با متغیرهای قابل تفکیک فراخوانی می شود. سمت چپ ممکن است مشتقی از y باشد؛ حل معادلات دیفرانسیل از این نوع به شکل تابعی از y خواهد بود که از طریق انتگرال سمت راست معادله بیان می شود. اگر در سمت چپ دیفرانسیل تابع y وجود داشته باشد، در این حالت هر دو طرف معادله یکپارچه می شوند. هنگامی که متغیرهای یک معادله دیفرانسیل از هم جدا نیستند، برای به دست آوردن یک معادله دیفرانسیل جدا، باید از هم جدا شوند. معادله دیفرانسیل خطی. معادله دیفرانسیل که تابع و تمام مشتقات آن در درجه اول باشد خطی نامیده می شود. فرم کلیمعادلات: y’+a1(x)y=f(x). f(x) و a1(x) توابع پیوسته x هستند. حل معادلات دیفرانسیل از این نوع به ادغام دو معادله دیفرانسیل با متغیرهای جدا شده کاهش می یابد. ترتیب معادلات دیفرانسیل. یک معادله دیفرانسیل می تواند از مرتبه اول، دوم، n ام باشد. ترتیب یک معادله دیفرانسیل، ترتیب بالاترین مشتقی که در آن وجود دارد را تعیین می کند. در سرویس ما می توانید معادلات دیفرانسیل را حل کنید ابتدا آنلاین، دوم، سوم و غیره سفارش. راه حل معادله هر تابع y=f(x) خواهد بود، با جایگزینی آن در معادله، یک هویت دریافت خواهید کرد. فرآیند یافتن جواب معادله دیفرانسیل را انتگرال می گویند. مشکل کوشی اگر علاوه بر خود معادله دیفرانسیل، شرط اولیه y(x0)=y0 نیز داده شود، به این مسئله کوشی می گویند. شاخص‌های y0 و x0 به حل معادله اضافه می‌شوند و مقدار ثابت دلخواه C تعیین می‌شود و سپس راه‌حل خاصی از معادله در این مقدار C تعیین می‌شود. این راه‌حل برای مسئله کوشی است. به مسئله کوشی، مسئله شرایط مرزی نیز گفته می شود که در فیزیک و مکانیک بسیار رایج است. شما همچنین این فرصت را دارید که مشکل کوشی را تنظیم کنید، یعنی از همه راه حل های امکان پذیرمعادله، ضریبی را انتخاب کنید که شرایط اولیه داده شده را برآورده کند.

معادله دیفرانسیل معادله ای است که یک تابع و یک یا چند مشتق از آن را شامل می شود. در اکثر مسائل عملی، توابع هستند مقادیر فیزیکی، مشتقات با نرخ تغییر این کمیت ها مطابقت دارند و رابطه بین آنها را معادله تعیین می کند.

این مقاله روش‌هایی را برای حل انواع معینی از معادلات دیفرانسیل معمولی مورد بحث قرار می‌دهد که جواب‌های آن‌ها را می‌توان به شکل نوشتاری نوشت. توابع ابتدایییعنی چند جمله ای، نمایی، لگاریتمی و مثلثاتی و همچنین توابع معکوس آنها. بسیاری از این معادلات در زندگی واقعی، اگرچه اکثر معادلات دیفرانسیل دیگر را نمی توان با این روش ها حل کرد و برای آنها پاسخ به صورت توابع خاص یا سری توانی نوشته می شود یا با روش های عددی پیدا می شود.

برای درک این مقاله، باید در محاسبات دیفرانسیل و انتگرال مهارت داشته باشید و همچنین درک درستی از مشتقات جزئی داشته باشید. همچنین دانستن مبانی جبر خطی در معادلات دیفرانسیل به ویژه معادلات دیفرانسیل درجه دوم توصیه می شود، هرچند دانش حساب دیفرانسیل و انتگرال برای حل آنها کافی است.

اطلاعات اولیه

• معادلات دیفرانسیل طبقه بندی گسترده ای دارند. این مقاله در مورد معادلات دیفرانسیل معمولییعنی در مورد معادلاتی که تابعی از یک متغیر و مشتقات آن را شامل می شود. درک و حل معادلات دیفرانسیل معمولی بسیار ساده تر از آن است معادلات دیفرانسیل جزئی، که شامل توابع چندین متغیر است. این مقاله معادلات دیفرانسیل جزئی را مورد بحث قرار نمی دهد، زیرا روش های حل این معادلات معمولاً بر اساس شکل خاص آنها تعیین می شود.
  • در زیر چند نمونه از معادلات دیفرانسیل معمولی آورده شده است.
    • d y d x = k y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))y)((\mathrm (d))x))=ky)
    • d 2 x d t 2 + k x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d))t^(2)))+kx=0)
  • در زیر چند نمونه از معادلات دیفرانسیل جزئی آورده شده است.
    • ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)f)(\partial x^(2))+(\frac (\partial ^(2 )f)(\جزئی y^(2)))=0)
    • ∂ u ∂ t − α ∂ 2 u ∂ x 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial u)(\partial t))-\alpha (\frac (\partial ^(2)u)(\partial x ^(2))=0)
• سفارشیک معادله دیفرانسیل با ترتیب بالاترین مشتق موجود در این معادله تعیین می شود. اولین مورد از معادلات دیفرانسیل معمولی فوق مرتبه اول است، در حالی که دومی یک معادله مرتبه دوم است. درجهمعادله دیفرانسیل نامیده می شود بالاترین درجه، که یکی از اصطلاحات این معادله مطرح می شود.
  • به عنوان مثال، معادله زیر مرتبه سوم و درجه دوم است.
    • (d 3 y d x 3) 2 + d y d x = 0 (\displaystyle \left((\frac ((\mathrm (d))^(3)y)((\mathrm (d) )x^(3)))\ راست)^(2)+(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=0)
• معادله دیفرانسیل است معادله دیفرانسیل خطیدر صورتی که تابع و تمام مشتقات آن در درجه اول باشند. در غیر این صورت معادله است معادله دیفرانسیل غیر خطی. معادلات دیفرانسیل خطی از این نظر قابل توجه هستند که از راه حل های آنها می توان برای تشکیل ترکیبات خطی استفاده کرد که همچنین راه حل های معادله داده شده خواهند بود.
  • در زیر چند نمونه از معادلات دیفرانسیل خطی آورده شده است.
  • در زیر چند نمونه از معادلات دیفرانسیل غیرخطی آورده شده است. معادله اول به دلیل جمله سینوس غیر خطی است.
    • d 2 θ d t 2 + g l sin⁡ θ = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))^(2)\theta)((\mathrm (d))t^(2)))+( \frac (g)(l))\sin \theta =0)
    • d 2 x d t 2 + (d x d t) 2 + t x 2 = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))^(2)x)((\mathrm (d))t^(2)))+ \left((\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))\right)^(2)+tx^(2)=0)
• تصمیم مشترکمعادله دیفرانسیل معمولی منحصر به فرد نیست، شامل ثابت های یکپارچه سازی دلخواه. در بیشتر موارد، تعداد ثابت های دلخواه برابر با ترتیب معادله است. در عمل، مقادیر این ثابت ها بر اساس داده شده تعیین می شود شرایط اولیه، یعنی با توجه به مقادیر تابع و مشتقات آن در x = 0. (\displaystyle x=0.)تعداد شرایط اولیه که برای یافتن آنها ضروری است راه حل خصوصیمعادله دیفرانسیل در بیشتر موارد نیز برابر با ترتیب معادله داده شده است.
  • به عنوان مثال، این مقاله به حل معادله زیر می پردازد. این یک معادله دیفرانسیل خطی مرتبه دوم است. جواب کلی آن شامل دو ثابت دلخواه است. برای یافتن این ثابت ها لازم است که شرایط اولیه در x (0) (\displaystyle x(0))و x ′ (0) . (\displaystyle x"(0).)معمولا شرایط اولیه در نقطه مشخص می شود x = 0، (\displaystyle x=0،)، اگرچه این امر ضروری نیست. این مقاله همچنین چگونگی یافتن راه حل های خاص برای شرایط اولیه را مورد بحث قرار خواهد داد.
    • d 2 x d t 2 + k 2 x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d))t^(2)))+k^(2 )x=0)
    • x (t) = c 1 cos ⁡ k x + c 2 sin ⁡ k x (\displaystyle x(t)=c_(1)\cos kx+c_(2)\sin kx)

مراحل

قسمت 1

معادلات مرتبه اول

هنگام استفاده از این سرویس، ممکن است برخی از اطلاعات به YouTube منتقل شود.

1. معادلات خطی مرتبه اول.در این بخش روش‌های حل معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه اول در موارد عمومی و خاص که برخی از عبارت‌ها برابر با صفر هستند، مورد بحث قرار می‌گیرد. بیایید وانمود کنیم که y = y (x) , (\displaystyle y=y(x)) p (x) (\displaystyle p(x))و q (x) (\displaystyle q(x))توابع هستند ایکس. (\displaystyle x.)

   D y d x + p (x) y = q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d))x))+p(x)y=q(x ))
   

   P (x) = 0. (\displaystyle p(x)=0.)طبق یکی از قضایای اصلی تحلیل ریاضی، انتگرال مشتق تابع نیز تابع است. بنابراین، کافی است به سادگی معادله را ادغام کنیم تا جواب آن را بیابیم. باید در نظر گرفت که هنگام محاسبه انتگرال نامعین، یک ثابت دلخواه ظاهر می شود.

   • y (x) = ∫ q (x) d x (\displaystyle y(x)=\int q(x)(\mathrm (d) )x)

   Q (x) = 0. (\displaystyle q(x)=0.)ما از روش استفاده می کنیم جداسازی متغیرها. این متغیرهای مختلف را به سمت های مختلف معادله منتقل می کند. به عنوان مثال، شما می توانید همه اعضا را از y (\displaystyle y)به یک، و همه اعضا با x (\displaystyle x)به طرف دیگر معادله امکان انتقال اعضا نیز وجود دارد d x (\displaystyle (\mathrm (d))x)و d y (\displaystyle (\mathrm (d))y)، که در عبارات مشتق گنجانده شده اند، اما باید به خاطر داشت که اینها فقط هستند سمبل، که هنگام تمایز یک تابع پیچیده راحت است. بحث این اعضا که به نام دیفرانسیل ها، از حوصله این مقاله خارج است.

   • ابتدا باید متغیرها را به طرف مقابل علامت مساوی منتقل کنید.
     • 1 y d y = − p (x) d x (\displaystyle (\frac (1)(y))(\mathrm (d))y=-p(x)(\mathrm (d) )x)
   • بیایید هر دو طرف معادله را ادغام کنیم. پس از ادغام، ثابت های دلخواه در دو طرف ظاهر می شوند که می توانند به سمت راست معادله منتقل شوند.
     • ln ⁡ y = ∫ − p (x) d x (\displaystyle \ln y=\int -p(x)(\mathrm (d))x)
     • y (x) = e − ∫ p (x) d x (\displaystyle y(x)=e^(-\int p(x)(\mathrm (d) )x))
   • مثال 1.1.در مرحله آخر از قانون استفاده کردیم e a + b = e a e b (\displaystyle e^(a+b)=e^(a)e^(b))و جایگزین شد e C (\displaystyle e^(C))بر C (\displaystyle C)، زیرا این نیز یک ثابت ادغام دلخواه است.
     • d y d x − 2 y sin⁡ x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))y)((\mathrm (d))x))-2y\sin x=0)
     • 1 2 y d y = گناه ⁡ x d x 1 2 ln ⁡ y = − cos ⁡ x + C ln ⁡ y = − 2 cos ⁡ x + C y (x) = C e − 2 cos ⁡ x (\ نمایش سبک (\شروع )(\frac (1)(2y))(\mathrm (d))y&=\sin x(\mathrm (d))x\\(\frac (1)(2))\ln y&=-\cos x+C\\\ln y&=-2\cos x+C\\y(x)&=Ce^(-2\cos x)\end (تراز شده)))

   P (x) ≠ 0، q (x) ≠ 0. (\displaystyle p(x)\neq 0,\ q(x)\neq 0.)برای یافتن یک راه حل کلی معرفی کردیم عامل یکپارچهبه عنوان تابعی از x (\displaystyle x)برای کاهش سمت چپبه مشتق مشترک و بنابراین معادله را حل کنید.

   • هر دو طرف را در ضرب کنید μ (x) (\displaystyle \mu (x))
     • μ d y d x + μ p y = μ q (\displaystyle \mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d))x))+\mu py=\mu q)
   • برای تقلیل سمت چپ به مشتق کلی، تبدیل‌های زیر باید انجام شود:
     • d d x (μ y) = d μ d x y + μ d y d x = μ d y d x + μ p y (\displaystyle (\frac (\mathrm (d))((\mathrm (d))x))(\mu y)=(\ frac ((\mathrm (d))\mu )((\mathrm (d))x))y+\mu (\frac ((\mathrm (d))y)((\mathrm (d))x)) =\mu (\frac ((\mathrm (d))y)((\mathrm (d))x))+\mu py)
   • آخرین برابری یعنی همین d μ d x = μ p (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))\mu )((\mathrm (d))x))=\mu p). این یک عامل یکپارچه کننده است که برای حل هر معادله خطی مرتبه اول کافی است. حال می‌توانیم فرمول حل این معادله را با توجه به μ , (\displaystyle \mu ,)اگرچه برای آموزش انجام تمام محاسبات میانی مفید است.
     • μ (x) = e ∫ p (x) d x (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(x)(\mathrm (d) )x))
   • مثال 1.2.این مثال نشان می دهد که چگونه می توان یک راه حل خاص برای یک معادله دیفرانسیل با شرایط اولیه داده شده پیدا کرد.
     • t d y d t + 2 y = t 2 , y (2) = 3 (\displaystyle t(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+2y=t^(2) ,\quad y(2)=3)
     • d y d t + 2 t y = t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d))t))+(\frac (2)(t))y=t)
     • μ (x) = e ∫ p (t) d t = e 2 ln ⁡ t = t 2 (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(t)(\mathrm (d) )t)=e ^(2\ln t)=t^(2))
     • d d t (t 2 y) = t 3 t 2 y = 1 4 t 4 + C y (t) = 1 4 t 2 + c t 2 (\displaystyle (\begin(تراز شده)(\frac (\mathrm (d) )((\mathrm (d) )t))(t^(2)y)&=t^(3)\\t^(2)y&=(\frac (1)(4))t^(4 )+C\\y(t)&=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (C)(t^(2)))\end(تراز شده)))
     • 3 = y (2) = 1 + C 4، C = 8 (\displaystyle 3=y(2)=1+(\frac (C)(4))،\quad C=8)
     • y (t) = 1 4 t 2 + 8 t 2 (\displaystyle y(t)=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (8)(t^(2)) ))
   
   حل معادلات خطی مرتبه اول (ضبط شده توسط Intuit - National Open University).

2. معادلات مرتبه اول غیر خطی. در این بخش روش هایی برای حل برخی معادلات دیفرانسیل غیرخطی مرتبه اول بحث می شود. اگرچه روش کلی برای حل این گونه معادلات وجود ندارد، اما برخی از آنها را می توان با استفاده از روش های زیر حل کرد.

   D y d x = f (x , y) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))y)((\mathrm (d) )x))=f(x,y))
   d y d x = h (x) g (y) . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=h(x)g(y).)اگر تابع f (x , y) = h (x) g (y) (\displaystyle f(x,y)=h(x)g(y))را می توان به توابع یک متغیر تقسیم کرد، چنین معادله ای نامیده می شود معادله دیفرانسیل با متغیرهای قابل تفکیک. در این صورت می توانید از روش فوق استفاده کنید:

   • ∫ d y h (y) = ∫ g (x) d x (\displaystyle \int (\frac ((\mathrm (d))y)(h(y)))=\int g(x)(\mathrm (d) )ایکس)
   • مثال 1.3.
     • d y d x = x 3 y (1 + x 4) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (x^(3))( y(1+x^(4)))))
     • ∫ y d y = ∫ x 3 1 + x 4 d x 1 2 y 2 = 1 4 ln ⁡ (1 + x 4) + C y (x) = 1 2 ln ⁡ (1 + x 4) + C (\displaystyle (\ start(تراز شده)\int y(\mathrm (d) )y&=\int (\frac (x^(3))(1+x^(4)))(\mathrm (d) )x\\(\ frac (1)(2))y^(2)&=(\frac (1)(4))\ln(1+x^(4))+C\\y(x)&=(\frac ( 1)(2)\ln(1+x^(4))+C\end(تراز شده)))

   D y d x = g (x، y) h (x، y) . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (g(x,y))(h(x,y))).)بیایید وانمود کنیم که g (x , y) (\displaystyle g(x,y))و h (x , y) (\displaystyle h(x,y))توابع هستند x (\displaystyle x)و y (\displaystyle y.)سپس معادله دیفرانسیل همگنمعادله ای است که در آن g (\displaystyle g)و h (\displaystyle h)هستند توابع همگنبه همان درجه یعنی توابع باید شرایط را برآورده کنند g (α x، α y) = α k g (x، y)، (\displaystyle g(\alpha x,\alpha y)=\alpha ^(k)g(x,y)،)جایی که k (\displaystyle k)درجه همگنی نامیده می شود. هر معادله دیفرانسیل همگن را می توان با مناسب استفاده کرد جایگزینی متغیرها (v = y / x (\displaystyle v=y/x)یا v = x / y (\displaystyle v=x/y)) تبدیل به یک معادله قابل تفکیک.

   • مثال 1.4.شرح فوق از همگنی ممکن است نامشخص به نظر برسد. بیایید با یک مثال به این مفهوم نگاه کنیم.
     • d y d x = y 3 − x 3 y 2 x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y^(3)-x^ (3)) (y^(2)x)))
     • برای شروع، لازم به ذکر است که این معادله نسبت به غیر خطی است y (\displaystyle y.)همچنین می بینیم که در این حالت تفکیک متغیرها غیرممکن است. در عین حال، این معادله دیفرانسیل همگن است، زیرا هم صورت و هم مخرج با توان 3 همگن هستند. بنابراین، می‌توانیم متغیرها را تغییر دهیم. v = y/x. (\displaystyle v=y/x.)
     • d y d x = y x − x 2 y 2 = v − 1 v 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))y)((\mathrm (d))x))=(\frac (y)(x ))-(\frac (x^(2))(y^(2)))=v-(\frac (1)(v^(2))))
     • y = v x , d y d x = d v d x x + v (\displaystyle y=vx,\quad (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac ((\mathrm (d) )v)((\mathrm (d) )x))x+v)
     • d v d x x = − 1 v 2 . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))v)((\mathrm (d))x))x=-(\frac (1)(v^(2))).)در نتیجه، معادله را داریم v (\displaystyle v)با متغیرهای قابل تفکیک
     • v (x) = - 3 ln ⁡ x + C 3 (\displaystyle v(x)=(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))
     • y (x) = x − 3 ln ⁡ x + C 3 (\displaystyle y(x)=x(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))

   D y d x = p (x) y + q (x) y n . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))y)((\mathrm (d) )x))=p(x)y+q(x)y^(n).)این معادله دیفرانسیل برنولی - نوع خاصمعادله غیر خطی درجه یک که جواب آن را می توان با استفاده از توابع ابتدایی نوشت.

   • دو طرف معادله را در ضرب کنید (1 − n) y − n (\displaystyle (1-n)y^(-n)):
     • (1 - n) y - n d d x = p (x) (1 - n) y 1 - n + (1 - n) q (x) (\displaystyle (1-n)y^(-n)(\frac ( (\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))
   • از قانون برای افتراق یک تابع مختلط در سمت چپ استفاده می کنیم و معادله را به یک معادله خطی تبدیل می کنیم. y 1 − n، (\displaystyle y^(1-n)،)که با استفاده از روش های فوق قابل حل است.
     • d y 1 - n d x = p (x) (1 - n) y 1 - n + (1 - n) q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))y^(1-n)) ((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))

   M (x، y) + N (x، y) d y d x = 0. (\displaystyle M(x,y)+N(x,y)(\frac ((\mathrm (d))y)((\mathrm (د) )x))=0.)این معادله در مجموع دیفرانسیل. لازم است به اصطلاح پیدا شود تابع بالقوه φ (x , y) , (\displaystyle \varphi (x,y))، که شرایط را برآورده می کند d φ d x = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))\varphi)((\mathrm (d))x))=0.)

   • برای اعدام این شرایطباید داشته باشد مشتق کل. مشتق کل وابستگی به متغیرهای دیگر را در نظر می گیرد. برای محاسبه مشتق کل φ (\displaystyle \varphi)توسط x , (\displaystyle x,)ما فرض می کنیم که y (\displaystyle y)همچنین ممکن است بستگی داشته باشد ایکس. (\displaystyle x.)
     • d φ d x = ∂ φ ∂ x + ∂ φ ∂ y d y d x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))\varphi)((\mathrm (d))x))=(\frac (\جزئی \varphi )(\ x جزئی))+(\frac (\جزئی \varphi )(\جزئی y))(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)))
   • مقایسه شرایط به ما می دهد M (x , y) = ∂ φ ∂ x (\displaystyle M(x,y)=(\frac (\جزئی \varphi)(\x جزئی)))و N (x, y) = ∂ φ ∂ y. (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\جزئی y)).)این یک نتیجه معمولی برای معادلات در چندین متغیر است که در آن مشتقات مخلوط توابع صاف با یکدیگر برابر هستند. گاهی اوقات این مورد نامیده می شود قضیه Clairaut. در این حالت، معادله دیفرانسیل یک معادله دیفرانسیل کل است که شرط زیر برآورده شود:
     • ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x (\displaystyle (\frac (\جزئی M)(\جزئی y))=(\frac (\جزئی N)(\x جزئی)))
   • روش حل معادلات در دیفرانسیل کل شبیه یافتن توابع پتانسیل در حضور چندین مشتق است که به اختصار به آن می پردازیم. ابتدا بیایید ادغام کنیم M (\displaystyle M)توسط ایکس. (\displaystyle x.)از آنجا که M (\displaystyle M)یک تابع است و x (\displaystyle x)، و y , (\displaystyle y,)پس از ادغام، یک تابع ناقص دریافت می کنیم φ , (\displaystyle \varphi ,)تعیین شده به عنوان φ ~ (\displaystyle (\tilde (\varphi))). نتیجه نیز بستگی دارد y (\displaystyle y)ثابت ادغام
     • φ (x، y) = ∫ M (x، y) d x = φ ~ (x، y) + c (y) (\displaystyle \varphi (x,y)=\int M(x,y)(\mathrm (د) )x=(\tilde (\varphi ))(x,y)+c(y))
   • پس از این، برای به دست آوردن c (y) (\displaystyle c(y))می توانیم مشتق جزئی تابع حاصل را با توجه به y , (\displaystyle y,)نتیجه را برابر کنید N (x , y) (\displaystyle N(x,y))و ادغام کنید. همچنین می توانید ابتدا ادغام کنید N (\displaystyle N)، و سپس مشتق جزئی را نسبت به x (\displaystyle x)، که به شما امکان می دهد یک تابع دلخواه را پیدا کنید d (x). (\displaystyle d(x).)هر دو روش مناسب هستند و معمولاً تابع ساده‌تر برای ادغام انتخاب می‌شود.
     • N (x, y) = ∂ φ ∂ y = ∂ φ ~ ∂ y + d c d y (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi)(\جزئی y))=(\frac (\ جزئی (\tilde (\varphi )))(\جزئی y))+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y)))
   • مثال 1.5.می توانید مشتقات جزئی بگیرید و ببینید که معادله زیر یک معادله دیفرانسیل کل است.
     • 3 x 2 + y 2 + 2 x y d y d x = 0 (\displaystyle 3x^(2)+y^(2)+2xy(\frac ((\mathrm (d))y)((\mathrm (d))x) )=0)
     • φ = ∫ (3 x 2 + y 2) d x = x 3 + x y 2 + c (y) ∂ φ ∂ y = N (x، y) = 2 x y + d c d y (\displaystyle (\begin(تراز شده)\varphi &=\int (3x^(2)+y^(2))(\mathrm (d) )x=x^(3)+xy^(2)+c(y)\\(\frac (\جزئی \varphi )(\ y جزئی))&=N(x,y)=2xy+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))\end(تراز شده)))
     • d c d y = 0 , c (y) = C (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))c)((\mathrm (d))y))=0,\quad c(y)=C)
     • x 3 + x y 2 = C (\displaystyle x^(3)+xy^(2)=C)
   • اگر معادله دیفرانسیل یک معادله دیفرانسیل کل نیست، در برخی موارد می توانید یک عامل یکپارچه پیدا کنید که به شما امکان می دهد آن را به یک معادله دیفرانسیل کل تبدیل کنید. با این حال، چنین معادلات به ندرت در عمل استفاده می شود، و اگر چه عامل یکپارچه سازی وجود دارد، اتفاقاً آن را پیدا می کند آسان نیستبنابراین این معادلات در این مقاله در نظر گرفته نشده است.

قسمت 2

معادلات مرتبه دوم

1. معادلات دیفرانسیل خطی همگن با ضرایب ثابت.این معادلات در عمل بسیار مورد استفاده قرار می گیرند، بنابراین حل آنها از اهمیت اولیه برخوردار است. در این مورد، ما در مورد توابع همگن صحبت نمی کنیم، بلکه در مورد این واقعیت است که در سمت راست معادله 0 وجود دارد. بخش بعدی نحوه حل معادله مربوطه را نشان می دهد. ناهمگونمعادلات دیفرانسیل. در زیر a (\displaystyle a)و b (\displaystyle b)ثابت هستند.

   D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))^(2)y)((\mathrm (d))x^(2)))+a(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
   

   معادله مشخصه. این معادله دیفرانسیل از این جهت قابل توجه است که اگر دقت کنید جواب های آن چه ویژگی هایی باید داشته باشند، می توان آن را به راحتی حل کرد. از معادله مشخص است که y (\displaystyle y)و مشتقات آن با یکدیگر متناسب هستند. از مثال های قبلی که در بخش معادلات مرتبه اول بحث شد، می دانیم که فقط یک تابع نمایی این ویژگی را دارد. بنابراین، می توان مطرح کرد ansatz(یک حدس علمی) در مورد اینکه جواب معادله داده شده چیست.

   • جواب به شکل تابع نمایی خواهد بود e r x، (\displaystyle e^(rx)،)جایی که r (\displaystyle r)ثابتی است که مقدار آن باید پیدا شود. این تابع را جایگزین معادله کرده و عبارت زیر را بدست آورید
     • e r x (r 2 + a r + b) = 0 (\displaystyle e^(rx)(r^(2)+ar+b)=0)
   • این معادله نشان می دهد که حاصل ضرب یک تابع نمایی و یک چند جمله ای باید برابر با صفر باشد. مشخص است که توان برای هیچ یک از مقادیر درجه نمی تواند برابر با صفر باشد. از این نتیجه می گیریم که چند جمله ای برابر با صفر است. بنابراین، ما مسئله حل یک معادله دیفرانسیل را به مسئله بسیار ساده‌تر حل یک معادله جبری، که معادله مشخصه برای یک معادله دیفرانسیل معین نامیده می‌شود، کاهش داده‌ایم.
     • r 2 + a r + b = 0 (\displaystyle r^(2)+ar+b=0)
     • r ± = − a ± a 2 − 4 b 2 (\displaystyle r_(\pm )=(\frac (-a\pm (\sqrt (a^(2)-4b)))(2)))
   • ما دو ریشه داشتیم. از آنجایی که این معادله دیفرانسیل خطی است، جواب کلی آن ترکیبی خطی از جواب های جزئی است. از آنجایی که این یک معادله مرتبه دوم است، می دانیم که چنین است واقعاراه حل کلی، و هیچ راه حل دیگری وجود ندارد. توجیه دقیق تر برای این موضوع در قضایای وجود و منحصر به فرد بودن یک راه حل است که در کتاب های درسی یافت می شود.
   • یک راه مفید برای بررسی اینکه آیا دو راه حل به صورت خطی مستقل هستند، محاسبه است ورنسکیانا. ورونسکیان W (\displaystyle W)تعیین کننده ماتریسی است که ستون های آن حاوی توابع و مشتقات متوالی آنها هستند. قضیه جبر خطی بیان می کند که توابع موجود در رونسکی به صورت خطی وابسته هستند اگر ورونسکی برابر با صفر باشد. در این بخش می توانیم بررسی کنیم که آیا دو راه حل به صورت خطی مستقل هستند - برای انجام این کار باید مطمئن شویم که Wronskian صفر نیست. Wronskian هنگام حل معادلات دیفرانسیل ناهمگن با ضرایب ثابت با روش پارامترهای متغیر مهم است.
     • W = | y 1 y 2 y 1 "y 2" | (\displaystyle W=(\begin(vmatrix)y_(1)&y_(2)\\y_(1)"&y_(2)"\end(vmatrix)))
   • از نظر جبر خطی، مجموعه تمام راه حل های یک معادله دیفرانسیل معین، فضای برداری را تشکیل می دهد که ابعاد آن برابر با ترتیب معادله دیفرانسیل است. در این فضا می توان پایه ای را انتخاب کرد مستقل خطیتصمیم گیری از یکدیگر این امر به دلیل این واقعیت امکان پذیر است که عملکرد y (x) (\displaystyle y(x))معتبر عملگر خطی. مشتق استعملگر خطی، زیرا فضای توابع قابل تمایز را به فضای همه توابع تبدیل می کند. در مواردی که برای هر عملگر خطی، معادلات همگن نامیده می شوند L (\displaystyle L)ما باید یک راه حل برای معادله پیدا کنیم L [ y ] = 0. (\displaystyle L[y]=0.)

   اجازه دهید اکنون به بررسی چندین مورد بپردازیم نمونه های خاص. چند ریشه معادله مشخصه را کمی بعد در بخش کاهش ترتیب بررسی خواهیم کرد.

   اگر ریشه ها r ± (\displaystyle r_(\pm ))اعداد واقعی متفاوت هستند، معادله دیفرانسیل جواب زیر را دارد

   • y (x) = c 1 e r + x + c 2 e r − x (\displaystyle y(x)=c_(1)e^(r_(+)x)+c_(2)e^(r_(-)x ))

   دو ریشه پیچیدهاز قضیه اساسی جبر چنین برمی‌آید که راه‌حل‌های معادلات چند جمله‌ای با ضرایب حقیقی ریشه‌هایی دارند که واقعی هستند یا جفت‌های مزدوج را تشکیل می‌دهند. بنابراین، اگر عدد مختلط r = α + i β (\displaystyle r=\alpha +i\beta)پس ریشه معادله مشخصه است r ∗ = α − i β (\displaystyle r^(*)=\alpha -i\beta)نیز ریشه این معادله است. بنابراین، می توانیم راه حل را به شکل بنویسیم c 1 e (α + i β) x + c 2 e (α - i β) x , (\displaystyle c_(1)e^((\alpha +i\beta)x)+c_(2)e^( (\alpha -i\beta)x)اما عددی پیچیده است و برای حل مسائل عملی مطلوب نیست.

   • در عوض می توانید استفاده کنید فرمول اویلر e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x (\displaystyle e^(ix)=\cos x+i\sin x)، که به ما امکان می دهد راه حل را در فرم بنویسیم توابع مثلثاتی:
     • e α x (c 1 cos ⁡ β x + i c 1 sin ⁡ β x + c 2 cos ⁡ β x − i c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle e^(\alpha x)(c_(1)\cos \ بتا x+ic_(1)\sin \بتا x+c_(2)\cos \بتا x-ic_(2)\sin \بتا x))
   • حالا شما می توانید به جای یک ثابت c 1 + c 2 (\displaystyle c_(1)+c_(2))بنویس c 1 (\displaystyle c_(1))، و بیان i (c 1 − c 2) (\displaystyle i(c_(1)-c_(2)))جایگزین توسط ج 2 . (\displaystyle c_(2).)پس از این، راه حل زیر را دریافت می کنیم:
     • y (x) = e α x (c 1 cos ⁡ β x + c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle y(x)=e^(\alpha x)(c_(1)\cos \بتا x+c_ (2)\sin\beta x))
   • راه دیگری برای نوشتن راه حل از نظر دامنه و فاز وجود دارد که برای مسائل فیزیک مناسب تر است.
   • مثال 2.1.اجازه دهید یک راه حل برای معادله دیفرانسیل ارائه شده در زیر با شرایط اولیه داده شده پیدا کنیم. برای انجام این کار، باید محلول حاصل را مصرف کنید، و همچنین مشتق آن، و آنها را در شرایط اولیه جایگزین کنید، که به ما امکان می دهد ثابت های دلخواه را تعیین کنیم.
     • d 2 x d t 2 + 3 d x d t + 10 x = 0 , x (0) = 1 , x ′ (0) = − 1 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))^(2)x)(( \mathrm (d))t^(2)))+3(\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))+10x=0،\quad x(0) =1،\x"(0)=-1)
     • r 2 + 3 r + 10 = 0 , r ± = − 3 ± 9 − 40 2 = − 3 2 ± 31 2 i (\displaystyle r^(2)+3r+10=0,\quad r_(\pm ) =(\frac (-3\pm (\sqrt (9-40)))(2))=-(\frac (3)(2))\pm (\frac (\sqrt (31))(2) )من)
     • x (t) = e - 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(c_(1 )\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\راست))
     • x (0) = 1 = c 1 (\displaystyle x(0)=1=c_(1))
     • x ′ (t) = − 3 2 e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) + e − 3 t / 2 (− 31 2 c 1 sin ⁡ 31 2 t + 31 2 c 2 cos ⁡ 31 2 t) (\displaystyle (\begin(تراز شده)x"(t)&=-(\frac (3)(2))e^(-3t/2)\left(c_ (1)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\راست)\\&+e ^(-3t/2)\left(-(\frac (\sqrt (31))(2))c_(1)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac ( \sqrt (31))(2))c_(2)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t\راست)\پایان (تراز شده)))
     • x ′ (0) = − 1 = − 3 2 c 1 + 31 2 c 2 , c 2 = 1 31 (\displaystyle x"(0)=-1=-(\frac (3)(2))c_( 1)+(\frac (\sqrt (31))(2))c_(2),\quad c_(2)=(\frac (1)(\sqrt (31))))
     • x (t) = e - 3 t / 2 (cos ⁡ 31 2 t + 1 31 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac (1)(\sqrt (31)))\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\راست))
   
   حل معادلات دیفرانسیل مرتبه n با ضرایب ثابت (ثبت شده توسط Intuit - National Open University).

2. کاهش نظم.کاهش سفارش روشی برای حل معادلات دیفرانسیل زمانی است که یک راه حل مستقل خطی شناخته شده باشد. این روش شامل کاهش یک مرتبه معادله است که به شما امکان می دهد معادله را با استفاده از روش های توضیح داده شده در بخش قبل حل کنید. بگذارید راه حل مشخص شود. ایده اصلی کاهش سفارش یافتن راه حلی به شکل زیر است، جایی که لازم است تابع را تعریف کنید v (x) (\displaystyle v(x))، جایگزین آن به معادله دیفرانسیل و پیدا کردن v(x). (\displaystyle v(x).)بیایید ببینیم چگونه می توان از کاهش سفارش برای حل یک معادله دیفرانسیل با ضرایب ثابت و ریشه های متعدد استفاده کرد.

   
   

   ریشه های متعددمعادله دیفرانسیل همگن با ضرایب ثابت. به یاد بیاورید که یک معادله مرتبه دوم باید دو راه حل مستقل خطی داشته باشد. اگر معادله مشخصه چندین ریشه داشته باشد، مجموعه راه حل ها نهیک فضا را تشکیل می دهد زیرا این راه حل ها به صورت خطی وابسته هستند. در این مورد، لازم است از کاهش سفارش برای یافتن راه حل مستقل خطی دوم استفاده شود.

   • اجازه دهید معادله مشخصه چندین ریشه داشته باشد r (\displaystyle r). فرض کنید راه حل دوم را می توان به شکل نوشتاری کرد y (x) = e r x v (x) (\displaystyle y(x)=e^(rx)v(x))و آن را در معادله دیفرانسیل جایگزین کنید. در این مورد، اکثر اصطلاحات، به استثنای عبارت با مشتق دوم تابع v، (\displaystyle v،)کاهش خواهد یافت.
     • v ″ (x) e r x = 0 (\displaystyle v""(x)e^(rx)=0)
   • مثال 2.2.اجازه دهید معادله زیر که دارای چندین ریشه است ارائه شود r = - 4. (\displaystyle r=-4.)در طول تعویض، بیشتر شرایط کاهش می یابد.
     • d 2 y d x 2 + 8 d y d x + 16 y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))^(2)y)((\mathrm (d))x^(2)))+8( \frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+16y=0)
     • y = v (x) e − 4 x y ′ = v ′ (x) e − 4 x − 4 v (x) e − 4 x y ″ = v ″ (x) e − 4 x − 8 v ″ (x) e − 4 x + 16 v (x) e − 4 x (\displaystyle (\شروع(تراز شده)y&=v(x)e^(-4x)\\y"&=v"(x)e^(-4x )-4v(x)e^(-4x)\\y""&=v""(x)e^(-4x)-8v"(x)e^(-4x)+16v(x)e^ (-4x)\پایان(تراز شده)))
     • v ″ e − 4 x − 8 v ″ e − 4 x + 16 v e − 4 x + 8 v ″ e − 4 x − 32 v e − 4 x + 16 v e − 4 x = 0 (\displaystyle (\شروع(تراز )v""e^(-4x)&-(\cancel (8v"e^(-4x)))+(\cancel (16ve^(-4x)))\\&+(\cancel (8v"e ^(-4x)))-(\cancel (32ve^(-4x)))+(\cancel (16ve^(-4x)))=0\پایان(تراز شده)))
   • مشابه ansatz ما برای یک معادله دیفرانسیل با ضرایب ثابت، در این مورد فقط مشتق دوم می تواند برابر با صفر باشد. دوبار ادغام می کنیم و عبارت مورد نظر را برای به دست می آوریم v (\displaystyle v):
     • v (x) = c 1 + c 2 x (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)x)
   • سپس جواب کلی یک معادله دیفرانسیل با ضرایب ثابت را در حالتی که معادله مشخصه دارای ریشه های متعدد است را می توان به شکل زیر نوشت. برای راحتی، می توانید به یاد داشته باشید که برای به دست آوردن استقلال خطی کافی است به سادگی عبارت دوم را در ضرب کنید x (\displaystyle x). این مجموعه از راه حل ها به صورت خطی مستقل هستند و بنابراین ما تمام راه حل های این معادله را پیدا کرده ایم.
     • y (x) = (c 1 + c 2 x) e r x (\displaystyle y(x)=(c_(1)+c_(2)x)e^(rx))

   D 2 y d x 2 + p (x) d y d x + q (x) y = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))^(2)y)((\mathrm (d))x^( 2)))+p(x)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d))x))+q(x)y=0.)کاهش سفارش در صورت شناخته شدن راه حل قابل اعمال است y 1 (x) (\displaystyle y_(1)(x))، که می توان آن را در بیان مشکل پیدا کرد یا ارائه کرد.

   • ما به دنبال راه حل در فرم هستیم y (x) = v (x) y 1 (x) (\displaystyle y(x)=v(x)y_(1)(x))و آن را با این معادله جایگزین کنید:
     • v ″ y 1 + 2 v ′ y 1 ′ + p (x) v′ y 1 + v (y 1 ″ + p (x) y 1 ′ + q (x)) = 0 (\displaystyle v""y_( 1)+2v"y_(1)"+p(x)v"y_(1)+v(y_(1)""+p(x)y_(1)"+q(x))=0)
   • از آنجا که y 1 (\displaystyle y_(1))یک راه حل برای یک معادله دیفرانسیل است، همه عبارت ها با v (\displaystyle v)در حال کاهش هستند. در پایان باقی می ماند معادله خطی مرتبه اول. برای اینکه این موضوع را واضح تر ببینید، اجازه دهید تغییری در متغیرها ایجاد کنیم w (x) = v ′ (x) (\displaystyle w(x)=v"(x)):
     • y 1 w ′ + (2 y 1 ′ + p (x) y 1) w = 0 (\displaystyle y_(1)w"+(2y_(1)"+p(x)y_(1))w=0 )
     • w (x) = exp⁡( فرک (2y_(1)"(x))(y_(1)(x)))+p(x)\right)(\mathrm (d) )x\راست))
     • v (x) = ∫ w (x) d x (\displaystyle v(x)=\int w(x)(\mathrm (d) )x)
   • اگر بتوان انتگرال ها را محاسبه کرد، جواب کلی را به صورت ترکیبی از توابع ابتدایی به دست می آوریم. در غیر این صورت، راه حل را می توان به شکل یکپارچه باقی گذاشت.

3. معادله کوشی اویلر.معادله کوشی اویلر نمونه ای از معادله دیفرانسیل مرتبه دوم با متغیرهاضرایب که راه حل های دقیقی دارد. این معادله در عمل به عنوان مثال برای حل معادله لاپلاس در مختصات کروی استفاده می شود.

   X 2 d 2 y d x 2 + a x d y d x + b y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d))^(2)y)((\mathrm (d))x^(2) ))+ax(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
   

   معادله مشخصه.همانطور که می بینید، در این معادله دیفرانسیل، هر جمله دارای یک ضریب توان است که درجه آن برابر است با ترتیب مشتق مربوطه.

   • بنابراین، می توانید سعی کنید به دنبال راه حل در فرم باشید y (x) = x n، (\displaystyle y(x)=x^(n)،)جایی که لازم است تعیین شود n (\displaystyle n)همانطور که برای معادله دیفرانسیل خطی با ضرایب ثابت به دنبال راه حلی به شکل تابع نمایی بودیم. پس از تمایز و جایگزینی بدست می آوریم
     • x n (n 2 + (a - 1) n + b) = 0 (\displaystyle x^(n)(n^(2)+(a-1)n+b)=0)
   • برای استفاده از معادله مشخصه، باید فرض کنیم که x ≠ 0 (\displaystyle x\neq 0). نقطه x = 0 (\displaystyle x=0)تماس گرفت نقطه مفرد منظممعادله دیفرانسیل. چنین نکاتی هنگام حل معادلات دیفرانسیل با استفاده از سری توان مهم هستند. این معادله دارای دو ریشه است که می توانند متفاوت و واقعی، مزدوج چندگانه یا مختلط باشند.
     • n ± = 1 − a ± (a − 1) 2 − 4 b 2 (\displaystyle n_(\pm )=(\frac (1-a\pm (\sqrt ((a-1)^(2)-4b )))(2)))

   دو ریشه واقعی متفاوتاگر ریشه ها n ± (\displaystyle n_(\pm ))واقعی و متفاوت هستند، سپس جواب معادله دیفرانسیل به شکل زیر است:

   • y (x) = c 1 x n + + c 2 x n - (\displaystyle y(x)=c_(1)x^(n_(+))+c_(2)x^(n_(-)))

   دو ریشه پیچیدهاگر معادله مشخصه ریشه داشته باشد n ± = α ± β i (\displaystyle n_(\pm )=\alpha \pm \بتا i)، راه حل یک تابع پیچیده است.

   • برای تبدیل جواب به یک تابع واقعی، متغیرها را تغییر می دهیم x = e t، (\displaystyle x=e^(t)،)به این معنا که t = ln ⁡ x، (\displaystyle t=\ln x،)و از فرمول اویلر استفاده کنید. اقدامات مشابهی قبلاً هنگام تعیین ثابت دلخواه انجام شد.
     • y (t) = e α t (c 1 e β i t + c 2 e - β i t) (\displaystyle y(t)=e^(\alpha t)(c_(1)e^(\beta it)+ c_(2)e^(-\beta it)))
   • سپس راه حل کلی را می توان به صورت زیر نوشت
     • y (x) = x α (c 1 cos⁡ (β ln ⁡ x) + c 2 sin⁡ (β ln ⁡ x)) (\displaystyle y(x)=x^(\alpha)(c_(1)\ cos(\beta \ln x)+c_(2)\sin(\beta \ln x)))

   ریشه های متعدد.برای به دست آوردن یک راه حل مستقل خطی دوم، لازم است دوباره سفارش را کاهش دهیم.

   • محاسبات بسیار زیادی لازم است، اما اصل یکسان است: ما جایگزین می کنیم y = v (x) y 1 (\displaystyle y=v(x)y_(1))به معادله ای که اولین جواب آن است y 1 (\displaystyle y_(1)). پس از کاهش، معادله زیر به دست می آید:
     • v ″ + 1 x v ′ = 0 (\displaystyle v""+(\frac (1)(x))v"=0)
   • این یک معادله خطی مرتبه اول با توجه به v " (x) . (\displaystyle v"(x).)راه حل او این است v (x) = c 1 + c 2 ln ⁡ x . (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)\ln x.)بنابراین، راه حل را می توان به شکل زیر نوشت. به خاطر سپردن این بسیار آسان است - برای به دست آوردن دومین راه حل مستقل خطی به سادگی نیاز به یک عبارت اضافی است ln ⁡ x (\displaystyle \ln x).
     • y (x) = x n (c 1 + c 2 ln ⁡ x) (\displaystyle y(x)=x^(n)(c_(1)+c_(2)\ln x))

4. معادلات دیفرانسیل خطی ناهمگن با ضرایب ثابت.معادلات ناهمگن شکل دارند L [ y (x) ] = f (x) , (\displaystyle L=f(x))جایی که f (x) (\displaystyle f(x))- باصطلاح عضو رایگان. بر اساس نظریه معادلات دیفرانسیل، جواب کلی این معادله برهم نهی است راه حل خصوصی y p (x) (\displaystyle y_(p)(x))و راه حل اضافی y c (x) . (\displaystyle y_(c)(x).)با این حال، در این مورد، یک راه حل خاص به معنای راه حلی نیست که توسط شرایط اولیه ارائه می شود، بلکه راه حلی است که با وجود ناهمگنی (یک اصطلاح آزاد) تعیین می شود. راه حل اضافی راه حلی برای معادله همگن مربوطه است که در آن f (x) = 0. (\displaystyle f(x)=0.)راه حل کلی برهم نهی این دو راه حل است، زیرا L [ y p + y c ] = L [ y p ] + L [ y c ] = f (x) (\displaystyle L=L+L=f(x))، و از L [ y c ] = 0، (\displaystyle L=0،)چنین برهم نهی در واقع یک راه حل کلی است.

   D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = f (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))^(2)y)((\mathrm (d))x^(2))+a (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=f(x))
   

   روش ضرایب نامشخص.روش ضرایب نامعین در مواردی استفاده می شود که عبارت ساختگی ترکیبی از نمایی، مثلثاتی، هذلولی یا توابع قدرت. فقط این توابع تضمین می شوند که تعداد محدودی مشتقات مستقل خطی داشته باشند. در این بخش ما یک راه حل خاص برای معادله پیدا خواهیم کرد.

   • بیایید اصطلاحات را با هم مقایسه کنیم f (x) (\displaystyle f(x))با اصطلاحات در بدون توجه به عوامل ثابت. سه مورد احتمالی وجود دارد.
     • هیچ دو عضوی شبیه هم نیستند.در این مورد، یک راه حل خاص y p (\displaystyle y_(p))ترکیبی خطی از عبارت از خواهد بود y p (\displaystyle y_(p))
     • f (x) (\displaystyle f(x)) شامل عضو است x n (\displaystyle x^(n)) و عضو از y c، (\displaystyle y_(c)،) جایی که n (\displaystyle n) صفر یا یک عدد صحیح مثبت است و این عبارت مربوط به یک ریشه جداگانه از معادله مشخصه است.در این مورد y p (\displaystyle y_(p))از ترکیبی از تابع تشکیل خواهد شد x n + 1 ساعت (x) , (\displaystyle x^(n+1)h(x))مشتقات مستقل خطی آن و همچنین اصطلاحات دیگر f (x) (\displaystyle f(x))و مشتقات مستقل خطی آنها.
     • f (x) (\displaystyle f(x)) شامل عضو است h (x) ، (\displaystyle h(x)) که یک اثر است x n (\displaystyle x^(n)) و عضو از y c، (\displaystyle y_(c)،) جایی که n (\displaystyle n) برابر 0 یا یک عدد صحیح مثبت است و این عبارت مربوط به چندگانهریشه معادله مشخصهدر این مورد y p (\displaystyle y_(p))ترکیبی خطی از تابع است x n + s h (x) (\displaystyle x^(n+s)h(x))(جایی که s (\displaystyle s)- تعدد ریشه) و مشتقات مستقل خطی آن و همچنین سایر اعضای تابع f (x) (\displaystyle f(x))و مشتقات مستقل خطی آن.
   • بیایید آن را بنویسیم y p (\displaystyle y_(p))به عنوان یک ترکیب خطی از اصطلاحات ذکر شده در بالا. با توجه به این ضرایب در یک ترکیب خطی، این روش را "روش ضرایب نامعین" می نامند. زمانی که در y c (\displaystyle y_(c))اعضا می توانند به دلیل وجود ثابت های دلخواه در آن حذف شوند y c . (\displaystyle y_(c).)پس از این جایگزین می کنیم y p (\displaystyle y_(p))وارد معادله شده و اصطلاحات مشابه را معادل سازی کنید.
   • ضرایب را تعیین می کنیم. در این مرحله سیستمی از معادلات جبری به دست می آید که معمولاً بدون مشکل قابل حل است. راه حل این سیستم به ما اجازه می دهد تا به دست آوریم y p (\displaystyle y_(p))و به این ترتیب معادله را حل کنید.
   • مثال 2.3.اجازه دهید یک معادله دیفرانسیل ناهمگن را در نظر بگیریم که عبارت آزاد آن شامل تعداد محدودی مشتق خطی مستقل است. یک راه حل خاص برای چنین معادله ای را می توان با روش ضرایب نامشخص یافت.
     • d 2 y d t 2 + 6 y = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))^(2)y)((\mathrm (d))t^(2) ))+6y=2e^(3t)-\cos 5t)
     • y c (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t (\displaystyle y_(c)(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6))t+c_(2)\sin (\sqrt (6))t)
     • y p (t) = A e 3 t + B cos ⁡ 5 t + C sin ⁡ 5 t (\displaystyle y_(p)(t)=Ae^(3t)+B\cos 5t+C\sin 5t)
     • 9 A e 3 t − 25 B cos ⁡ 5 t − 25 C sin⁡ 5 t + 6 A e 3 t + 6 B cos ⁡ 5 t + 6 C sin ⁡ 5 t = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t ( \displaystyle (\begin(aligned)9Ae^(3t)-25B\cos 5t&-25C\sin 5t+6Ae^(3t)\\&+6B\cos 5t+6C\sin 5t=2e^(3t)-\ cos 5t\end(تراز شده)))
     • ( 9 A + 6 A = 2 , A = 2 15 − 25 B + 6 B = − 1 , B = 1 19 − 25 C + 6 C = 0 , C = 0 (\displaystyle (\ Begin(cases)9A+ 6A =2،&A=(\dfrac (2)(15))\\-25B+6B=-1،&B=(\dfrac (1)(19))\\-25C+6C=0،&C=0 \ پایان (موارد)))
     • y (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t + 2 15 e 3 t + 1 19 cos ⁡ 5 t (\displaystyle y(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6 ))t+c_(2)\sin (\sqrt (6))t+(\frac (2)(15))e^(3t)+(\frac (1)(19))\cos 5t)

   روش لاگرانژروش لاگرانژ، یا روش تغییر ثوابت دلخواه، بیشتر است روش کلیحل معادلات دیفرانسیل ناهمگن، به ویژه در مواردی که عبارت آزاد شامل تعداد محدودی مشتق مستقل خطی نیست. مثلا با شرایط رایگان tan ⁡ x (\displaystyle \tan x)یا x − n (\displaystyle x^(-n))برای یافتن راه حلی خاص باید از روش لاگرانژ استفاده کرد. روش لاگرانژ حتی می تواند برای حل معادلات دیفرانسیل با ضرایب متغیر مورد استفاده قرار گیرد، اگرچه در این مورد، به استثنای معادله کوشی اویلر، کمتر مورد استفاده قرار می گیرد، زیرا جواب اضافی معمولاً بر حسب توابع ابتدایی بیان نمی شود.

   • فرض کنید راه حل به شکل زیر باشد. مشتق آن در خط دوم آورده شده است.
     • y (x) = v 1 (x) y 1 (x) + v 2 (x) y 2 (x) (\displaystyle y(x)=v_(1)(x)y_(1)(x)+v_ (2)(x)y_(2)(x))
     • y ′ = v 1 ′ y 1 + v 1 y 1 ′ + v 2′ y 2 + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)"y_(1)+v_(1)y_(1) "+v_(2)"y_(2)+v_(2)y_(2)")
   • از آنجایی که راه حل پیشنهادی شامل دومقادیر ناشناخته، لازم است تحمیل شود اضافیوضعیت. اجازه دهید این شرط اضافی را به شکل زیر انتخاب کنیم:
     • v 1 'y 1 + v 2' y 2 = 0 (\displaystyle v_(1)"y_(1)+v_(2)"y_(2)=0)
     • y ′ = v 1 y 1 ′ + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)y_(1)"+v_(2)y_(2)")
     • y ″ = v 1 ' y 1 ′ + v 1 y 1 ″ + v 2 y 2 ′ + v 2 y 2 ″ (\displaystyle y""=v_(1)"y_(1)"+v_(1) y_(1)""+v_(2)"y_(2)"+v_(2)y_(2)"")
   • حالا می توانیم معادله دوم را بدست آوریم. پس از تعویض و توزیع مجدد اعضا، می توانید اعضا را با هم گروه بندی کنید نسخه 1 (\displaystyle v_(1))و اعضا با نسخه 2 (\displaystyle v_(2)). این شرایط کاهش می یابد زیرا y 1 (\displaystyle y_(1))و y 2 (\displaystyle y_(2))راه حل های معادله همگن مربوطه هستند. در نتیجه سیستم معادلات زیر را بدست می آوریم
     • v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 v 1 y 1 ′ + v 2 y 2 ′ = f (x) (\displaystyle (\begin(تراز شده)v_(1)"y_(1)+ v_(2)"y_(2)&=0\\v_(1)"y_(1)"+v_(2)"y_(2)"&=f(x)\\\end(تراز شده)))
   • این سیستم را می توان به یک معادله ماتریسی از فرم تبدیل کرد A x = b، (\displaystyle A(\mathbf (x))=(\mathbf (b))که راه حل آن است x = A - 1 b. (\displaystyle (\mathbf (x) )=A^(-1)(\mathbf (b) ).)برای ماتریس 2 × 2 (\displaystyle 2\times 2)ماتریس معکوس با تقسیم بر تعیین کننده، تنظیم مجدد عناصر مورب و تغییر علامت عناصر غیر قطری پیدا می شود. در واقع، تعیین کننده این ماتریس یک Wronskian است.
     • (v 1 ′ v 2 ′) = 1 W (y 2 ′ − y 2 − y 1 ′ y 1) (0 f (x)) (\displaystyle (\begin(pmatrix)v_(1)"\\v_( 2)"\end(pmatrix))=(\frac (1)(W))(\begin(pmatrix)y_(2)"&-y_(2)\\-y_(1)"&y_(1)\ پایان (pmatrix))(\begin(pmatrix)0\\f(x)\end(pmatrix)))
   • عبارات برای نسخه 1 (\displaystyle v_(1))و نسخه 2 (\displaystyle v_(2))در زیر آورده شده است. همانطور که در روش کاهش سفارش، در این مورد، در طول یکپارچه سازی، یک ثابت دلخواه ظاهر می شود که شامل یک راه حل اضافی در حل کلی معادله دیفرانسیل است.
     • v 1 (x) = − ∫ 1 W f (x) y 2 (x) d x (\displaystyle v_(1)(x)=-\int (\frac (1)(W))f(x)y_( 2)(x)(\mathrm (d) )x)
     • v 2 (x) = ∫ 1 W f (x) y 1 (x) d x (\displaystyle v_(2)(x)=\int (\frac (1)(W))f(x)y_(1) (x)(\mathrm (d) )x)
   
   سخنرانی از دانشگاه آزاد ملی Intuit با عنوان "معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه n با ضرایب ثابت."

استفاده عملی

معادلات دیفرانسیل رابطه ای بین یک تابع و یک یا چند مشتق از آن برقرار می کند. از آنجا که چنین روابطی بسیار رایج هستند، معادلات دیفرانسیل کاربرد گسترده ای در زمینه های مختلف پیدا کرده اند، و از آنجایی که ما در چهار بعد زندگی می کنیم، این معادلات اغلب معادلات دیفرانسیل هستند. خصوصیمشتقات این بخش برخی از مهمترین معادلات از این نوع را پوشش می دهد.

• رشد و زوال تصاعدی.واپاشی رادیواکتیو بهره مرکب. سرعت واکنش های شیمیایی غلظت داروها در خون. رشد نامحدود جمعیت قانون نیوتن ریچمن که در دنیای واقعیسیستم‌های زیادی وجود دارند که در آن‌ها سرعت رشد یا پوسیدگی در هر زمان معین متناسب با مقدار آن است این لحظهزمان یا می توان به خوبی با مدل تقریب زد. این به این دلیل است که جواب این معادله دیفرانسیل، تابع نمایی، یکی از بهترین هاست توابع مهمدر ریاضیات و سایر علوم در یک مورد کلی تر، زمانی که رشد کنترل شدهیک سیستم جمعیتی ممکن است شامل اعضای دیگری باشد که رشد را محدود می کنند. در معادله زیر ثابت است k (\displaystyle k)می تواند بزرگتر یا کمتر از صفر باشد.
  • d y d x = k x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))y)((\mathrm (d))x))=kx)
• ارتعاشات هارمونیکهم در مکانیک کلاسیک و هم در مکانیک کوانتومی، نوسانگر هارمونیک یکی از مهمترین آنهاست سیستم های فیزیکیبه لطف سادگی و کاربرد گستردهبرای تقریب بیشتر سیستم های پیچیدهمانند یک آونگ ساده. در مکانیک کلاسیک، ارتعاشات هارمونیک با معادله ای توصیف می شود که موقعیت یک نقطه مادی را با شتاب آن از طریق قانون هوک مرتبط می کند. در این صورت می توان نیروی میرایی و محرک را نیز در نظر گرفت. در عبارت زیر x ˙ (\displaystyle (\dot (x)))- مشتق زمانی از x , (\displaystyle x,) β (\displaystyle \بتا)- پارامتری که نیروی میرایی را توصیف می کند، ω 0 (\displaystyle \omega _(0))- فرکانس زاویه ای سیستم، F (t) (\displaystyle F(t))- نیروی محرکه وابسته به زمان نوسان ساز هارمونیک در مدارهای نوسانی الکترومغناطیسی نیز وجود دارد، جایی که می توان آن را با دقت بیشتری نسبت به سیستم های مکانیکی پیاده سازی کرد.
  • x ¨ + 2 β x ˙ + ω 0 2 x = F (t) (\displaystyle (\ddot (x))+2\beta (\dot (x))+\omega _(0)^(2)x =F(t))
• معادله بسلمعادله دیفرانسیل بسل در بسیاری از زمینه های فیزیک از جمله حل استفاده می شود معادله موج، معادلات لاپلاس و معادلات شرودینگر، به ویژه در حضور تقارن استوانه ای یا کروی. این معادله دیفرانسیل مرتبه دوم با ضرایب متغیر یک معادله کوشی اویلر نیست، بنابراین راه حل های آن را نمی توان به عنوان توابع ابتدایی نوشت. راه حل های معادله بسل توابع بسل هستند که به دلیل کاربرد در بسیاری از زمینه ها به خوبی مورد مطالعه قرار گرفته اند. در عبارت زیر α (\displaystyle \alpha)- ثابتی که مطابقت دارد به ترتیبتوابع بسل
  • x 2 d 2 y d x 2 + x d y d x + (x 2 - α 2) y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d))^(2)y)((\mathrm (d ) )x^(2)))+x(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+(x^(2)-\alpha ^(2)) y=0)
• معادلات ماکسولمعادلات ماکسول همراه با نیروی لورنتس، اساس الکترودینامیک کلاسیک را تشکیل می دهند. اینها چهار معادله دیفرانسیل جزئی برای الکتریکی هستند E (r , t) (\displaystyle (\mathbf (E) )((\mathbf (r)),t))و مغناطیسی B (r , t) (\displaystyle (\mathbf (B) )((\mathbf (r)),t))زمینه های. در عبارات زیر ρ = ρ (r , t) (\displaystyle \rho =\rho ((\mathbf (r)),t))- چگالی بار، J = J (r , t) (\displaystyle (\mathbf (J))=(\mathbf (J))((\mathbf (r) ),t))- چگالی جریان، و ϵ 0 (\displaystyle \epsilon _(0))و μ 0 (\displaystyle \mu _(0))- به ترتیب ثابت های الکتریکی و مغناطیسی.
  • ∇ ⋅ E = ρ ϵ 0 ∇ ⋅ B = 0 ∇ × E = − ∂ B ∂ t ∇ × B = μ 0 J + μ 0 ϵ 0 ∂ E ∂ t (\نمایش سبک (\شروع(تراز شده)\nabla (\mathbf (E))&=(\frac (\rho)(\epsilon _(0)))\\\nabla \cdot (\mathbf (B))&=0\\\nabla \times (\mathbf (E) )&=-(\frac (\جزئی (\mathbf (B)))(\t جزئی))\\\nabla \times (\mathbf (B))&=\mu _(0)(\ mathbf (J) )+\mu _(0)\epsilon _(0)(\frac (\جزئی (\mathbf (E)))(\t جزئی))\پایان(تراز شده)))
• معادله شرودینگردر مکانیک کوانتومی معادله شرودینگر معادله اساسی حرکت است که حرکت ذرات را مطابق با تغییر تابع موج توصیف می کند. Ψ = Ψ (r , t) (\displaystyle \Psi =\Psi ((\mathbf (r)),t))با زمان. معادله حرکت با رفتار توصیف می شود همیلتونیان H^(\displaystyle (\hat (H))) - اپراتور، که انرژی سیستم را توصیف می کند. یکی از نمونه های معروف معادله شرودینگر در فیزیک معادله یک ذره غیر نسبیتی منفرد است که تابع پتانسیل است. V (r , t) (\displaystyle V((\mathbf (r)),t)). بسیاری از سیستم ها با معادله شرودینگر وابسته به زمان توصیف می شوند و در سمت چپ معادله E Ψ، (\displaystyle E\Psi،)جایی که E (\displaystyle E)- انرژی ذرات در عبارات زیر ℏ (\displaystyle \hbar)- کاهش ثابت پلانک.
  • i ℏ ∂ Ψ ∂ t = H ^ Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi)(\partial t))=(\hat (H))\Psi)
  • i ℏ ∂ Ψ ∂ t = (− ℏ 2 2 m ∇ 2 + V (r , t)) Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi)(\partial t))=\left(- (\frac (\hbar ^(2))(2m))\nabla ^(2)+V((\mathbf (r)),t)\right)\Psi)
• معادله موج.فیزیک و فناوری را نمی توان بدون امواج تصور کرد، آنها در همه انواع سیستم ها وجود دارند. به طور کلی امواج با معادله زیر توصیف می شوند که در آن u = u (r , t) (\displaystyle u=u((\mathbf (r) ),t))تابع مورد نظر است و c (\displaystyle c)- ثابت به طور تجربی تعیین شده است. دالامبر اولین کسی بود که کشف کرد که برای حالت تک بعدی جواب معادله موج است. هرتابع با آرگومان x − c t (\displaystyle x-ct)، که موجی از شکل دلخواه را توصیف می کند که به سمت راست منتشر می شود. راه حل کلی برای حالت یک بعدی، ترکیب خطی این تابع با یک تابع دوم با آرگومان است x + c t (\displaystyle x+ct)، که موجی را توصیف می کند که به سمت چپ منتشر می شود. این راه حل در خط دوم ارائه شده است.
  • ∂ 2 u ∂ t 2 = c 2 ∇ 2 u (\displaystyle (\frac (\جزئی ^(2)u)(\جزئی t^(2)))=c^(2)\nabla ^(2)u )
  • u (x , t) = f (x − c t) + g (x + c t) (\displaystyle u(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct))
• معادلات ناویر استوکسمعادلات ناویر استوکس حرکت سیالات را توصیف می کند. از آنجایی که سیالات تقریباً در هر زمینه ای از علم و فناوری وجود دارند، این معادلات برای پیش بینی آب و هوا، طراحی هواپیما، مطالعه جریان های اقیانوسی و حل بسیاری از مسائل کاربردی دیگر بسیار مهم هستند. معادلات ناویر-استوکس معادلات دیفرانسیل جزئی غیرخطی هستند و در اکثر موارد حل آنها بسیار دشوار است زیرا غیرخطی بودن منجر به تلاطم می شود و دستیابی به یک جواب پایدار با روش های عددی مستلزم تقسیم به سلول های بسیار کوچک است که نیاز به توان محاسباتی قابل توجهی دارد. برای اهداف عملی در هیدرودینامیک، روش‌هایی مانند میانگین‌گیری زمان برای مدل‌سازی جریان‌های آشفته استفاده می‌شود. حتی سؤالات اساسی تری مانند وجود و منحصر به فرد بودن راه حل های معادلات دیفرانسیل جزئی غیرخطی چالش برانگیز است و اثبات وجود و منحصر به فرد بودن جواب معادلات ناویر-استوکس در سه بعدی از جمله مسائل ریاضی هزاره است. در زیر معادله جریان سیال تراکم ناپذیر و معادله تداوم آورده شده است.
  • ∂ u ∂ t + (u ⋅ ∇) u − ν ∇ 2 u = − ∇ h , ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ (ρ u) = 0 (\displaystyle (\frac (\ جزئی (\mathbf (u)) )(\t جزئی))+((\mathbf (u))\cdot \nabla)(\mathbf (u))-\nu \nabla ^(2)(\mathbf (u))=-\nabla h, \quad (\frac (\partial \rho)(\partial t))+\nabla \cdot (\rho (\mathbf (u)))=0)

• بسیاری از معادلات دیفرانسیل را نمی توان با استفاده از روش های فوق حل کرد، به ویژه آنهایی که در بخش آخر ذکر شد. این زمانی اعمال می‌شود که معادله دارای ضرایب متغیر باشد و معادله کوشی اویلر نباشد، یا زمانی که معادله غیرخطی است، به جز در چند مورد بسیار نادر. با این حال، روش های فوق می توانند بسیاری از معادلات دیفرانسیل مهم را که اغلب در زمینه های مختلف علوم با آن مواجه می شوند، حل کنند.
• بر خلاف تمایز، که به شما امکان می دهد مشتق هر تابع را پیدا کنید، انتگرال بسیاری از عبارات را نمی توان در توابع ابتدایی بیان کرد. بنابراین زمان را برای محاسبه یک انتگرال در جایی که غیرممکن است تلف نکنید. به جدول انتگرال ها نگاه کنید. اگر جواب یک معادله دیفرانسیل را نتوان بر حسب توابع ابتدایی بیان کرد، گاهی اوقات می توان آن را به صورت انتگرال نشان داد و در این حالت مهم نیست که این انتگرال را بتوان به صورت تحلیلی محاسبه کرد یا خیر.

هشدارها

• ظاهرمعادله دیفرانسیل می تواند گمراه کننده باشد. به عنوان مثال، در زیر دو معادله دیفرانسیل مرتبه اول آورده شده است. معادله اول را می توان به راحتی با روش هایی که در این مقاله توضیح داده شده حل کرد. در نگاه اول، یک تغییر جزئی y (\displaystyle y)بر y 2 (\displaystyle y^(2))در معادله دوم آن را غیر خطی می کند و حل آن بسیار دشوار می شود.
  • d y d x = x 2 + y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y)
  • d y d x = x 2 + y 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y^(2))

معادله دیفرانسیل معمولی معادله ای است که یک متغیر مستقل، یک تابع مجهول از این متغیر و مشتقات (یا دیفرانسیل) آن از مرتبه های مختلف را به هم مرتبط می کند.

ترتیب معادله دیفرانسیل مرتبه بالاترین مشتق موجود در آن نامیده می شود.

علاوه بر معادلات معمولی، معادلات دیفرانسیل جزئی نیز مورد مطالعه قرار می گیرد. اینها معادلات مربوط به متغیرهای مستقل، تابعی ناشناخته از این متغیرها و مشتقات جزئی آن با توجه به متغیرهای مشابه هستند. اما ما فقط در نظر خواهیم گرفت معادلات دیفرانسیل معمولی و لذا به جهت اختصار از کلمه ی معمولی صرف نظر می کنیم.

نمونه هایی از معادلات دیفرانسیل:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

معادله (1) مرتبه چهارم، معادله (2) مرتبه سوم، معادلات (3) و (4) مرتبه دوم، معادله (5) مرتبه اول هستند.

معادله دیفرانسیل nمرتبه هفتم لزوماً نباید حاوی یک تابع صریح باشد، تمام مشتقات آن از اول تا nمرتبه هفتم و متغیر مستقل. ممکن است به صراحت مشتقاتی از دستورات خاص، یک تابع یا یک متغیر مستقل را نداشته باشد.

به عنوان مثال، در معادله (1) به وضوح هیچ مشتق مرتبه سوم و دوم و همچنین یک تابع وجود ندارد. در معادله (2) - مشتق مرتبه دوم و تابع. در معادله (4) - متغیر مستقل؛ در معادله (5) - توابع. فقط معادله (3) به طور صریح شامل تمام مشتقات، تابع و متغیر مستقل است.

حل معادله دیفرانسیل هر تابع فراخوانی می شود y = f(x)، هنگامی که در معادله جایگزین می شود به یک هویت تبدیل می شود.

فرآیند یافتن راه حل برای یک معادله دیفرانسیل آن نامیده می شود ادغام.

مثال 1.جواب معادله دیفرانسیل را پیدا کنید.

راه حل. بیایید این معادله را به شکل بنویسیم. راه حل این است که تابع را از مشتق آن پیدا کنید. تابع اصلی، همانطور که از حساب انتگرال مشخص است، یک ضد مشتق برای، i.e.

همین است حل این معادله دیفرانسیل . در آن تغییر می کند سی، راه حل های مختلفی به دست خواهیم آورد. ما متوجه شدیم که برای یک معادله دیفرانسیل مرتبه اول تعداد بی نهایت راه حل وجود دارد.

حل کلی معادله دیفرانسیل nمرتبه ام راه حل آن است که به صراحت با توجه به تابع مجهول و حاوی بیان می شود nثابت های دلخواه مستقل، یعنی

حل معادله دیفرانسیل در مثال 1 کلی است.

حل جزئی معادله دیفرانسیل راه حلی که در آن به ثابت های دلخواه مقادیر عددی خاصی داده می شود، نامیده می شود.

مثال 2.جواب کلی معادله دیفرانسیل و یک جواب خاص برای .

راه حل. بیایید هر دو طرف معادله را چند بار برابر با ترتیب معادله دیفرانسیل ادغام کنیم.

,

.

در نتیجه، ما یک راه حل کلی دریافت کردیم -

از یک معادله دیفرانسیل مرتبه سوم معین.

حالا بیایید یک راه حل خاص در شرایط مشخص شده پیدا کنیم. برای انجام این کار، به جای ضرایب دلخواه، مقادیر آنها را جایگزین کنید و دریافت کنید

.

اگر علاوه بر معادله دیفرانسیل، شرط اولیه به شکل داده شود، چنین مسئله ای نامیده می شود. مشکل کوشی . مقادیر را جایگزین و در جواب کلی معادله قرار دهید و مقدار یک ثابت دلخواه را پیدا کنید سی، و سپس یک راه حل خاص از معادله برای مقدار یافت شده سی. این راه حل مشکل کوشی است.

مثال 3.حل مسئله کوشی برای معادله دیفرانسیل از مثال 1 موضوع به .

راه حل. اجازه دهید مقادیر را از شرایط اولیه به راه حل کلی جایگزین کنیم y = 3, ایکس= 1. دریافت می کنیم

حل مسئله کوشی را برای این معادله دیفرانسیل مرتبه اول می نویسیم:

حل معادلات دیفرانسیل، حتی ساده ترین آنها، نیازمند مهارت های انتگرال گیری و مشتق خوبی از جمله توابع پیچیده است. این را می توان در مثال زیر مشاهده کرد.

مثال 4.جواب کلی معادله دیفرانسیل را پیدا کنید.

راه حل. معادله به گونه ای نوشته شده است که می توانید بلافاصله هر دو طرف را ادغام کنید.

.

روش ادغام را با تغییر متغیر (جایگزینی) اعمال می کنیم. بگذار آن وقت باشد.

مورد نیاز برای گرفتن dxو اکنون - توجه - ما این کار را طبق قوانین تمایز یک تابع پیچیده انجام می دهیم، زیرا ایکسو یک تابع پیچیده وجود دارد ("سیب" - عصاره ریشه دومیا، همان چیزی است - بالا بردن قدرت "یک دوم"، و "گوشت چرخ کرده" همان عبارت زیر ریشه است):

ما انتگرال را پیدا می کنیم:

بازگشت به متغیر ایکس، ما گرفتیم:

.

این راه حل کلی برای این معادله دیفرانسیل درجه یک است.

در حل معادلات دیفرانسیل نه تنها مهارت‌های بخش‌های قبلی ریاضیات عالی، بلکه مهارت‌های ابتدایی، یعنی ریاضی مدرسه نیز مورد نیاز است. همانطور که قبلا ذکر شد، در یک معادله دیفرانسیل از هر مرتبه ممکن است یک متغیر مستقل، یعنی یک متغیر وجود نداشته باشد. ایکس. دانش در مورد نسبت های مدرسه که فراموش نشده است (اما بسته به اینکه چه کسی) از مدرسه به حل این مشکل کمک می کند. این مثال بعدی است.

6.1. مفاهیم و تعاریف اساسی

هنگام حل مسائل مختلف در ریاضیات و فیزیک، زیست شناسی و پزشکی، اغلب نمی توان بلافاصله یک رابطه عملکردی را در قالب یک فرمول ایجاد کرد که متغیرهایی را که فرآیند مورد مطالعه را توصیف می کنند، به هم متصل می کند. معمولاً باید از معادلاتی استفاده کنید که علاوه بر متغیر مستقل و تابع مجهول، مشتقات آن را نیز در بر گیرند.

تعریف.معادله ای که یک متغیر مستقل، یک تابع مجهول و مشتقات مرتبه های مختلف آن را به هم متصل می کند نامیده می شود دیفرانسیل.

معمولاً یک تابع ناشناخته مشخص می شود y(x)یا به سادگی y،و مشتقات آن - y", y"و غیره.

نامگذاری های دیگر نیز ممکن است، به عنوان مثال: اگر y= x(t)، سپس x"(t)، x""(t)- مشتقات آن، و تی- متغیر مستقل

تعریف.اگر تابعی به یک متغیر وابسته باشد، معادله دیفرانسیل معمولی نامیده می شود. فرم کلی معادله دیفرانسیل معمولی:

یا

کارکرد افو fممکن است حاوی برخی از آرگومان ها نباشد، اما برای دیفرانسیل بودن معادلات، وجود یک مشتق ضروری است.

تعریف.ترتیب معادله دیفرانسیلمرتبه بالاترین مشتق موجود در آن نامیده می شود.

مثلا، x 2 سال- y= 0، y" + گناه ایکس= 0 معادلات مرتبه اول هستند و y"+ 2 y"+ 5 y= ایکس- معادله مرتبه دوم

هنگام حل معادلات دیفرانسیل، از عملیات یکپارچه سازی استفاده می شود که با ظاهر یک ثابت دلخواه همراه است. اگر عمل ادغام اعمال شود nبار، پس بدیهی است که راه حل شامل خواهد شد nثابت های دلخواه

6.2. معادلات دیفرانسیل مرتبه اول

فرم کلی معادله دیفرانسیل مرتبه اولبا بیان مشخص می شود

معادله ممکن است به صراحت شامل نباشد ایکسو y،اما لزوماً حاوی y است».

اگر بتوان معادله را به صورت

سپس یک معادله دیفرانسیل مرتبه اول با توجه به مشتق حل شده بدست می آوریم.

تعریف.جواب کلی معادله دیفرانسیل مرتبه اول (6.3) (یا (6.4)) مجموعه ای از جواب ها است. ، جایی که با- ثابت دلخواه

نمودار حل معادله دیفرانسیل نامیده می شود منحنی انتگرال

دادن یک ثابت دلخواه بامقادیر مختلف، راه حل های جزئی را می توان به دست آورد. روی سطح xOyراه حل کلی خانواده ای از منحنی های انتگرال مربوط به هر راه حل خاص است.

اگر نقطه ای تعیین کنید A (x 0 , y 0)منحنی انتگرال باید از آن عبور کند، سپس، به عنوان یک قاعده، از مجموعه ای از توابع می توان یکی را مشخص کرد - یک راه حل خصوصی.

تعریف.تصمیم خصوصییک معادله دیفرانسیل حل آن است که حاوی ثابت دلخواه نباشد.

اگر یک راه حل کلی است، سپس از شرایط

شما می توانید یک ثابت پیدا کنید با.شرط نامیده می شود شرایط آغازین.

مشکل یافتن یک راه حل خاص برای معادله دیفرانسیل (6.3) یا (6.4) که شرط اولیه را برآورده کند. در تماس گرفت مشکل کوشیآیا این مشکل همیشه راه حلی دارد؟ پاسخ در قضیه زیر آمده است.

قضیه کوشی(قضیه وجود و یکتایی یک راه حل). معادله دیفرانسیل را بگذارید y"= f(x,y)تابع f(x,y)و او

مشتق جزئی در برخی تعریف شده و مستمر است

منطقه د،حاوی یک نقطه سپس در منطقه Dوجود دارد

تنها راه حل معادله ای که شرط اولیه را برآورده می کند در

قضیه کوشی بیان می کند که تحت شرایط خاص یک منحنی انتگرال منحصر به فرد وجود دارد y= f(x)عبور از یک نقطه نقاطی که در آن شرایط قضیه برقرار نیست

کوشی نامیده می شود خاصدر این نقاط می شکند f(x، y) یا.

یا چندین منحنی انتگرال یا هیچ یک از یک نقطه منفرد عبور نمی کنند.

تعریف.اگر راه حل (6.3)، (6.4) در شکل یافت شود f(x, y, ج)= 0، نسبت به y مجاز نیست، سپس فراخوانی می شود انتگرال کلیمعادله دیفرانسیل.

قضیه کوشی فقط وجود راه حل را تضمین می کند. از آنجایی که هیچ روش واحدی برای یافتن راه حل وجود ندارد، ما فقط برخی از انواع معادلات دیفرانسیل مرتبه اول را در نظر خواهیم گرفت که می توانند در آنها ادغام شوند. مربعات

تعریف.معادله دیفرانسیل نامیده می شود قابل ادغام در مربعات،اگر یافتن راه حل آن به ادغام توابع ختم شود.

6.2.1. معادلات دیفرانسیل مرتبه اول با متغیرهای قابل تفکیک

تعریف.معادله دیفرانسیل مرتبه اول معادله با نامیده می شود متغیرهای قابل تفکیک،

سمت راست معادله (6.5) حاصل ضرب دو تابع است که هر کدام تنها به یک متغیر بستگی دارد.

مثلا معادله معادله ای با جداسازی است

مخلوط با متغیرها
و معادله

نمی توان در فرم (6.5) نشان داد.

با توجه به اینکه ، (6.5) را در فرم بازنویسی می کنیم

از این معادله یک معادله دیفرانسیل با متغیرهای جدا شده بدست می آوریم که در آن دیفرانسیل ها توابعی هستند که فقط به متغیر مربوطه بستگی دارند:

ادغام ترم به ترم، داریم

جایی که C = C 2 - C 1 - ثابت دلخواه. عبارت (6.6) انتگرال کلی معادله (6.5) است.

با تقسیم هر دو طرف معادله (6.5) بر، می توانیم جواب هایی را که برای آنها، در واقع، اگر در

که بدیهی است که راه حلی برای معادله (6.5) است.

مثال 1.برای معادله ای که جواب می دهد راه حلی پیدا کنید

وضعیت: y= 6 ساعت ایکس= 2 (y(2) = 6).

راه حل.جایگزین خواهیم کرد y"سپس . هر دو طرف را در ضرب کنید

dx،از آنجایی که در طول ادغام بیشتر ترک آن غیرممکن است dxدر مخرج:

و سپس هر دو قسمت را تقسیم بر معادله را می گیریم،

که می تواند یکپارچه شود. بیایید ادغام کنیم:

سپس ; با تقویت، y = C را دریافت می کنیم. (x + 1) - ob-

راه حل کلی

با استفاده از داده های اولیه، یک ثابت دلخواه را تعیین می کنیم و آنها را به حل کلی جایگزین می کنیم

بالاخره می رسیم y= 2 (x + 1) یک راه حل خاص است. بیایید به چند مثال دیگر از حل معادلات با متغیرهای قابل تفکیک نگاه کنیم.

مثال 2.جواب معادله را پیدا کنید

راه حل.با توجه به اینکه ، ما گرفتیم .

با ادغام هر دو طرف معادله، داریم

جایی که

مثال 3.جواب معادله را پیدا کنید راه حل.ما هر دو طرف معادله را به عواملی تقسیم می کنیم که به متغیری بستگی دارد که با متغیر زیر علامت دیفرانسیل مطابقت ندارد، یعنی. و ادغام کنید. سپس می گیریم

و در نهایت

مثال 4.جواب معادله را پیدا کنید

راه حل.دانستن اینکه چه چیزی به دست خواهیم آورد. بخش

متغیرهای lim سپس

یکپارچه سازی، می گیریم

اظهار نظر.در مثال های 1 و 2 تابع مورد نیاز است yبه صراحت بیان شده است (راه حل کلی). در مثال های 3 و 4 - به طور ضمنی (انتگرال کلی). در آینده شکل تصمیم گیری مشخص نخواهد شد.

مثال 5.جواب معادله را پیدا کنید راه حل.

مثال 6.جواب معادله را پیدا کنید ، رضایت بخش

وضعیت y(e)= 1.

راه حل.بیایید معادله را به شکل بنویسیم

ضرب دو طرف معادله در dxو در ادامه، دریافت می کنیم

با ادغام هر دو طرف معادله (انتگرال سمت راست توسط قطعات گرفته می شود)، به دست می آوریم

اما با توجه به شرایط y= 1 در ایکس= ه. سپس

بیایید مقادیر یافت شده را جایگزین کنیم بابه راه حل کلی:

عبارت حاصل را حل جزئی معادله دیفرانسیل می نامند.

6.2.2. معادلات دیفرانسیل همگن مرتبه اول

تعریف.معادله دیفرانسیل مرتبه اول نامیده می شود همگن،اگر بتوان آن را در فرم نشان داد

اجازه دهید یک الگوریتم برای حل یک معادله همگن ارائه کنیم.

1-به جای آن yسپس یک تابع جدید معرفی می کنیم و بنابراین

2. از نظر عملکرد تومعادله (6.7) شکل می گیرد

یعنی جایگزینی یک معادله همگن را به معادله ای با متغیرهای قابل تفکیک کاهش می دهد.

3. حل معادله (6.8)، ابتدا u را پیدا می کنیم و سپس y= ux.

مثال 1.معادله را حل کنید راه حل.بیایید معادله را به شکل بنویسیم

ما جایگزین را انجام می دهیم:
سپس

جایگزین خواهیم کرد

ضرب در dx: تقسیم بر ایکسو در سپس

با ادغام هر دو طرف معادله روی متغیرهای مربوطه، داریم

یا با بازگشت به متغیرهای قدیمی، در نهایت می‌گیریم

مثال 2.معادله را حل کنید راه حل.اجازه دهید سپس

بیایید هر دو طرف معادله را بر تقسیم کنیم x2: بیایید پرانتزها را باز کنیم و اصطلاحات را دوباره مرتب کنیم:

با حرکت به سمت متغیرهای قدیمی، به نتیجه نهایی می رسیم:

مثال 3.جواب معادله را پیدا کنید با توجه به اینکه

راه حل.انجام تعویض استاندارد ما گرفتیم

یا

یا

این بدان معنی است که راه حل خاص دارای فرم است مثال 4.جواب معادله را پیدا کنید

راه حل.

مثال 5.جواب معادله را پیدا کنید راه حل.

کار مستقل

حل معادلات دیفرانسیل را با متغیرهای قابل تفکیک بیابید (1-9).

برای معادلات دیفرانسیل همگن جواب پیدا کنید (9-18).

6.2.3. برخی از کاربردهای معادلات دیفرانسیل مرتبه اول

مشکل واپاشی رادیواکتیو

سرعت واپاشی Ra (رادیوم) در هر لحظه از زمان متناسب با جرم موجود آن است. قانون واپاشی رادیواکتیو Ra را بیابید، اگر مشخص باشد که در لحظه شروع Ra وجود دارد و نیمه عمر Ra 1590 سال است.

راه حل.بگذارید در لحظه جرم Ra باشد ایکس= x(t) g، و سپس نرخ واپاشی Ra برابر است با

با توجه به شرایط مشکل

جایی که ک

با جدا کردن متغیرها در آخرین معادله و ادغام، به دست می آوریم

جایی که

برای تعیین سیاز شرط اولیه استفاده می کنیم: When .

سپس و بنابراین،

عامل تناسب کتعیین شده از شرط اضافی:

ما داریم

از اینجا و فرمول مورد نیاز

مشکل سرعت تولید مثل باکتری

سرعت تولید مثل باکتری ها متناسب با تعداد آنها است. در ابتدا 100 باکتری وجود داشت. در عرض 3 ساعت تعداد آنها دو برابر شد. وابستگی تعداد باکتری ها به زمان را پیدا کنید. تعداد باکتری ها در عرض 9 ساعت چند برابر می شود؟

راه حل.اجازه دهید ایکس- تعداد باکتری در یک زمان تیسپس با توجه به شرایط،

جایی که ک- ضریب تناسب

از اینجا از شرایط معلوم می شود که . به معنای،

از شرط اضافی . سپس

تابعی که به دنبال آن هستید:

بنابراین، هنگامی که تی= 9 ایکس= 800، یعنی در عرض 9 ساعت تعداد باکتری ها 8 برابر شد.

مشکل افزایش مقدار آنزیم

در کشت مخمر آبجو، سرعت رشد آنزیم فعال متناسب با مقدار اولیه آن است. ایکس.مقدار اولیه آنزیم آدر عرض یک ساعت دو برابر شد وابستگی را پیدا کنید

x(t).

راه حل.با شرط، معادله دیفرانسیل فرآیند دارای شکل است

از اینجا

ولی . به معنای، سی= آو سپس

همچنین شناخته شده است که

از این رو،

6.3. معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم

6.3.1. مفاهیم اساسی

تعریف.معادله دیفرانسیل مرتبه دومرابطه ای نامیده می شود که متغیر مستقل، تابع مورد نظر و مشتقات اول و دوم آن را به هم متصل می کند.

در موارد خاص، x ممکن است از معادله غایب باشد، دریا y". با این حال، یک معادله مرتبه دوم باید لزوماً حاوی y باشد." در حالت کلی، یک معادله دیفرانسیل مرتبه دوم به صورت زیر نوشته می شود:

یا، در صورت امکان، به شکل حل شده با توجه به مشتق دوم:

همانطور که در مورد یک معادله مرتبه اول، برای یک معادله مرتبه دوم می تواند راه حل های کلی و جزئی وجود داشته باشد. راه حل کلی این است:

یافتن راه حلی خاص

تحت شرایط اولیه - داده شده است

اعداد) نامیده می شود مشکل کوشیاز نظر هندسی، این بدان معنی است که ما باید منحنی انتگرال را پیدا کنیم در= y (x)،عبور از یک نقطه معین و داشتن مماس در این نقطه که است

با جهت محور مثبت همسو می شود گاو نرزاویه مشخص شده ه. (شکل 6.1). مسئله کوشی راه حل منحصر به فردی دارد اگر سمت راست معادله (6.10)، بی وقفه

ناپیوسته است و دارای مشتقات جزئی پیوسته نسبت به اوه، اوه"در برخی از محله های نقطه شروع

برای یافتن ثابت ها در یک راه حل خصوصی گنجانده شده است، سیستم باید حل شود

برنج. 6.1.منحنی انتگرال