- جدول مشتقات توابع نمایی و لگاریتمی
مشتقات توابع ساده
1. مشتق یک عدد صفر استس´ = 0
مثال:
5' = 0
توضیح:
مشتق نرخی را نشان می دهد که مقدار یک تابع با تغییر آرگومان آن تغییر می کند. از آنجایی که عدد به هیچ وجه تحت هیچ شرایطی تغییر نمی کند، نرخ تغییر آن همیشه صفر است.
2. مشتق از یک متغیربرابر با یک
x´ = 1
توضیح:
با هر یک افزایش آرگومان (x) مقدار تابع (نتیجه محاسبه) به همان میزان افزایش می یابد. بنابراین، نرخ تغییر در مقدار تابع y = x دقیقا برابر با نرخ تغییر در مقدار آرگومان است.
3. مشتق متغیر و عامل برابر این عامل است
сx´ = с
مثال:
(3x)´ = 3
(2x)´ = 2
توضیح:
در این حالت، هر بار که آرگومان تابع تغییر می کند ( ایکس) مقدار آن (y) در افزایش می یابد بایک بار. بنابراین، نرخ تغییر مقدار تابع نسبت به نرخ تغییر آرگومان دقیقاً برابر با مقدار است با.
از آنجا نتیجه می گیرد که
(cx + b)" = c
یعنی دیفرانسیل تابع خطی y=kx+b برابر است با شیب خط راست (k).
4. مشتق مدول از یک متغیربرابر ضریب این متغیر به مدول آن است
|x|"= x / |x| مشروط بر اینکه x ≠ 0 باشد
توضیح:
از آنجایی که مشتق یک متغیر (نگاه کنید به فرمول 2) برابر با یک است، مشتق ماژول تنها از این جهت متفاوت است که مقدار نرخ تغییر تابع در هنگام عبور از نقطه مبدا به عکس تغییر می کند (سعی کنید یک نمودار بکشید. از تابع y = |x| و این دقیقاً همان مقدار است که عبارت x / |< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - یک آن موقع است که مقادیر منفیمتغیر x، با هر افزایش آرگومان، مقدار تابع دقیقاً به همان مقدار کاهش می‌یابد و برای موارد مثبت، برعکس، اما دقیقاً به همان مقدار افزایش می‌یابد.
5. مشتق یک متغیر به توانبرابر حاصلضرب تعدادی از این توان و یک متغیر به توان کاهش یافته یک
(x c)"= cx c-1، مشروط بر اینکه xc و cx c-1 تعریف شده باشند و c≠ 0 باشد
مثال:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
برای یادآوری فرمول:
درجه متغیر را به عنوان یک فاکتور به پایین ببرید و سپس خود درجه را یک عدد کاهش دهید. به عنوان مثال، برای x 2 - این دو از x جلوتر بودند، و سپس قدرت کاهش یافته (2-1 = 1) به سادگی به ما 2x داد. همین اتفاق برای x 3 هم افتاد - سه گانه را به سمت پایین "حرکت می دهیم"، آن را یک بار کاهش می دهیم و به جای یک مکعب، یک مربع داریم، یعنی 3x 2. کمی "غیر علمی" اما بسیار آسان برای به خاطر سپردن.
6.مشتق کسری 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
مثال:
از آنجایی که یک کسری را می توان به عنوان افزایش به یک توان منفی نشان داد
(1/x)" = (x -1)"، سپس می توانید فرمول قانون 5 جدول مشتقات را اعمال کنید.
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / x 2
7. مشتق کسری با متغیر درجه دلخواه
در مخرج
(1 / x c)" = - c / x c+1
مثال:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3
8. مشتق از ریشه(مشتق از متغیر زیر ریشه دوم)
(√x)" = 1 / (2√x)یا 1/2 x -1/2
مثال:
(√x)" = (x 1/2)" به این معنی است که می توانید فرمول قانون 5 را اعمال کنید
(x 1/2)" = 1/2 x -1/2 = 1 / (2√x)
9. مشتق یک متغیر زیر ریشه درجه دلخواه
(n √x)" = 1 / (n n √x n-1)
مسئله یافتن مشتق تابع معین یکی از اصلی ترین مسائل در درس ریاضی است دبیرستانو در بالاتر موسسات آموزشی. کاوش کامل یک تابع و ساختن نمودار آن بدون گرفتن مشتق آن غیرممکن است. اگر قوانین اساسی تمایز و همچنین جدول مشتقات توابع پایه را بدانید، مشتق یک تابع را به راحتی می توانید پیدا کنید. بیایید بفهمیم که چگونه مشتق یک تابع را پیدا کنیم.
مشتق یک تابع حد نسبت افزایش تابع به افزایش آرگومان است وقتی که افزایش آرگومان به صفر میل می کند.
درک این تعریف بسیار دشوار است، زیرا مفهوم محدودیت در مدرسه به طور کامل مطالعه نشده است. اما برای یافتن مشتقات توابع مختلف، لازم نیست تعریف را به عهده ریاضیدانان بگذاریم و مستقیماً به سراغ یافتن مشتق برویم.
فرآیند یافتن مشتق را تمایز می گویند. وقتی یک تابع را متمایز می کنیم، یک تابع جدید به دست می آوریم.
برای نشان دادن آنها استفاده خواهیم کرد نامه ها f، g، و غیره
نمادهای مختلفی برای مشتقات وجود دارد. از سکته مغزی استفاده خواهیم کرد. مثلاً نوشتن g به این معناست که مشتق تابع g را پیدا می کنیم.
جدول مشتقات
برای پاسخ به این سوال که چگونه مشتق را پیدا کنیم، لازم است جدولی از مشتقات توابع اصلی ارائه شود. برای محاسبه مشتقات توابع ابتدایی، نیازی به انجام محاسبات پیچیده نیست. فقط کافی است به ارزش آن در جدول مشتقات نگاه کنیم.
- (sin x)"=cos x
- (cos x)"= –sin x
- (x n)"=n x n-1
- (e x)"=e x
- (ln x)"=1/x
- (a x)"=a x ln a
- (log a x)"=1/x ln a
- (tg x)"=1/cos 2 x
- (ctg x)"= – 1/sin 2 x
- (arcsin x)"= 1/√(1-x2)
- (arccos x)"= - 1/√(1-x2)
- (arctg x)"= 1/(1+x 2)
- (arcctg x)"= - 1/(1+x 2)
مثال 1. مشتق تابع y=500 را بیابید.
می بینیم که این ثابت است. از جدول مشتقات مشخص می شود که مشتق یک ثابت برابر با صفر است (فرمول 1).
مثال 2. مشتق تابع y=x 100 را بیابید.
این تابع توانکه توان آن 100 است و برای یافتن مشتق آن باید تابع را در توان ضرب کرده و آن را 1 کاهش دهید (فرمول 3).
(x 100)" = 100 x 99
مثال 3. مشتق تابع y=5 x را بیابید
این تابع نماییبیایید مشتق آن را با استفاده از فرمول 4 محاسبه کنیم.
مثال 4. مشتق تابع y= log 4 x را بیابید
مشتق لگاریتم را با استفاده از فرمول 7 پیدا می کنیم.
(log 4 x)"=1/x ln 4
قوانین تمایز
حالا بیایید بفهمیم که چگونه مشتق یک تابع را اگر در جدول نیست پیدا کنیم. اکثر توابع مورد مطالعه ابتدایی نیستند، بلکه ترکیبی از توابع ابتدایی با استفاده از عملیات ساده (جمع، تفریق، ضرب، تقسیم و ضرب در یک عدد) هستند. برای یافتن مشتقات آنها، باید قوانین تمایز را بدانید. در زیر، حروف f و g نشان دهنده توابع هستند و C یک ثابت است.
1. ضریب ثابت را می توان از علامت مشتق خارج کرد
مثال 5. مشتق تابع y= 6*x 8 را بیابید
ضریب ثابت 6 را خارج می کنیم و فقط x 4 را متمایز می کنیم. این یک تابع توان است که مشتق آن با استفاده از فرمول 3 جدول مشتقات یافت می شود.
(6*x8)" = 6*(x8)"=6*8*7 =48**7
2. مشتق یک جمع برابر است با مجموع مشتقات
(f + g)"=f" + g"
مثال 6. مشتق تابع y= x 100 +sin x را بیابید
یک تابع مجموع دو تابع است که مشتقات آنها را می توانیم از جدول پیدا کنیم. از آنجایی که (x 100)"=100 x 99 و (sin x)"=cos x. مشتق جمع برابر با مجموع این مشتقات خواهد بود:
(x 100 + sin x)" = 100 x 99 + cos x
3. مشتق مابه التفاوت برابر است با اختلاف مشتقات
(f – g)"=f" - g"
مثال 7. مشتق تابع y= x 100 – cos x را بیابید
این تابع تفاوت دو تابع است که مشتقات آنها را در جدول نیز می توانیم پیدا کنیم. سپس مشتق تفاوت برابر با اختلاف مشتقات است و فراموش نکنید که علامت را تغییر دهید، زیرا (cos x)"= – sin x.
(x 100 – cos x)"= 100 x 99 + sin x
مثال 8. مشتق تابع y=e x +tg x– x 2 را بیابید.
این تابع هم مجموع و هم تفاوت دارد بیایید مشتقات هر عبارت را پیدا کنیم:
(e x)"=e x، (tg x)"=1/cos 2 x، (x 2)"=2 x. سپس مشتق تابع اصلی برابر است با:
(e x +tg x– x 2)"= e x +1/cos 2 x –2 x
4. مشتق محصول
(f * g)"=f" * g + f * g"
مثال 9. مشتق تابع y= cos x *e x را بیابید
برای این کار ابتدا مشتق هر عامل (cos x)"=–sin x و (e x)"=e x را پیدا می کنیم. حالا بیایید همه چیز را در فرمول محصول جایگزین کنیم. مشتق تابع اول را در دوم ضرب می کنیم و حاصلضرب تابع اول را در مشتق تابع دوم اضافه می کنیم.
(cos x* e x)"= e x cos x – e x *sin x
5. مشتق از ضریب
(f / g)"= f" * g – f * g"/ g 2
مثال 10. مشتق تابع y= x 50 /sin x را بیابید
برای یافتن مشتق یک ضریب، ابتدا مشتق صورت و مخرج را جداگانه می یابیم: (x 50)"=50 x 49 و (sin x)"= cos x. با جایگزینی مشتق ضریب به فرمول، دریافت می کنیم:
(x 50 /sin x)"= 50x 49 *sin x – x 50 *cos x/sin 2 x
مشتق تابع مختلط
تابع پیچیده تابعی است که با ترکیبی از چندین تابع نشان داده می شود. همچنین یک قانون برای یافتن مشتق یک تابع مختلط وجود دارد:
(u (v))"=u"(v)*v"
بیایید دریابیم که چگونه مشتق چنین تابعی را پیدا کنیم. فرض کنید y=u(v(x)) یک تابع مختلط باشد. بیایید تابع u خارجی و v - داخلی بنامیم.
مثلا:
y=sin (x 3) یک تابع پیچیده است.
سپس y=sin(t) یک تابع خارجی است
t=x 3 - داخلی.
بیایید سعی کنیم مشتق این تابع را محاسبه کنیم. با توجه به فرمول، لازم است مشتقات داخلی و عملکرد خارجی.
(sin t)"=cos (t) - مشتق تابع خارجی (که t=x 3)
(x 3)"=3x 2 - مشتق تابع داخلی
سپس (sin (x 3))"= cos (x 3)* 3x 2 مشتق یک تابع مختلط است.
تعریف.اجازه دهید تابع \(y = f(x)\) در یک بازه معین حاوی نقطه \(x_0\) تعریف شود. بیایید به آرگومان یک افزایش \(\Delta x\) بدهیم به طوری که از این بازه خارج نشود. بیایید افزایش مربوط به تابع \(\Delta y \) (هنگام حرکت از نقطه \(x_0 \) به نقطه \(x_0 + \Delta x\)) را پیدا کرده و رابطه \(\frac(\Delta) را بسازیم. y) (\ دلتا x) \). اگر محدودیتی برای این نسبت در \(\Delta x \rightarrow 0\ وجود داشته باشد، آنگاه حد مشخص شده فراخوانی می شود. مشتق از یک تابع\(y=f(x) \) در نقطه \(x_0 \) و نشان دهنده \(f"(x_0) \).
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$
نماد y اغلب برای نشان دادن مشتق استفاده می شود." توجه داشته باشید که y" = f(x) است خصوصیت جدید، اما به طور طبیعی با تابع y = f(x) که در تمام نقاط x که حد بالا وجود دارد، تعریف شده است. این تابع به این صورت نامیده می شود: مشتق تابع y = f(x).
معنای هندسی مشتقبه شرح زیر است. اگر بتوان یک مماس بر نمودار تابع y = f(x) در نقطه ای با ابسیسا x=a رسم کرد که با محور y موازی نیست، آنگاه f(a) شیب مماس را بیان می کند. :
\(k = f"(a)\)
از آنجایی که \(k = tg(a) \)، پس برابری \(f"(a) = tan(a) \) صادق است.
حال بیایید تعریف مشتق را از دیدگاه برابری های تقریبی تفسیر کنیم. اجازه دهید تابع \(y = f(x)\) در یک نقطه خاص \(x\) مشتق داشته باشد:
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
این بدان معنی است که در نزدیکی نقطه x برابری تقریبی \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x)\)، یعنی \(\Delta y \approx f"(x) \cdot\ دلتا x\). معنای معنی دار برابری تقریبی حاصل به شرح زیر است: افزایش تابع "تقریباً متناسب" با افزایش استدلال است و ضریب تناسب مقدار مشتق در یک نقطه معین x است. برای مثال، برای تابع \(y = x^2\) برابری تقریبی \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x\) معتبر است. اگر تعریف مشتق را به دقت تجزیه و تحلیل کنیم، متوجه می شویم که حاوی الگوریتمی برای یافتن آن است.
بیایید آن را فرموله کنیم.
چگونه مشتق تابع y = f(x) را پیدا کنیم؟
1. مقدار \(x\) را ثابت کنید، \(f(x)\) را پیدا کنید
2. به آرگومان \(x\) یک افزایش \(\Delta x\ بدهید، به یک نقطه جدید بروید \(x+ \Delta x\)، پیدا کنید \(f(x+ \Delta x) \)
3. افزایش تابع را پیدا کنید: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. رابطه \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \) ایجاد کنید
5. $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$ را محاسبه کنید
این حد مشتق تابع در نقطه x است.
اگر تابع y = f(x) در نقطه x مشتق داشته باشد، در نقطه x به آن متمایز می گویند. روش یافتن مشتق تابع y = f(x) نامیده می شود تفکیکتوابع y = f(x).
اجازه دهید در مورد سوال زیر بحث کنیم: پیوستگی و تمایز یک تابع در یک نقطه چگونه با یکدیگر مرتبط هستند؟
اجازه دهید تابع y = f(x) در نقطه x قابل تفکیک باشد. سپس یک مماس را می توان به نمودار تابع در نقطه M(x; f(x) رسم کرد، و به یاد بیاورید که ضریب زاویه ای مماس برابر با f "(x) است. چنین نموداری نمی تواند "شکن" کند. در نقطه M، یعنی تابع باید در نقطه x پیوسته باشد.
اینها استدلال های "دستی" بود. اجازه دهید استدلال دقیق تری ارائه دهیم. اگر تابع y = f(x) در نقطه x قابل تمایز باشد، برابری تقریبی \(\Delta y \تقریبا f"(x) \cdot \Delta x\) برقرار است. اگر در این برابری \(\Delta x \) به سمت صفر میل می کند، سپس \(\Delta y \) به سمت صفر میل می کند و این شرط تداوم تابع در یک نقطه است.
بنابراین، اگر تابعی در نقطه x قابل تمایز باشد، در آن نقطه پیوسته است.
عبارت معکوس درست نیست. به عنوان مثال: تابع y = |x| در همه جا پیوسته است، به ویژه در نقطه x = 0، اما مماس بر نمودار تابع در "نقطه اتصال" (0؛ 0) وجود ندارد. اگر در نقطه ای مماس را نتوان روی نمودار یک تابع رسم کرد، آنگاه مشتق در آن نقطه وجود ندارد.
یک مثال دیگر تابع \(y=\sqrt(x)\) در کل خط عددی، از جمله در نقطه x = 0، پیوسته است. و مماس بر نمودار تابع در هر نقطه وجود دارد، از جمله در نقطه x = 0 اما در این نقطه مماس با محور y منطبق است، یعنی بر محور آبسیسا عمود است، معادله آن به شکل x = 0 است. چنین خط مستقیمی ضریب زاویه ندارد، به این معنی که \(f. "(0)\) وجود ندارد.
بنابراین، ما با ویژگی جدیدی از یک تابع - تفاوت پذیری آشنا شدیم. چگونه می توان از نمودار یک تابع نتیجه گرفت که قابل تمایز است؟
پاسخ در واقع در بالا داده شده است. اگر در نقطه ای بتوان بر نمودار تابعی که عمود بر محور آبسیسا نیست مماس رسم کرد، در این نقطه تابع قابل تمایز است. اگر در نقطه ای مماس بر نمودار یک تابع وجود نداشته باشد یا بر محور آبسیسا عمود باشد، در این نقطه تابع قابل تمایز نیست.
قوانین تمایز
عملیات یافتن مشتق نامیده می شود تفکیک. هنگام انجام این عملیات، اغلب باید با ضرایب، مجموع، محصولات توابع و همچنین "توابع توابع" یعنی توابع پیچیده کار کنید. بر اساس تعریف مشتق، می توانیم قوانین تمایز را استخراج کنیم که این کار را آسان تر می کند. اگر C یک عدد ثابت است و f=f(x)، g=g(x) برخی از توابع قابل تمایز هستند، آنگاه موارد زیر درست هستند. قوانین تمایز:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$
جدول مشتقات برخی از توابع
$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \راست) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\n a) $$$$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arcctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $تاریخ: 1394/05/10
چگونه مشتق را پیدا کنیم؟
قوانین تمایز.
برای یافتن مشتق هر تابع، فقط باید به سه مفهوم تسلط داشته باشید:
2. قواعد تمایز.
3. مشتق تابع مختلط.
دقیقا به همین ترتیب این یک اشاره است.)
البته، خوب است که در مورد مشتقات به طور کلی ایده ای داشته باشیم). مشتق چیست و نحوه کار با جدول مشتقات به وضوح در درس قبل توضیح داده شده است. در اینجا به قواعد تمایز می پردازیم.
تمایز عملیات یافتن مشتق است. هیچ چیز دیگری در پشت این اصطلاح پنهان نیست. آن ها اصطلاحات "یافتن مشتق تابع"و "متمایز کردن یک تابع"- این همان است.
اصطلاح "قواعد تمایز"به یافتن مشتق اشاره دارد از عملیات حسابیاین درک کمک زیادی به جلوگیری از سردرگمی در ذهن شما می کند.
بیایید تمرکز کنیم و همه، همه، همه عملیات های حسابی را به خاطر بسپاریم. چهار عدد از آن وجود دارد). جمع (جمع)، تفریق (تفاوت)، ضرب (ضرب) و تقسیم (ضریب). در اینجا آنها قوانین تمایز هستند:
صفحه نشان می دهد پنجقوانین در چهار عملیات حسابی. من کوتاهی نکردم.) فقط قانون 4 نتیجه ابتدایی قانون 3 است. اما آنقدر محبوب است که نوشتن (و به خاطر سپردن!) آن به عنوان یک فرمول مستقل منطقی است.
تحت نامگذاری ها Uو Vبرخی از توابع (مطمقاً هر!) دلالت دارند U(x)و V(x).
بیایید به چند نمونه نگاه کنیم. اول - ساده ترین ها.
مشتق تابع y=sinx - x 2 را بیابید
اینجا داریم تفاوتدو تابع ابتدایی ما قانون 2 را اعمال می کنیم. فرض می کنیم که sinx یک تابع است U، و x 2 تابع است V.ما حق داریم بنویسیم:
y" = (sinx - x 2)" = (sinx)"- (x 2)"
این بهتر است، درست است؟) تنها چیزی که باقی می ماند یافتن مشتقات سینوس و مربع x است. برای این منظور جدولی از مشتقات وجود دارد. ما فقط به دنبال توابع مورد نیاز در جدول هستیم ( سینکسو x 2به مشتقاتی که دارند نگاه کنید و جواب را بنویسید:
y" = (sinx)" - (x 2)" = cosx - 2x
خودشه. قانون 1 تمایز مجموع دقیقاً به همین صورت عمل می کند.
اگر چند اصطلاح داشته باشیم چه؟ چیز مهمی نیست.) ما تابع را به عبارات تقسیم می کنیم و به دنبال مشتق هر عبارت مستقل از سایرین می گردیم. مثلا:
مشتق تابع y=sinx - x 2 +cosx - x +3 را بیابید
به جرأت می نویسیم:
y" = (sinx)" - (x 2)" + (cosx)" - (x)" + (3)"
در پایان درس نکاتی را برای آسانتر کردن زندگی در هنگام تمایز ارائه خواهم داد.)
1. قبل از تمایز، ببینید آیا می توان تابع اصلی را ساده کرد.
2. در مثال های پیچیده، راه حل را با تمام پرانتز و خط تیره به تفصیل شرح می دهیم.
3. هنگام تفکیک کسری با عدد ثابت در مخرج، تقسیم را به ضرب تبدیل می کنیم و از قانون 4 استفاده می کنیم.