نمایش آنلاین به صورت مثلثاتی. شکل مثلثاتی اعداد مختلط. اعداد مختلط به صورت مثلثاتی

2.3. شکل مثلثاتی اعداد مختلط

بگذارید بردار در صفحه مختلط با عدد داده شود.

زاویه بین نیم محور مثبت Ox و بردار را با φ نشان دهید (اگر در خلاف جهت عقربه های ساعت شمارش شود زاویه φ مثبت در نظر گرفته می شود و در غیر این صورت منفی است).

طول بردار را با r نشان دهید. سپس . ما نیز اشاره می کنیم

نوشتن یک عدد مختلط غیر صفر z به عنوان

شکل مثلثاتی عدد مختلط z نامیده می شود. عدد r را مدول عدد مختلط z و عدد φ را آرگومان این عدد مختلط می نامند و با Arg z نشان داده می شود.

شکل مثلثاتی نوشتن یک عدد مختلط - (فرمول اویلر) - شکل نمایی نوشتن یک عدد مختلط:

عدد مختلط z بی نهایت آرگومان های زیادی دارد: اگر φ0 هر آرگومان عدد z باشد، بقیه آرگومان ها را می توان با فرمول پیدا کرد.

برای یک عدد مختلط، آرگومان و شکل مثلثاتی تعریف نشده است.

بنابراین، استدلال یک عدد مختلط غیر صفر، هر راه حلی برای سیستم معادلات است:

(3)

مقدار φ آرگومان یک عدد مختلط z که نابرابری ها را برآورده می کند، مقدار اصلی نامیده می شود و با arg z نشان داده می شود.

آرگومان های Arg z و arg z با تساوی به هم مرتبط هستند

, (4)

فرمول (5) نتیجه سیستم (3) است، بنابراین همه آرگومان های عدد مختلط برابری (5) را برآورده می کنند، اما همه راه حل های φ معادله (5) آرگومان های عدد z نیستند.

مقدار اصلی آرگومان یک عدد مختلط غیر صفر با فرمول های زیر بدست می آید:

فرمول های ضرب و تقسیم اعداد مختلط به صورت مثلثاتی به شرح زیر است:

. (7)

هنگام افزایش یک عدد مختلط به توان طبیعی، از فرمول دو مویور استفاده می شود:

هنگام استخراج ریشه از یک عدد مختلط، از فرمول استفاده می شود:

, (9)

که در آن k=0، 1، 2، …، n-1.

مسئله 54. محاسبه کنید، که در آن.

حل این عبارت را به صورت نمایی نوشتن یک عدد مختلط نشان می دهیم: .

اگر پس از آن .

سپس ، . بنابراین، پس و ، جایی که .

پاسخ: ، در .

مسئله 55. اعداد مختلط را به صورت مثلثاتی بنویسید:

آ) ؛ ب)؛ V)؛ ز)؛ ه)؛ ه) ; و) .

از آنجایی که شکل مثلثاتی یک عدد مختلط است، پس:

الف) در عدد مختلط: .

از همین رو

ب) ، جایی که ،

ز) ، جایی که ،

ه) .

و) ، آ ، آن

از همین رو

پاسخ: ; 4; ; ; ; ; .

مسئله 56. شکل مثلثاتی یک عدد مختلط را پیدا کنید

اجازه دهید ، .

سپس ، , .

چون و ، ، سپس ، و

بنابراین، بنابراین

پاسخ: ، جایی که .

مسئله 57. با استفاده از شکل مثلثاتی یک عدد مختلط، اعمال زیر را انجام دهید: .

اعداد را تصور کنید و به صورت مثلثاتی

1) ، کجا سپس

یافتن مقدار آرگومان اصلی:

مقادیر را جایگزین کنید و به عبارت , دریافت می کنیم

2) پس کجا

سپس

3) ضریب را پیدا کنید

با فرض k=0، 1، 2، سه مقدار مختلف از ریشه مورد نظر بدست می آوریم:

اگر پس از آن

اگر پس از آن .

پاسخ: :

: .

مسئله 58. بگذارید , , , اعداد مختلط مختلف و . ثابت کنیم که

یک عدد معتبر است عدد مثبت;

ب) برابری صورت می گیرد:

الف) بیایید این اعداد مختلط را به صورت مثلثاتی نشان دهیم:

زیرا .

بیایید وانمود کنیم که سپس

آخرین عبارت یک عدد مثبت است، زیرا اعدادی از فاصله زیر علائم سینوسی وجود دارد.

چون شماره واقعی و مثبت در واقع، اگر a و b اعداد مختلط و واقعی و بزرگتر از صفر باشند، آنگاه .

بعلاوه،

از این رو برابری مورد نیاز ثابت می شود.

مسئله 59. عدد را به صورت جبری بنویسید .

عدد را به صورت مثلثاتی نشان می دهیم و سپس شکل جبری آن را پیدا می کنیم. ما داریم . برای ما سیستم را دریافت می کنیم:

از این برابری حاصل می شود: .

استفاده از فرمول De Moivre:

ما گرفتیم

شکل مثلثاتی عدد داده شده پیدا می شود.

اکنون این عدد را به صورت جبری می نویسیم:

پاسخ: .

مسئله 60. حاصل جمع را پیدا کنید،

جمع را در نظر بگیرید

با استفاده از فرمول De Moivre، متوجه می شویم

این مجموع حاصل جمع n جمله است پیشرفت هندسیبا مخرج و اولین عضو .

با استفاده از فرمول مجموع شرایط چنین پیشرفتی، داریم

با جدا کردن قسمت خیالی در آخرین عبارت، متوجه می شویم

با جدا کردن قسمت واقعی فرمول زیر را نیز بدست می آوریم: , , .

مسئله 61. حاصل جمع را بیابید:

آ) ; ب) .

با توجه به فرمول نیوتن برای افزایش به یک توان، داریم

با توجه به فرمول De Moivre، در می یابیم:

با معادل سازی قسمت های واقعی و خیالی عبارات به دست آمده، داریم:

و .

این فرمول ها را می توان به صورت فشرده به صورت زیر نوشت:

، قسمت صحیح عدد a کجاست.

مشکل 62. همه موارد را پیدا کنید.

از آنجا که ، سپس با استفاده از فرمول

, برای استخراج ریشه، به دست می آوریم ,

از این رو، , ,

, .

نقاط مربوط به اعداد در رأس مربعی قرار دارند که در دایره ای به شعاع 2 در مرکز نقطه (0;0) محاط شده است (شکل 30).

پاسخ: , ,

, .

مسئله 63. معادله را حل کنید , .

بر اساس شرط؛ بنابراین این معادله ریشه ندارد و در نتیجه معادل معادله است.

برای اینکه عدد z ریشه این معادله باشد، لازم است که عدد باشد ریشه n امدرجه از 1.

از این رو نتیجه می گیریم که معادله اصلی ریشه هایی دارد که از برابری ها تعیین شده است

بدین ترتیب،

یعنی ,

پاسخ: .

مسئله 64. معادله مجموعه اعداد مختلط را حل کنید.

از آنجایی که عدد ریشه این معادله نیست، پس برای این معادله معادل معادله است.

یعنی معادله.

تمام ریشه های این معادله از فرمول به دست می آیند (مشکل 62 را ببینید):

; ; ; ; .

مسئله 65. روی صفحه مختلط مجموعه ای از نقاط را رسم کنید که نابرابری ها را برآورده می کند: . (راه دوم برای حل مسئله 45)

اجازه دهید .

اعداد مختلط با ماژول های یکسان با نقاطی از صفحه که روی دایره ای در مرکز مبدا قرار دارد مطابقت دارد، بنابراین نابرابری تمام نقاط یک حلقه باز محدود شده توسط دایره ها را برآورده کنید مرکز مشترکدر مبدا و شعاع و (شکل 31). بگذارید نقطه ای از صفحه مختلط با عدد w0 مطابقت داشته باشد. عدد ، دارای مدول چند برابر کمتر از مدول w0 است، آرگومان بزرگتر از آرگومان w0. با نقطه هندسینقطه نظر مربوط به w1 را می توان با استفاده از یک همگنی متمرکز در مبدا و ضریب، و همچنین چرخش خلاف جهت عقربه های ساعت نسبت به مبدا بدست آورد. در نتیجه اعمال این دو تبدیل به نقاط حلقه (شکل 31)، حلقه دوم به حلقه ای تبدیل می شود که توسط دایره هایی با مرکز و شعاع های 1 و 2 یکسان محدود شده است (شکل 32).

دگرگونی با استفاده از ترجمه موازی بر روی بردار پیاده سازی شده است. با انتقال حلقه در مرکز یک نقطه به بردار مشخص شده، حلقه ای به همان اندازه در مرکز یک نقطه به دست می آوریم (شکل 22).

روش پیشنهادی که از ایده تبدیل‌های هندسی هواپیما استفاده می‌کند، احتمالاً در توصیف راحت‌تر است، اما بسیار ظریف و مؤثر است.

مسئله 66. اگر .

بگذار پس و . برابری اصلی شکل خواهد گرفت . از شرط تساوی دو عدد مختلط، به دست می‌آید، از کجا،. بدین ترتیب، .

بیایید عدد z را به صورت مثلثاتی بنویسیم:

، جایی که ، . با توجه به فرمول De Moivre، ما .

پاسخ: - 64.

مسئله 67. برای یک عدد مختلط، همه اعداد مختلط را پیدا کنید به طوری که، و .

بیایید عدد را به صورت مثلثاتی نشان دهیم:

. از این رو، . برای عددی که به دست می آوریم , می تواند برابر هر دو باشد .

در مورد اول ، در دوم

پاسخ: ، .

مسئله 68. مجموع اعداد را به گونه ای بیابید که . یکی از این اعداد را مشخص کنید.

توجه داشته باشید که از همان فرمول مسئله می توان فهمید که مجموع ریشه های معادله را می توان بدون محاسبه خود ریشه ها پیدا کرد. در واقع، مجموع ریشه های معادله ضریب است که با علامت مخالف گرفته می شود (قضیه تعمیم یافته ویتا)، یعنی.

دانش آموزان، اسناد مدرسه، در مورد میزان جذب این مفهوم نتیجه گیری می کنند. مطالعه ویژگی های تفکر ریاضی و فرآیند شکل گیری مفهوم عدد مختلط را خلاصه کنید. شرح روش ها تشخیصی: من مرحله می کنم. مصاحبه با یک معلم ریاضی که در کلاس دهم جبر و هندسه تدریس می کند انجام شده است. این گفتگو پس از مدتی انجام شد...

رزونانس» (!)) که شامل ارزیابی رفتار خود نیز می شود. 4. ارزیابی انتقادی از درک خود از موقعیت (تردیدها) 5. در نهایت استفاده از توصیه ها. روانشناسی حقوقی(حسابداری توسط وکیل جنبه های روانیانجام اقدامات حرفه ای - آمادگی حرفه ای و روانی). اکنون تحلیل روانشناختی حقایق حقوقی را در نظر بگیرید. ...

ریاضیات جایگزینی مثلثاتی و تأیید اثربخشی روش تدریس توسعه یافته. مراحل کار: 1. تدوین یک درس اختیاری با موضوع: "کاربرد جایگزینی مثلثاتی برای حل مسائل جبری" با دانش آموزان در کلاس های با مطالعه عمیق ریاضی. 2. برگزاری دوره اختیاری توسعه یافته. 3. انجام کنترل تشخیصی ...

وظایف شناختی فقط برای تکمیل در نظر گرفته شده است وجوه موجودآموزش و باید در ترکیب مناسب با تمامی ابزارها و عناصر سنتی فرآیند آموزشی باشد. تفاوت بین اهداف یادگیری در تدریس علوم انسانیاز روی دقیق، از مسائل ریاضی، فقط در این واقعیت است که در مسائل تاریخی هیچ فرمول، الگوریتم سفت و سخت و غیره وجود ندارد، که حل آنها را پیچیده می کند. ...

3.1. مختصات قطبی

اغلب در هواپیما استفاده می شود سیستم مختصات قطبی . اگر نقطه O داده شود، تعریف می شود قطبو تیری که از قطب نشات می گیرد (برای ما این محور است Ox) محور قطبی است.موقعیت نقطه M با دو عدد ثابت می شود: شعاع (یا بردار شعاع) و زاویه φ بین محور قطبی و بردار.زاویه φ نامیده می شود زاویه قطبی؛ بر حسب رادیان اندازه گیری می شود و در خلاف جهت عقربه های ساعت از محور قطبی شمارش می شود.

موقعیت یک نقطه در سیستم مختصات قطبی با یک جفت مرتب شده از اعداد (r; φ) داده می شود. در قطب r = 0و φ تعریف نشده است. برای تمام نکات دیگر r > 0و φ تا مضرب 2π تعریف می شود. در این حالت، به جفت اعداد (r; φ) و (r 1 ; φ 1) یک نقطه اختصاص داده می شود اگر .

برای یک سیستم مختصات مستطیلی xOyمختصات دکارتی یک نقطه به راحتی بر حسب مختصات قطبی آن به صورت زیر بیان می شود:

3.2. تفسیر هندسی یک عدد مختلط

سیستم مختصات مستطیلی دکارتی را در صفحه در نظر بگیرید xOy.

به هر عدد مختلط z=(a, b) یک نقطه از صفحه با مختصات ( x، y)، جایی که مختصات x = a، i.e. قسمت واقعی عدد مختلط و مختصات y = bi قسمت خیالی است.

صفحه ای که نقاط آن اعداد مختلط هستند، صفحه مختلط است.

در شکل، عدد مختلط است z = (a، b)نقطه تطبیق M(x، y).

ورزش.اعداد مختلط را روی صفحه مختصات رسم کنید:

3.3. شکل مثلثاتی یک عدد مختلط

یک عدد مختلط در هواپیما مختصات یک نقطه را دارد M(x; y). که در آن:

نوشتن یک عدد مختلط - شکل مثلثاتی یک عدد مختلط

عدد r نامیده می شود مدول عدد مختلط zو نشان داده می شود. ماژول یک عدد واقعی غیر منفی است. برای .

مدول صفر است اگر و فقط اگر z = 0، یعنی a=b=0.

عدد φ نامیده می شود آرگومان z و نشان داد. آرگومان z به طور مبهم تعریف می شود، مانند زاویه قطبی در سیستم مختصات قطبی، یعنی تا مضربی از 2π.

سپس می پذیریم: ، جایی که φ است کوچکترین ارزشبحث و جدل. بدیهی است که

با مطالعه عمیق تر موضوع، یک آرگومان کمکی φ* معرفی می شود، به طوری که

مثال 1. شکل مثلثاتی یک عدد مختلط را پیدا کنید.

راه حل. 1) ماژول را در نظر می گیریم: ;

2) به دنبال φ: ;

3) شکل مثلثاتی:

مثال 2شکل جبری یک عدد مختلط را پیدا کنید .

در اینجا برای جایگزینی مقادیر کافی است توابع مثلثاتیو عبارت را تبدیل کنید:

مثال 3مدول و آرگومان یک عدد مختلط را بیابید.

1) ;

2)؛ φ - در 4 چهارم:

3.4. عملیات با اعداد مختلط به صورت مثلثاتی

· جمع و تفریقاجرای با اعداد مختلط به شکل جبری راحت تر است:

· ضرب– با کمک تبدیل های مثلثاتی ساده می توان نشان داد که هنگام ضرب، ماژول های اعداد ضرب می شوند و آرگومان ها اضافه می شوند: ;

در این قسمت بیشتر به شکل مثلثاتی یک عدد مختلط می پردازیم. شکل نمایی در کارهای عملی بسیار کمتر رایج است. لطفا در صورت امکان دانلود و چاپ کنید. جداول مثلثاتی، مطالب روش شناسی را می توان در صفحه فرمول ها و جداول ریاضی یافت. بدون میز نمی توانید راه زیادی را طی کنید.

هر عدد مختلط (به جز صفر) را می توان به صورت مثلثاتی نوشت:

کجاست مدول عدد مختلط، آ - آرگومان عدد مختلط.

یک عدد روی صفحه مختلط رسم کنید. برای قطعیت و سادگی توضیحات، آن را در ربع مختصات اول قرار می دهیم، یعنی. ما معتقدیم که:

مدول یک عدد مختلطفاصله مبدا مختصات تا نقطه متناظر صفحه مختلط است. به زبان ساده، مدول طول استبردار شعاع که در نقاشی با رنگ قرمز مشخص شده است.

مدول یک عدد مختلط معمولاً با: یا نشان داده می شود

با استفاده از قضیه فیثاغورث، به راحتی می توان فرمولی برای یافتن مدول یک عدد مختلط بدست آورد: . این فرمول معتبر است برای هرچیبه معنای «الف» و «بودن».

توجه داشته باشید : مدول یک عدد مختلط تعمیم مفهوم است مدول عدد واقعی، به عنوان فاصله از نقطه تا مبدا.

آرگومان یک عدد مختلطتماس گرفت گوشهبین محور مثبتمحور واقعی و بردار شعاع رسم شده از مبدا تا نقطه مربوطه. آرگومان برای مفرد تعریف نشده است:.

اصل مورد بررسی در واقع شبیه مختصات قطبی است، جایی که شعاع قطبی و زاویه قطبی به طور منحصر به فردی یک نقطه را تعریف می کنند.

آرگومان یک عدد مختلط معمولاً با: یا نشان داده می شود

از ملاحظات هندسی، فرمول زیر برای یافتن استدلال به دست می آید:

. توجه!این فرمول فقط در نیم صفحه سمت راست کار می کند! اگر عدد مختلط در ربع مختصات 1 یا 4 قرار نگیرد، فرمول کمی متفاوت خواهد بود. این موارد را نیز بررسی خواهیم کرد.

اما ابتدا ساده ترین مثال ها را در نظر بگیرید، زمانی که اعداد مختلط روی محورهای مختصات قرار دارند.

مثال 7

اعداد مختلط را به صورت مثلثاتی بیان کنید: ,,,. بیایید طراحی را اجرا کنیم:

در واقع تکلیف شفاهی است. برای وضوح، شکل مثلثاتی یک عدد مختلط را بازنویسی می کنم:

بیایید به شدت به یاد داشته باشیم، ماژول - طول(که همیشه هست غیر منفی) بحث این است گوشه

1) عدد را به صورت مثلثاتی نشان می دهیم. مدول و آرگومان آن را بیابید. بدیهی است که محاسبه رسمی طبق فرمول:. واضح است که (عدد مستقیماً روی نیم محور مثبت واقعی قرار دارد). بنابراین عدد به صورت مثلثاتی به صورت زیر است:

پاک کردن مانند روز، عمل بررسی معکوس:

2) عدد را به صورت مثلثاتی نشان می دهیم. مدول و آرگومان آن را بیابید. بدیهی است که محاسبه رسمی طبق فرمول:. بدیهی است (یا 90 درجه). در نقاشی، گوشه با رنگ قرمز مشخص شده است. بنابراین عدد به صورت مثلثاتی به صورت زیر است: .

استفاده كردن ، به راحتی می توان شکل جبری عدد را برگرداند (در عین حال با بررسی):

3) عدد را به صورت مثلثاتی نشان می دهیم. ماژول آن را پیدا کنید و

بحث و جدل. بدیهی است که محاسبه رسمی طبق فرمول:

بدیهی است (یا 180 درجه). در نقاشی، زاویه به رنگ آبی نشان داده شده است. بنابراین عدد به صورت مثلثاتی به صورت زیر است:

معاینه:

4) و مورد جالب چهارم. بدیهی است که محاسبه رسمی طبق فرمول:.

استدلال را می توان به دو صورت نوشت: راه اول: (270 درجه) و بر این اساس: . معاینه:

با این حال، قانون زیر استانداردتر است: اگر زاویه بیشتر از 180 درجه باشد، سپس با علامت منفی و جهت مخالف ("پیمایش") زاویه نوشته می شود: (منهای 90 درجه)، در نقاشی زاویه با رنگ سبز مشخص شده است. دیدن آن آسان است

که همان زاویه است.

بنابراین، ورودی تبدیل می شود:

توجه!در هیچ موردی نباید از یکنواختی کسینوس، عجیب بودن سینوس استفاده کنید و "ساده سازی" بیشتر رکورد را انجام دهید:

به هر حال، یادآوری آن مفید است ظاهرو خواص توابع مثلثاتی و معکوس، مواد مرجع در آخرین پاراگراف های صفحه نمودارها و خواص توابع ابتدایی پایه قرار دارند. و یادگیری اعداد مختلط بسیار ساده تر است!

در طراحی ساده ترین نمونه ها این باید نوشته شود : "بدیهی است که مدول ... بدیهی است که استدلال ... است.". این واقعا واضح است و به راحتی به صورت شفاهی حل می شود.

بیایید به موارد رایج تر برویم. ماژول هیچ مشکلی ندارد، همیشه باید از فرمول استفاده کنید. اما فرمول های یافتن آرگومان متفاوت خواهد بود، بستگی به این دارد که عدد در کدام یک از ربع مختصات قرار داشته باشد. در این مورد، سه گزینه ممکن است (بازنویسی آنها مفید است):

1) اگر (ربع مختصات 1 و 4 یا نیم صفحه سمت راست)، آرگومان باید با فرمول پیدا شود.

2) اگر (یک چهارم مختصات دوم)، آرگومان باید با فرمول پیدا شود .

3) اگر (سه ماهه مختصات 3)، آرگومان باید با فرمول پیدا شود .

مثال 8

اعداد مختلط را به صورت مثلثاتی بیان کنید: ,,,.

به محض اینکه فرمول های آماده وجود دارد، نقاشی لازم نیست. اما یک نکته وجود دارد: وقتی از شما خواسته می شود که یک عدد را به صورت مثلثاتی ارائه کنید، پس به هر حال طراحی بهتر است انجام شود. واقعیت این است که معلمان اغلب یک راه حل بدون نقاشی را رد می کنند، عدم وجود نقاشی دلیل جدی برای منهای و شکست است.

ما اعداد را نشان می دهیم و به صورت مختلط اعداد اول و سوم برای حل مستقل خواهند بود.

بیایید عدد را به صورت مثلثاتی نشان دهیم. مدول و آرگومان آن را بیابید.

از آنجا که (مورد 2)، پس

- در اینجا باید از عجیب بودن مماس قوس استفاده کنید. متأسفانه، هیچ مقداری در جدول وجود ندارد، بنابراین در چنین مواردی آرگومان باید به شکل دست و پا گیر باقی بماند: - اعداد به صورت مثلثاتی.

بیایید عدد را به صورت مثلثاتی نشان دهیم. مدول و آرگومان آن را بیابید.

از آنجایی که (مورد 1)، سپس (منهای 60 درجه).

بدین ترتیب:

یک عدد به شکل مثلثاتی است.

و در اینجا، همانطور که قبلا ذکر شد، معایب دست نزن.

علاوه بر روش تأیید گرافیکی خنده دار، یک تأیید تحلیلی نیز وجود دارد که قبلاً در مثال 7 انجام شده است. جدول مقادیر توابع مثلثاتی، ضمن در نظر گرفتن اینکه زاویه دقیقاً زاویه جدولی (یا 300 درجه) است: - اعداد به شکل جبری اصلی.

اعداد و خود را به صورت مثلثاتی نشان دهید. راه حل کوتاه و پاسخ در پایان درس.

در پایان بخش، به طور خلاصه در مورد شکل نمایی یک عدد مختلط.

هر عدد مختلط (به جز صفر) را می توان به صورت نمایی نوشت:

مدول عدد مختلط کجاست و آرگومان عدد مختلط است.

برای نمایش یک عدد مختلط به صورت نمایی چه باید کرد؟ تقریباً یکسان است: طراحی را اجرا کنید، ماژول و آرگومان را پیدا کنید. و عدد را به صورت بنویسید.

به عنوان مثال، برای شماره مثال قبلی، مدول و آرگومان را پیدا کردیم:,. سپس این عدد به صورت نمایی به صورت زیر نوشته می شود:

عدد به صورت نمایی به شکل زیر خواهد بود:

عدد - بنابراین:

تنها توصیه این است نشانگر را لمس نکنیدتوان، نیازی به تنظیم مجدد فاکتورها، باز کردن براکت ها و غیره نیست. یک عدد مختلط به صورت نمایی نوشته شده است موکداآگاه کردن.

اعمال روی اعداد مختلط که به شکل جبری نوشته شده اند

شکل جبری عدد مختلط z =(آ,ب) عبارت جبری شکل نامیده می شود

z = آ + دو.

عملیات حسابی روی اعداد مختلط z 1 = a 1 +b 1 منو z 2 = a 2 +b 2 من، که به صورت جبری نوشته شده است، به شرح زیر انجام می شود.

1. مجموع (تفاوت) اعداد مختلط

z 1 ± z 2 = (آ 1 ± الف 2) + (ب 1 ± ب 2)∙ من,

آن ها جمع (تفریق) طبق قانون جمع چندجمله ای با کاهش عبارت های مشابه انجام می شود.

2. حاصل ضرب اعداد مختلط

z 1 ∙z 2 = (آ 1 ∙a 2 -ب 1 ∙ب 2) + (آ 1 ∙ب 2 +a 2 ∙ب 1)∙ من,

آن ها ضرب طبق قاعده معمول برای ضرب چندجمله ای ها با در نظر گرفتن این واقعیت انجام می شود من 2 = 1.

3. تقسیم دو عدد مختلط طبق قانون زیر انجام می شود:

, (z 2 ≠ 0),

آن ها تقسیم با ضرب سود و مقسوم علیه مزدوج مقسوم انجام می شود.

توان اعداد مختلط به صورت زیر تعریف می شود:

نشان دادن آن آسان است

مثال ها.

1. مجموع اعداد مختلط را بیابید z 1 = 2 – منو z 2 = – 4 + 3من.

z 1 +z 2 = (2 + (–1)∙ من)+ (–4 + 3من) = (2 + (–4)) + ((–1) + 3) من = –2+2من.

2. حاصل ضرب اعداد مختلط را بیابید z 1 = 2 – 3منو z 2 = –4 + 5من.

= (2 – 3من) ∙ (–4 + 5من) = 2 ∙(–4) + (-4) ∙(–3من)+ 2∙5من– 3من ∙ 5من = 7+22من.

3. خصوصی را پیدا کنید zاز تقسیم z 1 \u003d 3 - 2 z 2 = 3 – من.

z= .

4- معادله را حل کنید: ایکسو y Î آر.

(2x+y) + (x+y)من = 2 + 3من.

به دلیل برابری اعداد مختلط، داریم:

جایی که x=–1 , y= 4.

5. محاسبه کنید: من 2 ,من 3 ,من 4 ,من 5 ,من 6 ,من -1 ، من -2 .

6. محاسبه کنید اگر .

7. یک عدد را محاسبه کنید متقابل عدد z=3-من.

اعداد مختلط به صورت مثلثاتی

هواپیمای پیچیدهصفحه ای با مختصات دکارتی نامیده می شود ( x، y، اگر هر نقطه با مختصات ( الف، ب) یک عدد مختلط به آن اختصاص داده شده است z = a + bi. در این حالت محور آبسیسا نامیده می شود محور واقعی، و محور y است خیالی. سپس هر عدد مختلط a+biبه صورت هندسی روی یک صفحه به عنوان یک نقطه نشان داده می شود الف (الف، ب) یا بردار .

بنابراین، موقعیت نقطه آ(و از این رو عدد مختلط z) را می توان با طول بردار تنظیم کرد | | = rو زاویه jتشکیل شده توسط بردار | | با جهت مثبت محور واقعی. طول یک بردار نامیده می شود مدول عدد مختلطو با | نشان داده می شود z|=r، و زاویه jتماس گرفت آرگومان عدد مختلطو نشان داد j = argz.

واضح است که | z| ³ 0 و | z | = 0 Û z= 0.

از انجیر 2 نشان می دهد که .

آرگومان یک عدد مختلط به طور مبهم و تا 2 تعریف می شود pk,kÎ ز.

از انجیر 2 همچنین نشان می دهد که اگر z=a+biو j=argz،که

cos j =، گناه j =، tg j = .

اگر zOآرو z > 0 سپس argz = 0 +2pk;

اگر z Оآرو z< 0 سپس argz = p + 2pk;

اگر z= 0,argzتعریف نشده

مقدار اصلی آرگومان در بازه 0 تعیین می شود £ argz 2 پوند پ،

یا -پ£ arg z £ p.

مثال ها:

1. مدول اعداد مختلط را بیابید z 1 = 4 – 3منو z 2 = –2–2من.