☰

درجه A1 با توان گویا. خواص درجات، صورت‌بندی‌ها، برهان‌ها، مثال‌ها


در این مقاله خواهیم فهمید که چیست درجه از. در اینجا ما تعاریفی از توان یک عدد ارائه می دهیم، در حالی که تمام توان های ممکن را به تفصیل در نظر می گیریم، از توان طبیعی شروع می کنیم و با توان غیر منطقی خاتمه می دهیم. در مطالب شما نمونه های زیادی از درجات را خواهید یافت که تمام ظرافت هایی را که به وجود می آید را پوشش می دهد.

پیمایش صفحه.

توان با توان طبیعی، مربع یک عدد، مکعب یک عدد

بیا شروع کنیم با . با نگاهی به آینده، بیایید بگوییم که تعریف توان یک عدد a با شاخص طبیعی n برای a داده می شود که آن را فراخوانی می کنیم پایه مدرک، و n که آنها را فرا خواهیم خواند توان. همچنین توجه می کنیم که درجه ای با توان طبیعی از طریق یک محصول تعیین می شود، بنابراین برای درک مطالب زیر باید درک درستی از ضرب اعداد داشته باشید.

تعریف.

توان عددی با توان طبیعی nعبارتی از شکل a n است که مقدار آن برابر با حاصل ضرب n عامل است که هر کدام برابر با a است، یعنی .
به طور خاص، توان یک عدد a با توان 1، خود عدد a است، یعنی a 1 =a.

شایان ذکر است فوراً در مورد قوانین خواندن مدارک تحصیلی ذکر شود. روش جهانی برای خواندن نماد a n این است: "a به توان n". در برخی موارد، گزینه های زیر نیز قابل قبول است: "الف به توان n ام" و "نام قدرت a". برای مثال، بیایید توان 8 12 را در نظر بگیریم، این "هشت به توان دوازده" یا "هشت به توان دوازدهم" یا "دوازدهمین توان از هشت" است.

توان دوم یک عدد و همچنین توان سوم یک عدد نام های خاص خود را دارند. توان دوم یک عدد نامیده می شود مربع عددبه عنوان مثال، 7 2 به عنوان "هفت مربع" یا "مربع عدد هفت" خوانده می شود. توان سوم یک عدد نامیده می شود اعداد مکعبیبه عنوان مثال، 5 3 را می توان به عنوان "پنج مکعب" خواند یا می توانید بگویید "مکعب عدد 5".

وقت آوردن است نمونه هایی از درجه با توان طبیعی. بیایید با درجه 5 7 شروع کنیم، در اینجا 5 پایه درجه است و 7 توان است. بیایید مثال دیگری بیاوریم: 4.32 پایه است و عدد طبیعی 9 توان (4.32) 9 است.

لطفا توجه داشته باشید که در مثال آخر، پایه توان 4.32 در پرانتز نوشته شده است: برای جلوگیری از مغایرت، تمام پایه های توان را که با اعداد طبیعی متفاوت هستند را در پرانتز قرار می دهیم. به عنوان مثال، درجات زیر را با توان های طبیعی می آوریم ، پایه های آنها اعداد طبیعی نیستند، بنابراین در پرانتز نوشته می شوند. خوب، برای وضوح کامل، در این مرحله تفاوت موجود در رکوردهای فرم (-2) 3 و -2 3 را نشان خواهیم داد. عبارت (-2) 3 توان 2- با توان طبیعی 3 است و عبارت -2 3 (می توان آن را به صورت -(2 3) نوشت) با عدد، مقدار توان 2 3 مطابقت دارد. .

توجه داشته باشید که یک نماد برای توان یک عدد a با توان n به شکل a^n وجود دارد. علاوه بر این، اگر n یک عدد طبیعی چند مقداری باشد، توان در پرانتز گرفته می شود. به عنوان مثال، 4^9 نماد دیگری برای توان 4 9 است. و در اینجا چند نمونه دیگر از نوشتن درجه با استفاده از نماد "^" وجود دارد: 14^(21) , (−2,1)^(155) . در ادامه، ما در درجه اول از نماد درجه به شکل a n استفاده خواهیم کرد.

یکی از مشکلات معکوس افزایش توان با توان طبیعی، مشکل یافتن پایه توان توسط ارزش شناخته شدهدرجه و شاخص شناخته شده این وظیفه منجر به .

مشخص است که مجموعه اعداد گویا از اعداد صحیح و کسری تشکیل شده است و هر عدد کسری را می توان به صورت مثبت یا منفی نشان داد. کسر مشترک. در پاراگراف قبل، درجه را با یک توان عدد صحیح تعریف کردیم، بنابراین، برای تکمیل تعریف درجه با شاخص منطقی، باید به توان عدد a با توان کسری m/n معنی بدهید که m یک عدد صحیح و n یک عدد طبیعی است. بیایید آن را انجام دهیم.

بیایید درجه ای را با یک توان کسری شکل در نظر بگیریم. برای اینکه ویژگی قدرت به قدرت معتبر باقی بماند، برابری باید برقرار باشد . اگر برابری حاصل و نحوه تعیین مان را در نظر بگیریم، منطقی است که آن را بپذیریم، مشروط بر اینکه با در نظر گرفتن m، n و a، عبارت معنا پیدا کند.

به راحتی می توان بررسی کرد که همه ویژگی های یک درجه با توان صحیح معتبر هستند (این کار در بخش خصوصیات یک درجه با توان گویا انجام شد).

استدلال فوق به ما اجازه می دهد تا موارد زیر را بیان کنیم نتیجه: اگر عبارت m، n و a معنی داشته باشد، توان a با توان کسری m/n را ریشه n ام به توان m می نامند.

این عبارت ما را به تعریف درجه با توان کسری نزدیک می کند. تنها چیزی که باقی می‌ماند این است که توصیف کنیم که عبارت در چه چیزی m، n و a معنا دارد. بسته به محدودیت هایی که بر روی m، n و a اعمال می شود، دو رویکرد اصلی وجود دارد.

    ساده ترین راه این است که با گرفتن a≥0 برای m مثبت و a>0 برای m منفی، یک محدودیت بر a اعمال کنیم (زیرا برای m≤0 درجه 0 m تعریف نشده است). سپس تعریف زیر را از درجه با توان کسری بدست می آوریم.

    تعریف.

    توان یک عدد مثبت a با توان کسری m/n، جایی که m یک عدد صحیح و n یک عدد طبیعی است، ریشه n عدد a به توان m نامیده می شود، یعنی .

    توان کسری صفر نیز با این نکته مشخص می شود که نشانگر باید مثبت باشد.

    تعریف.

    توان صفر با توان مثبت کسری m/n، که در آن m یک عدد صحیح مثبت و n یک عدد طبیعی است، به صورت تعریف می شود .
    وقتی درجه تعیین نمی شود، یعنی درجه عدد صفر با توان منفی کسری معنی ندارد.

    لازم به ذکر است که با این تعریف از درجه با توان کسری، یک اخطار وجود دارد: برای برخی منفی a و برخی m و n، عبارت معنا پیدا می کند و ما با ارائه شرط a≥0 این موارد را کنار گذاشتیم. به عنوان مثال، ورودی ها منطقی هستند یا، و تعریف ارائه شده در بالا ما را مجبور می کند بگوییم که توان هایی با یک توان کسری شکل منطقی نیست، زیرا پایه نباید منفی باشد.

    روش دیگر برای تعیین درجه با توان کسری m/n، در نظر گرفتن مجزا نماهای زوج و فرد ریشه است. این رویکرد مستلزم شرط اضافی: توان عدد a که توان آن برابر است، توان عدد a در نظر گرفته می شود که توان آن کسری تقلیل ناپذیر مربوطه است (در ادامه اهمیت این شرط را توضیح خواهیم داد). یعنی اگر m/n کسری غیر قابل تقلیل باشد، برای هر عدد طبیعی k درجه ابتدا با .

    برای n و m مثبت، عبارت برای هر غیرمنفی a معنا دارد (ریشه زوج یک عدد منفی برای m معنی ندارد، عدد a همچنان باید با صفر متفاوت باشد (در غیر این صورت تقسیم وجود خواهد داشت). با صفر). و برای n فرد و m مثبت، عدد a می تواند هر باشد (ریشه یک درجه فرد برای هر عدد واقعی تعریف می شود) و برای m منفی، عدد a باید غیر صفر باشد (به طوری که تقسیم بر وجود نداشته باشد. صفر).

    استدلال فوق ما را به این تعریف درجه با توان کسری می رساند.

    تعریف.

    فرض کنید m/n یک کسری تقلیل ناپذیر، m یک عدد صحیح و n یک عدد طبیعی باشد. برای هر کسر قابل تقلیل، درجه با . توان عددی با توان کسری تقلیل ناپذیر m/n برابر است

    اجازه دهید توضیح دهیم که چرا درجه ای با توان کسری تقلیل پذیر ابتدا با درجه ای با توان تقلیل ناپذیر جایگزین می شود. اگر صرفاً درجه را به صورت تعریف کنیم و در مورد تقلیل ناپذیری کسر m/n قید نکنیم، با موقعیت‌هایی مشابه موارد زیر مواجه می‌شویم: از آنجایی که 6/10 = 3/5 است، پس برابری باید برقرار باشد. ، ولی ، آ .

از نماهای عدد صحیح عدد a، انتقال به توان گویا خود را نشان می دهد. در زیر یک درجه با توان گویا تعریف می کنیم و این کار را به گونه ای انجام می دهیم که تمام خصوصیات یک درجه با توان عدد صحیح حفظ شود. این امر ضروری است زیرا اعداد صحیح بخشی از اعداد گویا هستند.

مشخص است که مجموعه اعداد گویا از اعداد صحیح و کسری تشکیل شده است و هر کسر را می توان به صورت یک کسر معمولی مثبت یا منفی نشان داد. در پاراگراف قبل یک درجه را با توان عدد صحیح تعریف کردیم، بنابراین برای تکمیل تعریف درجه با توان گویا، باید درجه عدد را معنا کنیم. آبا اندیکاتور کسری m/n، جایی که متریک عدد صحیح است و n- طبیعی بیایید آن را انجام دهیم.

بیایید درجه ای را با یک توان کسری شکل در نظر بگیریم. برای اینکه ویژگی قدرت به قدرت معتبر باقی بماند، برابری باید برقرار باشد . اگر برابری به دست آمده و نحوه تعیین ریشه n درجه را در نظر بگیریم، منطقی است که قبول کنیم، مشروط بر اینکه با توجه به داده شده متر, nو آبیان معنا دارد

به راحتی می توان بررسی کرد که همه ویژگی های یک درجه با توان صحیح معتبر هستند (این کار در بخش خصوصیات یک درجه با توان گویا انجام شد).

استدلال فوق به ما اجازه می دهد تا موارد زیر را بیان کنیم نتیجه: در صورت داده شدن داده ها متر, nو آعبارت معنا پیدا می کند، سپس قدرت عدد آبا اندیکاتور کسری m/nریشه نامیده می شود nدرجه ام آتا یک درجه متر.

این عبارت ما را به تعریف درجه با توان کسری نزدیک می کند. تنها چیزی که باقی می ماند این است که در چه چیزی توضیح دهیم متر, nو آبیان معنا دارد بسته به محدودیت های اعمال شده در متر, nو آدو رویکرد اصلی وجود دارد.

1. ساده ترین راه اعمال محدودیت است آ، با پذیرفتن a≥0برای مثبت مترو a>0برای منفی متر(از کی تا حالا m≤0درجه 0 مترمشخص نشده). سپس تعریف زیر را از درجه با توان کسری بدست می آوریم.

تعریف.

توان یک عدد مثبت آبا اندیکاتور کسری m/n ، جایی که متر- کل، و n- یک عدد طبیعی که ریشه نامیده می شود n-ام شماره آتا یک درجه متر، به این معنا که، .



توان کسری صفر نیز با این نکته مشخص می شود که نشانگر باید مثبت باشد.

تعریف.

توان صفر با توان مثبت کسری m/n ، جایی که متریک عدد صحیح مثبت است و n- عدد طبیعی که به صورت تعریف شده است .
وقتی درجه تعیین نمی شود، یعنی درجه عدد صفر با توان منفی کسری معنی ندارد.

لازم به ذکر است که با این تعریف از درجه با توان کسری، یک اخطار وجود دارد: برای برخی منفی آو قدری مترو nاین عبارت منطقی است، اما ما این موارد را با معرفی شرط کنار گذاشتیم a≥0. به عنوان مثال، ورودی ها منطقی هستند یا، و تعریف ارائه شده در بالا ما را مجبور می کند بگوییم که توان هایی با یک توان کسری شکل منطقی نیست، زیرا پایه نباید منفی باشد.

2. روش دیگری برای تعیین درجه با توان کسری m/nشامل در نظر گرفتن مجزا نماهای زوج و فرد ریشه است. این رویکرد به یک شرط اضافی نیاز دارد: قدرت عدد آکه توان آن یک کسر معمولی تقلیل پذیر است، توانی از عدد در نظر گرفته می شود آکه شاخص آن کسر تقلیل ناپذیر مربوطه است (در ادامه اهمیت این شرط توضیح داده خواهد شد). یعنی اگر m/nکسری غیر قابل تقلیل است، پس برای هر عدد طبیعی کدرجه ابتدا با .

برای حتی nو مثبت متراین عبارت برای هر غیر منفی معنا پیدا می کند آ(ریشه زوج یک عدد منفی معنی ندارد)، برای منفی مترعدد آباید همچنان با صفر متفاوت باشد (در غیر این صورت تقسیم بر صفر خواهد بود). و برای فرد nو مثبت مترعدد آمی تواند هر (یک ریشه فرد برای هر عدد واقعی تعریف شده است) و برای منفی باشد مترعدد آباید غیر صفر باشد (به طوری که تقسیم بر صفر وجود نداشته باشد).

استدلال فوق ما را به این تعریف درجه با توان کسری می رساند.

تعریف.

اجازه دهید m/n- کسر غیر قابل تقلیل، متر- کل، و n- عدد طبیعی. برای هر کسر قابل تقلیل، درجه با . درجه از آبا توان کسری تقلیل ناپذیر m/n- این هست برای

o هر عدد واقعی آ، کاملا مثبت مترو طبیعی عجیب و غریب n، مثلا، ;

o هر عدد حقیقی غیر صفر آ، عدد صحیح منفی مترو عجیب و غریب n، مثلا، ;

o هر عدد غیر منفی آ، کاملا مثبت مترو حتی n، مثلا، ;

o هر گونه مثبت آ، عدد صحیح منفی مترو حتی n، مثلا، ;

o در موارد دیگر، درجه با شاخص کسری تعیین نمی شود، به عنوان مثال، درجه ها تعریف نشده اند. .a ما هیچ معنایی به مدخل ضمیمه نمی کنیم m/nچگونه ، برای توان های کسری منفی توان عدد صفر تعریف نشده است.

در خاتمه این پاراگراف، به این نکته توجه می کنیم که یک توان کسری را می توان به صورت کسری اعشاری یا اعشاری نوشت. شماره های درهم، مثلا، . برای محاسبه مقادیر عبارات از این نوع، باید توان را به صورت کسری معمولی بنویسید و سپس از تعریف توان با توان کسری استفاده کنید. برای مثال های بالا داریم و


بعد از اینکه توان یک عدد مشخص شد، منطقی است که در مورد آن صحبت کنیم خواص درجه. در این مقاله ویژگی های اصلی توان یک عدد را در حالی که تمام توان های ممکن را لمس می کنیم، ارائه می دهیم. در اینجا ما اثبات تمام خصوصیات درجه ها را ارائه می دهیم و همچنین نشان می دهیم که چگونه از این ویژگی ها هنگام حل مثال ها استفاده می شود.

پیمایش صفحه.

خواص درجات با توان طبیعی

با تعریف توانی با توان طبیعی، توان a n حاصلضرب n عامل است که هر یک برابر a است. بر اساس این تعریف و همچنین با استفاده از خواص ضرب اعداد حقیقی، می توانیم موارد زیر را بدست آوریم و توجیه کنیم خواص درجه با توان طبیعی:

  1. ویژگی اصلی درجه a m ·a n =a m+n، تعمیم آن.
  2. خاصیت توان های بهره با پایه های یکسان a m:a n =a m−n ;
  3. ویژگی توان محصول (a·b) n =a n ·b n، پسوند آن;
  4. خاصیت ضریب به درجه طبیعی (a:b) n =a n:b n ;
  5. افزایش درجه به توان (a m) n =a m·n، تعمیم آن ((a n 1) n 2) …) n k =a n 1 ·n 2 ·…·n k;
  6. مقایسه درجه با صفر:
    • اگر a>0، آنگاه n>0 برای هر عدد طبیعی n.
    • اگر a=0، a n=0;
    • اگر یک<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 اگر الف<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
  7. اگر a و b اعداد مثبت و a باشند
  8. اگر m و n اعداد طبیعی هستند به طوری که m>n، آنگاه در 0 0 نابرابری a m >a n درست است.

بیایید فوراً توجه کنیم که همه برابری های نوشته شده هستند همسانبا توجه به شرایط مشخص شده، هر دو قسمت راست و چپ آنها قابل تعویض هستند. به عنوان مثال، ویژگی اصلی کسری a m ·a n =a m+n با ساده سازی عباراتاغلب به شکل a m+n =a m ·a n استفاده می شود.

حالا بیایید هر یک از آنها را به تفصیل بررسی کنیم.

    از ویژگی حاصل ضرب دو توان با پایه های یکسان شروع می کنیم که به آن می گویند ویژگی اصلی مدرک: برای هر عدد واقعی a و هر عدد طبیعی m و n برابری a m ·a n =a m+n درست است.

    بیایید ویژگی اصلی مدرک را ثابت کنیم. با تعریف توانی با توان طبیعی، حاصل ضرب توان هایی با پایه های یکسان به شکل m ·a n را می توان به صورت ضربی نوشت. با توجه به خواص ضرب، عبارت حاصل را می توان به صورت نوشتاری نوشت و این حاصل ضرب عدد a با توان طبیعی m+n یعنی m+n است. این اثبات را کامل می کند.

    اجازه دهید مثالی بزنیم که ویژگی اصلی مدرک را تایید می کند. بیایید درجاتی را با همان پایه های 2 و توان های طبیعی 2 و 3 بگیریم، با استفاده از خاصیت پایه درجه ها می توانیم برابری 2 2 · 2 3 = 2 2+3 =2 5 را بنویسیم. بیایید اعتبار آن را با محاسبه مقادیر عبارات 2 2 · 2 3 و 2 5 بررسی کنیم. انجام قدرت، ما داریم 2 2 · 2 3 =(2·2)·(2·2·2)=4·8=32و 2 5 =2·2·2·2·2=32، چون مقادیر مساوی به دست می آید، پس برابری 2 2 · 2 3 =2 5 صحیح است و خاصیت اصلی درجه را تأیید می کند.

    ویژگی اساسی یک درجه را می توان بر اساس ویژگی های ضرب به حاصل ضرب سه یا چند توان با پایه ها و توان های طبیعی یکسان تعمیم داد. بنابراین برای هر عدد k از اعداد طبیعی n 1، n 2، ...، n k برابری زیر صادق است: a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k.

    مثلا، (2،1) 3 ·(2،1) 3 ·(2،1) 4 ·(2،1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

    ما می توانیم به ویژگی بعدی توان ها با یک توان طبیعی برویم - ویژگی توان های ضریب با پایه های یکسان: برای هر عدد واقعی غیر صفر a و اعداد طبیعی دلخواه m و n که شرط m>n را برآورده می کنند، برابری a m:a n =a m−n درست است.

    قبل از ارائه اثبات این خاصیت، اجازه دهید به معنای شرایط اضافی در فرمول بندی بپردازیم. شرط a≠0 برای اجتناب از تقسیم بر صفر ضروری است، زیرا 0 n = 0 است و وقتی با تقسیم آشنا شدیم، توافق کردیم که نمی توانیم بر صفر تقسیم کنیم. شرط m>n معرفی می شود تا از نماهای طبیعی فراتر نرویم. در واقع، برای m>n توان m-n یک عدد طبیعی است، در غیر این صورت یا صفر خواهد بود (که برای m-n اتفاق می افتد) یا یک عدد منفی (که برای m اتفاق می افتد).

    اثبات ویژگی اصلی کسری به ما اجازه می دهد تا تساوی را بنویسیم a m−n ·a n =a (m−n)+n =a m. از تساوی حاصل a m−n ·a n =a m و نتیجه می شود که m−n ضریبی از توان های a m و a n است. این ویژگی قدرت های ضریب با پایه های یکسان را ثابت می کند.

    بیایید یک مثال بزنیم. بیایید دو درجه با پایه های مشابه π و توان های طبیعی 5 و 2 در نظر بگیریم، تساوی π 5:π 2 =π 5-3 =π 3 با خاصیت در نظر گرفته شده درجه مطابقت دارد.

    حالا بیایید در نظر بگیریم ویژگی قدرت محصول: توان طبیعی n حاصلضرب هر دو عدد واقعی a و b برابر است با حاصل ضرب توان های a n و b n یعنی (a·b) n =a n ·b n .

    در واقع، با تعریف یک درجه با توان طبیعی، ما داریم . بر اساس خواص ضرب، آخرین حاصل ضرب را می توان به صورت بازنویسی کرد ، که برابر با a n · b n است.

    در اینجا یک مثال است: .

    این ویژگی به توان حاصل ضرب سه یا چند عامل گسترش می یابد. یعنی خاصیت درجه طبیعی n حاصل ضرب k عامل به صورت نوشته می شود (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n.

    برای وضوح، این ویژگی را با یک مثال نشان خواهیم داد. برای حاصل ضرب سه عامل به توان 7 داریم .

    اموال زیر است خاصیت یک ضریب در نوع: ضریب اعداد حقیقی a و b، b≠0 به توان طبیعی n برابر است با ضریب توان های a n و b n، یعنی (a:b) n =a n:b n.

    اثبات را می توان با استفاده از ویژگی قبلی انجام داد. بنابراین (a:b) n b n =((a:b) b) n =a nو از تساوی (a:b) n ·b n =a n نتیجه می شود که (a:b) n ضریب a n تقسیم بر b n است.

    بیایید این ویژگی را با استفاده از اعداد خاص به عنوان مثال بنویسیم: .

    حالا بیایید آن را صدا کنیم خاصیت بالا بردن قدرت به یک قدرت: برای هر عدد واقعی a و هر عدد طبیعی m و n، توان a m به توان n برابر است با توان عدد a با توان m·n، یعنی (a m) n =a m·n.

    به عنوان مثال، (5 2) 3 = 5 2·3 = 5 6.

    اثبات ویژگی قدرت به درجه زنجیره برابری زیر است: .

    اموال در نظر گرفته شده را می توان از درجه به درجه به درجه و غیره گسترش داد. به عنوان مثال، برای هر اعداد طبیعی p، q، r و s برابری است . برای وضوح بیشتر، در اینجا یک مثال با اعداد خاص آورده شده است: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

    باقی مانده است که در مورد خواص مقایسه درجه با یک توان طبیعی صحبت کنیم.

    بیایید با اثبات خاصیت مقایسه صفر و توان با توان طبیعی شروع کنیم.

    ابتدا، اجازه دهید ثابت کنیم که a>0 برای هر a>0.

    حاصل ضرب دو عدد مثبت یک عدد مثبت است که از تعریف ضرب به دست می آید. این واقعیت و ویژگی های ضرب نشان می دهد که حاصل ضرب هر تعداد اعداد مثبت نیز یک عدد مثبت خواهد بود. و توان یک عدد a با توان طبیعی n طبق تعریف حاصلضرب n عامل است که هر کدام برابر با a است. این استدلال‌ها به ما اجازه می‌دهند که ادعا کنیم برای هر پایه مثبت a درجه a n است عدد مثبت. با توجه به خاصیت اثبات شده 3 5 > 0، (0.00201) 2 > 0 و .

    کاملاً واضح است که برای هر عدد طبیعی n با a=0 درجه a n صفر است. در واقع، 0 n =0·0·…·0=0 . به عنوان مثال، 0 3 = 0 و 0 762 = 0.

    بیایید به پایه های منفی درجه برویم.

    بیایید با حالتی شروع کنیم که توان یک عدد زوج است، آن را 2·m نشان می‌دهیم که m یک عدد طبیعی است. سپس . برای هر یک از حاصل‌های شکل a·a برابر است با حاصل ضرب مدول اعداد a و a، یعنی عددی مثبت است. بنابراین، محصول نیز مثبت خواهد بود و درجه a 2·m. بیایید مثال هایی بزنیم: (-6) 4 >0 , (-2,2) 12 >0 و .

    در نهایت، وقتی پایه a یک عدد منفی و توان یک عدد فرد 2 m−1 باشد، آنگاه . همه حاصلات a·a اعداد مثبت هستند، حاصل ضرب این اعداد مثبت نیز مثبت است و ضرب آن در عدد منفی باقیمانده a به عدد منفی می رسد. با توجه به این خاصیت (-5) 3<0 , (−0,003) 17 <0 и .

    بیایید به ویژگی مقایسه توان ها با توان های طبیعی یکسان بپردازیم که فرمول زیر را دارد: از دو توان با توان های طبیعی یکسان، n کمتر از توانی است که پایه آن کوچکتر است و بزرگتر قدرتی است که پایه آن بزرگتر است. . بیایید آن را ثابت کنیم.

    نابرابری a n ویژگی های نابرابری هایک نابرابری قابل اثبات از شکل a n نیز صادق است (2.2) 7 و .

    باقی مانده است که آخرین ویژگی های ذکر شده توان ها را با توان های طبیعی اثبات کنیم. بیایید آن را فرموله کنیم. از دو توان با نماهای طبیعی و پایه های مثبت یکسان کمتر از یک، توانی که توان آن کوچکتر است بزرگتر است. و از دو توان با توان های طبیعی و پایه های یکسان بزرگتر از یک، قدرتی که توان آن بزرگتر است، بزرگتر است. اجازه دهید به اثبات این خاصیت بپردازیم.

    اجازه دهید ثابت کنیم که برای m>n و 0 0 به دلیل شرط اولیه m>n، به این معنی که در 0

    باقی مانده است که قسمت دوم ملک را اثبات کنیم. اجازه دهید ثابت کنیم که برای m>n و a>1 a m >a n درست است. تفاوت a m −a n پس از خارج کردن n از پرانتز به شکل n ·(a m−n −1) است. این حاصلضرب مثبت است، زیرا برای a>1 درجه a n عددی مثبت است، و تفاوت a m−n −1 عددی مثبت است، زیرا m−n>0 به دلیل شرایط اولیه، و برای a>1 درجه m-n بزرگتر از یک است. در نتیجه، a m −a n > 0 و a m >a n، چیزی است که باید ثابت شود. این ویژگی با نابرابری 3 7 > 3 2 نشان داده شده است.

ویژگی های توان ها با توان های عدد صحیح

از آنجایی که اعداد صحیح مثبت اعداد طبیعی هستند، پس تمام ویژگی های توان های دارای نماهای اعداد صحیح مثبت دقیقاً با ویژگی های توان های دارای نماهای طبیعی که در پاراگراف قبل ذکر و اثبات شده است، منطبق است.

ما درجه ای را با توان منفی صحیح و همچنین درجه ای با توان صفر تعریف کردیم، به گونه ای که تمام ویژگی های درجات با توان طبیعی، که با برابری بیان می شوند، معتبر باقی می مانند. بنابراین، همه این ویژگی ها هم برای نماهای صفر و هم برای نماهای منفی معتبر است، در حالی که البته پایه های توان ها با صفر متفاوت است.

بنابراین، برای هر عدد واقعی و غیر صفر a و b، و همچنین هر عدد صحیح m و n، موارد زیر درست است: ویژگی های توان ها با توان های عدد صحیح:

  1. a m ·a n =a m+n ;
  2. a m:a n =a m−n ;
  3. (a·b) n =a n ·b n ;
  4. (a:b) n =a n:b n ;
  5. (a m) n =a m·n ;
  6. اگر n یک عدد صحیح مثبت باشد، a و b اعداد مثبت هستند و a b−n ;
  7. اگر m و n اعداد صحیح باشند، و m>n، در 0 1 نابرابری a m >a n برقرار است.

وقتی a=0، توان های a m و a n تنها زمانی معنا پیدا می کنند که هر دو m و n اعداد صحیح مثبت باشند، یعنی اعداد طبیعی. بنابراین، خصوصیاتی که به تازگی نوشته شده اند برای مواردی که a=0 و اعداد m و n اعداد صحیح مثبت هستند نیز معتبر هستند.

اثبات هر یک از این ویژگی ها برای انجام این کار دشوار نیست، کافی است از تعاریف درجات با توان های طبیعی و صحیح و همچنین ویژگی های عملیات با اعداد واقعی استفاده کنید. به عنوان مثال، اجازه دهید ثابت کنیم که ویژگی power-to-power هم برای اعداد صحیح مثبت و هم برای اعداد صحیح غیر مثبت صادق است. برای انجام این کار، باید نشان دهید که اگر p صفر یا یک عدد طبیعی است و q صفر یا یک عدد طبیعی است، پس تساوی (a p) q =a p·q، (a -p) q =a (-p) ·q، (a p) −q =a p·(−q) و (a -p) -q =a (-p)·(-q). بیایید آن را انجام دهیم.

برای p و q مثبت، برابری (a p) q =a p·q در پاراگراف قبل ثابت شد. اگر p=0، آنگاه (a 0) q = 1 q = 1 و a 0·q = a 0 = 1 داریم، از آنجا (a 0) q =a 0·q. به طور مشابه، اگر q = 0، آنگاه (a p) 0 = 1 و a p·0 =a 0 =1، از آنجا (a p) 0 =a p·0. اگر هر دو p=0 و q=0، آنگاه (a 0) 0 =1 0 =1 و 0·0 =a 0 =1، از این جا (a 0) 0 =a 0·0.

اکنون ثابت می کنیم که (a −p) q =a (−p)·q . پس با تعریف توانی با توان عدد صحیح منفی . با خاصیت ضریب به توان داریم . از آنجایی که 1 p =1·1·…·1=1 و سپس . آخرین عبارت، طبق تعریف، توانی به شکل a −(p·q) است که به دلیل قواعد ضرب، می توان آن را به صورت (−p)·q نوشت.

به همین ترتیب .

و .

با استفاده از همین اصل، می توانید تمام ویژگی های دیگر یک درجه را با یک توان عدد صحیح که به شکل برابری نوشته شده است، اثبات کنید.

در ماقبل آخر از ویژگی‌های ثبت‌شده، ارزش آن را دارد که بر اثبات نابرابری a −n >b−n که برای هر عدد صحیح منفی −n و هر مثبت a و b که شرط a برقرار است، معتبر است. . از آنجایی که به شرط الف 0 . حاصل ضرب a n · b n نیز به عنوان حاصل ضرب اعداد مثبت a n و b n مثبت است. سپس کسر حاصل به عنوان ضریب اعداد مثبت b n −a n و a n ·b n مثبت است. بنابراین، از آنجا a −n >b −n است که باید ثابت شود.

آخرین خاصیت توان های دارای توان های اعداد صحیح به همان صورت ثابت می شود که خاصیت مشابه توان ها با توان های طبیعی ثابت می شود.

خواص قوا با شارح عقلی

ما یک درجه را با یک توان کسری با بسط دادن خواص یک درجه با یک توان صحیح به آن تعریف کردیم. به عبارت دیگر، توان هایی با توان های کسری دارای همان ویژگی های توان های با توان های اعداد صحیح هستند. برای مثال:

اثبات خواص درجات با توان کسری بر اساس تعریف درجه با توان کسری و بر اساس خصوصیات درجه با توان عدد صحیح است. اجازه بدهید شواهدی ارائه کنیم.

با تعریف توانی با توان کسری و سپس . ویژگی های ریشه حسابی به ما اجازه می دهد تا تساوی های زیر را بنویسیم. علاوه بر این، با استفاده از خاصیت درجه با توان عدد صحیح، به دست می آوریم که از آن، با تعریف یک درجه با توان کسری، داریم ، و نشانگر مدرک تحصیلی را می توان به صورت زیر تبدیل کرد: . این اثبات را کامل می کند.

خاصیت دوم توان ها با توان های کسری به روشی کاملاً مشابه ثابت می شود:

برابری های باقی مانده با استفاده از اصول مشابه ثابت می شوند:

بیایید به اثبات ملک بعدی برویم. اجازه دهید ثابت کنیم که برای هر a و b مثبت، a b p . بیایید عدد گویا p را m/n بنویسیم که m یک عدد صحیح و n یک عدد طبیعی است. شرایط ص<0 и p>0 در این مورد شرایط m<0 и m>0 بر این اساس. برای m>0 و a

به طور مشابه، برای m<0 имеем a m >b m، از جایی که، یعنی، و a p >b p.

باقی مانده است که آخرین ویژگی های ذکر شده را اثبات کنیم. اجازه دهید ثابت کنیم که برای اعداد گویا p و q، p>q در 0 0 – نابرابری a p >a q . ما همیشه می‌توانیم اعداد گویا p و q را به یک مخرج مشترک تقلیل دهیم، حتی اگر کسرهای معمولی و را بدست آوریم، که در آن m 1 و m 2 اعداد صحیح هستند و n یک عدد طبیعی است. در این حالت، شرط p>q با شرط m 1 > m 2 مطابقت خواهد داشت که از آن ناشی می شود. سپس با خاصیت مقایسه توان ها با پایه های مشابه و توان های طبیعی در 0 1 - نابرابری a m 1 > a m 2 . این نابرابری ها در خواص ریشه ها را می توان بر این اساس بازنویسی کرد و . و تعریف درجه با توان منطقی به ما امکان می دهد به سمت نابرابری ها برویم و بر این اساس. از اینجا نتیجه نهایی را می گیریم: برای p>q و 0 0 – نابرابری a p >a q .

ویژگی های قدرت ها با شارح های غیر منطقی

از نحوه تعریف درجه با توان غیرمنطقی می توان نتیجه گرفت که تمام ویژگی های درجات با توان های گویا را دارد. بنابراین برای هر a>0، b>0 و اعداد غیر منطقی p و q موارد زیر درست است ویژگی های قدرت ها با توان های غیر منطقی:

  1. a p ·a q =a p+q ;
  2. a p:a q =a p−q ;
  3. (a·b) p =a p ·b p ;
  4. (a:b) p =a p:b p ;
  5. (a p) q =a p·q ;
  6. برای هر عدد مثبت a و b، a 0 نابرابری a p b p ;
  7. برای اعداد غیر منطقی p و q، p>q در 0 0 – نابرابری a p >a q .

از این نتیجه می‌توان نتیجه گرفت که توان‌هایی با هر توان واقعی p و q برای a>0 دارای ویژگی‌های یکسانی هستند.

کتابشناسی - فهرست کتب.

  • Vilenkin N.Ya.، ژوخوف V.I.، Chesnokov A.S.، Shvartsburd S.I. کتاب ریاضی پنجم دبستان. موسسات آموزشی
  • Makarychev Yu.N.، Mindyuk N.G.، Neshkov K.I.، Suvorova S.B. جبر: کتاب درسی پایه هفتم. موسسات آموزشی
  • Makarychev Yu.N.، Mindyuk N.G.، Neshkov K.I.، Suvorova S.B. جبر: کتاب درسی پایه هشتم. موسسات آموزشی
  • Makarychev Yu.N.، Mindyuk N.G.، Neshkov K.I.، Suvorova S.B. جبر: کتاب درسی پایه نهم. موسسات آموزشی
  • کولموگروف A.N.، Abramov A.M.، Dudnitsyn Yu.P. و دیگران جبر و آغاز تجزیه و تحلیل: کتاب درسی برای پایه های 10 - 11 موسسات آموزش عمومی.
  • گوسف V.A.، Mordkovich A.G. ریاضیات (راهنمای برای کسانی که وارد دانشکده فنی می شوند).

درس ویدیویی "نما با توان منطقی" حاوی تصویری است مطالب آموزشیبرای تدریس درسی در این زمینه این درس ویدیویی حاوی اطلاعاتی در مورد مفهوم درجه با توان منطقی، ویژگی های چنین درجاتی و همچنین مثال هایی است که استفاده از مواد آموزشی را برای حل مسائل عملی توصیف می کند. هدف از این درس ویدیویی ارائه واضح و شفاف مطالب آموزشی، تسهیل توسعه و به خاطر سپردن آن توسط دانش آموزان و ایجاد توانایی حل مسائل با استفاده از مفاهیم آموخته شده است.

از مزایای اصلی درس ویدیویی توانایی انجام بصری تبدیل ها و محاسبات، امکان استفاده از جلوه های انیمیشن برای بهبود کارایی یادگیری است. همراهی صدا به توسعه گفتار ریاضی صحیح کمک می کند و همچنین جایگزینی توضیح معلم را امکان پذیر می کند و او را برای انجام کارهای فردی آزاد می کند.

درس تصویری با معرفی موضوع آغاز می شود. هنگام اتصال مطالعه یک موضوع جدید با مطالب قبلاً مطالعه شده، پیشنهاد می شود به خاطر داشته باشید که n √a در غیر این صورت یک / n برای n طبیعی و a مثبت نشان داده می شود. این نمایش n-root روی صفحه نمایش داده می شود. در مرحله بعد، ما پیشنهاد می کنیم معنی عبارت a m/n را در نظر بگیریم که در آن a یک عدد مثبت و m/n یک کسری است. تعریف یک درجه با توان گویا به صورت m/n = n √a m داده شده است که در کادر برجسته شده است. توجه داشته باشید که n می تواند یک عدد طبیعی باشد و m می تواند یک عدد صحیح باشد.

پس از تعریف درجه با توان گویا، معنای آن از طریق مثال ها آشکار می شود: (5/100) 3/7 = 7 √(5/100) 3. یک مثال نیز نشان داده شده است که در آن درجه نشان داده شده توسط اعشاری، به کسری مشترک تبدیل می شود تا به صورت ریشه نمایش داده شود: (1/7) 1.7 = (1/7) 17/10 = 10 √(1/7) 17 و مثال با ارزش منفیدرجه: 3 -1/8 = 8 √3 -1.

ویژگی مورد خاص هنگامی که پایه درجه صفر است به طور جداگانه نشان داده شده است. خاطرنشان می شود که این درجه فقط با یک توان کسری مثبت معنا دارد. در این مورد، مقدار آن صفر است: 0 m/n = 0.

یکی دیگر از ویژگی های یک درجه با توان گویا ذکر شده است - اینکه درجه ای با توان کسری را نمی توان با توان کسری در نظر گرفت. نمونه هایی از نشانه گذاری نادرست درجات آورده شده است: (-9) -3/7، (-3) -1/3، 0 -1/5.

در ادامه در درس ویدیویی، در مورد ویژگی های درجه با توان گویا بحث می کنیم. لازم به ذکر است که ویژگی های یک درجه با توان اعداد صحیح برای درجه با توان گویا نیز معتبر خواهد بود. پیشنهاد می‌شود فهرستی از املاک را که در این مورد نیز معتبر هستند، یادآوری کنید:

  1. وقتی توان ها را با پایه های یکسان ضرب می کنیم، توان آنها جمع می شود: a p a q =a p+q.
  2. تقسیم درجه‌ها با پایه‌های یکسان به یک درجه با یک پایه معین و تفاوت در توان‌ها کاهش می‌یابد: a p:a q =a p-q.
  3. اگر درجه را به توان معینی برسانیم، در نهایت به درجه ای با پایه معین و حاصل ضرب توان ها می رسیم: (a p) q =a pq.

همه این ویژگی ها برای توان هایی با توان های گویا p، q و پایه مثبت a>0 معتبر هستند. همچنین، تغییر درجه در هنگام باز کردن پرانتز درست باقی می‌ماند:

  1. (ab) p =a p b p - افزایش به مقداری توان با توان گویا حاصل ضرب دو عدد به حاصل ضرب اعداد کاهش می یابد که هر کدام به توان معینی افزایش می یابد.
  2. (a/b) p =a p /b p - افزایش کسری به توان با توان گویا به کسری تقلیل می یابد که صورت و مخرج آن به توان معین افزایش می یابد.

این آموزش تصویری حل مثال هایی را که از ویژگی های در نظر گرفته شده توان ها با توان گویا استفاده می کنند، بحث می کند. مثال اول از شما می‌خواهد که مقدار یک عبارت حاوی متغیرهای x را در توان کسری پیدا کنید: (x 1/6 -8) 2 -16x 1/6 (x -1/6 -1). با وجود پیچیدگی بیان، با استفاده از ویژگی های قدرت ها می توان آن را به سادگی حل کرد. حل مسئله با ساده‌سازی عبارت آغاز می‌شود که از قاعده افزایش توان با توان منطقی به توان و همچنین ضرب توان با پایه یکسان استفاده می‌کند. پس از جایگزینی مقدار داده شده x=8 به عبارت ساده شده x 1/3 +48، به راحتی می توان مقدار - 50 را به دست آورد.

در مثال دوم، باید کسری را کاهش دهید که صورت و مخرج آن دارای توان هایی با توان گویا هستند. با استفاده از ویژگی های درجه، از تفاوت ضریب x 1/3 را استخراج می کنیم که سپس در صورت و مخرج کاهش می یابد و با استفاده از فرمول تفاضل مربع ها، صورت فاکتور می شود که کاهش های بیشتر یکسان را به دست می دهد. عوامل در صورت و مخرج نتیجه چنین تبدیل هایی کسر کوتاه x 1/4 +3 است.

به جای توضیح معلم در مورد موضوع جدید، می توان از درس تصویری "نما با توان منطقی" استفاده کرد. این راهنما همچنین حاوی اطلاعات کافی کامل برای خودخواندانشجو. این مطالب می تواند برای آموزش از راه دور نیز مفید باشد.

قدرت با توان منطقی

خاسیانوا تی.جی.

معلم ریاضی

مطالب ارائه شده برای معلمان ریاضی هنگام مطالعه مبحث "نما با توان منطقی" مفید خواهد بود.

هدف از مطالب ارائه شده: نشان دادن تجربه من از برگزاری یک درس با موضوع "نمایش با توان منطقی" برنامه کاریرشته "ریاضی".

روش انجام درس با نوع آن مطابقت دارد - درسی در مطالعه و در ابتدا تثبیت دانش جدید. دانش و مهارت های پایه بر اساس تجربه قبلی به روز شد. حفظ اولیه، تثبیت و استفاده از اطلاعات جدید. ادغام و به کارگیری مطالب جدید در قالب حل مسائلی که من آزمایش کردم با پیچیدگی های مختلف انجام شد. نتیجه مثبتتسلط بر موضوع

در ابتدای درس اهداف زیر را برای دانش آموزان در نظر گرفتم: آموزشی، رشدی، آموزشی. در طول درس از روش های مختلف فعالیت استفاده کردم: جلویی، فردی، زوجی، مستقل، تستی. وظایف متمایز شد و امکان شناسایی در هر مرحله از درس، میزان کسب دانش را فراهم کرد. حجم و پیچیدگی وظایف مطابقت دارد ویژگی های سنیدانش آموزان. از تجربه من - مشق شب، مشابه مشکلات حل شده در کلاس به شما امکان می دهد تا دانش و مهارت های به دست آمده را به طور قابل اعتمادی تثبیت کنید. در پایان درس، تأمل انجام شد و کار تک تک دانش آموزان مورد ارزیابی قرار گرفت.

اهداف محقق شد. دانش آموزان مفهوم و ویژگی های یک مدرک را با توان منطقی مطالعه کردند و یاد گرفتند که از این ویژگی ها هنگام حل مسائل عملی استفاده کنند. برای کار مستقل، نمرات در درس بعدی اعلام می شود.

من معتقدم که روشی که من برای تدریس ریاضی استفاده می کنم می تواند توسط معلمان ریاضی استفاده شود.

موضوع درس: قدرت با توان گویا

هدف درس:

شناسایی میزان تسلط دانش آموزان بر مجموعه ای از دانش ها و مهارت ها و بر اساس آن به کارگیری راهکارهای معین برای بهبود فرآیند آموزشی.

اهداف درس:

آموزشی:ایجاد دانش جدید در بین دانش آموزان مفاهیم اساسی، قوانین، قوانین برای تعیین درجه با یک شاخص منطقی، توانایی استفاده مستقل از دانش در شرایط استاندارد، در شرایط اصلاح شده و غیر استاندارد.

در حال توسعه:منطقی فکر کنید و توانایی های خلاقانه را درک کنید.

بالا بردن:علاقه به ریاضیات را توسعه دهید، واژگان را با اصطلاحات جدید پر کنید، به دست آورید اطلاعات تکمیلیدر مورد دنیای اطراف ما صبر، پشتکار و توانایی غلبه بر مشکلات را در خود پرورش دهید.

    زمان سازماندهی

    به روز رسانی دانش مرجع

    وقتی توان ها را با پایه های یکسان ضرب می کنیم، توان ها اضافه می شوند، اما پایه ثابت می ماند:

مثلا،

2. هنگام تقسیم درجه با پایه های یکسان، توان درجات کم می شود، اما پایه ثابت می ماند:


مثلا،

3. هنگام بالا بردن درجه به توان، توانها ضرب می شوند، اما پایه ثابت می ماند:


مثلا،

4. درجه محصول برابر است با حاصل ضرب درجات عوامل:

مثلا،

5. درجه نصاب برابر است با نصاب درجات سود و مقسوم:


مثلا،

تمرینات با راه حل

معنی عبارت را پیدا کنید:

راه حل:

در این حالت، هیچ یک از ویژگی های یک درجه با توان طبیعی را نمی توان به صراحت اعمال کرد، زیرا همه درجات دارای پایه های متفاوتی هستند. بیایید برخی از قدرت ها را به شکل دیگری بنویسیم:

(درجه حاصل برابر است با حاصل ضرب درجات عوامل).


(هنگامی که توان ها را با پایه های یکسان ضرب می کنیم، توان ها اضافه می شوند، اما پایه ثابت می ماند؛ وقتی یک درجه را به توان می آوریم، توان ها ضرب می شوند، اما پایه ثابت می ماند).

سپس دریافت می کنیم:

در این مثال از چهار ویژگی اول یک درجه با توان طبیعی استفاده شده است.

جذر حسابی
عددی غیر منفی است که مربع آن برابر استآ,
. در
- اصطلاح
تعریف نشده است، زیرا هیچ عدد واقعی وجود ندارد که مربع آن برابر با یک عدد منفی باشدآ.

دیکته ریاضی(8-10 دقیقه)

    گزینه

II. گزینه

1-مقدار عبارت را پیدا کنید

آ)

ب)

1-مقدار عبارت را پیدا کنید

آ)

ب)

2. محاسبه کنید

آ)

ب)

که در)

2. محاسبه کنید

آ)

ب)

V)

خودآزمایی(روی تخته برگردان):

ماتریس پاسخ:

№ گزینه / وظیفه

مشکل 1

مشکل 2

انتخاب 1

الف) 2

ب) 2

الف) 0.5

ب)

V)

گزینه 2

الف) 1.5

ب)

آ)

ب)

در 4

II شکل گیری دانش جدید

بیایید در نظر بگیریم که این عبارت چه معنایی دارد، کجا - عدد مثبت- عدد کسری و m-عدد صحیح، n-طبیعی (n›1)

تعریف: توان a›0 با توان گویاr = , متر-کل، n-طبیعی ( n›1) شماره تماس گرفته می شود.

بنابراین:

مثلا:

یادداشت:

1. برای هر a مثبت و هر عدد r گویا مثبت

2. وقتی
قدرت منطقی یک عددآمشخص نشده.

عباراتی مانند
منطقی نیست

3.اگر یک عدد مثبت کسری است
.

اگر کسری پس عدد منفی -معنی ندارد

مثلا: - معنی نداره

بیایید ویژگی های یک درجه با توان گویا را در نظر بگیریم.

بگذارید a >0، b>0. r، s - هر اعداد گویا. سپس یک درجه با هر توان گویا دارای ویژگی های زیر است:

1.
2.
3.
4.
5.

III. تحکیم. شکل گیری مهارت ها و توانایی های جدید.

کارت های وظیفه در گروه های کوچک به صورت تست کار می کنند.