چگونه ریشه یک معادله کسری را پیدا کنیم. ODZ. محدوده معتبر

بیایید با معادلات گویا و کسری آشنا شویم، تعریف آنها را بیان کنیم، مثال بزنیم و همچنین رایج ترین انواع مسائل را تحلیل کنیم.

Yandex.RTB R-A-339285-1

معادله عقلی: تعریف و مثال

آشنایی با عبارات عقلی از کلاس هشتم مدرسه شروع می شود. در این زمان، در درس های جبر، دانش آموزان به طور فزاینده ای شروع به انجام وظایف با معادلاتی می کنند که شامل عبارات منطقی در یادداشت های خود است. بیایید حافظه خود را از آنچه هست تازه کنیم.

تعریف 1

معادله منطقیمعادله ای است که در آن هر دو طرف دارای عبارات منطقی هستند.

در کتابچه های مختلف، می توانید عبارت دیگری را بیابید.

تعریف 2

معادله منطقیچنین معادله ای است که رکورد سمت چپ آن شامل بیان منطقی، در حالی که سمت راست صفر است.

تعاریفی که ما برای معادلات عقلی ارائه کرده ایم معادل هستند، زیرا آنها به یک معنا هستند. صحت سخنان ما با این واقعیت تأیید می شود که برای هر عبارات عقلانی پو سمعادلات P=Qو P - Q = 0عبارات معادل خواهد بود.

حالا بیایید به مثال ها بپردازیم.

مثال 1

معادلات منطقی:

x = 1، 2 x − 12 x 2 y z 3 = 0، x x 2 + 3 x - 1 = 2 + 2 7 x - a (x + 2)، 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 = 3.

معادلات گویا، درست مانند معادلات انواع دیگر، می توانند شامل هر تعداد متغیر از 1 تا چند باشند. برای شروع، به مثال‌های ساده‌ای نگاه می‌کنیم که در آن معادلات فقط یک متغیر را شامل می‌شوند. و سپس به تدریج شروع به پیچیده کردن کار می کنیم.

معادلات گویا به دو گروه بزرگ تقسیم می شوند: عدد صحیح و کسری. بیایید ببینیم کدام معادلات برای هر یک از گروه ها اعمال می شود.

تعریف 3

یک معادله گویا یک عدد صحیح خواهد بود اگر رکورد قسمت چپ و راست آن شامل کل عبارات گویا باشد.

تعریف 4

یک معادله گویا کسری خواهد بود اگر یک یا هر دو جزء آن دارای کسری باشد.

معادلات منطقی کسری لزوماً شامل تقسیم بر یک متغیر هستند یا متغیر در مخرج وجود دارد. چنین تقسیم بندی در نوشتن معادلات اعداد صحیح وجود ندارد.

مثال 2

3 x + 2 = 0و (x + y) (3 x 2 - 1) + x = - y + 0 , 5معادلات کامل عقلی هستند. در اینجا هر دو بخش معادله با عبارات عدد صحیح نشان داده می شوند.

1 x - 1 = x 3 و x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x − 1) : 5معادلات کسری گویا هستند.

کل معادلات منطقی شامل معادلات خطی و درجه دوم است.

حل معادلات کامل

حل چنین معادلاتی معمولاً به تبدیل آنها به معادلات جبری معادل کاهش می یابد. این را می توان با انجام تبدیل معادلات مطابق با الگوریتم زیر بدست آورد:

ابتدا در سمت راست معادله صفر می گیریم، برای این منظور باید عبارتی را که در سمت راست معادله قرار دارد به آن منتقل کنیم. سمت چپو علامت را تغییر دهید.
سپس عبارت سمت چپ معادله را به یک چند جمله ای استاندارد تبدیل می کنیم.

ما باید یک معادله جبری بدست آوریم. این معادله با توجه به معادله اصلی معادل خواهد بود. موارد آسان به ما این امکان را می دهد که با کاهش کل معادله به یک معادله خطی یا درجه دوم، مشکل را حل کنیم. در حالت کلی، معادله جبری درجه را حل می کنیم n.

مثال 3

باید ریشه کل معادله را پیدا کرد 3 (x + 1) (x - 3) = x (2 x - 1) - 3.

راه حل

اجازه دهید عبارت اصلی را تبدیل کنیم تا معادله جبری معادل آن به دست آوریم. برای این کار عبارت موجود در سمت راست معادله را به سمت چپ منتقل می کنیم و علامت را به عکس تغییر می دهیم. در نتیجه، دریافت می کنیم: 3 (x + 1) (x - 3) - x (2 x - 1) + 3 = 0.

حال عبارت سمت چپ را به چند جمله ای از فرم استاندارد تبدیل می کنیم و اقدامات لازم را با این چند جمله ای انجام می دهیم:

3 (x + 1) (x - 3) - x (2 x - 1) + 3 = (3 x + 3) (x - 3) - 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2 - 9 x + 3 x - 9 - 2 x 2 + x + 3 = x 2 - 5 x - 6

ما موفق شدیم حل معادله اصلی را به حل معادله درجه دوم فرم تقلیل دهیم x 2 − 5 x − 6 = 0. تمایز این معادله مثبت است: D = (- 5) 2 - 4 1 (- 6) = 25 + 24 = 49.این بدان معناست که دو ریشه واقعی وجود خواهد داشت. بیایید آنها را با استفاده از فرمول ریشه های معادله درجه دوم پیدا کنیم:

x \u003d - - 5 ± 49 2 1،

x 1 \u003d 5 + 7 2 یا x 2 \u003d 5 - 7 2،

x 1 = 6 یا x 2 = - 1

بیایید صحت ریشه های معادله ای را که در مسیر حل پیدا کردیم بررسی کنیم. برای این عدد که دریافت کردیم، معادله اصلی را جایگزین می کنیم: 3 (6 + 1) (6 − 3) = 6 (2 6 − 1) − 3و 3 (- 1 + 1) (- 1 - 3) = (- 1) (2 (- 1) - 1) - 3. در مورد اول 63 = 63 ، در دوم 0 = 0 . ریشه ها x=6و x = - 1در واقع ریشه های معادله داده شده در شرط مثال هستند.

پاسخ: 6 , − 1 .

بیایید ببینیم «قدرت کل معادله» به چه معناست. ما اغلب در مواردی که نیاز داریم یک معادله کامل را در قالب یک معادله جبری نشان دهیم، با این اصطلاح روبرو خواهیم شد. بیایید مفهوم را تعریف کنیم.

تعریف 5

درجه یک معادله عدد صحیحدرجه یک معادله جبری معادل معادله کل اصلی است.

اگر به معادلات مثال بالا نگاه کنید، می توانید تعیین کنید: درجه کل این معادله دوم است.

اگر دوره ما محدود به حل معادلات درجه دوم بود، بررسی موضوع را می توان در اینجا تکمیل کرد. اما همه چیز به این سادگی نیست. حل معادلات درجه سوم با مشکلاتی همراه است. و برای معادلات بالای درجه چهارم اصلا وجود ندارد فرمول های کلیریشه ها در این راستا، حل کل معادلات درجات سوم، چهارم و غیره نیازمند استفاده از تعدادی تکنیک و روش دیگر است.

متداول ترین رویکرد برای حل کل معادلات منطقی مبتنی بر روش فاکتورسازی است. الگوریتم اقدامات در این مورد به شرح زیر است:

عبارت را از سمت راست به سمت چپ منتقل می کنیم تا صفر در سمت راست رکورد باقی بماند.
عبارت سمت چپ را به عنوان حاصلضرب فاکتورها نشان می دهیم و سپس به مجموعه ای از چندین معادله ساده تر می رویم.

مثال 4

جواب معادله (x 2 − 1) (x 2 − 10 x + 13) = 2 x (x 2 − 10 x + 13) را بیابید.

راه حل

عبارت را از سمت راست رکورد به سمت چپ با علامت مخالف منتقل می کنیم: (x 2 − 1) (x 2 − 10 x + 13) − 2 x (x 2 − 10 x + 13) = 0. تبدیل سمت چپ به چند جمله ای از فرم استاندارد غیر عملی است زیرا این امر معادله جبری درجه چهارم را به ما می دهد: x 4 - 12 x 3 + 32 x 2 - 16 x - 13 = 0. سهولت تبدیل همه مشکلات حل چنین معادله ای را توجیه نمی کند.

رفتن به راه دیگر بسیار ساده تر است: ما عامل مشترک را حذف می کنیم x 2 - 10 x + 13 .بنابراین به معادله ای از فرم می رسیم (x 2 − 10 x + 13) (x 2 − 2 x − 1) = 0. اکنون معادله حاصل را با مجموعه ای از دو معادله درجه دوم جایگزین می کنیم x 2 − 10 x + 13 = 0و x 2 − 2 x − 1 = 0و ریشه های آنها را از طریق ممیز پیدا کنید: 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 .

پاسخ: 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 .

به همین ترتیب می توانیم از روش معرفی متغیر جدید استفاده کنیم. این روش به ما اجازه می دهد تا به معادلات معادل با توان های کمتر از معادلات کل معادله اصلی منتقل شویم.

مثال 5

آیا معادله ریشه دارد؟ (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = − 2 (x 2 + 3 x − 4)?

راه حل

اگر اکنون سعی کنیم کل معادله عقلی را به یک معادله جبری تقلیل دهیم، معادله ای با درجه 4 به دست می آید که هیچ ریشه های عقلانی. بنابراین، راه دیگری برای ما آسان تر خواهد بود: یک متغیر جدید y را معرفی کنید، که جایگزین عبارت در معادله خواهد شد. x 2 + 3 x.

حالا با کل معادله کار می کنیم (y + 1) 2 + 10 = - 2 (y - 4). سمت راست معادله را با علامت مخالف به سمت چپ منتقل می کنیم و تبدیل های لازم را انجام می دهیم. ما گرفتیم: y 2 + 4 y + 3 = 0. بیایید ریشه های معادله درجه دوم را پیدا کنیم: y = - 1و y = - 3.

حالا بیایید تعویض معکوس را انجام دهیم. دو معادله بدست می آوریم x 2 + 3 x = - 1و x 2 + 3 x = - 3 .بیایید آنها را به صورت x 2 + 3 x + 1 = 0 بازنویسی کنیم و x 2 + 3 x + 3 = 0. از فرمول ریشه های معادله درجه دوم برای یافتن ریشه های اولین معادله به دست آمده استفاده می کنیم: - 3 ± 5 2 . ممیز معادله دوم منفی است. یعنی معادله دوم ریشه واقعی ندارد.

پاسخ:- 3 ± 5 2

معادلات کل درجات بالااغلب در وظایف روبرو می شوند. نیازی به ترس از آنها نیست. شما باید آماده به کارگیری یک روش غیر استاندارد برای حل آنها، از جمله تعدادی تغییر شکل مصنوعی باشید.

حل معادلات کسری گویا

ما بررسی این موضوع فرعی را با الگوریتمی برای حل معادلات منطقی کسری به شکل p (x) q (x) = 0 آغاز می کنیم، که در آن p(x)و q(x)عبارت های منطقی اعداد صحیح هستند. حل سایر معادلات منطقی کسری را همیشه می توان به حل معادلات شکل نشان داده شده تقلیل داد.

متداول ترین روش برای حل معادلات p (x) q (x) = 0 بر اساس عبارت زیر است: کسر عددی u v، جایی که vعددی است که با صفر متفاوت است، فقط در مواردی که صورت کسری برابر با صفر باشد، برابر با صفر است. با پیروی از منطق عبارت فوق، می توان ادعا کرد که حل معادله p (x) q (x) = 0 را می توان به تحقق دو شرط کاهش داد: p(x)=0و q(x) ≠ 0. روی این، یک الگوریتم برای حل معادلات گویا کسری به شکل p (x) q (x) = 0 ساخته شده است:

جواب کل معادله گویا را پیدا می کنیم p(x)=0;
ما بررسی می کنیم که آیا شرایط برای ریشه هایی که در طول محلول یافت می شوند برآورده می شود یا خیر q(x) ≠ 0.

اگر این شرط برآورده شود، ریشه پیدا شده است، اگر نه، ریشه راه حل مشکل نیست.

مثال 6

ریشه های معادله 3 · x - 2 5 · x 2 - 2 = 0 را پیدا کنید.

راه حل

ما با یک معادله گویا کسری به شکل p (x) q (x) = 0 سروکار داریم که در آن p (x) = 3 · x − 2 , q (x) = 5 · x 2 − 2 = 0 . بیایید حل معادله خطی را شروع کنیم 3 x - 2 = 0. ریشه این معادله خواهد بود x = 2 3.

بیایید ریشه یافت شده را بررسی کنیم که آیا شرایط را برآورده می کند یا خیر 5 x 2 - 2 ≠ 0. برای انجام این کار، یک مقدار عددی را جایگزین عبارت کنید. دریافت می کنیم: 5 2 3 2 - 2 \u003d 5 4 9 - 2 \u003d 20 9 - 2 \u003d 2 9 ≠ 0.

شرط برقرار است. این به آن معنا است x = 2 3ریشه معادله اصلی است.

پاسخ: 2 3 .

گزینه دیگری برای حل معادلات گویا کسری p (x) q (x) = 0 وجود دارد. به یاد داشته باشید که این معادله معادل کل معادله است p(x)=0در محدوده مقادیر قابل قبول متغیر x معادله اصلی. این به ما امکان می دهد از الگوریتم زیر در حل معادلات p(x) q(x) = 0 استفاده کنیم:

معادله را حل کنید p(x)=0;
محدوده مقادیر قابل قبول برای متغیر x را بیابید.
ما ریشه هایی را که در ناحیه مقادیر مجاز متغیر x قرار دارند به عنوان ریشه های مورد نظر معادله کسری منطقی اصلی می گیریم.

مثال 7

معادله x 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x = 0 را حل کنید.

راه حل

برای شروع، بیایید تصمیم بگیریم معادله درجه دوم x 2 − 2 x − 11 = 0. برای محاسبه ریشه های آن، از فرمول ریشه برای یک ضریب زوج دوم استفاده می کنیم. ما گرفتیم D 1 = (- 1) 2 - 1 (- 11) = 12و x = 1 ± 2 3 .

اکنون می توانیم ODV x را برای معادله اصلی پیدا کنیم. اینها همه اعدادی هستند که برای آنها x 2 + 3 x ≠ 0. همان است که x (x + 3) ≠ 0، از آنجا x ≠ 0، x ≠ - 3.

حالا بیایید بررسی کنیم که آیا ریشه های x = 1 ± 2 3 به دست آمده در مرحله اول حل، در محدوده مقادیر قابل قبول متغیر x قرار دارند یا خیر. ما می بینیم که چه چیزی وارد می شود. این بدان معنی است که معادله گویا کسری اصلی دارای دو ریشه x = 1 ± 2 3 است.

پاسخ: x = 1 ± 2 3

روش حل دوم شرح داده شده است راحت تر از اولیدر مواردی که به راحتی می توان مساحت مقادیر مجاز متغیر x و ریشه های معادله را پیدا کرد. p(x)=0غیر منطقی به عنوان مثال، 7 ± 4 26 9 . ریشه ها می توانند منطقی باشند، اما با یک صورت یا مخرج بزرگ. مثلا، 127 1101 و − 31 59 . این باعث صرفه جویی در زمان برای بررسی وضعیت می شود. q(x) ≠ 0: طبق ODZ حذف ریشه هایی که مناسب نیستند بسیار ساده تر است.

وقتی ریشه های معادله p(x)=0اعداد صحیح هستند، بهتر است از اولین الگوریتم توصیف شده برای حل معادلات به شکل p (x) q (x) = 0 استفاده شود. یافتن ریشه های کل معادله سریعتر p(x)=0و سپس بررسی کنید که آیا شرایط برای آنها برقرار است یا خیر q(x) ≠ 0و ODZ را پیدا نکنید و سپس معادله را حل کنید p(x)=0در این ODZ. این به این دلیل است که در چنین مواردی معمولاً بررسی آسان تر از یافتن ODZ است.

مثال 8

ریشه های معادله (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 را بیابید = 0.

راه حل

با در نظر گرفتن کل معادله شروع می کنیم (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) = 0و ریشه یابی آن برای این کار از روش حل معادلات از طریق فاکتورگیری استفاده می کنیم. به نظر می رسد که معادله اصلی معادل مجموعه ای از چهار معادله 2 x - 1 = 0، x - 6 = 0، x 2 - 5 x + 14 = 0، x + 1 = 0 است که سه مورد آن خطی هستند و یکی مربع است ما ریشه ها را پیدا می کنیم: از معادله اول x = 1 2، از دوم x=6، از سوم - x \u003d 7، x \u003d - 2، از چهارم - x = - 1.

بیایید ریشه های به دست آمده را بررسی کنیم. تعیین ODZ در این مورد برای ما دشوار است، زیرا برای این کار باید یک معادله جبری درجه پنجم را حل کنیم. بررسی شرطی که بر اساس آن مخرج کسری که در سمت چپ معادله قرار دارد، نباید ناپدید شود، آسان تر خواهد بود.

به نوبه خود، ریشه ها را به جای متغیر x در عبارت جایگزین کنید x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112و مقدار آن را محاسبه کنید:

1 2 5 - 15 1 2 4 + 57 1 2 3 - 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 - 15 16 + 57 8 - 13 4 + 13 + 112 = 122 + 1 32 ≠

6 5 − 15 6 4 + 57 6 3 − 13 6 2 + 26 6 + 112 = 448 ≠ 0 ;

7 5 − 15 7 4 + 57 7 3 − 13 7 2 + 26 7 + 112 = 0 ;

(− 2) 5 − 15 (− 2) 4 + 57 (− 2) 3 − 13 (− 2) 2 + 26 (− 2) + 112 = − 720 ≠ 0 ;

(− 1) 5 − 15 (− 1) 4 + 57 (− 1) 3 − 13 (− 1) 2 + 26 (− 1) + 112 = 0 .

راستی‌آزمایی انجام‌شده به ما امکان می‌دهد ثابت کنیم که ریشه‌های معادله گویا کسری اولیه 12، 6 و − 2 .

پاسخ: 1 2 , 6 , - 2

مثال 9

ریشه های معادله گویا کسری 5 x 2 - 7 x - 1 x - 2 x 2 + 5 x - 14 = 0 را بیابید.

راه حل

بیایید با معادله شروع کنیم (5 x 2 - 7 x - 1) (x - 2) = 0. بیایید ریشه های آن را پیدا کنیم. برای ما ساده تر است که این معادله را به صورت ترکیبی از معادلات درجه دوم و خطی نشان دهیم 5 x 2 - 7 x - 1 = 0و x − 2 = 0.

برای یافتن ریشه ها از فرمول ریشه های یک معادله درجه دوم استفاده می کنیم. از معادله اول دو ریشه x = 7 ± 69 10 و از معادله دوم بدست می آوریم. x=2.

جایگزین کردن مقدار ریشه ها به معادله اصلی برای بررسی شرایط برای ما بسیار دشوار خواهد بود. تعیین LPV متغیر x آسان تر خواهد بود. در این حالت، DPV متغیر x همه اعداد است، به جز اعدادی که شرط برای آنها برقرار است. x 2 + 5 x − 14 = 0. دریافت می کنیم: x ∈ - ∞ , - 7 ∪ - 7 , 2 ∪ 2 , + ∞ .

حالا بیایید بررسی کنیم که آیا ریشه هایی که پیدا کردیم به محدوده مقادیر قابل قبول برای متغیر x تعلق دارند یا خیر.

ریشه های x = 7 ± 69 10 - متعلق هستند، بنابراین، آنها ریشه های معادله اصلی هستند، و x=2- تعلق ندارد، بنابراین یک ریشه خارجی است.

پاسخ: x = 7 ± 69 10 .

اجازه دهید به طور جداگانه مواردی را بررسی کنیم که صورت‌گر یک معادله گویا کسری به شکل p (x) q (x) = 0 حاوی یک عدد باشد. در چنین مواردی، اگر صورت‌گر دارای عددی غیر از صفر باشد، معادله ریشه نخواهد داشت. اگر این عدد برابر با صفر باشد، ریشه معادله هر عددی از ODZ خواهد بود.

مثال 10

معادله گویا کسری را حل کنید - 3، 2 x 3 + 27 = 0.

راه حل

این معادله ریشه نخواهد داشت، زیرا شمارنده کسری از سمت چپ معادله حاوی یک عدد غیر صفر است. این بدان معناست که برای هر مقدار x مقدار کسری که در شرط مسئله داده شده است برابر با صفر نخواهد بود.

پاسخ:بدون ریشه

مثال 11

معادله 0 x 4 + 5 x 3 = 0 را حل کنید.

راه حل

از آنجایی که عدد کسر صفر است، جواب معادله هر مقدار x از متغیر ODZ x خواهد بود.

حالا بیایید ODZ را تعریف کنیم. این شامل تمام مقادیر x برای آنها خواهد بود x 4 + 5 x 3 ≠ 0. حل معادلات x 4 + 5 x 3 = 0هستند 0 و − 5 ، از آنجایی که این معادله معادل معادله است x 3 (x + 5) = 0و به نوبه خود معادل مجموعه دو معادله x 3 = 0 و x + 5 = 0جایی که این ریشه ها قابل مشاهده است. ما به این نتیجه می رسیم که محدوده مورد نظر از مقادیر قابل قبول هر x است، به جز x=0و x = -5.

معلوم می شود که معادله گویا کسری 0 x 4 + 5 x 3 = 0 دارای تعداد بی نهایت جواب است که هر عددی به جز صفر و - 5 است.

پاسخ: - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞

حالا بیایید در مورد معادلات گویا کسری یک شکل دلخواه و روش های حل آنها صحبت کنیم. می توان آنها را به صورت نوشتاری کرد r(x) = s(x)، جایی که r(x)و s(x)عبارات عقلی هستند و حداقل یکی از آنها کسری است. حل چنین معادلاتی به حل معادلات به شکل p (x) q (x) = 0 کاهش می یابد.

ما قبلاً می دانیم که با انتقال عبارت از سمت راست معادله به سمت چپ با علامت مخالف می توانیم یک معادله معادل بدست آوریم. این به این معنی است که معادله r(x) = s(x)معادل معادله است r (x) - s (x) = 0. همچنین قبلاً در مورد چگونگی تبدیل یک عبارت منطقی به کسری گویا بحث کرده ایم. به لطف این، ما به راحتی می توانیم معادله را تبدیل کنیم r (x) - s (x) = 0به کسر منطقی یکسان خود به شکل p (x) q (x) .

بنابراین از معادله گویا کسری اصلی حرکت می کنیم r(x) = s(x)به معادله ای به شکل p (x) q (x) = 0 که قبلاً نحوه حل آن را آموخته ایم.

لازم به ذکر است که هنگام انتقال از r (x) - s (x) = 0به p (x) q (x) = 0 و سپس به p(x)=0ممکن است گسترش دامنه مقادیر معتبر متغیر x را در نظر نگیریم.

این کاملا واقعی است که معادله اصلی است r(x) = s(x)و معادله p(x)=0در نتیجه دگرگونی ها، آنها دیگر معادل نیستند. سپس حل معادله p(x)=0می تواند به ما ریشه هایی بدهد که با آنها بیگانه خواهد بود r(x) = s(x). در این راستا، در هر مورد باید با هر یک از روش های ذکر شده در بالا، بررسی شود.

برای سهولت در مطالعه موضوع، ما تمام اطلاعات را به یک الگوریتم برای حل یک معادله منطقی کسری تعمیم داده ایم. r(x) = s(x):

عبارت را از سمت راست با علامت مخالف منتقل می کنیم و در سمت راست صفر می گیریم.
ما عبارت اصلی را با انجام متوالی اعمال با کسرها و چند جمله ای ها به یک کسر گویا p (x) q (x) تبدیل می کنیم.
معادله را حل کنید p(x)=0;
ما ریشه های خارجی را با بررسی تعلق آنها به ODZ یا با جایگزینی در معادله اصلی آشکار می کنیم.

از نظر بصری، زنجیره اقدامات به صورت زیر خواهد بود:

r (x) = s (x) → r (x) - s (x) = 0 → p (x) q (x) = 0 → p (x) = 0 → ترک تحصیل r o n d e r o o n s

مثال 12

معادله گویا کسری را حل کنید x x + 1 = 1 x + 1 .

راه حل

بیایید به معادله x x + 1 - 1 x + 1 = 0 برویم. بیایید عبارت منطقی کسری در سمت چپ معادله را به شکل p (x) q (x) تبدیل کنیم.

برای انجام این کار، ما باید کسرهای گویا را به یک مخرج مشترک کاهش دهیم و عبارت را ساده کنیم:

x x + 1 - 1 x - 1 = x x - 1 (x + 1) - 1 x (x + 1) x (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - x x (x + 1) = - 2 x - 1 x (x + 1)

برای پیدا کردن ریشه های معادله - 2 x - 1 x (x + 1) = 0، باید معادله را حل کنیم. − 2 x − 1 = 0. ما یک ریشه می گیریم x = - 1 2.

برای ما باقی می ماند که بررسی را با هر یک از روش ها انجام دهیم. بیایید هر دو را در نظر بگیریم.

مقدار حاصل را با معادله اصلی جایگزین کنید. ما - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1 دریافت می کنیم. ما به برابری عددی صحیح رسیده ایم − 1 = − 1 . این به آن معنا است x = - 1 2ریشه معادله اصلی است.

اکنون از طریق ODZ بررسی می کنیم. بیایید مساحت مقادیر قابل قبول را برای متغیر x تعیین کنیم. این کل مجموعه اعداد خواهد بود، به جز - 1 و 0 (وقتی x = - 1 و x = 0، مخرج کسرها ناپدید می شوند). ریشه ای که گرفتیم x = - 1 2متعلق به ODZ است. یعنی ریشه معادله اصلی است.

پاسخ: − 1 2 .

مثال 13

ریشه های معادله x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 x را بیابید.

راه حل

ما با یک معادله گویا کسری روبرو هستیم. بنابراین طبق الگوریتم عمل خواهیم کرد.

بیایید عبارت را از سمت راست به سمت چپ با علامت مخالف حرکت دهیم: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = 0

بیایید تبدیل های لازم را انجام دهیم: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = x 3 + 2 x 3 = 3 x 3 = x.

به معادله می رسیم x=0. ریشه این معادله صفر است.

بیایید بررسی کنیم که آیا این ریشه برای معادله اصلی خارجی است یا خیر. مقدار معادله اصلی را جایگزین کنید: 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 0 . همانطور که می بینید، معادله به دست آمده معنی ندارد. این بدان معنی است که 0 یک ریشه خارجی است و معادله گویا کسری اصلی هیچ ریشه ای ندارد.

پاسخ:بدون ریشه

اگر دیگر تبدیل‌های معادل را در الگوریتم وارد نکرده باشیم، این به هیچ وجه به این معنی نیست که نمی‌توان از آنها استفاده کرد. الگوریتم جهانی است، اما برای کمک طراحی شده است، نه محدود کردن.

مثال 14

معادله 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24 را حل کنید

راه حل

ساده ترین راه حل معادله منطقی کسری بر اساس الگوریتم است. اما راه دیگری وجود دارد. بیایید آن را در نظر بگیریم.

از قسمت راست و چپ 7 کم کنید، به دست می آوریم: 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 24.

از اینجا می توان نتیجه گرفت که عبارت در مخرج سمت چپ باید برابر با عدد باشد شماره متقابلاز سمت راست، یعنی 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7 .

از هر دو قسمت 3 کم کنید: 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7 . بر اساس قیاس 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 3، از جایی که 1 5 - x 2 \u003d 1 3، و بیشتر 5 - x 2 \u003d 3، x 2 \u003d 2، x \u003d ± 2

بیایید بررسی کنیم تا مشخص شود آیا ریشه های یافت شده ریشه های معادله اصلی هستند یا خیر.

پاسخ: x = ± 2

اگر متوجه اشتباهی در متن شدید، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

ارائه و درس با موضوع: "معادلات گویا. الگوریتم و مثال هایی برای حل معادلات گویا"

مواد اضافی
کاربران گرامی، نظرات، انتقادات، پیشنهادات خود را فراموش نکنید! تمام مواد توسط یک برنامه آنتی ویروس بررسی می شود.

وسایل کمک آموزشی و شبیه ساز در فروشگاه اینترنتی انتگرال پایه هشتم
راهنمای کتاب درسی Makarychev Yu.N. راهنمای کتاب درسی موردکوویچ A.G.

مقدمه ای بر معادلات غیر منطقی

بچه ها ما یاد گرفتیم که چگونه معادلات درجه دوم را حل کنیم. اما ریاضیات به آنها محدود نمی شود. امروز یاد خواهیم گرفت که چگونه معادلات منطقی را حل کنیم. مفهوم معادلات عقلی از بسیاری جهات شبیه به مفهوم است اعداد گویا. فقط علاوه بر اعداد، اکنون مقداری متغیر $x$ را معرفی کرده ایم. و بدین ترتیب عبارتی به دست می آوریم که در آن عملیات جمع، تفریق، ضرب، تقسیم و افزایش به یک توان صحیح وجود دارد.

اجازه دهید $r(x)$ باشد بیان منطقی. چنین عبارتی می تواند یک چند جمله ای ساده در متغیر $x$ یا نسبتی از چندجمله ای ها باشد (عملیات تقسیم مانند اعداد گویا معرفی شده است).
معادله $r(x)=0$ فراخوانی می شود معادله منطقی.
هر معادله ای به شکل $p(x)=q(x)$، که در آن $p(x)$ و $q(x)$ عبارات منطقی هستند، نیز خواهد بود. معادله منطقی.

مثال هایی از حل معادلات گویا را در نظر بگیرید.

مثال 1
معادله را حل کنید: $\frac(5x-3)(x-3)=\frac(2x-3)(x)$.

راه حل.
بیایید همه عبارات را به سمت چپ منتقل کنیم: $\frac(5x-3)(x-3)-\frac(2x-3)(x)=0$.
اگر سمت چپ معادله نشان داده شود اعداد معمولی، سپس دو کسر را به مخرج مشترک می آوریم.
بیایید این کار را انجام دهیم: $\frac((5x-3)*x)((x-3)*x)-\frac((2x-3)*(x-3))((x-3)*x) =\frac(5x^2-3x-(2x^2-6x-3x+9))((x-3)*x)=\frac(3x^2+6x-9)((x-3) * x)=\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)$.
معادله را بدست آوردیم: $\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)=0$.

کسری صفر است اگر و فقط اگر صورت کسری صفر و مخرج آن غیر صفر باشد. سپس به طور جداگانه عدد را با صفر برابر کنید و ریشه های صورت را پیدا کنید.
$3(x^2+2x-3)=0$ یا $x^2+2x-3=0$.
$x_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-3)))(2)=\frac(-2±4)(2)=1;-3$.
حال بیایید مخرج کسر را بررسی کنیم: $(x-3)*x≠0$.
حاصل ضرب دو عدد برابر با صفر است که حداقل یکی از این اعداد برابر با صفر باشد. سپس: $x≠0$ یا $x-3≠0$.
$x≠0$ یا $x≠3$.
ریشه های بدست آمده در صورت و مخرج مطابقت ندارند. بنابراین در پاسخ هر دو ریشه صورت را یادداشت می کنیم.
پاسخ: $x=1$ یا $x=-3$.

اگر ناگهان یکی از ریشه های صورت با ریشه مخرج منطبق شد، باید حذف شود. به چنین ریشه هایی می گویند بیگانه!

الگوریتم حل معادلات منطقی:

1. تمام عبارات موجود در معادله باید به سمت چپاز علامت مساوی
2. این قسمت از معادله را به کسری جبری تبدیل کنید: $\frac(p(x))(q(x))=0$.
3. عدد حاصل را با صفر برابر کنید، یعنی معادله $p(x)=0$ را حل کنید.
4. مخرج را با صفر برابر کنید و معادله حاصل را حل کنید. اگر ریشه های مخرج با ریشه های صورت منطبق باشد، باید آنها را از پاسخ حذف کرد.

مثال 2
معادله را حل کنید: $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)=\frac(6)(x^2-1)$.

راه حل.
با توجه به نقاط الگوریتم حل خواهیم کرد.
1. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=0$.
2. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=\frac(3x)(x-1)+\ frac(4)(x+1)-\frac(6)((x-1)(x+1))= \frac(3x(x+1)+4(x-1)-6)(x -1)(x+1))=$$=\frac(3x^2+3x+4x-4-6)((x-1)(x+1))=\frac(3x^2+7x- 10)((x-1)(x+1))$.
$\frac(3x^2+7x-10)((x-1)(x+1))=0$.
3. عدد را با صفر برابر کنید: $3x^2+7x-10=0$.
$x_(1,2)=\frac(-7±\sqrt(49-4*3*(-10)))(6)=\frac(-7±13)(6)=-3\frac( 1) (3)؛ 1 دلار.
4. مخرج را برابر با صفر کنید:
$(x-1)(x+1)=0$.
$x=1$ و $x=-1$.
یکی از ریشه های $x=1$ با ریشه صورتگر منطبق بود، سپس آن را در پاسخ نمی نویسیم.
پاسخ: $x=-1$.

حل معادلات منطقی با استفاده از روش تغییر متغیرها راحت است. بیایید آن را نشان دهیم.

مثال 3
معادله را حل کنید: $x^4+12x^2-64=0$.

راه حل.
ما یک جایگزین را معرفی می کنیم: $t=x^2$.
سپس معادله ما به شکل زیر در می آید:
$t^2+12t-64=0$ یک معادله درجه دوم معمولی است.
$t_(1,2)=\frac(-12±\sqrt(12^2-4*(-64)))(2)=\frac(-12±20)(2)=-16; 4 دلار
بیایید یک جایگزین معکوس معرفی کنیم: $x^2=4$ یا $x^2=-16$.
ریشه های معادله اول یک جفت اعداد $x=±2$ هستند. دومی ریشه ندارد.
پاسخ: $x=±2$.

مثال 4
معادله را حل کنید: $x^2+x+1=\frac(15)(x^2+x+3)$.
راه حل.
بیایید یک متغیر جدید معرفی کنیم: $t=x^2+x+1$.
سپس معادله به شکل $t=\frac(15)(t+2)$ خواهد بود.
در مرحله بعد، طبق الگوریتم عمل می کنیم.
1. $t-\frac(15)(t+2)=0$.
2. $\frac(t^2+2t-15)(t+2)=0$.
3. $t^2+2t-15=0$.
$t_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-15)))(2)=\frac(-2±\sqrt(64))(2)=\frac( -2±8)(2)=-5; 3 دلار
4. $t≠-2$ - ریشه ها مطابقت ندارند.
ما یک جایگزین معکوس را معرفی می کنیم.
$x^2+x+1=-5$.
$x^2+x+1=3$.
بیایید هر معادله را جداگانه حل کنیم:
$x^2+x+6=0$.
$x_(1,2)=\frac(-1±\sqrt(1-4*(-6)))(2)=\frac(-1±\sqrt(-23))(2)$ - خیر ریشه ها
و معادله دوم: $x^2+x-2=0$.
ریشه های این معادله اعداد $x=-2$ و $x=1$ خواهند بود.
پاسخ: $x=-2$ و $x=1$.

مثال 5
معادله را حل کنید: $x^2+\frac(1)(x^2) +x+\frac(1)(x)=4$.

راه حل.
ما یک جایگزین را معرفی می کنیم: $t=x+\frac(1)(x)$.
سپس:
$t^2=x^2+2+\frac(1)(x^2)$ یا $x^2+\frac(1)(x^2)=t^2-2$.
معادله را بدست آوردیم: $t^2-2+t=4$.
$t^2+t-6=0$.
ریشه های این معادله جفت هستند:
$t=-3$ و $t=2$.
بیایید جایگزینی معکوس را معرفی کنیم:
$x+\frac(1)(x)=-3$.
$x+\frac(1)(x)=2$.
ما جداگانه تصمیم خواهیم گرفت.
$x+\frac(1)(x)+3=0$.
$\frac(x^2+3x+1)(x)=0$.
$x_(1,2)=\frac(-3±\sqrt(9-4))(2)=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$.
بیایید معادله دوم را حل کنیم:
$x+\frac(1)(x)-2=0$.
$\frac(x^2-2x+1)(x)=0$.
$\frac((x-1)^2)(x)=0$.
ریشه این معادله عدد $x=1$ است.
پاسخ: $x=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$، $x=1$.

وظایف برای راه حل مستقل

حل معادلات:

1. $\frac(3x+2)(x)=\frac(2x+3)(x+2)$.

2. $\frac(5x)(x+2)-\frac(20)(x^2+2x)=\frac(4)(x)$.
3. $x^4-7x^2-18=0$.
4. $2x^2+x+2=\frac(8)(2x^2+x+4)$.
5. $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=3$.

معادلات با کسرها دشوار و بسیار جالب نیستند. انواع معادلات کسری و راه حل آنها را در نظر بگیرید.

نحوه حل معادلات با کسری - x در عدد

اگر یک معادله کسری داده شود، جایی که مجهول در صورتگر باشد، راه حل نیاز به شرایط اضافی ندارد و بدون دردسر غیر ضروری حل می شود. فرم کلیچنین معادله ای x/a + b = c، که در آن x مجهول است، a، b و c اعداد معمولی هستند.

x را پیدا کنید: x/5 + 10 = 70.

برای حل معادله باید از شر کسرها خلاص شوید. هر جمله معادله را در 5 ضرب کنید: 5x/5 + 5x10 = 70x5. 5x و 5 کاهش می یابد، 10 و 70 در 5 ضرب می شوند و به دست می آید: x + 50 = 350 => x = 350 - 50 = 300.

x را پیدا کنید: x/5 + x/10 = 90.

این مثال یک نسخه کمی پیچیده تر از نمونه اول است. در اینجا دو راه حل وجود دارد.

گزینه 1: از شر کسرها خلاص شوید با ضرب همه عبارت های معادله در مخرج بزرگتر، یعنی در 10: 10x/5 + 10x/10 = 90x10 => 2x + x = 900 => 3x = 900 => x= 300.
گزینه 2: سمت چپ معادله را اضافه کنید. x/5 + x/10 = 90. مخرج مشترک 10 است. 10 را بر 5 تقسیم کنید، در x ضرب کنید، 2x به دست می آید. 10 تقسیم بر 10، ضرب در x، x را بدست می آوریم: 2x+x/10 = 90. بنابراین 2x+x = 90×10 = 900 => 3x = 900 => x = 300.

اغلب معادلات کسری وجود دارد که در آنها x در طرف مقابل علامت مساوی قرار دارند. در چنین شرایطی لازم است همه کسرهای دارای x در یک جهت و اعداد در جهت دیگر منتقل شوند.

x را پیدا کنید: 3x/5 = 130 - 2x/5.
2x/5 را با علامت مخالف به سمت راست حرکت دهید: 3x/5 + 2x/5 = 130 => 5x/5 = 130.
5x/5 را کاهش می دهیم و می گیریم: x = 130.

نحوه حل معادله با کسری - x در مخرج

این نوع معادلات کسری نیاز به نوشتن شرایط اضافی دارد. نشان دادن این شرایط جزء ضروری و جدایی ناپذیر تصمیم درست است. با عدم نسبت دادن آنها، شما در معرض خطر قرار می گیرید، زیرا پاسخ (حتی اگر صحیح باشد) ممکن است به سادگی شمرده نشود.

شکل کلی معادلات کسری که x در مخرج است به این صورت است: a/x + b = c، جایی که x مجهول است، a، b، c اعداد معمولی هستند. توجه داشته باشید که x ممکن است هیچ عددی نباشد. به عنوان مثال، x نمی تواند صفر باشد، زیرا نمی توانید بر 0 تقسیم کنید. این چیزی است که هست شرط اضافی، که باید مشخص کنیم. این محدوده مقادیر قابل قبول، به اختصار - ODZ نامیده می شود.

x را پیدا کنید: 15/x + 18 = 21.

ما بلافاصله ODZ را برای x می نویسیم: x ≠ 0. اکنون که ODZ نشان داده شده است، معادله را مطابق طرح استاندارد حل می کنیم و از شر کسرها خلاص می شویم. تمام عبارات معادله را در x ضرب می کنیم. 15x/x+18x = 21x => 15+18x = 21x => 15 = 3x => x = 15/3 = 5.

غالباً معادلاتی وجود دارد که در آن مخرج نه تنها x، بلکه برخی عملیات دیگر مانند جمع یا تفریق با آن وجود دارد.

x را پیدا کنید: 15/(x-3) + 18 = 21.

ما قبلاً می دانیم که مخرج نمی تواند برابر با صفر باشد، که به معنای x-3 ≠ 0 است. ما -3 را به سمت راست منتقل می کنیم، در حالی که علامت "-" را به "+" تغییر می دهیم و می گیریم که x ≠ 3. ODZ است نشان داد.

معادله را حل کنید، همه چیز را در x-3 ضرب کنید: 15 + 18x (x - 3) = 21x (x - 3) => 15 + 18x - 54 = 21x - 63.

x ها را به سمت راست، اعداد را به سمت چپ: 24 = 3x => x = 8.

تا اینجا فقط معادلات اعداد صحیح را با توجه به مجهول حل کرده ایم، یعنی معادلاتی که مخرج ها (در صورت وجود) مجهول را شامل نمی شوند.

غالباً باید معادلاتی را حل کنید که مجهول را در مخرج ها در بر دارند: چنین معادلاتی کسری نامیده می شوند.

برای حل این معادله، دو طرف آن را در یک چند جمله ای حاوی مجهول ضرب می کنیم. آیا معادله جدید معادل معادله داده شده خواهد بود؟ برای پاسخ به سوال، این معادله را حل می کنیم.

با ضرب دو طرف آن در عدد زیر بدست می آید:

با حل این معادله درجه اول، متوجه می شویم:

بنابراین، معادله (2) یک ریشه دارد

با جایگزینی آن به معادله (1) به دست می آید:

از این رو، همچنین ریشه معادله (1) است.

معادله (1) ریشه دیگری ندارد. در مثال ما، این را می توان برای مثال از این واقعیت مشاهده کرد که در رابطه (1)

چگونه مقسوم علیه مجهول باید برابر با سود 1 تقسیم بر ضریب 2 باشد، یعنی.

بنابراین معادلات (1) و (2) یک ریشه دارند و از این رو معادل هستند.

2. اکنون معادله زیر را حل می کنیم:

ساده ترین مخرج مشترک: ; تمام عبارات معادله را در آن ضرب کنید:

پس از کاهش می گیریم:

بیایید براکت ها را گسترش دهیم:

با آوردن اصطلاحات مشابه، داریم:

با حل این معادله متوجه می شویم:

با جایگزینی معادله (1) بدست می آوریم:

در سمت چپ عباراتی دریافت کردیم که معنی نداشت.

بنابراین، ریشه معادله (1) نیست. این نشان می دهد که معادلات (1) و معادل نیستند.

در این صورت می گوییم که معادله (1) یک ریشه خارجی پیدا کرده است.

اجازه دهید حل معادله (1) را با حل معادلاتی که قبلا در نظر گرفتیم مقایسه کنیم (به بند 51 مراجعه کنید). در حل این معادله، باید دو عمل از این دست انجام می‌دادیم که قبلاً با آن مواجه نشده بود: اول، دو طرف معادله را در یک عبارت حاوی مجهول (مخرج مشترک) ضرب کردیم، و دوم، کسرهای جبری را با فاکتورهای حاوی آن کاهش دادیم. یک ناشناخته .

با مقایسه رابطه (1) با رابطه (2)، می بینیم که تمام مقادیر x معتبر برای معادله (2) برای معادله (1) معتبر نیستند.

این اعداد 1 و 3 هستند که مقادیر قابل قبول مجهول برای معادله (1) نیستند و در نتیجه تبدیل برای معادله (2) قابل پذیرش شدند. یکی از این اعداد جواب معادله (2) بود، اما البته نمی تواند جواب معادله (1) باشد. معادله (1) هیچ راه حلی ندارد.

این مثال نشان می دهد که هنگام ضرب هر دو قسمت معادله در یک عامل حاوی مجهول و در هنگام کاهش کسرهای جبری، معادله ای به دست می آید که معادل معادله داده شده نیست، یعنی: ریشه های خارجی می توانند ظاهر شوند.

از این رو نتیجه زیر را می گیریم. هنگام حل معادله ای که شامل یک مجهول در مخرج است، ریشه های حاصل باید با جایگزینی در معادله اصلی بررسی شوند. ریشه های خارجی باید دور ریخته شوند.

§ 1 معادلات گویا کل و کسری

در این درس، مفاهیمی مانند یک معادله منطقی، یک عبارت منطقی، یک عبارت عدد صحیح، یک عبارت کسری را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد. حل معادلات گویا را در نظر بگیرید.

معادله گویا معادله ای است که در آن سمت چپ و راست عباراتی گویا هستند.

عبارات منطقی عبارتند از:

کسری.

یک عبارت عدد صحیح از اعداد، متغیرها، قدرت های صحیح با استفاده از عملیات جمع، تفریق، ضرب و تقسیم بر عددی غیر از صفر ساخته شده است.

مثلا:

که در عبارات کسرییک تقسیم بر یک متغیر یا یک عبارت با یک متغیر وجود دارد. مثلا:

یک عبارت کسری برای همه مقادیر متغیرهای موجود در آن معنی ندارد. مثلاً عبارت

در x = -9 معنی ندارد، زیرا در x = -9 مخرج به صفر می رسد.

این بدان معناست که یک معادله گویا می تواند عدد صحیح و کسری باشد.

معادله گویا عدد صحیح معادله ای گویا است که در آن سمت چپ و راست عبارت های اعداد صحیح هستند.

مثلا:

معادله گویا کسری معادله ای است که در آن سمت چپ یا راست عبارت های کسری هستند.

مثلا:

§ 2 حل یک معادله منطقی کامل

حل یک معادله گویا را در نظر بگیرید.

مثلا:

دو طرف معادله را در کمترین مخرج مشترک مخرج کسرهای موجود در آن ضرب کنید.

برای این:

1. یک مخرج مشترک برای مخرج های 2، 3، 6 پیدا کنید. برابر با 6 است.

2. برای هر کسر یک عامل اضافی پیدا کنید. برای این کار، مخرج مشترک 6 را بر هر مخرج تقسیم کنید

ضریب اضافی برای کسر

3. اعداد کسرها را در عوامل اضافی مربوط به آنها ضرب کنید. بنابراین، معادله را بدست می آوریم

که معادل این معادله است

بیایید براکت های سمت چپ را باز کنیم، قسمت راست را به سمت چپ حرکت دهیم، علامت عبارت را در حین انتقال به سمت مخالف تغییر دهیم.

ما شرایط مشابه چند جمله ای را می دهیم و به دست می آوریم

می بینیم که معادله خطی است.

با حل آن متوجه می شویم که x = 0.5.

§ 3 حل یک معادله گویا کسری

حل یک معادله گویا کسری را در نظر بگیرید.

مثلا:

1. دو طرف معادله را در کمترین مخرج مشترک مخرج کسرهای گویا موجود در آن ضرب کنید.

مخرج مشترک مخرج های x + 7 و x - 1 را پیدا کنید.

برابر است با حاصلضرب آنها (x + 7) (x - 1).

2. بیایید برای هر کسر گویا یک عامل اضافی پیدا کنیم.

برای این کار، مخرج مشترک (x + 7) (x - 1) را بر هر مخرج تقسیم می کنیم. ضریب اضافی برای کسرها

برابر x - 1،

ضریب اضافی برای کسر

برابر x+7 است.

3. اعداد کسرها را در ضرایب اضافی مربوط به آنها ضرب کنید.

معادله (2x - 1) (x - 1) \u003d (3x + 4) (x + 7) را بدست می آوریم که معادل این معادله است

4. چپ و راست دو جمله ای را در دو جمله ای ضرب کرده و معادله زیر را بدست آورید

5. قسمت راست را به سمت چپ منتقل می کنیم و علامت هر عبارت را هنگام انتقال به مخالف تغییر می دهیم:

6. ما اعضای مشابه چند جمله ای را ارائه می دهیم:

7. می توانید هر دو قسمت را بر 1- تقسیم کنید. یک معادله درجه دوم بدست می آوریم:

8. پس از حل آن، ما ریشه ها را پیدا خواهیم کرد

از آنجایی که در معادله

قسمت چپ و راست عبارات کسری هستند و در عبارات کسری برای برخی از مقادیر متغیرها ممکن است مخرج ناپدید شود، سپس باید بررسی شود که آیا مخرج مشترک با یافتن x1 و x2 ناپدید نمی شود یا خیر.

در x = -27 مخرج مشترک (x + 7) (x - 1) ناپدید نمی شود، در x = -1 مخرج مشترک نیز غیر صفر است.

بنابراین هر دو ریشه -27 و -1 ریشه معادله هستند.

هنگام حل یک معادله منطقی کسری، بهتر است بلافاصله مساحت مقادیر مجاز را مشخص کنید. مقادیری را که مخرج مشترک آنها به صفر می رسد حذف کنید.

مثال دیگری از حل یک معادله گویا کسری را در نظر بگیرید.

مثلاً معادله را حل کنیم

مخرج کسری در سمت راست معادله را به ضرایب تجزیه می کنیم

معادله را می گیریم

یک مخرج مشترک برای مخرج های (x - 5)، x، x (x - 5) پیدا کنید.

این عبارت x (x - 5) خواهد بود.

حالا بیایید محدوده مقادیر مجاز معادله را پیدا کنیم

برای انجام این کار، مخرج مشترک را با صفر x (x - 5) و 0 برابر می کنیم.

معادله ای به دست می آوریم که با حل آن متوجه می شویم که در x \u003d 0 یا در x \u003d 5، مخرج مشترک ناپدید می شود.

بنابراین x = 0 یا x = 5 نمی توانند ریشه های معادله ما باشند.

اکنون می توانید ضرب کننده های اضافی را پیدا کنید.

ضریب اضافی برای کسرهای گویا

ضریب اضافی برای کسرها

خواهد بود (x - 5)،

و عامل اضافی کسری

شمارنده ها را در فاکتورهای اضافی مربوطه ضرب می کنیم.

معادله x(x - 3) + 1 (x - 5) = 1 (x + 5) را بدست می آوریم.

بیایید براکت های سمت چپ و راست را باز کنیم، x2 - 3x + x - 5 = x + 5.

بیایید با تغییر علامت عبارت هایی که قرار است جابجا شوند، عبارت ها را از راست به چپ منتقل کنیم:

X2 - 3x + x - 5 - x - 5 = 0

و پس از آوردن عبارت های مشابه، معادله درجه دوم x2 - 3x - 10 \u003d 0 را به دست می آوریم. پس از حل آن، ریشه های x1 \u003d -2 را پیدا می کنیم. x2 = 5.

اما قبلاً متوجه شده ایم که در x = 5 مخرج مشترک x(x - 5) ناپدید می شود. بنابراین، ریشه معادله ما

x = -2 خواهد بود.

§ 4 خلاصه ای مختصردرس

مهم به خاطر سپردن:

هنگام حل معادلات منطقی کسری، باید موارد زیر را انجام دهید:

1. مخرج مشترک کسرهای موجود در معادله را بیابید. علاوه بر این، اگر می توان مخرج کسرها را فاکتور گرفت، آنها را فاکتور بگیرید و سپس مخرج مشترک را پیدا کنید.

2. هر دو طرف معادله را در یک مخرج مشترک ضرب کنید: عوامل اضافی را پیدا کنید، اعداد را در عوامل اضافی ضرب کنید.

3. معادله کامل حاصل را حل کنید.

4. آنهایی را که مخرج مشترک را صفر می کنند از ریشه حذف کنید.

فهرست ادبیات مورد استفاده:

Makarychev Yu.N.، N.G. Mindyuk، Neshkov K.I.، Suvorova S.B. / تحت سردبیری Telyakovsky S.A. جبر: کتاب درسی. برای 8 سلول آموزش عمومی نهادها - م.: آموزش و پرورش، 2013.
موردکوویچ A.G. جبر. پایه هشتم: در دو بخش. قسمت 1: پروسه برای آموزش عمومی نهادها - M.: Mnemosyne.
روروکین A.N. تحولات درس در جبر: کلاس 8. - M .: VAKO، 2010.
جبر کلاس هشتم: طرح درسطبق کتاب درسی Yu.N. ماکاریچوا، N.G. میندیوک، کی.آی. نشکووا، س.ب. سوورووا / Auth.-comp. T.L. آفاناسیف، ال.ال. تاپیلینا. - ولگوگراد: معلم، 2005.