ساده سازی عبارات کسری عبارات تحت اللفظی

برخی از مثال های جبری به تنهایی می توانند دانش آموزان را به وحشت بیاندازند. عبارات طولانی نه تنها ترسناک هستند، بلکه محاسبات را بسیار دشوار می کنند. تلاش برای درک فوراً آنچه در پی چیست، گیج شدن طولی نمی کشد. به همین دلیل است که ریاضیدانان همیشه سعی می کنند یک مسئله "وحشتناک" را تا حد امکان ساده کنند و تنها پس از آن شروع به حل آن می کنند. به اندازه کافی عجیب، این ترفند به طور قابل توجهی روند کار را سرعت می بخشد.

ساده سازی یکی از نکات اساسی در جبر است. اگر در کارهای سادههنوز هم می‌توانید بدون آن کار کنید، اما مثال‌هایی که محاسبه آن‌ها دشوارتر است ممکن است خیلی سخت باشند. اینجاست که این مهارت ها به کار می آیند! علاوه بر این، دانش پیچیده ریاضی مورد نیاز نیست: فقط به خاطر سپردن و یادگیری استفاده از چند تکنیک و فرمول اساسی در عمل کافی است.

صرف نظر از پیچیدگی محاسبات، هنگام حل هر عبارتی مهم است ترتیب انجام عملیات با اعداد را دنبال کنید:

1. براکت؛
2. توانمندی؛
3. ضرب؛
4. تقسیم؛
5. اضافه شدن
6. منها کردن.

دو امتیاز آخر را می توان به راحتی تعویض کرد و این به هیچ وجه روی نتیجه تاثیر نخواهد گذاشت. اما افزودن دو عدد مجاور که علامت ضرب در کنار یکی از آنها وجود دارد مطلقاً ممنوع است! پاسخ، در صورت وجود، نادرست است. بنابراین، شما باید دنباله را به خاطر بسپارید.

استفاده از چنین

چنین عناصری شامل اعدادی با متغیری از همان ترتیب یا درجه یکسان است. اصطلاحات به اصطلاح آزاد نیز وجود دارد که در کنار آنها علامتی برای مجهول وجود ندارد.

نکته اینجاست که در نبود پرانتز می توانید عبارت را با جمع یا تفریق مشابه ساده کنید.

چند مثال گویا:

• 8x 2 و 3x 2 - هر دو اعداد دارای متغیر مرتبه دوم یکسانی هستند، بنابراین مشابه هستند و هنگامی که اضافه می شوند به (8+3)x 2 =11x 2 ساده می شوند، در حالی که با تفریق (8-3)x 2 =5x می شوند. 2 ;
• 4x 3 و 6x - و در اینجا "x" درجات مختلفی دارد.
• 2y 7 و 33x 7 - حاوی متغیرهای مختلفی هستند، بنابراین، مانند مورد قبلی، آنها مشابه نیستند.

فاکتورگیری یک عدد

این ترفند کوچک ریاضی، اگر یاد بگیرید که از آن به درستی استفاده کنید، بیش از یک بار به شما کمک می کند تا با یک مسئله دشوار در آینده کنار بیایید. و درک نحوه عملکرد "سیستم" دشوار نیست: تجزیه حاصل ضرب چند عنصر است که محاسبه آنها مقدار اصلی را می دهد. بنابراین 20 را می توان به صورت 20x1، 2x10، 5x4، 2x5x2، یا روش دیگری نشان داد.

در یک یادداشت: عوامل همیشه مانند مقسوم علیه هستند. بنابراین باید به دنبال یک "جفت" کار برای تجزیه در بین اعدادی باشید که اعداد اصلی بدون باقی مانده به آنها تقسیم می شود.

این عملیات هم با عبارت آزاد و هم با اعداد در یک متغیر قابل انجام است. نکته اصلی این است که دومی را در طول محاسبات از دست ندهید - حتی پس از تجزیه، ناشناخته نمی تواند "به جایی برسد". در یکی از ضرایب باقی می ماند:

• 15x=3(5x);
• 60 سال 2 = (15 سال 2) 4.

اعداد اولی که فقط می توانند بر خودشان یا 1 تقسیم شوند، هرگز منبسط نمی شوند - معنی ندارد.

روش های اساسی ساده سازی

اولین چیزی که چشم شما جلب می کند:

• وجود پرانتز؛
• کسری؛
• ریشه ها

نمونه های جبری در برنامه درسی مدرسه اغلب با این ایده نوشته می شوند که می توان آنها را به زیبایی ساده کرد.

محاسبات داخل پرانتز

به علامت جلوی پرانتز دقت کنید!ضرب یا تقسیم برای هر عنصر داخل اعمال می‌شود و یک علامت منفی علائم «+» یا «-» موجود را معکوس می‌کند.

براکت ها بر اساس قوانین یا با استفاده از فرمول های ضرب اختصاری محاسبه می شوند و پس از آن موارد مشابه داده می شود.

کسر کسر

کسرها را کاهش دهیداین نیز آسان است. آنها خودشان هر چند وقت یکبار به محض انجام عملیات برای آوردن چنین اعضایی "با کمال میل فرار می کنند". اما می توانید مثال را حتی قبل از آن ساده کنید: به صورت و مخرج توجه کنید. آنها اغلب حاوی عناصر آشکار یا پنهانی هستند که می توانند متقابلاً کاهش یابند. درست است، اگر در مورد اول فقط باید موارد غیر ضروری را خط بزنید، در مورد دوم باید فکر کنید و بخشی از عبارت را برای ساده سازی شکل دهید. روش های مورد استفاده:

• جست و جو و پرانتز کردن بزرگترین مقسوم علیه مشترک صورت و مخرج.
• تقسیم هر عنصر بالا بر مخرج

وقتی یک عبارت یا بخشی از آن زیر ریشه باشد، وظیفه اولیه ساده سازی تقریباً مشابه مورد کسری است. باید به دنبال راه هایی برای خلاص شدن از شر آن یا در صورت عدم امکان، به حداقل رساندن علامتی که در محاسبات اختلال ایجاد می کند، باشید. به عنوان مثال، تا √(3) یا √(7) محجوب.

راه درستبیان رادیکال را ساده کنید - سعی کنید آن را فاکتور بگیرید، که برخی از آنها فراتر از علامت هستند. یک مثال گویا: √(90)=√(9×10) =√(9)×√(10)=3√(10).

سایر ترفندها و نکات ظریف:

• این عملیات ساده سازی را می توان با کسری انجام داد و آن را هم به عنوان یک کل و هم به طور جداگانه به عنوان صورت یا مخرج از علامت خارج کرد.
• بخشی از مجموع یا تفاوت را نمی توان گسترش داد و از ریشه خارج کرد;
• هنگام کار با متغیرها، حتماً درجه آن را در نظر بگیرید، باید برابر یا مضربی از ریشه باشد تا بتوان آن را خارج کرد: √(x 2 y)=x√(y)، √(x 3 )=√(x 2 ×x)=x√( x);
• گاهی اوقات می توان با افزایش آن به توان کسری از شر متغیر رادیکال خلاص شد: √(y 3)=y 3/2.

ساده کردن یک عبارت قدرت

اگر در محاسبات ساده با منهای یا بعلاوه، مثال‌ها با ذکر موارد مشابه ساده‌سازی می‌شوند، پس هنگام ضرب یا تقسیم متغیرها با درجات مختلف? آنها را می توان به راحتی با به خاطر سپردن دو نکته ساده ساده کرد:

1. اگر بین متغیرها علامت ضرب وجود داشته باشد، توان ها جمع می شوند.
2. وقتی آنها بر یکدیگر تقسیم می شوند، همان توان مخرج از توان صورت کسر می شود.

تنها شرط چنین ساده سازی این است که هر دو اصطلاح مبنای یکسانی داشته باشند. مثال هایی برای وضوح:

• 5x 2 × 4x 7 +(y 13 /y 11)=(5×4)x 2+7 +y 13- 11 =20x 9 +y 2;
• 2z 3 +z×z 2 -(3×z 8 /z 5)=2z 3 +z 1+2 -(3×z 8-5)=2z 3 +z 3 -3z 3 =3z 3 -3z 3 = 0.

توجه می کنیم که عملیات با مقادیر عددی در مقابل متغیرها طبق معمول اتفاق می افتد قوانین ریاضی. و اگر دقت کنید، مشخص می شود که عناصر قدرت عبارت "کار می کنند" به روشی مشابه:

• افزایش یک عبارت به توان به معنای ضرب کردن آن در خودش در تعداد معینی است، یعنی x 2 =x×x.
• تقسیم مشابه است: اگر قدرت های صورت و مخرج را گسترش دهید، برخی از متغیرها لغو می شوند، در حالی که بقیه "جمع آوری می شوند"، که معادل تفریق است.

مانند هر چیز دیگری، ساده کردن عبارات جبری نه تنها به دانش اصول، بلکه به تمرین نیز نیاز دارد. تنها پس از چند درس، نمونه هایی که زمانی پیچیده به نظر می رسیدند، بدون مشکل کاهش می یابند و به نمونه هایی کوتاه و آسان تبدیل می شوند.

ویدیو

این ویدیو به شما کمک می کند تا درک کنید و به یاد بیاورید که چگونه عبارات ساده می شوند.

پاسخ سوال خود را دریافت نکردید؟ موضوعی را به نویسندگان پیشنهاد دهید.

راحت و ساده ماشین حساب آنلاینکسری با راه حل های دقیقشاید:

• جمع، تفریق، ضرب و تقسیم کسری آنلاین,
• یک راه حل آماده برای کسری با یک تصویر دریافت کنید و به راحتی آن را انتقال دهید.



نتیجه حل کسرها اینجا خواهد بود...

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
علامت کسری "/" + - * :
_پاک کردن پاک کردن
ماشین حساب کسر آنلاین ما ورودی سریع دارد. برای حل کسری، به عنوان مثال، به سادگی بنویسید 1/2+2/7 وارد ماشین حساب شده و دکمه " را فشار دهید کسری را حل کنید". ماشین حساب برای شما می نویسد حل دقیق کسرهاو صادر خواهد کرد یک تصویر با قابلیت کپی آسان.

علائمی که برای نوشتن در ماشین حساب استفاده می شود

می توانید یک مثال را برای یک راه حل از صفحه کلید یا با استفاده از دکمه ها تایپ کنید.

ویژگی های ماشین حساب کسر آنلاین

ماشین حساب کسری فقط می تواند عملیات را روی 2 انجام دهد کسرهای ساده. آنها می توانند صحیح باشند (کمتر از مخرج است) یا نادرست (عدد بزرگتر از مخرج است). اعداد در صورت و مخرج نمی توانند منفی یا بزرگتر از 999 باشند.
ماشین حساب آنلاین ما کسرها را حل می کند و پاسخ را به شکل صحیح می آورد - کسر را کاهش می دهد و در صورت لزوم کل قسمت را انتخاب می کند.

اگر نیاز به حل کسرهای منفی دارید، فقط از خواص منفی استفاده کنید. هنگام ضرب و تقسیم کسرهای منفی، منهای در منهای مثبت می شود. یعنی حاصل ضرب و تقسیم کسرهای منفی برابر است با حاصلضرب و تقسیم همان کسرهای مثبت. اگر یک کسر در هنگام ضرب یا تقسیم منفی است، به سادگی منهای را حذف کرده و سپس آن را به پاسخ اضافه کنید. هنگام جمع کردن کسرهای منفی، نتیجه همان خواهد بود که اگر همان کسرهای مثبت را اضافه کنید. اگر یک کسر منفی اضافه کنید، این همان کسر مثبت است.
هنگام تفریق کسرهای منفی، نتیجه همان خواهد بود که اگر آنها را مبادله کرده و مثبت می کنند. یعنی منهای به منهای در این مورد یک مثبت می دهد، اما مرتب کردن مجدد عبارت ها مجموع را تغییر نمی دهد. هنگام تفریق کسری از قوانین یکسانی استفاده می کنیم که یکی از آنها منفی است.

برای راه حل ها کسرهای مخلوط(کسری که در آن کل قسمت برجسته شده است) به سادگی کل قسمت را به کسری هدایت کنید. برای این کار کل قسمت را در مخرج ضرب کرده و به صورت جمع کنید.

اگر نیاز به حل 3 یا بیشتر کسری به صورت آنلاین دارید، باید آنها را یکی یکی حل کنید. ابتدا 2 کسر اول را بشمارید سپس کسر بعدی را با جوابی که می گیرید حل کنید و همینطور ادامه دهید. عملیات را یک به یک و هر بار 2 کسر انجام دهید و در نهایت پاسخ صحیح را خواهید گرفت.

بیایید مبحث تبدیل عبارات با قدرت را در نظر بگیریم، اما ابتدا اجازه دهید به تعدادی از تبدیل‌هایی بپردازیم که می‌توان با هر عبارتی، از جمله قدرت، انجام داد. ما یاد خواهیم گرفت که چگونه پرانتز را باز کنیم، اصطلاحات مشابه را اضافه کنیم، با مبناها و توان ها کار کنیم و از ویژگی های توان ها استفاده کنیم.

Yandex.RTB R-A-339285-1

عبارات قدرت چیست؟

در دوره های مدرسه، افراد کمی از عبارت « عبارات قدرت"، اما این اصطلاح به طور مداوم در مجموعه های آماده سازی برای آزمون یکپارچه دولتی یافت می شود. در بیشتر موارد، یک عبارت عباراتی را نشان می‌دهد که دارای درجه‌هایی در ورودی‌های خود هستند. این همان چیزی است که ما در تعریف خود منعکس خواهیم کرد.

تعریف 1

بیان قدرتعبارتی است که دارای قدرت است.

اجازه دهید چندین مثال از عبارات قدرت ارائه دهیم، که با قدرت با شروع می شود شاخص طبیعیو با درجه ای با توان واقعی خاتمه می یابد.

ساده ترین عبارات توان را می توان توان های یک عدد با توان طبیعی در نظر گرفت: 3 2, 7 5 + 1, (2 + 1) 5, (- 0, 1) 4, 2 2 3 3, 3 a 2 − a + a 2, x 3 − 1 , (a 2) 3 . و همچنین توان های با توان صفر: 5 0، (a + 1) 0، 3 + 5 2 − 3، 2 0. و توان های با توان های عدد صحیح منفی: (0، 5) 2 + (0، 5) - 2 2.

کار با مدرکی که دارای توانای منطقی و غیرمنطقی است کمی دشوارتر است: 264 1 4 - 3 3 3 1 2, 2 3, 5 2 - 2 2 - 1, 5, 1 a 1 4 a 1 2 - 2 a - 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 - π , 2 3 3 + 5 .

نشانگر می تواند متغیر 3 x - 54 - 7 3 x - 58 یا لگاریتم باشد. x 2 · l g x − 5 · x l g x.

ما به این سوال پرداخته ایم که عبارات قدرت چیست؟ حالا بیایید تبدیل آنها را شروع کنیم.

انواع اصلی تبدیل عبارات قدرت

اول از همه، ما به تغییر هویت اصلی عبارات که می توان با عبارات قدرت انجام داد نگاه خواهیم کرد.

مثال 1

مقدار یک عبارت قدرت را محاسبه کنید 2 3 (4 2 - 12).

راه حل

ما تمام تحولات را با رعایت ترتیب اقدامات انجام خواهیم داد. در این مورد، ما با انجام اقدامات داخل پرانتز شروع می کنیم: درجه را با یک مقدار دیجیتال جایگزین می کنیم و تفاوت دو عدد را محاسبه می کنیم. ما داریم 2 3 (4 2 − 12) = 2 3 (16 − 12) = 2 3 4.

تنها کاری که باید انجام دهیم تعویض مدرک است 2 3 معنای آن 8 و محصول را محاسبه کنید 8 4 = 32. در اینجا پاسخ ما است.

پاسخ: 2 3 · (4 2 − 12) = 32 .

مثال 2

بیان را با قدرت ها ساده کنید 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7.

راه حل

عبارتی که در دستور مشکل به ما داده شده است شامل عبارات مشابهی است که می‌توانیم بیان کنیم: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1.

پاسخ: 3 · a 4 · b − 7 − 1 + 2 · a 4 · b − 7 = 5 · a 4 · b − 7 − 1 .

مثال 3

عبارت را با توان های 9 - b 3 · π - 1 2 به عنوان یک حاصل بیان کنید.

راه حل

بیایید عدد 9 را به عنوان یک توان تصور کنیم 3 2 و از فرمول ضرب اختصاری استفاده کنید:

9 - b 3 π - 1 2 = 3 2 - b 3 π - 1 2 = = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1

پاسخ: 9 - b 3 · π - 1 2 = 3 - b 3 · π - 1 3 + b 3 · π - 1 .

حال بیایید به تحلیل تحولات هویتی که می‌تواند به طور خاص برای عبارات قدرت اعمال شود، برویم.

کار با پایه و توان

درجه در مبنا یا توان می تواند دارای اعداد، متغیرها و برخی عبارات باشد. مثلا، (2 + 0، 3 7) 5 − 3، 7و . کار با چنین رکوردهایی دشوار است. جایگزین کردن عبارت در پایه درجه یا عبارت در توان با یک عبارت یکسان بسیار ساده تر است.

تبدیل درجه و توان طبق قوانینی که برای ما به طور جداگانه از یکدیگر شناخته شده است انجام می شود. مهمترین چیز این است که تبدیل منجر به عبارتی مشابه با عبارت اصلی می شود.

هدف از تبدیل ها ساده کردن عبارت اصلی یا به دست آوردن راه حلی برای مسئله است. برای مثال، در مثالی که در بالا آوردیم، (2 + 0، 3 7) 5 − 3، 7 می توانید مراحل را برای رفتن به درجه دنبال کنید. 4 , 1 1 , 3 . با باز کردن پرانتز، می توانیم اصطلاحات مشابهی را برای پایه قدرت ارائه کنیم (a · (a + 1) − a 2) 2 · (x + 1)و بیان قدرت بیشتری دریافت کنید نوع ساده a 2 (x + 1).

استفاده از ویژگی های درجه

خصوصیات قوا که به صورت تساوی نوشته شده است، یکی از ابزارهای اصلی تبدیل عبارات با قدرت است. ما در اینجا با در نظر گرفتن این موارد اصلی را ارائه می دهیم آو ب- اینها هر کدام هستند اعداد مثبت، آ rو س- اعداد واقعی دلخواه:

تعریف 2

• a r · a s = a r + s ;
• a r: a s = a r − s ;
• (a · b) r = a r · b r ;
• (الف: ب) r = a r: b r ;
• (a r) s = a r · s .

در مواردی که با نماهای طبیعی، اعداد صحیح و مثبت سروکار داریم، محدودیت‌های اعداد a و b می‌تواند بسیار سخت‌تر باشد. بنابراین، به عنوان مثال، اگر ما برابری را در نظر بگیریم a m · a n = a m + n، جایی که مترو nاعداد طبیعی هستند، پس برای هر مقدار a، اعم از مثبت و منفی، و همچنین برای صادق خواهد بود a = 0.

در مواردی که پایه توان ها مثبت یا حاوی متغیرها، مساحت هستند، می توانید ویژگی های توان ها را بدون محدودیت اعمال کنید. ارزش های قابل قبولکه به گونه ای است که مبانی آن فقط مقادیر مثبت را می گیرد. در واقع، در داخل برنامه آموزشی مدرسهدر ریاضیات، وظیفه دانش آموز این است که یک ویژگی مناسب را انتخاب کند و آن را به درستی اعمال کند.

هنگام آماده شدن برای ورود به دانشگاه ها، ممکن است با مشکلاتی روبرو شوید که در آن استفاده نادرست از ویژگی ها منجر به باریک شدن DL و سایر مشکلات در حل آن می شود. در این بخش تنها دو مورد از این قبیل را بررسی خواهیم کرد. اطلاعات بیشتر در مورد این موضوع را می توان در مبحث "تبدیل عبارات با استفاده از ویژگی های قدرت" یافت.

مثال 4

بیان را تصور کنید a 2, 5 (a 2) − 3: a − 5 , 5به شکل پاور با پایه آ.

راه حل

ابتدا از خاصیت توان استفاده می کنیم و عامل دوم را با استفاده از آن تبدیل می کنیم (a 2) - 3. سپس از خواص ضرب و تقسیم توان ها با پایه یکسان استفاده می کنیم:

a 2, 5 · a − 6: a − 5 , 5 = a 2 , 5 − 6: a − 5 , 5 = a − 3 , 5: a − 5 , 5 = a − 3 , 5 − (− 5 , 5) = a 2 .

پاسخ: a 2, 5 · (a 2) − 3: a − 5, 5 = a 2.

تبدیل عبارات قدرت با توجه به خاصیت قدرت ها می تواند هم از چپ به راست و هم در جهت مخالف انجام شود.

مثال 5

مقدار عبارت توان 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 را بیابید.

راه حل

اگر برابری را اعمال کنیم (a · b) r = a r · b r، از راست به چپ، حاصل ضربی به شکل 3 · 7 1 3 · 21 2 3 و سپس 21 1 3 · 21 2 3 به دست می آوریم. بیایید هنگام ضرب توان ها با پایه های یکسان، توان ها را جمع کنیم: 21 1 3 · 21 2 3 = 21 1 3 + 2 3 = 21 1 = 21.

راه دیگری برای انجام تحول وجود دارد:

3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · (3 · 7) 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · 3 2 3 · 7 2 3 = = 3 1 3 · 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21

پاسخ: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21

مثال 6

با توجه به بیان قدرت a 1, 5 − a 0, 5 − 6، یک متغیر جدید وارد کنید t = a 0.5.

راه حل

بیایید مدرک را تصور کنیم یک 1، 5چگونه a 0.5 3. استفاده از خاصیت درجه به درجات (a r) s = a r · sاز راست به چپ و (a 0, 5) 3: a 1, 5 − a 0, 5 − 6 = (a 0, 5) 3 − a 0, 5 − 6 می گیریم. شما به راحتی می توانید یک متغیر جدید را در عبارت حاصل وارد کنید t = a 0.5: ما گرفتیم t 3 - t - 6.

پاسخ: t 3 − t − 6 .

تبدیل کسرهای حاوی توان

ما معمولاً با دو نسخه از عبارات توان با کسر سروکار داریم: عبارت نشان دهنده کسری با توان یا حاوی چنین کسری است. تمام تبدیل‌های اساسی کسرها برای چنین عباراتی بدون محدودیت قابل اعمال هستند. آنها را می توان کاهش داد، به یک مخرج جدید آورد، یا به طور جداگانه با صورت و مخرج کار کرد. بیایید این را با مثال هایی توضیح دهیم.

مثال 7

عبارت قدرت 3 · 5 2 3 · 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 · x 2 - 3 - 3 · x 2 را ساده کنید.

راه حل

ما با یک کسری سر و کار داریم، بنابراین تبدیل ها را هم در صورت و هم در مخرج انجام می دهیم:

3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2

یک علامت منفی جلوی کسر قرار دهید تا علامت مخرج را تغییر دهید: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2

پاسخ: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2

کسرهای حاوی توان به همان ترتیب به مخرج جدیدی تقلیل می‌یابند کسرهای گویا. برای این کار باید یک عامل اضافی پیدا کنید و صورت و مخرج کسر را در آن ضرب کنید. لازم است یک عامل اضافی را به گونه ای انتخاب کنید که برای هیچ مقدار متغیر از متغیرهای ODZ برای عبارت اصلی به صفر نرسد.

مثال 8

کسرها را به مخرج جدید کاهش دهید: الف) a + 1 a 0، 7 به مخرج آ، ب) 1 x 2 3 - 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 به مخرج x + 8 · y 1 2 .

راه حل

الف) عاملی را انتخاب می کنیم که به ما امکان می دهد به مخرج جدیدی تقلیل دهیم. a 0, 7 a 0, 3 = a 0, 7 + 0, 3 = a,بنابراین، ما به عنوان یک عامل اضافی در نظر خواهیم گرفت a 0، 3. محدوده مقادیر مجاز متغیر a شامل مجموعه تمام اعداد حقیقی مثبت است. مدرک در این رشته a 0، 3به صفر نمی رسد

بیایید صورت و مخرج کسری را در ضرب کنیم a 0، 3:

a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a 0, 7 a 0, 3 = a + 1 a 0, 3 a

ب) به مخرج توجه کنیم:

x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2

بیایید این عبارت را در x 1 3 + 2 · y 1 6 ضرب کنیم، مجموع مکعب های x 1 3 و 2 · y 1 6 را به دست می آوریم، یعنی. x + 8 · y 1 2 . این مخرج جدید ما است که باید کسر اصلی را به آن کاهش دهیم.

به این ترتیب فاکتور اضافی x 1 3 + 2 · y 1 6 را پیدا کردیم. در محدوده مقادیر مجاز متغیرها ایکسو yعبارت x 1 3 + 2 y 1 6 ناپدید نمی شود، بنابراین، می توانیم صورت و مخرج کسری را در آن ضرب کنیم:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 y 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2

پاسخ:الف) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 · y 1 2 .

مثال 9

کسر را کاهش دهید: الف) 30 x 3 (x 0، 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0، 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3، ب) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2.

راه حل

الف) از بزرگترین مخرج مشترک (GCD) استفاده می کنیم که با آن می توانیم صورت و مخرج را کاهش دهیم. برای اعداد 30 و 45 عدد 15 است. ما همچنین می توانیم کاهش دهیم x0.5+1و روی x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 .

ما گرفتیم:

30 x 3 (x 0، 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0، 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0، 5 + 1)

ب) در اینجا وجود عوامل یکسان آشکار نیست. برای به دست آوردن فاکتورهای یکسان در صورت و مخرج، باید چند تبدیل انجام دهید. برای انجام این کار، مخرج را با استفاده از فرمول تفاضل مربعات گسترش می دهیم:

a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4

پاسخ:الف) 30 x 3 (x 0، 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0، 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 ، 5 + 1) ، ب) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4 .

عملیات اصلی با کسرها شامل تبدیل کسرها به مخرج جدید و کاهش کسرها است. هر دو عمل با رعایت تعدادی از قوانین انجام می شود. هنگام جمع و تفریق کسرها، ابتدا کسرها به یک مخرج مشترک تقلیل می‌یابند و پس از آن عملیات (جمع یا تفریق) با اعداد انجام می‌شود. مخرج ثابت می ماند. حاصل اعمال ما کسری جدید است که صورت آن حاصل ضرب مصدرها و مخرج حاصلضرب مخرج ها است.

مثال 10

مراحل x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 را انجام دهید.

راه حل

بیایید با تفریق کسری که داخل پرانتز هستند شروع کنیم. بیایید آنها را به یک مخرج مشترک بیاوریم:

x 1 2 - 1 x 1 2 + 1

بیایید اعداد را کم کنیم:

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2

حالا کسرها را ضرب می کنیم:

4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2

بیایید با یک قدرت کاهش دهیم x 1 2، ما 4 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 می گیریم.

علاوه بر این، می توانید بیان قدرت را در مخرج با استفاده از فرمول تفاوت مربع ها ساده کنید: مربع ها: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1 .

پاسخ: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1

مثال 11

عبارت power-law x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3 را ساده کنید.
راه حل

ما می توانیم کسر را کاهش دهیم (x 2 , 7 + 1) 2. کسر x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1 را می گیریم.

اجازه دهید به تبدیل توان های x x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2، 7 + 1 ادامه دهیم. اکنون می توانید از ویژگی تقسیم قدرت ها با پایه های یکسان استفاده کنید: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2، 7 + 1.

ما از آخرین حاصل به کسر x 1 3 8 x 2، 7 + 1 حرکت می کنیم.

پاسخ: x 3 4 x 2، 7 + 1 2 x - 5 8 x 2، 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2، 7 + 1.

در بیشتر موارد، انتقال عوامل با نماهای منفی از صورت به مخرج و عقب راحت تر است و علامت توان را تغییر می دهد. این عمل به شما امکان می دهد تصمیم گیری بیشتر را ساده کنید. بیایید مثالی بزنیم: عبارت توان (x + 1) - 0, 2 3 · x - 1 را می توان با x 3 · (x + 1) 0, 2 جایگزین کرد.

تبدیل عبارات با ریشه و قدرت

در مسائل، عبارات توانی وجود دارد که نه تنها دارای توان با توان های کسری، بلکه ریشه ها نیز هستند. توصیه می شود چنین عباراتی را فقط به ریشه یا فقط به قدرت تقلیل دهید. رفتن به مدرک ترجیح داده می شود زیرا کار با آنها راحت تر است. این انتقال مخصوصاً زمانی ارجح است که ODZ متغیرها برای عبارت اصلی به شما اجازه می‌دهد تا ریشه‌ها را با قدرت‌ها بدون نیاز به دسترسی به مدول یا تقسیم ODZ به چندین بازه، جایگزین کنید.

مثال 12

عبارت x 1 9 · x · x 3 6 را به صورت توان بیان کنید.

راه حل

محدوده مقادیر متغیر مجاز ایکسبا دو نابرابری تعریف می شود x ≥ 0و x x 3 ≥ 0 که مجموعه را تعریف می کنند [ 0 , + ∞) .

در این مجموعه ما این حق را داریم که از ریشه به سمت قدرت حرکت کنیم:

x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 9 · x · x 1 3 1 6

با استفاده از ویژگی های قدرت ها، بیان قدرت حاصل را ساده می کنیم.

x 1 9 · x · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 · 1 3 · 6 = = x 1 9 · x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

پاسخ: x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 3 .

تبدیل توان ها با متغیرها در توان

اگر از ویژگی های درجه به درستی استفاده کنید، انجام این تبدیل ها بسیار آسان است. مثلا، 5 2 x + 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x − 1 = 0.

می‌توانیم با حاصل ضرب توان‌هایی جایگزین کنیم که نماهای آن مجموع یک متغیر و یک عدد است. در سمت چپ، این را می توان با اولین و آخرین عبارت سمت چپ عبارت انجام داد:

5 2 x 5 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x 7 − 1 = 0, 5 5 2 x − 3 5 x 7 x − 2 7 2 x = 0 .

حالا بیایید هر دو طرف معادله را بر تقسیم کنیم 7 2 x. این عبارت برای متغیر x فقط مقادیر مثبت می گیرد:

5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0

بیایید کسرها را با توان ها کاهش دهیم، به دست می آوریم: 5 · 5 2 · x 7 2 · x - 3 · 5 x 7 x - 2 = 0.

در نهایت، نسبت توان های با توان های یکسان با توان های نسبت ها جایگزین می شود که معادله 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0 است که معادل 5 5 7 x 2 - 3 5 7 x است. - 2 = 0.

اجازه دهید یک متغیر جدید t = 5 7 x را معرفی کنیم که جواب را به حالت اصلی کاهش می دهد معادله نماییبه یک تصمیم معادله درجه دوم 5 · t 2 − 3 · t − 2 = 0 .

تبدیل عبارات با توان و لگاریتم

عبارات حاوی توان و لگاریتم نیز در مسائل یافت می شود. نمونه ای از این عبارات عبارتند از: 1 4 1 - 5 · log 2 3 یا log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) · log 5 3. تبدیل چنین عباراتی با استفاده از رویکردها و خواص لگاریتم های مورد بحث در بالا انجام می شود که در مبحث "تبدیل عبارات لگاریتمی" به تفصیل مورد بحث قرار گرفتیم.

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

§ 1 مفهوم ساده سازی یک عبارت تحت اللفظی

در این درس با مفهوم اصطلاحات مشابه آشنا می شویم و با استفاده از مثال می آموزیم که چگونه عبارات مشابه را کاهش دهیم و در نتیجه عبارات تحت اللفظی را ساده کنیم.

بیایید معنای مفهوم "ساده سازی" را دریابیم. واژه «ساده سازی» از کلمه «ساده سازی» گرفته شده است. ساده کردن یعنی ساده کردن، ساده تر کردن. بنابراین، ساده کردن یک عبارت حرفی، کوتاه‌تر کردن آن با حداقل تعداد اعمال است.

عبارت 9x + 4x را در نظر بگیرید. این یک عبارت تحت اللفظی است که یک جمع است. اصطلاحات در اینجا به عنوان محصولات یک عدد و یک حرف ارائه می شوند. ضریب عددی چنین اصطلاحاتی را ضریب می گویند. در این عبارت، ضرایب اعداد 9 و 4 خواهد بود.

بیایید قانون توزیعی ضرب را به یاد بیاوریم:

برای ضرب یک مجموع در یک عدد، می‌توانید هر جمله را در آن عدد ضرب کنید و حاصل جمع حاصل را جمع کنید.

که در نمای کلیبه صورت زیر نوشته می شود: (a + b) ∙ c = ac + bc.

این قانون در هر دو جهت ac + bc = (a + b) ∙ c صادق است

بیایید آن را به عبارت تحت اللفظی خود اعمال کنیم: مجموع حاصلضرب های 9x و 4x برابر است با حاصلضربی که عامل اول آن برابر با مجموع 9 و 4 است، عامل دوم x است.

9 + 4 = 13، این 13 برابر است.

9x + 4 x = (9 + 4)x = 13x.

به جای سه عمل در عبارت، تنها یک عمل باقی مانده است - ضرب. این بدان معنی است که ما بیان تحت اللفظی خود را ساده تر کرده ایم، یعنی. آن را ساده کرد.

§ 2 کاهش اصطلاحات مشابه

اصطلاحات 9x و 4x فقط در ضرایب آنها متفاوت هستند - چنین اصطلاحاتی مشابه نامیده می شوند. قسمت حروف اصطلاحات مشابه یکسان است. اصطلاحات مشابه نیز شامل اعداد و عبارات مساوی است.

به عنوان مثال، در عبارت 9a + 12 - 15 عبارت های مشابه اعداد 12 و 15- و در مجموع حاصلضرب 12 و 6a، عدد 14 و حاصل ضرب 12 و 6a خواهد بود (12 ∙ 6a + 14 + 12 ∙ 6a) عبارت های مساوی که با حاصلضرب 12 و 6a نشان داده می شوند.

ذکر این نکته ضروری است که عبارت هایی که ضرایب آنها مساوی است، اما ضرایب حروف آنها متفاوت است، مشابه نیستند، اگرچه گاهی اوقات اعمال قانون توزیعی ضرب در آنها مفید است، به عنوان مثال، مجموع حاصلضرب های 5x و 5y برابر است. برابر حاصل ضرب عدد 5 و مجموع x و y است

5x + 5y = 5 (x + y).

بیایید عبارت -9a + 15a - 4 + 10 را ساده کنیم.

اصطلاحات مشابه در این مورد عبارتند از -9a و 15a، زیرا آنها فقط در ضرایب خود متفاوت هستند. ضریب حروف آنها یکسان است و عبارات -4 و 10 نیز مشابه هستند، زیرا آنها اعداد هستند. اصطلاحات مشابه را اضافه کنید:

9a + 15a - 4 + 10

9a + 15a = 6a;

دریافت می کنیم: 6a + 6.

با ساده کردن عبارت، مجموع اصطلاحات مشابه را یافتیم؛ در ریاضیات به این کاهش اصطلاحات مشابه می گویند.

اگر افزودن چنین اصطلاحاتی دشوار است، می‌توانید برای آنها کلماتی در نظر بگیرید و اشیا را اضافه کنید.

به عنوان مثال، عبارت را در نظر بگیرید:

برای هر حرف ما شیء خودمان را می گیریم: b-apple، c-pear، سپس می گیریم: 2 سیب منهای 5 گلابی به اضافه 8 گلابی.

آیا می توانیم گلابی را از سیب کم کنیم؟ البته که نه. اما می توانیم 8 گلابی را به منهای 5 گلابی اضافه کنیم.

اجازه دهید اصطلاحات مشابه -5 گلابی + 8 گلابی را ارائه دهیم. عبارات مشابه دارای قسمت حروف یکسانی هستند، بنابراین هنگام آوردن عبارت های مشابه کافی است ضرایب را جمع کرده و قسمت حروف را به نتیجه اضافه کنید:

(-5 + 8) گلابی - شما 3 گلابی دریافت می کنید.

با بازگشت به عبارت تحت اللفظی خود، -5 s + 8 s = 3 ثانیه داریم. بنابراین، پس از آوردن عبارت های مشابه، عبارت 2b + 3c را به دست می آوریم.

بنابراین، در این درس با مفهوم اصطلاحات مشابه آشنا شدید و یاد گرفتید که چگونه عبارات حروف را با کاهش اصطلاحات مشابه ساده کنید.

فهرست ادبیات مورد استفاده:

1. ریاضیات. کلاس ششم: طرح درسبه کتاب درسی I.I. زوباروا، A.G. موردکوویچ // نویسنده-تدوین کننده L.A. توپیلینا. Mnemosyne 2009.
2. ریاضیات. کلاس ششم: کتاب درسی برای دانش آموزان موسسات آموزشی. I.I. Zubareva، A.G. موردکوویچ - M.: Mnemosyne، 2013.
3. ریاضیات. پایه ششم: کتاب درسی موسسات آموزش عمومی/G.V. دوروفیف، I.F. شاریگین، س.ب. سووروف و دیگران / ویرایش شده توسط G.V. دوروفیوا، I.F. شاریگینا; آکادمی علوم روسیه، آکادمی آموزش روسیه. م.: "روشنگری"، 2010.
4. ریاضیات. پایه ششم: تحصیل در مؤسسات آموزشی عمومی/ن.یا. Vilenkin، V.I. ژخوف، A.S. چسنوکوف، S.I. شوارتزبورد. - M.: Mnemosyna، 2013.
5. ریاضیات. پایه ششم: کتاب درسی/گ.ک. موراوین، O.V. موراوینا. - M.: Bustard، 2014.

تصاویر استفاده شده:

در میان عبارات مختلفی که در جبر مورد توجه قرار می گیرد، مجموع تک جمله ها جایگاه مهمی را به خود اختصاص می دهند. در اینجا نمونه هایی از این عبارات آورده شده است:
\(5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)

مجموع تک جمله ها را چند جمله ای می گویند. اصطلاحات موجود در یک چند جمله ای اصطلاحات چند جمله ای نامیده می شوند. تک جمله ای ها نیز به عنوان چند جمله ای طبقه بندی می شوند و یک تک جمله ای را چند جمله ای متشکل از یک عضو در نظر می گیریم.

به عنوان مثال، یک چند جمله ای
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 \)
را می توان ساده کرد.

اجازه دهید همه اصطلاحات را به صورت تک‌جملاتی از فرم استاندارد نشان دهیم:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)

اجازه دهید عبارات مشابه را در چند جمله ای حاصل ارائه کنیم:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
نتیجه یک چند جمله ای است که همه عبارت های آن تک جمله های شکل استاندارد هستند و در بین آنها هیچ مشابهی وجود ندارد. چنین چند جمله ای نامیده می شود چند جمله ای های فرم استاندارد.

پشت درجه چند جمله اییک فرم استاندارد بالاترین اختیارات اعضای خود را می گیرد. بنابراین، دو جمله ای \(12a^2b - 7b\) دارای درجه سوم و سه جمله ای \(2b^2 -7b + 6\) دارای درجه دوم است.

به طور معمول، اصطلاحات چندجمله ای های فرم استاندارد حاوی یک متغیر به ترتیب نزولی توان ها مرتب می شوند. مثلا:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)

مجموع چند جمله ای را می توان به چند جمله ای با فرم استاندارد تبدیل کرد (ساده کرد).

گاهی اوقات لازم است اصطلاحات یک چند جمله ای به گروه هایی تقسیم شوند و هر گروه را در پرانتز قرار دهیم. از آنجایی که محصور کردن پرانتز تبدیل معکوس پرانتزهای باز است، فرمول‌بندی آن آسان است قوانین باز کردن پرانتز:

اگر علامت "+" قبل از پرانتز قرار گیرد، اصطلاحات محصور در پرانتز با همان علائم نوشته می شوند.

اگر علامت "-" قبل از پرانتز قرار داده شود، اصطلاحات محصور در پرانتز با علائم مخالف نوشته می شوند.

تبدیل (ساده سازی) حاصل ضرب یک جمله و چند جمله ای

با استفاده از خاصیت توزیعی ضرب، می توانید حاصل ضرب یک تک جمله ای و چند جمله ای را به چند جمله ای تبدیل کنید (ساده کنید). مثلا:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

حاصل ضرب یک تک جمله ای و یک چند جمله ای برابر است با مجموع حاصل از این تک جمله ای و هر یک از جمله های چند جمله ای.

این نتیجه معمولاً به عنوان یک قانون فرموله می شود.

برای ضرب یک تک جمله ای در چند جمله ای، باید آن تک جمله ای را در هر یک از جمله های چند جمله ای ضرب کنید.

ما قبلاً چندین بار از این قانون برای ضرب در یک جمع استفاده کرده ایم.

حاصل چند جمله ای ها تبدیل (ساده سازی) حاصل ضرب دو چند جمله ای

به طور کلی، حاصل ضرب دو چندجمله ای به طور یکسان برابر است با مجموع حاصل ضرب هر جمله یک چند جمله ای و هر جمله دیگر.

معمولاً از قانون زیر استفاده می شود.

برای ضرب یک چند جمله ای در یک چند جمله ای، باید هر جمله یک چند جمله ای را در هر جمله دیگری ضرب کنید و حاصلضرب های حاصل را اضافه کنید.

فرمول ضرب مختصر مجموع مجذورات، تفاوت ها و اختلاف مربع ها

شما باید با برخی از عبارات در تبدیل های جبری بیشتر از دیگران مقابله کنید. شاید رایج ترین عبارات \((a + b)^2، \; (a - b)^2 \) و \(a^2 - b^2 \) باشند، یعنی مربع مجموع، مربع تفاوت و اختلاف مربع ها توجه کردید که نام این عبارات ناقص به نظر می رسد، به عنوان مثال، \((a + b)^2 \) البته فقط مربع مجموع نیست، بلکه مربع مجموع a و b است. . با این حال، مجذور مجموع a و b اغلب اتفاق نمی افتد؛ به عنوان یک قاعده، به جای حروف a و b، شامل عبارات مختلف، گاهی اوقات بسیار پیچیده است.

عبارات \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) را می توان به راحتی به چند جمله ای های شکل استاندارد تبدیل کرد (ساده کرد)؛ در واقع، شما قبلاً هنگام ضرب چند جمله ای ها با این کار روبرو شده اید:
\((a + b)^2 = (a + b) (a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

به خاطر سپردن هویت های حاصل و اعمال آنها بدون محاسبات میانی مفید است. فرمول های کلامی مختصر به این امر کمک می کند.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - مجذور مجموع برابر است با مجموع مربع ها و حاصل ضرب دو برابر.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - مجذور اختلاف برابر است با مجموع مربع های بدون حاصل ضرب شده.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - اختلاف مربع ها برابر است با حاصلضرب تفاوت و مجموع.

این سه هویت به فرد اجازه می‌دهد تا در دگرگونی‌ها، قسمت‌های سمت چپ خود را با قسمت‌های راست جایگزین کند و برعکس - قسمت‌های سمت راست با قسمت‌های چپ. دشوارترین کار دیدن عبارات مربوطه و درک چگونگی جایگزینی متغیرهای a و b در آنها است. بیایید به چند نمونه از استفاده از فرمول ضرب اختصاری نگاه کنیم.