سخنرانی: "روش های حل معادلات نمایی".

1 . معادلات نمایی

معادلات حاوی مجهولات در توان را معادلات نمایی می نامند. ساده ترین آنها معادله ax = b است که a > 0 و a ≠ 1 است.

1) برای ب< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 تابع نمایی، راه حلی ندارد.

2) برای b > 0، با استفاده از یکنواختی تابع و قضیه ریشه، معادله یک ریشه دارد. برای یافتن آن، b باید به صورت b = aс، ax = bс ó x = c یا x = logab نمایش داده شود.

معادلات نمایی توسط تبدیلات جبریمنجر به معادلات استاندارد می شود که با استفاده از روش های زیر حل می شوند:

1) روش کاهش به یک پایه؛

2) روش ارزیابی؛

3) روش گرافیکی؛

4) روش معرفی متغیرهای جدید.

5) روش فاکتورسازی؛

6) معادلات نمایی - توان.

7) نمایی با یک پارامتر.

2 . روش کاهش به یک پایه.

این روش بر اساس ویژگی درجات زیر است: اگر دو درجه مساوی و پایه آنها مساوی باشد، توان آنها برابر است، یعنی باید سعی شود معادله به شکل کاهش یابد.

مثال ها. معادله را حل کنید:

1 . 3x=81;

بیایید سمت راست معادله را به شکل 81 = 34 نشان دهیم و معادله را معادل 3 x = 34 اصلی بنویسیم. x = 4. پاسخ: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49"> و به معادله نماهای 3x+1 = 3 – 5x؛ 8x = 4 بروید. x = 0.5 پاسخ: 0.5

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">

توجه داشته باشید که اعداد 0.2، 0.04، √5 و 25 توان های 5 هستند. بیایید از این مزیت استفاده کنیم و معادله اصلی را به صورت زیر تبدیل کنیم:

, از آنجا 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x - 1 = - 2x - 2، که از آن راه حل x = -1 را پیدا می کنیم. پاسخ 1.

5. 3x = 5. طبق تعریف لگاریتم، x = log35. پاسخ: log35.

6. 62x+4 = 33x. 2x+8.

بیایید معادله را به صورت 32x+4.22x+4 = 32x.2x+8 بازنویسی کنیم، یعنی..png" width="181" height="49 src="> بنابراین x - 4 =0، x = 4. پاسخ: 4.

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. با استفاده از خواص توان ها معادله را به شکل e می نویسیم x+1 = 2 x =1. پاسخ 1.

بانک وظایف شماره 1.

معادله را حل کنید:

تست شماره 1.

	1) 0 2) 4 3) -2 4) -4
A2 32x-8 = √3.	1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4
A3	1) 3؛ 1 2) -3؛-1 3) 0؛ 2 4) بدون ریشه
	1) 7؛ 1 2) بدون ریشه 3) -7؛ 1 4) -1؛-7
A5	1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0
A6	1) -1 2) 0 3) 2 4) 1

تست شماره 2

A1	1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1
A2	1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11
A3	1) 2;-1 2) بدون ریشه 3) 0 4) -2;1
A4	1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2
A5	1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3

3 روش ارزیابی.

قضیه ریشه: اگر تابع f (x) در بازه I افزایش (کاهش) پیدا کند، عدد a هر مقداری است که با f در این بازه گرفته شود، آنگاه معادله f (x) = a دارای یک ریشه در بازه I است.

هنگام حل معادلات با روش تخمین، از این قضیه و ویژگی های یکنواختی تابع استفاده می شود.

مثال ها. حل معادلات: 1. 4x = 5 - x.

راه حل. بیایید معادله را به صورت 4x + x = 5 بازنویسی کنیم.

1. اگر x \u003d 1، پس 41 + 1 \u003d 5، 5 \u003d 5 درست است، پس 1 ریشه معادله است.

تابع f(x) = 4x در R در حال افزایش است و g(x) = x در R => h(x)= f(x)+g(x) در R به عنوان مجموع توابع افزایشی افزایش می‌یابد. بنابراین x = 1 تنها ریشه معادله 4x = 5 – x است. پاسخ 1.

2.

راه حل. معادله را در فرم بازنویسی می کنیم .

1. اگر x = -1، پس ، 3 = 3-true، بنابراین x = -1 ریشه معادله است.

2. ثابت کنید که منحصر به فرد است.

3. تابع f(x) = - در R کاهش می یابد، و g(x) = - x - در R => h(x) = f(x) + g(x) - در R کاهش می یابد، به عنوان مجموع از توابع کاهشی . بنابراین با قضیه ریشه، x = -1 تنها ریشه معادله است. پاسخ 1.

بانک وظایف شماره 2. معادله را حل کنید

الف) 4x + 1 = 6 - x;

ب)

ج) 2x – 2 =1 – x;

4. روش معرفی متغیرهای جدید.

روش در بخش 2.1 توضیح داده شده است. معرفی یک متغیر جدید (جایگزینی) معمولاً پس از تبدیل (ساده سازی) شرایط معادله انجام می شود. نمونه هایی را در نظر بگیرید.

مثال ها. آرمعادله خوردن: 1. .

بیایید معادله را متفاوت بنویسیم: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> i.e..png" width="210" height = "45">

راه حل. بیایید معادله را متفاوت بنویسیم:

https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> را علامت بزنید - مناسب نیست.

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> - معادله غیر منطقی. توجه می کنیم که

جواب معادله x = 2.5 ≤ 4 است، بنابراین 2.5 ریشه معادله است. پاسخ: 2.5.

راه حل. بیایید معادله را به شکل بازنویسی کنیم و هر دو طرف را بر 56x+6 ≠ 0 تقسیم کنیم. معادله را بدست می آوریم

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1، بنابراین..png" width="118" height="56">

ریشه های معادله درجه دوم - t1 = 1 و t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.

راه حل . معادله را در فرم بازنویسی می کنیم

و توجه داشته باشید که یک معادله همگن درجه دوم است.

معادله را بر 42 برابر تقسیم می کنیم، به دست می آید

https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> را جایگزین کنید.

پاسخ: 0; 0.5.

بانک وظیفه شماره 3. معادله را حل کنید

ب)

ز)

تست شماره 3 با انتخابی از پاسخ ها حداقل سطح.

A1	1) -0.2؛ 2 2) log52 3) –log52 4) 2
A2 0.52x – 3 0.5x +2 = 0.	1) 2؛ 1 2) -1؛ 0 3) بدون ریشه 4) 0
	1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5
A4 52x-5x - 600 = 0.	1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2
	1) بدون ریشه 2) 2؛ 4 3) 3 4) -1؛ 2

تست شماره 4 با انتخابی از پاسخ ها سطح عمومی.

A1	1) 2؛ 1 2) ½؛ 0 3) 2؛ 0 4) 0
А2 2x – (0.5)2x – (0.5)x + 1 = 0	1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1
	1) 64 2) -14 3) 3 4) 8
	1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0
A5	1) 0 2) 1 3) 0؛ 1 4) بدون ریشه

5. روش فاکتورسازی.

1. معادله را حل کنید: 5x+1 - 5x-1 = 24.

Solution..png" width="169" height="69">، از کجا

2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.

راه حل. اجازه دهید 6 برابر در سمت چپ معادله و 2 برابر در سمت راست معادله را برداریم. معادله 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x را بدست می آوریم.

از آنجایی که 2x>0 برای همه x، می‌توانیم هر دو طرف این معادله را بر 2x تقسیم کنیم، بدون ترس از از دست دادن راه‌حل. ما 3x = 1- x = 0 دریافت می کنیم.

3.

راه حل. معادله را با فاکتورگیری حل می کنیم.

مربع دو جمله ای را انتخاب می کنیم

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">

x = -2 ریشه معادله است.

معادله x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

A1 5x-1 +5x -5x+1 = -19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x+1 +3x-1 =270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1.5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15.x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

تست شماره 6 سطح عمومی.

A1 (22x-1)(24x+22x+1)=7.	1) ½ 2) 2 3) -1؛ 3 4) 0.2
A2	1) 2.5 2) 3؛ 4 3) log43/2 4) 0
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2.	1) 2 2) -1 3) 3 4) -3
A4	1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4
A5	1) 2 2) -2 3) 5 4) 0

6. معادلات نمایی - توان.

معادلات نمایی با معادلات به اصطلاح توان نمایی، یعنی معادلات به شکل (f(x))g(x) = (f(x))h(x) به یکدیگر متصل می شوند.

اگر معلوم شود که f(x)> 0 و f(x) ≠ 1، آنگاه معادله، مانند نمایی، با معادل سازی توان های g(x) = f(x) حل می شود.

اگر شرط امکان f(x)=0 و f(x)=1 را رد نکند، باید این موارد را هنگام حل معادله توان نمایی در نظر بگیریم.

1..png" width="182" height="116 src=">

2.

راه حل. x2 +2x-8 - برای هر x منطقی است، زیرا یک چند جمله ای است، بنابراین معادله معادل مجموعه است

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">

ب)

7. معادلات نمایی با پارامترها.

1. معادله 4 (5 – 3)2 +4p2–3p = 0 (1) برای چه مقادیری از پارامتر p یک راه حل منحصر به فرد دارد؟

راه حل. اجازه دهید تغییر 2x = t، t > 0 را معرفی کنیم، سپس رابطه (1) به شکل t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0 خواهد بود. (2)

ممیز معادله (2) D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2 است.

اگر معادله (2) یک ریشه مثبت داشته باشد، معادله (1) یک راه حل منحصر به فرد دارد. این امر در موارد زیر امکان پذیر است.

1. اگر D = 0، یعنی p = 1، معادله (2) به شکل t2 – 2t + 1 = 0 خواهد بود، بنابراین t = 1، بنابراین، معادله (1) یک جواب منحصر به فرد x = 0 دارد.

2. اگر p1، آنگاه 9(p – 1)2 > 0، آنگاه معادله (2) دارای دو ریشه مختلف t1 = p، t2 = 4p – 3 است. مجموعه سیستم ها شرط مسئله را برآورده می کند.

جایگزینی t1 و t2 در سیستم ها، داریم

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

راه حل. اجازه دهید سپس معادله (3) به شکل t2 – 6t – a = 0 خواهد بود. (4)

اجازه دهید مقادیر پارامتر a را پیدا کنیم که حداقل یک ریشه از معادله (4) شرط t> 0 را برآورده کند.

اجازه دهید تابع f(t) = t2 – 6t – a را معرفی کنیم. موارد زیر ممکن است.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант !} مثلث مربع f(t);

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

مورد 2. معادله (4) یک راه حل مثبت منحصر به فرد دارد اگر

D = 0، اگر a = – 9 باشد، معادله (4) به شکل (t – 3) 2 = 0، t = 3، x = – 1 خواهد بود.

مورد 3. معادله (4) دارای دو ریشه است، اما یکی از آنها نابرابری t > 0 را برآورده نمی کند. این در صورتی امکان پذیر است که

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="no35_17" width="267" height="63">!}

بنابراین، در a 0 معادله (4) یک ریشه مثبت دارد . سپس معادله (3) یک راه حل منحصر به فرد دارد

برای یک< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

اگر یک< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
اگر a = – 9، آنگاه x = – 1.

اگر a  0 باشد، آنگاه

اجازه دهید روش های حل معادلات (1) و (3) را با هم مقایسه کنیم. توجه داشته باشید که هنگام حل معادله (1) به یک معادله درجه دوم که ممیز آن یک مربع کامل است کاهش یافت. به این ترتیب ریشه های معادله (2) بلافاصله با فرمول ریشه های معادله درجه دوم محاسبه شد و سپس در مورد این ریشه ها نتیجه گیری شد. معادله (3) به یک معادله درجه دوم (4) تقلیل یافت که ممیز آن یک مربع کامل نیست، بنابراین هنگام حل معادله (3) توصیه می شود از قضایایی در مورد محل ریشه های یک مثلث مربع استفاده شود و یک مدل گرافیکی توجه داشته باشید که معادله (4) را می توان با استفاده از قضیه Vieta حل کرد.

بیایید معادلات پیچیده تری را حل کنیم.

وظیفه 3. معادله را حل کنید

راه حل. ODZ: x1، x2.

بیایید جایگزینی را معرفی کنیم. فرض کنید 2x = t، t > 0، سپس در نتیجه تبدیل ها، معادله به شکل t2 + 2t - 13 - a = 0 خواهد بود. (*) اجازه دهید مقادیر a را پیدا کنیم که حداقل یک ریشه معادله (*) شرط t > 0 را برآورده می کند.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

پاسخ: اگر a > - 13، a  11، a  5، سپس اگر a - 13،

a = 11، a = 5، پس هیچ ریشه ای وجود ندارد.

کتابشناسی - فهرست کتب.

1. Guzeev مبانی فناوری آموزشی.

2. تکنولوژی Guzeev: از پذیرش تا فلسفه.

م. "مدیر مدرسه" شماره 4، 1375

3. Guzeev و اشکال سازمانی آموزش.

4. گوزیف و تمرین فناوری آموزشی یکپارچه.

م. «آموزش مردم»، 1380

5. Guzeev از فرم های درس - سمینار.

ریاضیات در مدرسه شماره 2، 1366، ص 9 - 11.

6. فن آوری های آموزشی Selevko.

م. «آموزش مردم»، 1377

7. دانش آموزان مدرسه Episheva ریاضیات را یاد می گیرند.

م. "روشنگری"، 1990

8. ایوانف برای آماده سازی دروس - کارگاه های آموزشی.

ریاضیات در مدرسه شماره 6، 1369، ص. 37-40.

9. مدل اسمیرنوف تدریس ریاضی.

ریاضیات در مدرسه شماره 1، 1376، ص. 32-36.

10. Tarasenko راه های سازماندهی کار عملی.

ریاضیات در مدرسه شماره 1، 1372، ص. 27 - 28.

11. در مورد یکی از انواع کار فردی.

ریاضیات در مدرسه شماره 2، 94، ص 63 - 64.

12. توانایی های خازنکین خلاق دانش آموزان.

ریاضیات در مدرسه شماره 2، 1368، ص. 10.

13. اسکانوی. ناشر، 1997

14. و همکاران جبر و آغاز تحلیل. مواد آموزشیبرای

15. وظایف Krivonogov در ریاضیات.

م. "اول سپتامبر"، 2002

16. چرکاسوف. کتاب راهنمای دانش آموزان دبیرستانی و

ورود به دانشگاه ها "A S T - مدرسه مطبوعات"، 2002

17. Zhevnyak برای متقاضیان دانشگاه.

مینسک و RF "بررسی"، 1996

18. کتبی د. آماده شدن برای امتحان در ریاضیات. M. Rolf، 1999

19. و دیگران یادگیری حل معادلات و نابرابری ها.

م. «عقل – مرکز»، 1382

20. و موارد دیگر. مواد آموزشی و آموزشی برای آمادگی برای E G E.

م. «عقل – مرکز»، 1382 و 1383

21 و دیگران. انواع CMM. مرکز تست وزارت دفاع فدراسیون روسیه، 2002، 2003

22. معادلات گلدبرگ. "کوانتوم" شماره 3، 1971

23. Volovich M. چگونه ریاضیات را با موفقیت تدریس کنیم.

ریاضی، 1376 شماره 3.

24 Okunev برای درس، بچه ها! م. روشنگری، 1988

25. Yakimanskaya - یادگیری جهت داردر مدرسه.

26. Liimets در درس کار می کنند. م. دانش، 1975

به کانال یوتیوب سایت ما برای آگاهی از تمام دروس ویدیویی جدید.

ابتدا بیایید فرمول های اصلی درجه ها و خواص آنها را یادآوری کنیم.

محصول یک عدد آ n بار روی خودش اتفاق می افتد، می توانیم این عبارت را به صورت a … a=a n بنویسیم

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m \u003d a n - m

قدرت یا معادلات نمایی- اینها معادلاتی هستند که در آنها متغیرها در توان (یا توان) هستند و مبنا یک عدد است.

نمونه هایی از معادلات نمایی:

در این مثال، عدد 6 پایه است، همیشه در پایین و متغیر است ایکسدرجه یا اندازه گیری

اجازه دهید مثال های بیشتری از معادلات نمایی ارائه دهیم.
2*5=10
16x-4x-6=0

حال بیایید ببینیم معادلات نمایی چگونه حل می شوند؟

بیایید یک معادله ساده در نظر بگیریم:

2 x = 2 3

چنین مثالی حتی در ذهن هم قابل حل است. مشاهده می شود که x=3. از این گذشته ، برای اینکه سمت چپ و راست برابر باشند ، باید به جای x عدد 3 را قرار دهید.
حال بیایید ببینیم این تصمیم چگونه باید گرفته شود:

2 x = 2 3
x = 3

برای حل این معادله حذف کردیم همین زمینه ها(یعنی دئوس) و آنچه باقی مانده را بنویسد، اینها درجات است. جوابی که دنبالش بودیم گرفتیم.

حالا بیایید راه حل خود را خلاصه کنیم.

الگوریتم حل معادله نمایی:
1. نیاز به بررسی همانچه پایه های معادله در سمت راست و چه در سمت چپ. اگر زمینه ها یکسان نیست، ما به دنبال گزینه هایی برای حل این مثال هستیم.
2. بعد از یکسان شدن پایه ها، برابر کردندرجه و معادله جدید حاصل را حل کنید.

حالا بیایید چند مثال را حل کنیم:

بیایید ساده شروع کنیم.

پایه های سمت چپ و راست برابر با عدد 2 هستند، یعنی می توانیم پایه را دور بیندازیم و درجات آنها را برابر کنیم.

x+2=4 ساده ترین معادله به دست آمده است.
x=4 - 2
x=2
پاسخ: x=2

در مثال زیر می بینید که پایه ها متفاوت هستند، اینها 3 و 9 هستند.

3 3x - 9 x + 8 = 0

برای شروع، نه را به سمت راست منتقل می کنیم، دریافت می کنیم:

حالا باید همان پایه ها را درست کنید. می دانیم که 9=3 2 . بیایید از فرمول توان (a n) m = a nm استفاده کنیم.

3 3x \u003d (3 2) x + 8

ما 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16 دریافت می کنیم

3 3x \u003d 3 2x + 16 اکنون می توانید آن را در سمت چپ و سمت راستپایه ها یکسان و برابر با سه هستند، یعنی می توانیم آنها را کنار بگذاریم و درجه ها را برابر کنیم.

3x=2x+16 ساده ترین معادله را بدست آورد
3x-2x=16
x=16
پاسخ: x=16.

بیایید به مثال زیر نگاه کنیم:

2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4

اول از همه به پایه ها نگاه می کنیم، پایه ها دو و چهار متفاوت است. و ما باید همینطور باشیم. ما چهارگانه را مطابق فرمول (a n) m = a nm تبدیل می کنیم.

4 x = (2 2) x = 2 2x

و همچنین از یک فرمول a n a m = a n + m استفاده می کنیم:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

به معادله اضافه کنید:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

به همین دلایل مثال زدیم. اما اعداد 10 و 24 دیگر با ما تداخل دارند با آنها چه کنیم؟ اگر با دقت نگاه کنید، می بینید که در سمت چپ ما 2 2 برابر را تکرار می کنیم، در اینجا پاسخ است - می توانیم 2 2x را خارج از پرانتز قرار دهیم:

2 2x (2 4 - 10) = 24

بیایید عبارت داخل پرانتز را محاسبه کنیم:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

کل معادله را بر 6 تقسیم می کنیم:

4=2 2 را تصور کنید:

2 پایه 2x \u003d 2 2 یکسان هستند، آنها را دور بیندازید و درجه ها را برابر کنید.
2x \u003d 2 ساده ترین معادله بود. آن را بر 2 تقسیم می کنیم، به دست می آوریم
x = 1
پاسخ: x = 1.

بیایید معادله را حل کنیم:

9 x - 12*3 x +27 = 0

بیایید تبدیل کنیم:
9 x = (3 2) x = 3 2x

معادله را بدست می آوریم:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

پایه های ما یکسان هستند، برابر با سه، در این مثال، مشخص است که سه گانه اول دارای درجه ای دو برابر (2x) نسبت به دوم (فقط x) است. در این صورت می توانید تصمیم بگیرید روش جایگزینی. عددی که کمترین درجه را دارد با:

سپس 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2

تمام درجه ها را با x در معادله t جایگزین می کنیم:

t 2 - 12t + 27 \u003d 0
یک معادله درجه دوم بدست می آوریم. ما از طریق تفکیک حل می کنیم، دریافت می کنیم:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3

بازگشت به متغیر ایکس.

ما t 1 را می گیریم:
t 1 \u003d 9 \u003d 3 x

به این معنا که،

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

یک ریشه پیدا شد. ما به دنبال مورد دوم هستیم، از t 2:
t 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
پاسخ: x 1 \u003d 2; x 2 = 1.

در سایت می توانید در بخش HELP DECIDE سوالات مورد علاقه خود را بپرسید، ما قطعا به شما پاسخ خواهیم داد.

به یک گروه بپیوندید

معادلات نمایی نامیده می شوند که مجهول در توان وجود داشته باشد. ساده ترین معادله نمایی به این شکل است: a x \u003d a b، که در آن a> 0، و 1، x مجهول است.

ویژگی های اصلی درجه ها که به کمک آنها معادلات نمایی تبدیل می شوند: a>0، b>0.

هنگام حل معادلات نمایی، از خواص زیر تابع نمایی نیز استفاده می شود: y = a x، a > 0، a1:

برای نمایش یک عدد به عنوان توان، از پایه استفاده کنید هویت لگاریتمی: b = , a > 0, a1, b > 0.

وظایف و تست های موضوع "معادلات نمایی"

• معادلات نمایی

  درس: 4 تکلیف: 21 تست: 1

• معادلات نمایی - مباحث مهم برای تکرار امتحان در ریاضی

  وظایف: 14

• سیستم های معادلات نمایی و لگاریتمی - توابع نمایی و لگاریتمی درجه 11

  درس: 1 تکلیف: 15 تست: 1

• §2.1. حل معادلات نمایی

  درس: 1 تکالیف: 27

• §7 معادلات و نابرابری های نمایی و لگاریتمی - بخش 5. توابع نمایی و لگاریتمی درجه 10

  درس: 1 تکالیف: 17

برای حل موفقیت آمیز معادلات نمایی، باید ویژگی های پایه توان ها، ویژگی های یک تابع نمایی و هویت لگاریتمی پایه را بدانید.

هنگام حل معادلات نمایی، از دو روش اصلی استفاده می شود:

1. انتقال از معادله a f(x) = a g(x) به معادله f(x) = g(x);
2. معرفی خطوط جدید

مثال ها.

1. معادلات کاهش به ساده ترین. آنها با آوردن هر دو طرف معادله به توانی با پایه یکسان حل می شوند.

3x \u003d 9x - 2.

راه حل:

3 x \u003d (3 2) x - 2;
3x = 3 2x - 4;
x = 2x -4;
x=4.

پاسخ: 4.

2. معادلات حل شده با براکت کردن عامل مشترک.

راه حل:

3x - 3x - 2 = 24
3 x - 2 (3 2 - 1) = 24
3 x - 2 x 8 = 24
3 x - 2 = 3
x - 2 = 1
x=3.

پاسخ: 3.

3. معادلات حل شده با تغییر متغیر.

راه حل:

2 2x + 2 x - 12 = 0
2 x \u003d y را نشان می دهیم.
y 2 + y - 12 = 0
y 1 = - 4; y 2 = 3.
الف) 2 x = - 4. معادله هیچ راه حلی ندارد، زیرا 2 x > 0.
ب) 2 x = 3; 2 x = 2 log 2 3 ; x = log 2 3.

پاسخ:لاگ 2 3.

4. معادلات حاوی توان با دو پایه متفاوت (غیر قابل تقلیل).

3 × 2 x + 1 - 2 × 5 x - 2 \u003d 5 x + 2 x - 2.

3 x 2 x + 1 - 2 x - 2 = 5 x - 2 x 5 x - 2
2 x - 2 × 23 = 5 x - 2
× 23
2 x - 2 = 5 x - 2
(5/2) x– 2 = 1
x - 2 = 0
x = 2.

پاسخ: 2.

5. معادلاتی که نسبت به x و b x همگن هستند.

فرم کلی: .

9 x + 4 x = 2.5 x 6 x .

راه حل:

3 2x - 2.5 × 2x 3x +2 2x = 0 |: 2 2x > 0
(3/2) 2x - 2.5 × (3/2) x + 1 = 0.
(3/2) x = y را نشان می دهیم.
y 2 - 2.5y + 1 \u003d 0,
y 1 = 2; y2 = ½.

پاسخ: log 3/2 2; - لاگ 3/2 2.

استفاده از معادلات در زندگی ما بسیار رایج است. آنها در بسیاری از محاسبات، ساخت سازه ها و حتی ورزش استفاده می شوند. معادلات از زمان های قدیم توسط انسان استفاده می شده و از آن زمان استفاده از آنها تنها افزایش یافته است. معادلات توان یا نمایی به معادلاتی گفته می شود که در آنها متغیرها برحسب توان هستند و مبنا یک عدد است. مثلا:

حل معادله نمایی به 2 مرحله نسبتاً ساده می رسد:

1. باید بررسی شود که آیا پایه های معادله سمت راست و چپ یکسان هستند یا خیر. اگر پایه ها یکسان نیستند، ما به دنبال گزینه هایی برای حل این مثال هستیم.

2. پس از یکسان شدن پایه ها، درجه ها را با هم برابر می کنیم و معادله جدید حاصل را حل می کنیم.

فرض کنید یک معادله نمایی به شکل زیر به ما داده شود:

شایسته است حل این معادله را با تجزیه و تحلیل مبنا شروع کنیم. پایه ها متفاوت هستند - 2 و 4، و برای حل نیاز داریم که آنها یکسان باشند، بنابراین 4 را مطابق فرمول زیر تبدیل می کنیم - \ [ (a ^ n) ^ m = a ^ (nm): \]

به معادله اصلی اضافه کنید:

بیایید براکت ها را برداریم \

بیان \

از آنجایی که درجه ها یکسان هستند، آنها را کنار می گذاریم:

پاسخ: \

کجا می توانم معادله نمایی را به صورت آنلاین با حل کننده حل کنم؟

شما می توانید معادله را در وب سایت ما https: // سایت حل کنید. حل کننده آنلاین رایگان به شما امکان می دهد معادله آنلاین با هر پیچیدگی را در چند ثانیه حل کنید. تنها کاری که باید انجام دهید این است که داده های خود را در حل کننده وارد کنید. همچنین می توانید آموزش تصویری را مشاهده کنید و نحوه حل معادله را در وب سایت ما یاد بگیرید. و اگر سوالی دارید، می توانید آنها را در گروه Vkontakte ما بپرسید http://vk.com/pocketteacher. به گروه ما بپیوندید، ما همیشه خوشحالیم که به شما کمک کنیم.

حل معادلات نمایی. مثال ها.

توجه!
اضافی وجود دارد
مواد در بخش ویژه 555.
برای کسانی که به شدت "نه خیلی..."
و برای کسانی که "خیلی...")

چه اتفاقی افتاده است معادله نمایی? این معادله ای است که مجهولات (x) و عبارات با آنها در آن قرار دارند شاخص هابرخی درجات و فقط آنجا! مهم است.

شما آنجا هستید نمونه هایی از معادلات نمایی:

3 x 2 x = 8 x + 3

توجه داشته باشید! بر اساس درجه (زیر) - فقط اعداد. که در شاخص هادرجه (بالا) - طیف گسترده ای از عبارات با x. اگر به طور ناگهانی یک x در معادله در جایی غیر از نشانگر ظاهر شود، برای مثال:

این معادله خواهد بود نوع مختلط. چنین معادلاتی قوانین روشنی برای حل ندارند. فعلا آنها را در نظر نخواهیم گرفت. در اینجا به آن خواهیم پرداخت حل معادلات نماییدر خالص ترین شکل آن

در واقع، حتی معادلات نمایی خالص نیز همیشه به وضوح حل نمی شوند. اما انواع خاصی از معادلات نمایی وجود دارد که می توانند و باید حل شوند. اینها انواعی هستند که ما به آنها نگاه خواهیم کرد.

حل ساده ترین معادلات نمایی.

بیایید با یک چیز بسیار اساسی شروع کنیم. مثلا:

حتی بدون هیچ نظریه ای، با انتخاب ساده مشخص می شود که x = 2. دیگه هیچی درسته!؟ هیچ رول مقدار x دیگری وجود ندارد. و اکنون به حل این معادله نمایی پیچیده نگاه می کنیم:

ما چه کرده ایم؟ ما، در واقع، فقط همان ته (سه گانه) را بیرون انداختیم. کاملا بیرون انداخته شده و، آنچه خوشحال می شود، علامت را بزنید!

در واقع، اگر در معادله نمایی در سمت چپ و در سمت راست هستند هماناعداد در هر درجه ای، این اعداد را می توان حذف کرد و با توان برابر کرد. ریاضیات اجازه می دهد. برای حل یک معادله بسیار ساده تر باقی مانده است. خوب است، درست است؟)

با این حال، بیایید به طنز به یاد بیاوریم: شما می توانید پایه ها را فقط زمانی حذف کنید که اعداد پایه در سمت چپ و راست در انزوای عالی باشند!بدون هیچ همسایه و ضرایبی. بیایید در معادلات بگوییم:

2 x +2 x + 1 = 2 3، یا

شما نمی توانید دو برابر را حذف کنید!

خوب، ما به مهمترین چیز مسلط شدیم. چگونه از عبارات نمایی بد به معادلات ساده تر حرکت کنیم.

"اینم اون زمان ها!" - تو بگو. "چه کسی چنین بدوی در کنترل و امتحانات خواهد داد!"

مجبور به موافقت هیچ کس نخواهد. اما اکنون می دانید هنگام حل مثال های گیج کننده به کجا باید بروید. لازم است آن را به خاطر بسپارید، زمانی که همان عدد پایه در سمت چپ - در سمت راست است. سپس همه چیز آسان تر خواهد شد. در واقع، این کلاسیک ریاضیات است. نمونه اصلی را می گیریم و آن را به دلخواه تبدیل می کنیم ماذهن البته طبق قوانین ریاضی.

نمونه هایی را در نظر بگیرید که برای رساندن آنها به ساده ترین حالت نیاز به تلاش بیشتری دارند. به آنها زنگ بزنیم معادلات نمایی ساده

حل معادلات نمایی ساده مثال ها.

هنگام حل معادلات نمایی، قوانین اصلی هستند اقدامات با قدرتبدون آگاهی از این اقدامات، هیچ چیز کار نخواهد کرد.

به اعمال دارای درجه، باید مشاهده شخصی و نبوغ را اضافه کرد. آیا به اعداد پایه یکسانی نیاز داریم؟ بنابراین ما در مثال به صورت صریح یا رمزگذاری شده به دنبال آنها هستیم.

بیایید ببینیم چگونه این کار در عمل انجام می شود؟

بیایید به ما یک مثال بزنیم:

2 2x - 8 x+1 = 0

نگاه اول به زمینه.آنها... با هم فرق دارند! دو و هشت. اما برای دلسرد شدن خیلی زود است. وقت آن است که آن را به خاطر بسپاریم

دو و هشت از نظر درجه با هم خویشاوند هستند.) کاملاً ممکن است بنویسید:

8 x+1 = (2 3) x+1

اگر فرمول را از اقدامات با قدرت به یاد بیاوریم:

(a n) m = a nm

به طور کلی عالی کار می کند:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3 (x+1)

نمونه اصلی به این شکل است:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

انتقال می دهیم 2 3 (x+1)در سمت راست (هیچ کس اقدامات ابتدایی ریاضیات را لغو نکرد!)، دریافت می کنیم:

2 2x \u003d 2 3 (x + 1)

این عملاً تمام است. برداشتن پایه ها:

ما این هیولا را حل می کنیم و می گیریم

این جواب درست است.

در این مثال، دانستن قدرت های دو به ما کمک کرد. ما شناخته شده استدر هشت، دوس رمزگذاری شده. این تکنیک (رمزگذاری پایه های مشترک تحت اعداد مختلف) یک ترفند بسیار محبوب در معادلات نمایی است! بله، حتی در لگاریتم. فرد باید بتواند قدرت اعداد دیگر را در اعداد تشخیص دهد. این برای حل معادلات نمایی بسیار مهم است.

واقعیت این است که افزایش هر عددی به هر توانی مشکلی ندارد. ضرب کنید، حتی روی یک تکه کاغذ، و بس. مثلاً همه می توانند 3 را به توان پنجم برسانند. اگر جدول ضرب را بدانید 243 معلوم می شود.) اما در معادلات نمایی، خیلی بیشتر اوقات لازم است که به توان بالا نروید، بلکه برعکس ... چه تعداد تا چه حدپشت عدد 243 یا مثلاً 343 پنهان می شود... اینجا هیچ ماشین حسابی به شما کمک نمی کند.

شما باید قدرت برخی از اعداد را با دید بدانید، بله... تمرین کنیم؟

تعیین کنید که اعداد چه قدرت ها و چه اعدادی هستند:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

پاسخ ها (البته در آشفتگی!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

اگر دقت کنید می توانید ببینید واقعیت عجیب. پاسخ ها بیشتر از سوالات هستند! خوب، اتفاق می افتد... مثلاً 2 6، 4 3، 8 2 همه 64 است.

فرض کنید اطلاعات مربوط به آشنایی با اعداد را یادداشت کرده اید.) یادآوری می کنم که برای حل معادلات نمایی از ما استفاده می کنیم. تمامذخیره دانش ریاضی از جمله از طبقات متوسط ​​رو به پایین. مستقیم به دبیرستان نرفتی، نه؟

به عنوان مثال، هنگام حل معادلات نمایی، قرار دادن عامل مشترک خارج از پرانتز اغلب کمک می کند (سلام به درجه 7!). بیایید یک مثال را ببینیم:

3 2x+4 -11 9 x = 210

و دوباره، اولین نگاه - در زمینه! پایه درجات متفاوت است ... سه و نه. و ما می خواهیم که آنها یکسان باشند. خوب، در این مورد، میل کاملاً شدنی است!) زیرا:

9 x = (3 2) x = 3 2x

طبق قوانین مشابه برای اقدامات دارای درجه:

3 2x+4 = 3 2x 3 4

عالی است، می توانید بنویسید:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

به همین دلایل مثال زدیم. خب بعدش چیه!؟ سه ها را نمی توان بیرون انداخت... بن بست؟

اصلا. به یاد جهانی ترین و قدرتمندترین قانون تصمیم گیری همهتکالیف ریاضی:

اگر نمی دانید چه کاری باید انجام دهید، آنچه را که می توانید انجام دهید!

شما نگاه کنید، همه چیز شکل گرفته است).

آنچه در این معادله نمایی وجود دارد می توانانجام دادن؟ بله، سمت چپ مستقیماً پرانتز می خواهد! فاکتور مشترک 3 2x به وضوح به این موضوع اشاره می کند. بیایید امتحان کنیم، سپس خواهیم دید:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

مثال همیشه بهتر و بهتر می شود!

یادآوری می کنیم که برای حذف پایه ها به مدرک تحصیلی خالص و بدون ضریب نیاز داریم. عدد 70 ما را اذیت می کند. بنابراین هر دو طرف معادله را بر 70 تقسیم می کنیم، به دست می آید:

اوپ-پا! همه چیز خوب بوده است!

این پاسخ نهایی است.

با این حال، اتفاق می افتد که تاکسی کردن به همان دلایل به دست می آید، اما انحلال آنها نیست. این در معادلات نمایی از نوع دیگری اتفاق می افتد. بیایید این نوع را دریافت کنیم.

تغییر متغیر در حل معادلات نمایی. مثال ها.

بیایید معادله را حل کنیم:

4 x - 3 2 x +2 = 0

اول - طبق معمول. بیایید به سمت پایه حرکت کنیم. به دوس.

4 x = (2 2) x = 2 2x

معادله را بدست می آوریم:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

و در اینجا ما آویزان خواهیم شد. ترفندهای قبلی، مهم نیست که چگونه آن را بچرخانید، کارساز نخواهد بود. ما باید از زرادخانه راه قدرتمند و همه کاره دیگری بیرون بیاییم. نامیده می شود جایگزینی متغیر

ماهیت روش به طرز شگفت آوری ساده است. به جای یک نماد پیچیده (در مورد ما 2 x)، نماد دیگری ساده تر (مثلا t) می نویسیم. چنین جایگزینی به ظاهر بی معنی منجر به نتایج شگفت انگیزی می شود!) همه چیز واضح و قابل درک می شود!

بنابراین اجازه دهید

سپس 2 2x \u003d 2 x2 \u003d (2 x) 2 \u003d t 2

ما در معادله خود تمام توان ها را با x با t جایگزین می کنیم:

خوب، طلوع می کند؟) معادلات درجه دومهنوز فراموش نکردی؟ ما از طریق تفکیک حل می کنیم، دریافت می کنیم:

در اینجا، نکته اصلی این است که متوقف نشویم، همانطور که اتفاق می افتد ... این هنوز پاسخی نیست، ما به x نیاز داریم، نه t. به Xs برمی گردیم، یعنی. ساختن جایگزین ابتدا برای t 1:

به این معنا که،

یک ریشه پیدا شد. ما به دنبال مورد دوم هستیم، از t 2:

ام... چپ 2 x، راست 1... مشکل؟ بله، به هیچ وجه! کافی است به یاد داشته باشید (از اعمال دارای درجات، بله ...) که یک وحدت است هرعدد به صفر هر هر چه شما نیاز دارید، ما آن را قرار می دهیم. ما به دوتا نیاز داریم به معنای:

حالا فقط همین. دارای 2 ریشه:

این پاسخ است.

در حل معادلات نماییدر پایان، گاهی اوقات برخی از بیان ناهنجار به دست می آید. نوع:

از هفت، دو تا درجه سادهکار نمی کند. آنها اقوام نیستند ... چگونه می توانم اینجا باشم؟ ممکن است کسی گیج شود ... اما شخصی که در این سایت موضوع "لگاریتم چیست؟" ، فقط با احتیاط لبخند بزنید و با دست محکم پاسخ کاملا صحیح را یادداشت کنید:

در تکالیف "B" در امتحان چنین پاسخی نمی تواند وجود داشته باشد. یک عدد خاص مورد نیاز است. اما در وظایف "C" - به راحتی.

در این درس مثال هایی از حل رایج ترین معادلات نمایی ارائه می شود. بیایید مورد اصلی را برجسته کنیم.

نکات کاربردی:

1. اول از همه، نگاه می کنیم زمینهدرجه. بیایید ببینیم که آیا آنها نمی توانند انجام شوند همانبیایید سعی کنیم این کار را با استفاده فعال انجام دهیم اقدامات با قدرتفراموش نکنید که اعداد بدون x نیز می توانند به توان تبدیل شوند!

2. ما سعی می کنیم معادله نمایی را زمانی که چپ و راست هستند به شکل برسانیم هماناعداد به هر درجه ای ما استفاده می کنیم اقدامات با قدرتو فاکتورسازیآنچه را می توان در اعداد شمارش کرد - ما می شماریم.

3. اگر توصیه دوم جواب نداد، سعی می کنیم جایگزینی متغیر را اعمال کنیم. نتیجه می تواند معادله ای باشد که به راحتی قابل حل است. اغلب - مربع. یا کسری که به مربع نیز کاهش می یابد.

4. برای حل موفقیت آمیز معادلات نمایی، باید درجات برخی از اعداد را "با دید" بدانید.

طبق معمول، در پایان درس از شما دعوت می شود تا کمی حل کنید.) خودتان. از ساده به پیچیده.

حل معادلات نمایی:

سخت تر:

2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x \u003d 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0.5 x + 1 - 8 = 0

محصول ریشه را پیدا کنید:

2 3-x + 2 x = 9

اتفاق افتاد؟

خب پس سخت ترین مثال(با این حال، در ذهن تصمیم گرفت ...):

7 0.13x + 13 0.7x+1 + 2 0.5x+1 = -3

چه چیزی جالب تر است؟ پس در اینجا یک مثال بد برای شما وجود دارد. کاملاً کشیدن در سختی افزایش یافته است. اشاره می کنم که در این مثال، نبوغ و جهانی ترین قانون برای حل تمام کارهای ریاضی باعث صرفه جویی می شود.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

یک مثال ساده تر است، برای آرامش):

9 2 x - 4 3 x = 0

و برای دسر. مجموع ریشه های معادله را پیدا کنید:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

بله بله! این یک معادله از نوع مختلط است! که در این درس به آن توجه نکردیم. و چه چیزی را در نظر بگیریم، آنها باید حل شوند!) این درس برای حل معادله کاملاً کافی است. خوب، نبوغ لازم است ... و بله، کلاس هفتم به شما کمک خواهد کرد (این یک اشاره است!).

پاسخ ها (به هم ریخته، با نقطه ویرگول از هم جدا شده اند):

1 2 3; 4; هیچ راه حلی وجود ندارد؛ 2 -2 -5; 4; 0.

آیا همه چیز موفق است؟ عالی.

مشکلی وجود دارد؟ مشکلی نیست! در بخش ویژه 555، تمام این معادلات نمایی با حل می شوند توضیحات مفصل. چی، چرا و چرا. و البته، اطلاعات ارزشمند بیشتری در مورد کار با انواع معادلات نمایی وجود دارد. نه فقط با اینها.)

آخرین سوال جالبی که باید در نظر گرفت. در این درس با معادلات نمایی کار کردیم. چرا من اینجا یک کلمه در مورد ODZ نگفتم؟در معادلات، این یک چیز بسیار مهم است، اتفاقا ...

اگر این سایت را دوست دارید ...

به هر حال، من چند سایت جالب دیگر برای شما دارم.)

می توانید حل مثال ها را تمرین کنید و سطح خود را پیدا کنید. تست با تایید فوری یادگیری - با علاقه!)

می توانید با توابع و مشتقات آشنا شوید.