بسط چند جمله ای ها برای به دست آوردن یک محصول می تواند گاهی گیج کننده به نظر برسد. اما اگر مراحل را گام به گام درک کنید چندان دشوار نیست. این مقاله به تفصیل نحوه فاکتورگیری یک مثلث درجه دوم را شرح می دهد.
بسیاری از مردم نمی دانند که چگونه یک مثلث مربع را فاکتور بگیرند و چرا این کار انجام می شود. در ابتدا ممکن است یک تمرین بیهوده به نظر برسد. اما در ریاضیات هیچ کاری بیهوده انجام نمی شود. تبدیل برای ساده کردن بیان و سهولت محاسبه ضروری است.
یک چند جمله ای به شکل - ax²+bx+c، سه جمله ای درجه دوم نامیده می شود.عبارت «الف» باید منفی یا مثبت باشد. در عمل به این عبارت معادله درجه دوم می گویند. بنابراین، گاهی اوقات آنها به طور دیگری می گویند: چگونه یک معادله درجه دوم را گسترش دهیم.
جالب هست!چند جمله ای را به دلیل بزرگترین درجه آن مربع می نامند. و سه جمله ای - به دلیل 3 جزء.
برخی از انواع دیگر چند جمله ای ها:
- دو جمله ای خطی (6x+8)؛
- چهار جمله ای مکعبی (x³+4x²-2x+9).
فاکتورگیری یک مثلث درجه دوم
ابتدا عبارت برابر با صفر است، سپس باید مقادیر ریشه های x1 و x2 را پیدا کنید. ممکن است ریشه نباشد، ممکن است یکی دو ریشه باشد. وجود ریشه ها توسط تمایز تعیین می شود. شما باید فرمول آن را از روی قلب بدانید: D=b²-4ac.
اگر نتیجه D منفی باشد، هیچ ریشه ای وجود ندارد. اگر مثبت باشد دو ریشه دارد. اگر نتیجه صفر باشد، ریشه یک است. ریشه ها نیز با استفاده از فرمول محاسبه می شوند.
اگر هنگام محاسبه تفکیک، نتیجه صفر شد، می توانید از هر یک از فرمول ها استفاده کنید. در عمل، فرمول به سادگی کوتاه می شود: -b / 2a.
فرمول هایی برای معانی مختلفمتمایز کننده ها متفاوت هستند
اگر D مثبت باشد:
اگر D صفر باشد:
ماشین حساب های آنلاین
در اینترنت وجود دارد ماشین حساب آنلاین. می توان از آن برای انجام فاکتورسازی استفاده کرد. برخی منابع این فرصت را فراهم می کنند تا راه حل را مرحله به مرحله مشاهده کنید. چنین خدماتی به درک بهتر موضوع کمک می کند، اما باید سعی کنید آن را به خوبی درک کنید.
ویدئوی مفید: فاکتورگیری یک مثلث درجه دوم
مثال ها
پیشنهاد می کنیم مثال های ساده ای از نحوه فاکتورگیری معادله درجه دوم را مشاهده کنید.
مثال 1
این به وضوح نشان می دهد که نتیجه دو x است زیرا D مثبت است. آنها باید در فرمول جایگزین شوند. اگر ریشه ها منفی باشند، علامت در فرمول به عکس تغییر می کند.
ما فرمول فاکتورگیری یک مثلث درجه دوم را می دانیم: a(x-x1)(x-x2). مقادیر را در پرانتز قرار می دهیم: (x+3) (x+2/3). هیچ عددی قبل از یک عبارت در یک قدرت وجود ندارد. یعنی یکی اونجا هست، پایین میره.
مثال 2
این مثال به وضوح نشان می دهد که چگونه می توان معادله ای را که یک ریشه دارد حل کرد.
مقدار حاصل را جایگزین می کنیم:
مثال 3
داده شده: 5x²+3x+7
ابتدا، مانند موارد قبلی، تفکیک کننده را محاسبه می کنیم.
D=9-4*5*7=9-140= -131.
ممیز منفی است، یعنی هیچ ریشه ای وجود ندارد.
پس از دریافت نتیجه، باید براکت ها را باز کنید و نتیجه را بررسی کنید. مثلث اصلی باید ظاهر شود.
راه حل جایگزین
برخی از مردم هرگز نتوانستند با فرد ممیز دوست شوند. راه دیگری برای فاکتورسازی یک مثلث درجه دوم وجود دارد. برای راحتی، روش با یک مثال نشان داده شده است.
داده شده: x²+3x-10
می دانیم که باید 2 براکت بگیریم: (_)(_). هنگامی که عبارت به این صورت است: x²+bx+c، در ابتدای هر براکت x: (x_) (x_) را قرار می دهیم. دو عدد باقیمانده حاصل ضرب "c" هستند، یعنی در این مورد -10. تنها راه برای فهمیدن اینکه این اعداد چه هستند، انتخاب است. اعداد جایگزین باید با عبارت باقیمانده مطابقت داشته باشند.
به عنوان مثال، با ضرب اعداد زیر -10 به دست می آید:
- -1, 10;
- -10, 1;
- -5, 2;
- -2, 5.
- (x-1) (x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. خیر
- (x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. خیر
- (x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. خیر
- (x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. مناسب است.
این به این معنی است که تبدیل عبارت x2+3x-10 به این صورت است: (x-2)(x+5).
مهم!باید مراقب باشید که علائم را اشتباه نگیرید.
بسط یک سه جمله ای پیچیده
اگر "a" بزرگتر از یک باشد، مشکلات شروع می شوند. اما همه چیز به آن سختی که به نظر می رسد نیست.
برای فاکتورسازی، ابتدا باید ببینید آیا می توان چیزی را فاکتور گرفت یا خیر.
به عنوان مثال، با توجه به عبارت: 3x²+9x-30. در اینجا عدد 3 از داخل پرانتز خارج شده است:
3 (x²+3x-10). نتیجه سه جمله ای شناخته شده است. پاسخ به این صورت است: 3(x-2)(x+5)
اگر عبارتی که در مربع است منفی باشد چگونه تجزیه کنیم؟ در این حالت عدد -1 از داخل پرانتز خارج می شود. به عنوان مثال: -x²-10x-8. سپس عبارت به شکل زیر خواهد بود:
این طرح کمی با طرح قبلی متفاوت است. فقط چند چیز جدید وجود دارد. فرض کنید عبارت داده شده است: 2x²+7x+3. پاسخ نیز در 2 کروشه نوشته شده است که باید (_)(_) پر شود. در پرانتز 2 x نوشته شده و در 1 آنچه باقی مانده است. به نظر می رسد این است: (2x_) (x_). در غیر این صورت، طرح قبلی تکرار می شود.
عدد 3 با اعداد به دست می آید:
- -1, -3;
- -3, -1;
- 3, 1;
- 1, 3.
معادلات را با جایگزینی این اعداد حل می کنیم. آخرین گزینه مناسب است. این بدان معنی است که تبدیل عبارت 2x²+7x+3 به این صورت است: (2x+1)(x+3).
موارد دیگر
همیشه امکان تبدیل یک عبارت وجود ندارد. با روش دوم، حل معادله مورد نیاز نیست. اما امکان تبدیل عبارات به محصول فقط از طریق تمایز بررسی می شود.
برای تصمیم گیری ارزش تمرین کردن را دارد معادلات درجه دومبه طوری که هنگام استفاده از فرمول ها هیچ مشکلی وجود نداشته باشد.
ویدئوی مفید: فاکتورگیری یک مثلثی
نتیجه
شما می توانید از آن به هر طریقی استفاده کنید. اما بهتر است هر دو را تا زمانی که خودکار شوند تمرین کنید. همچنین یادگیری نحوه حل خوب معادلات درجه دوم و چند جمله ای عاملی برای کسانی که قصد دارند زندگی خود را با ریاضیات مرتبط کنند ضروری است. تمام مباحث ریاضی زیر بر این اساس ساخته شده است.
توسعه درس باز
جبر در کلاس هشتم
با موضوع: «مثلثی مربع. فاکتورگیری یک مثلث درجه دوم."
معلم ریاضیات، مدرسه متوسطه شماره 16 KSU، کاراگاندا
بکنوا جی.ام.
کاراگاندا 2015
"ریاضیات را نمی توان با مشاهده آموخت."
لری نیون - استاد ریاضیات
موضوع درس:
مثلث مربع.
فاکتورگیری یک مثلث درجه دوم.
اهداف درس:
1. دستیابی به تمرین موفقیت آمیز و به کارگیری دانش از همه دانش آموزان کلاس هنگام فاکتورگیری یک سه جمله درجه دوم.
2. ترویج: الف) توسعه خودکنترلی و خودآموزی،
ب) توانایی استفاده از تخته سفید تعاملی،
ج) توسعه سواد و دقت ریاضی.
3. توانایی بیان شایسته و مختصر افکار خود، مدارا با دیدگاه همکلاسی ها و کسب رضایت از نتایج بدست آمده را در خود پرورش دهید.
نوع درس:یک درس ترکیبی با رویکردی متمایز و فردی، با عناصر یادگیری رشدی و پیشرفته.
محل درس:درس سوم این مبحث (اصلی)، در دو درس اول، دانش آموزان تعریف یک مثلث درجه دوم را یاد گرفتند، ریشه های آن را بیاموزند، با الگوریتم فاکتورگیری یک مثلث درجه دوم آشنا شدند و این در آینده کمک خواهد کرد. حل معادلات، کاهش کسرها، تبدیل عبارات جبری.
ساختار درس:
1 به روز رسانی دانش با رویکردی متمایز به دانش آموزان.
2 کنترل، خودآزمایی دانشی است که قبلاً به دست آمده است.
3 ارائه مطالب جدید تا حدی یک روش جستجو است.
4 ادغام اولیه آنچه آموخته شده است، یک رویکرد متفاوت.
5 درک، تعمیم دانش.
6 تنظیم تکالیف با استفاده از یادگیری مبتنی بر مسئله.
تجهیزات: تخته سفید تعاملی، تخته سفید معمولی، کارت های وظیفه، کتاب درسی جبر 8، کاغذ کپی و برگه های خالی کاغذ، نمادهای قیافه.
در طول کلاس ها
زمان سازماندهی (1 دقیقه).
1. سلام دانش آموزان; بررسی آمادگی آنها برای درس
2. هدف درس را بیان کنید.
مرحله I.
“تکرار مادر یادگیری است.»
1. بررسی تکالیف. شماره 476 (ب، د)، شماره 474، شماره 475
2. کار انفرادی روی کارت (4 نفر) (در حین بررسی تکالیف) (5 دقیقه)
مرحله دوم.
"اعتماد کن اما بررسی کن"
تست کار با خودکنترلی.
کار تست (از طریق کاغذ کربن) با خودآزمایی.
انتخاب 1 گزینه m II
1) 2)
2. عامل سه جمله ای درجه دوم:
پاسخ ها
به کار آزمایشی
"اعتماد کن اما بررسی کن."
1. ریشه های مثلث درجه دوم را پیدا کنید:
І گزینه ІІ تنوع nتی
2. عامل سه جمله ای درجه دوم:
1) (X-3) (X+5); 1) (X+9) (X-7)
2) 9X (X-14)؛ 2) 8X (X-16)؛
3) 4 (X-6) (X+6). 3) 7 (X-3) (X+3).
چند پاسخ قابل توجه
سوال برای دانش آموزان:
به نظر شما در کجا می توانیم فاکتورسازی یک مثلث درجه دوم را اعمال کنیم؟
صحیح: هنگام حل معادلات،
هنگام کاهش کسرها،
در تبدیل عبارات جبری
مرحله III
” مهارت و کار همه چیز را خراب خواهد کرد.»(10 دقیقه)
1. استفاده از فاکتورگیری یک مثلث درجه دوم را هنگام کاهش کسرها در نظر بگیرید. دانش آموزان روی تخته سیاه کار می کنند.
کاهش کسر:
2. حال اجازه دهید استفاده از فاکتورگیری یک مثلث درجه دوم در تبدیل عبارات جبری را در نظر بگیریم.
کتاب درسی. جبر 8. ص 126 شماره 570 (ب)
اکنون نشان دهید که چگونه از فاکتورگیری یک مثلث درجه دوم استفاده می کنید.
مرحله IV
"اعتصاب در حالی که آهن داغ است!"
کار مستقل (13 دقیقه)
گزینه I انتخاب 1
کاهش کسر:
5. متوجه شدم که…….
6. اکنون می توانم…….
7. احساس کردم که …..
8. خریدم….
9. یاد گرفتم…….
10. انجامش دادم………
11. من توانستم….
12. سعی میکنم......
13. تعجب کردم…..
14. او به من درس زندگی داد….
15. می خواستم….
اطلاعاتی درباره مشق شب: تکالیفی را که یک هفته پیش گرفتید به درس بعدی بیاورید.
کار مستقل در خانه.
گزینه I انتخاب 1
№ 560 (a,c) شماره 560 (b,d)
№ 564 (a, c) No. 564 (b,d)
№ 566 (الف) شماره 566 (ب)
№ 569 (الف) شماره 569 (ب)
№ 571 (a, c) شماره 571 (b,d)
درس تمام شد.
فاکتورگیری یک مثلث درجه دومممکن است هنگام حل نابرابری های مسئله C3 یا مسئله با پارامتر C5 مفید باشد. همچنین، بسیاری از مسائل کلمه B13 بسیار سریعتر حل می شوند اگر قضیه Vieta را بدانید.
این قضیه را البته می توان از منظر کلاس هشتم که برای اولین بار در آن تدریس می شود در نظر گرفت. اما وظیفه ما این است که به خوبی برای آزمون یکپارچه دولتی آماده شویم و یاد بگیریم که تکالیف امتحانی را به بهترین نحو ممکن حل کنیم. بنابراین، این درس رویکردی را کمی متفاوت از مدرسه در نظر می گیرد.
فرمول ریشه های معادله با استفاده از قضیه ویتابسیاری از مردم می دانند (یا حداقل دیده اند):
$$x_1+x_2 = -\frac(b)(a)، \quad x_1 x_2 = \frac(c)(a)،$$
که در آن «a، b» و «c» ضرایب سه جمله ای درجه دوم «ax^2+bx+c» هستند.
برای یادگیری نحوه استفاده آسان از قضیه، بیایید بفهمیم که از کجا آمده است (این در واقع به خاطر سپردن آن را آسان تر می کند).
اجازه دهید معادله «ax^2+ bx+ c = 0» را داشته باشیم. برای راحتی بیشتر، آن را بر "a" تقسیم کنید و "x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = 0" را بدست آورید. چنین معادله ای معادله درجه دوم کاهش یافته نامیده می شود.
ایده مهم درسی: هر چند جمله ای درجه دوم که ریشه دارد را می توان در پرانتز بسط داد.بیایید فرض کنیم که مال ما را می توان به صورت `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = (x + k)(x+l)` نشان داد، که در آن `k` و ` l` - برخی از ثابت ها.
بیایید ببینیم پرانتزها چگونه باز می شوند:
$$(x + k)(x+l) = x^2 + kx+ lx+kl = x^2 +(k+l)x+kl.$$
بنابراین، `k+l = \frac(b)(a)، kl = \frac(c)(a)`.
این کمی با تفسیر کلاسیک متفاوت است قضیه ویتا- در آن به دنبال ریشه های معادله می گردیم. من پیشنهاد می کنم به دنبال شرایط برای تجزیه براکت- به این ترتیب نیازی نیست که منهای فرمول را به خاطر بسپارید (به معنی "x_1+x_2 = -\frac(b)(a)"). کافی است دو عدد از این دست را انتخاب کنید که مجموع آنها برابر با ضریب میانگین و حاصل ضرب برابر با عبارت آزاد باشد.
اگر به حل معادله نیاز داشته باشیم، واضح است: ریشه های `x=-k` یا `x=-l` (زیرا در این موارد یکی از براکت ها صفر خواهد بود، به این معنی که کل عبارت صفر خواهد بود. ).
من الگوریتم را به عنوان مثال به شما نشان می دهم: چگونه یک چند جمله ای درجه دوم را در پرانتز بسط دهیم.
مثال یک. الگوریتم فاکتورگیری یک مثلث درجه دوم
مسیری که داریم یک سه جمله ای ربع "x^2+5x+4" است.
کاهش می یابد (ضریب 'x^2' برابر با یک). او ریشه دارد. (برای اطمینان، می توانید تفکیک کننده را تخمین بزنید و مطمئن شوید که بزرگتر از صفر است.)
مراحل بعدی (شما باید بعد از تکمیل همه آنها را یاد بگیرید وظایف آموزشی):
- ورودی زیر را کامل کنید: $$x^2+5x+4=(x \ldots)(x \ldots).$$ به جای نقطه، فضای خالی بگذارید، اعداد و علائم مناسب را آنجا اضافه می کنیم.
- مشاهده همه گزینه های ممکن، چگونه می توانید عدد '4' را به حاصل ضرب دو عدد تجزیه کنید. ما جفت "نامزد" برای ریشه های معادله دریافت می کنیم: "2، 2" و "1، 4".
- مشخص کنید که از کدام جفت می توانید ضریب میانگین را بدست آورید. بدیهی است که «1، 4» است.
- $$x^2+5x+4=(x \quad 4)(x \quad 1)$$ را بنویسید.
- مرحله بعدی قرار دادن علائم در مقابل اعداد درج شده است.
چگونه بفهمیم و برای همیشه به خاطر بسپاریم که چه علائمی باید قبل از اعداد داخل پرانتز ظاهر شوند؟ سعی کنید آنها را باز کنید (پرانتز). ضریب قبل از «x» تا توان اول «(± 4 ± 1)» خواهد بود (ما هنوز علائم را نمی دانیم - باید انتخاب کنیم)، و باید برابر با «5» باشد. بدیهی است که دو علامت مثبت $$x^2+5x+4=(x + 4)(x + 1)$$ وجود خواهد داشت.
این عمل را چندین بار انجام دهید (سلام، وظایف آموزشی!) و دیگر هیچ وقت با این کار مشکلی نخواهید داشت.
اگر باید معادله «x^2+5x+4» را حل کنید، اکنون حل آن دشوار نخواهد بود. ریشه های آن "-4، -1" است.
مثال دو فاکتورسازی یک مثلث درجه دوم با ضرایب علائم مختلف
اجازه دهید ما باید معادله "x^2-x-2=0" را حل کنیم. بدیهی است، تمایز مثبت است.
الگوریتم را دنبال می کنیم.
- $$x^2-x-2=(x \ldots) (x \ldots).$$
- تنها یک فاکتورسازی از دو به فاکتورهای عدد صحیح وجود دارد: «2 · 1».
- ما از موضوع می گذریم - چیزی برای انتخاب وجود ندارد.
- $$x^2-x-2=(x \quad 2) (x \quad 1).$$
- حاصل ضرب اعداد ما منفی است (`-2` عبارت آزاد است)، به این معنی که یکی از آنها منفی و دیگری مثبت خواهد بود.
از آنجایی که مجموع آنها برابر است با '-1' (ضریب 'x')، پس '2' منفی خواهد بود (توضیح شهودی این است که دو بزرگتر از دو عدد است، با شدت بیشتری به داخل می کشد. جنبه منفی). ما $$x^2-x-2=(x - 2) (x + 1) را دریافت می کنیم.$$
مثال سوم. فاکتورگیری یک مثلث درجه دوم
معادله "x^2+5x -84 = 0" است.
- $$x+ 5x-84=(x \ldots) (x \ldots).$$
- تجزیه 84 به عوامل اعداد صحیح: `4 21, 6 14, 12 7, 2 42`.
- از آنجایی که ما نیاز داریم که تفاضل (یا مجموع) اعداد 5 باشد، جفت «7، 12» مناسب است.
- $$x+ 5x-84=(x\quad 12) (x\quad 7).$$
- $$x+ 5x-84=(x + 12) (x - 7).$$
امید، بسط این سه جمله درجه دوم در پرانتزواضح است.
اگر به حل معادله نیاز دارید، در اینجا این است: «12، -7».
وظایف آموزشی
من چند مثال را به شما توجه می کنم که به راحتی قابل انجام است با استفاده از قضیه ویتا حل می شوند.(نمونه هایی برگرفته از مجله "ریاضیات"، 2002.)
- «x^2+x-2=0».
- "x^2-x-2=0".
- «x^2+x-6=0».
- "x^2-x-6=0".
- `x^2+x-12=0`
- "x^2-x-12=0".
- «x^2+x-20=0».
- "x^2-x-20=0".
- `x^2+x-42=0`
- "x^2-x-42=0".
- `x^2+x-56=0`
- `x^2-x-56=0`
- `x^2+x-72=0`
- `x^2-x-72=0`
- "x^2+x-110=0".
- "x^2-x-110=0".
- `x^2+x-420=0`
- "x^2-x-420=0".
چند سال پس از نگارش مقاله، مجموعه ای از 150 کار برای بسط یک چند جمله ای درجه دوم با استفاده از قضیه ویتا ظاهر شد.
لایک کنید و در نظرات سوال بپرسید!