معادلات غیر منطقی برای آدمک ها حل معادلات غیر منطقی، روش حل، مثال

پاسخ: x = 3.

8 روش. کاربرد مشتق در حل معادلات غیر منطقی

رایج ترین روشی که برای حل معادلات با استفاده از روش مشتق استفاده می شود، روش تخمین است.

مثال 15:

حل معادله: (1)

راه حل: از https://pandia.ru/text/78/021/images/image122_1.gif" width="371" height="29"> یا (2). تابع را در نظر بگیرید ..gif" width="400" height="23 src=">.gif" width="215" height="49"> اصلاً و بنابراین افزایش می یابد. بنابراین معادله معادل معادله ای است که ریشه ای دارد که ریشه معادله اصلی است.

پاسخ:

مثال 16:

حل معادله غیر منطقی:

دامنه یک تابع یک قطعه است. بیایید بزرگترین و کوچکترین ارزشمقادیر این تابع در بازه برای انجام این کار، مشتق تابع را پیدا می کنیم f(ایکس): https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37 height=19" height="19">. بیایید مقادیر تابع را پیدا کنیم f(ایکس)در انتهای بخش و در نقطه: بنابراین، اما و بنابراین، برابری تنها در صورتی امکان پذیر است که https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37" height= "19 src=" > بررسی نشان می دهد که عدد 3 ریشه این معادله است.

پاسخ: x = 3.

روش 9. عملکردی

در امتحانات گاهی از شما می خواهند معادلاتی را حل کنید که می توان آن ها را به شکلی که یک تابع است نوشت.

به عنوان مثال، برخی از معادلات: 1) 2) . در واقع، در مورد اول ، در مورد دوم . بنابراین، معادلات غیر منطقی را با استفاده از عبارت زیر حل کنید: اگر یک تابع به شدت در مجموعه افزایش می یابد ایکسو برای هر , سپس معادلات و غیره در مجموعه معادل هستند ایکس .

حل معادله غیر منطقی: https://pandia.ru/text/78/021/images/image145_1.gif" width="103" height="25"> به شدت در مجموعه افزایش می یابد R،و https://pandia.ru/text/78/021/images/image153_1.gif" width="45" height="24 src=">..gif" width="104" height="24 src=" > که یک ریشه دارد بنابراین معادله (1) معادل آن نیز یک ریشه دارد

پاسخ: x = 3.

مثال 18:

حل معادله غیر منطقی: (1)

با توجه به تعریف یک جذر، به این نتیجه می رسیم که اگر معادله (1) دارای ریشه باشد، آنها به مجموعه https://pandia.ru/text/78/021/images/image159_0.gif" width=" تعلق دارند. 163" height="47" >.(2)

تابع https://pandia.ru/text/78/021/images/image147_1.gif" width="35" height="21"> در این مجموعه به شدت برای هر ..gif" width="100" افزایش می یابد. height = "41"> که یک ریشه دارد بنابراین، و معادل آن در مجموعه ایکسمعادله (1) یک ریشه دارد

پاسخ: https://pandia.ru/text/78/021/images/image165_0.gif" width="145" height="27 src=">

راه حل: این معادله معادل یک سیستم مختلط است

بخش اول مطالب در این مقاله ایده معادلات غیر منطقی را تشکیل می دهد. پس از مطالعه آن به راحتی قادر خواهید بود معادلات غیر منطقی را از معادلات انواع دیگر تشخیص دهید. بخش دوم روش های اصلی برای حل معادلات غیرمنطقی را به تفصیل بررسی می کند و راه حل های دقیقی را برای تعداد زیادی مثال معمولی ارائه می دهد. اگر به این اطلاعات تسلط داشته باشید، تقریباً به طور قطع با تقریباً هر معادله غیرمنطقی از یک درس ریاضی مدرسه کنار خواهید آمد. در کسب دانش موفق باشید!

معادلات غیر منطقی چیست؟

اجازه دهید ابتدا توضیح دهیم که معادلات غیرمنطقی چیست. برای انجام این کار، تعاریف مناسب را در کتاب های درسی توصیه شده توسط وزارت آموزش و پرورش و علوم فدراسیون روسیه پیدا خواهیم کرد.

گفتگوی مفصل در مورد معادلات غیر منطقی و حل آنها در درس جبر انجام می شود و تجزیه و تحلیل در دبیرستان آغاز شد. با این حال، برخی از نویسندگان معادلات از این نوع را زودتر معرفی می کنند. به عنوان مثال، کسانی که با استفاده از کتاب های درسی موردکوویچ A.G مطالعه می کنند، از قبل در کلاس هشتم معادلات غیرمنطقی را یاد می گیرند: کتاب درسی بیان می کند که

نمونه هایی از معادلات غیرمنطقی نیز وجود دارد، , ، و غیره. بدیهی است که هر یک از معادلات فوق دارای یک متغیر x در زیر علامت جذر می باشد که به این معنی است که طبق تعریف فوق، این معادلات غیر منطقی هستند. در اینجا ما بلافاصله یکی از روش های اصلی برای حل آنها را مورد بحث قرار می دهیم -. اما در مورد روش های حل کمی پایین تر صحبت خواهیم کرد، اما در حال حاضر تعاریفی از معادلات غیرمنطقی را از کتاب های درسی دیگر ارائه خواهیم کرد.

در کتاب های درسی A. N. Kolmogorov و Yu.

تعریف

غیر منطقیمعادلاتی هستند که در آنها یک متغیر در زیر علامت ریشه قرار می گیرد.

بیایید به تفاوت اساسی این تعریف با تعریف قبلی توجه کنیم: فقط ریشه را می گوید، نه جذر، یعنی درجه ریشه ای که متغیر در زیر آن قرار دارد مشخص نشده است. این بدان معنی است که ریشه نه تنها می تواند یک جذر باشد، بلکه می تواند یک ریشه سوم، چهارم و غیره باشد. درجه. بنابراین، آخرین تعریف مجموعه گسترده تری از معادلات را مشخص می کند.

یک سوال طبیعی مطرح می شود: چرا ما شروع به استفاده از این تعریف گسترده تر از معادلات غیر منطقی در دبیرستان می کنیم؟ همه چیز قابل درک و ساده است: وقتی در کلاس هشتم با معادلات غیرمنطقی آشنا می شویم، فقط ریشه دوم را خوب می دانیم، نه در مورد هیچ ریشه مکعبی، ریشه چهارم یا بیشتر. درجات بالاما هنوز نمی دانیم و در دبیرستان مفهوم ریشه تعمیم می‌یابد، ما در مورد آن یاد می‌گیریم و وقتی از معادلات غیرمنطقی صحبت می‌کنیم دیگر به جذر محدود نمی‌شویم، بلکه منظور ریشه یک درجه دلخواه است.

برای وضوح، چندین مثال از معادلات غیرمنطقی را نشان خواهیم داد. - در اینجا متغیر x در زیر علامت ریشه مکعب قرار دارد، بنابراین این معادله غیرمنطقی است. مثالی دیگر: - در اینجا متغیر x زیر علامت جذر و ریشه چهارم قرار دارد، یعنی این نیز یک معادله غیرمنطقی است. در اینجا چند مثال دیگر از معادلات غیر منطقی بیشتر آورده شده است نوع پیچیده: و .

تعاریف فوق به ما امکان می دهد توجه داشته باشیم که در نمادگذاری هر معادله غیرمنطقی نشانه هایی از ریشه ها وجود دارد. همچنین واضح است که اگر هیچ نشانه ای از ریشه وجود نداشته باشد، معادله غیرمنطقی نیست. با این حال، همه معادلات حاوی علائم ریشه غیر منطقی نیستند. در واقع، در یک معادله غیرمنطقی باید یک متغیر زیر علامت ریشه وجود داشته باشد، آنگاه معادله غیرمنطقی نیست. به عنوان مثال، ما مثال هایی از معادلات را ارائه می دهیم که دارای ریشه هستند، اما غیرمنطقی نیستند. معادلات و غیر منطقی نیستند، زیرا آنها دارای متغیرهایی در زیر علامت ریشه نیستند - اعداد زیر ریشه وجود دارد، اما هیچ متغیری در زیر علائم ریشه وجود ندارد، بنابراین این معادلات غیر منطقی نیستند.

شایان ذکر است که تعداد متغیرهایی که می توانند در نوشتن معادلات غیرمنطقی شرکت کنند. تمام معادلات غیرمنطقی فوق حاوی یک متغیر x هستند، یعنی معادلاتی با یک متغیر هستند. با این حال، هیچ چیز ما را از در نظر گرفتن معادلات غیر منطقی با دو، سه و غیره باز نمی دارد. متغیرها اجازه دهید مثالی از یک معادله غیرمنطقی با دو متغیر بیاوریم و با سه متغیر

توجه داشته باشید که در مدرسه عمدتاً باید با معادلات غیرمنطقی با یک متغیر کار کنید. معادلات غیرمنطقی با چندین متغیر بسیار کمتر رایج است. آنها را می توان در ترکیب یافت، به عنوان مثال، در کار "حل سیستم معادلات "یا مثلاً در توصیف جبری اجسام هندسی، بنابراین یک نیم دایره با مرکز در مبدا، شعاع 3 واحد، که در نیم صفحه بالایی قرار دارد، با معادله مطابقت دارد.

برخی از مجموعه مسائل برای آمادگی برای آزمون دولتی واحد در بخش "معادلات غیرمنطقی" شامل وظایفی است که در آنها متغیر نه تنها در زیر علامت ریشه، بلکه تحت علامت تابع دیگری نیز قرار دارد، به عنوان مثال، مدول، لگاریتم و غیره. . در اینجا یک مثال است ، برگرفته از کتاب، اما در اینجا - از مجموعه. در مثال اول، متغیر x زیر علامت لگاریتمی است و لگاریتم نیز زیر علامت ریشه قرار دارد، یعنی به اصطلاح یک معادله لگاریتمی (یا لگاریتمی غیر منطقی) غیر منطقی داریم. در مثال دوم متغیر زیر علامت مدول است و مدول نیز با اجازه شما آن را معادله غیرمنطقی با مدول می نامیم.

آیا معادلات از این نوع را باید غیرمنطقی دانست؟ سؤال خوبی بود. به نظر می رسد که متغیری در زیر علامت ریشه وجود دارد، اما گیج کننده است که در "شکل خالص" آن نیست، بلکه تحت علامت یک یا چند تابع است. به عبارت دیگر، به نظر می‌رسد هیچ تناقضی با نحوه تعریف معادلات غیرمنطقی بالا وجود ندارد، اما به دلیل وجود توابع دیگر، درجه‌ای از عدم قطعیت وجود دارد. از دیدگاه ما، نباید نسبت به «بیل نامیدن بیل» متعصب بود. در عمل، کافی است به سادگی "معادله" را بدون مشخص کردن نوع آن بگویید. و همه این افزودنی ها "غیر منطقی"، "لگاریتمی" و غیره هستند. بیشتر برای راحتی ارائه و گروه بندی مطالب استفاده می شود.

با توجه به اطلاعات پاراگراف آخر، تعریف معادلات غیرمنطقی ارائه شده در کتاب درسی تالیف A. G. Mordkovich برای کلاس 11 مورد توجه است.

تعریف

غیر منطقیمعادلاتی هستند که در آنها متغیر تحت علامت رادیکال یا تحت علامت افزایش به توان کسری قرار دارد.

در اینجا علاوه بر معادلات دارای متغیر تحت علامت ریشه، معادلات دارای متغیرهای تحت علامت افزایش به توان کسری نیز غیرمنطقی در نظر گرفته می شوند. به عنوان مثال، طبق این تعریف، معادله غیر منطقی تلقی می شود. چرا ناگهانی؟ ما قبلاً به ریشه در معادلات غیرمنطقی عادت کرده ایم، اما در اینجا ریشه نیست، بلکه درجه است و آیا ترجیح می دهید این معادله را مثلاً معادله توان بنامید تا غیر منطقی؟ همه چیز ساده است: از طریق ریشه ها تعیین می شود، و روی متغیر x برای یک معادله معین (به شرط x 2 +2·x≥0) می توان آن را با استفاده از ریشه بازنویسی کرد. و آخرین برابری یک معادله نامعقول آشنا با متغیری در زیر علامت ریشه است. و روش های حل معادلات با متغیرهای بر اساس توان های کسری کاملاً مشابه روش های حل معادلات غیر منطقی است (در پاراگراف بعدی به آنها پرداخته خواهد شد). پس راحت است که آنها را غیرمنطقی بنامیم و از این نظر در نظر بگیریم. اما بیایید با خودمان صادق باشیم: در ابتدا ما معادله را داریم ، اما نه ، و زبان به دلیل عدم وجود ریشه در علامت گذاری، تمایل چندانی به نامعقول بودن معادله اصلی ندارد. همین تکنیک به ما امکان می دهد از چنین موضوعات بحث برانگیز در مورد اصطلاحات اجتناب کنیم: معادله را صرفاً یک معادله بدون هیچ توضیح خاصی بنامیم.

ساده ترین معادلات غیر منطقی

ارزش گفتن در مورد به اصطلاح ساده ترین معادلات غیر منطقی. بیایید بلافاصله بگوییم که این اصطلاح در کتاب های درسی اصلی جبر و تجزیه و تحلیل ابتدایی وجود ندارد، اما گاهی اوقات در کتاب های مسئله و کتابچه های آموزشی یافت می شود، به عنوان مثال، در. نباید به طور کلی پذیرفته شده تلقی شود، اما دانستن آنچه معمولاً با ساده ترین معادلات غیرمنطقی درک می شود، ضرری ندارد. این معمولاً نامی است که به معادلات غیرمنطقی شکل داده می شود ، که در آن f(x) و g(x) برخی هستند. در این پرتو ساده ترین معادله غیرمنطقی را می توان برای مثال معادله یا .

چگونه می توان ظاهر چنین نامی را به عنوان "ساده ترین معادلات غیر منطقی" توضیح داد؟ به عنوان مثال، زیرا حل معادلات غیرمنطقی اغلب مستلزم کاهش اولیه آنها به شکل است و کاربرد بیشترهر روش راه حل استاندارد معادلات غیر منطقی به این شکل ساده ترین هستند.

روش های اساسی برای حل معادلات غیر منطقی

با تعریف ریشه

یکی از روش های حل معادلات غیرمنطقی مبتنی بر. با کمک آن، معادلات غیر منطقی از ساده ترین شکل معمولا حل می شود ، که در آن f(x) و g(x) برخی هستند عبارات منطقی(ما تعریف ساده ترین معادلات غیرمنطقی را در ارائه کردیم). معادلات غیر منطقی فرم به روشی مشابه حل می شوند ، اما در آن f(x) و/یا g(x) عباراتی غیر از منطق هستند. با این حال، در بسیاری از موارد، حل چنین معادلاتی با روش های دیگر راحت تر است، که در پاراگراف های بعدی مورد بحث قرار خواهد گرفت.

برای سهولت در ارائه مطالب، معادلات غیر منطقی را با توان های ریشه زوج، یعنی معادلات جدا می کنیم. ، 2·k=2، 4، 6، …، از معادلات با توان های ریشه فرد ، 2 k+1=3، 5، 7، … بیایید بلافاصله رویکردهای حل آنها را ترسیم کنیم:

رویکردهای فوق مستقیماً از و .

بنابراین، روش حل معادلات غیر منطقی با تعریف ریشه به شرح زیر است:

با تعریف ریشه، راحت ترین حل ساده ترین معادلات غیر منطقی با اعداد در سمت راست است، یعنی معادلات شکل، که در آن C یک عدد معین است. وقتی عددی در سمت راست معادله وجود دارد، حتی اگر توان ریشه زوج باشد، نیازی به رفتن به سیستم نیست: اگر C یک عدد غیر منفی باشد، بنا به تعریف، ریشه زوج است. درجه، و اگر C یک عدد منفی باشد، بلافاصله می توانیم نتیجه بگیریم که هیچ ریشه ای از معادله وجود ندارد، بالاخره، طبق تعریف، ریشه یک درجه زوج یک عدد غیر منفی است، به این معنی که معادله اینطور نیست. به یک برابری عددی واقعی برای هر مقدار واقعی متغیر x تبدیل شود.

بیایید به حل مثال های معمولی برویم.

ما از ساده به پیچیده خواهیم رفت. بیایید با حل ساده ترین معادله غیرمنطقی شروع کنیم که در سمت چپ آن یک ریشه زوج درجه وجود دارد و در سمت راست - عدد مثبت، یعنی از حل معادله ای که در آن C یک عدد مثبت است. تعیین ریشه به شما امکان می دهد از حل یک معادله غیرمنطقی معین به حل یک معادله ساده تر بدون ریشه С 2·k =f(x) بروید.

ساده ترین معادلات غیر منطقی با صفر در سمت راست به روشی مشابه با تعریف ریشه حل می شوند.

اجازه دهید به طور جداگانه در معادلات غیر منطقی صحبت کنیم که در سمت چپ آنها یک ریشه یک درجه زوج با یک متغیر در زیر علامت آن وجود دارد و در سمت راست یک عدد منفی وجود دارد. چنین معادلاتی روی مجموعه اعداد حقیقی راه حلی ندارند (پس از آشنایی با ریشه های مختلط صحبت خواهیم کرد. اعداد مختلط ). این کاملا واضح است: یک ریشه زوج طبق تعریف یک عدد غیر منفی است، به این معنی که نمی تواند با یک عدد منفی برابر باشد.

سمت چپ معادلات غیرمنطقی مثال های قبلی ریشه قدرت های زوج و سمت راست اعداد بودند. حالا بیایید مثال هایی را با متغیرهای سمت راست در نظر بگیریم، یعنی معادلات غیر منطقی شکل را حل کنیم. . برای حل آنها، با تعیین ریشه، انتقال به سیستم انجام می شود ، که مجموعه ای از راه حل های معادله اصلی را دارد.

باید در نظر داشت که سیستم ، که حل معادله غیر منطقی اصلی به حل آن تقلیل می یابد ، توصیه می شود نه به صورت مکانیکی، بلکه در صورت امکان، منطقی حل شود. واضح است که این بیشتر یک سوال از موضوع " راه حل سیستمیاما با این حال ما سه موقعیتی که اغلب با آن مواجه می‌شویم را با مثال‌هایی فهرست می‌کنیم:

1. به عنوان مثال، اگر اولین معادله آن g 2·k (x)=f(x) هیچ جوابی نداشته باشد، حل نابرابری g(x)≥0 فایده ای ندارد، زیرا از فقدان جواب برای معادله می توان نتیجه گیری کنید که هیچ راه حلی برای سیستم وجود ندارد.

1. به همین ترتیب، اگر نابرابری g(x)≥0 هیچ جوابی نداشته باشد، نیازی به حل معادله g 2·k (x)=f(x) نیست، زیرا حتی بدون این نیز واضح است که در این حالت سیستم هیچ راه حلی ندارد

1. اغلب اوقات، نابرابری g(x)≥0 اصلاً حل نمی شود، بلکه فقط بررسی می شود که کدام یک از ریشه های معادله g 2·k (x)=f(x) آن را برآورده می کند. مجموعه تمام مواردی که نابرابری را برآورده می کند، راه حلی برای سیستم است، به این معنی که راه حلی برای معادله غیرمنطقی اولیه معادل آن نیز می باشد.

در مورد معادلات با شارح های زوج به اندازه کافی. وقت آن است که به معادلات غیرمنطقی با ریشه های قدرت های فرد فرم توجه کنید . همانطور که قبلاً گفتیم، برای حل آنها به معادله معادل می رویم ، که با هر روش موجود قابل حل است.

برای خاتمه دادن به این نکته اشاره می کنیم بررسی راه حل ها. روش حل معادلات غیر منطقی با تعیین ریشه، هم ارزی انتقال ها را تضمین می کند. این بدان معنی است که بررسی راه حل های یافت شده ضروری نیست. این نکته را می توان به مزایای آن نسبت داد این روشحل معادلات غیر منطقی، زیرا در اکثر روش های دیگر، تأیید مرحله اجباری راه حل است که به شما امکان می دهد ریشه های اضافی را قطع کنید. اما باید به خاطر داشت که بررسی با جایگزین کردن راه‌حل‌های یافت شده در معادله اصلی هرگز زائد نیست: ناگهان یک خطای محاسباتی رخ می‌دهد.

همچنین متذکر می شویم که موضوع بررسی و فیلتر کردن ریشه های خارجی در حل معادلات غیرمنطقی بسیار مهم است، بنابراین در یکی از پاراگراف های بعدی این مقاله به آن باز خواهیم گشت.

روش افزایش دو طرف معادله به توان یکسان

ارائه بیشتر فرض می کند که خواننده ایده ای از معادلات معادل و معادلات نتیجه دارد.

روش افزایش دو طرف معادله به توان یکسان بر اساس عبارت زیر است:

بیانیه

بالا بردن دو طرف یک معادله به توان زوج یکسان، یک معادله نتیجه ای به دست می دهد، و با بالا بردن دو طرف یک معادله به توان فرد یکسان، معادله ای معادل به دست می آید.

اثبات

اجازه دهید آن را برای معادلات با یک متغیر ثابت کنیم. برای معادلات دارای چندین متغیر، اصول اثبات یکسان است.

فرض کنید A(x)=B(x) معادله اصلی و x 0 ریشه آن باشد. از آنجایی که x 0 ریشه این معادله است، A(x 0)=B(x 0) – برابری عددی واقعی. ما این ویژگی برابری های عددی را می دانیم: ضرب ترم به ترم برابری های عددی واقعی یک برابری عددی واقعی را به دست می دهد. بیایید جمله را در جمله 2·k ضرب کنیم، جایی که k یک عدد طبیعی است، از برابری های عددی صحیح A(x 0)=B(x 0)، این برابری عددی صحیح را به ما می دهد A 2·k (x 0)= B 2·k (x 0). و تساوی حاصل بدین معنی است که x 0 ریشه معادله A 2·k (x)=B 2·k (x) است که از معادله اصلی با بالا بردن هر دو طرف به توان طبیعی زوج برابر 2·k به دست می آید. .

برای توجیه احتمال وجود یک ریشه معادله A 2·k (x)=B 2·k (x) که ریشه معادله اصلی A(x)=B(x) نیست. برای مثال کافی است معادله غیرمنطقی را در نظر بگیرید ، و معادله ، که با مربع کردن هر دو قسمت از اصل به دست می آید. به راحتی می توان بررسی کرد که صفر ریشه معادله است ، واقعاً ، که همان 4=4 یک برابری واقعی است. اما در عین حال، صفر یک ریشه خارجی برای معادله است ، از آنجایی که پس از جایگزینی صفر برابری را بدست می آوریم که همان 2=−2 است که نادرست است. این ثابت می‌کند که معادله‌ای که از معادله اصلی با بالا بردن دو طرف به یک توان زوج به دست می‌آید، می‌تواند ریشه‌هایی خارجی با معادله اصلی داشته باشد.

ثابت شده است که بالا بردن هر دو طرف معادله به توان طبیعی یکسان منجر به یک معادله نتیجه می شود.

باید ثابت کرد که بالا بردن هر دو طرف معادله به توان طبیعی فرد یکسان معادله ای معادل به دست می دهد.

اجازه دهید نشان دهیم که هر ریشه معادله، ریشه معادله ای است که با بالا بردن هر دو جزء آن به توان فرد از معادله اصلی به دست می آید، و برعکس، هر ریشه معادله با بالا بردن هر دو جزء خود به عدد فرد، از معادله اصلی به دست می آید. قدرت ریشه معادله اصلی است.

معادله A(x)=B(x) را داشته باشیم. اجازه دهید x 0 ریشه آن باشد. سپس برابری عددی A(x 0)=B(x 0) درست است. در حین مطالعه ویژگی‌های برابری‌های عددی واقعی، متوجه شدیم که برابری‌های عددی واقعی را می‌توان ترم به جمله ضرب کرد. با ضرب جمله در جمله 2·k+1، که در آن k یک عدد طبیعی است، برابری های عددی صحیح A(x 0)=B(x 0) برابری عددی صحیح را بدست می آوریم A 2·k+1 (x 0)= B 2·k+1 ( x 0) به این معنی که x 0 ریشه معادله A 2·k+1 (x)=B 2·k+1 (x) است. حالا برگشت فرض کنید x 0 ریشه معادله A 2·k+1 (x)=B 2·k+1 (x) باشد. این بدان معنی است که برابری عددی A 2·k+1 (x 0)=B 2·k+1 (x 0) صحیح است. به دلیل وجود ریشه فرد از هر عدد حقیقی و منحصر به فرد بودن آن، برابری نیز صادق خواهد بود. این به نوبه خود به دلیل هویت است ، که در آن a هر عدد حقیقی است که از ویژگی های ریشه ها و توان ها به دست می آید، می توان آن را به صورت A(x 0)=B(x 0) بازنویسی کرد. این بدان معنی است که x 0 ریشه معادله A(x)=B(x) است.

ثابت شده است که بالا بردن دو طرف یک معادله غیرمنطقی به توان فرد معادله ای معادل به دست می دهد.

بیانیه اثبات شده زرادخانه شناخته شده برای ما را که برای حل معادلات استفاده می شود، با تبدیل دیگری از معادلات پر می کند - افزایش هر دو طرف معادله به یک قدرت طبیعی. بالا بردن هر دو طرف معادله به توان فرد یکسان تبدیلی است که منجر به یک معادله نتیجه می شود و افزایش آن به توان زوج یک تبدیل معادل است. روش بالا بردن دو طرف معادله به توان یکسان بر اساس این تبدیل است.

بالا بردن هر دو طرف معادله به توان طبیعی یکسان عمدتاً برای حل معادلات غیرمنطقی استفاده می شود، زیرا در موارد خاص این تبدیل به فرد اجازه می دهد تا از علائم ریشه خلاص شود. به عنوان مثال، بالا بردن دو طرف معادله به توان n معادله را می دهد ، که بعداً می تواند به معادله f(x)=g n (x) تبدیل شود که دیگر ریشه در سمت چپ ندارد. مثال بالا نشان می دهد ماهیت روش افزایش هر دو طرف معادله به یک توان: با استفاده از تبدیل مناسب، معادله ساده تری را که در علامت گذاری آن رادیکال وجود ندارد، به دست آوریم و از طریق حل آن، جواب معادله غیر منطقی اولیه را بدست آوریم.

حال می‌توانیم مستقیماً به شرح روش بالا بردن دو طرف معادله به توان طبیعی یکسان برویم. بیایید با یک الگوریتم برای حل، با استفاده از این روش، ساده ترین معادلات غیر منطقی با توان های ریشه زوج، یعنی معادلات شکل شروع کنیم. ، جایی که k یک عدد طبیعی است، f(x) و g(x) عبارات گویا هستند. الگوریتمی برای حل ساده ترین معادلات غیر منطقی با توان های ریشه فرد، یعنی معادلات شکل ، کمی بعد می دهیم. سپس بیایید حتی جلوتر برویم: بیایید روش افزایش هر دو طرف یک معادله را به یک توان به معادلات غیرمنطقی پیچیده‌تر که شامل ریشه‌هایی در زیر نشانه‌های ریشه، چندین علامت ریشه و غیره است بسط دهیم.

روش افزایش دو طرف معادله به توان زوج یکسان:

از اطلاعات بالا مشخص است که پس از مرحله اول الگوریتم به معادله ای می رسیم که ریشه های آن همه ریشه های معادله اصلی را در بر می گیرد، اما ممکن است دارای ریشه هایی بیگانه با معادله اصلی نیز باشد. بنابراین، الگوریتم حاوی یک بند در مورد فیلتر کردن ریشه های خارجی است.

بیایید به کاربرد الگوریتم داده شده برای حل معادلات غیر منطقی با استفاده از مثال نگاه کنیم.

بیایید با حل یک معادله غیرمنطقی ساده و نسبتاً معمولی شروع کنیم، که مربع دو طرف آن منجر به یک معادله درجه دوم می شود که ریشه ندارد.

در اینجا یک مثال آورده شده است که در آن تمام ریشه های معادله به دست آمده از معادله غیرمنطقی اصلی با مربع کردن هر دو طرف، خارج از معادله اصلی هستند. نتیجه: ریشه ندارد.

مثال بعدی کمی پیچیده تر است. حل آن بر خلاف دو مورد قبلی مستلزم بالا بردن هر دو قسمت نه به مربع، بلکه تا توان ششم است و این دیگر به معادله خطی یا درجه دوم منجر نمی شود، بلکه به معادله مکعبی منجر می شود. در اینجا یک بررسی به ما نشان می دهد که هر سه ریشه آن ریشه های معادله غیرمنطقی هستند که در ابتدا داده شده است.

و در اینجا ما حتی فراتر خواهیم رفت. برای خلاص شدن از ریشه، باید هر دو طرف معادله غیرمنطقی را به توان چهارم برسانید، که به نوبه خود به معادله قدرت چهارم منجر می شود. بررسی نشان می دهد که تنها یکی از چهار ریشه بالقوه، ریشه مورد نظر معادله غیرمنطقی خواهد بود و مابقی غیرمرتبط خواهند بود.

سه مثال آخر بیانیه زیر را نشان می دهد: اگر دو طرف یک معادله غیرمنطقی را به توان زوج یکسان برسانیم، معادله ای تولید می کند که ریشه دارد، آنگاه تأیید بعدی آنها می تواند نشان دهد که

• یا همه آنها ریشه های خارجی معادله اصلی هستند و هیچ ریشه ای ندارند،
• یا اصلاً هیچ ریشه خارجی در بین آنها وجود ندارد و همه آنها ریشه معادله اصلی هستند.
• یا فقط برخی از آنها خارجی هستند.

زمان آن فرا رسیده است که ساده ترین معادلات غیرمنطقی را با یک توان ریشه فرد، یعنی معادلات شکل حل کنیم. . بیایید الگوریتم مربوطه را یادداشت کنیم.

الگوریتم حل معادلات غیر منطقی روش افزایش دو طرف معادله به توان فرد یکسان:

• هر دو طرف معادله غیرمنطقی به توان فرد یکسان 2·k+1 می رسند.
• معادله به دست آمده حل می شود. جواب آن حل معادله اصلی است.

لطفا توجه داشته باشید: الگوریتم فوق، برخلاف الگوریتم حل ساده ترین معادلات غیر منطقی با توان ریشه زوج، حاوی بند در مورد حذف ریشه های خارجی نیست. در بالا نشان دادیم که بالا بردن هر دو طرف معادله به توان فرد، تبدیل معادل معادله است، به این معنی که چنین تبدیلی منجر به ظهور ریشه‌های خارجی نمی‌شود، بنابراین نیازی به فیلتر کردن آنها نیست.

بنابراین، حل معادلات غیرمنطقی با بالا بردن هر دو طرف به یک توان فرد می تواند بدون حذف عوامل خارجی انجام شود. در عین حال، فراموش نکنید که هنگام افزایش قدرت یکنواخت، تأیید لازم است.

دانستن این واقعیت به ما اجازه می دهد تا به طور قانونی از غربال کردن ریشه های خارجی هنگام حل یک معادله غیرمنطقی اجتناب کنیم. . علاوه بر این، در این مورد، چک با محاسبات "ناخوشایند" همراه است. به هر حال هیچ ریشه خارجی وجود نخواهد داشت، زیرا به یک توان فرد، یعنی به یک مکعب، که تبدیلی معادل است، ارتقا می یابد. واضح است که بررسی را می توان انجام داد، اما بیشتر برای خودکنترلی، به منظور بررسی بیشتر صحت راه حل یافت شده.

بیایید نتایج میانی را جمع بندی کنیم. در این مرحله، اولاً، زرادخانه از قبل شناخته شده حل معادلات مختلف را با تبدیل دیگری گسترش دادیم که شامل بالا بردن هر دو طرف معادله به یک قدرت است. هنگامی که به قدرت یکنواخت افزایش می یابد، این تبدیل ممکن است نابرابر باشد، و هنگام استفاده از آن، لازم است که ریشه های اضافی را فیلتر کنید. هنگامی که به توان فرد افزایش می یابد، تبدیل مشخص شده معادل است و نیازی به فیلتر کردن ریشه های خارجی نیست. و دوم، ما یاد گرفتیم که از این تبدیل برای حل ساده ترین معادلات غیر منطقی فرم استفاده کنیم ، جایی که n توان ریشه است، f(x) و g(x) عبارات گویا هستند.

اکنون زمان آن رسیده است که از منظری کلی به بالا بردن دو طرف معادله به یک قدرت نگاه کنیم. این به ما امکان می دهد تا روش حل معادلات غیرمنطقی را بر اساس آن از ساده ترین معادلات غیر منطقی به معادلات غیر منطقی از نوع پیچیده تر گسترش دهیم. بیا انجامش بدیم.

در واقع، هنگام حل معادلات با بالا بردن دو طرف معادله به توان یکسان، از رویکرد کلی که قبلاً برای ما شناخته شده است استفاده می شود: معادله اصلی، از طریق برخی تبدیل ها، به یک معادله ساده تر تبدیل می شود، به معادله ساده تر تبدیل می شود. یک، و غیره، تا معادلاتی که می توانیم حل کنیم. واضح است که اگر در زنجیره‌ای از این دگرگونی‌ها به بالا بردن دو طرف معادله به یک توان متوسل شویم، می‌توان گفت که از یک روش برای بالا بردن هر دو طرف معادله به یک توان پیروی می‌کنیم. تنها چیزی که باقی می‌ماند این است که دقیقاً مشخص شود که برای حل معادلات غیرمنطقی با بالا بردن هر دو طرف معادله به یک توان، چه تبدیل‌ها و در چه ترتیبی باید انجام شود.

در اینجا یک رویکرد کلی برای حل معادلات غیر منطقی با بالا بردن هر دو طرف معادله به توان یکسان ارائه شده است:

• ابتدا باید از معادله غیرمنطقی اصلی به معادله بیشتر حرکت کنیم معادله ساده، که معمولاً می توان با انجام چرخه ای سه عمل زیر به دست آورد:
  • جداسازی رادیکال (یا تکنیک های مشابه، به عنوان مثال، جداسازی حاصلضرب رادیکال ها، جداسازی کسری که صورت و/یا مخرج آن یک ریشه است، که اجازه می دهد، پس از افزایش بعدی هر دو طرف معادله به توان، به از شر ریشه خلاص شوید).
  • ساده کردن فرم معادله
• در مرحله دوم، شما باید معادله حاصل را حل کنید.
• در نهایت، اگر در طول حل، انتقال به معادلات نتیجه ای وجود داشته باشد (به ویژه، اگر هر دو طرف معادله به توان یکنواخت رسیده باشند)، ریشه های اضافی باید حذف شوند.

بیایید دانش به دست آمده را عملی کنیم.

بیایید مثالی را حل کنیم که در آن خلوت رادیکال معادله غیرمنطقی را به ساده‌ترین شکل خود می‌آورد، پس از آن تنها چیزی که باقی می‌ماند این است که هر دو طرف را مربع کنیم، معادله حاصل را حل کرده و ریشه‌های اضافی را با استفاده از چک از بین ببریم.

معادله غیرمنطقی زیر را می توان با جدا کردن کسر با یک رادیکال در مخرج حل کرد که با مربع کردن بعدی هر دو طرف معادله قابل حذف است. و سپس همه چیز ساده است: معادله کسری-عقلایی حاصل حل می شود و بررسی می شود تا ریشه های خارجی از ورود به پاسخ حذف شود.

معادلات غیرمنطقی که شامل دو ریشه هستند کاملاً معمولی هستند. آنها معمولاً با بالا بردن هر دو طرف معادله به توان یکسان با موفقیت حل می شوند. اگر ریشه ها درجه یکسانی داشته باشند و غیر از آنها اصطلاح دیگری وجود نداشته باشد، برای خلاص شدن از شر رادیکال ها کافی است رادیکال را جدا کرده و یک بار قدرت را انجام دهید، مانند مثال زیر.

و در اینجا مثالی است که در آن دو ریشه نیز وجود دارد، در کنار آنها نیز اصطلاحی وجود ندارد، اما درجات ریشه ها متفاوت است. در این حالت، پس از جداسازی رادیکال، توصیه می شود که هر دو طرف معادله را به توانی برسانید که هر دو رادیکال را به یکباره حذف کند. چنین درجه ای به عنوان مثال به عنوان شاخص ریشه ها عمل می کند. در مورد ما، درجات ریشه ها 2 و 3 است، LCM(2، 3) = 6، بنابراین، ما هر دو طرف را تا توان ششم بالا می بریم. توجه داشته باشید که ما می توانیم در مسیر استاندارد نیز عمل کنیم، اما در این صورت باید به دو بار بالا بردن هر دو قسمت به توان متوسل شویم: اول به دوم و سپس به سوم. ما هر دو راه حل را نشان خواهیم داد.

در بیشتر موارد دشوار، هنگام حل معادلات غیرمنطقی با بالا بردن هر دو طرف معادله به توان یکسان، باید به دو بار، کمتر - سه بار و حتی کمتر - متوسل شوید. تعداد بزرگتریک بار. اولین معادله غیرمنطقی که بیانگر آنچه گفته شد، شامل دو رادیکال و یک عبارت دیگر است.

حل معادله غیرمنطقی زیر نیز به دو توان متوالی نیاز دارد. اگر جداسازی رادیکال ها را فراموش نکنید، دو قدرت برای خلاص شدن از شر سه رادیکال موجود در نماد آن کافی است.

روش بالا بردن هر دو طرف یک معادله غیرمنطقی به یک توان به فرد اجازه می دهد تا با معادلات غیرمنطقی که در زیر ریشه ریشه دیگری وجود دارد کنار بیاید. در اینجا راه حل یک مثال معمولی است.

در نهایت، قبل از اینکه به تحلیل روش های زیر برای حل معادلات غیر منطقی بپردازیم، لازم است به این واقعیت توجه کنیم که بالا بردن هر دو طرف یک معادله غیرمنطقی به توان یکسان، می تواند در نتیجه تبدیل های بیشتر، معادله ای را به دست آورد. تعداد بی نهایت راه حل معادله ای که بی نهایت ریشه دارد، مثلاً با دو طرف معادله غیر منطقی به دست می آید. و سپس ساده سازی فرم معادله حاصل. با این حال، به دلایل واضح، ما قادر به انجام بررسی تعویض نیستیم. در چنین مواردی، یا باید به روش‌های تأیید دیگر متوسل شوید، که در مورد آنها صحبت خواهیم کرد، یا روش افزایش دو طرف معادله را به یک توان به نفع روش حل دیگری، به عنوان مثال، به نفع یک روش رها کنید. که فرض می کند.

ما راه حل های معمولی ترین معادلات غیر منطقی را با بالا بردن هر دو طرف معادله به توان یکسان بررسی کردیم. رویکرد کلی مطالعه شده امکان کنار آمدن با سایر معادلات غیر منطقی را فراهم می کند، در صورتی که این روش حل برای آنها اصلا مناسب باشد.

حل معادلات غیر منطقی با معرفی یک متغیر جدید

وجود داشته باشد روش های کلی برای حل معادلات. آنها به شما اجازه می دهند معادلات را حل کنید انواع متفاوت. به ویژه از روش های عمومی برای حل معادلات غیر منطقی استفاده می شود. در این پاراگراف به یکی از روش های رایج نگاه خواهیم کرد - روشی برای معرفی یک متغیر جدیدیا بهتر است بگوییم استفاده از آن در حل معادلات غیر منطقی. ماهیت و جزئیات خود روش در مقاله ارائه شده است که پیوند آن در جمله قبلی آورده شده است. در اینجا به قسمت عملی آن می پردازیم، یعنی حل معادلات غیرمنطقی استاندارد را با معرفی یک متغیر جدید تحلیل می کنیم.

پاراگراف های زیر این مقاله به حل معادلات غیر منطقی با استفاده از روش های کلی دیگر اختصاص دارد.

ابتدا می دهیم الگوریتم حل معادلات با معرفی یک متغیر جدید. بلافاصله بعد از آن توضیحات لازم را خواهیم داد. بنابراین، الگوریتم:

حالا برای شفاف سازی وعده داده شده.

مراحل دوم، سوم و چهارم الگوریتم کاملاً فنی هستند و اغلب دشوار نیستند. و علاقه اصلی اولین مرحله است - معرفی یک متغیر جدید. نکته اینجاست که اغلب مشخص نیست که چگونه یک متغیر جدید معرفی کنیم، و در بسیاری از موارد لازم است برخی از تبدیل‌های معادله انجام شود تا عبارت g(x) برای جایگزینی با t به راحتی باشد. به نظر می رسد. به عبارت دیگر، معرفی یک متغیر جدید اغلب یک فرآیند خلاقانه و در نتیجه پیچیده است. در ادامه سعی می‌کنیم ابتدایی‌ترین و معمولی‌ترین مثال‌هایی را که نحوه معرفی یک متغیر جدید در حل معادلات غیرمنطقی را توضیح می‌دهند، لمس کنیم.

ما به ترتیب ارائه زیر پایبند خواهیم بود:

بنابراین، اجازه دهید با ساده ترین موارد معرفی یک متغیر جدید هنگام حل معادلات غیر منطقی شروع کنیم.

بیایید معادله غیرمنطقی را حل کنیم ، که قبلاً به عنوان مثال در بالا ذکر کردیم. بدیهی است که در این صورت امکان تعویض وجود دارد. ما را به یک معادله منطقی هدایت می کند، که همانطور که مشخص است، دارای دو ریشه است، که با جایگزینی معکوس، مجموعه ای از دو معادله ساده غیرمنطقی را به دست می دهد که حل آنها دشوار نیست. برای مقایسه، با انجام تبدیل هایی که به ساده ترین معادله غیرمنطقی منجر می شود، یک راه حل جایگزین نشان خواهیم داد.

در معادله غیرمنطقی زیر امکان معرفی متغیر جدید نیز مشهود است. اما از این جهت قابل توجه است که هنگام حل آن مجبور نیستیم به متغیر اصلی برگردیم. واقعیت این است که آنچه پس از مقدمه به دست می آید معادله متغیرهیچ راه حلی ندارد، به این معنی که معادله اصلی هیچ راه حلی ندارد.

معادله غیر منطقی مانند قبلی، با معرفی یک متغیر جدید به راحتی قابل حل است. علاوه بر این، مانند مورد قبلی، هیچ راه حلی ندارد. اما عدم وجود ریشه با روش های دیگری مشخص می شود: در اینجا معادله ای که پس از معرفی متغیر به دست می آید راه حل دارد، اما مجموعه معادلات نوشته شده در حین جانشینی معکوس هیچ راه حلی ندارد، بنابراین معادله اصلی نیز راه حلی ندارد. اجازه دهید حل این معادله را تحلیل کنیم.

اجازه دهید مجموعه مثال‌هایی را که در آنها جایگزینی واضح است، با یک معادله غیرمنطقی به ظاهر پیچیده شامل یک ریشه در زیر ریشه در نماد تکمیل کنیم. معرفی یک متغیر جدید اغلب ساختار یک معادله را واضح‌تر می‌کند، که مخصوصاً برای این مثال صادق است. در واقع اگر بپذیریم ، سپس معادله غیر منطقی اولیه به یک معادله غیر منطقی ساده تر تبدیل می شود که برای مثال می توان آن را با دو طرف معادله حل کرد. راه حل را با معرفی یک متغیر جدید ارائه می کنیم و برای مقایسه نیز حل را با دو طرف معادله نشان خواهیم داد.

رکوردهای تمام مثال های قبلی حاوی چندین عبارت یکسان بود که ما آنها را به عنوان یک متغیر جدید در نظر گرفتیم. همه چیز ساده و واضح بود: ما عبارات یکسان مناسب را می بینیم و به جای آن یک متغیر جدید معرفی می کنیم که معادله ساده تری با یک متغیر جدید به دست می دهد. اکنون کمی جلوتر خواهیم رفت - نحوه حل معادلات غیرمنطقی را دریابیم که در آنها عبارت مناسب برای جایگزینی چندان واضح نیست، اما به راحتی قابل مشاهده است و با استفاده از تبدیل های ساده به وضوح برجسته می شود.

بیایید تکنیک های اساسی را در نظر بگیریم که به شما امکان می دهد به صراحت یک عبارت مناسب برای معرفی یک متغیر جدید را انتخاب کنید. اولیش اینه اجازه دهید آنچه گفته شد را توضیح دهیم.

بدیهی است در معادله غیرمنطقی برای معرفی یک متغیر جدید کافی است x 2 +x=t را بگیرید. آیا می توان متغیر جدیدی را نیز در معادله وارد کرد؟ ? این احتمال قابل مشاهده است، زیرا بدیهی است که . آخرین برابری به ما امکان می دهد یک تبدیل معادل معادله را انجام دهیم، که شامل جایگزینی عبارت با یک عبارت یکسان برابر است که ODZ را تغییر نمی دهد، که امکان انتقال از معادله اصلی به معادله معادل را فراهم می کند. و از قبل تصمیم بگیرید اجازه دهید حل کامل معادله غیرمنطقی را نشان دهیم با معرفی یک متغیر جدید

چه چیز دیگری، به غیر از قرار دادن عامل مشترک خارج از پرانتز، به ما امکان می دهد به وضوح در یک معادله غیرمنطقی یک عبارت مناسب برای معرفی یک متغیر جدید را شناسایی کنیم؟ در موارد خاص، این است، و. بیایید به نمونه های معمولی نگاه کنیم.

چگونه یک متغیر جدید را هنگام حل یک معادله غیرمنطقی معرفی کنیم؟ ? البته قبول میکردیم اگر کار حل یک معادله غیرمنطقی بود چه؟ ، آیا می توان متغیر جدیدی مانند ? به طور صریح - قابل مشاهده نیست، اما چنین امکانی قابل مشاهده است، زیرا در ODZ متغیر x برای این معادله، به دلیل تعریف ریشه و ویژگی های ریشه ها، برابری معتبر است که به ما اجازه می دهد به معادله معادل .

اجازه دهید یک تعمیم کوچک بر اساس مثال قبلی به خودمان اجازه دهیم. در مواردی که نشانگر یک ریشه مضرب شاخص دیگری (k·n و k) باشد، معمولاً به برابری متوسل می شوند. و یک متغیر جدید به عنوان معرفی کنید. اینگونه پیش رفتیم و معادله را حل کردیم . کمی بیشتر در مورد چگونگی حل معادلات غیر منطقی با توان های ریشه نامساوی و غیر چندگانه صحبت خواهیم کرد.

ارزش دارد به طور خلاصه روی معرفی یک متغیر جدید در معادلات غیرمنطقی که حاوی یک ریشه و همچنین یک عبارت رادیکال و/یا درجه‌ای از آن است، صحبت کنیم. در این موارد بدیهی است که ریشه باید به عنوان متغیر جدید در نظر گرفته شود. مثلاً هنگام حل معادله قبول می کردیم ، با تعریف ریشه، معادله اصلی را به شکل تبدیل می کند و پس از معرفی یک متغیر جدید به معادله درجه دوم 2·t 2 +3·t−2=0 می رسیم.

در موارد کمی پیچیده تر، ممکن است یک تبدیل اضافی دیگر از معادله برای جداسازی عبارتی که با رادیکال منطبق است مورد نیاز باشد. بیایید این را توضیح دهیم. چگونه یک متغیر جدید را در معادله معرفی کنیم؟ ? بدیهی است که عبارت x 2 + 5 با عبارت رادیکال منطبق است، بنابراین با توجه به اطلاعات پاراگراف قبل، بر اساس تعریف ریشه، به معادله معادل می رویم. و یک متغیر جدید به عنوان معرفی می کند. اگر با معادله سر و کار نداشته باشیم، چگونه یک متغیر جدید معرفی می کنیم ، و با معادله ? بله همچنین. فقط این است که ابتدا باید x 2 +1 را به صورت x 2 +5-4 نشان دهیم تا به صراحت عبارت رادیکال x 2 +5 را برجسته کنیم. یعنی از معادله غیرمنطقی این کار را می کنیم به معادله معادل منتقل شد ، سپس به معادله ، پس از آن به راحتی می توانیم یک متغیر جدید معرفی کنیم.

در چنین مواردی، رویکرد جهانی‌تر دیگری برای معرفی متغیر جدید وجود دارد: ریشه را به‌عنوان یک متغیر جدید بگیرید و بر اساس این برابری، متغیرهای قدیمی باقی‌مانده را از طریق متغیر جدید بیان کنید. برای معادله ما می پذیریم، از این برابری، x 2 تا t را به صورت t 2-5 بیان می کنیم (، , x 2 +5=t 2 , x 2 =t 2 −5 , از آنجا x 2 +1=t 2 −4 . این به ما اجازه می دهد تا به معادله ای با متغیر جدید t 2 −4+3·t=0 برویم. برای تمرین مهارت های خود، یک معادله غیرمنطقی معمولی را حل خواهیم کرد.

معرفی یک متغیر جدید در چنین مثال هایی می تواند منجر به ظهور عباراتی در زیر نشانه های ریشه ها شود که مربع کامل هستند. به عنوان مثال، اگر یک معادله غیرمنطقی را در نظر بگیریم، به معادله ای منجر می شود که اولین عبارت رادیکال مربع دو جمله ای خطی t-2 است، و بیان رادیکال دوم، مربع دو جمله ای خطی t-3 است. و از چنین معادلاتی بهتر است به معادلات با ماژول ها برویم: , . این امر به این دلیل است که چنین معادلاتی می توانند بی نهایت ریشه داشته باشند، در حالی که حل آنها با دو طرف معادله اجازه آزمایش با جایگزینی را نمی دهد و حل با تعیین ریشه منجر به نیاز به حل یک نابرابری غیر منطقی می شود. . حل چنین مثالی را در زیر در بخش انتقال از یک معادله غیرمنطقی به یک معادله با مدول نشان خواهیم داد.

چه زمانی هنوز مشاهده امکان معرفی یک متغیر جدید بسیار آسان است؟ هنگامی که معادله شامل کسرهای "معکوس" و (با اجازه شما، آنها را با قیاس با ) معکوس می نامیم. چگونه یک معادله گویا را با کسری مانند این حل کنیم؟ یکی از این کسرها را به عنوان یک متغیر جدید t در نظر می گیریم، در حالی که کسری دیگر از طریق متغیر جدید به صورت 1/t بیان می شود. در معادلات غیر منطقی، معرفی یک متغیر جدید به این روش کاملاً عملی نیست، زیرا برای خلاص شدن از ریشه ها، به احتمال زیاد، باید متغیر دیگری را معرفی کنید. بهتر است فوراً آن را به عنوان جدید بپذیرید ریشه متغیراز کسری خوب، سپس معادله اصلی را با استفاده از یکی از تساوی ها تبدیل کنید و ، که به شما امکان می دهد به یک معادله با یک متغیر جدید بروید. بیایید به یک مثال نگاه کنیم.

گزینه های جایگزین شناخته شده را فراموش نکنید. به عنوان مثال، عبارت x+1/x و x 2 +1/x 2 ممکن است در ضبط یک معادله غیرمنطقی ظاهر شود، که باعث می شود در مورد امکان معرفی یک متغیر جدید x+1/x=t فکر کنید. این فکر به طور تصادفی به وجود نمی آید، زیرا ما قبلاً زمانی که تصمیم گرفتیم این کار را انجام دادیم معادلات متقابل. این روش معرفی یک متغیر جدید، مانند سایر روش‌هایی که قبلاً برای ما شناخته شده است، باید در حل معادلات غیرمنطقی و همچنین معادلات انواع دیگر در نظر گرفته شود.

ما به سمت معادلات غیرمنطقی پیچیده تر می رویم که در آنها تشخیص یک عبارت مناسب برای معرفی یک متغیر جدید دشوارتر است. و بیایید با معادلاتی شروع کنیم که در آنها عبارات رادیکال یکسان هستند، اما، بر خلاف موردی که در بالا بحث شد، توان بزرگتر یک ریشه به طور کامل بر توان کوچکتر ریشه دیگر تقسیم نمی شود. بیایید نحوه انتخاب عبارت مناسب برای معرفی یک متغیر جدید در چنین مواردی را دریابیم.

هنگامی که عبارات رادیکال یکسان هستند، و توان بزرگتر یک ریشه k 1 به طور کامل بر توان کوچکتر ریشه دیگر k 2 تقسیم نشده است، ریشه درجه LCM (k 1، k 2) را می توان به عنوان یک در نظر گرفت. متغیر جدید، جایی که LCM است. به عنوان مثال، در یک معادله غیر منطقی، ریشه ها برابر با 2 و 3 هستند، سه مضرب دو نیست، LCM(3, 2)=6، بنابراین یک متغیر جدید را می توان به عنوان معرفی کرد. . علاوه بر این، تعریف ریشه و همچنین ویژگی‌های ریشه‌ها به شما امکان می‌دهد معادله اصلی را به منظور انتخاب صریح عبارت تغییر دهید و سپس آن را با یک متغیر جدید جایگزین کنید. ما یک راه حل کامل و دقیق برای این معادله ارائه می دهیم.

با استفاده از اصول مشابه، متغیر جدیدی در مواردی که عبارات زیر ریشه ها در درجه متفاوت هستند، معرفی می شود. به عنوان مثال، اگر در یک معادله غیرمنطقی، متغیر فقط در زیر ریشه ها قرار داشته باشد، و خود ریشه ها شکل و را داشته باشند، باید حداقل مضرب مشترک ریشه های LCM(3, 4) = 12 را محاسبه کنید و بگیرید. علاوه بر این، با توجه به خواص ریشه ها و قوا، ریشه ها باید به صورت تبدیل شوند و بر این اساس، که به شما امکان می دهد یک متغیر جدید معرفی کنید.

شما می توانید در معادلات غیر منطقی که در زیر ریشه هایی با توان های مختلف کسرهای معکوس متقابلاً و . یعنی توصیه می شود ریشه ای با اندیکاتوری برابر با LCM اندیکاتورهای ریشه به عنوان یک متغیر جدید بگیرید. خوب، سپس به معادله با یک متغیر جدید بروید، که به ما امکان می دهد برابری ایجاد کنیم و ، تعریف ریشه و همچنین خواص ریشه ها و قدرت ها. بیایید به یک مثال نگاه کنیم.

حال بیایید در مورد معادلاتی صحبت کنیم که در آنها فقط می توان به امکان معرفی یک متغیر جدید مشکوک بود و در صورت موفقیت، تنها پس از تحولات کاملاً جدی باز می شود. به عنوان مثال، تنها پس از یک سری تبدیل های نه چندان آشکار، یک معادله غیرمنطقی به شکل می آید که راه را برای جایگزینی باز می کند. . بیایید برای این مثال راه حلی ارائه دهیم.

در نهایت، اجازه دهید کمی عجیب و غریب اضافه کنیم. گاهی اوقات یک معادله غیرمنطقی را می توان با معرفی بیش از یک متغیر حل کرد. این رویکرد برای حل معادلات در کتاب درسی پیشنهاد شده است. برای حل معادله غیرمنطقی وجود دارد پیشنهاد می شود دو متغیر وارد شود . کتاب درسی یک راه حل کوتاه ارائه می دهد، بیایید جزئیات را بازیابی کنیم.

حل معادلات غیر منطقی با استفاده از روش فاکتورگیری

علاوه بر روش معرفی یک متغیر جدید، از روش‌های عمومی دیگری نیز برای حل معادلات غیرمنطقی استفاده می‌شود، به ویژه روش فاکتورسازی. مقاله موجود در پیوند ذکر شده در جمله قبل به تفصیل بحث می کند که چه زمانی از روش فاکتورسازی استفاده می شود، ماهیت آن چیست و بر چه اساسی استوار است. در اینجا ما بیشتر به خود روش علاقه نداریم، بلکه به استفاده از آن در حل معادلات غیر منطقی علاقه داریم. بنابراین، ما مطالب را به شرح زیر ارائه خواهیم کرد: به طور خلاصه مفاد اصلی روش را یادآوری می کنیم، پس از آن به طور مفصل راه حل های معادلات غیر منطقی مشخصه را با استفاده از روش فاکتورگیری تجزیه و تحلیل خواهیم کرد.

از روش فاکتورسازی برای حل معادلاتی استفاده می شود که در سمت چپ حاصلضرب و در سمت راست صفرها وجود دارد، یعنی برای حل معادلات فرم. f 1 (x) f 2 (x) f n (x)=0، که در آن f 1، f 2، ...، f n برخی از توابع هستند. ماهیت روش جایگزینی معادله است f 1 (x) f 2 (x) f n (x)=0روی متغیر x برای معادله اصلی.

قسمت اول جمله آخر در مورد گذار به کلیت از معروف آمده است دبستانواقعیت: حاصل ضرب چند عدد برابر با صفر است اگر و فقط اگر حداقل یکی از اعداد برابر با صفر باشد. حضور بخش دوم در مورد ODZ با این واقعیت توضیح داده می شود که گذار از معادله f 1 (x) f 2 (x) f n (x)=0به مجموعه ای از معادلات f 1 (x)=0, f 2 (x)=0, …, f n (x)=0ممکن است نابرابر باشد و منجر به ظهور ریشه های خارجی شود که در این حالت می توان با در نظر گرفتن ODZ از بین رفت. شایان ذکر است که غربال کردن ریشه های خارجی، در صورت راحتی، می تواند نه تنها از طریق ODZ، بلکه به روش های دیگر نیز انجام شود، به عنوان مثال، با بررسی با جایگزین کردن ریشه های یافت شده در معادله اصلی.

بنابراین، برای حل معادله f 1 (x) f 2 (x) f n (x)=0استفاده از روش فاکتورسازی، از جمله غیرمنطقی، ضروری است

• به مجموعه معادلات بروید f 1 (x)=0, f 2 (x)=0, …, f n (x)=0,
• حل مجموعه تشکیل شده،
• اگر مجموعه راه حل ها وجود ندارد، پس نتیجه بگیرید که معادله اصلی ریشه ندارد. اگر ریشه وجود دارد، ریشه های خارجی را از بین ببرید.

بیایید به بخش عملی آن برویم.

سمت چپ معادلات غیرمنطقی معمولی که با فاکتورگیری حل می شوند، حاصل چندین عبارت جبری، معمولاً دوجمله ای خطی و سه جمله ای مربع، و چندین ریشه با عبارات جبری زیر آنها. در سمت راست صفر وجود دارد. چنین معادلاتی برای کسب مهارت های اولیه در حل آنها ایده آل هستند. ما با حل یک معادله مشابه شروع خواهیم کرد. در این راستا سعی خواهیم کرد به دو هدف دست یابیم:

• هنگام حل یک معادله غیرمنطقی، تمام مراحل الگوریتم روش فاکتورسازی را در نظر بگیرید،
• سه راه اصلی الک کردن ریشه های خارجی (با ODZ، شرایط ODZ و جایگزینی مستقیم راه حل ها در معادله اصلی) را به یاد بیاورید.

معادله غیرمنطقی زیر معمولی است به این معنا که هنگام حل آن با استفاده از روش فاکتورسازی، فیلتر کردن ریشه های خارجی با توجه به شرایط ODZ راحت است و نه بر اساس ODZ در قالب یک مجموعه عددی، زیرا به دست آوردن ODZ در قالب یک عامل عددی دشوار است. مشکل این است که یکی از شرایط تعریف DL است نابرابری غیر منطقی . این رویکرد برای غربال کردن ریشه‌های اضافی، انجام آن را بدون حل آن ممکن می‌سازد، علاوه بر این، گاهی اوقات در دوره مدرسه ریاضیدانان اصلاً در مورد حل نابرابری‌های غیرمنطقی آموزش داده نمی‌شوند.

وقتی معادله یک حاصلضرب در سمت چپ و یک صفر در سمت راست داشته باشد خوب است. در این صورت می توانید بلافاصله به مجموعه معادلات بروید، آن را حل کنید، ریشه های خارج از معادله اصلی را پیدا کرده و دور بیندازید که جواب مورد نظر را می دهد. اما اغلب معادلات شکل متفاوتی دارند. اگر در همان زمان فرصتی وجود دارد که آنها را به شکلی مناسب برای اعمال روش فاکتورسازی تبدیل کنیم، پس چرا سعی نکنیم تبدیل های مناسب را انجام دهیم. به عنوان مثال، برای بدست آوردن حاصلضرب سمت چپ معادله غیر منطقی زیر، کافی است به اختلاف مربع ها متوسل شویم.

کلاس دیگری از معادلات وجود دارد که معمولاً با فاکتورگیری حل می شوند. این شامل معادلاتی است که هر دو طرف آنها محصولاتی هستند که عامل یکسانی در قالب یک عبارت با یک متغیر دارند. برای مثال، این معادله غیرمنطقی است . شما می توانید با تقسیم هر دو طرف معادله بر یک عامل پیش بروید، اما فراموش نکنید که مقادیری را که باعث ناپدید شدن این عبارات می شوند را به طور جداگانه بررسی کنید، در غیر این صورت ممکن است راه حل ها را از دست بدهید، زیرا تقسیم هر دو طرف معادله به یک عبارت ممکن است یک تحول نابرابر باشد. استفاده از روش فاکتورسازی قابل اطمینان تر است. واضح است که برای انجام این کار ابتدا باید حاصلضرب را در سمت چپ معادله و صفر را در سمت راست قرار دهید. آسان است: فقط عبارت را از سمت راست به چپ حرکت دهید، علامت آن را تغییر دهید، و فاکتور مشترک را از پرانتز خارج کنید. اجازه دهید راه حل کامل یک معادله غیرمنطقی مشابه، اما کمی پیچیده تر را نشان دهیم.

شروع حل هر معادله (در واقع، حل بسیاری از مسائل دیگر) با یافتن ODZ مفید است، به خصوص اگر ODZ به راحتی پیدا شود. اجازه دهید برخی از واضح‌ترین استدلال‌ها را به نفع این موضوع بیان کنیم.

بنابراین، با دریافت وظیفه حل یک معادله، نباید بدون نگاه کردن به عقب، در تبدیلات و محاسبات عجله کنید، شاید فقط به ODZ نگاه کنید؟ این به وضوح با معادله غیرمنطقی زیر نشان داده می شود.

روش گرافیکی کاربردی

روش گرافیکی کاربردی- این یکی دیگر است روش کلیحل معادلات مانند هر روش کلی، به شما امکان می دهد معادلات انواع مختلف را حل کنید، به ویژه، می توان از آن برای حل معادلات غیر منطقی استفاده کرد. این کاربرد روش عملکردی- گرافیکی است که ما را در چارچوب مقاله فعلی بیشتر مورد توجه قرار می دهد.

روش تابعی- گرافیکی شامل توابع، خواص و نمودارها در فرآیند حل معادلات است. این یک ابزار بسیار قدرتمند است. و مانند هر ابزار قدرتمندی، معمولاً زمانی که ابزارهای ساده تر ناتوان هستند به آن متوسل می شود.

سه جهت اصلی روش تابعی- گرافیکی برای حل معادلات وجود دارد:

• اولین مورد استفاده از نمودارهای تابع است. این جهت را روش گرافیکی می نامند.
• دوم استفاده از خواص توابع افزایش و کاهش است.
• سومین مورد استفاده از ویژگی های توابع محدود است. احتمالاً تحت روش ارزیابی، که در اخیرابا گوش، آنها دقیقاً این جهت از روش عملکردی - گرافیکی را درک می کنند.

این سه جهت، کنار آمدن با اکثریت قریب به اتفاق معادلات غیرمنطقی را ممکن می‌سازد، که به طور کلی روش تابعی- گرافیکی مناسب است. در دنباله مشخص شده - استفاده از نمودارها، استفاده از افزایش-کاهش، استفاده از خواص توابع محدود - ما راه حل های معمولی ترین نمونه ها را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد.

روش گرافیکی

بنابراین، اجازه دهید با روش گرافیکی برای حل معادلات غیر منطقی شروع کنیم.

با توجه به روش گرافیکی شما نیاز دارید:

• ابتدا در یک سیستم مختصات، نمودارهایی از توابع f و g مربوط به سمت چپ و راست معادله حل شده بسازید.
• دوم، بر اساس موقعیت نسبی آنها، در مورد ریشه های معادله نتیجه گیری کنید:
  • اگر نمودار توابع همدیگر را قطع نکنند، معادله هیچ جوابی ندارد،
  • اگر نمودار توابع دارای نقاط تقاطع باشند، ریشه های معادله ابسیساهای این نقاط هستند.

حل معادلات غیر منطقی از طریق ODZ

اغلب بخشی از فرآیند حل معادلات است. دلایلی که فرد را مجبور به جستجوی ODZ می کند می تواند متفاوت باشد: لازم است تبدیل معادله انجام شود، و همانطور که مشخص است، آنها بر روی ODZ انجام می شوند، روش حل انتخابی شامل یافتن ODZ، انجام یک بررسی است. با استفاده از ODZ و غیره و در موارد خاص، ODZ نه تنها به عنوان یک ابزار کمکی یا کنترلی عمل می کند، بلکه به فرد اجازه می دهد تا راه حلی برای معادله به دست آورد. در اینجا منظور ما دو حالت است: زمانی که ODZ یک مجموعه خالی است و زمانی که ODZ مجموعه ای محدود از اعداد است.

واضح است که اگر ODZ یک معادله، به ویژه یک معادله غیرمنطقی، یک مجموعه خالی باشد، معادله هیچ راه حلی ندارد. بنابراین ODZ متغیر x برای معادله غیرمنطقی زیر یک مجموعه خالی است، به این معنی که معادله هیچ راه حلی ندارد.

هنگامی که ODZ یک متغیر برای یک معادله مجموعه ای محدود از اعداد باشد، با بررسی متوالی با جایگزینی این اعداد، می توان به حل معادله دست یافت. به عنوان مثال یک معادله غیرمنطقی را در نظر بگیرید که ODZ از دو عدد تشکیل شده است و جایگزینی نشان می دهد که تنها یکی از آنها ریشه معادله است که از آن نتیجه می شود که این ریشه تنها راه حل معادله است.

حل معادلات غیر منطقی به شکل "کسری برابر با صفر"

هر معادله شکل "کسری برابر با صفر"به طور خاص، غیر منطقی، در ODZ متغیر x برای این معادله معادل معادله f(x)=0 است. از این بیانیه دو رویکرد برای حل معادلات از این نوع به دست می آید:

واضح است که زمانی که یافتن ODZ آسانتر از حل معادله f(x)=0 باشد، بهتر است به اولین رویکرد برای حل معادله متوسل شویم. در این حالت، ODZ ممکن است یک مجموعه خالی باشد یا از چندین عدد تشکیل شده باشد، در این موارد می توان بدون حل معادله f(x) = 0 (نگاه کنید به). بیایید یک معادله غیرمنطقی معمولی را حل کنیم.

روش دوم برای حل معادله زمانی ارجح است که حل معادله f(x) = 0 بسیار آسان باشد. پس از حل معادله f(x)=0، فقط بررسی ریشه های یافت شده باقی می ماند که معمولاً به یکی از روش های زیر انجام می شود:

• از طریق جایگزینی به مخرج معادله اصلی، ریشه های یافت شده که مخرج را به صفر یا به یک عبارت بی معنی تبدیل می کنند، ریشه نیستند و ریشه های یافت شده که مخرج را به عددی غیر صفر تبدیل می کنند، ریشه های معادله اصلی هستند. .
• مستقیماً از ODZ (زمانی که ODZ به راحتی پیدا می شود، در حالی که رویکرد اول و دوم برای حل معادلات غیر منطقی به شکل "کسری برابر با صفر" عملاً معادل هستند)، ریشه های یافت شده متعلق به ODZ ریشه های معادله اصلی هستند. و آنهایی که تعلق ندارند، نیستند.
• یا از طریق شرایط ODZ (معمولاً نوشتن شرایطی که ODZ را تعریف می کند آسان است، اما استفاده از آنها برای یافتن ODZ در قالب یک مجموعه عددی دشوار است)، آنهایی از ریشه های یافت شده که همه شرایط را برآورده می کنند. از ODZ ریشه های معادله اصلی هستند، بقیه نه.

معادلات غیرمنطقی که به برابری های عددی تقلیل می یابند

به ماژول ها بروید

اگر در نماد یک معادله غیر منطقی در زیر علامت یک درجه زوج درجه ای از عبارت با توانی برابر با توان ریشه وجود داشته باشد، می توانید به مدول بروید. این تبدیل به دلیل یکی از فرمول ها صورت می گیرد، که در آن 2·m یک عدد زوج است، a هر عدد واقعی است. شایان ذکر است که این تبدیل تبدیل معادل معادله است. در واقع، با چنین تبدیلی، ریشه با یک ماژول یکسان برابر جایگزین می شود، در حالی که ODZ تغییر نمی کند.

اجازه دهید یک معادله غیر منطقی مشخصه را در نظر بگیریم که با عبور از مدول قابل حل است.

آیا همیشه ارزش جابجایی به ماژول ها را در صورت امکان دارد؟ در اکثریت قریب به اتفاق موارد، چنین انتقالی موجه است. استثناء مواردی است که بدیهی است روش های جایگزینحل یک معادله غیرمنطقی به کار نسبتاً کمتری نیاز دارد. بیایید یک معادله غیرمنطقی را در نظر بگیریم که می توان آن را از طریق انتقال به ماژول ها و برخی روش های دیگر حل کرد، به عنوان مثال، با دو طرف معادله یا با تعیین ریشه، و ببینیم کدام راه حل ساده ترین و فشرده ترین خواهد بود.

در مثال حل شده، راه حل برای تعیین ریشه ارجح به نظر می رسد: هم از راه حل از طریق انتقال به ماژول و هم از راه حل با مربع کردن هر دو طرف معادله کوتاه تر و ساده تر است. آیا می‌توانستیم قبل از حل معادله با استفاده از هر سه روش، این را بدانیم؟ بیایید با آن روبرو شویم، واضح نبود. بنابراین وقتی به چندین روش راه حل نگاه می کنید و بلافاصله مشخص نیست که کدام یک را ترجیح دهید، باید سعی کنید با هر یک از آنها راه حلی پیدا کنید. اگر این کار انجام شود، پس خوب است. اگر روش انتخابی به نتیجه نمی رسد یا راه حل بسیار دشوار است، باید روش دیگری را امتحان کنید.

در پایان این نکته به معادله غیرمنطقی بازگردیم. در پاراگراف قبلی قبلاً آن را حل کردیم و دیدیم که تلاش برای حل آن از طریق جداسازی رادیکال و دو طرف معادله منجر به برابری عددی 0=0 و عدم امکان نتیجه‌گیری در مورد ریشه‌ها شد. و راه حل برای تعیین ریشه شامل حل یک نابرابری غیر منطقی است که به خودی خود بسیار دشوار است. روش خوبیهراه حل این معادله غیرمنطقی رفتن به ماژول ها است. بیایید یک راه حل دقیق ارائه دهیم.

تبدیل معادلات غیر منطقی

حل معادلات غیر منطقی تقریباً هرگز بدون تبدیل آنها کامل نمی شود. زمانی که معادلات غیرمنطقی را مطالعه می کنیم، از قبل با تبدیل معادلات معادلات آشنا شده ایم. هنگام حل معادلات غیر منطقی، از آنها به همان روشی استفاده می شود که در حل انواع معادلات قبلاً مطالعه شده است. نمونه‌هایی از چنین تبدیل‌های معادلات غیرمنطقی را در پاراگراف‌های قبلی مشاهده کردید، و می‌بینید که آنها کاملاً طبیعی درک شدند، زیرا برای ما آشنا هستند. در بالا، ما همچنین در مورد یک تبدیل جدید برای ما یاد گرفتیم - بالا بردن هر دو طرف معادله به یک قدرت، که در حالت کلی برای معادلات غیرمنطقی معمول است، معادل نیست. برای دانستن تمام نکات ظریفی که در حین اجرای آنها به وجود می آیند و از اشتباهات جلوگیری می کنند، ارزش دارد که در مورد همه این تحولات با جزئیات صحبت کنیم.

تبدیل معادلات غیر منطقی را به ترتیب زیر تحلیل خواهیم کرد:

1. جایگزین کردن عبارات با عبارات مساوی که ODZ را تغییر نمی دهند.
2. اضافه کردن یک عدد به دو طرف یک معادله یا کم کردن یک عدد از دو طرف یک معادله.
3. افزودن یک عبارت، که مقدار خاصیت را تغییر نمی‌دهد، به دو طرف معادله، یا کم کردن همان عبارت، که مقدار خاصیت را تغییر نمی‌دهد، از هر دو طرف معادله.
4. انتقال عبارت از یک طرف معادله به سمت دیگر با علامت مخالف.
5. ضرب و تقسیم هر دو طرف یک معادله در عددی مشابه غیر از صفر.
6. ضرب و تقسیم هر دو طرف یک معادله در یک عبارت، که دامنه مقادیر مجاز متغیر را تغییر نمی دهد و روی آن به صفر نمی رسد.
7. بالا بردن دو طرف معادله به توان یکسان.

بنابراین، دامنه سؤالات مشخص شده است. بیایید درک آنها را با مثال شروع کنیم.

اولین تبدیلی که ما را مورد توجه قرار می دهد، جایگزینی عبارات در معادله با عبارات یکسان است. می دانیم که اگر VA برای معادله ای که در نتیجه تبدیل به دست می آید با VA معادله اصلی یکسان باشد، معادل است. از اینجا مشخص می شود که دو دلیل اصلی برای وقوع خطا در هنگام انجام این تبدیل وجود دارد: اولی تغییر در OD است که در نتیجه تبدیل رخ می دهد، دوم جایگزینی یک عبارت با یک عبارت است. که به طور یکسان با آن برابر نیست. اجازه دهید با در نظر گرفتن نمونه هایی از تبدیل های معمولی از این نوع، این جنبه ها را با جزئیات و به ترتیب بررسی کنیم.

ابتدا، اجازه دهید به تبدیل های معمولی معادلات بپردازیم، که عبارتند از جایگزینی یک عبارت با یک عبارت یکسان، که همیشه معادل هستند. در اینجا لیست مربوطه آمده است.

• بازآرایی شرایط و عوامل این تبدیل را می توان در هر دو سمت چپ و راست معادله غیر منطقی انجام داد. به عنوان مثال می توان از آن برای گروه بندی و سپس کاهش عبارات مشابه به منظور ساده کردن شکل معادله استفاده کرد. بازآرایی عبارات یا عوامل بدیهی است که تبدیل معادل معادله است. این قابل درک است: عبارت اصلی و عبارت با اصطلاحات یا عوامل بازآرایی شده به طور یکسان برابر هستند (البته اگر بازآرایی به درستی انجام شود) و بدیهی است که چنین تبدیلی ODZ را تغییر نمی دهد. بیایید یک مثال بزنیم. در سمت چپ معادله غیرمنطقی در حاصلضرب x·3·x، می‌توانید عامل اول و دوم x و 3 را مبادله کنید، که متعاقباً به شما امکان می‌دهد چند جمله‌ای را در زیر علامت ریشه به شکل استاندارد نشان دهید. و در سمت راست معادله در مجموع 4+x+5 می توانید عبارت های 4 و x را با هم عوض کنید که در آینده به شما امکان می دهد اعداد 4 و 5 را اضافه کنید. پس از این بازآرایی ها، معادله غیرمنطقی شکل می گیرد، معادله حاصل معادل معادله اصلی است.
• پرانتز در حال گسترش معادل بودن این تبدیل معادلات واضح است: عبارات قبل و بعد از باز کردن براکت ها به طور یکسان برابر هستند و محدوده مقادیر مجاز یکسانی دارند. برای مثال، معادله غیرمنطقی را در نظر بگیرید . راه حل او مستلزم باز کردن پرانتز است. با باز کردن براکت های سمت چپ معادله و همچنین سمت راست معادله به معادله ای معادل می رسیم.
• گروه بندی اصطلاحات و/یا عوامل. این تبدیل یک معادله اساساً نشان‌دهنده جایگزینی هر عبارتی است که بخشی از معادله است با یک عبارت برابر با عبارات یا عوامل گروه‌بندی شده. بدیهی است که این ODZ را تغییر نمی دهد. این بدان معنی است که تبدیل نشان داده شده معادله معادل است. برای مثال، اجازه دهید یک معادله غیرمنطقی را در نظر بگیریم. مرتب کردن مجدد اصطلاحات (دو پاراگراف بالا در مورد آن صحبت کردیم) و گروه بندی اصطلاحات به ما امکان می دهد تا به معادله ای معادل برویم. هدف از چنین گروه بندی اصطلاحات به وضوح قابل مشاهده است - انجام تبدیل معادل زیر، که امکان معرفی یک متغیر جدید را فراهم می کند.
• پرانتز کردن عامل مشترک واضح است که عبارات قبل از قرار دادن عامل مشترک خارج از پرانتز و بعد از قرار دادن عامل مشترک خارج از پرانتز یکسان هستند. همچنین واضح است که قرار دادن فاکتور مشترک خارج از براکت، VA را تغییر نمی دهد. بنابراین، خارج کردن عامل مشترک از داخل پرانتز در عبارتی که بخشی از یک معادله است، تبدیل معادل معادله است. این تبدیل به عنوان مثال برای نشان دادن سمت چپ معادله به عنوان یک محصول به منظور حل آن توسط فاکتورگیری استفاده می شود. اینجا مثال خاص. معادله غیرمنطقی را در نظر بگیرید. سمت چپاین معادله را می توان به عنوان یک محصول نشان داد، برای انجام این کار، باید عامل مشترک را از براکت ها خارج کنید. در نتیجه این تبدیل، معادله غیرمنطقی به دست خواهد آمد ، معادل اصلی است که با فاکتورگیری قابل حل است.
• جایگزینی عبارات عددی با مقادیر آنها. واضح است که اگر معادله حاوی یک عبارت عددی خاص باشد و این عبارت عددی را با مقدار آن (به درستی محاسبه شده) جایگزین کنیم، چنین جایگزینی معادل خواهد بود. در واقع، در اصل، یک عبارت با یک عبارت یکسان جایگزین می شود، و در همان زمان ODZ معادله تغییر نمی کند. بنابراین، جایگزینی در معادله غیر منطقی از مجموع دو عدد −3 و 1 و مقدار این مجموع که برابر با 2 است، معادله غیرمنطقی معادل به دست می‌آوریم. به طور مشابه، می توان یک تبدیل معادل معادله غیرمنطقی را انجام داد ، انجام عملیات با اعداد زیر علامت ریشه (1+2=3 و )، این تبدیل ما را به معادله معادل هدایت می کند .
• انجام عملیات با تک جمله ها و چند جمله ای های موجود در نماد یک معادله غیر منطقی. واضح است که اجرای صحیحاین اقدامات منجر به یک معادله معادل خواهد شد. در واقع، در این حالت عبارت با یک عبارت یکسان جایگزین می شود و OD تغییر نخواهد کرد. مثلاً در معادله غیرمنطقی می‌توانید تک‌جملات x 2 و 3 x 2 را اضافه کنید و به معادله معادل بروید . مثال دیگر: تفریق چند جمله‌ای در سمت چپ یک معادله غیرمنطقی، تبدیلی معادل است که منجر به معادله معادل می‌شود. .

ما همچنان تبدیل معادلات را در نظر می گیریم که عبارتند از جایگزینی عبارات با عبارات یکسان. چنین تبدیل‌هایی نیز ممکن است نابرابر باشند، زیرا می‌توانند ODZ را تغییر دهند. به ویژه، ممکن است گسترش ODZ وجود داشته باشد. این می تواند هنگام کاهش عبارات مشابه، هنگام کاهش کسرها، هنگام جایگزینی یک محصول با چندین عامل صفر یا کسری با عددی برابر با صفر در صفر، و اغلب هنگام استفاده از فرمول های مربوط به خواص ریشه ها رخ دهد. به هر حال، استفاده بی دقت از خواص ریشه ها نیز می تواند منجر به باریک شدن ODZ شود. و اگر تبدیل هایی که ODZ را گسترش می دهند در هنگام حل معادلات قابل قبول باشند (آنها می توانند باعث ظاهر شدن ریشه های خارجی شوند که به روشی خاص حذف می شوند) ، باید از تبدیل هایی که ODZ را باریک می کنند کنار گذاشته شوند ، زیرا می توانند باعث از بین رفتن ریشه ها شوند. بیایید به این نکات بپردازیم.

اولین معادله غیر منطقی است . حل آن با تبدیل معادله به شکل آغاز می شود بر اساس یکی از ویژگی های درجه. این تبدیل معادل است، زیرا عبارت با یک عبارت یکسان جایگزین می شود و ODZ تغییر نمی کند. اما انتقال بعدی به معادله، که بر اساس تعریف ریشه انجام می شود، ممکن است یک تبدیل نابرابر معادله باشد، زیرا با چنین تبدیلی ODZ گسترش می یابد. اجازه دهید جواب کامل این معادله را نشان دهیم.

دومین معادله غیرمنطقی که به خوبی برای نشان دادن این موضوع مناسب است که تبدیل معادلات غیرمنطقی با استفاده از خواص ریشه ها و تعریف ریشه می تواند نابرابر باشد، به این شکل است. . خوب است اگر به خودتان اجازه ندهید راه حل را اینگونه شروع کنید

یا همینطور

بیایید با مورد اول شروع کنیم. اولین تبدیل، گذار از معادله غیرمنطقی اصلی است به معادله شامل جایگزینی عبارت x+3 با عبارت . این عبارات به طور یکسان برابر هستند. اما با چنین جایگزینی، ODZ از مجموعه (-∞، -3)∪[-1، +∞) به مجموعه [-1، +∞) باریک می شود. و ما موافقت کردیم که اصلاحاتی را که DLZ را محدود می کند کنار بگذاریم، زیرا آنها می توانند به از دست دادن ریشه ها منجر شوند.

در مورد دوم چه اشکالی دارد؟ گسترش ODZ در طول آخرین انتقال از به عدد -3؟ نه تنها این. اولین انتقال از معادله غیرمنطقی اصلی، نگرانی بزرگی است به معادله . ماهیت این انتقال جایگزینی عبارت x+3 با عبارت است. اما این عبارات به طور یکسان برابر نیستند: برای x+3<0 значения этих выражений не совпадают. Действительно, согласно свойству квадратного корня из квадрата ، که از آن نتیجه می شود که .

پس چگونه می توان این معادله غیرمنطقی را حل کرد ? در اینجا بهتر است بلافاصله یک متغیر جدید معرفی کنید ، در این حالت (x+3)·(x+1)=t 2. بیایید یک راه حل دقیق ارائه دهیم.

اجازه دهید اولین مورد از تبدیل معادلات در حال تجزیه و تحلیل را خلاصه کنیم - جایگزینی عبارتی که بخشی از یک معادله است با عبارتی مشابه آن. هر بار که انجام می شود، دو شرط لازم است: اول اینکه عبارت با یک عبارت یکسان جایگزین شود و دوم اینکه باریک شدن ODZ رخ ندهد. اگر چنین جایگزینی ODZ را تغییر ندهد، نتیجه تبدیل یک معادله معادل خواهد بود. اگر در طول چنین جایگزینی ODZ گسترش یابد، ممکن است ریشه های خارجی ظاهر شود و باید مراقب فیلتر کردن آنها بود.

بیایید به دومین تبدیل لیست برویم - با اضافه کردن یک عدد به هر دو طرف معادله و کم کردن همان عدد از هر دو طرف معادله. این تبدیل معادل معادله است. ما معمولاً زمانی به آن متوسل می شویم که اعداد یکسانی در سمت چپ و راست معادله وجود داشته باشد، کم کردن این اعداد از دو طرف معادله به ما امکان می دهد در آینده از شر آنها خلاص شویم. به عنوان مثال، در هر دو سمت چپ و راست معادله غیر منطقی یک اصطلاح 3 وجود دارد. با تفریق یک سه گانه از دو طرف معادله، معادله ای به دست می آید که پس از انجام دستکاری با اعداد، به شکل و ساده تر به . با توجه به نتیجه، تبدیل مورد نظر با انتقال یک عبارت از یک قسمت معادله به قسمت دیگر با علامت مخالف، وجه اشتراک دارد، اما در مورد این تبدیل کمی بعد بیشتر می شود. نمونه های دیگری از این تبدیل وجود دارد که استفاده می شود. به عنوان مثال، در یک معادله غیرمنطقی، افزودن عدد 3 به دو طرف برای سازماندهی یک مربع کامل در سمت چپ معادله و تبدیل بیشتر معادله برای معرفی یک متغیر جدید ضروری است.

تعمیم تبدیلی که قبلاً مورد بحث قرار گرفت، اضافه کردن به هر دو طرف معادله یا کم کردن همان عبارت از هر دو طرف معادله است. این تبدیل معادلات زمانی معادل است که ODZ تغییر نکند. این تبدیل عمدتاً به منظور خلاص شدن از شر اصطلاحات یکسانی که به طور همزمان در سمت چپ و راست معادله هستند انجام می شود. بیایید یک مثال بزنیم. فرض کنید یک معادله غیرمنطقی داریم. واضح است که در هر دو سمت چپ و راست معادله یک عبارت وجود دارد. منطقی است که این عبارت را از دو طرف معادله کم کنیم: . در مورد ما، چنین انتقالی ODZ را تغییر نمی دهد، بنابراین تبدیل انجام شده معادل است. و این به منظور حرکت بیشتر به یک معادله غیر منطقی ساده تر انجام می شود.

تبدیل بعدی معادلات که در این پاراگراف به آن خواهیم پرداخت، انتقال عبارت از یک قسمت معادله به قسمت دیگر با علامت مخالف است. این تبدیل معادله همیشه معادل است. دامنه کاربرد آن بسیار گسترده است. با کمک آن می‌توانید برای مثال، رادیکال را جدا کنید یا عبارت‌های مشابه را در یک قسمت از معادله جمع‌آوری کنید، تا بتوانید آنها را کاهش دهید و در نتیجه شکل معادله را ساده کنید. بیایید یک مثال بزنیم. برای حل یک معادله غیر منطقی می توانید عبارات −1 را به سمت راست حرکت دهید، علامت آنها را تغییر دهید، این یک معادله معادل به دست می دهد. ، که می توان آن را بیشتر حل کرد، برای مثال، با مربع کردن دو طرف معادله.

ما بیشتر در مسیر در نظر گرفتن تبدیل معادلات حرکت می کنیم تا هر دو طرف معادله را در یک عدد متفاوت از صفر ضرب یا تقسیم کنیم. این تبدیل تبدیل معادل معادله است. ضرب دو طرف یک معادله در یک عدد در درجه اول برای حرکت از کسر به اعداد کامل استفاده می شود. به عنوان مثال، به طوری که در معادله غیر منطقی برای خلاص شدن از شر کسرها باید هر دو قسمت را در 8 ضرب کنید که معادله ای معادل به دست می آید. ، که بیشتر به شکل کاهش می یابد . تقسیم دو طرف معادله عمدتاً به منظور کاهش ضرایب عددی انجام می شود. برای مثال، هر دو طرف معادله غیرمنطقی توصیه می شود که بر ضرایب عددی 18 و 12 تقسیم شود، یعنی بر 6، چنین تقسیمی معادله ای معادل به دست می دهد. ، که بعداً می توانیم از آن به معادله برویم ، که دارای ضرایب کوچکتر و در عین حال عدد صحیح است.

تبدیل بعدی یک معادله ضرب و تقسیم هر دو طرف معادله در یک عبارت است. این تبدیل زمانی معادل است که عبارتی که توسط آن ضرب یا تقسیم انجام می شود، دامنه مقادیر مجاز متغیر را تغییر ندهد و روی آن به صفر تبدیل نشود. به طور معمول، ضرب هر دو طرف در یک عبارت مشابه برای اهداف مشابه با ضرب هر دو طرف یک معادله در یک عدد است. بیشتر اوقات ، برای خلاص شدن از شر کسرها با تبدیل های بعدی به این تبدیل متوسل می شود. بیایید این را با یک مثال نشان دهیم.

معادلات غیرمنطقی را نادیده نخواهیم گرفت که برای حل آنها باید به تقسیم دو طرف معادله بر یک عبارت متوسل شویم. کمی بالاتر اشاره کردیم که اگر چنین تقسیمی بر ODZ تأثیر نگذارد و این عبارت روی ODZ ناپدید نشود، تبدیلی معادل است. اما گاهی اوقات تقسیم باید با عبارتی انجام شود که در ODZ ناپدید می شود. اگر همزمان صفرهای این عبارت را به طور جداگانه بررسی کنید تا ببینید آیا ریشه های معادله در حال حل در بین آنها وجود دارد، کاملاً ممکن است، در غیر این صورت ممکن است این ریشه ها در طول چنین تقسیم بندی از بین بروند.

آخرین تبدیل معادلات غیرمنطقی که در این پاراگراف به آن خواهیم پرداخت، بالا بردن دو طرف معادله به یک توان است. این تبدیل را می توان برای معادلات غیر منطقی معمولی نامید، زیرا عملاً هنگام حل معادلات انواع دیگر از آن استفاده نمی شود. ما قبلاً در مقاله فعلی که بررسی کردیم به این تغییر اشاره کرده ایم. همچنین نمونه های زیادی از این تحول وجود دارد. ما در اینجا خودمان را تکرار نخواهیم کرد، اما فقط به یاد می آوریم که در حالت کلی این دگرگونی معادل نیست. می تواند منجر به ظهور ریشه های خارجی شود. بنابراین، اگر در طول فرآیند حل به این تبدیل روی آوردیم، ریشه های یافت شده باید برای وجود ریشه های خارجی در بین آنها بررسی شوند.

در مورد از دست دادن ریشه

چه چیزی می تواند باعث از بین رفتن ریشه در حل یک معادله شود؟ دلیل اصلی از بین رفتن ریشه ها، تبدیل معادله است که OD را باریک می کند. برای درک این نکته، اجازه دهید به یک مثال نگاه کنیم.

بیایید معادله غیرمنطقی را در نظر بگیریم ، که قبلاً در مقاله فعلی حل کرده ایم. ما حل آن را با یک هشدار نسبت به انجام تبدیل های زیر در معادله شروع کردیم

اولین تبدیل، گذار از معادله است به معادله - ODZ را باریک می کند. در واقع، ODZ برای معادله اصلی (-∞، -3)∪[-1، +∞) است، و برای معادله حاصل [-1، +∞) است. این مستلزم حذف بازه (-∞، -3) از در نظر گرفتن و در نتیجه از بین رفتن تمام ریشه های معادله از این بازه است. در مورد ما، هنگام انجام این تبدیل، تمام ریشه های معادله از بین می رود که دو مورد از آنها وجود دارد و .

بنابراین، اگر تبدیل معادله منجر به باریک شدن OD شود، تمام ریشه های معادله واقع در قسمتی که باریک شدن در آن رخ داده است از بین می رود. به همین دلیل است که ما می خواهیم به اصلاحاتی که DZ را محدود می کند متوسل نشویم. با این حال، یک هشدار وجود دارد.

این بند برای تبدیل هایی که در آن ODZ با یک یا چند عدد باریک می شود، اعمال می شود. معمولی ترین تبدیل، که در آن چندین عدد منفرد از ODZ خارج می شوند، تقسیم هر دو طرف معادله بر یک عبارت است. واضح است که هنگام انجام چنین تبدیلی، تنها ریشه هایی که در میان این مجموعه متناهی از اعداد هستند که هنگام باریک کردن ODZ از بین می روند، از بین می روند. بنابراین، اگر به طور جداگانه تمام اعداد این مجموعه را بررسی کنید تا ببینید آیا ریشه های معادله در حال حل در بین آنها وجود دارد، مثلاً با جایگزینی، و ریشه های یافت شده را در پاسخ قرار دهید، سپس می توانید تبدیل مورد نظر را انجام دهید. بدون ترس از دست دادن ریشه اجازه دهید این موضوع را با یک مثال توضیح دهیم.

بیایید معادله غیرمنطقی را در نظر بگیریم که قبلاً در پاراگراف قبل حل شده است. برای حل این معادله با معرفی یک متغیر جدید، مفید است که ابتدا دو طرف معادله را بر 1+x تقسیم کنیم. با این تقسیم، عدد -1 از ODZ خارج می شود. جایگزینی این مقدار با معادله اصلی، برابری عددی نادرست () را به دست می‌دهد، به این معنی که -1 ریشه معادله نیست. پس از چنین بررسی، می توانید با خیال راحت تقسیم مورد نظر را بدون ترس از دست دادن ریشه انجام دهید.

در خاتمه این نکته، متذکر می شویم که اغلب، هنگام حل معادلات غیر منطقی، تقسیم هر دو طرف معادله با عبارت یکسان، و همچنین تبدیل بر اساس ویژگی های ریشه ها، منجر به باریک شدن OD می شود. بنابراین هنگام انجام چنین تحولاتی باید بسیار مراقب باشید و اجازه ندهید ریشه ها از بین بروند.

درباره ریشه های خارجی و روش های غربالگری آنها

حل تعداد قریب به اتفاق معادلات از طریق تبدیل معادلات انجام می شود. برخی از تبدیل ها می توانند به معادلات نتیجه ای منجر شوند و در میان راه حل های معادله نتیجه ممکن است ریشه هایی وجود داشته باشد که با معادله اصلی بیگانه باشند. ریشه های خارجی ریشه معادله اصلی نیستند، بنابراین نباید در پاسخ ظاهر شوند. به عبارت دیگر، آنها باید از بین بروند.

بنابراین، اگر در زنجیره تبدیل معادله در حال حل حداقل یک معادله نتیجه وجود داشته باشد، باید مراقب شناسایی و فیلتر کردن ریشه های خارجی باشید.

روش های تشخیص و غربالگری ریشه های خارجی به دلایلی که باعث ظهور بالقوه آنها می شود بستگی دارد. و دو دلیل برای ظهور احتمالی ریشه های خارجی هنگام حل معادلات غیر منطقی وجود دارد: اولی گسترش ODZ در نتیجه تبدیل معادله، دوم افزایش دو طرف معادله به توان زوج است. بیایید به روش های مربوطه نگاه کنیم.

بیایید با روش هایی برای غربال کردن ریشه های خارجی شروع کنیم، زمانی که دلیل ظاهر احتمالی آنها فقط گسترش ODZ است. در این مورد، غربالگری ریشه های خارجی به یکی از سه روش زیر انجام می شود:

• به گزارش ODZ. برای انجام این کار، ODZ متغیر برای معادله اصلی پیدا شده و تعلق ریشه های یافت شده بررسی می شود. ریشه هایی که به ODZ تعلق دارند، ریشه های معادله اصلی هستند و آنهایی که به ODZ تعلق ندارند، ریشه های خارجی معادله اصلی هستند.
• از طریق شرایط ODZ. شرایطی که ODZ متغیر را برای معادله اصلی تعیین می کند، یادداشت می شود و ریشه های یافت شده یک به یک در آنها جایگزین می شوند. ریشه هایی که همه شرایط را برآورده می کنند، ریشه هستند و آنهایی که حداقل یک شرط را برآورده نمی کنند، ریشه های خارجی معادله اصلی هستند.
• از طریق جایگزینی در معادله اصلی (یا در هر معادله معادل). ریشه های یافت شده به نوبه خود جایگزین معادله اصلی می شوند، آنهایی که با جایگزینی آنها معادله به یک برابری عددی صحیح تبدیل می شود، ریشه هستند و آنهایی از آنها که با جایگزینی آنها عبارتی به دست می آید که معنی ندارد. ، ریشه های خارجی معادله اصلی هستند.

هنگام حل معادله غیرمنطقی زیر، بیایید ریشه های اضافی را با استفاده از هر یک از روش های ذکر شده فیلتر کنیم تا یک ایده کلی از هر یک از آنها بدست آوریم.

واضح است که ما هر بار با استفاده از تمام روش های شناخته شده ریشه های خارجی را شناسایی و از بین نخواهیم برد. برای از بین بردن ریشه های خارجی، مناسب ترین روش را در هر مورد خاص انتخاب می کنیم. به عنوان مثال، در مثال زیر، فیلتر کردن ریشه های خارجی از طریق شرایط ODZ راحت تر است، زیرا در این شرایط یافتن ODZ در قالب یک مجموعه عددی دشوار است.

حالا بیایید در مورد غربال کردن ریشه‌های خارجی صحبت کنیم، زمانی که حل یک معادله غیرمنطقی با بالا بردن هر دو طرف معادله به توان زوج انجام می‌شود. در اینجا، غربال کردن از طریق ODZ یا از طریق شرایط ODZ دیگر کمکی نخواهد کرد، زیرا به ما اجازه نمی دهد ریشه های خارجی را که به دلیل دیگری به وجود می آیند - به دلیل بالا بردن هر دو طرف معادله به یک توان یکسان، از بین ببریم. چرا وقتی هر دو طرف معادله به توان زوج یکسان می رسند، ریشه های خارجی ظاهر می شوند؟ ظهور ریشه‌های خارجی در این مورد از این واقعیت ناشی می‌شود که افزایش هر دو بخش یک برابری عددی نادرست به توان زوج می‌تواند یک برابری عددی صحیح به دست دهد. به عنوان مثال، تساوی عددی نادرست 3=−3 پس از مربع کردن هر دو ضلع به تساوی عددی صحیح 3 2 =(−3) 2 تبدیل می شود که همان 9=9 است.

ما دلایل پیدایش ریشه های خارجی را هنگام بالا بردن هر دو طرف معادله به توان یکسان کشف کرده ایم. باقی مانده است که نشان دهیم چگونه ریشه های خارجی در این مورد از بین می روند. غربالگری عمدتاً با جایگزینی ریشه های پتانسیل یافت شده در معادله اصلی یا هر معادله ای معادل آن انجام می شود. بیایید این را با یک مثال نشان دهیم.

اما شایان ذکر است روش دیگری را در نظر داشته باشید که به شما امکان می دهد در مواردی که هر دو طرف یک معادله غیرمنطقی با یک رادیکال منفرد به یک قدرت یکسان می رسند، ریشه های خارجی را از بین ببرید. هنگام حل معادلات غیر منطقی ، که در آن 2·k یک عدد زوج است، با بالا بردن هر دو طرف معادلات به توان یکسان، ریشه های خارجی را می توان از طریق شرط g(x)≥0 (یعنی در واقع حل یک معادله غیرمنطقی با تعیین مقدار) انجام داد. ریشه). این روش اغلب زمانی به کمک می آید که فیلتر کردن ریشه های خارجی از طریق جایگزینی محاسبات پیچیده ای را شامل می شود. مثال زیر به خوبی گویای این موضوع است.

ادبیات

1. موردکوویچ A.G.جبر. کلاس هشتم. در 2 ساعت قسمت 1. کتاب درسی برای دانش آموزان موسسات آموزش عمومی / A. G. Mordkovich. - چاپ یازدهم، پاک شد. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: ill. شابک 978-5-346-01155-2.
2. موردکوویچ A.G.جبر و شروع تحلیل ریاضی. درجه 11. در 2 ساعت، بخش 1. کتاب درسی برای دانش آموزان موسسات آموزش عمومی (سطح مشخصات) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - چاپ دوم، پاک شد. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 p.: ill. شابک 978-5-346-01027-2.
3. جبرو آغاز تحلیل: Proc. برای پایه های 10-11 آموزش عمومی موسسات / A. N. Kolmogorov، A. M. Abramov، Yu P. Dudnitsyn و دیگران؛ اد. A. N. Kolmogorov - 14th ed - M.: Education, 2004. - 384 pp.: ill.
4. جبرو شروع تحلیل ریاضی. پایه دهم: کتاب درسی. برای آموزش عمومی موسسات: پایه و مشخصات. سطوح / [یو. M. Kolyagin، M. V. Tkacheva، N. E. Fedorova، M. I. Shabunin]؛ ویرایش A. B. Zhizhchenko. - ویرایش سوم - م.: آموزش و پرورش، 1389.- 368 ص: ill.-ISBN 978-5-09-022771-1.
5. ریاضیات. افزایش سطح آزمون یکپارچه دولتی-2012 (C1، C3). تست های موضوعی معادلات، نابرابری ها، سیستم ها / ویرایش شده توسط F. F. Lysenko, S. Yu. - Rostov-on-Don: Legion-M, 2011. - 112 pp. - (آمادگی برای آزمون دولتی واحد) ISBN 978-5-91724-094-7
6. فارغ التحصیل سال 1383. ریاضی. مجموعه مشکلات آمادگی برای آزمون یکپارچه دولتی. قسمت 1. I. V. Boykov, L. D. Romanova.

معادله غیرمنطقی هر معادله ای است که تابعی در زیر علامت ریشه داشته باشد. مثلا:

چنین معادلاتی همیشه در 3 مرحله حل می شوند:

1. ریشه را جدا کنید. به عبارت دیگر، اگر در سمت چپ علامت مساوی، علاوه بر ریشه، اعداد یا توابع دیگری وجود دارد، همه اینها باید به سمت راست منتقل شوند و علامت را تغییر دهید. در این مورد، فقط رادیکال باید در سمت چپ باقی بماند - بدون هیچ ضریب.
2. 2. دو طرف معادله را مربع کنید. در عین حال، ما به یاد داریم که دامنه مقادیر ریشه همه اعداد غیر منفی هستند. بنابراین، تابع در سمت راست معادله غیر منطقیهمچنین باید غیر منفی باشد: g(x) ≥ 0.
3. مرحله سوم به طور منطقی از مرحله دوم ناشی می شود: باید یک بررسی انجام دهید. واقعیت این است که در مرحله دوم می‌توانیم ریشه‌های اضافی داشته باشیم. و برای اینکه آنها را قطع کنید، باید اعداد نامزد به دست آمده را در معادله اصلی جایگزین کنید و بررسی کنید: آیا واقعاً برابری عددی صحیح به دست آمده است؟

حل یک معادله غیر منطقی

بیایید به معادله غیرمنطقی خود که در همان ابتدای درس داده شد نگاه کنیم. در اینجا ریشه از قبل جدا شده است: در سمت چپ علامت مساوی چیزی جز ریشه وجود ندارد. مربع دو طرف:

2x 2 − 14x + 13 = (5 − x ) 2
2x 2 − 14x + 13 = 25 − 10x + x 2
x 2 − 4x − 12 = 0

معادله درجه دوم حاصل را از طریق ممیز حل می کنیم:

D = b 2 - 4ac = (-4) 2 - 4 1 (-12) = 16 + 48 = 64
x 1 = 6; x 2 = -2

تنها چیزی که باقی می ماند این است که این اعداد را در معادله اصلی جایگزین کنیم، یعنی. بررسی را انجام دهید اما حتی در اینجا نیز می توانید برای ساده سازی تصمیم نهایی کار درست را انجام دهید.

چگونه راه حل را ساده کنیم

بیایید فکر کنیم: چرا حتی در پایان حل یک معادله غیرمنطقی یک بررسی انجام می دهیم؟ ما می خواهیم مطمئن شویم که وقتی ریشه های خود را جایگزین می کنیم، یک عدد غیر منفی در سمت راست علامت تساوی وجود دارد. از این گذشته ، ما قبلاً با اطمینان می دانیم که یک عدد غیر منفی در سمت چپ وجود دارد ، زیرا جذر حسابی (به همین دلیل است که معادله ما غیر منطقی نامیده می شود) طبق تعریف نمی تواند کمتر از صفر باشد.

بنابراین، تنها چیزی که باید بررسی کنیم این است که تابع g(x) = 5 − x، که در سمت راست علامت مساوی است، غیر منفی است:

g(x) ≥ 0

ریشه های خود را در این تابع جایگزین می کنیم و دریافت می کنیم:

g (x 1) = g (6) = 5 - 6 = -1< 0
g (x 2) = g (-2) = 5 - (-2) = 5 + 2 = 7 > 0

از مقادیر به دست آمده چنین است که ریشه x 1 = 6 برای ما مناسب نیست، زیرا هنگام جایگزینی در سمت راست معادله اصلی یک عدد منفی دریافت می کنیم. اما ریشه x 2 = −2 برای ما کاملاً مناسب است، زیرا:

1. این ریشه راه حل معادله درجه دوم است که با بالا بردن هر دو طرف به دست می آید معادله غیر منطقیبه یک مربع
2. سمت راست معادله غیرمنطقی اصلی، هنگام جایگزینی ریشه x 2 = -2، به یک عدد مثبت تبدیل می شود، یعنی. دامنه ریشه حسابینشکسته.

این همه الگوریتم است! همانطور که می بینید، حل معادلات با رادیکال ها چندان دشوار نیست. نکته اصلی این است که فراموش نکنید ریشه های دریافت شده را بررسی کنید، در غیر این صورت احتمال دریافت پاسخ های غیر ضروری بسیار زیاد است.