میانگین حسابی یک سری اندازه گیری
با افزایش n، مقدار متوسط
فرمول گاوس را می توان از مفروضات زیر استخراج کرد:
- خطاهای اندازه گیری می توانند یک سری مقادیر پیوسته به خود بگیرند.
- در تعداد زیادیمشاهدات یک خطای هم اندازه، اما علامت متفاوتبه همان اندازه اتفاق می افتد؛
- احتمال، یعنی فراوانی نسبی وقوع خطا، با افزایش بزرگی خطا کاهش می یابد. به عبارت دیگر، اشتباهات بزرگکمتر از کوچک هستند.
قانون توزیع نرمال با تابع زیر توصیف می شود:
جایی که σ میانگین مربعات خطا است. σ2 - پراکندگی اندازه گیری؛ Xist مقدار واقعی کمیت اندازه گیری شده است.
تجزیه و تحلیل فرمول (1.13) نشان می دهد که تابع توزیع نرمال با توجه به منبع خط مستقیم X = X متقارن است و در منبع X = X دارای حداکثر است. با قرار دادن X ist به جای X در سمت راست معادله (1.13) مقدار ارتینی این حداکثر را پیدا می کنیم
,
از این رو نتیجه می شود که با کاهش σ، y(X) افزایش می یابد. ناحیه زیر منحنی
باید ثابت و برابر با 1 باقی بماند، زیرا احتمال اینکه مقدار اندازه گیری شده X در بازه -∞ تا +∞ قرار گیرد برابر با 1 است (این ویژگی شرط عادی سازی احتمال نامیده می شود).
در شکل 1.1 نمودارهای سه تابع توزیع نرمال را برای سه مقدار σ (σ 3 > σ 2 > σ 1) و یک منبع X نشان می دهد. توزیع نرمال با دو پارامتر مشخص می شود: میانگین متغیر تصادفی، که برای بی نهایت مقادیر زیاداندازه گیری ها (n → ∞) با مقدار واقعی و واریانس σ منطبق است. مقدار σ پراکندگی خطاها را نسبت به میانگین مقدار درست در نظر گرفته شده مشخص می کند. در مقادیر کوچک σ، منحنی ها تندتر هستند و مقادیر بزرگ ΔХ کمتر احتمال دارد، یعنی انحراف اندازه گیری از معنی واقعیمقادیر در این مورد کوچکتر است.
برای تخمین ارزش خطای تصادفیروش های مختلفی برای اندازه گیری وجود دارد. رایج ترین تخمین استفاده از خطای میانگین مربعات استاندارد یا ریشه است. گاهی اوقات از خطای میانگین حسابی استفاده می شود.
خطای استاندارد (میانگین مربع) میانگین در یک سری n اندازه گیری با فرمول تعیین می شود:
اگر تعداد مشاهدات بسیار زیاد باشد، مقدار Sn، مشروط به نوسانات تصادفی تصادفی، به مقدار ثابت σ گرایش پیدا می کند که به آن حد آماری Sn می گویند:
این حد است که میانگین مربعات خطا نامیده می شود. همانطور که در بالا ذکر شد، مربع این کمیت پراکندگی اندازه گیری نامیده می شود که در فرمول گاوس (1.13) گنجانده شده است.
مقدار σ بزرگ است اهمیت عملی. اجازه دهید میانگین حسابی را در نتیجه اندازه گیری مقداری فیزیکی پیدا کنیم<Х>و مقداری خطا ΔX. اگر کمیت اندازه گیری شده در معرض خطای تصادفی باشد، نمی توان بدون قید و شرط فرض کرد که مقدار واقعی کمیت اندازه گیری شده در بازه (<Х>– ΔХ,<Х>+ ΔХ) یا (<Х>- ΔХ)< Х < (<Х>+ ΔХ)). همیشه مقداری احتمال وجود دارد که مقدار واقعی خارج از این فاصله باشد.
فاصله اطمینان فاصله ای از مقادیر است (<Х>– ΔХ,<Х>+ ΔХ) از مقدار X، که طبق تعریف، مقدار واقعی منبع X با احتمال داده شده در آن قرار می گیرد.
قابلیت اطمینان نتیجه یک سری از اندازه گیری ها احتمال این است که مقدار واقعی مقدار اندازه گیری شده در یک بازه اطمینان معین قرار می گیرد. قابلیت اطمینان یک نتیجه اندازه گیری یا احتمال اطمینان در کسری از یک واحد یا درصد بیان می شود.
فرض کنید α به معنای احتمال متفاوت بودن نتیجه اندازه گیری با مقدار واقعی به میزانی باشد که از ΔΧ بیشتر نباشد. این معمولاً به این شکل نوشته می شود:
R((<Х>- ΔХ)< Х < (<Х>+ ΔХ)) = α
عبارت (1.16) به این معنی است که با احتمال مساوی α، نتیجه اندازه گیری خارج از فاصله اطمینان از<Х>– ΔХ تا<Х>+ ΔХ. هر چه فاصله اطمینان بزرگتر باشد، یعنی خطای مشخص شده در نتیجه اندازه گیری ΔX بیشتر باشد، مقدار مورد نظر X با اطمینان بیشتری در این بازه قرار می گیرد. به طور طبیعی، مقدار α به تعداد n اندازه گیری های انجام شده بستگی دارد. و همچنین روی خطای مشخص شده ΔΧ.
بنابراین، برای مشخص کردن بزرگی خطای تصادفی، لازم است دو عدد تنظیم شود، یعنی:
- بزرگی خود خطا (یا فاصله اطمینان)؛
- مقدار احتمال اطمینان (قابلیت اطمینان).
نشان دادن تنها بزرگی خطا بدون نشان دادن احتمال اطمینان متناظر تا حد زیادی بی معنی است، زیرا در این مورد ما نمی دانیم داده های ما چقدر قابل اعتماد هستند. دانستن احتمال اطمینان به شما این امکان را می دهد که میزان قابلیت اطمینان نتیجه به دست آمده را ارزیابی کنید.
درجه اطمینان مورد نیاز بر اساس ماهیت تغییرات ایجاد شده تعیین می شود. میانگین مربعات خطای Sn مربوط به احتمال اطمینان 0.68، میانگین دو برابر شده مربع خطا (2σ) مربوط به احتمال اطمینان 0.95، و خطای سه برابری (3σ) مربوط به 0.997 است.
اگر بازه (X – σ، X + σ) به عنوان فاصله اطمینان انتخاب شود، می توان گفت که از صد نتیجه اندازه گیری، 68 مورد لزوماً در این فاصله خواهد بود (شکل 1.2). اگر هنگام اندازه گیری خطای مطلق∆Χ > 3σ، سپس این اندازه‌گیری باید به خطاها یا اشتباهات فاحش نسبت داده شود. مقدار 3σ معمولاً به عنوان حداکثر خطای مطلق یک اندازه گیری فردی در نظر گرفته می شود (گاهی اوقات به جای 3σ خطای مطلق دستگاه اندازه گیری گرفته می شود).
برای هر مقدار از فاصله اطمینان، احتمال اطمینان مربوطه را می توان با استفاده از فرمول گاوس محاسبه کرد. این محاسبات انجام شده و نتایج آن در جدول خلاصه شده است. 1.1.
احتمالات اطمینان α برای فاصله اطمینان که به صورت کسری از میانگین مربع خطا ε = ΔX/σ بیان می شود.
صفحه 1
میانگین حسابی خطای ft برای بررسی وجود خطاهای سیستماتیک محاسبه می شود. اگر هنگام محاسبه ft با استفاده از هر دو فرمول (7) و (7a)، نتایج کاملاً متفاوتی به دست آمد، دلیلی وجود دارد که وجود خطاهای سیستماتیک را فرض کنیم.
میانگین خطای حسابی برای اندازه گیری های بحرانی زمانی که خطاهای سیستماتیک فرض می شود محاسبه می شود.
میانگین خطای حسابی مقدار واقعی A کمیت اندازه گیری شده تقریباً همیشه ناشناخته است و بنابراین نمی توان خطای هر اندازه گیری جداگانه را از تفاوت (2.1) تعیین کرد.
با این حال، میانگین خطای حسابی به طور کامل تأثیر خطاهای بزرگ را بر دقت نتیجه اندازه گیری منعکس نمی کند. نظریه مدرننشان می دهد که برآورد دقیق تر به اصطلاح ریشه میانگین مربعات خطا است.
مزیت خطای میانگین حسابی r سادگی محاسبه آن است. با این حال، در اکثر موارد S بیشتر از r استفاده می شود زیرا S یک برآوردگر کارآمد واریانس است.
مشخصه های پراکندگی خطای میانگین حسابی، میانگین است مربع خطا، دامنه نتایج اندازه گیری. از آنجایی که پراکندگی ماهیت احتمالی است، هنگام نشان دادن مقادیر یک خطای تصادفی، یک احتمال مشخص می شود.
فرمول (6) نشان می دهد که میانگین خطای حسابی را می توان از نتایج اندازه گیری بدون تربیع خطاهای باقیمانده محاسبه کرد.
بیضی های عمودی باریک نزدیک دایره ها میانگین خطاهای حسابی را در تعیین مختصات نقاط نشان می دهند.
پراکندگی نتایج اندازه گیری یک سری معین را نیز می توان با میانگین خطای حسابی مشخص کرد (با توجه به قدر مطلق) و دامنه نشانه ها.
آن دسته از مقادیر p/z که مقدار خطای آنها بزرگتر یا مساوی سه برابر خطای میانگین حسابی است، رد می شوند. محاسبات انجام شده بر اساس روش توصیفی، نیاز به رد داده های اولیه را برای زمینه های مورد بررسی نشان نداد.
فرمول های گروه دوم تک پارامتری هستند و زمانی که نتایج یک مطالعه ترمودینامیکی سیستم میعانات گازی از دست رفته است، امکان تخمین RK را فراهم می کند. میانگین خطاهای حسابی محاسبات با استفاده از فرمول های گروه سوم تفاوت کمی با یکدیگر دارند. دقت فرمول های (III.116) - (III.118) کم است. فرمول های (III.119) و (III.120) عملاً انحراف استاندارد اولیه را کاهش نمی دهند.
برای ارزیابی دقت اندازه گیری، تئوری خطاهای تصادفیهمچنین شامل به اصطلاح خطای احتمالی g و خطای میانگین حسابی تعدادی از اندازه گیری ها می شود.
اکنون فرض می کنیم که در سری مورد بررسی هیچ بعد دومی (271 3) وجود ندارد که بیشترین انحراف (u - 6 3) را از میانگین حسابی داشته باشد. مقایسه این دو ارقام آخربا مقادیر خطاهای مشابه برای مثال اول، توجه می کنیم که خطای میانگین حسابی سری نسبت به حضور افراد بسیار کمتر حساس است. خطاهای بزرگ, چم خطای میانگین مربع a. این یک اشکال مهم در ارزیابی قابلیت اطمینان اندازه گیری ها با استفاده از روش میانگین حسابی خطای یک سری است. بنابراین، با وجود مزیت سادگی، از روش میانگین حسابی خطای نسبتاً نادر استفاده می شود.
بگذارید اندازه گیری شده باشد ارزش شناخته شدهاندازه ایکس. به طور طبیعی، مقادیر فردی این کمیت در طول فرآیند اندازه گیری یافت می شود ایکس1 , ایکس2 ,… xnبدیهی است که کاملاً دقیق نیستند، یعنی با هم مطابقت ندارند ایکس. سپس مقدار یک خطای مطلق خواهد بود منبعد ام اما از آنجایی که معنای واقعی نتیجه است ایکس, معمولاً مشخص نیست، سپس به جای X از تخمین واقعی خطای مطلق استفاده می شود میانگین , که با فرمول محاسبه می شود:
 |
با این حال، برای اندازه های نمونه کوچک، به جای
ترجیحا استفاده کنید میانه. میانه (من)مقدار یک متغیر تصادفی x است به طوری که نیمی از نتایج دارای مقدار کمتر از و نیمی دیگر دارای مقداری بزرگتر از مه. برای محاسبه مهنتایج به ترتیب صعودی مرتب شده اند، یعنی یک سری تغییرات به اصطلاح را تشکیل می دهند. برای تعداد فرد اندازه گیری n، میانه برابر با مقدار جمله میانی سری است. مثلا،
برای n=3
برای حتی n، مقدار مهبرابر با نصف مجموع مقادیر دو نتیجه میانگین. مثلا،
برای n=4
برای محاسبه ساز نتایج تحلیل نامحدود با آخرین رقم اعشار نادقیق استفاده کنید.
با تعداد نمونه بسیار زیاد ( n>) خطاهای تصادفی را می توان با استفاده از قانون توزیع عادی گاوسی توصیف کرد. در کوچک nتوزیع ممکن است با نرمال متفاوت باشد. در آمار ریاضی این غیرقابل اطمینان اضافی با یک متقارن اصلاح شده حذف می شود تی-توزیع مقداری ضریب وجود دارد تیضریب دانشجو نامیده می شود که بسته به تعداد درجات آزادی ( f) و احتمال اطمینان ( آر) به شما امکان می دهد از یک نمونه به یک جامعه حرکت کنید.
انحراف استاندارد نتیجه متوسط با فرمول تعیین می شود:
مقدار فاصله اطمینان میانگین است. برای تجزیه و تحلیل سریال، معمولاً فرض می شود آر= 0,95.
جدول 1. مقادیر ضرایب دانش آموز ( تی)
f |
||||
مثال 1 .
از ده تعیین محتوای منگنز در یک نمونه، لازم است انحراف استاندارد یک آنالیز واحد و فاصله اطمینان میانگین مقدار منگنز: 0.69 محاسبه شود. 0.68; 0.70; 0.67; 0.67; 0.69; 0.66; 0.68; 0.67; 0.68.
راه حل. با استفاده از فرمول (1) مقدار میانگین آنالیز محاسبه می شود
طبق جدول 1 (پیوست) ضریب Student را برای f=n-1=9 پیدا کنید (95/0=P) تی 2.26 = و فاصله اطمینان مقدار میانگین را محاسبه کنید. بنابراین، مقدار متوسط تجزیه و تحلیل با فاصله (0.009 ± 0.679)٪ Mn تعیین می شود.
مثال 2 .
میانگین 9 اندازه گیری فشار بخار آب روی محلول اوره در دمای 20 درجه سانتیگراد 2.02 کیلو پاسکال است. انحراف استاندارد نمونه اندازه گیری s = 0.04 کیلو پاسکال. عرض فاصله اطمینان را برای میانگین 9 و یک اندازه گیری منفرد مربوط به احتمال اطمینان 95٪ تعیین کنید.
راه حل. ضریب t برای سطح اطمینان 0.95 و f = 8 2.31 است. با توجه به اینکه
و پیدا می کنیم:
- عرض مورد اعتماد خواهد بود. فاصله برای مقدار متوسط
- عرض مورد اعتماد خواهد بود. فاصله برای اندازه گیری یک مقدار
اگر نتایج تجزیه و تحلیل نمونه ها با محتوای متفاوت وجود داشته باشد، از میانگین های جزئی سبا میانگین گیری می توانید مقدار میانگین کلی را محاسبه کنید س. داشتن مترنمونه ها و برای هر نمونه انجام njتعاریف موازی، نتایج به صورت جدول ارائه شده است:
عدد |
شماره آنالیز |
||
خطا انحراف نتیجه اندازه گیری از مقدار واقعی مقدار اندازه گیری شده است. بسته به ویژگی های مختلف، خطاها به انواع دسته بندی می شوند (شکل 2.9).
خطای مطلق () - خطایی که با تفاوت بین مقدار اندازه گیری شده () و مقدار واقعی (واقعی) نشان داده می شود و در واحدهای مقدار اندازه گیری شده بیان می شود.
خطای مربوطه() - خطا که با نسبت خطای مطلق به مقدار واقعی (واقعی) مقدار اندازه گیری شده نشان داده شده و به صورت درصد بیان می شود.
خطای کاهش یافته () - نسبت خطای مطلق به مقدار استاندارد ().
در صورتی که در مقیاس یک طرفه دستگاه یا محدوده اندازه گیری در مورد مقیاس دو رقمی دستگاه، مقدار صفر وجود داشته باشد، مقدار نرمال کننده برابر با حد بالایی اندازه گیری در نظر گرفته می شود.
خطای سیستماتیک خطایی است که در طول اندازه گیری های مکرر ثابت می ماند یا به صورت عددی تغییر می کند.
دائمی خطاهای سیستماتیکمعمولاً نشانگرهای بالا یا ناکافی قابلیت اطمینان اندازه‌گیری ابزار اندازه‌گیری، می‌تواند ایجاد و حذف شود.
خطاهای سیستماتیک طبیعی ناشی از فرآیندهای پیری ابزارهای اندازه گیری است، زیرا فرآیندهای ساییدگی سطح، اکسیداسیون و غیره رخ می دهد. وجود چنین خطاهایی نیاز به تأیید و کالیبراسیون ابزار اندازه گیری را تعیین می کند
خطای تصادفی - خطاهایی که به طور تصادفی در طول اندازه گیری های مکرر تغییر می کنند. این خطاها غیرقابل پیش‌بینی هستند، بنابراین غیرقابل اندازه‌گیری و حذف‌ناپذیر هستند، اما تأثیر آنها را می‌توان با اندازه‌گیری‌های مکرر با تعیین بعدی ویژگیهای خطای تصادفی با روش‌ها کاهش داد. آمار ریاضی. نزدیکی به صفر خطاهای تصادفی را همگرایی اندازه گیری می گویند.
خطاهای استاتیک - خطای ابزار اندازه گیری هنگامی که مقدار اندازه گیری شده در طول اندازه گیری تغییر نمی کند. فرض بر این است که در این حالت مقدار واقعی کمیت اندازه گیری شده تغییر نمی کند و خطای مطلق ثابت می ماند.
خطای دینامیکی خطای ابزار اندازه گیری است که مقدار اندازه گیری شده در حین اندازه گیری تغییر می کند. به عنوان مثال، هنگام اندازه گیری دما با دماسنج، باید زمان بگذرد تا جیوه دمای خود را تغییر دهد و ستون جیوه به علامت مربوطه در مقیاس برسد. اگر در این مدت دمای جسم اندازه گیری شده تغییر کند، خطای دینامیکی رخ می دهد.
خطاهای قابل حذف خطاهای سیستماتیکی هستند که قابل شناسایی و حذف هستند. خطاهای غیرقابل حذف شامل خطاهای سیستماتیک و تصادفی است، اما بخش خاصی از خطاهای تصادفی را نمی توان حذف کرد، بنابراین تصادفی بودن هر نتیجه اندازه گیری است.
خطاهای اساسی - خطاهای مربوطه شرایط عادیکاربرد ابزارهای اندازه گیری این شرایط برقرار است اسناد نظارتیدر مورد انواع ابزار اندازه گیری یا انواع جداگانه آنها. اغلب شرایط خارجی زیر ایجاد می شود: دمای محیط، رطوبت نسبی، فشار اتمسفر. جداسازی خطای اساسی مربوط به شرایط برنامه استاندارد یکی از این موارد است عوامل مهماطمینان از یکنواختی اندازه گیری ها
خطای اضافی - خطایی که زمانی رخ می دهد که یکی از کمیت های تأثیرگذار منحرف شود ارزش عادی. متمایز کردن مرسوم است خطاهای اضافیتوسط عوامل فردی: خطای دمای اضافی، خطای ناشی از تغییرات فشار جوو غیره
خطاهای ابزاری - خطاهای ابزار اندازه گیری که بر اساس نقص، طراحی و ویژگی های تکنولوژیکی و تأثیر آنها تعیین می شود. شرایط خارجیمانند تداخل خطاهای ابزاری یکی از مهم ترین اجزای خطا هستند و می توانند سیستماتیک یا تصادفی باشند.
خطای روش شناختی خطایی است که با نقص تکنیک اندازه گیری مورد استفاده تعیین می شود. خطاهای روش شناختی همچنین شامل عدم امکان بازتولید ایده آل مدل شی اندازه گیری می شود. در بیشتر موارد خطاهای روش شناختیسیستماتیک هستند.
خطای ذهنی یک خطای شمارش است که ناشی از آن است ویژگیهای فردیسوژه (اپراتور) که اندازه گیری ها را انجام می دهد. این خطا بر اساس میزان توجه و تمرکز اپراتورها تعیین می شود و می تواند سیستماتیک یا تصادفی باشد.
خطای مجاز خطایی است که اندازه آن توسط اسناد نظارتی و فنی تعیین می شود یا با محاسبه تعیین می شود.
خطای غیرقابل قبول خطایی است که در صورت وقوع آن نتیجه اندازه گیری غیرقابل اعتماد بوده و نمی توان آن را در نظر گرفت.
خطاهای غیر قابل قبول نامیده می شود بی ادبخطاها یا اشتباهات.تشخیص به موقع و حذف خطاهای فاحش مهم است.
خطاهای فاحش می تواند تحت تأثیر هر عاملی که بر نتیجه اندازه گیری تأثیر می گذارد رخ دهد. با این حال، اغلب منبع خطای فاحش خواندن نادرست ابزار یا تغییرات غیرقابل پیش بینی در محیط خارجی است.
دو تا اصلی وجود دارد روش تشخیص خطاهای فاحش:
در اندازه گیری های تکاگر نتیجه اندازه گیری مورد انتظار تقریباً مشخص باشد، به عنوان مثال، هنگام بررسی ابزارهای اندازه گیری کار با استفاده از استانداردها و گیج ها یا هنگام اندازه گیری سیستماتیک یک شی، می توان خطا را تشخیص داد. کمیت فیزیکیکه عملا تغییر نمی کند;
در اندازه گیری های متعددخطا را می توان با استفاده از تجزیه و تحلیل آماری نتایج مشاهدات ایجاد کرد. به عنوان مثال، هنگام تعیین از دست دادن طبیعی میوه ها و سبزیجات، جرم 10 جسم یا بیشتر اندازه گیری می شود. اختلاف حاصل بین اندازه گیری های اولیه و نهایی باعث از دست دادن جرم می شود. تستر فوراً به "غیرطبیعی" توجه می کند تعداد کلنتایج.
راه های حذف خطاهای فاحش:
1. خطاهای فاحش شناسایی شده در حین اندازه گیری های منفرد را می توان با تکرار اندازه گیری ها و تبدیل آنها به چندین خطا حذف کرد.
2. وقتی اندازه گیری های متعددخطاهای فاحش با استفاده از روش های زیر حذف می شوند:
قوانین "سه سیگما"؛
پردازش ریاضی نتایج اندازه گیری
قانون "سه سیگما" بیان می کند که خطایی که اندازه آن بیش از سه سیگما باشد، ناخالص در نظر گرفته می شود.
سیگما () - انحراف معیار محاسبه شده توسط معادله
مقدار واقعی کمیت برای یک اندازه گیری کجاست. - مقدار میانگین حسابی مقدار اندازه گیری شده در طول اندازه گیری های متعدد. -- تعداد اندازه گیری ها
در این حالت یک فاصله اطمینان محاسبه می شود. این شامل مقادیر کمیت اندازه گیری شده است که طبق قانون توزیع نرمال قابل اعتماد در نظر گرفته می شود. مقادیر خارج از این بازه، اشتباه تلقی می شوند و به عنوان غیرقابل اعتماد حذف می شوند. نتیجه اندازه گیری با در نظر گرفتن مقادیر حذف شده مجدداً محاسبه می شود.
به عنوان مثال، هنگام اندازه گیری میانگین وزن آجیل، 10 نمونه توزین شد. نتایج زیر به دست آمد: 15، 19، 20، 21، 22، 18، 22، 20، 25، 17 گرم میانگین وزن آجیل 19.9 گرم است. = 2. فاصله اطمینانبرابر است (20 2 یا 18.2 ..22.2). فراتر از آن مقادیر 15 هستند. 17; 18 و 25 که حذف شده اند و نتیجه تجدید نظر شده 20.7 گرم به دست می آید.
پردازش ریاضینتایج اندازه گیری توسط استاندارد تنظیم می شود.