X \u003d X cf X

مطلق

خطا

نسبت فامیلی

خطا

a+ ب

a+ ب

مقررات خطای اندازه گیریو خطای اندازه گیریبه عنوان مترادف استفاده می شود.) فقط می توان مقدار این انحراف را تخمین زد، مثلاً با استفاده از روش های آماری. در عین حال، برای ارزش واقعیمیانگین مقدار آماری بدست آمده از پردازش آماری نتایج یک سری اندازه گیری گرفته می شود. این مقدار به دست آمده دقیق نیست، بلکه تنها محتمل ترین آن است. بنابراین لازم است در اندازه گیری ها مشخص شود که دقت آنها چقدر است. برای انجام این کار، همراه با نتیجه به دست آمده، خطای اندازه گیری نشان داده شده است. به عنوان مثال، ورودی T=2.8±0.1ج به این معنی است که مقدار واقعی مقدار تینهفته در فاصله از 2.7 ثانیهقبل از 2.9 ثانیهبرخی از احتمالات مشخص شده (به فاصله اطمینان، احتمال اطمینان، خطای استاندارد مراجعه کنید).

در سال 2006، یک سند جدید در سطح بین المللی به تصویب رسید که شرایط را برای انجام اندازه گیری ها و ایجاد قوانین جدید برای مقایسه استانداردهای دولتی تعیین می کند. مفهوم "خطا" منسوخ شد، به جای آن مفهوم "عدم قطعیت اندازه گیری" معرفی شد.

تعریف خطا

بسته به ویژگی های کمیت اندازه گیری شده، روش های مختلفی برای تعیین خطای اندازه گیری استفاده می شود.

• روش کورنفلد شامل انتخاب فاصله اطمینان از حداقل تا حداکثر نتیجه اندازه گیری و خطا به عنوان نصف اختلاف بین حداکثر و حداقل نتیجه اندازه گیری است:

• متوسط مربع خطا:

• میانگین مربعات خطای میانگین حسابی:

طبقه بندی خطا

با توجه به فرم ارائه

• خطای مطلق - Δ ایکستخمینی از خطای مطلق اندازه گیری است. مقدار این خطا به روش محاسبه آن بستگی دارد که به نوبه خود با توزیع متغیر تصادفی تعیین می شود. ایکس مترهآس . در این مورد برابری:

Δ ایکس = | ایکس تیrتوه − ایکس مترهآس | ,

جایی که ایکس تیrتوه ارزش واقعی است و ایکس مترهآس - مقدار اندازه گیری شده، باید با احتمال نزدیک به 1 انجام شود مقدار تصادفی ایکس مترهآس طبق قانون عادی توزیع می شود، پس معمولاً انحراف معیار آن به عنوان یک خطای مطلق در نظر گرفته می شود. خطای مطلق در همان واحدهای خود مقدار اندازه گیری می شود.

• خطای مربوطه- نسبت خطای مطلق به مقداری که درست در نظر گرفته می شود:

خطای نسبی یک کمیت بدون بعد است یا بر حسب درصد اندازه گیری می شود.

• خطا کاهش یافته است- خطای نسبی که به صورت نسبت خطای مطلق ابزار اندازه گیری به مقدار پذیرفته شده مشروط کمیت بیان می شود که در کل محدوده اندازه گیری یا در بخشی از محدوده ثابت است. طبق فرمول محاسبه می شود

جایی که ایکس n- مقدار نرمال کننده که به نوع مقیاس ابزار اندازه گیری بستگی دارد و با درجه بندی آن تعیین می شود:

اگر مقیاس دستگاه یک طرفه باشد، یعنی. پس حد پایین اندازه گیری صفر است ایکس nبرابر با حد بالایی اندازه گیری تعیین می شود.
- اگر مقیاس دستگاه دو طرفه باشد، مقدار نرمال سازی برابر با عرض محدوده اندازه گیری دستگاه است.

خطای داده شده یک مقدار بدون بعد است (می توان آن را به صورت درصد اندازه گیری کرد).

با توجه به وقوع

• ابزاری / خطاهای ابزاری- خطاهایی که توسط خطاهای ابزار اندازه گیری مورد استفاده مشخص می شود و ناشی از نقص اصل عملکرد، عدم دقت درجه بندی ترازو و عدم دید دستگاه است.
• اشتباهات روش شناختی- خطاهای ناشی از ناقص بودن روش، و همچنین ساده سازی های زیربنای روش.
• خطاهای ذهنی / اپراتور / شخصی- خطاهای ناشی از میزان توجه، تمرکز، آمادگی و سایر ویژگی های اپراتور.

در مهندسی، ابزارها برای اندازه گیری فقط با دقت از پیش تعیین شده خاصی استفاده می شوند - خطای اصلی مجاز توسط نرمال در شرایط عادیعملیات برای این ابزار

اگر دستگاه در شرایطی غیر از حالت عادی کار کند، خطای اضافی رخ می دهد و خطای کلی دستگاه را افزایش می دهد. خطاهای اضافی عبارتند از: دما، ناشی از انحراف دما محیطاز حالت عادی، نصب، به دلیل انحراف موقعیت دستگاه از وضعیت عملکرد عادی و غیره. مطابق دمای معمولیهوای محیط برای حالت عادی 20 درجه سانتیگراد در نظر گرفته می شود فشار اتمسفر 01.325 کیلو پاسکال.

یک مشخصه تعمیم یافته ابزار اندازه گیری کلاس دقت است که توسط مقادیر حد مجاز اصلی و مجاز تعیین می شود. خطاهای اضافیو همچنین سایر پارامترهای موثر بر دقت ابزار اندازه گیری. مقدار پارامترها توسط استانداردهای انواع خاصی از ابزار اندازه گیری تعیین می شود. کلاس دقت ابزارهای اندازه گیری ویژگی های دقت آنها را مشخص می کند، اما نشانگر مستقیمی از دقت اندازه گیری های انجام شده با استفاده از این ابزار نیست، زیرا دقت به روش اندازه گیری و شرایط اجرای آنها نیز بستگی دارد. ابزارهای اندازه گیری که حدود خطای پایه مجاز آنها به صورت کاهش خطاهای پایه (نسبی) ارائه شده است، به کلاس های دقت انتخاب شده از تعدادی از اعداد زیر اختصاص داده می شود: (1؛ 1.5؛ 2.0؛ 2.5؛ 3.0؛ 4.0). ;5.0;6.0)*10n، که در آن n = 1; 0; -یک -2 و غیره

با توجه به ماهیت تجلی

• خطای تصادفی- خطا، تغییر (در بزرگی و علامت) از اندازه گیری به اندازه گیری. خطاهای تصادفیممکن است با نقص دستگاه ها (اصطکاک در دستگاه های مکانیکی و غیره)، لرزش در شرایط شهری، با ناقص بودن جسم اندازه گیری همراه باشد (به عنوان مثال، هنگام اندازه گیری قطر یک سیم نازک، که ممکن است کاملاً نداشته باشد. مقطع گرد در نتیجه ناقص بودن فرآیند تولید)، با ویژگی های خود مقدار اندازه گیری شده (به عنوان مثال، هنگام اندازه گیری تعداد ذرات بنیادی که در دقیقه از یک شمارنده گایگر عبور می کنند).
• خطای سیستماتیک- خطایی که بر اساس قانون خاصی از نظر زمانی متفاوت است (مورد خاص است خطای ثابت، که در طول زمان تغییر نمی کند). خطاهای سیستماتیکممکن است با خطاهای ابزار (مقیاس نادرست، کالیبراسیون، و غیره) مرتبط باشد که توسط آزمایشگر در نظر گرفته نشده است.
• خطای پیشرونده (دریفت).یک خطای غیر قابل پیش بینی است که در طول زمان به آرامی تغییر می کند. این یک فرآیند تصادفی غیر ثابت است.
• خطای فاحش (از دست دادن)- خطای ناشی از نادیده گرفتن آزمایشگر یا نقص در عملکرد تجهیزات (مثلاً اگر آزمایشگر به اشتباه شماره تقسیم را در مقیاس دستگاه خوانده باشد، اگر در مدار الکتریکی اتصال کوتاه وجود داشته باشد).

1. مقدمه

کار شیمیدانان، فیزیکدانان و نمایندگان سایر حرفه های علوم طبیعی اغلب با انجام اندازه گیری های کمی مقادیر مختلف همراه است. این مسئله تجزیه و تحلیل قابلیت اطمینان مقادیر به دست آمده، پردازش نتایج اندازه گیری های مستقیم و تخمین خطاهای محاسباتی را که از مقادیر مشخصه های مستقیم اندازه گیری شده استفاده می کنند، مطرح می کند (فرآیند دوم نیز پردازش نتایج نامیده می شود. غیر مستقیماندازه گیری ها). به دلایل عینی، دانش فارغ التحصیلان دانشکده شیمی دانشگاه دولتی مسکو در مورد محاسبه خطاها همیشه کافی نیست. پردازش صحیحداده های دریافتی یکی از این دلایل عدم وجود برنامه تحصیلیهیئت علمی دوره پردازش آماری نتایج اندازه گیری.

به لحظه حالموضوع محاسبه خطاها البته به طور جامع مورد بررسی قرار گرفته است. وجود دارد تعداد زیادی از تحولات روش شناختی، کتاب های درسی و ... که در آنها می توانید اطلاعاتی در مورد محاسبه خطاها به دست آورید. متأسفانه بیشتر این آثار مملو از اطلاعات اضافی و نه همیشه ضروری هستند. به طور خاص، بیشتر کار کارگاه های دانشجویی نیازی به اقداماتی مانند مقایسه نمونه ها، ارزیابی همگرایی و غیره ندارد. بنابراین، ایجاد یک توسعه مختصر که الگوریتم های رایج ترین محاسبات را مشخص می کند، مناسب به نظر می رسد. اختصاص داده شده است.

2. علامت گذاری در این اثر به تصویب رسید

مقدار اندازه‌گیری‌شده، - مقدار متوسط ​​مقدار اندازه‌گیری‌شده، - خطای مطلق مقدار متوسط ​​مقدار اندازه‌گیری‌شده، - خطای نسبی میانگین مقدار اندازه‌گیری‌شده.

3. محاسبه خطاهای اندازه گیری مستقیم

پس بیایید فرض کنیم که وجود داشته است n اندازه گیری مقدار یکسان در شرایط یکسان. در این حالت می توانید مقدار متوسط ​​این کمیت را در اندازه گیری ها محاسبه کنید:

(1)

چگونه خطا را محاسبه کنیم؟ طبق فرمول زیر:

(2)

این فرمول از ضریب Student استفاده می کند. مقادیر آن برای احتمالات و مقادیر مختلف اطمینان در آورده شده است.

3.1. مثالی از محاسبه خطاهای اندازه گیری مستقیم:

یک وظیفه.

طول میله فلزی اندازه گیری شد. 10 اندازه گیری انجام شد و مقادیر زیر به دست آمد: 10 میلی متر، 11 میلی متر، 12 میلی متر، 13 میلی متر، 10 میلی متر، 10 میلی متر، 11 میلی متر، 10 میلی متر، 10 میلی متر، 11 میلی متر. برای یافتن مقدار متوسط ​​مقدار اندازه گیری شده (طول میله) و خطای آن لازم است.

راه حل.

با استفاده از فرمول (1) متوجه می شویم:

میلی متر

اکنون با استفاده از فرمول (2)، خطای مطلق مقدار میانگین را با احتمال اطمینان و تعداد درجه آزادی پیدا می کنیم (از مقدار \u003d 2.262 استفاده می کنیم که از آن گرفته شده است):

بیایید نتیجه را بنویسیم:

0.7±10.8 0.95 میلی متر

4. محاسبه خطاهای اندازه گیری های غیر مستقیم

اجازه دهید فرض کنیم که در طول آزمایش مقادیر اندازه گیری می شوند ، و سپسج با استفاده از مقادیر به دست آمده، مقدار با فرمول محاسبه می شود . در این مورد، خطاهای مقادیر مستقیم اندازه گیری شده همانطور که در بند 3 توضیح داده شده محاسبه می شود.

محاسبه میانگین مقدار کمیت با توجه به وابستگی با استفاده از مقادیر میانگین آرگومان ها انجام می شود.

خطای بزرگی با استفاده از فرمول زیر محاسبه می شود:

,(3)

جایی که تعداد آرگومان ها است، مشتقات جزئی تابع با توجه به آرگومان ها هستند، خطای مطلق مقدار میانگین آرگومان است.

خطای مطلق، مانند اندازه گیری های مستقیم، با فرمول محاسبه می شود.

4.1. مثالی از محاسبه خطاهای اندازه گیری مستقیم:

یک وظیفه.

پنج اندازه گیری مستقیم و انجام شد. برای مقادیر به دست آمده: 50، 51، 52، 50، 47؛ مقادیر به دست آمده برای مقدار: 500، 510، 476، 354، 520. لازم است مقدار مقدار تعیین شده توسط فرمول محاسبه شود و خطای مقدار بدست آمده را بیابید.

خطای مطلق و نسبی

عناصر تئوری خطاها

اعداد دقیق و تقریبی

وقتی صحبت از مقادیر داده های اعداد صحیح (2 مداد، 100 درخت) می شود، به طور کلی صحت اعداد بدون شک است. با این حال، در اغلب موارد، زمانی که نمی توان مقدار دقیق یک عدد را نشان داد (مثلاً هنگام اندازه گیری یک جسم با خط کش، نتیجه گرفتن از یک دستگاه و ...)، با داده های تقریبی روبرو هستیم.

مقدار تقریبی عددی است که کمی با مقدار دقیق تفاوت داشته باشد و در محاسبات جایگزین آن شود. درجه تفاوت بین مقدار تقریبی یک عدد و مقدار دقیق آن مشخص می شود خطا .

منابع اصلی خطاهای زیر وجود دارد:

1. اشتباه در فرمول بندی مسئلهدر نتیجه توصیف تقریبی یک پدیده واقعی از نظر ریاضیات بوجود می آید.

2. خطاهای روشبا دشواری یا عدم امکان حل مشکل و جایگزینی آن با روشی مشابه همراه است تا بتوانید از یک روش راه حل شناخته شده و در دسترس استفاده کنید و نتیجه ای نزدیک به مطلوب بگیرید.

3. خطاهای مهلک، مرتبط با مقادیر تقریبی داده های اولیه و به دلیل انجام محاسبات بر روی اعداد تقریبی است.

4. خطاهای گرد کردنمرتبط با گرد کردن مقادیر داده های اولیه، نتایج میانی و نهایی به دست آمده با استفاده از ابزارهای محاسباتی.

خطای مطلق و نسبی

حسابداری خطاها است جنبه مهماستفاده از روش‌های عددی، زیرا خطای نتیجه نهایی حل کل مسئله، حاصل اثر متقابل انواع خطاها است. بنابراین یکی از وظایف اصلی تئوری خطاها تخمین صحت نتیجه بر اساس صحت داده های اولیه است.

اگر یک عدد دقیق است و مقدار تقریبی آن است، خطا (خطا) مقدار تقریبی میزان نزدیکی مقدار آن به مقدار دقیق آن است.

ساده ترین معیار کمی خطا، خطای مطلق است که به این صورت تعریف می شود

(1.1.2-1)

همانطور که از فرمول 1.1.2-1 مشاهده می شود، خطای مطلق همان واحدهای اندازه گیری مقدار را دارد. بنابراین، با بزرگی خطای مطلق، همیشه نمی توان نتیجه گیری درستی در مورد کیفیت تقریب گرفت. به عنوان مثال، اگر ، و ما در مورد یک قطعه ماشین صحبت می کنیم، پس اندازه گیری ها بسیار خشن هستند، و اگر در مورد اندازه ظرف صحبت می کنیم، آنها بسیار دقیق هستند. به همین دلیل، مفهوم خطای مربوطه، که در آن مقدار خطای مطلق به مدول مقدار تقریبی مربوط می شود ( ).

(1.1.2-2)

استفاده از خطاهای نسبی، به ویژه، راحت است، زیرا آنها به مقیاس مقادیر و واحدهای داده بستگی ندارند. خطای نسبی بر حسب کسری یا درصد اندازه گیری می شود. بنابراین، برای مثال، اگر

،آ ، سپس , چه می شود اگر و ,

بنابراین .

برای ارزیابی عددی خطای یک تابع، باید قوانین اساسی برای محاسبه خطای اقدامات را بدانید:

· هنگام جمع و تفریق اعداد خطاهای مطلق اعداد جمع می شوند

· هنگام ضرب و تقسیم اعداد خطاهای نسبی آنها روی هم چیده شده است

· هنگامی که به توان یک عدد تقریبی افزایش می یابد خطای نسبی آن در توان ضرب می شود

مثال 1.1.2-1. با توجه به یک تابع: . خطاهای مطلق و نسبی مقدار (خطای نتیجه انجام عملیات حسابی) را در صورت شناخته شده اند و 1 عدد دقیق و خطای آن صفر است.

پس از تعیین مقدار خطای نسبی، می توان مقدار خطای مطلق را به عنوان پیدا کرد , که در آن مقدار با فرمول مقادیر تقریبی محاسبه می شود

از آنجایی که مقدار دقیق مقدار معمولاً ناشناخته است، محاسبه می شود و با توجه به فرمول های فوق غیر ممکن است. بنابراین، در عمل، خطاهای حاشیه ای فرم ارزیابی می شوند:

(1.1.2-3)

جایی که و - مقادیر شناخته شده که حد بالایی خطاهای مطلق و نسبی هستند و در غیر این صورت خطاهای مطلق محدود کننده و خطاهای نسبی محدود کننده نامیده می شوند. بنابراین، مقدار دقیق در زیر قرار دارد:

اگر ارزش شناخته شده است، پس و اگر مقدار آن مشخص باشد ، سپس