چیزی که به آن خطای مطلق اندازه گیری می گویند. خطاهای اندازه گیری مطلق و نسبی

خطای مطلقعدد تقریبی مدول تفاوت بین این عدد و مقدار دقیق آن است. . از این نتیجه می شود که در داخل یا محصور شده است.

مثال 1 1284 کارگر و کارمند در این شرکت وجود دارد. وقتی این عدد به 1300 گرد شود، خطای مطلق |1300 - 1284|=16 است. وقتی به 1280 گرد شود، خطای مطلق |1280 - 1284| است = 4.
خطای مربوطهعدد تقریبی نسبت خطای مطلق عدد تقریبی به مدول مقدار عدد است. .
مثال 2 . این مدرسه 197 دانش آموز دارد. این عدد را تا 200 گرد می کنیم. خطای مطلق |200 - 197| است = 3. خطای نسبی 3/|197| است یا 1.5 درصد

در بیشتر موارد نمی توان دانست ارزش دقیقعدد تقریبی و از این رو مقدار دقیق خطا. با این حال، تقریباً همیشه می توان ثابت کرد که خطا (مطلق یا نسبی) از تعداد معینی تجاوز نمی کند.

مثال 3فروشنده هندوانه را روی ترازو وزن می کند. در مجموعه اوزان کوچکترین 50 گرم است وزن 3600 گرم است این عدد تقریبی است. وزن دقیق هندوانه مشخص نیست. اما خطای مطلق از 50 گرم تجاوز نمی کند.خطای نسبی از 50/3600 ≈1.4 درصد تجاوز نمی کند.

در مثال 3، 50 گرم را می توان به عنوان خطای مطلق محدود کننده و 1.4٪ را به عنوان خطای نسبی محدود کننده در نظر گرفت.
خطای مطلق با حرف یونانی Δ ("دلتا") یا D نشان داده می شود آ; خطای نسبی - حرف یونانی δ ("دلتای کوچک"). اگر عدد تقریبی با حرف A مشخص شود، δ = Δ/|A|.

رقم قابل توجهعدد تقریبی A هر رقمی در نمایش اعشاری آن به غیر از صفر است و اگر بین ارقام مهم قرار داشته باشد یا نماینده یک رقم اعشاری ذخیره شده باشد، صفر است.

مثال. A = 0.002080. در اینجا فقط سه صفر اول مهم نیستند.

nاولین ارقام مهم عدد تقریبی A هستند با ایماناگر خطای مطلق این عدد از نصف رقم بیان شده بیشتر نباشد n-مین رقم قابل توجه، شمارش از چپ به راست. اعدادی که صحیح نیستند نامیده می شوند مشکوک.

مثال.اگر در میان آ= 0.03450 همه اعداد صحیح هستند، پس .

نتیجه عملیات با اعداد تقریبی نیز یک عدد تقریبی است. در عین حال، اعدادی که با عملیات روی ارقام دقیق این اعداد به دست می‌آیند نیز ممکن است نادرست باشند.

مثال 5اعداد تقریبی 60.2 و 80.1 ضرب می شوند. مشخص است که تمام ارقام نوشته شده صحیح هستند، به طوری که مقادیر واقعی ممکن است با مقادیر تقریبی فقط در صدم، هزارم و غیره متفاوت باشد. در محصول ما 4822.02 را دریافت می کنیم. در اینجا نه تنها اعداد صدم و دهم، بلکه اعداد واحدها نیز می توانند نادرست باشند. برای مثال، فرض کنید که فاکتورها با گرد کردن اعداد دقیق 60.25 و 80.14 به دست می آیند. سپس حاصل ضرب دقیق 4828.435 خواهد بود، بنابراین رقم واحدها در حاصلضرب تقریبی (2) با رقم دقیق (8) 6 واحد متفاوت است.

تئوری محاسبات تقریبی اجازه می دهد:

1) با دانستن درجه دقت داده ها، میزان دقت نتایج را حتی قبل از انجام اقدامات ارزیابی کنید.

2) داده ها را با درجه ای از دقت مناسب بگیرید، به اندازه ای که دقت مورد نیاز نتیجه را فراهم کند، اما نه آنقدر زیاد که ماشین حساب را از محاسبات بی فایده نجات دهد.

3) خود فرآیند محاسبه را منطقی کنید و آن را از محاسباتی که بر اعداد دقیق نتیجه تأثیر نمی گذارد رها کنید.

خطای مطلق اندازه گیریمقدار تعیین شده توسط تفاوت بین نتیجه اندازه گیری نامیده می شود ایکسو مقدار واقعی کمیت اندازه گیری شده ایکس 0:

Δ ایکس = |ایکس – ایکس 0 |.

مقدار δ، برابر با نسبت خطای مطلق اندازه گیری به نتیجه اندازه گیری، خطای نسبی نامیده می شود:

مثال 2.1.مقدار تقریبی عدد π 3.14 است. سپس خطای آن برابر با 0.00159… خطای مطلق را می توان برابر با 0.0016 و خطای نسبی را برابر با 0.0016 / 3.14 = 0.00051 = 0.051٪ در نظر گرفت.

اعداد قابل توجه اگر خطای مطلق a از یک واحد رقم تجاوز نکند آخرین رقمعدد a، سپس می گوییم که این عدد تمام علائم را درست است. اعداد تقریبی باید یادداشت شوند و فقط علائم صحیح را حفظ کنند. اگر مثلاً خطای مطلق عدد 52 400 برابر با 100 باشد، این عدد باید مثلاً به صورت 524 10 2 یا 0.524 10 5 نوشته شود. می توانید خطای یک عدد تقریبی را با نشان دادن تعداد ارقام معنی دار واقعی آن تخمین بزنید. هنگام شمارش ارقام مهم، صفرهای سمت چپ عدد شمارش نمی شوند.

به عنوان مثال، 0.0283 دارای سه رقم معتبر معتبر و 2.5400 دارای پنج رقم معتبر معتبر است.

قوانین گرد کردن اعداد. اگر عدد تقریبی شامل کاراکترهای اضافی (یا نادرست) باشد، باید گرد شود. وقتی گرد شدن اتفاق می افتد خطای اضافی، از نصف رقم واحد آخرین رقم مهم تجاوز نکند ( د) عدد گرد شده هنگام گرد کردن، فقط علائم صحیح حفظ می شود. کاراکترهای اضافی کنار گذاشته می شوند و اگر اولین رقم حذف شده بزرگتر یا مساوی باشد د/2، سپس آخرین رقم ذخیره شده یک عدد افزایش می یابد.

ارقام اضافی در اعداد صحیح با صفر جایگزین می شوند و در کسرهای اعشاریدور انداخته می شوند (و همچنین صفرهای اضافی). به عنوان مثال، اگر خطای اندازه گیری 0.001 میلی متر باشد، نتیجه 1.07005 به 1.070 گرد می شود. اگر اولین ارقام صفر اصلاح شده و حذف شده کمتر از 5 باشد، ارقام باقیمانده اصلاح نمی شوند. برای مثال عدد 148935 با دقت اندازه گیری 50 دارای گرد شدن 148900 می باشد.اگر اولین رقمی که با صفر جایگزین می شود یا حذف می شود 5 باشد و بعد از آن هیچ رقم یا صفری وجود نداشته باشد، گرد کردن به نزدیکترین عدد زوج انجام می شود. عدد. به عنوان مثال، عدد 123.50 به 124 گرد می شود. اگر اولین رقمی که باید با صفر جایگزین شود یا کنار گذاشته شود بزرگتر از 5 یا برابر با 5 باشد، اما یک رقم قابل توجه به دنبال آن باشد، آخرین رقم باقیمانده یک افزایش می یابد. به عنوان مثال، عدد 6783.6 به 6784 گرد می شود.

مثال 2.2. هنگام گرد کردن عدد 1284 به 1300، خطای مطلق 1300 - 1284 = 16 و هنگام گرد کردن عدد 1280، خطای مطلق 1280 - 1284 = 4 است.

مثال 2.3. هنگام گرد کردن عدد 197 به 200، خطای مطلق 200 - 197 = 3 است. خطای نسبی 3/197 ≈ 0.01523 یا تقریباً 3/200 ≈ 1.5٪ است.

مثال 2.4. فروشنده هندوانه را روی ترازو وزن می کند. در مجموعه اوزان کوچکترین 50 گرم است وزن 3600 گرم است این عدد تقریبی است. وزن دقیق هندوانه مشخص نیست. اما خطای مطلق از 50 گرم تجاوز نمی کند.خطای نسبی از 50/3600 = 1.4% تجاوز نمی کند.

خطا در حل مشکل در کامپیوتر

معمولاً سه نوع خطا به عنوان منابع اصلی خطا در نظر گرفته می شوند. اینها به اصطلاح خطاهای برش، خطاهای گرد کردن و خطاهای انتشار هستند. برای مثال، هنگام استفاده از روش‌های تکراری برای یافتن ریشه معادلات غیرخطی، نتایج تقریبی هستند، برخلاف روش‌های مستقیم که جواب دقیقی را ارائه می‌دهند.

خطاهای برش

این نوع خطا با خطای ذاتی خود مشکل همراه است. ممکن است به دلیل عدم دقت در تعریف داده های اولیه باشد. به عنوان مثال، اگر ابعادی در شرایط مسئله مشخص شده باشد، در عمل برای اشیاء واقعی، این ابعاد همیشه با دقت مشخص می‌شوند. همین امر در مورد سایر پارامترهای فیزیکی نیز صدق می کند. این همچنین شامل عدم دقت فرمول های محاسباتی و ضرایب عددی موجود در آنها می شود.

خطاهای انتشار

این نوع خطا با استفاده از یک یا روش دیگری برای حل مشکل همراه است. در حین محاسبات ناگزیر انباشتگی یا به عبارتی انتشار خطا رخ می دهد. علاوه بر این که خود داده های اصلی دقیق نیستند، هنگام ضرب، جمع و ... خطای جدیدی ایجاد می شود. انباشتگی خطاها به ماهیت و کمیت بستگی دارد. عملیات حسابیدر محاسبه استفاده می شود.

خطاهای گرد کردن

این نوع خطا به این دلیل است که ارزش واقعیاعداد همیشه به طور دقیق توسط رایانه ذخیره نمی شوند. هنگامی که یک عدد واقعی در حافظه کامپیوتر ذخیره می شود، به صورت یک مانتیس و توان آن به همان شکلی که یک عدد در ماشین حساب نمایش داده می شود، نوشته می شود.

ارزش واقعی کمیت فیزیکیتقریباً غیرممکن است که کاملاً دقیق تعیین شود، زیرا هر عملیات اندازه گیری با تعدادی خطا یا در غیر این صورت خطا همراه است. دلایل خطاها می تواند بسیار متفاوت باشد. وقوع آنها ممکن است به دلیل عدم دقت در ساخت و تنظیم دستگاه اندازه گیری باشد، به دلیل ویژگی های فیزیکیاز شی مورد مطالعه (به عنوان مثال، هنگام اندازه گیری قطر یک سیم با ضخامت ناهمگن، نتیجه به طور تصادفی به انتخاب منطقه اندازه گیری بستگی دارد)، دلایل تصادفی و غیره.

وظیفه آزمایشگر این است که تأثیر آنها را بر نتیجه کاهش دهد و همچنین نشان دهد که نتیجه چقدر به نتیجه واقعی نزدیک است.

مفاهیم خطای مطلق و نسبی وجود دارد.

زیر خطای مطلق اندازه گیری تفاوت بین نتیجه اندازه گیری و مقدار واقعی کمیت اندازه گیری شده را درک می کند:

∆x i =x i -x و (2)

جایی که ∆x i خطای مطلق اندازه گیری i است، x i _ نتیجه اندازه گیری i است، x i مقدار واقعی مقدار اندازه گیری شده است.

نتیجه هر بعد فیزیکیگرفته شده تا به شکل زیر نوشته شود:

میانگین کجاست مقدار حسابینزدیکترین مقدار اندازه گیری شده به مقدار واقعی (روایی x و ≈ در زیر نشان داده خواهد شد)، خطای مطلق اندازه گیری است.

برابری (3) باید به گونه ای درک شود که مقدار واقعی مقدار اندازه گیری شده در بازه [-، +] باشد.

خطای مطلق یک مقدار ابعادی است، همان اندازه مقدار اندازه گیری شده است.

خطای مطلق به طور کامل دقت اندازه گیری های انجام شده را مشخص نمی کند. در واقع، اگر ما با همان خطای مطلق ± 1 میلی متر قطعه های 1 متر و 5 میلی متر طول اندازه گیری کنیم، دقت اندازه گیری غیر قابل مقایسه خواهد بود. بنابراین همراه با خطای مطلق اندازه گیری، خطای نسبی نیز محاسبه می شود.

خطای مربوطهاندازه گیری ها نسبت خطای مطلق به خود مقدار اندازه گیری شده است:

خطای نسبی یک کمیت بدون بعد است. به صورت درصد بیان می شود:

در مثال بالا، خطاهای نسبی 0.1٪ و 20٪ هستند. اگرچه آنها تفاوت قابل توجهی دارند ارزش های مطلقهمان هستند. خطای نسبی اطلاعاتی در مورد دقت می دهد

خطاهای اندازه گیری

با توجه به ماهیت تجلی و دلایل ظهور خطا، می توان آن را به طور مشروط به کلاس های زیر تقسیم کرد: ابزاری، سیستماتیک، تصادفی و اشتباه (خطاهای فاحش).

خطاها یا به دلیل نقص در عملکرد دستگاه یا به دلیل نقض روش شناسی یا شرایط آزمایشی هستند یا ماهیت ذهنی دارند. در عمل، آنها به عنوان نتایجی تعریف می شوند که به شدت با سایرین تفاوت دارند. برای از بین بردن ظاهر آنها باید دقت و ظرافت در کار با دستگاه ها رعایت شود. نتایجی که حاوی خطا هستند باید از بررسی حذف شوند.

خطاهای ابزاری اگر دستگاه اندازه‌گیری قابل سرویس و تنظیم باشد، می‌توان اندازه‌گیری‌هایی را روی آن با دقت محدود انجام داد که بر اساس نوع دستگاه تعیین می‌شود. پذیرفته شده است که خطای ابزاری ابزار اشاره گر معادل نصف کوچکترین تقسیم مقیاس آن در نظر گرفته شود. در دستگاه‌های دارای بازخوانی دیجیتال، خطای ابزار برابر با مقدار یک رقم کوچک در مقیاس ابزار است.

خطاهای سیستماتیک- اینها خطاهایی هستند که بزرگی و علامت آنها برای کل سری اندازه گیری های انجام شده با همان روش و با استفاده از ابزارهای اندازه گیری یکسان ثابت است.

هنگام انجام اندازه گیری ها، نه تنها در نظر گرفتن خطاهای سیستماتیک مهم است، بلکه حذف آنها نیز ضروری است.

خطاهای سیستماتیک به طور مشروط به چهار گروه تقسیم می شوند:

1) خطاهایی که ماهیت آنها مشخص است و می توان اندازه آنها را کاملاً دقیق تعیین کرد. چنین خطایی، به عنوان مثال، تغییر در جرم اندازه گیری شده در هوا است که به دما، رطوبت، فشار هوا و غیره بستگی دارد.

2) خطاهایی که ماهیت آنها معلوم است، اما بزرگی خود خطا نامعلوم است. چنین خطاهایی شامل خطاهای ناشی از دستگاه اندازه گیری می شود: نقص خود دستگاه، عدم انطباق مقیاس با مقدار صفر، کلاس دقت این دستگاه.

3) خطاهایی که ممکن است وجود آنها مشکوک نباشد، اما بزرگی آنها اغلب می تواند قابل توجه باشد. چنین خطاهایی اغلب با اندازه گیری های پیچیده رخ می دهد. یک مثال ساده از چنین خطا، اندازه گیری چگالی برخی از نمونه های حاوی یک حفره در داخل است.