مجموع مربع های یک تصاعد حسابی. پیشرفت حسابی: چیست؟

وظایف برای پیشرفت حسابیقبلاً در دوران باستان وجود داشته است. حضور پیدا کردند و خواستار راه حل شدند چون نیاز عملی داشتند.

بنابراین، در یکی از پاپیروس ها مصر باستان"، که دارای محتوای ریاضی است - پاپیروس رایند (قرن 19 قبل از میلاد) - شامل این کار است: ده پیمانه نان را بین ده نفر تقسیم کنید، مشروط بر اینکه اختلاف هر یک از آنها یک هشتم پیمانه باشد."

و در آثار ریاضی یونانیان باستان قضایای ظریف مربوط به پیشروی حسابی وجود دارد. بنابراین، Hypsicles of Alexandria (قرن دوم، که مقدار زیادی داشت وظایف جالبو که کتاب چهاردهم را به عناصر اقلیدس اضافه کرد، این فکر را فرموله کرد: «در یک تصاعد حسابی که دارای تعداد زوج است، مجموع عبارت‌های نیمه دوم از مجموع عبارت‌های نیمه دوم بزرگتر است. از 1/2 تعداد ترم ها."

دنباله با یک نشان داده می شود. اعداد یک دنباله را اعضای آن می نامند و معمولاً با حروف با شاخص هایی مشخص می شوند که شماره سریال این عضو را نشان می دهد (a1، a2، a3 ... به عنوان خوانده شده: "a 1st"، "a 2nd"، "a 3nd" و غیره).

دنباله می تواند نامتناهی یا متناهی باشد.

پیشروی حسابی چیست؟ منظور ما از جمع کردن عبارت قبلی (n) با همان عدد d است که اختلاف پیشروی است.

اگر د<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0، سپس چنین پیشرفتی در حال افزایش در نظر گرفته می شود.

یک پیشروی حسابی محدود نامیده می شود اگر فقط چند عبارت اول آن در نظر گرفته شود. در خیلی مقادیر زیاداعضا در حال حاضر یک پیشرفت بی پایان است.

هر پیشروی حسابی با فرمول زیر تعریف می شود:

an =kn+b، در حالی که b و k برخی از اعداد هستند.

گزاره مخالف کاملاً درست است: اگر دنباله ای با فرمول مشابهی داده شود، دقیقاً یک پیشروی حسابی است که ویژگی های زیر را دارد:

1. هر جمله از پیشرفت، میانگین حسابی ترم قبلی و ترم بعدی است.
2. برعکس: اگر با شروع از دوم، هر جمله میانگین حسابی جمله قبلی و بعدی باشد، یعنی. اگر شرط برآورده شود، این دنباله یک پیشرفت حسابی است. این تساوی نیز نشانه پیشرفت است، به همین دلیل است که معمولاً به آن ویژگی مشخصه پیشرفت می گویند.
   به همین ترتیب، قضیه ای که این ویژگی را منعکس می کند صادق است: یک دنباله فقط در صورتی یک پیشرفت حسابی است که این برابری برای هر یک از عبارت های دنباله صادق باشد، که از 2 شروع می شود.

ویژگی مشخصه برای هر چهار عدد از یک پیشروی حسابی را می توان با فرمول an + am = ak + al بیان کرد، اگر n + m = k + l (m، n، k اعداد پیشروی هستند).

در یک پیشرفت حسابی، هر عبارت ضروری (N) را می توان با استفاده از فرمول زیر پیدا کرد:

به عنوان مثال: جمله اول (a1) در یک تصاعد حسابی برابر با سه است و اختلاف (d) برابر با چهار است. شما باید ترم چهل و پنجم این پیشرفت را پیدا کنید. a45 = 1+4 (45-1) = 177

فرمول an = ak + d(n - k) به ما امکان می دهد تعیین کنیم ترم نهمیک پیشروی حسابی از طریق هر یک از جمله‌های kth آن، مشروط بر اینکه مشخص باشد.

مجموع عبارات یک تصاعد حسابی (به معنای n ترم 1 است پیشرفت محدود) به صورت زیر محاسبه می شود:

Sn = (a1+an) n/2.

اگر عبارت اول نیز شناخته شده باشد، فرمول دیگری برای محاسبه راحت است:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

مجموع یک تصاعد حسابی که حاوی n جمله است به صورت زیر محاسبه می شود:

انتخاب فرمول برای محاسبات به شرایط مسائل و داده های اولیه بستگی دارد.

سری طبیعی هر اعدادی، مانند 1،2،3،...،n،...، ساده‌ترین مثال از پیشروی حسابی است.

علاوه بر پیشروی حسابی، یک تصاعد هندسی نیز وجود دارد که خواص و ویژگی های خاص خود را دارد.

اگر برای هر عدد طبیعی n با یک عدد واقعی مطابقت دهید a n ، سپس می گویند داده شده است دنباله اعداد :

آ 1 , آ 2 , آ 3 , . . . , a n , . . . .

بنابراین، دنباله اعداد تابعی از آرگومان طبیعی است.

عدد آ 1 تماس گرفت اولین عضو سکانس ، عدد آ 2 — ترم دوم دنباله ، عدد آ 3 — سوم و غیره عدد a n تماس گرفت ترم نهمدنباله ها و یک عدد طبیعی n — شماره او .

از دو عضو مجاور a n و a n +1 عضو سکانس a n +1 تماس گرفت متعاقب (به سمت a n )، آ a n — قبلی (به سمت a n +1 ).

برای تعریف یک دنباله، باید روشی را مشخص کنید که به شما امکان می دهد عضوی از دنباله را با هر عددی پیدا کنید.

اغلب توالی با استفاده از آن مشخص می شود فرمول های ترم n ، یعنی فرمولی که به شما امکان می دهد عضوی از یک دنباله را با تعداد آن تعیین کنید.

مثلا،

دنباله ای از اعداد فرد مثبت را می توان با فرمول به دست داد

a n= 2n- 1,

و دنباله متناوب 1 و -1 - فرمول

ب n = (-1)n +1 . ◄

توالی را می توان تعیین کرد فرمول مکرر, یعنی فرمولی که هر عضوی از دنباله را بیان می کند، که با تعدادی شروع می شود، از طریق اعضای قبلی (یک یا چند).

مثلا،

اگر آ 1 = 1 ، آ a n +1 = a n + 5

آ 1 = 1,

آ 2 = آ 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

آ 3 = آ 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

آ 4 = آ 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

آ 5 = آ 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

اگر یک 1= 1, یک 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , سپس هفت جمله اول دنباله عددی به صورت زیر ایجاد می شود:

یک 1 = 1,

یک 2 = 1,

یک 3 = یک 1 + یک 2 = 1 + 1 = 2,

یک 4 = یک 2 + یک 3 = 1 + 2 = 3,

یک 5 = یک 3 + یک 4 = 2 + 3 = 5,

آ 6 = آ 4 + آ 5 = 3 + 5 = 8,

آ 7 = آ 5 + آ 6 = 5 + 8 = 13. ◄

توالی می تواند باشد نهایی و بی پایان .

دنباله نامیده می شود نهایی ، اگر تعداد اعضا محدود باشد. دنباله نامیده می شود بی پایان ، اگر تعداد اعضای آن بی نهایت زیاد باشد.

مثلا،

دنباله اعداد طبیعی دو رقمی:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

نهایی

دنباله اعداد اول:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

بی پایان ◄

دنباله نامیده می شود افزایش می یابد ، اگر هر یک از اعضای آن، با شروع از دوم، بزرگتر از قبلی باشد.

دنباله نامیده می شود در حال کاهش ، در صورتی که هر یک از اعضای آن، با شروع از دوم، کمتر از قبلی باشد.

مثلا،

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . - افزایش توالی؛

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . - توالی کاهشی ◄

دنباله ای که با افزایش تعداد عناصر آن کاهش نمی یابد یا برعکس افزایش نمی یابد، نامیده می شود دنباله یکنواخت .

توالی های یکنواخت، به ویژه، دنباله های افزایشی و توالی های کاهشی هستند.

پیشرفت حسابی

پیشرفت حسابی دنباله ای است که در آن هر عضو با شروع از دومی برابر با عضو قبلی است که همان عدد به آن اضافه می شود.

آ 1 , آ 2 , آ 3 , . . . , a n, . . .

اگر برای هر عدد طبیعی باشد، یک تصاعد حسابی است n شرط برقرار است:

a n +1 = a n + د,

جایی که د - یک عدد مشخص

بنابراین، تفاوت بین عبارت‌های بعدی و قبلی یک پیشروی حسابی معین همیشه ثابت است:

یک 2 - آ 1 = یک 3 - آ 2 = . . . = a n +1 - a n = د.

عدد د تماس گرفت تفاوت پیشرفت حسابی.

برای تعریف یک پیشروی حسابی، کافی است اولین جمله و تفاوت آن را نشان دهیم.

مثلا،

اگر آ 1 = 3, د = 4 ، سپس پنج عبارت اول دنباله را به صورت زیر می یابیم:

یک 1 =3,

یک 2 = یک 1 + د = 3 + 4 = 7,

یک 3 = یک 2 + د= 7 + 4 = 11,

یک 4 = یک 3 + د= 11 + 4 = 15,

آ 5 = آ 4 + د= 15 + 4 = 19. ◄

برای پیشروی حسابی با جمله اول آ 1 و تفاوت د او n

a n = یک 1 + (n- 1)د

مثلا،

جمله سی ام پیشروی حسابی را پیدا کنید

1, 4, 7, 10, . . .

یک 1 =1, د = 3,

یک 30 = یک 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

یک n-1 = یک 1 + (n- 2)د،

a n= یک 1 + (n- 1)د،

a n +1 = آ 1 + nd,

سپس بدیهی است

a n=	a n-1 + a n+1
	2

هر عضو یک پیشرفت حسابی، که از دومی شروع می شود، برابر است با میانگین حسابی اعضای قبلی و بعدی.

اعداد a، b و c عبارت‌های متوالی از یک پیشروی حسابی هستند، اگر و فقط اگر یکی از آنها با میانگین حسابی دو نفر دیگر برابر باشد.

مثلا،

a n = 2n- 7 ، یک پیشرفت حسابی است.

بیایید از عبارت بالا استفاده کنیم. ما داریم:

a n = 2n- 7,

یک n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

یک n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

از این رو،

a n+1 + a n-1	=	2n- 5 + 2n- 9	= 2n- 7 = a n,
2		2

◄

توجه داشته باشید که n ترم سوم یک پیشروی حسابی را می توان نه تنها از طریق آن یافت آ 1 ، بلکه هر قبلی یک ک

a n = یک ک + (n- ک)د.

مثلا،

برای آ 5 را می توان نوشت

یک 5 = یک 1 + 4د,

یک 5 = یک 2 + 3د,

یک 5 = یک 3 + 2د,

یک 5 = یک 4 + د. ◄

a n = یک n-k + kd,

a n = یک n+k - kd,

سپس بدیهی است

a n=	آ n-k +a n+k
	2

هر عضو یک پیشرفت حسابی، که از دومی شروع شود، برابر است با نیمی از مجموع اعضای این پیشروی حسابی با فاصله مساوی از آن.

علاوه بر این، برای هر پیشروی حسابی برابری زیر برقرار است:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

مثلا،

در پیشرفت حسابی

1) آ 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (آ 9 + آ 11 )/2;

2) 28 = یک 10 = یک 3 + 7د= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) یک 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, زیرا

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ a n,

اولین n عبارات یک پیشروی حسابی برابر است با حاصل ضرب نصف مجموع عبارات افراطی و تعداد عبارت‌ها:

از اینجا، به ویژه، نتیجه می شود که اگر شما نیاز به جمع بندی شرایط دارید

یک ک, یک ک +1 , . . . , a n,

سپس فرمول قبلی ساختار خود را حفظ می کند:

مثلا،

در پیشرفت حسابی 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

اس 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = اس 10 - اس 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

اگر یک تصاعد حسابی داده شود، پس کمیت ها آ 1 , a n, د, nواس n با دو فرمول به هم متصل می شوند:

بنابراین، اگر مقادیر سه مورد از این کمیت ها داده شود، مقادیر متناظر دو کمیت دیگر از این فرمول ها تعیین می شود و در یک سیستم دو معادله با دو مجهول ترکیب می شوند.

پیشروی حسابی یک دنباله یکنواخت است. که در آن:

• اگر د > 0 ، سپس در حال افزایش است.
• اگر د < 0 ، سپس در حال کاهش است.
• اگر د = 0 ، سپس دنباله ثابت خواهد بود.

پیشرفت هندسی

پیشرفت هندسی دنباله ای است که در آن هر عضو، با شروع از دوم، برابر با یکی قبلی ضرب در همان عدد است.

ب 1 , ب 2 , ب 3 , . . . , b n, . . .

یک تصاعد هندسی برای هر عدد طبیعی است n شرط برقرار است:

b n +1 = b n · q,

جایی که q ≠ 0 - یک عدد مشخص

بنابراین، نسبت جمله بعدی یک پیشرفت هندسی معین به مورد قبلی یک عدد ثابت است:

ب 2 / ب 1 = ب 3 / ب 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

عدد q تماس گرفت مخرج پیشرفت هندسی.

برای تعریف یک تصاعد هندسی کافی است اولین جمله و مخرج آن را مشخص کنیم.

مثلا،

اگر ب 1 = 1, q = -3 ، سپس پنج عبارت اول دنباله را به صورت زیر می یابیم:

ب 1 = 1,

ب 2 = ب 1 · q = 1 · (-3) = -3,

ب 3 = ب 2 · q= -3 · (-3) = 9,

ب 4 = ب 3 · q= 9 · (-3) = -27,

ب 5 = ب 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

ب 1 و مخرج q او n عبارت هفتم را می توان با استفاده از فرمول پیدا کرد:

b n = ب 1 · qn -1 .

مثلا،

جمله هفتم پیشرفت هندسی را پیدا کنید 1, 2, 4, . . .

ب 1 = 1, q = 2,

ب 7 = ب 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = ب 1 · qn -2 ,

b n = ب 1 · qn -1 ,

b n +1 = ب 1 · qn,

سپس بدیهی است

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

هر عضو پیشروی هندسی، که از دومی شروع می شود، برابر است با میانگین هندسی (متناسب) اعضای قبلی و بعدی.

از آنجایی که عکس آن نیز صادق است، عبارت زیر صادق است:

اعداد a، b و c عبارت‌های متوالی برخی از تصاعد هندسی هستند، اگر و فقط اگر مجذور یکی از آنها با حاصلضرب دو عدد دیگر برابر باشد، یعنی یکی از اعداد میانگین هندسی دو عدد دیگر باشد.

مثلا،

اجازه دهید ثابت کنیم که دنباله داده شده توسط فرمول b n= -3 2 n ، یک پیشرفت هندسی است. بیایید از عبارت بالا استفاده کنیم. ما داریم:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

از این رو،

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) · (-3 · 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

که بیان مورد نظر را ثابت می کند. ◄

توجه داشته باشید که n ترم هفتم یک پیشرفت هندسی را می توان نه تنها از طریق ب 1 ، بلکه هر عضو قبلی b k ، که برای آن استفاده از فرمول کافی است

b n = b k · qn - ک.

مثلا،

برای ب 5 را می توان نوشت

ب 5 = ب 1 · q 4 ,

ب 5 = ب 2 · س 3,

ب 5 = ب 3 · q 2,

ب 5 = ب 4 · q. ◄

b n = b k · qn - ک,

b n = b n - ک · q k,

سپس بدیهی است

b n 2 = b n - ک· b n + ک

مجذور هر جمله از یک تصاعد هندسی، که از دومی شروع می‌شود، برابر است با حاصل ضرب ترم‌های با فاصله مساوی این پیشرفت.

علاوه بر این، برای هر پیشرفت هندسی برابری صادق است:

b m· b n= b k· b l,

متر+ n= ک+ ل.

مثلا،

در پیشرفت هندسی

1) ب 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = ب 5 · ب 7 ;

2) 1024 = ب 11 = ب 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) ب 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = ب 4 · ب 8 ;

4) ب 2 · ب 7 = ب 4 · ب 5 , زیرا

ب 2 · ب 7 = 2 · 64 = 128,

ب 4 · ب 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= ب 1 + ب 2 + ب 3 + . . . + b n

اولین n اعضای یک تصاعد هندسی با مخرج q ≠ 0 با فرمول محاسبه می شود:

و وقتی که q = 1 - طبق فرمول

S n= nb 1

توجه داشته باشید که در صورت نیاز به جمع بندی شرایط

b k, b k +1 , . . . , b n,

سپس از فرمول استفاده می شود:

S n- S k -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k ·	1 - qn - ک +1	.
	1 - q

مثلا،

در پیشرفت هندسی 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

اس 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = اس 10 - اس 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

اگر یک پیشروی هندسی داده شود، آنگاه کمیت ها ب 1 , b n, q, nو S n با دو فرمول به هم متصل می شوند:

بنابراین، اگر مقادیر هر سه از این کمیت ها داده شود، مقادیر متناظر دو کمیت دیگر از این فرمول ها تعیین می شود و در یک سیستم دو معادله با دو مجهول ترکیب می شوند.

برای پیشرفت هندسی با جمله اول ب 1 و مخرج q موارد زیر صورت می گیرد خواص یکنواختی :

• اگر یکی از شرایط زیر برآورده شود، پیشرفت افزایش می یابد:

ب 1 > 0 و q> 1;

ب 1 < 0 و 0 < q< 1;

• اگر یکی از شرایط زیر برآورده شود، پیشرفت کاهش می یابد:

ب 1 > 0 و 0 < q< 1;

ب 1 < 0 و q> 1.

اگر q< 0 ، سپس پیشرفت هندسی متناوب است: عبارت های آن با اعداد فرد دارای علامت مشابه با جمله اول هستند و عبارت های دارای اعداد زوج دارای علامت مخالف هستند. واضح است که یک پیشرفت هندسی متناوب یکنواخت نیست.

محصول اولی n اعضای یک پیشرفت هندسی را می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد:

Pn= ب 1 · ب 2 · ب 3 · . . . · b n = (ب 1 · b n) n / 2 .

مثلا،

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

پیشرفت هندسی بی نهایت رو به کاهش است

پیشرفت هندسی بی نهایت رو به کاهش است یک پیشروی هندسی نامتناهی نامیده می شود که مدول مخرج آن کمتر است 1 ، به این معنا که

|q| < 1 .

توجه داشته باشید که یک پیشروی هندسی در حال کاهش بی نهایت ممکن است دنباله ای کاهشی نباشد. متناسب با موقعیت است

1 < q< 0 .

با چنین مخرجی، دنباله متناوب است. مثلا،

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

مجموع یک پیشروی هندسی بی نهایت رو به کاهش عددی را که مجموع اولین ها بدون محدودیت به آن نزدیک می شود نام ببرید n اعضای یک پیشرفت با افزایش نامحدود در تعداد n . این عدد همیشه محدود است و با فرمول بیان می شود

اس= ب 1 + ب 2 + ب 3 + . . . =	ب 1	.
	1 - q

مثلا،

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

رابطه بین پیشرفت های حسابی و هندسی

پیشرفت های حسابی و هندسی ارتباط نزدیکی با هم دارند. بیایید فقط به دو نمونه نگاه کنیم.

آ 1 , آ 2 , آ 3 , . . . د ، آن

ب الف 1 , ب الف 2 , ب الف 3 , . . . ب د .

مثلا،

1, 3, 5, . . . - پیشرفت حسابی با تفاوت 2 و

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - پیشرفت هندسی با مخرج 7 2 . ◄

ب 1 , ب 2 , ب 3 , . . . - پیشرفت هندسی با مخرج q ، آن

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . - پیشرفت حسابی با تفاوت ورود به سیستم aq .

مثلا،

2, 12, 72, . . . - پیشرفت هندسی با مخرج 6 و

ال جی 2, ال جی 12, ال جی 72, . . . - پیشرفت حسابی با تفاوت ال جی 6 . ◄

مجموع یک تصاعد حسابی.

مجموع یک تصاعد حسابی چیز ساده ای است. هم در معنا و هم در فرمول. اما انواع و اقسام وظایف در این موضوع وجود دارد. از ابتدایی تا کاملا جامد.

ابتدا بیایید معنی و فرمول مقدار را درک کنیم. و بعد تصمیم می گیریم برای دلخوشی خودت.) منظور از مبلغ به همین سادگی است. برای یافتن مجموع یک پیشروی حسابی، فقط باید تمام عبارات آن را با دقت اضافه کنید. اگر این عبارات کم هستند، می توانید بدون هیچ فرمولی اضافه کنید. اما اگر زیاد باشد، یا زیاد... اضافه آزاردهنده است.) در این صورت فرمول به کمک می آید.

فرمول مقدار ساده است:

بیایید بفهمیم که چه نوع حروفی در فرمول گنجانده شده است. این موضوع خیلی چیزها را روشن می کند.

S n - مجموع یک پیشرفت حسابی. نتیجه اضافه هر کساعضا، با اولینتوسط آخر.مهم است. آنها دقیقاً جمع می شوند همهاعضا پشت سر هم، بدون پرش یا پرش. و دقیقاً شروع از اولین.در مسائلی مانند یافتن مجموع ترم های سوم و هشتم یا مجموع ترم های پنجم تا بیستم - کاربرد مستقیمفرمول ها ناامید خواهند شد.)

یک 1 - اولینعضو پیشرفت اینجا همه چیز واضح است، ساده است اولینشماره ردیف.

a n- آخرعضو پیشرفت آخرین شماره سریال. نام چندان آشنا نیست، اما وقتی روی مقدار اعمال شود، بسیار مناسب است. بعد خودت خواهی دید.

n - شماره آخرین عضو درک این نکته مهم است که در فرمول این عدد با تعداد اصطلاحات اضافه شده منطبق است.

بیایید مفهوم را تعریف کنیم آخرعضو a n. سوال مشکل: کدام عضو این کار را خواهد کرد آخریناگر داده شود بی پایانپیشرفت حسابی؟)

برای پاسخگویی مطمئن، باید معنای ابتدایی پیشروی حسابی را بفهمید و ... کار را با دقت بخوانید!)

در کار یافتن مجموع یک پیشروی حسابی، آخرین جمله همیشه ظاهر می شود (مستقیم یا غیر مستقیم)، که باید محدود شود.در غیر این صورت یک مبلغ نهایی و مشخص به سادگی وجود نداردبرای حل، فرقی نمی کند که پیشرفت داده شود: متناهی یا نامتناهی. مهم نیست چگونه داده می شود: یک سری اعداد، یا یک فرمول برای ترم n.

مهمترین چیز این است که درک کنید که فرمول از اولین ترم پیشرفت به ترم با عدد کار می کند nدر واقع، نام کامل فرمول به صورت زیر است: مجموع n جمله اول یک پیشرفت حسابی.تعداد این اعضای اولیه، یعنی. n، صرفاً توسط وظیفه تعیین می شود. در یک کار، همه این اطلاعات ارزشمند اغلب رمزگذاری می شوند، بله... اما اشکالی ندارد، در مثال های زیر این اسرار را فاش می کنیم.)

نمونه هایی از کارها بر روی مجموع یک پیشرفت حسابی.

اول از همه، اطلاعات مفید:

مشکل اصلی در کارهایی که شامل مجموع یک پیشروی حسابی است در تعیین صحیح عناصر فرمول نهفته است.

وظیفه نویسان دقیقاً همین عناصر را با تخیل بی حد و حصر رمزگذاری می کنند.) نکته اصلی در اینجا این است که نترسید. با درک ماهیت عناصر، کافی است به سادگی آنها را رمزگشایی کنیم. بیایید به چند نمونه با جزئیات نگاه کنیم. بیایید با یک کار بر اساس یک GIA واقعی شروع کنیم.

1. پیشروی حسابی با شرط داده می شود: a n = 2n-3.5. مجموع 10 جمله اول آن را بیابید.

آفرین. آسان.) برای تعیین مقدار با استفاده از فرمول، چه چیزهایی باید بدانیم؟ عضو اول یک 1، ترم آخر a n، بله شماره آخرین عضو n

از کجا می توانم شماره آخرین عضو را دریافت کنم؟ n? بله، همانجا، به شرطی! می گوید: جمع را پیدا کن 10 عضو اولخوب با چه عددی خواهد بود؟ آخر،عضو دهم؟) باور نمی کنید، شماره او دهم است!) بنابراین، به جای a nما به فرمول جایگزین می کنیم یک 10، و به جاش n- ده تکرار می کنم تعداد آخرین عضو با تعداد اعضا مطابقت دارد.

باقی مانده است که مشخص شود یک 1و یک 10. این به راحتی با استفاده از فرمول ترم n که در بیان مسئله آورده شده است محاسبه می شود. نمی دانید چگونه این کار را انجام دهید؟ در درس قبلی شرکت کنید، بدون این هیچ راهی وجود ندارد.

یک 1= 2 1 - 3.5 = -1.5

یک 10=2·10 - 3.5 =16.5

S n = S 10.

ما به معنای تمام عناصر فرمول برای مجموع یک پیشرفت حسابی پی برده ایم. تنها چیزی که باقی می ماند این است که آنها را جایگزین کنیم و بشماریم:

خودشه. جواب: 75.

وظیفه دیگری بر اساس GIA است. کمی پیچیده تر:

2. با توجه به یک تصاعد حسابی (an)، که اختلاف آن 3.7 است. a 1 = 2.3. مجموع 15 جمله اول آن را بیابید.

بلافاصله فرمول جمع را می نویسیم:

این فرمول به ما اجازه می دهد تا مقدار هر عبارتی را با تعداد آن پیدا کنیم. ما به دنبال یک جایگزین ساده هستیم:

a 15 = 2.3 + (15-1) 3.7 = 54.1

باقی مانده است که همه عناصر را در فرمول برای مجموع یک پیشرفت حسابی جایگزین کرده و پاسخ را محاسبه کنیم:

جواب: 423.

به هر حال، اگر در فرمول جمع به جای a nما به سادگی فرمول را برای ترم n جایگزین می کنیم و به دست می آوریم:

بیایید موارد مشابه را ارائه کنیم و یک فرمول جدید برای مجموع شرایط یک پیشرفت حسابی بدست آوریم:

همانطور که می بینید، ترم n در اینجا مورد نیاز نیست a n. در برخی مشکلات این فرمول کمک زیادی می کند، بله... می توانید این فرمول را به خاطر بسپارید. یا می توانید به سادگی آن را در زمان مناسب پس بگیرید، مانند اینجا. پس از همه، شما همیشه باید فرمول جمع و فرمول ترم n را به خاطر بسپارید.)

اکنون کار به شکل یک رمزگذاری کوتاه:

3. مجموع تمام اعداد دو رقمی مثبت که مضرب سه هستند را بیابید.

وای! نه عضو اولت، نه آخرین و نه پیشرفتت اصلا... چگونه زندگی کنیم!؟

شما باید با سر خود فکر کنید و تمام عناصر حاصل از مجموع پیشرفت حسابی را از شرط بیرون بکشید. ما می دانیم که اعداد دو رقمی چیست. آنها از دو عدد تشکیل شده اند.) چه عددی دو رقمی خواهد بود اولین? 10، احتمالا.) A آخرین چیزعدد دو رقمی؟ 99 البته! سه رقمی ها دنبالش می آیند...

مضرب سه... هوم... اینها اعدادی هستند که بر سه بخش پذیرند، اینجا! ده بر سه بخش پذیر نیست، 11 بخش پذیر نیست... 12... بخش پذیر است! بنابراین، چیزی در حال ظهور است. از قبل می توانید یک سری را با توجه به شرایط مشکل بنویسید:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

آیا این سریال یک پیشروی حسابی خواهد بود؟ قطعا! هر ترم با ترم قبلی کاملاً سه تفاوت دارد. اگر 2 یا 4 را به یک عبارت اضافه کنید، بگویید نتیجه، یعنی. عدد جدید دیگر بر 3 بخش پذیر نیست. می توانید فوراً تفاوت پیشرفت حسابی را تعیین کنید: d = 3.به کار خواهد آمد!)

بنابراین، می توانیم با خیال راحت برخی از پارامترهای پیشرفت را بنویسیم:

عدد چقدر خواهد بود؟ nآخرین عضو؟ هر کسی که فکر می کند 99 به شدت در اشتباه است... اعداد همیشه پشت سر هم می روند، اما اعضای ما از سه می پرند. مطابقت ندارند

در اینجا دو راه حل وجود دارد. یکی از راه ها برای افراد فوق سخت کوش است. می توانید پیشرفت، کل سری اعداد را یادداشت کنید و تعداد اعضا را با انگشت خود بشمارید.) راه دوم برای افراد متفکر است. شما باید فرمول ترم n را به خاطر بسپارید. اگر فرمول را برای مسئله خود اعمال کنیم، متوجه می شویم که 99 عبارت سی ام پیشرفت است. آن ها n = 30.

بیایید به فرمول مجموع یک پیشرفت حسابی نگاه کنیم:

ما نگاه می کنیم و خوشحال می شویم.) ما از بیانیه مشکل هر چیزی را که برای محاسبه مقدار لازم بود بیرون کشیدیم:

یک 1= 12.

یک 30= 99.

S n = S 30.

تنها چیزی که باقی می ماند محاسبات ابتدایی است. اعداد را جایگزین فرمول می کنیم و محاسبه می کنیم:

جواب: 1665

نوع دیگری از پازل محبوب:

4. با توجه به یک پیشرفت حسابی:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

مجموع عبارت های بیستم تا سی و چهار را پیدا کنید.

فرمول مبلغ را نگاه می کنیم و... ناراحت می شویم.) فرمول، یادآوری کنم، مقدار را محاسبه می کند. از اولعضو و در مسئله باید مجموع را محاسبه کنید از بیستم ...فرمول کار نخواهد کرد

البته می‌توانید کل پیشرفت را در یک سری بنویسید و عبارت‌های 20 تا 34 را اضافه کنید.

راه حل ظریف تری وجود دارد. بیایید سریال خود را به دو قسمت تقسیم کنیم. قسمت اول خواهد بود از ترم اول تا نوزدهمبخش دوم - از بیست تا سی و چهارواضح است که اگر مجموع عبارات قسمت اول را محاسبه کنیم S 1-19، آن را با مجموع شرایط قسمت دوم اضافه می کنیم S 20-34، مجموع پیشرفت از ترم اول تا سی و چهارم را بدست می آوریم S 1-34. مثل این:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

از این می توانیم ببینیم که مجموع را پیدا می کنیم S 20-34می توان با تفریق ساده انجام داد

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

هر دو مقدار در سمت راست در نظر گرفته شده است از اولعضو، یعنی فرمول جمع استاندارد کاملاً برای آنها قابل اجرا است. بیا شروع کنیم؟

ما پارامترهای پیشرفت را از عبارت مشکل استخراج می کنیم:

d = 1.5.

یک 1= -21,5.

برای محاسبه مجموع 19 ترم اول و 34 ترم اول به ترم های 19 و 34 نیاز داریم. ما آنها را با استفاده از فرمول ترم n، مانند مسئله 2، محاسبه می کنیم:

یک 19= -21.5 +(19-1) 1.5 = 5.5

یک 34= -21.5 +(34-1) 1.5 = 28

چیزی باقی نمانده از مجموع 34 جمله، مجموع 19 جمله را کم کنید:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110.5 - (-152) = 262.5

جواب: 262.5

یکی یادداشت مهم! یک ترفند بسیار مفید در حل این مشکل وجود دارد. به جای محاسبه مستقیم آنچه شما نیاز دارید (S 20-34)،ما شمردیم چیزی که به نظر نمی رسد مورد نیاز باشد - S 1-19.و سپس تعیین کردند S 20-34، دور انداختن موارد غیر ضروری از نتیجه کامل. این نوع "تظاهرات با گوش" اغلب شما را از مشکلات بد نجات می دهد.)

در این درس به مسائلی پرداختیم که برای درک معنای مجموع یک پیشرفت حسابی کافی است. خوب، شما باید چند فرمول را بدانید.)

توصیه عملی:

هنگام حل هر مسئله ای که شامل مجموع یک پیشرفت حسابی است، توصیه می کنم فوراً دو فرمول اصلی را از این مبحث بنویسید.

فرمول ترم n:

این فرمول ها بلافاصله به شما می گویند که برای حل مشکل به دنبال چه چیزی باشید و در چه جهتی فکر کنید. کمک می کند.

و اکنون وظایف برای راه حل مستقل.

5- مجموع تمام اعداد دو رقمی که بر سه بخش پذیر نیستند را بیابید.

جالب است؟) اشاره در یادداشت مشکل 4 پنهان است. خوب، مشکل 3 کمک خواهد کرد.

6. پیشروی حسابی با شرط داده می شود: a 1 = -5.5; a n+1 = a n +0.5. مجموع 24 جمله اول آن را بیابید.

غیر معمول؟) این یک فرمول تکراری است. می توانید در درس قبلی در مورد آن مطالعه کنید. پیوند را نادیده نگیرید، چنین مشکلاتی اغلب در آکادمی علوم دولتی یافت می شود.

7. واسیا برای تعطیلات پول پس انداز کرد. به اندازه 4550 روبل! و تصمیم گرفتم به شخص مورد علاقه ام (خودم) چند روز شادی بدهم). زیبا زندگی کن بدون اینکه چیزی از خودت انکار کنی. در روز اول 500 روبل خرج کنید و در هر روز بعد 50 روبل بیشتر از روز قبل خرج کنید! تا زمانی که پول تمام شود. واسیا چند روز خوشبختی داشت؟

دشوار است؟) یک فرمول اضافی از کار 2 کمک خواهد کرد.

پاسخ ها (به هم ریخته): 7، 3240، 6.

اگر این سایت را دوست دارید ...

به هر حال، من چند سایت جالب دیگر برای شما دارم.)

می توانید حل مثال ها را تمرین کنید و سطح خود را پیدا کنید. تست با تایید فوری بیایید یاد بگیریم - با علاقه!)

می توانید با توابع و مشتقات آشنا شوید.

I. V. Yakovlev | مواد ریاضی | MathUs.ru

پیشرفت حسابی

پیشروی حسابی نوع خاصی از دنباله است. بنابراین، قبل از تعریف یک پیشروی حسابی (و سپس هندسی)، لازم است به طور خلاصه بحث کنیم. مفهوم مهمدنباله اعداد

دنباله

دستگاهی را تصور کنید که روی صفحه آن اعداد خاصی یکی پس از دیگری نمایش داده می شود. فرض کنید 2; 7; 13; 1 6; 0; 3; : : : این مجموعه اعداد دقیقاً نمونه ای از یک دنباله است.

تعریف. دنباله اعداد مجموعه ای از اعداد است که در آن به هر عدد می توان یک عدد منحصر به فرد (یعنی مرتبط با یک عدد طبیعی منفرد) اختصاص داد. عدد n را nامین جمله دنباله می نامند.

بنابراین، در مثال بالا، اولین عدد 2 است، این اولین عضو دنباله است که می توان آن را با a1 نشان داد. عدد پنج دارای عدد 6 است پنجمین جمله دنباله است که می توان آن را با a5 نشان داد. به طور کلی، جمله n یک دنباله با (یا bn، cn و غیره) نشان داده می شود.

یک موقعیت بسیار راحت زمانی است که nامین ترم دنباله را بتوان با فرمولی مشخص کرد. به عنوان مثال، فرمول an = 2n 3 دنباله را مشخص می کند: 1; 1 3; 5 7; : : : فرمول an = (1)n دنباله را مشخص می کند: 1; 1 1 1 : : :

هر مجموعه ای از اعداد یک دنباله نیست. بنابراین، یک قطعه یک دنباله نیست. این شامل اعداد "بیش از حد" برای شماره گذاری مجدد است. مجموعه R تمام اعداد حقیقی نیز دنباله ای نیست. این حقایق در دوره تجزیه و تحلیل ریاضی ثابت شده است.

پیشرفت حسابی: تعاریف اساسی

اکنون ما آماده تعریف یک پیشرفت حسابی هستیم.

تعریف. پیشروی حسابی دنباله‌ای است که در آن هر جمله (از دومی شروع می‌شود) برابر است با مجموع جمله قبلی و مقداری ثابت (به نام اختلاف پیشروی حسابی).

به عنوان مثال، دنباله 2; 5 8; یازده : : : یک پیشروی حسابی با اولین جمله 2 و اختلاف 3 است. دنباله 7; 2 3; 8; : : : یک پیشروی حسابی با اولین جمله 7 و اختلاف 5 است. دنباله 3; 3; 3; : : : یک تصاعد حسابی با اختلاف صفر است.

تعریف معادل: اگر تفاوت an+1 an یک مقدار ثابت (مستقل از n) باشد، دنباله an را پیشروی حسابی می نامند.

پیشروی حسابی را اگر اختلاف آن مثبت باشد افزایش و اگر اختلاف آن منفی باشد کاهش می‌گویند.

1 اما در اینجا یک تعریف مختصرتر وجود دارد: دنباله تابعی است که بر روی مجموعه اعداد طبیعی تعریف شده است. برای مثال، دنباله ای از اعداد حقیقی تابع f است: N ! آر.

به طور پیش فرض، دنباله ها بی نهایت در نظر گرفته می شوند، یعنی شامل تعداد نامتناهی اعداد هستند. اما هیچ کس ما را اذیت نمی کند که دنباله های محدود را در نظر بگیریم. در واقع، هر مجموعه محدودی از اعداد را می توان یک دنباله متناهی نامید. به عنوان مثال، دنباله پایانی 1 است. 2 3; 4 5 از پنج عدد تشکیل شده است.

فرمول برای ترم n یک پیشرفت حسابی

به راحتی می توان درک کرد که یک پیشرفت حسابی به طور کامل توسط دو عدد تعیین می شود: جمله اول و تفاوت. بنابراین، این سؤال مطرح می شود: چگونه با دانستن جمله اول و تفاوت، یک عبارت دلخواه از یک پیشروی حسابی را پیدا کنید؟

به دست آوردن فرمول مورد نیاز برای ترم n یک پیشروی حسابی دشوار نیست. اجازه دهید یک

پیشروی حسابی با اختلاف د. ما داریم:
an+1 = an + d (n = 1; 2; : : :):
به طور خاص می نویسیم:
a2 = a1 + d;
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d;
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d;
و اکنون مشخص می شود که فرمول an این است:
an = a1 + (n 1)d:

مسئله 1. در پیشرفت حسابی 2; 5 8; یازده : : : فرمول n ام را پیدا کنید و جمله صدم را محاسبه کنید.

راه حل. طبق فرمول (1) داریم:

an = 2 + 3 (n 1) = 3n 1:

a100 = 3 100 1 = 299:

خاصیت و علامت سیر حسابی

خاصیت پیشروی حسابی. در پیشرفت حسابی برای هر

به عبارت دیگر، هر عضو یک پیشرفت حسابی (از دومی شروع می شود) میانگین حسابی اعضای همسایه خود است.

	اثبات ما داریم:
	a n 1+ a n+1		(an d) + (an + d)

چیزی که لازم بود

به طور کلی تر، پیشرفت حسابی a برابری را برآورده می کند

a n = a n k + a n + k

برای هر n > 2 و هر k طبیعی< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

به نظر می رسد که فرمول (2) نه تنها به عنوان یک شرط لازم، بلکه به عنوان یک شرط کافی برای اینکه دنباله یک پیشرفت حسابی باشد نیز عمل می کند.

علامت پیشروی حسابی. اگر تساوی (2) برای همه n > 2 برقرار باشد، دنباله an یک پیشرفت حسابی است.

اثبات بیایید فرمول (2) را به صورت زیر بازنویسی کنیم:

a na n 1 = a n+1a n:

از اینجا می توانیم ببینیم که تفاوت an+1 an به n بستگی ندارد و این دقیقاً به این معنی است که دنباله an یک تصاعد حسابی است.

ویژگی و علامت یک تصاعد حسابی را می توان در قالب یک جمله فرمول بندی کرد. برای راحتی، ما این کار را برای سه عدد انجام می دهیم (این وضعیتی است که اغلب در مشکلات رخ می دهد).

مشخص کردن یک پیشرفت حسابی سه عدد a، b، c یک تصاعد حسابی تشکیل می دهند اگر و فقط اگر 2b = a + c.

مسئله 2. (MSU، دانشکده اقتصاد، 2007) سه عدد 8x، 3 x2 و 4 به ترتیب نشان داده شده یک پیشرفت محاسباتی کاهشی را تشکیل می دهند. x را پیدا کنید و تفاوت این پیشرفت را نشان دهید.

راه حل. با خاصیت پیشرفت حسابی داریم:

2 (3 x2) = 8x 4، 2x2 + 8x 10 = 0، x2 + 4x 5 = 0، x = 1. x = 5:

اگر x = 1، آنگاه یک پیشرفت کاهشی 8، 2، 4 با اختلاف 6 دریافت می کنیم. این مورد مناسب نیست

پاسخ: x = 1، تفاوت 6 است.

مجموع n جمله اول یک پیشرفت حسابی

در افسانه ها آمده است که روزی معلم به بچه ها گفت که مجموع اعداد 1 تا 100 را پیدا کنند و آرام نشستند و روزنامه بخوانند. با این حال، در عرض چند دقیقه، یک پسر گفت که او مشکل را حل کرده است. این کارل فردریش گاوس 9 ساله بود که بعدها یکی از بزرگترین ریاضیدانان تاریخ بود.

ایده گاوس کوچک به شرح زیر بود. اجازه دهید

S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:

بیایید این مقدار را به ترتیب معکوس بنویسیم:

S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;

و این دو فرمول را اضافه کنید:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

هر عبارت داخل پرانتز برابر با 101 است و در مجموع 100 عبارت از این قبیل وجود دارد

2S = 101 100 = 10100;

ما از این ایده برای استخراج فرمول جمع استفاده می کنیم

S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)

یک اصلاح مفید برای فرمول (3) به دست می آید اگر فرمول nامین جمله an = a1 + (n 1)d را جایگزین آن کنیم:

		2a1 + (n 1)d

مسئله 3. مجموع تمام اعداد سه رقمی مثبت بخش پذیر بر 13 را بیابید.

راه حل. اعداد سه رقمی که مضرب 13 هستند یک تصاعد حسابی را تشکیل می دهند که جمله اول آن 104 و تفاوت آن 13 است. ترم n این پیشرفت به شکل زیر است:

an = 104 + 13 (n 1) = 91 + 13n:

بیایید دریابیم که پیشرفت ما شامل چند عبارت است. برای انجام این کار، بیایید نابرابری را حل کنیم:

یک 6 999; 91 + 13n 6 999;

n 6 908 13 = 6911 13; n 6 69:

بنابراین، 69 عضو در پیشرفت ما وجود دارد. با استفاده از فرمول (4) مقدار مورد نیاز را پیدا می کنیم:

S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2

یا حساب نوعی دنباله عددی منظم است که خصوصیات آن در درس جبر مدرسه بررسی می شود. این مقاله به طور مفصل به این سوال می‌پردازد که چگونه می‌توان مجموع یک پیشروی حسابی را پیدا کرد.

این چه نوع پیشرفتی است؟

قبل از اینکه به این سوال بپردازیم (چگونه مجموع یک پیشروی حسابی را پیدا کنیم)، ارزش آن را دارد که بدانیم در مورد چه چیزی صحبت می کنیم.

هر دنباله ای از اعداد حقیقی که با جمع کردن (کاهش) مقداری از هر عدد قبلی به دست می آید، پیشروی جبری (حسابی) نامیده می شود. این تعریف وقتی به زبان ریاضی ترجمه می‌شود، به این شکل است:

در اینجا i شماره سریال عنصر ردیف a i است. بنابراین، با دانستن تنها یک شماره شروع، می توانید به راحتی کل سری را بازیابی کنید. پارامتر d در فرمول را اختلاف پیشروی می نامند.

به راحتی می توان نشان داد که برای سری اعداد مورد نظر تساوی زیر برقرار است:

a n = a 1 + d * (n - 1).

یعنی برای یافتن مقدار عنصر n به ترتیب باید اختلاف d را به عنصر اول a 1 n-1 بار اضافه کنید.

مجموع یک پیشروی حسابی چقدر است: فرمول

قبل از ارائه فرمول برای مقدار مشخص شده، ارزش دارد که یک مورد خاص ساده را در نظر بگیرید. با توجه به پیشرفت اعداد طبیعی از 1 تا 10، باید مجموع آنها را پیدا کنید. از آنجایی که عبارات کمی در پیشروی وجود دارد (10)، می توان مشکل را به طور مستقیم حل کرد، یعنی همه عناصر را به ترتیب جمع کرد.

S 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.

شایان ذکر است که یک چیز جالب توجه است: از آنجایی که هر جمله با مقدار یکسانی d = 1 با عبارت بعدی متفاوت است، پس مجموع زوج اول با دهم، دوم با نهم و غیره نتیجه یکسانی خواهد داشت. واقعا:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

همانطور که می بینید از این مجموع فقط 5 عدد وجود دارد، یعنی دقیقا دو برابر کمتر از تعداد عناصر سریال. سپس با ضرب تعداد مجموع (5) در نتیجه هر مجموع (11) به نتیجه ای که در مثال اول به دست آمده است خواهید رسید.

اگر این استدلال ها را تعمیم دهیم، می توانیم عبارت زیر را بنویسیم:

S n = n * (a 1 + a n) / 2.

این عبارت نشان می دهد که اصلاً لازم نیست همه عناصر را در یک ردیف جمع کنیم، کافی است مقدار a 1 و آخرین a n را بدانیم تعداد کل n شرایط

اعتقاد بر این است که گاوس برای اولین بار زمانی که به دنبال راه حلی برای مسئله ای بود که معلم مدرسه اش ارائه کرده بود، به این برابری فکر کرد: 100 عدد صحیح اول را جمع کنید.

مجموع عناصر از m تا n: فرمول

فرمول ارائه شده در پاراگراف قبل به این سوال پاسخ می دهد که چگونه می توان مجموع یک تصاعد حسابی (عناصر اول) را پیدا کرد، اما اغلب در مسائل لازم است یک سری از اعداد در وسط پیشرفت جمع شود. چگونه انجامش بدهیم؟

ساده ترین راه برای پاسخ به این سوال با در نظر گرفتن مثال زیر است: بگذارید مجموع عبارت های m-th تا n-ام را پیدا کنید. برای حل مشکل، باید بخش داده شده از m تا n پیشرفت را به عنوان یک جدید نشان دهید سری اعداد. در چنین m-امین نمایندگیعبارت a m اولین مورد خواهد بود و a n با شماره n-(m-1) خواهد بود. در این صورت با اعمال فرمول استاندارد برای جمع، عبارت زیر به دست می آید:

S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

نمونه ای از استفاده از فرمول ها

با دانستن چگونگی یافتن مجموع یک پیشروی حسابی، ارزش آن را دارد که مثال ساده ای از استفاده از فرمول های بالا را در نظر بگیرید.

در زیر یک دنباله عددی وجود دارد که باید مجموع عبارت های آن را پیدا کنید که از پنجم شروع می شود و به دوازدهم ختم می شود:

اعداد داده شده نشان می دهد که تفاوت d برابر با 3 است. با استفاده از عبارت عنصر n، می توانید مقادیر 5 و 12 ترم پیشرفت را پیدا کنید. معلوم می شود:

a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;

a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.

با دانستن مقادیر اعداد در انتهای پیشرفت جبری مورد بررسی، و همچنین دانستن اینکه چه اعدادی در سری اشغال می کنند، می توانید از فرمول جمع به دست آمده در پاراگراف قبل استفاده کنید. معلوم خواهد شد:

S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.

شایان ذکر است که این مقدار می تواند متفاوت به دست آید: ابتدا با استفاده از فرمول استاندارد مجموع 12 عنصر اول را پیدا کنید، سپس با استفاده از همان فرمول مجموع 4 عنصر اول را محاسبه کنید، سپس دومی را از مجموع اول کم کنید.