پیشرفت محاسباتی محدود چیست؟ پیشرفت حسابی

مفهوم دنباله اعداد به این معناست که هر عدد طبیعی با مقداری واقعی مطابقت دارد. چنین سری از اعداد می توانند دلخواه باشند یا ویژگی های خاصی داشته باشند - یک پیشرفت. در مورد دوم، هر عنصر بعدی (عضو) دنباله را می توان با استفاده از عنصر قبلی محاسبه کرد.

پیشروی حسابی دنباله ای از مقادیر عددی است که در آن اعضای همسایه آن با یک عدد متفاوت با یکدیگر متفاوت هستند (همه عناصر سری، از 2 شروع می شوند، دارای ویژگی مشابهی هستند). این عدد - تفاوت بین ترم های قبلی و بعدی - ثابت است و اختلاف پیشروی نامیده می شود.

تفاوت پیشرفت: تعریف

دنباله ای متشکل از مقادیر j را در نظر بگیرید A = a(1)، a(2)، a(3)، a(4) ... a(j)، j متعلق به مجموعه اعداد طبیعی N است. یک عدد حسابی پیشروی طبق تعریف آن دنباله ای است که در آن a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – a(j-1) = d. مقدار d تفاوت مورد نظر این پیشرفت است.

d = a (j) - a (j-1).

برجسته:

• یک پیشرفت فزاینده، در این صورت d > 0. مثال: 4، 8، 12، 16، 20، ...
• کاهش پیشرفت، سپس d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

پیشرفت تفاوت و عناصر دلخواه آن

اگر 2 جمله دلخواه از پیشرفت شناخته شده باشد (i-th، k-th)، آنگاه تفاوت برای یک دنباله معین را می توان بر اساس رابطه تعیین کرد:

a(i) = a(k) + (i – k)*d که به معنی d = (a(i) – a(k))/(i-k) است.

تفاوت پیشرفت و اولین ترم آن

این عبارت تنها در مواردی که تعداد عنصر دنباله مشخص است به تعیین مقدار ناشناخته کمک می کند.

تفاوت پیشرفت و مجموع آن

مجموع یک پیشروی مجموع عبارات آن است. برای محاسبه مقدار کل اولین عناصر j آن، از فرمول مناسب استفاده کنید:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j، اما از آنجا که a(j) = a(1) + d(j – 1)، سپس S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(- 1))/2)*j.

توجه!
اضافی وجود دارد
مواد در بخش ویژه 555.
برای کسانی که خیلی "نه خیلی..." هستند
و برای کسانی که "خیلی...")

پیشروی حسابی مجموعه ای از اعداد است که در آن هر عدد به همان مقدار از عدد قبلی بزرگتر (یا کمتر) است.

این موضوع اغلب پیچیده و غیرقابل درک به نظر می رسد. شاخص های حروف ترم نهمپیشرفت ها، تفاوت های پیشرفت - همه اینها به نوعی گیج کننده است، بله... بیایید معنی پیشرفت حسابی را بفهمیم و همه چیز فوراً بهتر می شود.)

مفهوم پیشرفت حسابی.

پیشروی حسابی مفهومی بسیار ساده و واضح است. آیا شما شک دارید؟ بیهوده.) خودتان ببینید.

من یک سری اعداد ناتمام می نویسم:

1, 2, 3, 4, 5, ...

میشه این سریال رو تمدید کنید چه اعدادی بعد از پنج می آیند؟ همه... اوه... خلاصه همه متوجه خواهند شد که اعداد 6، 7، 8، 9 و غیره می آیند.

بیایید کار را پیچیده کنیم. من یک سری اعداد ناتمام به شما می دهم:

2, 5, 8, 11, 14, ...

شما می توانید الگو را بگیرید، سری را گسترش دهید و نام گذاری کنید هفتمشماره ردیف؟

اگر متوجه شدید که این عدد 20 است، به شما تبریک می گویم! نه تنها احساس کردی نکات کلیدی پیشرفت حسابی،بلکه با موفقیت از آنها در تجارت استفاده کرد! اگر متوجه نشدید، ادامه دهید.

اکنون بیایید نکات کلیدی را از احساسات به ریاضیات ترجمه کنیم.)

اولین نکته کلیدی

پیشروی حسابی با سری اعداد سروکار دارد.این در ابتدا گیج کننده است. ما به حل معادلات، رسم نمودار و اینها عادت کرده ایم... اما اینجا سری را گسترش می دهیم، شماره سری را پیدا می کنیم...

خوبه. فقط پیشرفت ها اولین آشنایی با شاخه جدیدی از ریاضیات است. این بخش "سری" نام دارد و به طور خاص با مجموعه ای از اعداد و عبارات کار می کند. عادت کن.)

نکته کلیدی دوم

در یک تصاعد حسابی، هر عددی با عدد قبلی متفاوت است به همان میزان

در مثال اول این تفاوت یکی است. هر عددی که بگیرید، یک عدد بیشتر از عدد قبلی است. در دوم - سه. هر عددی سه عدد بیشتر از عدد قبلی است. در واقع، این لحظه است که به ما فرصت می دهد تا الگو را درک کنیم و اعداد بعدی را محاسبه کنیم.

نکته کلیدی سوم

این لحظه خیره کننده نیست، بله... اما بسیار بسیار مهم است. او اینجا است: هر عدد پیشرفت در جای خود است.عدد اول هست، هفتم هست، چهل و پنجم هست و غیره. اگر آنها را به طور تصادفی مخلوط کنید، الگو ناپدید می شود. پیشروی حسابی نیز ناپدید خواهد شد. چیزی که باقی می ماند فقط یک سری اعداد است.

این تمام نکته است.

البته در یک تاپیک جدید اصطلاحات و عناوین جدید ظاهر می شود. شما باید آنها را بشناسید. در غیر این صورت تکلیف را متوجه نخواهید شد. به عنوان مثال، شما باید چیزی مانند این تصمیم بگیرید:

اگر a 2 = 5، d = 2.5- باشد، شش جمله اول پیشرفت حسابی (a n) را بنویسید.

الهام بخش؟) نامه ها، برخی از فهرست ها ... و کار، اتفاقا، نمی تواند ساده تر باشد. شما فقط باید معنای اصطلاحات و تعاریف را درک کنید. حال بر این موضوع مسلط خواهیم شد و به کار برمی گردیم.

شرایط و تعاریف.

پیشرفت حسابیمجموعه ای از اعداد است که در آن هر عدد با شماره قبلی متفاوت است به همان میزان

این مقدار نامیده می شود . بیایید این مفهوم را با جزئیات بیشتری بررسی کنیم.

تفاوت پیشروی حسابی

تفاوت پیشروی حسابیمقداری است که با آن هر عدد پیشرفتی است بیشترقبلی.

یکی نکته مهم. لطفا به کلمه دقت کنید "بیشتر".از نظر ریاضی، این بدان معنی است که هر عدد پیشروی است با اضافه کردنتفاوت پیشروی حسابی به عدد قبلی

برای محاسبه، بیایید بگوییم دومیناعداد سری، شما نیاز دارید اولینعدد اضافه کردنهمین تفاوت یک پیشرفت حسابی. برای محاسبه پنجم- تفاوت لازم است اضافه کردنبه چهارم،خوب و غیره

تفاوت پیشروی حسابیشاید مثبت،سپس هر عدد در این سری واقعی خواهد شد بیشتر از قبلیاین پیشرفت نامیده می شود افزایش می یابد.مثلا:

8; 13; 18; 23; 28; .....

در اینجا هر عدد به دست می آید با اضافه کردن عدد مثبت، +5 به قبلی.

تفاوت ممکن است باشد منفی،سپس هر عدد در سری خواهد بود کمتر از قبلیاین پیشرفت نام دارد (باور نمی کنید!) در حال کاهش.

مثلا:

8; 3; -2; -7; -12; .....

در اینجا هر عدد نیز به دست می آید با اضافه کردنبه قبلی، اما در حال حاضر یک عدد منفی، -5.

به هر حال، هنگام کار با پیشرفت، بسیار مفید است که فوراً ماهیت آن را تعیین کنید - افزایش یا کاهش آن. این به تصمیم گیری، تشخیص اشتباهات و اصلاح آنها قبل از اینکه خیلی دیر شود کمک زیادی می کند.

تفاوت پیشروی حسابیمعمولا با حرف مشخص می شود د

چطوری پیدا کنم د? بسیار ساده. باید از هر عددی در سری کم کرد قبلیعدد. تفریق کردن. به هر حال، نتیجه تفریق "تفاوت" نامیده می شود.)

برای مثال تعریف کنیم دبرای افزایش پیشرفت حسابی:

2, 5, 8, 11, 14, ...

هر عددی را در سری که بخواهیم می گیریم مثلاً 11. از آن کم می کنیم شماره قبلیآن ها 8:

این جواب درست است. برای این پیشروی حسابی، تفاوت سه است.

می توانید آن را بگیرید هر عدد پیشرفت،زیرا برای یک پیشرفت خاص د-همیشه همینطورحداقل جایی در ابتدای ردیف، حداقل در وسط، حداقل هر جایی. شما نمی توانید فقط شماره اول را بگیرید. صرفاً به این دلیل که همان شماره اول است هیچ قبلی)

به هر حال، دانستن آن d=3، یافتن عدد هفتم این پیشرفت بسیار ساده است. بیایید 3 را به عدد پنجم اضافه کنیم - ششمین را می گیریم، 17 می شود. بیایید سه را به عدد ششم اضافه کنیم، عدد هفتم را به دست می آوریم - بیست.

تعریف کنیم دبرای پیشرفت محاسباتی نزولی:

8; 3; -2; -7; -12; .....

به شما یادآوری می کنم که بدون توجه به علائم، برای تعیین داز هر تعداد مورد نیاز است قبلی را برداریدهر عدد پیشروی را انتخاب کنید، برای مثال -7. عدد قبلی او 2- است. سپس:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

تفاوت یک پیشرفت حسابی می تواند هر عددی باشد: عدد صحیح، کسری، غیر منطقی، هر عددی.

سایر اصطلاحات و عناوین.

هر عدد در این سری نامیده می شود عضو یک پیشرفت حسابی

هر یک از اعضای پیشرفت شماره خودش را دارداعداد کاملاً مرتب هستند، بدون هیچ ترفندی. اول، دوم، سوم، چهارم و غیره به عنوان مثال، در پیشرفت 2، 5، 8، 11، 14، ... دو ترم اول است، پنج عبارت دوم، یازده چهارم است، خوب، متوجه شدید...) لطفا واضح متوجه شوید - خود اعدادمی تواند مطلقاً هر چیزی باشد، کل، کسری، منفی، هر چه باشد، اما شماره گذاری اعداد- کاملاً به ترتیب!

نحوه نوشتن یک پیشرفت در نمای کلی? مشکلی نیست! هر عدد در یک سری به صورت یک حرف نوشته می شود. برای نشان دادن پیشروی حسابی، معمولاً از حرف استفاده می شود آ. شماره عضو با یک نمایه در پایین سمت راست نشان داده می شود. ما عبارات را که با کاما (یا نیم ویرگول) از هم جدا شده اند، می نویسیم:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....

یک 1- این اولین شماره است، یک 3- سوم و غیره چیز خاصی نیست. این سریال را می توان به طور خلاصه اینگونه نوشت: (a n).

پیشرفت ها اتفاق می افتد متناهی و نامتناهی

نهاییپیشرفت دارد تعداد محدوداعضا. پنج، سی و هشت، هر چه باشد. اما یک عدد محدود است.

بي نهايتپیشرفت - همانطور که ممکن است حدس بزنید تعداد نامتناهی عضو دارد.)

شما می توانید پیشرفت نهایی را از طریق مجموعه ای مانند این، تمام اصطلاحات و یک نقطه در پایان بنویسید:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5.

یا به این صورت، اگر تعداد اعضا زیاد باشد:

a 1, a 2, ... a 14, a 15.

در ورودی کوتاه باید تعداد اعضا را نیز مشخص کنید. به عنوان مثال (برای بیست عضو)، مانند زیر:

(a n)، n = 20

مانند مثال‌های این درس، یک پیشروی بی‌نهایت را می‌توان با بیضی انتهای ردیف تشخیص داد.

اکنون می توانید وظایف را حل کنید. کارها ساده هستند، صرفاً برای درک معنای یک پیشرفت حسابی.

نمونه هایی از کارهای مربوط به پیشرفت حسابی.

بیایید به کار ارائه شده در بالا با جزئیات نگاه کنیم:

1. شش جمله اول پیشرفت حسابی (a n) را بنویسید، اگر a 2 = 5، d = 2.5- باشد.

ما وظیفه را به زبان روشن. یک پیشروی حسابی بی نهایت داده شده است. عدد دوم این پیشرفت مشخص است: a 2 = 5.تفاوت پیشرفت مشخص است: d = -2.5.ما باید ترم های اول، سوم، چهارم، پنجم و ششم این پیشرفت را پیدا کنیم.

برای وضوح یک سری با توجه به شرایط مشکل می نویسم. شش ترم اول که ترم دوم پنج ترم است:

یک 1، 5، 3، 4، 5، 6، ....

یک 3 = یک 2 + د

جایگزین در بیان a 2 = 5و d = -2.5. منهای را فراموش نکنید!

یک 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

ترم سوم کمتر از دوره دوم بود. همه چیز منطقی است. اگر عدد از عدد قبلی بیشتر باشد منفیمقدار، به این معنی که خود عدد کمتر از عدد قبلی خواهد بود. پیشرفت در حال کاهش است. خوب، بیایید آن را در نظر بگیریم.) ما چهارمین ترم سری خود را می شماریم:

یک 4 = یک 3 + د

یک 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

یک 5 = یک 4 + د

یک 5=0+(-2,5)= - 2,5

یک 6 = یک 5 + د

یک 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

بنابراین ترم های سوم تا ششم محاسبه شد. نتیجه سری زیر است:

1، 5، 2.5، 0، -2.5، -5، ....

باقی مانده است که اولین ترم را پیدا کنیم یک 1با توجه به دوم معروف. این یک گام در جهت دیگر، به سمت چپ است.) بنابراین، تفاوت پیشروی حسابی دنباید به آن اضافه شود یک 2، آ بردن:

یک 1 = یک 2 - د

یک 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

خودشه. پاسخ تکلیف:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

گذراً می خواهم یادآوری کنم که ما این کار را حل کردیم عود کنندهمسیر. این کلمه وحشتناک فقط به معنای جستجو برای عضوی از پیشرفت است مطابق شماره قبلی ( مجاور )در زیر راه‌های دیگر کار با پیشرفت را بررسی خواهیم کرد.

از این کار ساده می توان یک نتیجه مهم گرفت.

یاد آوردن:

اگر حداقل یک جمله و تفاوت یک تصاعد حسابی را بدانیم، می توانیم هر جمله ای از این پیشروی را پیدا کنیم.

یادت میاد؟ این نتیجه گیری ساده به شما امکان می دهد بیشتر مشکلات دوره مدرسه را در مورد این موضوع حل کنید. همه کارها حول سه پارامتر اصلی می چرخند: عضو یک پیشرفت حسابی، تفاوت یک پیشرفت، تعداد یک عضو از پیشرفت.همه.

البته تمام جبرهای قبلی لغو نمی شود.) نابرابری ها، معادلات و چیزهای دیگر به پیشرفت پیوسته اند. ولی با توجه به خود پیشرفت- همه چیز حول سه پارامتر می چرخد.

به عنوان مثال، اجازه دهید به برخی از وظایف محبوب در این موضوع نگاه کنیم.

2. اگر n=5، d = 0.4 و a 1 = 3.6 باشد، پیشرفت محاسباتی محدود را به صورت سری بنویسید.

اینجا همه چیز ساده است. همه چیز قبلا داده شده است. شما باید به یاد داشته باشید که اعضای یک پیشروی حسابی چگونه شمارش می شوند، آنها را بشمارید و یادداشت کنید. توصیه می شود کلمات را در شرایط کار از دست ندهید: "نهایی" و " n=5". به طوری که تا زمانی که صورت کاملاً آبی نشوید حساب نکنید.) فقط 5 (پنج) عضو در این پیشرفت وجود دارد:

a 2 = a 1 + d = 3.6 + 0.4 = 4

a 3 = a 2 + d = 4 + 0.4 = 4.4

یک 4 = یک 3 + d = 4.4 + 0.4 = 4.8

یک 5 = یک 4 + d = 4.8 + 0.4 = 5.2

باقی مانده است که پاسخ را بنویسیم:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

وظیفه دیگر:

3. تعیین کنید که آیا عدد 7 عضوی از پیشروی حسابی (an) خواهد بود، اگر a 1 = 4.1; d = 1.2.

هوم... کی میدونه؟ چگونه چیزی را تعیین کنیم؟

چطوری ... پیشرفت رو به صورت سریال بنویس و ببین اونجا هفت میشه یا نه! حساب می کنیم:

a 2 = a 1 + d = 4.1 + 1.2 = 5.3

a 3 = a 2 + d = 5.3 + 1.2 = 6.5

یک 4 = یک 3 + d = 6.5 + 1.2 = 7.7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

اکنون به وضوح قابل مشاهده است که ما فقط هفت نفر هستیم سر خوردبین 6.5 تا 7.7! هفت در سری اعداد ما قرار نمی گیرد، و بنابراین، هفت عضوی از پیشرفت داده شده نخواهد بود.

پاسخ: خیر

در اینجا یک مشکل بر اساس گزینه واقعی GIA:

4. چندین عبارت متوالی از پیشروی حسابی نوشته شده است:

...; 15; ایکس؛ 9; 6; ...

اینم سریالی که بدون پایان و شروع نوشته شده. بدون شماره اعضا، بدون تفاوت د. خوبه. برای حل مسئله کافی است که معنای یک تصاعد حسابی را بفهمیم. بیایید نگاه کنیم و ببینیم چه چیزی ممکن است دانستناز این سریال؟ سه پارامتر اصلی چیست؟

شماره اعضا؟ اینجا یک عدد وجود ندارد.

اما سه عدد وجود دارد و - توجه! - کلمه "استوار"در شرایط این بدان معنی است که اعداد کاملاً مرتب و بدون شکاف هستند. آیا در این ردیف دو نفر هستند؟ همسایهاعداد شناخته شده؟ بله دارم! اینها 9 و 6 هستند. بنابراین، ما می توانیم تفاوت پیشروی حسابی را محاسبه کنیم! از شش کم کنید قبلیشماره، یعنی نه:

چیزهای جزئی باقی مانده است. عدد قبلی برای X چه عددی خواهد بود؟ پانزده. این بدان معنی است که X را می توان به راحتی با جمع ساده پیدا کرد. اختلاف پیشروی حسابی را به 15 اضافه کنید:

همین. پاسخ: x=12

مشکلات زیر را خودمان حل می کنیم. توجه: این مشکلات بر اساس فرمول نیستند. صرفاً برای درک معنای پیشرفت حسابی.) ما فقط یک سری اعداد و حروف را یادداشت می کنیم، نگاه می کنیم و آن را کشف می کنیم.

5. اولین جمله مثبت پیشروی حسابی را بیابید اگر 5 = -3; d = 1.1.

6. مشخص است که عدد 5.5 عضوی از پیشروی حسابی (a n) است، که در آن a 1 = 1.6; d = 1.3. عدد n این عضو را مشخص کنید.

7. معلوم است که در پیشروی حسابی 2 = 4; a 5 = 15.1. 3 را پیدا کنید.

8. چندین عبارت متوالی از پیشروی حسابی نوشته شده است:

...; 15.6; ایکس؛ 3.4; ...

عبارت پیشرفت را که با حرف x نشان داده شده است، پیدا کنید.

9. قطار از ایستگاه شروع به حرکت کرد و به طور یکنواخت سرعت را 30 متر در دقیقه افزایش داد. سرعت قطار در پنج دقیقه چقدر خواهد بود؟ پاسخ خود را بر حسب کیلومتر در ساعت بدهید.

10. مشخص است که در پیشروی حسابی 2 = 5; a 6 = -5. 1 را پیدا کنید.

پاسخ ها (به هم ریخته): 7.7; 7.5; 9.5; 9; 0.3; 4.

همه چیز درست شد؟ حیرت آور! برای اطلاعات بیشتر می توانید بر پیشروی حسابی مسلط شوید سطح بالا، در درس های بعدی.

همه چیز درست نشد؟ مشکلی نیست در بخش ویژه 555، تمام این مشکلات تکه تکه مرتب شده اند.) و، البته، یک تکنیک عملی ساده توضیح داده شده است که بلافاصله راه حل چنین کارهایی را به وضوح، واضح، در یک نگاه برجسته می کند!

به هر حال، در پازل قطار دو مشکل وجود دارد که مردم اغلب با آنها برخورد می کنند. یکی صرفاً از نظر پیشرفت است و دومی برای هر مشکلی در ریاضیات و فیزیک نیز کلی است. این ترجمه ابعاد از یکی به دیگری است. نشان می دهد که چگونه باید این مشکلات را حل کرد.

در این درس به معنای ابتدایی یک پیشرفت حسابی و پارامترهای اصلی آن نگاه کردیم. این برای حل تقریباً تمام مشکلات در مورد این موضوع کافی است. اضافه کردن دبه اعداد یه سری بنویس همه چی حل میشه

راه حل انگشت مانند نمونه های این درس برای قطعات بسیار کوتاه یک ردیف خوب کار می کند. اگر سری طولانی تر باشد، محاسبات پیچیده تر می شود. برای مثال اگر در مسئله 9 در سوال جایگزین کنید "پنج دقیقه"بر "سی و پنج دقیقه"مشکل به طور قابل توجهی بدتر خواهد شد.)

و همچنین وظایفی وجود دارد که در اصل ساده هستند، اما از نظر محاسبات پوچ هستند، به عنوان مثال:

یک پیشرفت حسابی (a n) داده شده است. اگر 1=3 و d=1/6 باشد عدد 121 را پیدا کنید.

پس چی، آیا قراره 1/6 رو چند بار اضافه کنیم؟! میتونی خودتو بکشی!؟

می‌توانید.) اگر فرمول ساده‌ای را نمی‌دانید که با آن می‌توانید چنین کارهایی را در یک دقیقه حل کنید. این فرمول در درس بعدی خواهد بود. و این مشکل در آنجا حل می شود. در یک دقیقه.)

اگر این سایت را دوست دارید ...

به هر حال، من چند سایت جالب دیگر برای شما دارم.)

می توانید حل مثال ها را تمرین کنید و سطح خود را پیدا کنید. تست با تایید فوری بیایید یاد بگیریم - با علاقه!)

می توانید با توابع و مشتقات آشنا شوید.

مجموع یک تصاعد حسابی

مجموع یک تصاعد حسابی چیز ساده ای است. هم در معنا و هم در فرمول. اما انواع و اقسام وظایف در این موضوع وجود دارد. از ابتدایی تا کاملا جامد.

ابتدا بیایید معنی و فرمول مقدار را درک کنیم. و بعد تصمیم می گیریم برای دلخوشی خودت.) معنی مبلغ به همین سادگی است. برای یافتن مجموع یک پیشروی حسابی، فقط باید تمام عبارات آن را با دقت اضافه کنید. اگر این عبارات کم هستند، می توانید بدون هیچ فرمولی اضافه کنید. اما اگر زیاد باشد، یا زیاد... اضافه آزاردهنده است.) در این صورت فرمول به کمک می آید.

فرمول مقدار ساده است:

بیایید بفهمیم که چه نوع حروفی در فرمول گنجانده شده است. این موضوع خیلی چیزها را روشن می کند.

S n - مجموع یک پیشرفت حسابی. نتیجه اضافه هر کساعضا، با اولینتوسط آخر.مهم است. آنها دقیقاً جمع می شوند همهاعضا پشت سر هم، بدون پرش یا پرش. و دقیقاً شروع از اولین.در مسائلی مانند یافتن مجموع ترم های سوم و هشتم یا مجموع ترم های پنجم تا بیستم - کاربرد مستقیمفرمول ها ناامید خواهند شد.)

یک 1 - اولینعضو پیشرفت اینجا همه چیز واضح است، ساده است اولینشماره ردیف.

a n- آخرعضو پیشرفت آخرین شماره سریال. نام چندان آشنا نیست، اما وقتی روی مقدار اعمال شود، بسیار مناسب است. بعد خودت خواهی دید.

n - شماره آخرین عضو درک این نکته مهم است که در فرمول این عدد با تعداد عبارات اضافه شده مطابقت دارد.

بیایید مفهوم را تعریف کنیم آخرعضو a n. سوال پیچیده: کدام عضو خواهد بود آخریناگر داده شود بی پایانپیشرفت حسابی؟)

برای پاسخ با اطمینان، باید معنای ابتدایی پیشرفت حسابی را درک کنید و ... کار را با دقت بخوانید!)

در کار یافتن مجموع یک پیشروی حسابی، آخرین جمله همیشه ظاهر می شود (مستقیم یا غیر مستقیم)، که باید محدود شود.در غیر این صورت یک مبلغ نهایی و مشخص به سادگی وجود نداردبرای حل، مهم نیست که پیشرفت داده شود: متناهی یا نامتناهی. مهم نیست چگونه داده می شود: یک سری اعداد یا یک فرمول برای ترم n.

مهمترین چیز این است که درک کنید که فرمول از اولین ترم پیشرفت به ترم با عدد کار می کند nدر واقع، نام کامل فرمول به صورت زیر است: مجموع n جمله اول یک پیشرفت حسابی.تعداد این اعضای اولیه، یعنی. n، صرفاً توسط وظیفه تعیین می شود. در یک کار، همه این اطلاعات ارزشمند اغلب رمزگذاری می شوند، بله... اما اشکالی ندارد، در مثال های زیر این اسرار را فاش می کنیم.)

نمونه هایی از کارها بر روی مجموع یک پیشرفت حسابی.

اول از همه، اطلاعات مفید:

مشکل اصلی در کارهایی که شامل مجموع یک پیشروی حسابی است در تعیین صحیح عناصر فرمول نهفته است.

وظیفه نویسان دقیقاً همین عناصر را با تخیل بی حد و حصر رمزگذاری می کنند.) نکته اصلی در اینجا این است که نترسید. با درک ماهیت عناصر، کافی است به سادگی آنها را رمزگشایی کنیم. بیایید به چند نمونه با جزئیات نگاه کنیم. بیایید با یک کار بر اساس یک GIA واقعی شروع کنیم.

1. پیشروی حسابی با شرط داده می شود: a n = 2n-3.5. مجموع 10 جمله اول آن را بیابید.

آفرین. آسان.) برای تعیین مقدار با استفاده از فرمول، چه چیزی را باید بدانیم؟ عضو اول یک 1، ترم آخر a n، بله شماره آخرین عضو n

از کجا می توانم شماره آخرین عضو را دریافت کنم؟ n? بله، همانجا، به شرطی! می گوید: جمع را پیدا کن 10 عضو اولخوب، با چه شماره ای خواهد بود؟ آخر،عضو دهم؟) باور نمی کنید، شماره او دهم است!) بنابراین، به جای a nما به فرمول جایگزین می کنیم یک 10، و به جاش n- ده تکرار می کنم تعداد آخرین عضو با تعداد اعضا مطابقت دارد.

باقی مانده است که مشخص شود یک 1و یک 10. این به راحتی با استفاده از فرمول ترم n که در بیان مسئله آورده شده است محاسبه می شود. نمی دانید چگونه این کار را انجام دهید؟ در درس قبلی شرکت کنید، بدون این هیچ راهی وجود ندارد.

یک 1= 2 1 - 3.5 = -1.5

یک 10=2·10 - 3.5 =16.5

S n = S 10.

ما معنای تمام عناصر فرمول را برای مجموع یک پیشروی حسابی فهمیدیم. تنها چیزی که باقی می ماند این است که آنها را جایگزین کنیم و بشماریم:

خودشه. جواب: 75.

وظیفه دیگری بر اساس GIA است. کمی پیچیده تر:

2. با توجه به تصاعد حسابی (a n)، که اختلاف آن 3.7 است. a 1 = 2.3. مجموع 15 جمله اول آن را بیابید.

بلافاصله فرمول جمع را می نویسیم:

این فرمول به ما اجازه می دهد تا مقدار هر عبارتی را با تعداد آن پیدا کنیم. ما به دنبال یک جایگزین ساده هستیم:

a 15 = 2.3 + (15-1) 3.7 = 54.1

باقی مانده است که همه عناصر را در فرمول برای مجموع یک پیشرفت حسابی جایگزین کرده و پاسخ را محاسبه کنیم:

جواب: 423.

به هر حال، اگر در فرمول جمع به جای a nما به سادگی فرمول را برای ترم n جایگزین می کنیم و به دست می آوریم:

بیایید موارد مشابه را ارائه کنیم و یک فرمول جدید برای مجموع شرایط یک پیشرفت حسابی بدست آوریم:

همانطور که می بینید، ترم n در اینجا مورد نیاز نیست a n. در برخی مشکلات این فرمول کمک بزرگی است، بله... می توانید این فرمول را به خاطر بسپارید. یا می توانید به سادگی آن را در زمان مناسب مانند اینجا نمایش دهید. پس از همه، شما همیشه باید فرمول جمع و فرمول ترم n را به خاطر بسپارید.)

اکنون کار به شکل یک رمزگذاری کوتاه:

3. مجموع تمام اعداد دو رقمی مثبت که مضرب سه هستند را بیابید.

وای! نه عضو اولت، نه آخرین و نه پیشرفتت اصلا... چگونه زندگی کنیم!؟

شما باید با سر خود فکر کنید و تمام عناصر حاصل از مجموع پیشرفت حسابی را از شرط بیرون بکشید. ما می دانیم که اعداد دو رقمی چیست. آنها از دو عدد تشکیل شده اند.) چه عددی دو رقمی خواهد بود اولین? 10، احتمالا.) A آخرین چیزعدد دو رقمی؟ 99 البته! سه رقمی ها دنبالش می آیند...

مضرب سه... هوم... اینها اعدادی هستند که بر سه بخش پذیرند، اینجا! ده بر سه بخش پذیر نیست، 11 بخش پذیر نیست... 12... بخش پذیر است! بنابراین، چیزی در حال ظهور است. از قبل می توانید یک سری را با توجه به شرایط مشکل بنویسید:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

آیا این سریال یک پیشروی حسابی خواهد بود؟ قطعا! هر ترم با ترم قبلی کاملاً سه تفاوت دارد. اگر 2 یا 4 را به یک عبارت اضافه کنید، بگویید نتیجه، یعنی. عدد جدید دیگر بر 3 بخش پذیر نیست. می توانید فوراً تفاوت پیشرفت حسابی را تعیین کنید: d = 3.به کار خواهد آمد!)

بنابراین، می توانیم با خیال راحت برخی از پارامترهای پیشرفت را بنویسیم:

عدد چقدر خواهد بود؟ nآخرین عضو؟ هر کسی که فکر می کند 99 به شدت در اشتباه است... اعداد همیشه پشت سر هم می روند، اما اعضای ما از سه می پرند. مطابقت ندارند

در اینجا دو راه حل وجود دارد. یکی از راه ها برای افراد فوق سخت کوش است. می توانید پیشرفت، کل سری اعداد را یادداشت کنید و تعداد اعضا را با انگشت خود بشمارید.) راه دوم برای افراد متفکر است. شما باید فرمول ترم n را به خاطر بسپارید. اگر فرمول را برای مسئله خود اعمال کنیم، متوجه می شویم که 99 عبارت سی ام پیشرفت است. آن ها n = 30.

بیایید به فرمول مجموع یک پیشرفت حسابی نگاه کنیم:

ما نگاه می کنیم و خوشحال می شویم.) ما هر چیزی را که برای محاسبه مقدار لازم بود از بیانیه مشکل بیرون آوردیم:

یک 1= 12.

یک 30= 99.

S n = S 30.

تنها چیزی که باقی می ماند محاسبات ابتدایی است. اعداد را جایگزین فرمول می کنیم و محاسبه می کنیم:

جواب: 1665

نوع دیگری از پازل محبوب:

4. با توجه به یک پیشرفت حسابی:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

مجموع عبارت های بیستم تا سی و چهار را بیابید.

فرمول مبلغ را نگاه می کنیم و... ناراحت می شویم.) فرمول، یادآوری کنم، مقدار را محاسبه می کند. از اولعضو و در مسئله باید مجموع را محاسبه کنید از بیستم ...فرمول کار نخواهد کرد

البته می‌توانید کل پیشرفت را در یک سری بنویسید و عبارت‌های 20 تا 34 را اضافه کنید.

راه حل ظریف تری وجود دارد. بیایید سریال خود را به دو قسمت تقسیم کنیم. قسمت اول خواهد بود از ترم اول تا نوزدهمبخش دوم - از بیست تا سی و چهارواضح است که اگر مجموع عبارات قسمت اول را محاسبه کنیم S 1-19، آن را با مجموع شرایط قسمت دوم اضافه می کنیم S 20-34، مجموع پیشرفت از ترم اول تا سی و چهارم را بدست می آوریم S 1-34. مثل این:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

از این می توانیم ببینیم که مجموع را پیدا می کنیم S 20-34با تفریق ساده قابل انجام است

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

هر دو مقدار در سمت راست در نظر گرفته شده است از اولعضو، یعنی فرمول جمع استاندارد کاملاً برای آنها قابل اجرا است. بیا شروع کنیم؟

ما پارامترهای پیشرفت را از عبارت مشکل استخراج می کنیم:

d = 1.5.

یک 1= -21,5.

برای محاسبه مجموع 19 ترم اول و 34 ترم اول به ترم های 19 و 34 نیاز داریم. ما آنها را با استفاده از فرمول ترم n، مانند مسئله 2، محاسبه می کنیم:

یک 19= -21.5 +(19-1) 1.5 = 5.5

یک 34= -21.5 +(34-1) 1.5 = 28

چیزی باقی نمانده از مجموع 34 جمله، مجموع 19 جمله را کم کنید:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110.5 - (-152) = 262.5

جواب: 262.5

یکی یادداشت مهم! یک ترفند بسیار مفید در حل این مشکل وجود دارد. به جای محاسبه مستقیم آنچه شما نیاز دارید (S 20-34)،ما شمردیم چیزی که به نظر نمی رسد مورد نیاز باشد - S 1-19.و بعد تعیین کردند S 20-34، دور انداختن موارد غیر ضروری از نتیجه کامل. این نوع "تظاهرات با گوش" اغلب شما را از مشکلات بد نجات می دهد.)

در این درس، مسائلی را بررسی کردیم که برای درک معنای مجموع یک پیشروی حسابی کافی است. خوب، شما باید چند فرمول را بدانید.)

توصیه عملی:

هنگام حل هر مسئله ای که شامل مجموع یک پیشرفت حسابی است، توصیه می کنم فوراً دو فرمول اصلی را از این مبحث بنویسید.

فرمول ترم n:

این فرمول ها بلافاصله به شما می گویند که برای حل مشکل به دنبال چه چیزی باشید و در چه جهتی فکر کنید. کمک می کند.

و اکنون وظایف برای راه حل مستقل.

5- مجموع تمام اعداد دو رقمی که بر سه بخش پذیر نیستند را بیابید.

جالب است؟) اشاره در یادداشت مشکل 4 پنهان است. خوب، مشکل 3 کمک خواهد کرد.

6. پیشروی حسابی با شرط داده می شود: a 1 = -5.5; a n+1 = a n +0.5. مجموع 24 جمله اول آن را بیابید.

غیر معمول؟) این یک فرمول تکراری است. می توانید در درس قبلی در مورد آن مطالعه کنید. پیوند را نادیده نگیرید، چنین مشکلاتی اغلب در آکادمی علوم دولتی یافت می شود.

7. واسیا برای تعطیلات پول پس انداز کرد. به اندازه 4550 روبل! و تصمیم گرفتم به شخص مورد علاقه ام (خودم) چند روز شادی بدهم). زیبا زندگی کن بدون اینکه چیزی از خودت انکار کنی. در روز اول 500 روبل خرج کنید و در هر روز بعد 50 روبل بیشتر از روز قبل خرج کنید! تا زمانی که پول تمام شود. واسیا چند روز خوشبختی داشت؟

دشوار است؟) یک فرمول اضافی از کار 2 کمک خواهد کرد.

پاسخ ها (به هم ریخته): 7، 3240، 6.

اگر این سایت را دوست دارید ...

به هر حال، من چند سایت جالب دیگر برای شما دارم.)

می توانید حل مثال ها را تمرین کنید و سطح خود را پیدا کنید. تست با تایید فوری بیایید یاد بگیریم - با علاقه!)

می توانید با توابع و مشتقات آشنا شوید.

قبل از اینکه تصمیم بگیریم مشکلات پیشروی حسابی، بیایید در نظر بگیریم که یک دنباله اعداد چیست، زیرا پیشروی حسابی حالت خاصی از یک دنباله اعداد است.

دنباله اعداد مجموعه اعدادی است که هر عنصر آن شماره سریال خاص خود را دارد. عناصر این مجموعه را اعضای دنباله می نامند. شماره سریال یک عنصر دنباله با یک شاخص نشان داده می شود:

اولین عنصر دنباله؛

عنصر پنجم دنباله؛

- عنصر "nامین" دنباله، یعنی. عنصر "ایستاده در صف" در شماره n.

بین مقدار یک عنصر دنباله و شماره دنباله آن رابطه وجود دارد. بنابراین می توانیم دنباله ای را تابعی در نظر بگیریم که آرگومان آن عدد ترتیبی عنصر دنباله باشد. به عبارت دیگر می توان گفت دنباله تابعی از آرگومان طبیعی است:

دنباله را می توان به سه روش تنظیم کرد:

1 . توالی را می توان با استفاده از جدول مشخص کرد.در این مورد، ما به سادگی مقدار هر یک از اعضای دنباله را تعیین می کنیم.

به عنوان مثال، شخصی تصمیم گرفت مدیریت زمان شخصی را به عهده بگیرد و برای شروع، تعداد زمانی را که در طول هفته در VKontakte صرف می کند، حساب کند. با ثبت زمان در جدول، دنباله ای متشکل از هفت عنصر دریافت می کند:

خط اول جدول تعداد روز هفته را نشان می دهد، دوم - زمان را در دقیقه. ما می بینیم که، یعنی دوشنبه، شخصی 125 دقیقه را در VKontakte، یعنی پنجشنبه - 248 دقیقه، و یعنی جمعه فقط 15 دقیقه صرف کرد.

2 . دنباله را می توان با استفاده از فرمول ترم n مشخص کرد.

در این حالت، وابستگی مقدار یک عنصر دنباله به تعداد آن به طور مستقیم در قالب یک فرمول بیان می شود.

به عنوان مثال، اگر، پس

برای یافتن مقدار یک عنصر دنباله با یک عدد معین، عدد عنصر را با فرمول n ام جایگزین می کنیم.

در صورتی که نیاز به یافتن مقدار یک تابع در صورتی که مقدار آرگومان مشخص باشد، همین کار را انجام می دهیم. مقدار آرگومان را با معادله تابع جایگزین می کنیم:

اگر مثلاً ، آن

اجازه دهید یک بار دیگر یادآوری کنم که در یک دنباله، بر خلاف یک تابع عددی دلخواه، آرگومان فقط می تواند یک عدد طبیعی باشد.

3 . دنباله را می توان با استفاده از فرمولی مشخص کرد که وابستگی مقدار عضو دنباله شماره n را به مقادیر اعضای قبلی بیان می کند. در این صورت، دانستن تنها تعداد عضو دنباله برای یافتن مقدار آن کافی نیست. باید اولین عضو یا چند عضو اول دنباله را مشخص کنیم.

به عنوان مثال، دنباله را در نظر بگیرید ,

ما می توانیم مقادیر اعضای دنباله را پیدا کنیم در دنباله، از سوم شروع می شود:

یعنی هر بار برای یافتن مقدار nام دنباله به دو مورد قبلی برمی گردیم. این روش برای تعیین یک دنباله نامیده می شود عود کننده، از کلمه لاتین تکرار شود- برگرد

اکنون می توانیم یک پیشرفت حسابی را تعریف کنیم. پیشروی حسابی یک مورد خاص ساده از یک دنباله اعداد است.

پیشرفت حسابی دنباله ای عددی است که هر عضو آن با شروع از دومی برابر است با عضو قبلی که به همان عدد اضافه شده است.

شماره تماس گرفته می شود تفاوت پیشرفت حسابی. اختلاف یک پیشروی حسابی می تواند مثبت، منفی یا برابر با صفر باشد.

اگر title="d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} افزایش می یابد.

به عنوان مثال، 2; 5 8; یازده؛...

اگر، پس هر ترم یک تصاعد حسابی کمتر از عبارت قبلی است و پیشرفت آن است در حال کاهش.

به عنوان مثال، 2; -1؛ -4؛ -7;...

اگر، آنگاه همه شرایط پیشرفت برابر با یک عدد هستند و پیشرفت برابر است ثابت.

مثلا 2;2;2;2;...

ویژگی اصلی یک پیشرفت حسابی:

بیایید به نقاشی نگاه کنیم.

ما آن را می بینیم

، و در همان زمان

با افزودن این دو برابری، به دست می آوریم:

.

بیایید هر دو طرف تساوی را بر 2 تقسیم کنیم:

بنابراین، هر عضو پیشروی حسابی، با شروع از دوم، برابر است با میانگین حسابی دو عضو همسایه:

علاوه بر این، از آنجا که

، و در همان زمان

، آن

، و بنابراین

هر جمله از یک پیشروی حسابی، که با title="k>l شروع می شود">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

فرمول ترم

می بینیم که شرایط پیشروی حسابی روابط زیر را برآورده می کند:

و در نهایت

گرفتیم فرمول ترم n

مهم!هر عضوی از یک پیشرفت حسابی را می توان از طریق و بیان کرد. با دانستن جمله اول و تفاوت یک پیشروی حسابی، می توانید هر یک از عبارت های آن را پیدا کنید.

مجموع n ترم یک پیشروی حسابی.

در یک پیشروی حسابی دلخواه، مجموع عبارت‌هایی که فاصله آن‌ها از حد فاصل آنها برابر است با یکدیگر برابر است:

یک تصاعد حسابی با n جمله در نظر بگیرید. اجازه دهید مجموع n جمله این پیشرفت برابر باشد.

بیایید شرایط پیشروی را ابتدا به ترتیب صعودی اعداد و سپس به ترتیب نزولی مرتب کنیم:

بیایید جفت اضافه کنیم:

مجموع هر پرانتز است، تعداد جفت ها n است.

ما گرفتیم:

بنابراین، مجموع n جمله یک پیشروی حسابی را می توان با استفاده از فرمول های زیر پیدا کرد:

در نظر بگیریم حل مسائل پیشروی حسابی.

1 . دنباله با فرمول n ام به دست می آید: . ثابت کنید که این دنباله یک تصاعد حسابی است.

اجازه دهید ثابت کنیم که تفاوت بین دو جمله مجاور دنباله برابر با یک عدد است.

ما دریافتیم که تفاوت بین دو عضو مجاور دنباله به تعداد آنها بستگی ندارد و ثابت است. بنابراین، طبق تعریف، این دنباله یک تصاعد حسابی است.

2 . با توجه به پیشرفت حسابی -31; -27;...

الف) 31 عبارت پیشرفت را بیابید.

ب) تعیین کنید که آیا عدد 41 در این پیشروی گنجانده شده است یا خیر.

آ)می بینیم که؛

بیایید فرمول ترم n را برای پیشرفت خود بنویسیم.

به طور کلی

در مورد ما ، از همین رو

چی نکته اصلیفرمول ها؟

این فرمول به شما امکان می دهد پیدا کنید هر با شماره او " n" .

البته باید ترم اول را هم بدانید یک 1و تفاوت پیشرفت دخوب، بدون این پارامترها نمی توانید یک پیشرفت خاص را یادداشت کنید.

حفظ کردن این فرمول کافی نیست. شما باید ماهیت آن را درک کنید و فرمول را در مسائل مختلف اعمال کنید. و همچنین در لحظه مناسب فراموش نکنیم، بله...) چگونه فراموش نکن- من نمی دانم. و اینجا چگونه به خاطر بسپاریمدر صورت لزوم حتما به شما مشاوره خواهم داد. برای کسانی که درس را تا پایان کامل می کنند.)

بنابراین، بیایید به فرمول ترم n یک پیشروی حسابی نگاه کنیم.

فرمول به طور کلی چیست؟ به هر حال، اگر آن را نخوانده اید، نگاهی بیندازید. آنجا همه چیز ساده است. باقی مانده است که بفهمیم چیست ترم نهم

به طور کلی پیشرفت را می توان به صورت یک سری اعداد نوشت:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....

یک 1- نشان دهنده اولین جمله یک پیشرفت حسابی است، یک 3- عضو سوم، یک 4- چهارم، و غیره. اگر به دوره پنجم علاقه مندیم، فرض کنیم که با آن کار می کنیم یک 5، اگر صد و بیستم یک 120.

چگونه می توانیم آن را به طور کلی تعریف کنیم؟ هرعبارت یک پیشرفت حسابی، با هرعدد؟ بسیار ساده! مثل این:

a n

همین است نهمین ترم یک پیشرفت حسابی.حرف n همه اعداد اعضا را به طور همزمان پنهان می کند: 1، 2، 3، 4 و غیره.

و چنین رکوردی چه چیزی به ما می دهد؟ فقط فکر کن به جای یک عدد یک نامه نوشتند...

این نماد یک ابزار قدرتمند برای کار با پیشرفت حسابی به ما می دهد. با استفاده از نماد a n، ما می توانیم به سرعت پیدا کنیم هرعضو هرپیشرفت حسابی و یک سری مشکلات پیشرفت دیگر را حل کنید. خودت بیشتر میبینی

در فرمول ترم n یک پیشرفت حسابی:

a n = a 1 + (n-1)d

یک 1- اولین ترم یک پیشرفت حسابی؛

n- شماره عضو

فرمول پارامترهای کلیدی هر پیشرفت را به هم متصل می کند: a n ; a 1 ; دو n. تمام مشکلات پیشرفت حول این پارامترها می چرخد.

از فرمول ترم n نیز می توان برای نوشتن یک پیشرفت خاص استفاده کرد. به عنوان مثال، مشکل ممکن است بگوید که پیشرفت با شرط مشخص شده است:

a n = 5 + (n-1) 2.

چنین مشکلی می تواند بن بست باشد... نه سری است و نه تفاوتی... اما با مقایسه شرط با فرمول به راحتی می توان فهمید که در این پیشروی a 1 = 5 و d = 2.

و حتی می تواند بدتر باشد!) اگر همین شرط را در نظر بگیریم: a n = 5 + (n-1) 2،بله پرانتز را باز کنید و مشابه بیاورید؟ ما یک فرمول جدید دریافت می کنیم:

a n = 3 + 2n.

این فقط نه کلی، بلکه برای یک پیشرفت خاص. اینجاست که دام در کمین است. برخی از مردم فکر می کنند که ترم اول یک سه است. اگرچه در واقع اولین ترم پنج است ... کمی پایین تر با چنین فرمول اصلاح شده ای کار خواهیم کرد.

در مشکلات پیشرفت یک نماد دیگر وجود دارد - یک n+1. همانطور که حدس زدید این عبارت "n به علاوه اول" پیشرفت است. معنی آن ساده و بی ضرر است.) این عضوی از پیشرفت است که تعداد آن از عدد n به یک بیشتر است. به عنوان مثال، اگر در برخی از مشکل ما را a nترم پنجم پس از آن یک n+1ششمین عضو خواهد بود. و غیره.

اغلب تعیین یک n+1در فرمول های عود یافت می شود. از این کلمه ترسناک نترسید!) این فقط راهی برای بیان عضوی از یک پیشروی حسابی است. از طریق قبلیفرض کنید با استفاده از یک فرمول تکرارشونده، یک پیشرفت حسابی در این شکل به ما داده می شود:

a n+1 = a n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11

چهارم - از طریق سوم، پنجم - از طریق چهارم، و غیره. چگونه می توانیم فوراً مثلاً ترم بیستم را بشماریم؟ یک 20? اما هیچ راهی وجود ندارد!) تا زمانی که ترم 19 را پیدا نکنیم، نمی توانیم بیستمین را بشماریم. این تفاوت اساسی بین فرمول مکرر و فرمول ترم n است. مکرر فقط از طریق کار می کند قبلیترم، و فرمول ترم n از طریق است اولینو اجازه می دهد فوراهر عضوی را با شماره آن پیدا کنید. بدون محاسبه کل سری اعداد به ترتیب.

در یک پیشرفت حسابی، تبدیل یک فرمول تکراری به یک فرمول معمولی آسان است. یک جفت عبارت متوالی بشمارید، تفاوت را محاسبه کنید د،در صورت لزوم، اولین ترم را پیدا کنید یک 1فرمول را به شکل معمولش بنویسید و با آن کار کنید. چنین وظایفی اغلب در آکادمی علوم دولتی انجام می شود.

استفاده از فرمول برای ترم n یک پیشروی حسابی.

ابتدا به کاربرد مستقیم فرمول نگاه می کنیم. در پایان درس قبلی یک مشکل وجود داشت:

یک پیشرفت حسابی (a n) داده شده است. اگر 1=3 و d=1/6 باشد عدد 121 را پیدا کنید.

این مشکل را می توان بدون هیچ فرمولی، به سادگی بر اساس معنای یک پیشرفت حسابی حل کرد. اضافه کنید و اضافه کنید... یکی دو ساعت.)

و طبق فرمول حل کمتر از یک دقیقه طول خواهد کشید. شما می توانید آن را زمان بندی کنید.) بیایید تصمیم بگیریم.

شرایط تمام داده ها را برای استفاده از فرمول فراهم می کند: a 1 = 3، d = 1/6.باقی مانده است که بفهمیم چه چیزی برابر است nمشکلی نیست! ما باید پیدا کنیم یک 121. پس می نویسیم:

لطفا توجه کنید! به جای شاخص nیک عدد مشخص ظاهر شد: 121. که کاملاً منطقی است.) ما به عضوی از پیشروی حسابی علاقه مند هستیم. شماره یکصد و بیست و یکاین مال ما خواهد بود nاین معناست n= 121 ما بیشتر در فرمول، در پرانتز جایگزین خواهیم کرد. همه اعداد را در فرمول جایگزین می کنیم و محاسبه می کنیم:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

خودشه. به همان سرعتی که می‌توان کلمه پانصد و دهم و هزار و سوم را پیدا کرد. به جای آن قرار دادیم nعدد مورد نظر در نمایه حرف " آ"و در پرانتز، و ما شمارش می کنیم.

بگذارید این نکته را به شما یادآوری کنم: این فرمول به شما امکان می دهد پیدا کنید هرترم پیشروی حسابی با شماره او " n" .

بیایید مشکل را به روشی زیرکانه تر حل کنیم. اجازه دهید با مشکل زیر مواجه شویم:

جمله اول پیشروی حسابی (a n) را بیابید، اگر a 17 =-2; d=-0.5.

اگر مشکلی دارید قدم اول را به شما می گویم. فرمول n ام یک پیشروی حسابی را بنویسید!بله بله. با دستانتان درست در دفترچه یادداشت کنید:

a n = a 1 + (n-1)d

و حالا با نگاه کردن به حروف فرمول، متوجه می شویم که چه داده هایی داریم و چه چیزی کم است؟ در دسترس d=-0.5،یک عضو هفدهم وجود دارد... همین است؟ اگر فکر می کنید همین است، پس مشکل را حل نمی کنید، بله...

ما هنوز یک شماره داریم n! در شرایط a 17 =-2پنهان شده است دو پارامتراین هم مقدار جمله هفدهم (2-) و هم عدد آن (17) است. آن ها n=17.این "ریزه کاری" اغلب از سر می گذرد و بدون آن (بدون "کوچک" نه سر!) مشکل حل نمی شود. گرچه... و بدون سر هم.)

اکنون می‌توانیم به سادگی داده‌های خود را با فرمول جایگزین کنیم:

a 17 = a 1 + (17-1)·(-0.5)

آه بله، یک 17ما می دانیم که -2 است. خوب، بیایید جایگزین کنیم:

-2 = a 1 + (17-1)·(-0.5)

اساساً همین است. باقی مانده است که جمله اول پیشروی حسابی را از فرمول بیان کنیم و آن را محاسبه کنیم. پاسخ این خواهد بود: a 1 = 6.

این تکنیک - نوشتن یک فرمول و به سادگی جایگزینی داده های شناخته شده - کمک بزرگی در کارهای ساده است. خب البته باید بتونی یک متغیر رو از روی فرمول بیان کنی اما چیکار باید کرد!؟ بدون این مهارت ممکن است اصلا ریاضی نخوانید...

یک پازل محبوب دیگر:

تفاوت پیشروی حسابی (a n) را بیابید، اگر a 1 =2; a 15 = 12.

ما چه کار می کنیم؟ تعجب خواهید کرد، ما در حال نوشتن فرمول هستیم!)

a n = a 1 + (n-1)d

بیایید آنچه را که می دانیم در نظر بگیریم: a 1 = 2; a 15 = 12; و (به ویژه برجسته می کنم!) n=15. با خیال راحت این را در فرمول جایگزین کنید:

12=2 + (15-1) روز

ما حساب را انجام می دهیم.)

12=2 + 14 روز

د=10/14 = 5/7

این جواب درست است.

بنابراین، وظایف برای a n، a 1و دتصمیم گرفت. تنها چیزی که باقی می ماند این است که یاد بگیرید چگونه شماره را پیدا کنید:

عدد 99 عضوی از پیشروی حسابی (a n) است که در آن a 1 =12; d=3. شماره این عضو را پیدا کنید.

ما مقادیر شناخته شده را در فرمول n ام جایگزین می کنیم:

a n = 12 + (n-1) 3

در نگاه اول، دو کمیت ناشناخته در اینجا وجود دارد: a n و nولی a n- این برخی از اعضای پیشرفت با یک عدد است n...و ما این عضو پیشرفت را می شناسیم! 99 است. ما شماره اش را نمی دانیم. nبنابراین این شماره همان چیزی است که باید پیدا کنید. عبارت پیشرفت 99 را با فرمول جایگزین می کنیم:

99 = 12 + (n-1) 3

از فرمول بیان می کنیم n، ما فکر می کنیم. جواب میگیریم: n=30.

و اکنون یک مشکل در همان موضوع، اما خلاقانه تر):

تعیین کنید که آیا عدد 117 عضوی از پیشروی حسابی (an) است یا خیر:

-3,6; -2,4; -1,2 ...

بیایید دوباره فرمول را بنویسیم. چه، هیچ پارامتری وجود ندارد؟ هوم... چرا به ما چشم داده اند؟) آیا ترم اول پیشرفت را می بینیم؟ می بینیم. این -3.6 است. می توانید با خیال راحت بنویسید: a 1 = -3.6.تفاوت دآیا می توانید از روی یک سریال تعیین کنید؟ اگر بدانید تفاوت یک پیشرفت حسابی چیست آسان است:

d = -2.4 - (-3.6) = 1.2

بنابراین، ما ساده ترین کار را انجام دادیم. باقی مانده است که با شماره ناشناخته مقابله کنیم nو عدد نامفهوم 117. در مسئله قبلی حداقل معلوم بود که اصطلاح پیشروی داده شده است. اما اینجا ما حتی نمی دانیم ... چه باید کرد!؟ خوب، چگونه بودن، چگونه بودن... توانایی های خلاقانه خود را روشن کنید!)

ما فرض کنیدبالاخره 117 عضوی از پیشرفت ماست. با شماره نامعلوم n. و درست مانند مشکل قبلی، بیایید سعی کنیم این عدد را پیدا کنیم. آن ها ما فرمول را می نویسیم (بله، بله!)) و اعداد خود را جایگزین می کنیم:

117 = -3.6 + (n-1) 1.2

دوباره از فرمول بیان می کنیمn، می شماریم و می گیریم:

اوه! شماره معلوم شد کسری!صد و یک و نیم. و اعداد کسری در پیشرفت نمیتونه باشه.چه نتیجه ای می توانیم بگیریم؟ آره! شماره 117 نیستعضو پیشرفت ما جایی بین ترم صد و اول و صد و دوم است. اگر عدد طبیعی بود، یعنی. یک عدد صحیح مثبت است، آنگاه عدد عضوی از پیشرفت با عدد یافت شده خواهد بود. و در مورد ما، پاسخ به این مشکل خواهد بود: خیر

وظیفه ای بر اساس نسخه واقعی GIA:

یک پیشروی حسابی با شرط داده می شود:

a n = -4 + 6.8n

عبارت اول و دهم پیشرفت را پیدا کنید.

در اینجا پیشرفت به روشی غیرعادی تنظیم شده است. نوعی فرمول ... این اتفاق می افتد.) با این حال، این فرمول (همانطور که در بالا نوشتم) - همچنین فرمول nامین ترم یک پیشروی حسابی!او هم اجازه می دهد هر عضوی از پیشرفت را با تعداد آن پیدا کنید.

ما به دنبال اولین عضو هستیم. اونی که فکر میکنه این که عبارت اول منهای چهار است، به طرز مهلکی اشتباه می شود!) زیرا فرمول در مسئله اصلاح شده است. عبارت اول از پیشروی حسابی در آن پنهان شده است.اشکالی ندارد، اکنون آن را پیدا خواهیم کرد.)

درست مانند مشکلات قبلی، جایگزین می کنیم n=1به این فرمول:

a 1 = -4 + 6.8 1 = 2.8

اینجا! جمله اول 2.8 است نه -4!

ما برای ترم دهم به همین ترتیب جستجو می کنیم:

a 10 = -4 + 6.8 10 = 64

خودشه.

و اکنون، برای کسانی که این خطوط را خوانده اند، پاداش وعده داده شده است.)

فرض کنید، در یک موقعیت دشوار رزمی آزمون دولتی یا آزمون یکپارچه دولتی، فرمول مفید ترم n یک پیشرفت حسابی را فراموش کرده اید. من چیزی را به یاد می آورم، اما به نحوی نامطمئن... یا nوجود دارد، یا n+1 یا n-1...چگونه باشیم!؟

آرام! این فرمول به راحتی قابل استخراج است. خیلی سخت گیرانه نیست، اما قطعا برای اطمینان و تصمیم درست کافی است!) برای نتیجه گیری، کافی است معنای ابتدایی یک پیشرفت حسابی را به خاطر بسپارید و چند دقیقه وقت داشته باشید. شما فقط باید یک تصویر بکشید. برای شفافیت.

یک خط عددی بکشید و اولین مورد را روی آن علامت بزنید. دوم، سوم و غیره اعضا. و ما تفاوت را یادداشت می کنیم دبین اعضا مثل این:

ما به تصویر نگاه می کنیم و فکر می کنیم: عبارت دوم برابر با چه چیزی است؟ دومین یکی د:

آ 2 =a 1 + 1 د

ترم سوم چیست؟ سومترم برابر با ترم اول به اضافه است دو د.

آ 3 =a 1 + 2 د

متوجه شدي؟ بیهوده نیست که برخی کلمات را به صورت پررنگ برجسته می کنم. خوب، یک قدم دیگر).

ترم چهارم چیست؟ چهارمترم برابر با ترم اول به اضافه است سه د.

آ 4 =a 1 + 3 د

وقت آن رسیده است که متوجه شویم که تعداد شکاف ها، یعنی. د، همیشه یک عدد کمتر از تعداد عضو مورد نظر شما n. یعنی به عدد n، تعداد فضاهااراده n-1.بنابراین، فرمول (بدون تغییرات!):

a n = a 1 + (n-1)d

به طور کلی، تصاویر بصری در حل بسیاری از مسائل در ریاضیات بسیار مفید هستند. از تصاویر غافل نشوید اما اگر کشیدن یک تصویر دشوار است، پس ... فقط یک فرمول!) علاوه بر این، فرمول ترم n به شما امکان می دهد کل زرادخانه قدرتمند ریاضیات را به راه حل متصل کنید - معادلات، نابرابری ها، سیستم ها و غیره. شما نمی توانید تصویری را در معادله وارد کنید ...

وظایف برای راه حل مستقل.

برای گرم شدن:

1. در پیشرفت حسابی (a n) a 2 =3; a 5 = 5.1. 3 را پیدا کنید.

نکته: طبق تصویر در 20 ثانیه مشکل حل می شود ... طبق فرمول مشکل تر می شود. اما برای تسلط بر فرمول مفیدتر است.) در قسمت 555 این مشکل با استفاده از تصویر و فرمول حل شده است. تفاوت را احساس کنید!)

و این دیگر گرم کردن نیست.)

2. در پیشروی حسابی (a n) a 85 =19.1; a 236 = 49, 3. یک 3 را پیدا کنید.

چه، شما نمی خواهید یک نقاشی بکشید؟) البته! طبق فرمول بهتره، بله...

3. پیشروی حسابی با شرط داده می شود:a 1 = -5.5; a n+1 = a n +0.5. جمله صد و بیست و پنجم این پیشروی را پیدا کنید.

در این کار، پیشرفت به صورت تکراری مشخص می شود. اما شمردن تا ترم صد و بیست و پنجم... همه توانایی چنین شاهکاری را ندارند.) اما فرمول ترم n در توان همه است!

4. با توجه به پیشروی حسابی (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

عدد کوچکترین جمله مثبت پیشرفت را پیدا کنید.

5. با توجه به شرایط تکلیف 4، مجموع کوچکترین مثبت و بزرگترین جملات منفی پیشروی را پیدا کنید.

6. حاصل ضرب جمله های پنجم و دوازدهم یک تصاعد حسابی فزاینده برابر با 2.5- و مجموع جمله های سوم و یازدهم برابر با صفر است. 14 را پیدا کنید.

ساده ترین کار نیست، بله...) روش "نوک انگشت" در اینجا کار نخواهد کرد. شما باید فرمول بنویسید و معادلات را حل کنید.

پاسخ ها (به هم ریخته):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

اتفاق افتاد؟ خوبه!)

همه چیز درست نمی شود؟ اتفاق می افتد. به هر حال، یک نکته ظریف در آخرین کار وجود دارد. هنگام خواندن مشکل دقت لازم است. و منطق.

راه حل همه این مسائل به تفصیل در بخش 555 مورد بحث قرار گرفته است. و عنصر فانتزی برای چهارم، و نکته ظریف برای ششم، و رویکردهای کلی برای حل هر مشکلی که شامل فرمول اصطلاح n است - همه چیز شرح داده شده است. من توصیه می کنم.

اگر این سایت را دوست دارید ...

به هر حال، من چند سایت جالب دیگر برای شما دارم.)

می توانید حل مثال ها را تمرین کنید و سطح خود را پیدا کنید. تست با تایید فوری بیایید یاد بگیریم - با علاقه!)

می توانید با توابع و مشتقات آشنا شوید.