I. معادلات دیفرانسیل معمولی
1.1. مفاهیم و تعاریف اساسی
معادله دیفرانسیل معادله ای است که یک متغیر مستقل را به هم مرتبط می کند ایکس، تابع مورد نیاز است yو مشتقات یا دیفرانسیل های آن.
معادله دیفرانسیل به صورت نمادین به صورت زیر نوشته می شود:
F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y,y,.., y (n))=0
اگر تابع مورد نیاز به یک متغیر مستقل وابسته باشد، معادله دیفرانسیل معمولی نامیده می شود.
حل معادله دیفرانسیلتابعی نامیده می شود که این معادله را به یک هویت تبدیل می کند.
ترتیب معادله دیفرانسیلترتیب بالاترین مشتق موجود در این معادله است
مثال ها.
1. یک معادله دیفرانسیل مرتبه اول را در نظر بگیرید
جواب این معادله تابع y = 5 ln x است. در واقع، جایگزینی y"در معادله، هویت را دریافت می کنیم.
و این بدان معنی است که تابع y = 5 ln x– راه حلی برای این معادله دیفرانسیل است.
2. معادله دیفرانسیل مرتبه دوم را در نظر بگیرید y" - 5y" +6y = 0. تابع جواب این معادله است.
واقعا، .
با جایگزینی این عبارات در معادله، به دست می آوریم: , – هویت.
و این بدان معنی است که تابع راه حل این معادله دیفرانسیل است.
ادغام معادلات دیفرانسیلفرآیند یافتن راه حل برای معادلات دیفرانسیل است.
حل کلی معادله دیفرانسیلتابع فرم نامیده می شود 
، که به اندازه ترتیب معادله شامل ثابت دلخواه مستقل است.
حل جزئی معادله دیفرانسیلراه حلی است که از یک راه حل کلی برای مقادیر مختلف عددی ثابت های دلخواه بدست می آید. مقادیر ثابت دلخواه در مقادیر اولیه معینی از آرگومان و تابع یافت می شود.
نمودار یک راه حل خاص برای یک معادله دیفرانسیل نامیده می شود منحنی انتگرال.
مثال ها
1. یک راه حل خاص برای یک معادله دیفرانسیل مرتبه اول پیدا کنید
xdx + ydy = 0، اگر y= 4 در ایکس = 3.
راه حل. با ادغام هر دو طرف معادله، به دست می آوریم
اظهار نظر. یک ثابت دلخواه C که در نتیجه ادغام به دست می آید را می توان به هر شکلی که برای تبدیل های بعدی مناسب است نشان داد. در این مورد، با در نظر گرفتن معادله متعارف یک دایره، نشان دادن یک ثابت دلخواه C به شکل راحت است.
- حل کلی معادله دیفرانسیل.
حل خاص معادله ای که شرایط اولیه را برآورده می کند y = 4 در ایکس = 3 از کلی با جایگزین کردن شرایط اولیه به راه حل کلی پیدا می شود: 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.
با جایگزینی C=5 به جواب کلی، دریافت می کنیم x 2 + y 2 = 5 2 .
این یک راه حل خاص برای یک معادله دیفرانسیل است که از یک راه حل کلی در شرایط اولیه مشخص به دست می آید.
2. جواب کلی معادله دیفرانسیل را بیابید
راه حل این معادله هر تابعی از شکل است که در آن C یک ثابت دلخواه است. در واقع، با جایگزینی معادلات، به دست می آوریم: , .
در نتیجه، این معادله دیفرانسیل دارای بی نهایت جواب است، زیرا برای مقادیر مختلف ثابت C، تساوی راه حل های متفاوتی را برای معادله تعیین می کند.
به عنوان مثال، با جایگزینی مستقیم می توانید تأیید کنید که توابع 
راه حل های معادله هستند.
مسئله ای که در آن باید راه حل خاصی برای معادله پیدا کنید y" = f(x,y)ارضای شرایط اولیه y (x 0) = y 0، مسئله کوشی نامیده می شود.
حل معادله y" = f(x,y)، ارضای شرایط اولیه، y (x 0) = y 0، راه حلی برای مشکل کوشی نامیده می شود.
راه حل مسئله کوشی معنای هندسی ساده ای دارد. در واقع، با توجه به این تعاریف، مشکل کوشی را حل کنید y" = f(x,y)با توجه به اینکه y (x 0) = y 0، یعنی پیدا کردن منحنی انتگرال معادله y" = f(x,y)که از یک نقطه معین می گذرد M 0 (x 0,y 0).
II. معادلات دیفرانسیل مرتبه اول
2.1. مفاهیم اساسی
یک معادله دیفرانسیل مرتبه اول معادله ای از فرم است F(x,y,y") = 0.
معادله دیفرانسیل مرتبه اول مشتق اول را شامل می شود و مشتقات مرتبه بالاتر را شامل نمی شود.
معادله y" = f(x,y)معادله مرتبه اول حل شده با توجه به مشتق نامیده می شود.
جواب کلی یک معادله دیفرانسیل مرتبه اول تابعی از شکل است که شامل یک ثابت دلخواه است.
مثال.یک معادله دیفرانسیل مرتبه اول را در نظر بگیرید.
راه حل این معادله تابع است.
در واقع، با جایگزینی این معادله با مقدار آن، دریافت می کنیم
به این معنا که 3x=3x
بنابراین، تابع یک راه حل کلی برای معادله برای هر ثابت C است.
راه حل خاصی برای این معادله پیدا کنید که شرط اولیه را برآورده کند y(1)=1جایگزینی شرایط اولیه x = 1، y = 1به حل کلی معادله، از کجا می‌رسیم C=0.
بنابراین، با جایگزین کردن مقدار حاصل در این معادله، یک راه حل خاص از یک راه حل کلی به دست می آوریم C=0- راه حل خصوصی
2.2. معادلات دیفرانسیل با متغیرهای قابل تفکیک
معادله دیفرانسیل با متغیرهای قابل تفکیک معادله ای به شکل زیر است: y"=f(x)g(y)یا از طریق دیفرانسیل، که در آن f(x)و g(y)- توابع مشخص شده
برای اونها y، که برای آن، معادله y"=f(x)g(y)معادل معادله است، 
که در آن متغیر yفقط در سمت چپ وجود دارد و متغیر x فقط در سمت راست است. آنها می گویند: «در معادله y"=f(x)g(yبیایید متغیرها را از هم جدا کنیم."
معادله فرم معادله متغیر جدا شده نامیده می شود.
ادغام دو طرف معادله توسط ایکس، ما گرفتیم G(y) = F(x) + Cجواب کلی معادله است که در آن G(y)و F(x)- برخی از ضد مشتقات، به ترتیب، از توابع و f(x), سیثابت دلخواه
الگوریتم حل معادله دیفرانسیل مرتبه اول با متغیرهای قابل تفکیک
مثال 1
معادله را حل کنید y" = xy
راه حل. مشتق از یک تابع y"آن را جایگزین کنید
بیایید متغیرها را از هم جدا کنیم
بیایید هر دو طرف برابری را ادغام کنیم:
مثال 2
2 سال" = 1- 3x 2، اگر y 0 = 3در x 0 = 1
این یک معادله متغیر جدا شده است. بیایید آن را در دیفرانسیل تصور کنیم. برای این کار این معادله را در فرم بازنویسی می کنیم 
از اینجا 
با ادغام هر دو طرف آخرین برابری، متوجه می شویم
جایگزینی مقادیر اولیه x 0 = 1، y 0 = 3ما پیدا خواهیم کرد با 9=1-1+سی، یعنی C = 9.
بنابراین، انتگرال جزئی مورد نیاز خواهد بود 
یا 
مثال 3
برای منحنی که از یک نقطه می گذرد معادله بنویسید M(2;-3)و داشتن مماس با ضریب زاویه ای
راه حل. با توجه به شرایط
این یک معادله با متغیرهای قابل تفکیک است. با تقسیم متغیرها به دست می آید: 
با ادغام هر دو طرف معادله، بدست می آوریم: 
با استفاده از شرایط اولیه، x = 2و y = - 3ما پیدا خواهیم کرد سی:
بنابراین معادله مورد نیاز شکل دارد 
2.3. معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه اول
معادله دیفرانسیل خطی مرتبه اول معادله ای از فرم است y" = f(x)y + g(x)
جایی که f(x)و g(x)- برخی از توابع مشخص شده
اگر g(x)=0سپس معادله دیفرانسیل خطی همگن نامیده می شود و به شکل زیر است: y" = f(x)y
اگر پس معادله y" = f(x)y + g(x)ناهمگن نامیده می شود.
حل کلی معادله دیفرانسیل همگن خطی y" = f(x)yبا فرمول: Where با- ثابت دلخواه
به ویژه، اگر C=0،سپس راه حل است y = 0اگر یک معادله همگن خطی دارای شکل باشد y" = کیجایی که کمقداری ثابت است، سپس حل کلی آن به شکل زیر است: .
حل کلی معادله دیفرانسیل ناهمگن خطی y" = f(x)y + g(x)با فرمول داده می شود 
,
آن ها برابر است با مجموع جواب کلی معادله همگن خطی مربوطه و جواب خاص این معادله.
برای یک معادله ناهمگن خطی شکل y" = kx + b,
جایی که کو ب- برخی از اعداد و یک راه حل خاص یک تابع ثابت خواهد بود. بنابراین، راه حل کلی شکل دارد.
مثال. معادله را حل کنید y" + 2y +3 = 0
راه حل. بیایید معادله را به شکل نمایش دهیم y" = -2y - 3جایی که k = -2، b= -3راه حل کلی با فرمول ارائه می شود.
بنابراین، جایی که C یک ثابت دلخواه است.
2.4. حل معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه اول به روش برنولی
یافتن یک راه حل کلی برای یک معادله دیفرانسیل خطی مرتبه اول y" = f(x)y + g(x)به حل دو معادله دیفرانسیل با متغیرهای جدا شده با استفاده از جایگزینی کاهش می یابد y=uv، جایی که توو v- توابع ناشناخته از ایکس. این روش حل را روش برنولی می نامند.
الگوریتم حل معادله دیفرانسیل خطی مرتبه اول
y" = f(x)y + g(x)
1. جایگزینی را وارد کنید y=uv.
2. این برابری را متمایز کنید y" = u"v + uv"
3. جایگزین yو y"در این معادله: u"v + uv" =f(x)uv + g(x)یا u"v + uv" + f(x)uv = g(x).
4. عبارات معادله را طوری گروه بندی کنید که توآن را از پرانتز خارج کنید:
5. از براکت، با برابر کردن آن با صفر، تابع را پیدا کنید
این یک معادله قابل تفکیک است: 
بیایید متغیرها را تقسیم کنیم و بدست آوریم: 
جایی که 
.
.
6. مقدار حاصل را جایگزین کنید vبه معادله (از مرحله 4):
و تابع را پیدا کنید این یک معادله با متغیرهای قابل تفکیک است:
7- راه حل کلی را به شکل زیر بنویسید: 
، یعنی .
مثال 1
یک راه حل خاص برای معادله پیدا کنید y" = -2y +3 = 0اگر y=1در x = 0
راه حل. بیایید آن را با استفاده از جایگزینی حل کنیم y=uv،.y" = u"v + uv"
جایگزین کردن yو y"به این معادله می رسیم
با گروه بندی جمله های دوم و سوم در سمت چپ معادله، عامل مشترک را خارج می کنیم تو خارج از پرانتز
عبارت داخل پرانتز را با صفر برابر می کنیم و با حل معادله حاصل، تابع را پیدا می کنیم v = v(x)
معادله ای با متغیرهای جدا شده بدست می آوریم. بیایید هر دو طرف این معادله را ادغام کنیم: تابع را پیدا کنید v:
بیایید مقدار حاصل را جایگزین کنیم vدر معادله به دست می آوریم:
این یک معادله متغیر جدا شده است. بیایید هر دو طرف معادله را ادغام کنیم: 
بیایید تابع را پیدا کنیم u = u(x,c) 
بیایید یک راه حل کلی پیدا کنیم: 
اجازه دهید یک راه حل خاص برای معادله پیدا کنیم که شرایط اولیه را برآورده کند y = 1در x = 0:
III. معادلات دیفرانسیل مرتبه بالاتر
3.1. مفاهیم و تعاریف اساسی
معادله دیفرانسیل مرتبه دوم معادله ای است که مشتقات آن بالاتر از مرتبه دوم نباشد. در حالت کلی، یک معادله دیفرانسیل مرتبه دوم به صورت زیر نوشته می شود: F(x،y،y،y") = 0
جواب کلی یک معادله دیفرانسیل مرتبه دوم تابعی از شکل است که شامل دو ثابت دلخواه است. ج 1و ج 2.
یک راه حل خاص برای یک معادله دیفرانسیل مرتبه دوم، راه حلی است که از یک جواب کلی برای مقادیر معینی از ثابت های دلخواه به دست می آید. ج 1و ج 2.
3.2. معادلات دیفرانسیل همگن خطی مرتبه دوم با ضرایب ثابت
معادله دیفرانسیل همگن خطی مرتبه دوم با ضرایب ثابتمعادله فرم نامیده می شود y" + py" +qy = 0، جایی که پو q- مقادیر ثابت
الگوریتم حل معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم همگن با ضرایب ثابت
1. معادله دیفرانسیل را به شکل زیر بنویسید: y" + py" +qy = 0.
2. معادله مشخصه آن را ایجاد کنید، نشان دهید y"از طریق r 2, y"از طریق r, yدر 1: r 2 + pr + q = 0
حل مسائل مختلف هندسی، فیزیکی و مهندسی اغلب به معادلاتی منتهی می شود که متغیرهای مستقل مشخص کننده یک مسئله خاص را با تابعی از این متغیرها و مشتقات این تابع از مرتبه های مختلف مرتبط می کند.
به عنوان مثال، می‌توان ساده‌ترین حالت حرکت شتاب‌دار یکنواخت یک نقطه مادی را در نظر گرفت.
مشخص است که جابجایی یک نقطه مادی در حین حرکت شتاب یکنواخت تابعی از زمان است و با فرمول بیان می شود:
به نوبه خود، شتاب آبا توجه به زمان مشتق است تیاز سرعت V, که مشتق زمانی نیز می باشد تیاز حرکت اس. آن ها
سپس دریافت می کنیم: 
- معادله تابع f(t) را با متغیر مستقل t و مشتق مرتبه دوم تابع f(t) متصل می کند.
تعریف. معادله دیفرانسیل معادله ای است که متغیرهای مستقل، توابع آنها و مشتقات (یا دیفرانسیل) این تابع را به هم مرتبط می کند.
تعریف. اگر یک معادله دیفرانسیل دارای یک متغیر مستقل باشد، آن را فراخوانی می کنیم معادله دیفرانسیل معمولی , اگر دو یا چند متغیر مستقل وجود داشته باشد، چنین معادله دیفرانسیل نامیده می شود معادله دیفرانسیل جزئی
تعریف. بالاترین مرتبه مشتقاتی که در یک معادله ظاهر می شوند نامیده می شود ترتیب معادله دیفرانسیل .
مثال.
- معادله دیفرانسیل معمولی مرتبه 1. به طور کلی نوشته شده است 
.
- معادله دیفرانسیل معمولی مرتبه 2. به طور کلی نوشته شده است 
- معادله دیفرانسیل جزئی مرتبه اول.
تعریف. راه حل کلی معادله دیفرانسیل چنین تابع قابل تمایز y = (x, C) است که وقتی به جای یک تابع مجهول به معادله اصلی جایگزین شود، معادله را به هویت تبدیل می کند.
خواص راه حل کلی.
1) زیرا ثابت C یک مقدار دلخواه است، پس به طور کلی یک معادله دیفرانسیل دارای تعداد بی نهایت جواب است.
2) تحت هر شرایط اولیه x = x 0، y(x 0) = y 0، یک مقدار C = C 0 وجود دارد که در آن راه حل معادله دیفرانسیل تابع y = (x, C 0) است.
تعریف. راه حلی به شکل y = (x, C 0) نامیده می شود راه حل خصوصی معادله دیفرانسیل.
تعریف. مشکل کوشی (آگوستین لوئی کوشی (1789-1857) - ریاضیدان فرانسوی) یافتن هر راه حل خاصی برای یک معادله دیفرانسیل به شکل y = (x, C 0) است که شرایط اولیه y(x0) = y 0 را برآورده می کند.
قضیه کوشی. (قضیه وجود و منحصر به فرد بودن راه حل یک معادله دیفرانسیل مرتبه 1)
اگر تابعf(ایکس,
y) در برخی مناطق پیوسته استدیدر هواپیماXOYو دارای مشتق جزئی پیوسته در این ناحیه است 
، سپس هر نقطه ای که باشد (x 0
، y 0
) در منطقهدی، تنها یک راه حل وجود دارد 
معادلات 
، در بازه ای حاوی نقطه x تعریف شده است 0
، گرفتن در x = x 0
معنی
(ایکس 0
) = y 0
، یعنی یک راه حل منحصر به فرد برای معادله دیفرانسیل وجود دارد.
تعریف.
انتگرال
معادله دیفرانسیل هر معادله ای است که مشتقاتی نداشته باشد و معادله دیفرانسیل داده شده پیامد آن باشد. 
مثال.جواب کلی معادله دیفرانسیل را پیدا کنید 
.
حل کلی معادله دیفرانسیل با ادغام سمت چپ و راست معادله جستجو می شود که قبلا به صورت زیر تبدیل شده است:
حالا بیایید ادغام کنیم: 
حل کلی معادله دیفرانسیل اصلی است.
فرض کنید برخی از شرایط اولیه داده شده است: x 0 = 1; y 0 = 2، سپس داریم
با جایگزین کردن مقدار به دست آمده از ثابت به حل کلی، یک راه حل خاص برای شرایط اولیه داده شده به دست می آوریم (حل مسئله کوشی).
تعریف. منحنی انتگرال نمودار y = (x) حل معادله دیفرانسیل در صفحه XOY نامیده می شود.
تعریف. با تصمیم خاص یک معادله دیفرانسیل، راه حلی است که در تمام نقاط آن شرط یکتایی کوشی نامیده می شود (نگاه کنید به. قضیه کوشی.) برآورده نمی شود، یعنی. در همسایگی نقطه ای (x,y) حداقل دو منحنی انتگرال وجود دارد.
راه حل های ویژه به ثابت C بستگی ندارند.
راه حل های ویژه را نمی توان از جواب کلی برای هیچ مقدار ثابت C به دست آورد. اگر خانواده ای از منحنی های انتگرال یک معادله دیفرانسیل بسازیم، آنگاه راه حل ویژه با خطی نشان داده می شود که حداقل یک منحنی انتگرال را در هر نقطه لمس می کند. .
توجه داشته باشید که هر معادله دیفرانسیل راه حل خاصی ندارد.
مثال.جواب کلی معادله دیفرانسیل را پیدا کنید: 
اگر راه حل خاصی وجود دارد پیدا کنید.
این معادله دیفرانسیل یک راه حل ویژه نیز دارد در= 0. این راه حل را نمی توان از راه حل کلی به دست آورد، اما هنگام جایگزینی در معادله اصلی، یک هویت به دست می آوریم. این نظر که راه حل y = 0 را می توان از راه حل کلی با با 1 = 0 اشتباه است، زیرا سی 1 = ه سی 0.
معادله دیفرانسیل معمولی معادله ای است که یک متغیر مستقل، یک تابع مجهول از این متغیر و مشتقات (یا دیفرانسیل) آن از مرتبه های مختلف را به هم مرتبط می کند.
ترتیب معادله دیفرانسیل مرتبه بالاترین مشتق موجود در آن نامیده می شود.
علاوه بر معادلات معمولی، معادلات دیفرانسیل جزئی نیز مورد مطالعه قرار می گیرد. اینها معادلات مربوط به متغیرهای مستقل، تابعی ناشناخته از این متغیرها و مشتقات جزئی آن با توجه به متغیرهای مشابه هستند. اما ما فقط در نظر خواهیم گرفت معادلات دیفرانسیل معمولی و لذا به جهت اختصار از کلمه ی معمولی صرف نظر می کنیم.
نمونه هایی از معادلات دیفرانسیل:
(1) 
;
(3) 
;
(4) 
;
معادله (1) مرتبه چهارم، معادله (2) مرتبه سوم، معادلات (3) و (4) مرتبه دوم، معادله (5) مرتبه اول هستند.
معادله دیفرانسیل nمرتبه هفتم لزوماً نباید حاوی یک تابع صریح باشد، تمام مشتقات آن از اول تا nمرتبه هفتم و متغیر مستقل. ممکن است به صراحت مشتقاتی از دستورات خاص، یک تابع یا یک متغیر مستقل نداشته باشد.
به عنوان مثال، در معادله (1) به وضوح هیچ مشتق مرتبه سوم و دوم و همچنین یک تابع وجود ندارد. در معادله (2) - مشتق مرتبه دوم و تابع. در معادله (4) - متغیر مستقل؛ در معادله (5) - توابع. فقط معادله (3) به طور صریح شامل تمام مشتقات، تابع و متغیر مستقل است.
حل معادله دیفرانسیل هر تابع فراخوانی می شود y = f(x)، هنگامی که در معادله جایگزین می شود به یک هویت تبدیل می شود.
فرآیند یافتن راه حل برای معادله دیفرانسیل آن نامیده می شود ادغام.
مثال 1.جواب معادله دیفرانسیل را پیدا کنید.
راه حل. بیایید این معادله را به شکل بنویسیم. راه حل این است که تابع را از مشتق آن پیدا کنید. تابع اصلی، همانطور که از حساب انتگرال مشخص است، یک ضد مشتق برای، i.e.
همین است حل این معادله دیفرانسیل . در آن تغییر می کند سی، راه حل های مختلفی به دست خواهیم آورد. ما متوجه شدیم که برای یک معادله دیفرانسیل مرتبه اول تعداد بی نهایت راه حل وجود دارد.
حل کلی معادله دیفرانسیل nمرتبه ام راه حل آن است که به صراحت با توجه به تابع مجهول و حاوی بیان شده است nثابت های دلخواه مستقل، یعنی
حل معادله دیفرانسیل در مثال 1 کلی است.
حل جزئی معادله دیفرانسیل راه حلی که در آن به ثابت های دلخواه مقادیر عددی خاصی داده می شود، نامیده می شود.
مثال 2.جواب کلی معادله دیفرانسیل و یک جواب خاص برای 
.
راه حل. بیایید هر دو طرف معادله را چند بار برابر با ترتیب معادله دیفرانسیل ادغام کنیم.
,
.
در نتیجه، ما یک راه حل کلی دریافت کردیم -
از یک معادله دیفرانسیل مرتبه سوم معین.
حالا بیایید یک راه حل خاص در شرایط مشخص شده پیدا کنیم. برای انجام این کار، به جای ضرایب دلخواه، مقادیر آنها را جایگزین کنید و دریافت کنید
.
اگر علاوه بر معادله دیفرانسیل، شرط اولیه به شکل داده شود، چنین مسئله ای نامیده می شود. مشکل کوشی . مقادیر را جایگزین و در جواب کلی معادله قرار دهید و مقدار یک ثابت دلخواه را پیدا کنید سی، و سپس یک راه حل خاص از معادله برای مقدار یافت شده سی. این راه حل مشکل کوشی است.
مثال 3.حل مسئله کوشی برای معادله دیفرانسیل از مثال 1 موضوع به .
راه حل. اجازه دهید مقادیر را جایگزین کنیم شرایط آغازین y = 3, ایکس= 1. دریافت می کنیم
حل مسئله کوشی را برای این معادله دیفرانسیل مرتبه اول می نویسیم:
حل معادلات دیفرانسیل، حتی ساده ترین آنها، نیازمند مهارت های انتگرال گیری و مشتق خوبی از جمله توابع پیچیده است. این را می توان در مثال زیر مشاهده کرد.
مثال 4.جواب کلی معادله دیفرانسیل را پیدا کنید.
راه حل. معادله به گونه ای نوشته شده است که می توانید بلافاصله هر دو طرف را ادغام کنید.
.
روش ادغام را با تغییر متغیر (جایگزینی) اعمال می کنیم. بگذار آن وقت باشد.
مورد نیاز برای گرفتن dxو اکنون - توجه - ما این کار را طبق قوانین تمایز یک تابع پیچیده انجام می دهیم، زیرا ایکسو یک تابع پیچیده وجود دارد ("سیب" - عصاره ریشه دومیا، همان چیزی است - بالا بردن قدرت "یک دوم" و "گوشت چرخ کرده" همان عبارت زیر ریشه است):
ما انتگرال را پیدا می کنیم:
بازگشت به متغیر ایکس، ما گرفتیم:
.
این راه حل کلی برای این معادله دیفرانسیل درجه یک است.
در حل معادلات دیفرانسیل نه تنها مهارت‌های بخش‌های قبلی ریاضیات عالی، بلکه مهارت‌های ابتدایی، یعنی ریاضی مدرسه نیز مورد نیاز است. همانطور که قبلا ذکر شد، در یک معادله دیفرانسیل از هر مرتبه ممکن است یک متغیر مستقل، یعنی یک متغیر وجود نداشته باشد. ایکس. دانش در مورد نسبت های مدرسه که فراموش نشده است (اما بسته به اینکه چه کسی) از مدرسه به حل این مشکل کمک می کند. این مثال بعدی است.
معادله دیفرانسیل (DE)
- این معادله است،
که در آن متغیرهای مستقل هستند، y تابع و مشتقات جزئی هستند.
معادله دیفرانسیل معمولی یک معادله دیفرانسیل است که فقط یک متغیر مستقل دارد، .
معادله دیفرانسیل جزئی یک معادله دیفرانسیل است که دارای دو یا چند متغیر مستقل است.
اگر مشخص باشد که کدام معادله در نظر گرفته شده است، ممکن است کلمات "معمولی" و "مشتقات جزئی" حذف شوند. در ادامه معادلات دیفرانسیل معمولی در نظر گرفته شده است.
ترتیب معادلات دیفرانسیل مرتبه بالاترین مشتق است.
در اینجا یک مثال از یک معادله مرتبه اول آورده شده است:
در اینجا یک مثال از یک معادله مرتبه چهارم آورده شده است:
گاهی اوقات یک معادله دیفرانسیل مرتبه اول بر حسب دیفرانسیل نوشته می شود:
در این حالت متغیرهای x و y برابر هستند. یعنی متغیر مستقل می تواند x یا y باشد. در حالت اول، y تابعی از x است. در حالت دوم، x تابعی از y است. در صورت لزوم، می‌توانیم این معادله را به شکلی کاهش دهیم که به صراحت مشتق y' را شامل شود.
از تقسیم این معادله بر dx به دست می آید:
.
از آنجایی که و، به دنبال آن است
.
حل معادلات دیفرانسیل
مشتقات توابع ابتدایی از طریق توابع ابتدایی بیان می شوند. انتگرال توابع ابتدایی اغلب بر حسب توابع ابتدایی بیان نمی شوند. با معادلات دیفرانسیل وضعیت حتی بدتر است. در نتیجه راه حل می توانید بدست آورید:
- وابستگی صریح یک تابع به یک متغیر؛
حل معادله دیفرانسیل تابع y = u است (ایکس)، که تعریف شده است، n بار متمایز، و.
- وابستگی ضمنی به شکل معادله ای از نوع Φ (x، y) = 0یا سیستم معادلات؛
انتگرال یک معادله دیفرانسیل حل یک معادله دیفرانسیل است که شکل ضمنی دارد.
- وابستگی که از طریق توابع ابتدایی و انتگرال از آنها بیان می شود.
حل معادله دیفرانسیل در ربع - این یافتن راه حلی به شکل ترکیبی از توابع ابتدایی و انتگرال آنهاست.
- راه حل ممکن است از طریق توابع ابتدایی بیان نشود.
از آنجایی که حل معادلات دیفرانسیل به محاسبه انتگرال خلاصه می شود، راه حل شامل مجموعه ای از ثابت های C 1، C 2، C 3، ... C n است. تعداد ثابت ها برابر است با ترتیب معادله. انتگرال جزئی یک معادله دیفرانسیل انتگرال کلی برای مقادیر داده شده ثابت های C 1، C 2، C 3، ...، C n است.
منابع:
V.V. استپانوف، دوره معادلات دیفرانسیل، "LKI"، 2015.
N.M. گانتر، R.O. کوزمین، مجموعه مسائل در ریاضیات عالی، "لان"، 2003.