حل معادلات پیچیده با ریشه درس انتخابی “روش های حل معادلات غیر منطقی

معادلاتی که دارای یک کمیت مجهول در زیر علامت ریشه هستند نامعقول نامیده می شوند. اینها مثلاً معادلات هستند

در بسیاری از موارد، با اعمال قدرت هر دو طرف معادله یک بار یا مکرر، می توان یک معادله غیرمنطقی را به یک معادله جبری یک درجه یا دیگری تقلیل داد (که نتیجه معادله اصلی است). از آنجایی که هنگام بالا بردن یک معادله به توان، ممکن است راه حل های اضافی ظاهر شوند، پس با حل معادله جبری که این معادله غیرمنطقی را به آن تقلیل داده ایم، باید ریشه های یافت شده را با جایگزین کردن آنها در معادله اصلی بررسی کنیم و فقط آنهایی را نگه داریم که آن را برآورده می کند. ، و بقیه را دور بریزید - موارد اضافی.

هنگام تصمیم گیری معادلات غیر منطقیما خودمان را فقط به ریشه های واقعی آنها محدود می کنیم. تمام ریشه های درجه زوج در نوشتن معادلات به معنای حسابی درک می شوند.

بیایید به چند نمونه معمولی از معادلات غیر منطقی نگاه کنیم.

الف- معادلات حاوی یک مجهول زیر علامت جذر. اگر معادله معین فقط شامل یک جذر مربع باشد که در زیر علامت آن یک مجهول وجود دارد، این ریشه باید جدا شود، یعنی در بخشی از معادله قرار گیرد و تمام عبارت های دیگر باید به قسمت دیگر منتقل شوند. پس از دو طرف معادله، از غیر عقلانی بودن رها شده و معادله جبری برای

مثال 1. معادله را حل کنید.

راه حل. ما ریشه را در سمت چپ معادله جدا می کنیم.

برابری حاصل را مربع می کنیم:

ما ریشه های این معادله را پیدا می کنیم:

بررسی نشان می دهد که فقط معادله اصلی را برآورده می کند.

اگر معادله شامل دو یا چند ریشه حاوی x باشد، تربیع باید چندین بار تکرار شود.

مثال 2. معادلات زیر را حل کنید:

راه حل، الف) دو طرف معادله را مربع می کنیم:

ما ریشه را جدا می کنیم:

معادله حاصل را دوباره مربع می کنیم:

پس از تبدیل به موارد زیر می رسیم: معادله درجه دوم:

حلش کنیم:

با جایگزین کردن معادله اصلی، ما متقاعد می شویم که ریشه آن وجود دارد، اما یک ریشه خارجی برای آن است.

ب) مثال را می توان با همان روش مثال الف حل کرد). با این حال، با استفاده از این واقعیت که سمت راست این معادله حاوی کمیت مجهول نیست، به گونه ای دیگر عمل خواهیم کرد. بیایید معادله را در عبارت مزدوج در سمت چپ آن ضرب کنیم. ما گرفتیم

در سمت راست حاصلضرب حاصل جمع و تفاضل، یعنی اختلاف مربع ها است. از اینجا

در سمت چپ این معادله حاصل جمع بود ریشه های مربع; در سمت چپ معادله ای که اکنون به دست می آید اختلاف ریشه های یکسان است. بیایید این و معادلات حاصل را بنویسیم:

از مجموع این معادلات بدست می آوریم

اجازه دهید معادله آخر را مربع کرده و پس از ساده سازی به دست آوریم

از اینجا پیدا می کنیم. با بررسی متقاعد می شویم که ریشه این معادله فقط عدد است. مثال 3: معادله را حل کنید

در اینجا، در حال حاضر تحت علامت رادیکال، ما سه جمله ای مربع داریم.

راه حل. معادله را در عبارت مزدوج در سمت چپ آن ضرب می کنیم:

معادله آخر را از این کم کنید:

بیایید این معادله را مربع کنیم:

از آخرین معادله ای که پیدا می کنیم. با بررسی متقاعد می شویم که ریشه این معادله فقط عدد x = 1 است.

ب- معادلات حاوی ریشه های درجه سوم. سیستم های معادلات غیر منطقی. اجازه دهید خودمان را به نمونه های فردی از این گونه معادلات و سیستم ها محدود کنیم.

مثال 4: معادله را حل کنید

راه حل. دو راه برای حل معادله (70.1) نشان خواهیم داد. راه اول اجازه دهید هر دو طرف این معادله را مکعب کنیم (به فرمول (20.8) مراجعه کنید:

(در اینجا با استفاده از معادله، عدد 4 را جایگزین ریشه های مکعب کردیم).

پس ما داریم

یعنی بعد از ساده سازی ها

از آنجا که هر دو ریشه معادله اصلی را برآورده می کنند.

راه دوم بگذاریم

معادله (70.1) به شکل نوشته خواهد شد. علاوه بر این، واضح است که. از معادله (70.1) به سمت سیستم حرکت کردیم

با تقسیم اولین معادله سیستم بر ترم بر دوم، متوجه می شویم

معادله غیرمنطقی هر معادله ای است که تابعی در زیر علامت ریشه داشته باشد. مثلا:

چنین معادلاتی همیشه در 3 مرحله حل می شوند:

1. ریشه را جدا کنید. به عبارت دیگر، اگر در سمت چپ علامت مساوی، علاوه بر ریشه، اعداد یا توابع دیگری وجود دارد، همه اینها باید به سمت راست منتقل شوند و علامت را تغییر دهید. در این مورد، فقط رادیکال باید در سمت چپ باقی بماند - بدون هیچ ضرایبی.
2. 2. دو طرف معادله را مربع کنید. در عین حال، ما به یاد داریم که محدوده مقادیر ریشه همه اعداد غیر منفی هستند. بنابراین، تابع در سمت راست معادله غیر منطقیهمچنین باید غیر منفی باشد: g(x) ≥ 0.
3. مرحله سوم به طور منطقی از مرحله دوم ناشی می شود: باید یک بررسی انجام دهید. واقعیت این است که در مرحله دوم می‌توانیم ریشه‌های اضافی داشته باشیم. و برای اینکه آنها را قطع کنید، باید اعداد نامزد به دست آمده را با معادله اصلی جایگزین کنید و بررسی کنید: آیا واقعاً برابری عددی صحیح به دست آمده است؟

حل یک معادله غیر منطقی

بیایید به ir خود بپردازیم معادله منطقیدر همان ابتدای درس داده شده است. در اینجا ریشه از قبل جدا شده است: در سمت چپ علامت مساوی چیزی جز ریشه وجود ندارد. مربع دو طرف:

2x 2 − 14x + 13 = (5 − x ) 2
2x 2 − 14x + 13 = 25 − 10x + x 2
x 2 − 4x − 12 = 0

معادله درجه دوم حاصل را از طریق ممیز حل می کنیم:

D = b 2 - 4ac = (-4) 2 - 4 1 (-12) = 16 + 48 = 64
x 1 = 6; x 2 = -2

تنها چیزی که باقی می ماند این است که این اعداد را در معادله اصلی جایگزین کنیم، یعنی. بررسی را انجام دهید اما حتی در اینجا می توانید برای ساده کردن تصمیم نهایی کار درست را انجام دهید.

چگونه راه حل را ساده کنیم

بیایید فکر کنیم: چرا حتی در پایان حل یک معادله غیرمنطقی یک بررسی انجام می دهیم؟ ما می خواهیم مطمئن شویم که وقتی ریشه های خود را جایگزین می کنیم، هیچ وجود نخواهد داشت یک عدد منفی. از این گذشته ، ما قبلاً با اطمینان می دانیم که یک عدد غیر منفی در سمت چپ وجود دارد ، زیرا جذر حسابی (به همین دلیل است که معادله ما غیر منطقی نامیده می شود) طبق تعریف نمی تواند کمتر از صفر باشد.

بنابراین، تنها چیزی که باید بررسی کنیم این است که تابع g (x) = 5 − x، که در سمت راست علامت مساوی است، غیر منفی است:

g(x) ≥ 0

ریشه های خود را در این تابع جایگزین می کنیم و دریافت می کنیم:

g (x 1) = g (6) = 5 - 6 = -1< 0
g (x 2) = g (-2) = 5 - (-2) = 5 + 2 = 7 > 0

از مقادیر به دست آمده نتیجه می شود که ریشه x 1 = 6 برای ما مناسب نیست، زیرا هنگام جایگزینی در سمت راست معادله اصلی یک عدد منفی دریافت می کنیم. اما ریشه x 2 = −2 برای ما کاملاً مناسب است، زیرا:

1. این ریشه راه حل معادله درجه دوم است که با بالا بردن هر دو طرف به دست می آید معادله غیر منطقیبه یک مربع
2. هنگام جایگزینی ریشه x 2 = -2، سمت راست معادله غیرمنطقی اصلی به عدد مثبت تبدیل می شود، یعنی. دامنه ریشه حسابینشکسته.

این همه الگوریتم است! همانطور که می بینید، حل معادلات با رادیکال ها چندان دشوار نیست. نکته اصلی این است که فراموش نکنید ریشه های دریافت شده را بررسی کنید، در غیر این صورت احتمال دریافت پاسخ های غیر ضروری بسیار زیاد است.

معادلاتی که در آنها یک متغیر در زیر علامت ریشه قرار می گیرد غیر منطقی نامیده می شود.

روش‌های حل معادلات غیرمنطقی معمولاً مبتنی بر امکان جایگزینی (با کمک برخی تبدیل‌ها) یک معادله غیرمنطقی با یک معادله عقلانی است که یا معادل معادله غیرمنطقی اصلی است یا پیامد آن است. اغلب، هر دو طرف معادله به یک توان افزایش می‌یابند. این معادله ای را تولید می کند که نتیجه معادله اصلی است.

در حل معادلات غیرمنطقی باید موارد زیر را در نظر گرفت:

1) اگر توان رادیکال یک عدد زوج باشد، عبارت رادیکال باید غیر منفی باشد. در این مورد، مقدار ریشه نیز غیر منفی است (تعریف ریشه با توان زوج).

2) اگر توان رادیکال یک عدد فرد باشد، عبارت رادیکال می تواند هر عدد واقعی باشد. در این مورد، علامت ریشه با علامت بیان رادیکال منطبق است.

مثال 1.معادله را حل کنید

بیایید دو طرف معادله را مربع کنیم.
x 2 - 3 = 1;
بیایید 3- را از سمت چپ معادله به سمت راست ببریم و عبارت های مشابه را کاهش دهیم.
x 2 = 4;
معادله درجه دوم ناقص حاصل دارای دو ریشه -2 و 2 است.

بیایید ریشه های بدست آمده را با جایگزین کردن مقادیر متغیر x در معادله اصلی بررسی کنیم.
معاینه.
وقتی x 1 = -2 - درست است:
وقتی x 2 = -2- درست است.
بنابراین معادله غیرمنطقی اولیه دارای دو ریشه -2 و 2 است.

مثال 2.معادله را حل کنید .

این معادله را می توان با همان روش مثال اول حل کرد، اما ما آن را متفاوت انجام خواهیم داد.

بیایید ODZ این معادله را پیدا کنیم. از تعریف جذر به دست می آید که در این معادله باید دو شرط به طور همزمان برآورده شود:

ODZ این سطح: x.

پاسخ: بدون ریشه.

مثال 3.معادله را حل کنید =+ 2.

یافتن ODZ در این معادله کار نسبتاً دشواری است. بیایید دو طرف معادله را مربع کنیم:
x 3 + 4x - 1 - 8 = x 3 - 1 + 4+ 4x;
=0;
x 1 = 1; x 2 = 0.
پس از بررسی، تعیین می کنیم که x 2 = 0 یک ریشه اضافی است.
پاسخ: x 1 = 1.

مثال 4.معادله x = را حل کنید.

در این مثال، ODZ به راحتی پیدا می شود. ODZ این معادله: x[-1;).

بیایید دو طرف این معادله را مربع کنیم و در نتیجه معادله x 2 = x + 1 را بدست آوریم. ریشه های این معادله عبارتند از:

بررسی ریشه های یافت شده دشوار است. اما، با وجود این واقعیت که هر دو ریشه متعلق به ODZ هستند، نمی توان ادعا کرد که هر دو ریشه ریشه های معادله اصلی هستند. این منجر به خطا می شود. در این حالت، معادله غیرمنطقی معادل ترکیبی از دو نابرابری و یک معادله است:

x+10 و x0 و x 2 = x + 1، که از آن نتیجه می شود که ریشه منفی معادله غیرمنطقی خارجی است و باید کنار گذاشته شود.

مثال 5.معادله += 7 را حل کنید.

بیایید دو طرف معادله را مربع کرده و کاهش عبارت های مشابه را انجام دهیم، عبارت ها را از یک طرف معادله به طرف دیگر منتقل کنیم و هر دو طرف را در 0.5 ضرب کنیم. در نتیجه معادله را بدست می آوریم
= 12، (*) که پیامد اصلی است. بیایید دوباره دو طرف معادله را مربع کنیم. معادله (x + 5) (20 - x) = 144 را بدست می آوریم که نتیجه معادله اصلی است. معادله به دست آمده به شکل x 2 - 15x + 44 = 0 کاهش می یابد.

این معادله (همچنین نتیجه معادله اصلی) دارای ریشه های x 1 = 4، x 2 = 11 است. هر دو ریشه، همانطور که تأیید نشان می دهد، معادله اصلی را برآورده می کنند.

هرزه. x 1 = 4، x 2 = 11.

اظهار نظر. هنگام مربع کردن معادلات، دانش آموزان اغلب عبارات رادیکال را در معادلاتی مانند (*) ضرب می کنند، یعنی به جای معادله = 12، معادله را می نویسند. = 12. این منجر به خطا نمی شود، زیرا معادلات پیامدهای معادلات هستند. با این حال، باید در نظر داشت که در حالت کلی، چنین ضرب عبارات رادیکالی معادلات نابرابر می دهد.

در مثال‌هایی که در بالا بحث شد، ابتدا می‌توان یکی از رادیکال‌ها را به سمت راست معادله حرکت داد. سپس یک رادیکال در سمت چپ معادله باقی خواهد ماند و پس از مربع کردن دو طرف معادله، یک تابع گویا در سمت چپ معادله به دست می آید. این تکنیک (جداسازی رادیکال) اغلب هنگام حل معادلات غیر منطقی استفاده می شود.

مثال 6. حل معادله-= 3.

با جداسازی رادیکال اول، معادله را بدست می آوریم
=+ 3، معادل نسخه اصلی.

با دو طرف این معادله معادله را بدست می آوریم

x 2 + 5x + 2 = x 2 - 3x + 3 + 6، معادل معادله

4x - 5 = 3(*). این معادله نتیجه معادله اصلی است. با مجذور کردن دو طرف معادله به معادله می رسیم
16x 2 - 40x + 25 = 9 (x 2 - 3x + 3) یا

7x 2 - 13x - 2 = 0.

این معادله نتیجه معادله (*) (و بنابراین معادله اصلی) است و ریشه دارد. ریشه اول x 1 = 2 معادله اصلی را برآورده می کند، اما ریشه دوم x 2 = نه.

پاسخ: x = 2.

توجه داشته باشید که اگر بلافاصله، بدون جداسازی یکی از رادیکال‌ها، دو طرف معادله اصلی را مجذور کنیم، باید تبدیل‌های دست و پا گیر انجام دهیم.

هنگام حل معادلات غیر منطقی، علاوه بر جداسازی رادیکال ها، از روش های دیگری نیز استفاده می شود. مثالی از استفاده از روش جایگزینی مجهول (روش معرفی متغیر کمکی) را در نظر می گیریم.