☰

مثالهای تقسیم کسرهای مختلط ترسیم سیستم معادلات

§ 87. جمع کسرها.

جمع کردن کسر شباهت زیادی به جمع اعداد کامل دارد. جمع کسرها عملی است که شامل این واقعیت است که چندین عدد (اصطلاح) داده شده در یک عدد (جمع) ترکیب می شوند که شامل تمام واحدها و کسرهای واحدهای عبارت است.

سه مورد را به ترتیب بررسی خواهیم کرد:

1. جمع کردن کسرها با مخرج های مشابه.
2. جمع کسرها با مخرج های مختلف.
3. جمع اعداد مختلط.

1. جمع کسری با مخرج مشابه.

یک مثال را در نظر بگیرید: 1/5 + 2/5.

بیایید قطعه AB (شکل 17) را به عنوان یک در نظر بگیرید و به 5 قسمت مساوی تقسیم کنید، سپس قسمت AC این قطعه برابر با 1/5 قطعه AB و بخشی از همان قطعه CD برابر با 2/5 AB.

از رسم مشخص است که اگر قطعه AD را بگیریم برابر با 3/5 AB خواهد بود. اما قطعه AD دقیقاً مجموع قطعات AC و CD است. بنابراین می توانیم بنویسیم:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

با در نظر گرفتن این عبارات و جمع حاصل، می بینیم که صورت جمع با جمع شدن صورت های عبارت ها به دست آمده و مخرج بدون تغییر باقی مانده است.

از این به قانون زیر می رسیم: برای جمع کسری با مخرج یکسان، باید اعداد آنها را جمع کنید و مخرج یکسانی را ترک کنید.

بیایید به یک مثال نگاه کنیم:

2. جمع کسری با مخرج های مختلف.

بیایید کسرها را اضافه کنیم: 3 / 4 + 3 / 8 ابتدا باید آنها را به کمترین مخرج مشترک کاهش دهیم:

حد واسطممکن است 6/8 + 3/8 نوشته نشده باشد. ما آن را برای وضوح اینجا نوشته ایم.

بنابراین، برای جمع کردن کسری با مخرج های مختلف، ابتدا باید آنها را به کمترین مخرج مشترک کاهش دهید، اعداد آنها را اضافه کنید و مخرج مشترک را برچسب بزنید.

بیایید یک مثال را در نظر بگیریم (عوامل اضافی را بالای کسرهای مربوطه می نویسیم):

3. جمع اعداد مختلط.

بیایید اعداد را جمع کنیم: 2 3/8 + 3 5/6.

بیایید ابتدا اجزای کسری اعداد خود را به یک مخرج مشترک بیاوریم و دوباره آنها را بازنویسی کنیم:

حالا قسمت های عدد صحیح و کسری را به ترتیب اضافه می کنیم:

§ 88. تفریق کسرها.

تفریق کسرها مانند تفریق اعداد کامل تعریف می شود. این عملی است که با توجه به مجموع دو جمله و یکی از آنها، جمله دیگری به کمک آن پیدا می شود. اجازه دهید سه مورد را پشت سر هم در نظر بگیریم:

1. تفریق کسری با مخرج مشابه.
2. تفریق کسری با مخرج های مختلف.
3. تفریق اعداد مختلط.

1. تفریق کسری با مخرج مشابه.

بیایید به یک مثال نگاه کنیم:

13 / 15 - 4 / 15

بیایید قطعه AB (شکل 18) را به عنوان یک واحد در نظر بگیریم و آن را به 15 قسمت مساوی تقسیم کنیم. سپس قسمت AC از این بخش 1/15 AB را نشان می دهد و قسمت AD همان بخش با 15/13 AB مطابقت دارد. اجازه دهید یک قطعه ED دیگر برابر با 4/15 AB کنار بگذاریم.

باید کسر 4/15 را از 13/15 کم کنیم. در نقشه، این بدان معناست که بخش ED باید از بخش AD کم شود. در نتیجه قطعه AE باقی می ماند که 15/9 قطعه AB است. بنابراین می توانیم بنویسیم:

مثالی که زدیم نشان می دهد که با تفریق اعداد، صورت تفاضل به دست آمده است، اما مخرج ثابت مانده است.

بنابراین، برای تفریق کسرهایی که دارای مخرج مشابه هستند، باید صورت گیرنده فرعی را از صورت گیرنده تفریق کرده و همان مخرج را رها کنید.

2. تفریق کسری با مخرج های مختلف.

مثال. 3/4 - 5/8

ابتدا اجازه دهید این کسرها را به کمترین مخرج مشترک کاهش دهیم:

متوسط ​​6 / 8 - 5 / 8 در اینجا برای وضوح نوشته شده است، اما می توان بعداً از آن گذشت.

بنابراین، برای تفریق کسری از کسری، ابتدا باید آنها را به کمترین مخرج مشترک تقلیل دهید، سپس صورت ریز را از عدد کسری کم کنید و مخرج مشترک را زیر اختلاف آنها امضا کنید.

بیایید به یک مثال نگاه کنیم:

3. تفریق اعداد مختلط.

مثال. 10 3/4 - 7 2/3.

اجازه دهید قسمت های کسری کوچک و فرعی را به کمترین مخرج مشترک کاهش دهیم:

یک کل را از یک کل کم کردیم و یک کسری را از یک کسر. اما مواردی وجود دارد که قسمت کسری سابترهند بزرگتر از قسمت کسری مینیوند باشد. در چنین مواردی، شما باید یک واحد از کل قسمت مینیوند بگیرید، آن را به قسمت هایی که قسمت کسری در آن بیان می شود تقسیم کنید و به قسمت کسری مینیوند اضافه کنید. و سپس تفریق به همان روشی که در مثال قبل انجام شد انجام می شود:

§ 89. ضرب کسرها.

هنگام مطالعه ضرب کسری، سؤالات زیر را در نظر می گیریم:

1. ضرب کسری در یک عدد کامل.
2. یافتن کسر یک عدد داده شده.
3. ضرب یک عدد صحیح در کسری.
4. ضرب کسری در کسری.
5. ضرب اعداد مختلط.
6. مفهوم علاقه.
7. یافتن درصد یک عدد معین. بیایید آنها را به ترتیب در نظر بگیریم.

1. ضرب کسری در یک عدد کامل.

ضرب کسری در یک عدد صحیح همان معنی را دارد که یک عدد صحیح را در یک عدد صحیح ضرب کنیم. ضرب یک کسری (ضربض) در یک عدد صحیح (ضریب) به معنای ایجاد مجموع جمله های یکسان است که در آن هر جمله برابر ضرب و تعداد جمله ها برابر با ضریب است.

این به این معنی است که اگر باید 1/9 را در 7 ضرب کنید، می توانید این کار را به صورت زیر انجام دهید:

ما به راحتی نتیجه را به دست آوردیم، زیرا عمل به جمع کسری با مخرج یکسان کاهش یافت. از این رو،

در نظر گرفتن این عمل نشان می دهد که ضرب یک کسری در یک عدد صحیح معادل افزایش این کسر به تعداد واحدهای موجود در عدد کامل است. و از آنجایی که افزایش کسری یا با افزایش عدد آن حاصل می شود

یا با کاهش مخرج آن ، در صورت امکان می توانیم صورت را در یک عدد صحیح ضرب کنیم یا مخرج را بر آن تقسیم کنیم.

از اینجا به این قانون می رسیم:

برای ضرب کسری در یک عدد کامل، صورت را در آن عدد کامل ضرب می کنیم و مخرج را ثابت می گذاریم یا در صورت امکان، مخرج را بر آن عدد تقسیم می کنیم و صورت را بدون تغییر می گذاریم.

هنگام ضرب، اختصارات ممکن است، به عنوان مثال:

2. یافتن کسر یک عدد داده شده.مشکلات زیادی وجود دارد که در آنها باید بخشی از یک عدد معین را پیدا کنید یا محاسبه کنید. تفاوت این مشکلات با سایر مشکلات در این است که تعداد برخی از اشیاء یا واحدهای اندازه گیری را می دهند و باید بخشی از این عدد را پیدا کنید که در اینجا با کسری مشخص نیز نشان داده شده است. برای سهولت درک، ابتدا نمونه هایی از این گونه مسائل را بیان می کنیم و سپس روشی را برای حل آنها معرفی می کنیم.

وظیفه 1.من 60 روبل داشتم. من 1/3 این پول را خرج خرید کتاب کردم. قیمت کتاب ها چقدر بود؟

وظیفه 2.قطار باید بین شهرهای A و B مسافتی معادل 300 کیلومتر را طی کند. او قبلاً 2/3 این مسافت را طی کرده است. این چند کیلومتر است؟

وظیفه 3.در روستا 400 خانه وجود دارد که 3/4 آن خشتی و بقیه چوبی است. در کل چند خانه خشتی وجود دارد؟

اینها برخی از مشکلات بسیاری است که برای یافتن بخشی از یک عدد معین با آن مواجه می شویم. معمولاً برای یافتن کسری از یک عدد معین به آنها مسئله می گویند.

راه حل مسئله 1.از 60 روبل. من 1/3 را صرف کتاب کردم. یعنی برای پیدا کردن هزینه کتاب باید عدد 60 را بر 3 تقسیم کنید:

حل مسئله 2.نکته مشکل این است که شما باید 2/3 از 300 کیلومتر را پیدا کنید. ابتدا 1/3 از 300 را محاسبه می کنیم. این با تقسیم 300 کیلومتر بر 3 به دست می آید:

300: 3 = 100 (که 1/3 از 300 است).

برای یافتن دو سوم 300، باید ضریب حاصل را دو برابر کنید، یعنی در 2 ضرب کنید:

100 x 2 = 200 (که 2/3 از 300 است).

حل مسئله 3.در اینجا باید تعداد خانه های آجری را تعیین کنید که 3/4 از 400 خانه را تشکیل می دهند. بیایید ابتدا 1/4 از 400 را پیدا کنیم.

400: 4 = 100 (که 1/4 از 400 است).

برای محاسبه سه چهارم 400، ضریب حاصل باید سه برابر شود، یعنی در 3 ضرب شود:

100 x 3 = 300 (که 3/4 از 400 است).

بر اساس راه حل این مشکلات می توان قاعده زیر را استخراج کرد:

برای یافتن مقدار کسری از یک عدد معین، باید این عدد را بر مخرج کسری تقسیم کرده و ضریب حاصل را در عدد آن ضرب کنید.

3. ضرب یک عدد صحیح در کسری.

قبلاً (§ 26) مشخص شد که ضرب اعداد صحیح باید به عنوان جمع عبارات یکسان درک شود (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20). در این پاراگراف (نقطه 1) مشخص شد که ضرب کسری در یک عدد صحیح به معنای یافتن مجموع عبارات یکسان برابر با این کسر است.

در هر دو مورد، ضرب شامل یافتن مجموع عبارت‌های یکسان بود.

اکنون به ضرب یک عدد کامل در کسری می پردازیم. در اینجا به عنوان مثال با ضرب مواجه خواهیم شد: 9 2 / 3. واضح است که تعریف قبلی ضرب در این مورد صدق نمی کند. این از این واقعیت آشکار است که ما نمی توانیم چنین ضربی را با جمع اعداد مساوی جایگزین کنیم.

به همین دلیل، باید تعریف جدیدی از ضرب ارائه کنیم، به عبارت دیگر، به این سؤال پاسخ دهیم که از ضرب در کسری چه چیزی باید فهمید، این عمل چگونه باید فهمید.

معنی ضرب یک عدد صحیح در کسری از تعریف زیر مشخص است: ضرب یک عدد صحیح (ضربض) در کسری (ضربض) به معنای یافتن این کسری از ضرب است.

یعنی ضرب 9 در 2/3 به معنای یافتن 2/3 از 9 واحد است. در پاراگراف قبل، چنین مشکلاتی حل شد. بنابراین به راحتی می توان فهمید که ما به 6 می رسیم.

اما اکنون یک سوال جالب و مهم مطرح می شود: چرا چنین هستند اقدامات مختلفچگونه می توان مجموع را پیدا کرد اعداد مساویو یافتن کسرهای اعداد، در حساب به همان کلمه «ضرب» گفته می شود؟

این اتفاق می افتد زیرا عمل قبلی (تکرار یک عدد با عبارت چندین بار) و عمل جدید (پیدا کردن کسری یک عدد) به سوالات همگن پاسخ می دهد. این بدان معنی است که ما در اینجا از ملاحظاتی که سؤالات یا تکالیف همگن با همان عمل حل می شوند، حرکت می کنیم.

برای درک این موضوع، مشکل زیر را در نظر بگیرید: "1 متر پارچه 50 روبل قیمت دارد. هزینه 4 متر چنین پارچه ای چقدر است؟

این مشکل با ضرب تعداد روبل (50) در تعداد متر (4)، یعنی 50 x 4 = 200 (روبل) حل می شود.

بیایید همین مشکل را در نظر بگیریم، اما در آن مقدار پارچه به صورت کسری بیان می شود: "1 متر پارچه 50 روبل قیمت دارد. هزینه 3/4 متر چنین پارچه ای چقدر است؟

این مشکل نیز باید با ضرب تعداد روبل (50) در تعداد متر (3/4) حل شود.

می توانید اعداد موجود در آن را چندین بار دیگر بدون تغییر معنی مسئله تغییر دهید، مثلاً 9/10 متر یا 2 3/10 متر و غیره بگیرید.

از آنجایی که این مسائل محتوای یکسانی دارند و فقط از نظر اعداد با هم تفاوت دارند، اقدامات مورد استفاده در حل آنها را یک کلمه - ضرب می نامیم.

چگونه یک عدد کامل را در کسری ضرب می کنیم؟

بیایید اعدادی را که در آخرین مشکل با آنها مواجه می‌شویم در نظر بگیریم:

طبق تعریف باید 3/4 از 50 را پیدا کنیم. ابتدا 1/4 از 50 و سپس 3/4 را پیدا می کنیم.

1/4 از 50 برابر 50/4 است.

3/4 عدد 50 است.

از این رو.

بیایید مثال دیگری را در نظر بگیریم: 12 5 / 8 =؟

1/8 عدد 12 12/8 است،

5/8 عدد 12 است.

از این رو،

از اینجا به این قانون می رسیم:

برای ضرب یک عدد صحیح در کسری، باید عدد کامل را در صورت کسر ضرب کنید و این حاصل ضرب را به صورت صورت تبدیل کنید و مخرج این کسر را به عنوان مخرج امضا کنید.

بیایید این قانون را با استفاده از حروف بنویسیم:

برای اینکه این قانون کاملاً روشن شود، باید به خاطر داشت که کسری را می توان به عنوان ضریب در نظر گرفت. بنابراین، مقایسه قانون یافت شده با قانون ضرب یک عدد در ضریب، که در § 38 آمده است، مفید است.

لازم به یادآوری است که قبل از انجام ضرب، باید انجام دهید (در صورت امکان) کاهش می دهد، مثلا:

4. ضرب کسری در کسری.ضرب کسری در کسری به معنای ضرب یک عدد کامل در کسری است، یعنی هنگام ضرب کسری در کسری، باید کسری را که در کسری است از کسری اول (ضربض) پیدا کنید.

یعنی ضرب 3/4 در 1/2 (نصف) به معنای یافتن نیمی از 3/4 است.

چگونه یک کسری را در کسری ضرب می کنیم؟

بیایید مثالی بزنیم: 3/4 ضرب در 5/7. این بدان معناست که باید 5/7 از 3/4 را پیدا کنید. ابتدا 1/7 از 3/4 و سپس 5/7 را پیدا می کنیم

1/7 عدد 3/4 به صورت زیر بیان می شود:

5/7 اعداد 3/4 به صورت زیر بیان می شود:

بدین ترتیب،

مثال دیگر: 5/8 ضرب در 4/9.

1/9 از 5/8 است،

4/9 عدد 5/8 است.

بدین ترتیب،

از این مثال ها می توان قاعده زیر را استنباط کرد:

برای ضرب کسری در کسری باید صورت را در صورت ضرب و مخرج را در مخرج ضرب کنید و حاصل ضرب اول را صورت و حاصل ضرب دوم را مخرج حاصل ضرب کنید.

این قاعده در نمای کلیمی توان اینگونه نوشت:

هنگام ضرب، لازم است (در صورت امکان) کاهش هایی انجام شود. بیایید به مثال ها نگاه کنیم:

5. ضرب اعداد مختلط.زیرا اعداد مختلطبه راحتی می توان با کسرهای نامناسب جایگزین کرد، این شرایط معمولاً هنگام ضرب اعداد مختلط استفاده می شود. به این معنی که در مواردی که ضریب یا ضریب یا هر دو عامل به صورت اعداد مختلط بیان می شوند، با کسرهای نامناسب جایگزین می شوند. بیایید مثلاً اعداد مختلط را ضرب کنیم: 2 1/2 و 3 1/5. بیایید هر یک از آنها را به یک کسر نامناسب تبدیل کنیم و سپس کسرهای حاصل را طبق قانون ضرب کسری در کسری ضرب کنیم:

قانون.برای ضرب اعداد مختلط ابتدا باید آنها را به کسرهای نامناسب تبدیل کنید و سپس طبق قانون ضرب کسر در کسر آنها را ضرب کنید.

توجه داشته باشید.اگر یکی از عوامل یک عدد صحیح باشد، می توان ضرب را بر اساس قانون توزیع به صورت زیر انجام داد:

6. مفهوم علاقه.هنگام حل مسائل و انجام محاسبات عملی مختلف، از انواع کسرها استفاده می کنیم. اما باید در نظر داشت که بسیاری از مقادیر نه تنها تقسیم بندی های طبیعی را برای آنها امکان پذیر می کند. به عنوان مثال، شما می توانید یک صدم (1/100) روبل را بگیرید، یک کوپک خواهد بود، دو صدم 2 کوپک، سه صدم 3 کوپک است. شما می توانید 1/10 روبل بگیرید، این می شود "10 کوپک، یا یک قطعه ده کوپکی. می توانید یک چهارم روبل، یعنی 25 کوپک، نیم روبل، یعنی 50 کوپک (پنجاه کوپک) بگیرید. آنها عملاً آن را نمی گیرند، مثلاً 2/7 روبل، زیرا روبل به هفتم تقسیم نمی شود.

واحد وزن، یعنی کیلوگرم، در درجه اول امکان تقسیم اعشاری، به عنوان مثال 1/10 کیلوگرم یا 100 گرم را فراهم می کند. و کسری از کیلوگرم مانند 1/6، 1/11، 1/13 معمول نیست.

به طور کلی، معیارهای (متریک) ما اعشاری هستند و تقسیم اعشاری را مجاز می‌کنند.

با این حال، باید توجه داشت که استفاده از روش یکسان (یکنواخت) برای تقسیم کمیت ها، در موارد مختلف بسیار مفید و راحت است. چندین سال تجربهنشان داد که چنین تقسیم بندی موجهی، تقسیم «صدساله» است. اجازه دهید چندین مثال را در رابطه با متنوع ترین حوزه های عمل انسانی در نظر بگیریم.

1. قیمت کتاب 100/12 قیمت قبلی کاهش یافته است.

مثال. قیمت قبلی کتاب 10 روبل بود. 1 روبل کاهش یافت. 20 کوپک

2. بانک های پس انداز 2/100 مبلغ سپرده گذاری شده بابت پس انداز در طول سال را به سپرده گذاران می پردازند.

مثال. 500 روبل در صندوق پول واریز می شود، درآمد حاصل از این مبلغ برای سال 10 روبل است.

3. تعداد فارغ التحصیلان یک مدرسه 5/100 از کل دانش آموزان بوده است.

مثال تنها 1200 دانش آموز در این مدرسه تحصیل می کردند که 60 نفر از آنها فارغ التحصیل شدند.

صدم یک عدد را درصد می گویند.

کلمه "درصد" وام گرفته شده است زبان لاتینو ریشه آن «سنت» به معنای صد است. این کلمه همراه با حرف اضافه (pro centum) به معنای "برای صد" است. معنای این عبارت از این واقعیت ناشی می شود که در ابتدا در روم باستان بهره به پولی گفته می شد که بدهکار «به ازای هر صد» به وام دهنده می پرداخت. کلمه "سنت" در چنین کلمات آشنا شنیده می شود: centner (صد کیلوگرم)، سانتی متر (مثلا سانتی متر).

به عنوان مثال به جای اینکه بگوییم کارخانه طی یک ماه گذشته 100/1 محصولات تولیدی خود را معیوب تولید کرده است، می گوییم: طی یک ماه گذشته کارخانه یک درصد نقص تولید کرده است. به جای اینکه بگوییم: کارخانه 4/100 محصول بیشتر از برنامه تعیین شده تولید کرد، خواهیم گفت: کارخانه 4 درصد از برنامه پیشی گرفته است.

مثال های بالا را می توان به صورت متفاوت بیان کرد:

1. قیمت کتاب 12 درصد نسبت به قیمت قبلی کاهش یافته است.

2. بانک های پس انداز سالانه 2 درصد از مبلغ سپرده شده در پس انداز به سپرده گذاران پرداخت می کنند.

3. تعداد فارغ التحصیلان یک مدرسه 5 درصد کل دانش آموزان مدرسه بود.

برای کوتاه کردن حرف مرسوم است که به جای کلمه "درصد" علامت % بنویسید.

با این حال، باید به خاطر داشته باشید که در محاسبات علامت % معمولاً نوشته نمی شود، می توان آن را در بیان مسئله و در نتیجه نهایی نوشت. هنگام انجام محاسبات، باید به جای یک عدد کامل با این نماد، کسری با مخرج 100 بنویسید.

شما باید بتوانید یک عدد صحیح را با نماد نشان داده شده با کسری با مخرج 100 جایگزین کنید:

برعکس، باید عادت کنید که به جای کسری با مخرج 100، یک عدد صحیح را با نماد نشان داده شده بنویسید:

7. یافتن درصد یک عدد معین.

وظیفه 1.مدرسه 200 متر مکعب دریافت کرد. متر هیزم، با هیزم توس حسابداری برای 30٪. هیزم توس چقدر بود؟

منظور از این مشکل این است که هیزم توس تنها بخشی از هیزم تحویلی به مدرسه را تشکیل می دهد و این قسمت در کسری 100/30 بیان می شود. این به این معنی است که ما وظیفه داریم کسری از یک عدد را پیدا کنیم. برای حل آن باید 200 را در 30/100 ضرب کنیم (مشکلات یافتن کسر یک عدد با ضرب عدد در کسری حل می شود.).

یعنی 30 درصد از 200 برابر 60 است.

کسر 30/100 که در این مسئله با آن مواجه می شود را می توان به 10 کاهش داد. انجام این کاهش از همان ابتدا امکان پذیر است. راه حل مشکل تغییر نمی کرد.

وظیفه 2. 300 کودک در سنین مختلف در اردوگاه حضور داشتند. کودکان 11 ساله 21 درصد، کودکان 12 ساله 61 درصد و در نهایت کودکان 13 ساله 18 درصد را تشکیل می دهند. چند کودک در هر سنی در اردو حضور داشتند؟

در این مشکل شما باید سه محاسبه را انجام دهید، یعنی به صورت متوالی تعداد کودکان 11 ساله، سپس 12 ساله و در نهایت 13 ساله را پیدا کنید.

این بدان معناست که در اینجا باید کسر عدد را سه بار پیدا کنید. بیایید آن را انجام دهیم:

1) چند تا بچه 11 ساله بودند؟

2) چند تا بچه 12 ساله بودند؟

3) چند کودک 13 ساله بودند؟

پس از حل مشکل، اضافه کردن اعداد یافت شده مفید است. مجموع آنها باید 300 باشد:

63 + 183 + 54 = 300

همچنین لازم به ذکر است که مجموع درصدهای داده شده در بیان مسئله 100 است:

21% + 61% + 18% = 100%

این نشان می دهد که تعداد کلکودکان در اردوگاه به عنوان 100 درصد گرفته شدند.

3 روز و ساعت 3.کارگر ماهانه 1200 روبل دریافت می کرد. از این میزان 65 درصد برای خوراک، 6 درصد برای آپارتمان و گرمایش، 4 درصد برای گاز، برق و رادیو، 10 درصد برای نیازهای فرهنگی و 15 درصد صرفه جویی کرده است. چه مقدار پول برای نیازهای ذکر شده در مشکل هزینه شده است؟

برای حل این مشکل باید کسری 1200 را 5 بار پیدا کنید بیایید این کار را انجام دهیم.

1) چقدر پول خرج غذا شد؟ مشکل می گوید که این هزینه 65٪ از کل درآمد است، یعنی 65/100 عدد 1200. بیایید محاسبه را انجام دهیم:

2) برای یک آپارتمان با گرمایش چقدر پول دادید؟ با استدلال مشابه قبلی، به محاسبه زیر می رسیم:

3) برای گاز، برق و رادیو چقدر پول دادید؟

4) چقدر برای نیازهای فرهنگی هزینه شد؟

5) کارگر چقدر پول پس انداز کرد؟

برای بررسی، جمع کردن اعداد موجود در این 5 سوال مفید است. مبلغ باید 1200 روبل باشد. تمام درآمدها به عنوان 100٪ در نظر گرفته می شود که با جمع کردن اعداد درصدی که در بیانیه مشکل ارائه شده است، به راحتی قابل بررسی است.

ما سه مشکل را حل کردیم. با وجود اینکه این مشکلات با موارد مختلفی (تحویل هیزم برای مدرسه، تعداد فرزندان در سنین مختلف، هزینه های کارگر) سروکار داشت، به همین ترتیب حل شد. این اتفاق به این دلیل رخ داد که در همه مسائل لازم بود چندین درصد از اعداد داده شده را پیدا کنید.

§ 90. تقسیم کسرها.

هنگام مطالعه تقسیم کسرها، سؤالات زیر را در نظر خواهیم گرفت:

1. یک عدد صحیح را بر یک عدد صحیح تقسیم کنید.
2. تقسیم کسری بر یک عدد صحیح
3. تقسیم یک عدد کامل بر کسری.
4. تقسیم کسری بر کسری.
5. تقسیم اعداد مختلط.
6. یافتن یک عدد از کسر داده شده آن.
7. یافتن یک عدد با درصد آن.

بیایید آنها را به ترتیب در نظر بگیریم.

1. یک عدد صحیح را بر یک عدد صحیح تقسیم کنید.

همانطور که در بخش اعداد صحیح اشاره شد، تقسیم عملی است که با توجه به حاصل ضرب دو عامل (سود سهام) و یکی از این عوامل (مقسم‌ع‌کننده)، عامل دیگری پیدا می‌شود.

ما به تقسیم یک عدد صحیح بر یک عدد صحیح در بخش اعداد صحیح نگاه کردیم. ما در آنجا با دو مورد تقسیم مواجه شدیم: تقسیم بدون باقیمانده یا «کلاً» (150: 10 = 15) و تقسیم با باقیمانده (100: 9 = 11 و 1 باقیمانده). بنابراین می توان گفت که در زمینه اعداد صحیح، تقسیم دقیق همیشه امکان پذیر نیست، زیرا سود همیشه حاصلضرب مقسوم علیه عدد صحیح نیست. پس از معرفی ضرب در کسری، می توانیم هر موردی از تقسیم اعداد صحیح را ممکن در نظر بگیریم (فقط تقسیم بر صفر حذف می شود).

به عنوان مثال، تقسیم 7 بر 12 به معنای یافتن عددی است که حاصلضرب آن بر 12 برابر با 7 باشد. چنین عددی کسر 7 / 12 است زیرا 7 / 12 12 = 7 است. مثال دیگر: 14: 25 = 14 / 25، زیرا 14 / 25 25 = 14.

بنابراین، برای تقسیم یک عدد کامل بر یک عدد کامل، باید کسری ایجاد کنید که صورت آن برابر با تقسیم و مخرج آن برابر با تقسیم‌کننده باشد.

2. تقسیم کسری بر یک عدد صحیح.

کسر 6/7 را بر 3 تقسیم کنید. طبق تعریف تقسیم بالا، در اینجا حاصل ضرب (6/7) و یکی از عوامل (3) را داریم. لازم است عامل دومی پیدا شود که وقتی در 3 ضرب شود، حاصل ضرب داده شده 6/7 باشد. بدیهی است که باید سه برابر کوچکتر از این محصول باشد. این به این معنی است که وظیفه ای که پیش روی ما گذاشته شده بود این بود که کسری را 6/7 3 برابر کاهش دهیم.

ما قبلاً می دانیم که کاهش یک کسر می تواند با کاهش صورت آن یا افزایش مخرج آن انجام شود. بنابراین می توانید بنویسید:

در این حالت، صورت‌گر 6 بر 3 بخش‌پذیر است، بنابراین از عدد 3 برابر باید کم شود.

بیایید مثال دیگری بزنیم: 5/8 تقسیم بر 2. در اینجا صورت 5 بر 2 بخش پذیر نیست، به این معنی که مخرج باید در این عدد ضرب شود:

بر این اساس می توان یک قاعده ایجاد کرد: برای تقسیم کسری بر یک عدد صحیح، باید عدد کسر را بر آن عدد کامل تقسیم کنید.(در صورت امکان)، مخرج یکسان را ترک می کنیم، یا مخرج کسری را در این عدد ضرب می کنیم و همان صورت را باقی می گذاریم.

3. تقسیم یک عدد کامل بر کسری.

لازم است 5 را بر 1/2 تقسیم کنیم، یعنی عددی را پیدا کنیم که پس از ضرب در 1/2 حاصلضرب 5 به دست آید. بدیهی است که این عدد باید بزرگتر از 5 باشد، زیرا 1/2 کسر مناسبی است. و هنگام ضرب یک عدد، حاصل ضرب کسر مناسب باید از حاصل ضرب کمتر باشد. برای روشن تر شدن این موضوع، بیایید اقدامات خود را به صورت زیر بنویسیم: 5: 1 / 2 = ایکس یعنی x 1/2 = 5.

ما باید چنین عددی را پیدا کنیم ایکس که اگر در 1/2 ضرب شود، 5 می شود. از آنجایی که ضرب یک عدد معین در 1/2 به معنای یافتن 1/2 از این عدد است، بنابراین، 1/2 از عدد مجهول است. ایکس برابر با 5 و عدد کامل است ایکس دو برابر، یعنی 5 2 = 10.

بنابراین 5: 1 / 2 = 5 2 = 10

بیایید بررسی کنیم:

بیایید به مثال دیگری نگاه کنیم. فرض کنید می خواهید 6 را بر 2/3 تقسیم کنید. بیایید ابتدا سعی کنیم با استفاده از نقاشی نتیجه مورد نظر را پیدا کنیم (شکل 19).

شکل 19

یک قطعه AB برابر با 6 واحد رسم می کنیم و هر واحد را به 3 قسمت مساوی تقسیم می کنیم. در هر واحد، سه سوم (3/3) کل بخش AB 6 برابر بزرگتر است، یعنی. ه. 18/3. با استفاده از براکت های کوچک، 18 بخش حاصل از 2 را به هم وصل می کنیم. فقط 9 بخش وجود خواهد داشت. این بدان معناست که کسر 2/3 در 6 واحد 9 بار قرار می گیرد یا به عبارت دیگر کسری 2/3 9 برابر کمتر از 6 واحد کامل است. از این رو،

چگونه می توان این نتیجه را بدون ترسیم با استفاده از محاسبات به دست آورد؟ بیایید اینطور استدلال کنیم: باید 6 را بر 2/3 تقسیم کنیم، یعنی باید به این سؤال پاسخ دهیم که 2/3 در 6 چند برابر است. بیایید ابتدا بفهمیم: 1/3 در 6 چند برابر است؟ در یک واحد کل 3 سوم و در 6 واحد 6 برابر بیشتر است یعنی 18 سوم. برای یافتن این عدد باید 6 را در 3 ضرب کنیم. این بدان معناست که 1/3 در b واحدها 18 برابر است و 2/3 در b واحدها نه 18 بار، بلکه نصف تعداد دفعات است، یعنی 18: 2 = 9. بنابراین، هنگام تقسیم 6 بر 2/3 ما کامل شده است اقدامات زیر:

از اینجا قانون تقسیم یک عدد کامل بر کسری را می گیریم. برای تقسیم یک عدد صحیح بر کسری، باید این عدد کامل را در مخرج کسر داده شده ضرب کنید و با تبدیل این حاصل ضرب، آن را بر صورت کسر داده شده تقسیم کنید.

بیایید قانون را با استفاده از حروف بنویسیم:

برای اینکه این قانون کاملاً روشن شود، باید به خاطر داشت که کسری را می توان به عنوان ضریب در نظر گرفت. بنابراین، مقایسه قاعده یافت شده با قانون تقسیم یک عدد بر ضریب، که در § 38 آمده است، مفید است. لطفا توجه داشته باشید که همان فرمول در آنجا به دست آمد.

هنگام تقسیم، اختصارات ممکن است، به عنوان مثال:

4. تقسیم کسری بر کسری.

فرض کنید باید 3/4 را بر 3/8 تقسیم کنیم. عددی که از تقسیم به دست می آید چه معنایی خواهد داشت؟ به این سوال پاسخ خواهد داد که کسر 3/8 چند بار در کسر 3/4 موجود است. برای درک این موضوع، بیایید یک نقاشی بکشیم (شکل 20).

بیایید یک قطعه AB بگیریم، آن را به عنوان یک در نظر بگیریم، آن را به 4 قسمت مساوی تقسیم کنیم و 3 قسمت از این قبیل را علامت گذاری کنیم. قطعه AC برابر با 3/4 قطعه AB خواهد بود. اکنون هر یک از چهار بخش اصلی را به نصف تقسیم می کنیم، سپس قطعه AB به 8 قسمت مساوی تقسیم می شود و هر قسمت برابر با 1/8 قطعه AB خواهد بود. اجازه دهید 3 قطعه از این قبیل را با کمان به هم وصل کنیم، سپس هر یک از قطعات AD و DC برابر با 3/8 قطعه AB خواهد بود. نقاشی نشان می دهد که یک بخش برابر با 3/8 در یک بخش برابر با 3/4 دقیقاً 2 برابر وجود دارد. این بدان معنی است که نتیجه تقسیم را می توان به صورت زیر نوشت:

3 / 4: 3 / 8 = 2

بیایید به مثال دیگری نگاه کنیم. فرض کنید باید 15/16 را بر 3/32 تقسیم کنیم:

می‌توانیم به این صورت استدلال کنیم: باید عددی را پیدا کنیم که پس از ضرب در 3/32، حاصلضرب برابر با 15/16 باشد. بیایید محاسبات را به این صورت بنویسیم:

15 / 16: 3 / 32 = ایکس

3 / 32 ایکس = 15 / 16

3/32 شماره ناشناس ایکس 15/16 هستند

1/32 از یک عدد ناشناخته ایکس است ،

شماره های 32/32 ایکس آرایش .

از این رو،

بنابراین، برای تقسیم کسری بر کسری، باید صورت کسر اول را در مخرج دوم ضرب کنید، و مخرج کسر اول را در عدد دوم ضرب کنید، و حاصل ضرب اول را تبدیل کنید. و دومی مخرج.

بیایید قانون را با استفاده از حروف بنویسیم:

هنگام تقسیم، اختصارات ممکن است، به عنوان مثال:

5. تقسیم اعداد مختلط.

هنگام تقسیم اعداد مختلط ابتدا باید آنها را به کسرهای نامناسب تبدیل کرد و سپس کسرهای حاصل را طبق قوانین تقسیم کسر تقسیم کرد. بیایید به یک مثال نگاه کنیم:

بیایید اعداد مختلط را به کسرهای نامناسب تبدیل کنیم:

حالا بیایید تقسیم کنیم:

بنابراین، برای تقسیم اعداد مختلط، باید آنها را به کسرهای نامناسب تبدیل کنید و سپس با استفاده از قانون تقسیم کسر، تقسیم کنید.

6. یافتن یک عدد از کسر داده شده آن.

در بین مسائل مختلف کسری، گاهی مواردی وجود دارد که در آنها مقدار کسری از یک عدد مجهول داده می شود و باید این عدد را پیدا کنید. این نوع مسئله معکوس مسئله یافتن کسر یک عدد معین خواهد بود. در آنجا یک عدد داده شد و باید کسری از این عدد را پیدا کرد، در اینجا کسری از یک عدد داده شد و لازم بود که خود این عدد را پیدا کند. اگر به حل این نوع مشکلات روی بیاوریم این ایده حتی واضح تر خواهد شد.

وظیفه 1.در روز اول لعاب داران 50 پنجره را لعاب زدند که 1/3 کل پنجره های خانه ساخته شده است. چند پنجره در این خانه وجود دارد؟

راه حل.مشکل می گوید که 50 پنجره شیشه ای 1/3 از کل پنجره های خانه را تشکیل می دهد، یعنی در کل 3 برابر بیشتر پنجره وجود دارد، یعنی.

خانه 150 پنجره داشت.

وظیفه 2.این فروشگاه 1500 کیلوگرم آرد فروخت که 3/8 کل آرد موجود در فروشگاه است. عرضه اولیه آرد فروشگاه چقدر بوده است؟

راه حل.از شرایط مشکل مشخص می شود که 1500 کیلوگرم آرد فروخته شده 3/8 کل موجودی را تشکیل می دهد. یعنی 1/8 این ذخیره 3 برابر کمتر خواهد بود، یعنی برای محاسبه آن باید 1500 را 3 برابر کاهش دهید:

1500: 3 = 500 (این 1/8 ذخیره است).

بدیهی است که کل عرضه 8 برابر بیشتر خواهد بود. از این رو،

500 8 = 4000 (کیلوگرم).

ذخیره اولیه آرد در فروشگاه 4000 کیلوگرم بود.

با توجه به این مشکل می توان قاعده زیر را استخراج کرد.

برای یافتن عددی از مقدار معین کسری آن کافی است این مقدار را بر عدد کسر تقسیم کرده و حاصل را در مخرج کسر ضرب کنیم.

ما دو مسئله را در یافتن یک عدد با توجه به کسر آن حل کردیم. چنین مسائلی، همانطور که به وضوح از آخرین مورد مشاهده می شود، با دو عمل حل می شوند: تقسیم (زمانی که یک جزء پیدا می شود) و ضرب (زمانی که عدد کامل پیدا می شود).

اما بعد از اینکه تقسیم کسرها را یاد گرفتیم، مسائل فوق را می توان با یک عمل حل کرد، یعنی تقسیم بر کسری.

به عنوان مثال، آخرین کار را می توان در یک عمل مانند زیر حل کرد:

در آینده مشکلات یافتن عدد از کسر آن را با یک عمل - تقسیم حل خواهیم کرد.

7. یافتن یک عدد با درصد آن.

در این مشکلات باید عددی را پیدا کنید که چند درصد آن عدد را می داند.

وظیفه 1.در ابتدای سال جاری 60 روبل از بانک پس انداز دریافت کردم. درآمد حاصل از مبلغی که یک سال پیش در پس انداز گذاشتم. چقدر پول در بانک پس انداز گذاشته ام؟ (میزهای نقدی سالانه 2% بازدهی به سپرده گذاران می دهند.)

نکته مشکل این است که من مقداری پول در یک پس انداز گذاشتم و یک سال آنجا ماندم. پس از یک سال، 60 روبل از او دریافت کردم. درآمدی که 2/100 پولی است که من واریز کردم. چقدر پول گذاشتم؟

در نتیجه، با دانستن بخشی از این پول، که به دو صورت بیان می شود (به روبل و کسری)، باید کل مبلغ را که هنوز ناشناخته است، پیدا کنیم. این یک مشکل معمولی برای یافتن یک عدد با توجه به کسر آن است. مشکلات زیر با تقسیم حل می شود:

این بدان معنی است که 3000 روبل در بانک پس انداز سپرده شده است.

وظیفه 2.ماهیگیران با برداشت 512 تن ماهی، برنامه ماهانه را در دو هفته 64 درصد برآورده کردند. برنامه آنها چه بود؟

از شرایط مشکل مشخص می شود که ماهیگیران بخشی از طرح را تکمیل کردند. این قطعه معادل 512 تن است که 64 درصد برنامه را شامل می شود. ما نمی دانیم که طبق برنامه چند تن ماهی باید تهیه شود. یافتن این شماره راه حل مشکل خواهد بود.

چنین مشکلاتی با تقسیم بندی حل می شوند:

یعنی طبق برنامه باید 800 تن ماهی تهیه شود.

وظیفه 3.قطار از ریگا به مسکو رفت. وقتی او از کیلومتر 276 عبور کرد، یکی از مسافران از راهبری عبوری پرسید که چقدر از مسیر را طی کرده‌اند. به این، هادی پاسخ داد: "ما در حال حاضر 30٪ از کل سفر را پوشش داده ایم." فاصله ریگا تا مسکو چقدر است؟

از شرایط مشکل مشخص است که 30 درصد از مسیر ریگا به مسکو 276 کیلومتر است. ما باید کل فاصله بین این شهرها را پیدا کنیم، یعنی برای این قسمت، کل را پیدا کنیم:

§ 91. اعداد متقابل. جایگزینی تقسیم با ضرب.

کسری 2/3 را می گیریم و به جای مخرج، صورت را جایگزین می کنیم، 3/2 می گیریم. معکوس این کسر را بدست آوردیم.

برای به دست آوردن معکوس کسر معین، باید صورت آن را به جای مخرج و مخرج را به جای صورت قرار دهید. به این ترتیب ما می توانیم متقابل هر کسری را بدست آوریم. مثلا:

3/4، معکوس 4/3; 5/6، معکوس 6/5

به دو کسری که این خاصیت را دارند که صورت اولی مخرج دومی و مخرج اولی صورت دومی باشد، نامیده می شوند. متقابل معکوس

حالا بیایید فکر کنیم که چه کسری متقابل 1/2 خواهد بود. بدیهی است که 2/1 یا فقط 2 خواهد بود. با جستجوی کسر معکوس عدد داده شده، یک عدد صحیح به دست آوردیم. و این مورد مجزا نیست; برعکس، برای همه کسری با عدد 1 (یک)، اعداد متقابل اعداد صحیح خواهند بود، برای مثال:

1/3، معکوس 3; 1/5، معکوس 5

از آنجایی که در یافتن کسرهای متقابل به اعداد صحیح نیز برخورد کردیم، در ادامه در مورد کسرهای متقابل صحبت نمی کنیم، بلکه در مورد کسرهای متقابل صحبت خواهیم کرد. اعداد متقابل.

بیایید نحوه نوشتن معکوس یک عدد صحیح را دریابیم. برای کسرها، این را می توان به سادگی حل کرد: شما باید مخرج را به جای صورتگر قرار دهید. به همین ترتیب، می توانید معکوس یک عدد صحیح را بدست آورید، زیرا هر عدد صحیحی می تواند مخرج 1 داشته باشد. برای عدد 10 معکوس 1/10 خواهد بود، زیرا 10 = 10/1 است

این ایده را می توان به صورت متفاوت بیان کرد: متقابل یک عدد معین از تقسیم یک بر عدد معین بدست می آید. این عبارت نه تنها برای اعداد صحیح، بلکه برای کسرها نیز صادق است. در واقع، اگر نیاز به نوشتن معکوس کسر 9/5 داشته باشیم، می‌توانیم 1 را بگیریم و آن را بر 5/9 تقسیم کنیم، یعنی.

حال به یک نکته اشاره می کنیم ویژگیاعداد متقابل، که برای ما مفید خواهد بود: حاصل ضرب اعداد متقابل برابر با یک است.در واقع:

با استفاده از این خاصیت می توانیم اعداد متقابل را به صورت زیر پیدا کنیم. فرض کنید باید معکوس 8 را پیدا کنیم.

بیایید آن را با حرف نشان دهیم ایکس ، سپس 8 ایکس = 1، بنابراین ایکس = 1/8. بیایید عدد دیگری را پیدا کنیم که معکوس 7/12 باشد و آن را با حرف نشان دهیم ایکس ، سپس 7/12 ایکس = 1، بنابراین ایکس = 1: 7/12 یا ایکس = 12 / 7 .

ما در اینجا مفهوم اعداد متقابل را معرفی کردیم تا کمی اطلاعات مربوط به تقسیم کسرها را تکمیل کنیم.

وقتی عدد 6 را بر 3/5 تقسیم می کنیم به صورت زیر عمل می کنیم:

به عبارت مورد نظر دقت کنید و آن را با عبارت داده شده مقایسه کنید: .

اگر عبارت را به طور جداگانه، بدون ارتباط با مورد قبلی، در نظر بگیریم، نمی توان این سؤال را حل کرد که از کجا آمده است: از تقسیم 6 بر 3/5 یا از ضرب 6 در 5/3. در هر دو مورد همین اتفاق می افتد. بنابراین می توان گفت که تقسیم یک عدد بر عدد دیگر را می توان با ضرب تقسیم در معکوس مقسوم علیه جایگزین کرد.

مثال هایی که در زیر می آوریم این نتیجه گیری را کاملا تایید می کند.

تی نوع درس: ONZ (کشف دانش جدید - با استفاده از فناوری روش تدریس مبتنی بر فعالیت).

اهداف اساسی:

  1. روش های تقسیم کسری بر یک عدد طبیعی را استنباط کنید.
  2. توانایی تقسیم کسری بر یک عدد طبیعی را توسعه دهید.
  3. تکرار و تقویت تقسیم کسری؛
  4. توانایی کاهش کسرها، تجزیه و تحلیل و حل مسائل را آموزش دهید.

مواد نمایشی تجهیزات:

1. وظایف به روز رسانی دانش:

مقایسه عبارات:

ارجاع:

2. کار آزمایشی (انفرادی).

1. انجام تقسیم:

2. انجام تقسیم بدون انجام کل زنجیره محاسبات: .

استانداردها:

  • وقتی کسری را بر یک عدد طبیعی تقسیم می کنید، می توانید مخرج را در آن عدد ضرب کنید، اما صورت را ثابت نگه دارید.

  • اگر صورت بر یک عدد طبیعی بخش پذیر است، پس هنگام تقسیم کسری بر این عدد، می توانید صورت را بر عدد تقسیم کنید و مخرج را ثابت نگه دارید.

در طول کلاس ها

I. انگیزه (خودتعیینی) به فعالیت های آموزشی.

هدف صحنه:

  1. سازماندهی به روز رسانی الزامات دانش آموز از نظر فعالیت های آموزشی ("باید")؛
  2. سازماندهی فعالیت های دانش آموزی برای ایجاد چارچوب های موضوعی ("من می توانم")؛
  3. شرایطی را برای دانش آموز ایجاد کنید تا نیاز درونی خود را برای مشارکت در فعالیت های آموزشی ایجاد کند ("من می خواهم").

سازماندهی فرآیند آموزشی در مرحله اول.

سلام! از دیدن همه شما در درس ریاضی خوشحالم. امیدوارم دوطرفه باشه

بچه ها در درس آخر چه دانش جدیدی کسب کردید؟ (کسرها را تقسیم کنید).

درست. چه چیزی به شما در انجام تقسیم کسر کمک می کند؟ (قاعده، خواص).

کجا به این دانش نیاز داریم؟ (در مثال ها، معادلات، مسائل).

آفرین! تکالیف درس گذشته را به خوبی انجام دادید. آیا می خواهید امروز خودتان دانش جدیدی کشف کنید؟ (آره).

سپس - بیا بریم! و شعار درس این جمله خواهد بود: "شما نمی توانید ریاضیات را با تماشای همسایه خود یاد بگیرید!"

II. به روز رسانی دانش و رفع مشکلات فردی در یک اقدام آزمایشی.

هدف صحنه:

  1. سازماندهی به روز رسانی روش های عمل آموخته شده کافی برای ایجاد دانش جدید. این روش ها را به صورت شفاهی (در گفتار) و نمادین (استاندارد) ثبت کنید و آنها را تعمیم دهید.
  2. سازماندهی عملیات ذهنی و فرایندهای شناختیبرای ساخت دانش جدید کافی است.
  3. ایجاد انگیزه برای اقدام آزمایشی و اجرای مستقل و توجیه آن؛
  4. ارائه یک کار فردی برای یک اقدام آزمایشی و تجزیه و تحلیل آن به منظور شناسایی محتوای آموزشی جدید.
  5. سازماندهی تثبیت هدف آموزشی و موضوع درس.
  6. اجرای یک اقدام آزمایشی را سازماندهی کنید و مشکل را برطرف کنید.
  7. تجزیه و تحلیل پاسخ های دریافتی را سازماندهی کنید و مشکلات فردی را در انجام یک اقدام آزمایشی یا توجیه آن ثبت کنید.

سازماندهی فرآیند آموزشی در مرحله دوم.

از جلو با استفاده از تبلت (تخته های فردی).

1. مقایسه عبارات:

(این عبارات برابر هستند)

چه چیزهای جالبی متوجه شدید؟ (حساب و مخرج تقسیم، صورت و مخرج مقسوم علیه در هر عبارت به تعداد یکسان افزایش یافته است. بنابراین، تقسیم و مخرج در عبارات با کسرهایی که با یکدیگر برابر هستند نشان داده می شوند).

معنی عبارت را پیدا کنید و آن را روی تبلت خود یادداشت کنید. (2)

چگونه می توانم این عدد را به صورت کسری بنویسم؟

عمل تقسیم را چگونه انجام دادید؟ (کودکان قانون را تلفظ می کنند، معلم نمادهای حروف را روی تخته می گذارد)

2. فقط نتایج را محاسبه و ثبت کنید:

3. نتایج را جمع کنید و پاسخ را یادداشت کنید. (2)

نام عددی که در کار 3 به دست آمده چیست؟ (طبیعی)

آیا فکر می کنید می توانید یک کسری را بر یک عدد طبیعی تقسیم کنید؟ (بله، سعی می کنیم)

این را امتحان کن.

4. تکلیف انفرادی (آزمایشی).

انجام تقسیم: (به عنوان مثال فقط)

از چه قاعده ای برای تقسیم استفاده کردید؟ (طبق قانون تقسیم کسر بر کسر)

اکنون کسر را بر عدد طبیعی بزرگتر از آن تقسیم کنید به روشی ساده، بدون انجام کل زنجیره محاسبات: (مثال ب). من به شما 3 ثانیه برای این زمان می دهم.

چه کسی نتوانست کار را در 3 ثانیه انجام دهد؟

کی اینکار رو کرد؟ (هیچ گونه ای وجود ندارد)

چرا؟ (راهش را نمی دانیم)

چی به دست آوردی؟ (مشکل)

به نظر شما در کلاس چه خواهیم کرد؟ (تقسیم کسرها بر اعداد طبیعی)

درست است، دفترهای خود را باز کنید و موضوع درس را بنویسید: "تقسیم کسری بر یک عدد طبیعی".

چرا وقتی می دانید که چگونه کسرها را تقسیم کنید، این موضوع جدید به نظر می رسد؟ (نیاز به یک راه جدید)

درست. امروز تکنیکی را ایجاد می کنیم که تقسیم کسری بر یک عدد طبیعی را ساده می کند.

III. شناسایی محل و علت مشکل.

هدف صحنه:

  1. سازماندهی بازسازی عملیات تکمیل شده و ثبت (کلامی و نمادین) مکان - مرحله، عملیات - جایی که مشکل بوجود آمد.
  2. سازماندهی همبستگی اقدامات دانش آموزان با روش (الگوریتم) مورد استفاده و تثبیت در گفتار خارجی علت مشکل - دانش، مهارت ها یا توانایی های خاصی که برای حل مشکل اولیه از این نوع وجود ندارد.

سازماندهی فرآیند آموزشی در مرحله سوم.

چه وظیفه ای را باید انجام می دادید؟ (یک کسری را بر یک عدد طبیعی تقسیم کنید بدون اینکه کل زنجیره محاسبات را طی کنید)

چه چیزی باعث سختی شما شد؟ (نتوانستم تصمیم بگیرم مدت کوتاهیراه سریع)

در درس چه هدفی برای خود در نظر می گیریم؟ (پیدا کردن راه سریعتقسیم کسری بر یک عدد طبیعی)

چه چیزی به شما کمک خواهد کرد؟ (قانون از قبل شناخته شده برای تقسیم کسرها)

IV. ساخت یک پروژه برای رهایی از یک مشکل.

هدف صحنه:

  1. شفاف سازی هدف پروژه؛
  2. انتخاب روش (توضیح)؛
  3. تعیین میانگین (الگوریتم)؛
  4. ساختن یک برنامه برای رسیدن به هدف.

سازماندهی فرآیند آموزشی در مرحله چهارم.

به تکلیف تست برگردیم. گفتی طبق قانون تقسیم کسری تقسیم کردی؟ (آره)

برای این کار عدد طبیعی را با کسری جایگزین کنید؟ (آره)

به نظر شما کدام مرحله (یا مراحل) را می توان نادیده گرفت؟

(زنجیره راه حل روی تخته باز است:

تجزیه و تحلیل کنید و نتیجه بگیرید. (مرحله 1)

اگر پاسخی وجود ندارد، ما شما را از طریق سوالات راهنمایی می کنیم:

مقسم طبیعی کجا رفت؟ (به مخرج)

آیا شمارنده تغییر کرده است؟ (نه)

بنابراین کدام مرحله را می توانید "عدم" کنید؟ (مرحله 1)

برنامه عملیاتی:

  • مخرج کسری را در یک عدد طبیعی ضرب کنید.
  • ما شماره را تغییر نمی دهیم.
  • کسری جدید می گیریم.

V. اجرای پروژه ساخته شده.

هدف صحنه:

  1. سازماندهی تعامل ارتباطی به منظور اجرای پروژه ساخته شده با هدف کسب دانش از دست رفته.
  2. سازماندهی ضبط روش ساخته شده عمل در گفتار و علائم (با استفاده از یک استاندارد).
  3. راه حل مشکل اولیه را سازماندهی کنید و نحوه غلبه بر مشکل را مستند کنید.
  4. شفاف سازی ماهیت کلی دانش جدید را سازماندهی کنید.

سازماندهی فرآیند آموزشی در مرحله V.

حالا تست کیس را به روشی جدید به سرعت اجرا کنید.

حالا شما توانستید کار را به سرعت انجام دهید؟ (آره)

توضیح دهید که چگونه این کار را انجام دادید؟ (بچه ها صحبت می کنند)

این بدان معنی است که ما دانش جدیدی به دست آورده ایم: قانون تقسیم کسری بر یک عدد طبیعی.

آفرین! دوتایی بگویید.

سپس یکی از دانش آموزان با کلاس صحبت می کند. قانون-الگوریتم را به صورت شفاهی و به صورت استاندارد روی تابلو ثابت می کنیم.

اکنون نام حروف را وارد کرده و فرمول قانون ما را بنویسید.

دانش آموز روی تخته می نویسد و این قانون را می گوید: هنگام تقسیم کسری بر یک عدد طبیعی، می توانید مخرج را در این عدد ضرب کنید، اما صورت را یکسان بگذارید.

(هرکس فرمول را در دفترچه خود می نویسد).

حال با توجه ویژه به پاسخ، دوباره زنجیره حل تکلیف تست را تحلیل کنید. چه کار کردین؟ (عدد کسر 15 به عدد 3 تقسیم (کاهش) شد)

این عدد چیست؟ (طبیعی، مقسوم علیه)

پس چگونه می توان کسری را بر یک عدد طبیعی تقسیم کرد؟ (بررسی کنید: اگر صورت کسری بر این عدد طبیعی بخش پذیر باشد، می توانید شمارنده را بر این عدد تقسیم کنید، نتیجه را در صورت کسر جدید بنویسید و مخرج را ثابت بگذارید)

این روش را به صورت فرمول بنویسید. (دانش آموز هنگام تلفظ این قانون را روی تخته می نویسد. همه فرمول را در دفترچه خود می نویسند.)

به روش اول برگردیم. اگر a:n؟ (بله آن روش کلی)

و چه زمانی استفاده از روش دوم راحت است؟ (وقتی صورت کسری بر یک عدد طبیعی بدون باقیمانده تقسیم شود)

VI. تثبیت اولیه با تلفظ در گفتار خارجی.

هدف صحنه:

  1. هنگام حل مشکلات استاندارد با تلفظ آنها در گفتار بیرونی (از جلو، به صورت جفت یا گروهی) روش جدیدی از عمل را برای کودکان سازماندهی کنید.

سازماندهی فرآیند آموزشی در مرحله ششم.

به روشی جدید محاسبه کنید:

  • شماره 363 (الف؛ د) - اجرا در هیئت، بیان قاعده.
  • شماره 363 (e; f) - به صورت جفت با چک کردن مطابق نمونه.

VII. کار مستقل با خودآزمایی طبق استاندارد.

هدف صحنه:

  1. سازماندهی تکمیل مستقل وظایف دانش آموزان برای یک روش جدید اقدام؛
  2. سازماندهی خودآزمایی بر اساس مقایسه با استاندارد؛
  3. بر اساس نتایج کار مستقل، بازتابی در مورد جذب یک روش جدید عمل سازماندهی کنید.

سازماندهی فرآیند آموزشی در مرحله هفتم.

به روشی جدید محاسبه کنید:

  • شماره 363 (ب؛ ج)

دانش آموزان استاندارد را بررسی می کنند و صحت اجرا را علامت می زنند. علل خطاها تجزیه و تحلیل و خطاها تصحیح می شوند.

معلم از دانش آموزانی که اشتباه کرده اند می پرسد علت چیست؟

در این مرحله مهم است که هر دانش آموز به طور مستقل کار خود را بررسی کند.

هشتم. گنجاندن در سیستم دانش و تکرار.

هدف صحنه:

  1. سازماندهی شناسایی مرزهای کاربرد دانش جدید؛
  2. سازماندهی تکرار محتوای آموزشی لازم برای اطمینان از تداوم معنادار.

سازماندهی فرآیند آموزشی در مرحله هشتم.

  • ثبت مشکلات حل نشده در درس را به عنوان جهتی برای فعالیت های آموزشی آینده سازماندهی کنید.
  • بحث و ضبط تکالیف را سازماندهی کنید.

    • سازماندهی فرآیند آموزشی در مرحله نهم.

    1. گفتگو:

    بچه ها، امروز چه دانش جدیدی کشف کرده اید؟ (آموزش تقسیم کسری بر یک عدد طبیعی به روشی ساده)

    یک روش کلی را تدوین کنید. (میگویند)

    در چه مواردی و در چه مواردی می توان از آن استفاده کرد؟ (میگویند)

    مزیت روش جدید چیست؟

    آیا به هدف درسی خود رسیده ایم؟ (آره)

    از چه دانشی برای رسیدن به هدف خود استفاده کردید؟ (میگویند)

    آیا همه چیز برای شما درست شد؟

    سختی ها چه بود؟

    2. مشق شب: بند 3.2.4. شماره 365 (l, n, o, p); شماره 370.

    3. معلم:خوشحالم که همه امروز فعال بودند و توانستند راهی برای خروج از دشواری پیدا کنند. و مهمتر از همه، آنها در هنگام افتتاح و تأسیس آن همسایه نبودند. با تشکر از درس، بچه ها!

    آخرین بار یاد گرفتیم که چگونه کسرها را جمع و تفریق کنیم (به درس "افزودن و تفریق کسرها" مراجعه کنید). دشوارترین بخش آن اقدامات، آوردن کسری به یک مخرج مشترک بود.

    حالا وقت آن است که به ضرب و تقسیم بپردازیم. خبر خوب این است که این عملیات حتی ساده تر از جمع و تفریق است. ابتدا بیایید ساده ترین حالت را در نظر بگیریم، زمانی که دو کسر مثبت بدون یک جزء صحیح جدا شده وجود دارد.

    برای ضرب دو کسر، باید صورت و مخرج آنها را جداگانه ضرب کنید. عدد اول صورت کسر جدید و عدد دوم مخرج خواهد بود.

    برای تقسیم دو کسر، باید کسر اول را در کسر دوم "معکوس" ضرب کنید.

    تعیین:

    از تعریف به دست می آید که تقسیم کسرها به ضرب کاهش می یابد. برای "برگرداندن" کسری، فقط صورت و مخرج را عوض کنید. بنابراین، در طول درس عمدتاً ضرب را در نظر خواهیم گرفت.

    در نتیجه ضرب، یک کسری تقلیل‌پذیر می‌تواند بوجود بیاید (و اغلب هم بوجود می‌آید) - البته باید کاهش یابد. اگر بعد از همه کاهش ها، کسری نادرست است، کل قسمت باید برجسته شود. اما چیزی که قطعاً با ضرب اتفاق نمی‌افتد، تقلیل به یک مخرج مشترک است: بدون روش متقاطع، بزرگترین فاکتورها و کمترین مضرب مشترک.

    طبق تعریف داریم:

    ضرب کسرها با اجزای کامل و کسرهای منفی

    اگر کسری شامل یک قسمت صحیح باشد، باید آنها را به قسمت های نامناسب تبدیل کرد - و تنها پس از آن طبق طرح های ذکر شده در بالا ضرب شود.

    اگر در صورت کسر، در مخرج یا جلوی آن یک منهای وجود داشته باشد، می توان آن را طبق قوانین زیر از ضرب خارج کرد یا به طور کلی حذف کرد:

    1. به علاوه منهای منفی می دهد.
    2. دو منفی یک مثبت را نشان می دهد.

    تا به حال، این قوانین فقط هنگام جمع و تفریق کسرهای منفی، زمانی که لازم بود از شر کل قسمت خلاص شود، مواجه می شد. برای یک اثر، می توان آنها را تعمیم داد تا چندین معایب را به طور همزمان "سوزانند":

    1. نگاتیوها را دوتایی خط می زنیم تا کاملا محو شوند. در موارد شدید، یک منهای می تواند زنده بماند - چیزی که برای آن همسری وجود نداشت.
    2. اگر هیچ منفی باقی نمانده باشد، عملیات تکمیل شده است - می توانید ضرب را شروع کنید. اگر منهای آخر خط نخورد چون جفتی برای آن وجود نداشت، آن را خارج از حدود ضرب می کنیم. نتیجه یک کسر منفی است.

    وظیفه. معنی عبارت را پیدا کنید:

    همه کسرها را به کسرهای نامناسب تبدیل می کنیم و سپس منهای را از ضرب خارج می کنیم. آنچه باقی می ماند را طبق قوانین معمول ضرب می کنیم. ما گرفتیم:

    اجازه دهید یک بار دیگر به شما یادآوری کنم که منهای که در مقابل کسری با یک قسمت کامل برجسته ظاهر می شود، به طور خاص به کل کسری اشاره دارد و نه فقط به کل آن (این در مورد دو مثال آخر صدق می کند).

    همچنین توجه داشته باشید اعداد منفی: هنگام ضرب در داخل پرانتز قرار می گیرند. این کار به منظور جدا کردن منهای از علائم ضرب و دقیق تر کردن نماد انجام می شود.

    کاهش کسری در پرواز

    ضرب یک عملیات بسیار کار فشرده است. اعداد در اینجا بسیار بزرگ هستند، و برای ساده کردن مشکل، می توانید سعی کنید کسر را بیشتر کاهش دهید. قبل از ضرب. در واقع، در اصل، صورت‌ها و مخرج‌های کسرها عوامل معمولی هستند، و بنابراین، می‌توان آنها را با استفاده از ویژگی اصلی یک کسر کاهش داد. به نمونه ها دقت کنید:

    وظیفه. معنی عبارت را پیدا کنید:

    طبق تعریف داریم:

    در همه نمونه ها، اعدادی که کاهش یافته اند و آنچه از آنها باقی مانده است با رنگ قرمز مشخص شده اند.

    لطفاً توجه داشته باشید: در مورد اول، ضریب ها به طور کامل کاهش یافت. به جای آنها واحدهایی باقی می مانند که، به طور کلی، نیازی به نوشتن ندارند. در مثال دوم، امکان کاهش کامل وجود نداشت، اما مقدار کل محاسبات همچنان کاهش یافت.

    با این حال، هرگز از این تکنیک هنگام جمع و تفریق کسرها استفاده نکنید! بله، گاهی اوقات اعداد مشابهی وجود دارد که شما فقط می خواهید آنها را کاهش دهید. اینجا، نگاه کنید:

    شما نمی توانید این کار را انجام دهید!

    این خطا به این دلیل رخ می دهد که هنگام جمع کردن، صورتگر کسری یک جمع را تولید می کند نه حاصل ضرب اعداد. در نتیجه، اعمال ویژگی اصلی یک کسر غیرممکن است، زیرا این ویژگی به طور خاص با ضرب اعداد سروکار دارد.

    به سادگی هیچ دلیل دیگری برای کاهش کسر وجود ندارد، بنابراین راه حل صحیح برای مشکل قبلی به این صورت است:

    راه حل صحیح:

    همانطور که می بینید، پاسخ صحیح چندان زیبا نبود. در کل مراقب باشید.

    ضرب و تقسیم کسرها.

    توجه!
    اضافی وجود دارد
    مواد در بخش ویژه 555.
    برای کسانی که خیلی "نه خیلی..." هستند
    و برای کسانی که "خیلی...")

    این عمل بسیار زیباتر از جمع و تفریق است! چون راحت تره به عنوان یادآوری، برای ضرب یک کسری در یک کسری، باید اعداد را ضرب کنید (این صورت‌گر نتیجه خواهد بود) و مخرج‌ها (این مخرج خواهد بود). به این معنا که:

    مثلا:

    همه چیز فوق العاده ساده است. و لطفا به دنبال مخرج مشترک نباشید! اینجا نیازی به او نیست...

    برای تقسیم کسری بر کسری باید معکوس کرد دومین(این مهم است!) کسر کنید و آنها را ضرب کنید، یعنی:

    مثلا:

    اگر با ضرب یا تقسیم با اعداد صحیح و کسری برخورد کردید، اشکالی ندارد. مانند جمع، از یک عدد کامل کسری می‌سازیم که در مخرج یک باشد - و ادامه می‌دهیم! مثلا:

    در دبیرستان اغلب باید با کسری های سه طبقه (یا حتی چهار طبقه!) سر و کار داشته باشید. مثلا:

    چگونه می توانم این کسری را مناسب جلوه دهم؟ بله خیلی ساده! از تقسیم دو نقطه ای استفاده کنید:

    اما ترتیب تقسیم را فراموش نکنید! برخلاف ضرب، اینجا خیلی مهم است! البته 4:2 یا 2:4 را اشتباه نخواهیم گرفت. اما اشتباه کردن در یک کسری سه طبقه آسان است. لطفاً به عنوان مثال توجه کنید:

    در حالت اول (عبارت سمت چپ):

    در دوم (عبارت سمت راست):

    آیا تفاوت را احساس می کنید؟ 4 و 1/9!

    چه چیزی ترتیب تقسیم را تعیین می کند؟ یا با براکت، یا (مانند اینجا) با طول خطوط افقی. چشم خود را توسعه دهید و اگر براکت یا خط تیره وجود ندارد، مانند:

    سپس تقسیم و ضرب کنید به ترتیب از چپ به راست!

    و یک تکنیک بسیار ساده و مهم دیگر. در اقدامات با درجه، برای شما بسیار مفید خواهد بود! بیایید یک را بر هر کسری تقسیم کنیم، به عنوان مثال، بر 13/15:

    شات برگشت! و این همیشه اتفاق می افتد. وقتی 1 را بر هر کسری تقسیم می کنیم، نتیجه همان کسر است، فقط وارونه.

    این برای عملیات با کسری است. موضوع بسیار ساده است، اما خطاهای بیش از حد کافی را می دهد. توجه داشته باشید توصیه عملی، و تعداد آنها (خطا) کمتر خواهد بود!

    نکات کاربردی:

    1. مهمترین چیز هنگام کار با عبارات کسری دقت و توجه است! نیست کلمات رایج، نه آرزوهای خوب! این یک ضرورت جدی است! تمام محاسبات را در آزمون یکپارچه دولتی به عنوان یک کار تمام عیار، متمرکز و واضح انجام دهید. دوتا بنویسی بهتره خطوط اضافیدر پیش نویس، به جای بهم ریختن در هنگام انجام محاسبات ذهنی.

    2. در مثال هایی با انواع متفاوتکسری - به کسرهای معمولی بروید.

    3. همه کسری ها را کم می کنیم تا متوقف شوند.

    4. چند طبقه عبارات کسریبا استفاده از تقسیم از طریق دو نقطه به موارد معمولی کاهش دهید (به ترتیب تقسیم دقت کنید!).

    5. یک واحد را بر یک کسری در سر خود تقسیم کنید، به سادگی کسر را برگردانید.

    در اینجا وظایفی وجود دارد که باید حتماً آنها را انجام دهید. پاسخ ها بعد از تمام وظایف داده می شود. از مطالب این موضوع و نکات کاربردی استفاده کنید. تخمین بزنید که چند مثال را به درستی حل کرده اید. اولین بار! بدون ماشین حساب! و نتیجه گیری درست ...

    به یاد داشته باشید - پاسخ صحیح است دریافتی از زمان دوم (مخصوصا سوم) حساب نمی شود!زندگی سخت چنین است.

    بنابراین، در حالت امتحانی حل کنید ! به هر حال، این در حال حاضر آماده سازی برای آزمون دولتی واحد است. مثال را حل می کنیم، آن را بررسی می کنیم، مورد بعدی را حل می کنیم. ما همه چیز را تصمیم گرفتیم - دوباره از اول تا آخر بررسی کردیم. اما تنها سپسبه پاسخ ها نگاه کنید

    محاسبه:

    تصمیم گرفتی؟

    ما به دنبال پاسخ هایی هستیم که با شما مطابقت داشته باشد. من عمداً آنها را به دور از وسوسه و به اصطلاح به طور نامرتب و به دور از وسوسه نوشتم ... اینها، پاسخ ها، با نقطه ویرگول نوشته شده اند.

    0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

    حالا ما نتیجه گیری می کنیم. اگر همه چیز درست شد، برای شما خوشحالم! محاسبات اولیه با کسرها مشکل شما نیست! می توانید کارهای جدی تری انجام دهید. اگر نه...

    بنابراین شما یکی از دو مشکل را دارید. یا هر دو در یک زمان.) عدم آگاهی و (یا) بی توجهی. اما این قابل حل چالش ها و مسائل.

    اگر این سایت را دوست دارید ...

    به هر حال، من چند سایت جالب دیگر برای شما دارم.)

    می توانید حل مثال ها را تمرین کنید و سطح خود را پیدا کنید. تست با تایید فوری بیایید یاد بگیریم - با علاقه!)

    می توانید با توابع و مشتقات آشنا شوید.

    برای حل مسائل مختلف دروس ریاضی و فیزیک، باید کسرها را تقسیم کنید. اگر قوانین خاصی را برای انجام این عملیات ریاضی بدانید، انجام این کار بسیار آسان است.

    قبل از اینکه به فرمول بندی قانون تقسیم کسری بپردازیم، اجازه دهید برخی از اصطلاحات ریاضی را به خاطر بسپاریم:

    1. قسمت بالای کسر را ممیز و قسمت پایین را مخرج می نامند.
    2. هنگام تقسیم، اعداد به صورت زیر خوانده می شوند: تقسیم: مقسوم = ضریب

    نحوه تقسیم کسرها: کسرهای ساده

    برای تقسیم دو کسر ساده، سود تقسیمی را در متقابل تقسیم کننده ضرب کنید. به این کسر معکوس نیز می گویند زیرا با مبادله صورت و مخرج به دست می آید. مثلا:

    3/77: 1/11 = 3 /77 * 11 /1 = 3/7

    نحوه تقسیم کسرها: کسرهای مختلط

    اگر باید کسرهای مختلط را تقسیم کنیم، همه چیز در اینجا نیز کاملاً ساده و واضح است. ابتدا کسر مختلط را به کسر نامناسب منظم تبدیل می کنیم. برای انجام این کار، مخرج چنین کسری را در یک عدد صحیح ضرب کنید و عدد را به حاصل ضرب اضافه کنید. در نتیجه، ما یک عدد جدید از کسر مختلط دریافت کردیم، اما مخرج آن بدون تغییر باقی می ماند. علاوه بر این، تقسیم کسرها دقیقاً به همان روشی که تقسیم کسرهای ساده انجام می شود. مثلا:

    10 2/3: 4/15 = 32/3: 4/15 = 32/3 * 15 /4 = 40/1 = 40

    چگونه یک کسری را بر یک عدد تقسیم کنیم

    به منظور تقسیم کسر سادهبه یک عدد، دومی باید به صورت کسری (نامنظم) نوشته شود. انجام این کار بسیار آسان است: به جای صورتگر این عدد نوشته می شود و مخرج چنین کسری برابر با یک. تقسیم بیشتر به روش معمول انجام می شود. بیایید با یک مثال به این موضوع نگاه کنیم:

    5/11: 7 = 5/11: 7/1 = 5/11 * 1/7 = 5/77

    نحوه تقسیم اعشار

    اغلب یک بزرگسال در تقسیم یک عدد کامل یا یک کسری اعشاری بر کسری اعشاری بدون کمک ماشین حساب مشکل دارد.

    بنابراین برای انجام تقسیم اعداد اعشاری، فقط باید کاما را در مقسوم علیه خط بکشید و دیگر به آن توجه نکنید. در تقسیم‌کننده، کاما باید دقیقاً به همان تعداد جاهایی که در قسمت کسری تقسیم‌کننده بود به سمت راست منتقل شود و در صورت لزوم صفرها را اضافه کنید. و سپس تقسیم معمولی را با یک عدد صحیح انجام می دهند. برای روشن تر شدن این موضوع، به مثال زیر توجه کنید.