مثال هایی با راه حل های لگاریتمی تعریف لگاریتم، هویت لگاریتمی پایه

همانطور که جامعه توسعه یافت و تولید پیچیده تر شد، ریاضیات نیز توسعه یافت. حرکت از ساده به پیچیده. از حسابداری معمولی با استفاده از روش جمع و تفریق با تکرار مکرر آنها به مفهوم ضرب و تقسیم رسیدیم. کاهش عملیات مکرر ضرب به مفهوم توان تبدیل شد. اولین جداول وابستگی اعداد به پایه و تعداد توان در قرن هشتم توسط ریاضیدان هندی Varasena گردآوری شد. از روی آنها می توانید زمان وقوع لگاریتم را بشمارید.

طرح تاریخی

احیای اروپا در قرن شانزدهم نیز توسعه مکانیک را تحریک کرد. تی نیاز به محاسبات زیادی داشتمربوط به ضرب و تقسیم اعداد چند رقمی است. میزهای باستانی خدمات بسیار خوبی داشتند. اجازه تعویض دادند عملیات پیچیدهبه موارد ساده تر - جمع و تفریق. یک قدم بزرگ رو به جلو کار ریاضیدان مایکل استیفل بود که در سال 1544 منتشر شد و در آن او ایده بسیاری از ریاضیدانان را محقق کرد. این امکان استفاده از جداول را نه تنها برای درجه در فرم فراهم کرد اعداد اول، بلکه برای عقلای دلخواه.

در سال 1614، جان ناپیر اسکاتلندی، با توسعه این ایده ها، برای اولین بار اصطلاح جدید "لگاریتم یک عدد" را معرفی کرد. جداول پیچیده جدیدی برای محاسبه لگاریتم سینوس ها و کسینوس ها و همچنین مماس ها تهیه شد. این کار اخترشناسان را بسیار کاهش داد.

جداول جدیدی ظاهر شد که برای سه قرن توسط دانشمندان با موفقیت مورد استفاده قرار گرفت. زمان زیادی گذشت تا عملیات جدید در جبر شکل نهایی خود را به دست آورد. تعریف لگاریتم ارائه شد و خواص آن مورد مطالعه قرار گرفت.

تنها در قرن بیستم، با ظهور ماشین حساب و کامپیوتر، بشریت جداول باستانی را که در طول قرن سیزدهم با موفقیت کار می کردند، کنار گذاشت.

امروز لگاریتم b را برای مبنای a عدد x می نامیم که توان a برای ساختن b است. این به عنوان یک فرمول نوشته می شود: x = log a(b).

به عنوان مثال، log 3(9) برابر با 2 خواهد بود. اگر از تعریف پیروی کنید این واضح است. اگر 3 را به توان 2 برسانیم، 9 می شود.

بنابراین، تعریف فرمول بندی شده تنها یک محدودیت را تعیین می کند: اعداد a و b باید واقعی باشند.

انواع لگاریتم

تعریف کلاسیک لگاریتم واقعی نامیده می شود و در واقع حل معادله a x = b است. گزینه a = 1 مرزی است و مورد توجه نیست. توجه: 1 به هر توانی برابر با 1 است.

ارزش واقعی لگاریتمتنها زمانی تعریف می شود که مبنا و آرگومان بزرگتر از 0 باشند و پایه نباید برابر با 1 باشد.

جایگاه ویژه در رشته ریاضیبازی لگاریتمی که بسته به اندازه پایه آنها نامگذاری می شود:

قوانین و محدودیت ها

ویژگی اساسی لگاریتم ها این قانون است: لگاریتم یک محصول برابر با مجموع لگاریتمی است. log abp = log a(b) + log a(p).

به عنوان یک نوع از این عبارت وجود خواهد داشت: log c(b/p) = log c(b) - log c(p)، تابع ضریب برابر با تفاوت توابع است.

از دو قانون قبلی به راحتی می توان دریافت که: log a(b p) = p * log a(b).

سایر خواص عبارتند از:

اظهار نظر. نیازی به اشتباه رایج نیست - لگاریتم یک مجموع با مجموع لگاریتم ها برابر نیست.

برای قرن‌های متمادی، یافتن لگاریتم یک کار نسبتاً زمان‌بر بود. ریاضیدانان از فرمول معروف نظریه لگاریتمی انبساط چند جمله ای استفاده کردند:

ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n)، که در آن n یک عدد طبیعی بزرگتر از 1 است که دقت محاسبه را تعیین می کند.

لگاریتم با پایه های دیگر با استفاده از قضیه انتقال از یک پایه به پایه دیگر و ویژگی لگاریتم حاصلضرب محاسبه شد.

از آنجایی که این روش بسیار کار بر است و هنگام حل مسائل عملیپیاده سازی دشوار است، ما از جداول لگاریتمی از پیش کامپایل شده استفاده کردیم که به طور قابل توجهی سرعت تمام کار را افزایش داد.

در برخی موارد، از نمودارهای لگاریتمی طراحی شده ویژه استفاده شد که دقت کمتری داشت، اما سرعت جستجوی مقدار مورد نظر را به میزان قابل توجهی افزایش داد. منحنی تابع y = log a(x) که بر روی چندین نقطه ساخته شده است، به شما امکان می دهد از یک خط کش معمولی برای یافتن مقدار تابع در هر نقطه دیگر استفاده کنید. مهندسان مدت زمان طولانیبرای این منظور از کاغذ گراف به اصطلاح استفاده شد.

در قرن هفدهم، اولین شرایط کمکی محاسبات آنالوگ ظاهر شد که قرن 19ظاهری تمام شده به دست آورد. موفق ترین دستگاه قانون اسلاید نام داشت. علیرغم سادگی دستگاه، ظاهر آن به طور قابل توجهی روند تمام محاسبات مهندسی را تسریع می کند، و این امر دشوار است که بیش از حد برآورد شود. در حال حاضر افراد کمی با این دستگاه آشنایی دارند.

ظهور ماشین حساب ها و کامپیوترها استفاده از هر وسیله دیگری را بی معنی کرد.

معادلات و نابرابری ها

برای حل معادلات و نابرابری های مختلف با استفاده از لگاریتم از فرمول های زیر استفاده می شود:

حرکت از یک پایه به پایه دیگر: log a(b) = log c(b) / log c(a);
در نتیجه گزینه قبلی: log a(b) = 1 / log b(a).

برای حل نابرابری ها مفید است بدانید:

مقدار لگاریتم تنها در صورتی مثبت خواهد بود که مبنا و آرگومان هر دو بزرگتر یا کوچکتر از یک باشند. اگر حداقل یک شرط نقض شود، مقدار لگاریتم منفی خواهد بود.
اگر تابع لگاریتم به سمت راست و چپ نابرابری اعمال شود و پایه لگاریتم بزرگتر از یک باشد، علامت نابرابری حفظ می شود. در غیر این صورت تغییر می کند.

نمونه مشکلات

بیایید چندین گزینه برای استفاده از لگاریتم و خواص آنها در نظر بگیریم. مثال هایی با حل معادلات:

گزینه قرار دادن لگاریتم در توان را در نظر بگیرید:

مسئله 3. 25^log 5(3) را محاسبه کنید. راه حل: در شرایط مشکل، ورودی مشابه زیر است (5^2)^log5(3) یا 5^(2 * log 5(3)). بیایید آن را متفاوت بنویسیم: 5^log 5(3*2)، یا مربع یک عدد به عنوان آرگومان تابع را می توان به عنوان مربع خود تابع نوشت (5^log 5(3))^2. با استفاده از خواص لگاریتم، این عبارت برابر با 3^2 است. پاسخ: در نتیجه محاسبه 9 به دست می آید.

استفاده عملی

به عنوان یک ابزار کاملاً ریاضی، به نظر دور از دسترس است زندگی واقعیکه لگاریتم ناگهان به دست آورد پراهمیتبرای توصیف اشیاء دنیای واقعی. یافتن علمی در جایی که از آن استفاده نمی شود دشوار است. این به طور کامل نه تنها در زمینه های دانش طبیعی، بلکه در زمینه های بشردوستانه نیز صدق می کند.

وابستگی های لگاریتمی

در اینجا چند نمونه از وابستگی های عددی آورده شده است:

مکانیک و فیزیک

از نظر تاریخی، مکانیک و فیزیک همیشه با استفاده از توسعه یافته اند روش های ریاضیتحقیق و در عین حال به عنوان انگیزه ای برای توسعه ریاضیات از جمله لگاریتم عمل کرد. تئوری اکثر قوانین فیزیک به زبان ریاضی نوشته شده است. اجازه دهید تنها دو مثال از توصیف قوانین فیزیکی با استفاده از لگاریتم بیاوریم.

مشکل محاسبه چنین کمیت پیچیده ای مانند سرعت یک موشک را می توان با استفاده از فرمول Tsiolkovsky که پایه و اساس تئوری اکتشاف فضایی را ایجاد کرد، حل کرد:

V = I * ln (M1/M2)، که در آن

V سرعت نهایی هواپیما است.
I - ضربه خاص موتور.
M 1 - جرم اولیه موشک.
M 2 - جرم نهایی.

مثال مهم دیگر- این در فرمول دانشمند بزرگ دیگر ماکس پلانک استفاده می شود که برای ارزیابی حالت تعادل در ترمودینامیک استفاده می شود.

S = k * ln (Ω)، که در آن

S – خاصیت ترمودینامیکی
k – ثابت بولتزمن.
Ω وزن آماری حالت های مختلف است.

علم شیمی

استفاده از فرمول های حاوی نسبت لگاریتم ها در شیمی کمتر آشکار است. بیایید فقط دو مثال بزنیم:

معادله نرنست، شرایط پتانسیل ردوکس محیط نسبت به فعالیت مواد و ثابت تعادل.
محاسبه ثابت هایی مانند شاخص اتولیز و اسیدیته محلول نیز بدون عملکرد ما انجام نمی شود.

روانشناسی و زیست شناسی

و اصلاً مشخص نیست که روانشناسی چه ربطی به آن دارد. معلوم شد که قدرت حس به خوبی توسط این تابع به عنوان نسبت معکوس شدت محرک به ارزش کمترشدت.

پس از مثال های بالا، دیگر جای تعجب نیست که مبحث لگاریتم ها به طور گسترده در زیست شناسی مورد استفاده قرار می گیرد. مجلدات کامل را می توان در مورد اشکال بیولوژیکی متناظر با مارپیچ های لگاریتمی نوشت.

مناطق دیگر

به نظر می رسد وجود جهان بدون ارتباط با این کارکرد ناممکن است و بر همه قوانین حاکم است. به خصوص زمانی که قوانین طبیعت مربوط به پیشرفت هندسی. ارزش مراجعه به وب سایت MatProfi را دارد و نمونه های زیادی از این قبیل در زمینه های فعالیت زیر وجود دارد:

لیست می تواند بی پایان باشد. با تسلط بر اصول اولیه این عملکرد، می توانید در دنیای خرد بی نهایت غوطه ور شوید.

لگاریتم یک عدد ن بر اساس آ توان نامیده می شود ایکس ، که باید به آن بسازید آ برای دریافت شماره ن

به شرطی که
,
,

از تعریف لگاریتم چنین بر می آید که
، یعنی
- این برابری هویت لگاریتمی اساسی است.

لگاریتم های پایه 10 را لگاریتم اعشاری می نامند. بجای
نوشتن
.

لگاریتم به پایه ه طبیعی نامیده می شوند و تعیین می شوند
.

ویژگی های اصلی لگاریتم ها

لگاریتم یک برای هر پایه برابر با صفر است.

لگاریتم حاصلضرب برابر است با مجموع لگاریتم عوامل.

3) لگاریتم ضریب برابر است با اختلاف لگاریتم ها

عامل
مدول انتقال از لگاریتم به پایه نامیده می شود آ به لگاریتم در پایه ب .

با استفاده از ویژگی های 2-5، اغلب می توان لگاریتم یک عبارت پیچیده را به نتیجه عملیات ساده حسابی روی لگاریتم کاهش داد.

مثلا،

به چنین تبدیل های لگاریتمی لگاریتم می گویند. تبدیل معکوس به لگاریتم را تقویت می گویند.

فصل 2. عناصر ریاضیات عالی.

1. محدودیت ها

محدودیت عملکرد
یک عدد محدود A است اگر، به عنوان xx 0 برای هر از پیش تعیین شده
، چنین عددی وجود دارد
که به محض
، آن
.

تابعی که حدی دارد به مقدار بی نهایت کوچک با آن تفاوت دارد:
، جایی که- b.m.v.، i.e.
.

مثال. تابع را در نظر بگیرید
.

هنگام تلاش
، تابع y به سمت صفر میل می کند:

1.1. قضایای اساسی در مورد حدود

حد یک مقدار ثابت برابر با این مقدار ثابت است

حد مجموع (تفاوت) تعداد محدودی از توابع برابر است با مجموع (تفاوت) حدود این توابع.

حد حاصلضرب تعداد محدودی از توابع برابر است با حاصلضرب حدود این توابع.

حد نصاب دو تابع برابر است با نصاب حدود این توابع اگر حد مخرج صفر نباشد.

محدودیت های شگفت انگیز

,
، جایی که

1.2. مثال های محاسبه حد

با این حال، همه محدودیت ها به این راحتی محاسبه نمی شوند. اغلب، محاسبه حد به آشکار کردن عدم قطعیت از نوع ختم می شود: یا .

2. مشتق یک تابع

اجازه دهید یک تابع داشته باشیم
، پیوسته بر روی قطعه
.

بحث و جدل مقداری افزایش یافت
. سپس تابع یک افزایش دریافت می کند
.

مقدار استدلال با مقدار تابع مطابقت دارد
.

مقدار استدلال
با مقدار تابع مطابقت دارد.

از این رو، .

اجازه دهید حد این نسبت را در پیدا کنیم
. اگر این حد وجود داشته باشد، آن را مشتق تابع داده شده می نامند.

تعریف 3 مشتق تابع معین
با استدلال حد نسبت افزایش یک تابع به افزایش آرگومان، زمانی که افزایش آرگومان خودسرانه به صفر میل می کند، نامیده می شود.

مشتق از یک تابع
را می توان به صورت زیر تعیین کرد:

; ; ; .

تعریف 4عملیات یافتن مشتق تابع نامیده می شود تفکیک.

2.1. معنای مکانیکی مشتق.

بیایید حرکت مستقیم یک جسم صلب یا نقطه مادی را در نظر بگیریم.

اجازه دهید در یک نقطه از زمان نقطه متحرک
در فاصله ای بود از موقعیت شروع
.

بعد از مدتی
او فاصله ای را طی کرد
. نگرش =- سرعت متوسط یک نقطه مادی
. اجازه دهید با در نظر گرفتن آن، حد این نسبت را پیدا کنیم
.

در نتیجه، تعیین سرعت لحظه ای حرکت یک نقطه مادی به یافتن مشتق مسیر با توجه به زمان کاهش می یابد.

2.2. ارزش هندسی مشتق

اجازه دهید یک تابع گرافیکی تعریف شده داشته باشیم
.

برنج. 1. معنای هندسی مشتق

اگر
، سپس اشاره کنید
، در امتداد منحنی حرکت می کند و به نقطه نزدیک می شود
.

از این رو
، یعنی مقدار مشتق برای مقدار معینی از آرگومان عددی برابر با مماس زاویه تشکیل شده توسط مماس در یک نقطه معین با جهت مثبت محور
.

2.3. جدول فرمول های تمایز پایه.

تابع توان

تابع نمایی

تابع لگاریتمی

تابع مثلثاتی

تابع مثلثاتی معکوس

2.4. قوانین تمایز.

مشتق از

مشتق مجموع (تفاوت) توابع

مشتق حاصل ضرب دو تابع

مشتق ضریب دو تابع

2.5. مشتق تابع مختلط

اجازه دهید تابع داده شود
به گونه ای که بتوان آن را در قالب نمایش داد

و
، جایی که متغیر پس یک استدلال میانی است

مشتق تابع مختلط با حاصلضرب مشتق تابع داده شده نسبت به آرگومان میانی و مشتق آرگومان میانی نسبت به x برابر است.

مثال 1.

مثال 2.

3. تابع دیفرانسیل.

بذار باشه
، در برخی فاصله ها قابل تمایز است
رهایش کن در این تابع یک مشتق دارد

سپس می توانیم بنویسیم

(1),

جایی که - یک کمیت بی نهایت کوچک،

از کی تا حالا

ضرب تمام شرایط برابری (1) در
ما داریم:

جایی که
- b.m.v. مرتبه بالاتر.

اندازه
دیفرانسیل تابع نامیده می شود
و تعیین شده است

3.1. مقدار هندسی دیفرانسیل

اجازه دهید تابع داده شود
.

شکل 2. معنی هندسی دیفرانسیل

بدیهی است که دیفرانسیل تابع
برابر است با افزایش مختصات مماس در یک نقطه معین.

3.2. مشتقات و دیفرانسیل از سفارشات مختلف.

اگر آنجا
، سپس
مشتق اول نامیده می شود.

مشتق مشتق اول را مشتق مرتبه دوم می گویند و نوشته می شود
.

مشتق از مرتبه n تابع
مشتق مرتبه (n-1) ام نامیده می شود و نوشته می شود:

دیفرانسیل دیفرانسیل یک تابع را دیفرانسیل دوم یا دیفرانسیل مرتبه دوم می گویند.

.

.

3.3 حل مسائل بیولوژیکی با استفاده از تمایز.

وظیفه 1. مطالعات نشان داده است که رشد یک کلنی از میکروارگانیسم ها از قانون پیروی می کند
، جایی که ن - تعداد میکروارگانیسم ها (به هزار) تی - زمان (روزها).

ب) آیا جمعیت کلنی در این مدت افزایش می یابد یا کاهش می یابد؟

پاسخ. اندازه کلنی افزایش خواهد یافت.

وظیفه 2. آب دریاچه به طور دوره ای برای نظارت بر محتوای باکتری های بیماری زا آزمایش می شود. از طریق تی روز پس از آزمایش، غلظت باکتری ها با نسبت تعیین می شود

چه زمانی این دریاچه دارای حداقل غلظت باکتری خواهد بود و آیا می توان در آن شنا کرد؟

راه حل: یک تابع زمانی به max یا min می رسد که مشتق آن صفر باشد.

بیایید تعیین کنیم حداکثر یا حداقل در 6 روز خواهد بود. برای انجام این کار، بیایید مشتق دوم را در نظر بگیریم.

پاسخ: پس از 6 روز حداقل غلظت باکتری وجود خواهد داشت.

خواص اصلی.

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = لوگا (x: y).

زمینه های یکسان

Log6 4 + log6 9.

حالا بیایید کار را کمی پیچیده کنیم.

نمونه هایی از حل لگاریتم

اگر پایه یا آرگومان لگاریتم یک توان باشد چه؟ سپس توان این درجه را می توان طبق قوانین زیر از علامت لگاریتم خارج کرد:

البته، اگر ODZ لگاریتم رعایت شود، همه این قوانین منطقی هستند: a > 0، a ≠ 1، x >

وظیفه. معنی عبارت را پیدا کنید:

انتقال به یک پایه جدید

اجازه دهید لوگوکس لگاریتمی داده شود. سپس برای هر عدد c به طوری که c > 0 و c ≠ 1، برابری درست است:

وظیفه. معنی عبارت را پیدا کنید:

همچنین ببینید:

ویژگی های اصلی لگاریتم

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

توان 2.718281828 است…. برای به خاطر سپردن توان، می توانید قانون را مطالعه کنید: توان برابر با 2.7 و دو برابر سال تولد لئو نیکولایویچ تولستوی است.

ویژگی های اصلی لگاریتم ها

با دانستن این قانون، خواهید دانست و ارزش دقیقغرفه داران و تاریخ تولد لئو تولستوی.

مثال هایی برای لگاریتم ها

عبارات لگاریتمی

مثال 1.
آ). x=10ac^2 (a>0,c>0).

با استفاده از خواص 3.5 محاسبه می کنیم

4. جایی که .

مثال 2. x if را پیدا کنید

مثال 3. اجازه دهید مقدار لگاریتم داده شود

محاسبه log(x) if

ویژگی های اصلی لگاریتم ها

لگاریتم ها، مانند هر اعداد، از هر نظر قابل جمع، تفریق و تبدیل هستند. اما از آنجایی که لگاریتم ها دقیقاً نیستند اعداد منظم، قوانینی در اینجا وجود دارد که به آنها گفته می شود خواص اصلی.

شما قطعاً باید این قوانین را بدانید - بدون آنها، یک مشکل لگاریتمی جدی نمی تواند حل شود. علاوه بر این، تعداد بسیار کمی از آنها وجود دارد - می توانید همه چیز را در یک روز یاد بگیرید. پس بیایید شروع کنیم.

جمع و تفریق لگاریتم

دو لگاریتم با پایه های یکسان را در نظر بگیرید: لوگاکس و لوگی. سپس می توان آنها را جمع و تفریق کرد و:

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = لوگا (x: y).

پس مجموع لگاریتم ها برابر لگاریتم حاصلضرب است و تفاوت آن برابر لگاریتم ضریب است. لطفا توجه داشته باشید: نکته کلیدی اینجاست زمینه های یکسان. اگر دلایل متفاوت است، این قوانین کار نمی کند!

این فرمول‌ها به شما کمک می‌کنند یک عبارت لگاریتمی را حتی زمانی که بخش‌های جداگانه آن در نظر گرفته نمی‌شوند محاسبه کنید (به درس "لگاریتم چیست" مراجعه کنید). به نمونه ها دقت کنید و ببینید:

از آنجایی که لگاریتم ها پایه های یکسانی دارند، از فرمول جمع استفاده می کنیم:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید: log2 48 − log2 3.

پایه ها یکسان هستند، ما از فرمول تفاوت استفاده می کنیم:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید: log3 135 − log3 5.

باز هم پایه ها یکسان هستند، بنابراین داریم:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

همانطور که می بینید، عبارات اصلی از لگاریتم های "بد" تشکیل شده اند که به طور جداگانه محاسبه نمی شوند. اما پس از تبدیل ها اعداد کاملا نرمال به دست می آید. بسیاری بر این واقعیت بنا شده اند اوراق تست. بله، عبارات شبیه به آزمون با جدیت تمام (گاهی اوقات تقریباً بدون تغییر) در آزمون یکپارچه دولت ارائه می شود.

استخراج توان از لگاریتم

به راحتی می توان فهمید که آخرین قانون از دو قانون اول پیروی می کند. اما به هر حال بهتر است آن را به خاطر بسپارید - در برخی موارد میزان محاسبات را به میزان قابل توجهی کاهش می دهد.

البته، اگر ODZ لگاریتم مشاهده شود، همه این قوانین منطقی هستند: a > 0، a ≠ 1، x > 0. و یک چیز دیگر: یاد بگیرید که همه فرمول ها را نه تنها از چپ به راست، بلکه برعکس اعمال کنید. ، یعنی می توانید اعداد قبل از علامت لگاریتم را در خود لگاریتم وارد کنید. این چیزی است که اغلب مورد نیاز است.

وظیفه. مقدار عبارت log7 496 را بیابید.

بیایید با استفاده از فرمول اول از درجه در استدلال خلاص شویم:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

وظیفه. معنی عبارت را پیدا کنید:

توجه داشته باشید که مخرج شامل یک لگاریتمی است که پایه و آرگومان آن توان های دقیق هستند: 16 = 24; 49 = 72. داریم:

فکر می کنم مثال آخر نیاز به توضیح دارد. لگاریتم ها کجا رفته اند؟ تا آخرین لحظه ما فقط با مخرج کار می کنیم.

فرمول های لگاریتمی لگاریتم ها راه حل هایی را مثال می زنند.

ما پایه و استدلال لگاریتم ایستاده در آنجا را به شکل توان ارائه کردیم و توان ها را خارج کردیم - کسری "سه طبقه" به دست آوردیم.

حالا بیایید به کسر اصلی نگاه کنیم. صورت و مخرج دارای یک عدد هستند: log2 7. از آنجایی که log2 7 ≠ 0 است، می توانیم کسر را کاهش دهیم - 2/4 در مخرج باقی می ماند. با توجه به قواعد حساب، چهار را می توان به صورتگر منتقل کرد، کاری که انجام شد. نتیجه این شد: 2.

انتقال به یک پایه جدید

در مورد قوانین جمع و تفریق لگاریتم ها، من به طور خاص تأکید کردم که آنها فقط با پایه های مشابه کار می کنند. اگر دلایل متفاوت باشد چه؟ اگر آنها قدرت های دقیق یکسان نباشند چه؟

فرمول های انتقال به یک بنیاد جدید به کمک می آیند. اجازه دهید آنها را در قالب یک قضیه فرموله کنیم:

اجازه دهید لوگوکس لگاریتمی داده شود. سپس برای هر عدد c به طوری که c > 0 و c ≠ 1، برابری درست است:

به طور خاص، اگر c = x را تنظیم کنیم، به دست می آید:

از فرمول دوم برمی‌آید که پایه و آرگومان لگاریتم را می‌توان عوض کرد، اما در این حالت کل عبارت «برگردانده می‌شود»، یعنی. لگاریتم در مخرج ظاهر می شود.

این فرمول ها به ندرت در عبارات عددی معمولی یافت می شوند. ارزیابی راحت بودن آنها فقط هنگام حل معادلات لگاریتمی و نابرابری ها امکان پذیر است.

با این حال، مشکلاتی وجود دارد که به هیچ وجه نمی توان آنها را حل کرد، مگر با حرکت به یک پایه جدید. بیایید به چند مورد از این موارد نگاه کنیم:

وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید: log5 16 log2 25.

توجه داشته باشید که آرگومان های هر دو لگاریتم دارای توان های دقیق هستند. بیایید نشانگرها را برداریم: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

حالا بیایید لگاریتم دوم را "معکوس" کنیم:

از آنجایی که حاصلضرب هنگام تنظیم مجدد فاکتورها تغییر نمی کند، ما با آرامش چهار و دو را ضرب کردیم و سپس با لگاریتم ها برخورد کردیم.

وظیفه. مقدار عبارت log9 100 lg 3 را بیابید.

پایه و آرگومان لگاریتم اول توانهای دقیق هستند. بیایید این را بنویسیم و از شر شاخص ها خلاص شویم:

حالا بیایید با حرکت به یک پایه جدید از شر لگاریتم اعشاری خلاص شویم:

هویت لگاریتمی پایه

اغلب در فرآیند حل، لازم است یک عدد به عنوان لگاریتم به یک پایه معین نشان داده شود. در این مورد، فرمول های زیر به ما کمک می کند:

در حالت اول، عدد n به توان آرگومان تبدیل می شود. عدد n می تواند مطلقاً هر چیزی باشد، زیرا فقط یک مقدار لگاریتمی است.

فرمول دوم در واقع یک تعریف بازنویسی شده است. به این می گویند: .

در واقع اگر عدد b به قدری افزایش یابد که عدد b به این توان عدد a را بدهد چه اتفاقی می افتد؟ درست است: نتیجه همان عدد a است. این پاراگراف را دوباره با دقت بخوانید - بسیاری از مردم در آن گیر می کنند.

مانند فرمول های انتقال به یک پایه جدید، هویت لگاریتمی پایه گاهی اوقات تنها راه حل ممکن است.

وظیفه. معنی عبارت را پیدا کنید:

توجه داشته باشید که log25 64 = log5 8 - به سادگی مربع را از پایه و آرگومان لگاریتم گرفت. با در نظر گرفتن قوانین ضرب توان با پایه یکسان، به دست می آوریم:

اگر کسی نمی داند، این یک کار واقعی از آزمون یکپارچه دولتی بود :)

واحد لگاریتمی و صفر لگاریتمی

در پایان، من دو هویت را ارائه خواهم داد که به سختی می توان آنها را ویژگی نامید - بلکه آنها پیامدهای تعریف لگاریتم هستند. آنها دائماً در مشکلات ظاهر می شوند و در کمال تعجب حتی برای دانش آموزان "پیشرفته" نیز مشکل ایجاد می کنند.

logaa = 1 است. یک بار برای همیشه به یاد داشته باشید: لگاریتم به هر پایه a از خود آن پایه برابر با یک است.
لوگا 1 = 0 است. پایه a می تواند هر چیزی باشد، اما اگر آرگومان دارای یک باشد، لگاریتم برابر با صفر است! زیرا a0 = 1 نتیجه مستقیم این تعریف است.

این همه خواص است. حتما تمرین کنید که آنها را عملی کنید! برگه تقلب را در ابتدای درس دانلود کرده و پرینت بگیرید و مشکلات را حل کنید.

همچنین ببینید:

لگاریتم b به پایه a بیانگر عبارت است. محاسبه لگاریتم به معنای یافتن توان x () است که در آن برابری برآورده می شود

ویژگی های اصلی لگاریتم

دانستن ویژگی های فوق ضروری است، زیرا تقریباً تمام مسائل و مثال های مربوط به لگاریتم ها بر اساس آنها حل می شود. بقیه خواص عجیب و غریب را می توان از طریق دستکاری های ریاضی با این فرمول ها به دست آورد

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

هنگام محاسبه فرمول مجموع و تفاضل لگاریتم ها (3.4) اغلب با آنها روبرو می شوید. بقیه تا حدودی پیچیده هستند، اما در تعدادی از کارها برای ساده کردن عبارات پیچیده و محاسبه مقادیر آنها ضروری هستند.

موارد رایج لگاریتم ها

برخی از لگاریتم های رایج آنهایی هستند که در آنها پایه حتی ده، نمایی یا دو است.
لگاریتم پایه ده معمولاً لگاریتم اعشاری نامیده می شود و به سادگی با lg(x) نشان داده می شود.

از ضبط مشخص است که اصول اولیه در ضبط نوشته نشده است. مثلا

لگاریتم طبیعی لگاریتمی است که پایه آن یک توان است (با ln(x) نشان داده می شود).

توان 2.718281828 است…. برای به خاطر سپردن توان، می توانید قانون را مطالعه کنید: توان برابر با 2.7 و دو برابر سال تولد لئو نیکولایویچ تولستوی است. با دانستن این قانون، هم ارزش دقیق نما و هم تاریخ تولد لئو تولستوی را خواهید دانست.

و لگاریتم مهم دیگری برای پایه دو با نشان داده می شود

مشتق لگاریتم یک تابع برابر است با تقسیم بر متغیر

لگاریتم انتگرال یا ضد مشتق با رابطه تعیین می شود

مطالب داده شده برای شما کافی است تا بتوانید کلاس وسیعی از مسائل مربوط به لگاریتم و لگاریتم را حل کنید. برای کمک به درک مطالب، من فقط چند مثال معمولی از آن ارائه می کنم برنامه آموزشی مدرسهو دانشگاه ها

مثال هایی برای لگاریتم ها

عبارات لگاریتمی

مثال 1.
آ). x=10ac^2 (a>0,c>0).

با استفاده از خواص 3.5 محاسبه می کنیم

2.
با خاصیت اختلاف لگاریتم داریم

3.
با استفاده از خواص 3.5 پیدا می کنیم

4. جایی که .

یک عبارت به ظاهر پیچیده با استفاده از تعدادی قانون ساده شده است

یافتن مقادیر لگاریتمی

مثال 2. x if را پیدا کنید

راه حل. برای محاسبه، ما برای آخرین ترم 5 و 13 خواص اعمال می کنیم

ما آن را ثبت می کنیم و عزاداری می کنیم

از آنجایی که پایه ها برابر هستند، عبارات را برابر می کنیم

لگاریتم ها سطح اول.

اجازه دهید مقدار لگاریتم داده شود

محاسبه log(x) if

راه حل: بیایید یک لگاریتم از متغیر در نظر بگیریم تا لگاریتم را از مجموع عبارت های آن بنویسیم.

این تازه شروع آشنایی ما با لگاریتم ها و خواص آنهاست. محاسبات را تمرین کنید، مهارت های عملی خود را غنی کنید - به زودی به دانشی که برای حل معادلات لگاریتمی به دست می آورید نیاز خواهید داشت. پس از مطالعه روش های اساسی برای حل چنین معادلاتی، دانش شما را به یک موضوع به همان اندازه مهم - نابرابری های لگاریتمی گسترش می دهیم.

ویژگی های اصلی لگاریتم ها

لگاریتم ها، مانند هر اعداد، از هر نظر قابل جمع، تفریق و تبدیل هستند. اما از آنجایی که لگاریتم ها دقیقاً اعداد معمولی نیستند، در اینجا قوانینی وجود دارد که نامیده می شوند خواص اصلی.

جمع و تفریق لگاریتم

دو لگاریتم با پایه های یکسان را در نظر بگیرید: لوگاکس و لوگی. سپس می توان آنها را جمع و تفریق کرد و:

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = لوگا (x: y).

وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید: log6 4 + log6 9.

از آنجایی که لگاریتم ها پایه های یکسانی دارند، از فرمول جمع استفاده می کنیم:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید: log2 48 − log2 3.

پایه ها یکسان هستند، ما از فرمول تفاوت استفاده می کنیم:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید: log3 135 − log3 5.

باز هم پایه ها یکسان هستند، بنابراین داریم:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

همانطور که می بینید، عبارات اصلی از لگاریتم های "بد" تشکیل شده اند که به طور جداگانه محاسبه نمی شوند. اما پس از تبدیل ها اعداد کاملا نرمال به دست می آید. بسیاری از آزمایش ها بر اساس این واقعیت است. بله، عبارات شبیه به آزمون با جدیت تمام (گاهی اوقات تقریباً بدون تغییر) در آزمون یکپارچه دولت ارائه می شود.

استخراج توان از لگاریتم

حالا بیایید کار را کمی پیچیده کنیم. اگر پایه یا آرگومان لگاریتم یک توان باشد چه؟ سپس توان این درجه را می توان طبق قوانین زیر از علامت لگاریتم خارج کرد:

نحوه حل لگاریتم

این چیزی است که اغلب مورد نیاز است.

وظیفه. مقدار عبارت log7 496 را بیابید.

بیایید با استفاده از فرمول اول از درجه در استدلال خلاص شویم:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

وظیفه. معنی عبارت را پیدا کنید:

توجه داشته باشید که مخرج شامل یک لگاریتمی است که پایه و آرگومان آن توان های دقیق هستند: 16 = 24; 49 = 72. داریم:

فکر می کنم مثال آخر نیاز به توضیح دارد. لگاریتم ها کجا رفته اند؟ تا آخرین لحظه ما فقط با مخرج کار می کنیم. ما پایه و استدلال لگاریتم ایستاده در آنجا را به شکل توان ارائه کردیم و توان ها را خارج کردیم - کسری "سه طبقه" به دست آوردیم.

انتقال به یک پایه جدید

فرمول های انتقال به یک بنیاد جدید به کمک می آیند. اجازه دهید آنها را در قالب یک قضیه فرموله کنیم:

اجازه دهید لوگوکس لگاریتمی داده شود. سپس برای هر عدد c به طوری که c > 0 و c ≠ 1، برابری درست است:

به طور خاص، اگر c = x را تنظیم کنیم، به دست می آید:

وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید: log5 16 log2 25.

حالا بیایید لگاریتم دوم را "معکوس" کنیم:

وظیفه. مقدار عبارت log9 100 lg 3 را بیابید.

پایه و آرگومان لگاریتم اول توانهای دقیق هستند. بیایید این را بنویسیم و از شر شاخص ها خلاص شویم:

حالا بیایید با حرکت به یک پایه جدید از شر لگاریتم اعشاری خلاص شویم:

هویت لگاریتمی پایه

فرمول دوم در واقع یک تعریف بازنویسی شده است. به این می گویند: .

مانند فرمول های انتقال به یک پایه جدید، هویت لگاریتمی پایه گاهی اوقات تنها راه حل ممکن است.

وظیفه. معنی عبارت را پیدا کنید:

اگر کسی نمی داند، این یک کار واقعی از آزمون یکپارچه دولتی بود :)

واحد لگاریتمی و صفر لگاریتمی

logaa = 1 است. یک بار برای همیشه به یاد داشته باشید: لگاریتم به هر پایه a از خود آن پایه برابر با یک است.
لوگا 1 = 0 است. پایه a می تواند هر چیزی باشد، اما اگر آرگومان دارای یک باشد، لگاریتم برابر با صفر است! زیرا a0 = 1 نتیجه مستقیم این تعریف است.

امروز در مورد آن صحبت خواهیم کرد فرمول های لگاریتمیو ما نشان خواهیم داد نمونه های راه حل.

آنها خود الگوهای حل را با توجه به ویژگی های اصلی لگاریتم ها دلالت می کنند. قبل از استفاده از فرمول های لگاریتمی برای حل، اجازه دهید تمام ویژگی های زیر را به شما یادآوری کنیم:

حال بر اساس این فرمول ها (خواص) نشان خواهیم داد نمونه هایی از حل لگاریتم.

نمونه هایی از حل لگاریتم بر اساس فرمول.

لگاریتم عدد مثبت b به پایه a (که با log a b نشان داده می شود) توانی است که برای بدست آوردن b باید a را به آن افزایش داد، با b > 0، a > 0 و 1.

طبق تعریف، log a b = x، که معادل x = b است، بنابراین log a a x = x.

لگاریتم ها، مثال ها:

log 2 8 = 3، زیرا 2 3 = 8

log 7 49 = 2، زیرا 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1، زیرا 5 -1 = 1/5

لگاریتم اعشاری- این یک لگاریتم معمولی است که پایه آن 10 است. با lg مشخص می شود.

log 10 100 = 2، زیرا 10 2 = 100

لگاریتم طبیعی- همچنین یک لگاریتم معمولی، یک لگاریتم، اما با پایه e (e = 2.71828 ... - یک عدد غیر منطقی). با ln مشخص می شود.

توصیه می شود فرمول ها یا خواص لگاریتم ها را به خاطر بسپارید، زیرا بعداً هنگام حل لگاریتم، معادلات لگاریتمی و نامساوی به آنها نیاز خواهیم داشت. بیایید دوباره هر فرمول را با مثال ها بررسی کنیم.

هویت لگاریتمی پایه
a log a b = b
8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9
لگاریتم حاصلضرب برابر است با مجموع لگاریتم ها
log a (bc) = log a b + log a c
log 3 8.1 + log 3 10 = log 3 (8.1*10) = log 3 81 = 4
لگاریتم ضریب برابر است با اختلاف لگاریتم ها
log a (b/c) = log a b - log a c
9 log 5 50 / 9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81
ویژگی های توان یک عدد لگاریتمی و پایه لگاریتم
نماگر عدد لگاریتمی log a b m = mlog a b

نماگر پایه لگاریتم log a n b =1/n*log a b

log a n b m = m/n*log a b,

اگر m = n، log a n b n = log a b دریافت می کنیم

log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3
انتقال به یک پایه جدید
log a b = log c b/log c a,
اگر c = b، log b b = 1 را دریافت می کنیم

سپس log a b = 1/log b a

log 0.8 3*log 3 1.25 = log 0.8 3*log 0.8 1.25/log 0.8 3 = log 0.8 1.25 = log 4/5 5/4 = -1

همانطور که می بینید، فرمول های لگاریتم آنقدرها که به نظر می رسد پیچیده نیستند. حال با نگاهی به نمونه هایی از حل لگاریتم می توانیم به سراغ معادلات لگاریتمی برویم. نمونه هایی از حل معادلات لگاریتمی را با جزئیات بیشتری در مقاله بررسی خواهیم کرد: "". از دست نده!

اگر هنوز سؤالی در مورد راه حل دارید، آنها را در نظرات مقاله بنویسید.

توجه: ما تصمیم گرفتیم که یک کلاس آموزشی متفاوت داشته باشیم و به عنوان یک گزینه در خارج از کشور تحصیل کنیم.

ما به مطالعه لگاریتم ها ادامه می دهیم. در این مقاله در مورد صحبت خواهیم کرد محاسبه لگاریتم، این فرآیند نامیده می شود لگاریتم. ابتدا محاسبه لگاریتم ها را با تعریف درک خواهیم کرد. در مرحله بعد، بیایید ببینیم که چگونه مقادیر لگاریتم ها با استفاده از ویژگی های آنها پیدا می شوند. پس از این، بر روی محاسبه لگاریتم ها از طریق مقادیر مشخص شده اولیه سایر لگاریتم ها تمرکز خواهیم کرد. در نهایت بیایید نحوه استفاده از جداول لگاریتمی را بیاموزیم. کل تئوری با مثال هایی همراه با راه حل های دقیق ارائه شده است.

پیمایش صفحه.

محاسبه لگاریتم بر اساس تعریف

در ساده ترین موارد می توان به سرعت و به راحتی انجام داد یافتن لگاریتم بر اساس تعریف. بیایید نگاهی دقیق تر به نحوه انجام این فرآیند بیندازیم.

ماهیت آن نشان دادن عدد b به شکل a c است که با تعریف لگاریتم، عدد c مقدار لگاریتم است. یعنی طبق تعریف، زنجیره برابری های زیر با یافتن لگاریتم مطابقت دارد: log a b=log a a c=c.

بنابراین، محاسبه یک لگاریتم بر اساس تعریف به یافتن یک عدد c به گونه‌ای است که a c = b، و عدد c خود مقدار مورد نظر لگاریتم است.

با در نظر گرفتن اطلاعات پاراگراف های قبلی، وقتی عدد زیر علامت لگاریتم با توان خاصی از پایه لگاریتم داده می شود، می توانید بلافاصله نشان دهید که لگاریتم برابر است - برابر با توان است. بیایید راه حل هایی را برای مثال ها نشان دهیم.

مثال.

log 2 2 −3 را پیدا کنید و لگاریتم طبیعی عدد e 5,3 را نیز محاسبه کنید.

راه حل.

تعریف لگاریتم به ما این امکان را می دهد که بلافاصله بگوییم که log 2 2 −3 =−3. در واقع، عدد زیر علامت لگاریتم برابر است با پایه 2 به توان -3.

به طور مشابه، لگاریتم دوم را پیدا می کنیم: lne 5.3 = 5.3.

پاسخ:

log 2 2 −3 =−3 و lne 5,3 =5,3.

اگر عدد b در زیر علامت لگاریتم به‌عنوان توان پایه لگاریتم مشخص نشده باشد، باید به دقت بررسی کنید تا ببینید آیا می‌توان عدد b را به شکل a c ارائه داد. اغلب این نمایش کاملاً آشکار است، به خصوص زمانی که عدد زیر علامت لگاریتم برابر با پایه به توان 1، یا 2، یا 3، ...

مثال.

لگاریتم log 5 25 و .

راه حل.

به راحتی می توان فهمید که 25=5 2، این به شما امکان می دهد اولین لگاریتم را محاسبه کنید: log 5 25=log 5 5 2 =2.

بیایید به محاسبه لگاریتم دوم برویم. عدد را می توان به عنوان توان 7 نشان داد: (در صورت لزوم ببینید). از این رو، .

بیایید لگاریتم سوم را به شکل زیر بازنویسی کنیم. اکنون می توانید آن را ببینید ، که از آن نتیجه می گیریم که . بنابراین با تعریف لگاریتم .

به طور خلاصه، راه حل را می توان به صورت زیر نوشت: .

پاسخ:

log 5 25=2 , و .

هنگامی که یک عدد طبیعی به اندازه کافی بزرگ در زیر علامت لگاریتم وجود دارد، گسترش آن به آن ضرری ندارد عوامل اصلی. اغلب به نشان دادن عددی به عنوان مقداری توان پایه لگاریتم کمک می کند و بنابراین با تعریف این لگاریتم را محاسبه می کند.

مثال.

مقدار لگاریتم را پیدا کنید.

راه حل.

برخی از ویژگی های لگاریتم به شما امکان می دهد بلافاصله مقدار لگاریتم ها را مشخص کنید. این ویژگی ها شامل ویژگی لگاریتم یک و خاصیت لگاریتم یک عدد برابر با پایه است: log 1 1=log a a 0 =0 و log a a=log a a 1 =1. یعنی وقتی زیر علامت لگاریتم عدد 1 یا عدد a برابر با پایه لگاریتم باشد، در این موارد لگاریتم ها به ترتیب برابر با 0 و 1 هستند.

مثال.

لگاریتم و log10 برابر با چه چیزی هستند؟

راه حل.

از آنجایی که از تعریف لگاریتم بر می آید .

در مثال دوم عدد 10 در زیر علامت لگاریتم با پایه آن منطبق است، بنابراین لگاریتم اعشاری ده برابر با یک است، یعنی lg10=lg10 1 =1.

پاسخ:

و lg10=1.

توجه داشته باشید که محاسبه لگاریتم ها بر اساس تعریف (که در پاراگراف قبل در مورد آن صحبت کردیم) مستلزم استفاده از log برابری a a p =p است که یکی از ویژگی های لگاریتم است.

در عمل، وقتی یک عدد زیر علامت لگاریتم و پایه لگاریتم به راحتی به عنوان توان یک عدد معین نشان داده شود، استفاده از فرمول بسیار راحت است. ، که با یکی از ویژگی های لگاریتم مطابقت دارد. بیایید به مثالی از یافتن لگاریتمی که استفاده از این فرمول را نشان می دهد نگاه کنیم.

مثال.

لگاریتم را محاسبه کنید.

راه حل.

پاسخ:

از خواص لگاریتمی که در بالا ذکر نشده است نیز در محاسبات استفاده می شود، اما در پاراگراف های بعدی در مورد آن صحبت خواهیم کرد.

یافتن لگاریتم از طریق لگاریتم های شناخته شده دیگر

اطلاعات این پاراگراف ادامه مبحث استفاده از خواص لگاریتم ها در هنگام محاسبه آنهاست. اما در اینجا تفاوت اصلی این است که از خواص لگاریتم ها برای بیان لگاریتم اصلی بر حسب لگاریتم دیگری استفاده می شود که مقدار آن مشخص است. برای روشن شدن مطلب مثالی می زنیم. فرض کنید که log 2 3≈1.584963 را می دانیم، سپس می توانیم برای مثال، log 2 6 را با انجام یک تبدیل کوچک با استفاده از خواص لگاریتم پیدا کنیم: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

در مثال بالا کافی بود از خاصیت لگاریتم یک محصول استفاده کنیم. با این حال، بیشتر اوقات لازم است از زرادخانه وسیع تری از خواص لگاریتم استفاده شود تا بتوان لگاریتم اصلی را از طریق موارد داده شده محاسبه کرد.

مثال.

اگر می دانید که log 60 2=a و log 60 5=b می دانید لگاریتم 27 تا مبنای 60 را محاسبه کنید.

راه حل.

بنابراین باید log 60 27 را پیدا کنیم. به راحتی می توان دریافت که 27 = 3 3، و لگاریتم اصلی، به دلیل خاصیت لگاریتم توان، می تواند به صورت 3·log 60 3 بازنویسی شود.

حال بیایید ببینیم که چگونه log 60 3 را بر حسب لگاریتم های شناخته شده بیان کنیم. خاصیت لگاریتم یک عدد برابر با قاعده به ما اجازه می دهد تا log تساوی 60 60=1 را بنویسیم. از سوی دیگر، log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2·log 60 2+log 60 3+log 60 5 . بدین ترتیب، 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. از این رو، log 60 3=1-2·log 60 2-log 60 5=1-2·a-b.

در نهایت لگاریتم اصلی را محاسبه می کنیم: log 60 27=3 log 60 3= 3·(1-2·a-b)=3-6·a-3·b.

پاسخ:

log 60 27=3·(1-2·a-b)=3-6·a-3·b.

به طور جداگانه، لازم به ذکر است که معنای فرمول انتقال به پایه جدید لگاریتم فرم . این به شما امکان می دهد از لگاریتم با هر پایه به لگاریتم با یک پایه خاص بروید که مقادیر آنها مشخص است یا امکان یافتن آنها وجود دارد. معمولاً از لگاریتم اصلی با استفاده از فرمول انتقال به لگاریتم در یکی از پایه های 2، e یا 10 حرکت می کنند، زیرا برای این پایه ها جداول لگاریتم وجود دارد که اجازه می دهد مقادیر آنها با درجه خاصی از محاسبه شود. دقت. در پاراگراف بعدی نحوه انجام این کار را نشان خواهیم داد.

جداول لگاریتمی و کاربرد آنها

برای محاسبه تقریبی مقادیر لگاریتمی می توان از آن استفاده کرد جداول لگاریتمی. متداول ترین جدول لگاریتمی پایه 2 جدول است لگاریتم های طبیعیو جدول لگاریتم های اعشاری. هنگام کار در سیستم اعداد اعشاری، استفاده از جدول لگاریتم بر اساس پایه ده راحت است. با کمک آن ما یاد خواهیم گرفت که مقادیر لگاریتم ها را پیدا کنیم.

جدول ارائه شده به شما امکان می دهد مقادیر لگاریتم اعشاری اعداد از 1000 تا 9999 (با سه رقم اعشار) را با دقت یک ده هزارم پیدا کنید. ما اصل یافتن مقدار یک لگاریتم را با استفاده از جدول لگاریتم های اعشاری در آن تجزیه و تحلیل خواهیم کرد مثال خاص- اینطور واضح تر است. بیایید log1.256 را پیدا کنیم.

در ستون سمت چپ جدول لگاریتم های اعشاری، دو رقم اول عدد 1.256 را پیدا می کنیم، یعنی 1.2 را پیدا می کنیم (این عدد برای وضوح به رنگ آبی دایره شده است). سومین رقم عدد 1.256 (رقم 5) در اولین یا آخرین سطر سمت چپ خط دوتایی یافت می شود (این عدد به رنگ قرمز دایره شده است). چهارمین رقم از شماره اصلی 1.256 (رقم 6) در اولین یا آخرین سطر سمت راست خط دوتایی یافت می شود (این عدد با یک خط سبز دایره شده است). اکنون اعداد را در خانه های جدول لگاریتم در تقاطع سطر مشخص شده و ستون های علامت گذاری شده پیدا می کنیم (این اعداد برجسته شده اند. نارنجی). مجموع اعداد علامت گذاری شده مقدار مورد نظر لگاریتم اعشاری را با دقت به رقم چهارم اعشار می دهد، یعنی: log1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.

آیا می توان با استفاده از جدول بالا مقادیر لگاریتم اعشاری اعدادی که بیش از سه رقم بعد از نقطه اعشار دارند و همچنین آنهایی که از محدوده 1 تا 9.999 فراتر می روند را پیدا کرد؟ بله، تو میتونی. بیایید با یک مثال نشان دهیم که چگونه این کار انجام می شود.

بیایید lg102.76332 را محاسبه کنیم. ابتدا باید یادداشت کنید شماره در فرم استاندارد: 102.76332=1.0276332·10 2. پس از این، مانتیس باید به سومین رقم اعشار گرد شود 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2، در حالی که لگاریتم اعشاری اصلی تقریباً است برابر با لگاریتمعدد حاصل، یعنی log102.76332≈lg1.028·10 2 را می گیریم. اکنون خواص لگاریتم را اعمال می کنیم: lg1.028·10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. در نهایت، مقدار لگاریتم lg1.028 را از جدول لگاریتم های اعشاری lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012 پیدا می کنیم. در نتیجه، کل فرآیند محاسبه لگاریتم به صورت زیر است: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1.028+lg10 2 =log1.028+2≈0.012+2=2.012.

در پایان، شایان ذکر است که با استفاده از جدول لگاریتم های اعشاری می توانید مقدار تقریبی هر لگاریتمی را محاسبه کنید. برای انجام این کار، کافی است از فرمول انتقال برای رفتن به لگاریتم های اعشاری، یافتن مقادیر آنها در جدول و انجام محاسبات باقی مانده استفاده کنید.

برای مثال، بیایید log 2 3 را محاسبه کنیم. طبق فرمول انتقال به پایه جدید لگاریتم، داریم. از جدول لگاریتم های اعشاری log3≈0.4771 و log2≈0.3010 را پیدا می کنیم. بدین ترتیب، .

کتابشناسی - فهرست کتب.

کولموگروف A.N.، Abramov A.M.، Dudnitsyn Yu.P. جبر و آغاز تحلیل: کتاب درسی پایه دهم تا یازدهم موسسات آموزش عمومی.
گوسف V.A.، Mordkovich A.G. ریاضیات (راهنمای برای کسانی که وارد دانشکده فنی می شوند).