فرمول کلی سینوس در مثلثات ویژگی های سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت یک زاویه

نسبت طرف مقابل به هیپوتنوز نامیده می شود سینوس با زاویه حادراست گوشه.

\sin \alpha = \frac(a)(c)

کسینوس زاویه تند مثلث قائم الزاویه

نسبت پای مجاور به هیپوتنوز نامیده می شود کسینوس با زاویه حادراست گوشه.

\cos \alpha = \frac(b)(c)

مماس زاویه تند مثلث قائم الزاویه

نسبت طرف مقابل به ضلع مجاور نامیده می شود مماس زاویه حادراست گوشه.

tg \alpha = \frac(a)(b)

کتانژانت زاویه حاد مثلث قائم الزاویه

نسبت ضلع مجاور به طرف مقابل نامیده می شود کنتانژانت زاویه حادراست گوشه.

ctg \alpha = \frac(b)(a)

سینوس زاویه دلخواه

ترتیب نقطه ای از دایره واحدی که زاویه آلفا با آن مطابقت دارد نامیده می شود سینوس زاویه دلخواهچرخش \آلفا .

\sin \alpha=y

کسینوس یک زاویه دلخواه

ابسیسا نقطه روی واحد دایره ای که زاویه آلفا با آن مطابقت دارد نامیده می شود کسینوس یک زاویه دلخواهچرخش \آلفا .

\cos \alpha=x

مماس یک زاویه دلخواه

نسبت سینوس یک زاویه چرخش دلخواه \آلفا به کسینوس آن نامیده می شود مماس یک زاویه دلخواهچرخش \آلفا .

tan \alpha = y_(A)

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

کوتانژانت زاویه دلخواه

نسبت کسینوس یک زاویه چرخش دلخواه \آلفا به سینوس آن نامیده می شود همتابان با زاویه دلخواهچرخش \آلفا .

ctg\alpha =x_(A)

ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

نمونه ای از یافتن زاویه دلخواه

اگر \alpha یک زاویه AOM باشد، جایی که M نقطه ای از دایره واحد است، پس

\sin \alpha=y_(M) , \cos \alpha=x_(M) , tg \alpha=\frac(y_(M))(x_(M)), ctg \alpha=\frac(x_(M))(y_(M)).

به عنوان مثال، اگر \ زاویه AOM = -\frac(\pi) (4)، پس از آن: ترتیب نقطه M برابر است با -\frac(\sqrt(2))(2)، آبسیسا برابر است با \frac(\sqrt(2))(2)و به همین دلیل

\sin \چپ (-\frac(\pi)(4) \راست)=-\frac(\sqrt(2))(2);

\cos \left (\frac(\pi)(4) \right)=\frac(\sqrt(2))(2);

tg;

ctg \ چپ (-\frac(\pi)(4) \راست)=-1.

جدول مقادیر سینوس کسینوس مماس کوتانژانت

مقادیر زوایای اصلی اغلب در جدول آورده شده است:

	0^(\circ) (0)	30^(\circ)\left(\frac(\pi)(6)\راست)	45^(\circ)\left(\frac(\pi)(4)\راست)	60^(\circ)\left(\frac(\pi)(3)\راست)	90^(\circ)\left(\frac(\pi)(2)\راست)	180^(\circ)\left(\pi\راست)	270^(\circ)\left(\frac(3\pi)(2)\راست)	360^(\circ)\left(2\pi\راست)
\sin\alpha	0	\frac12	\frac(\sqrt 2)(2)	\frac(\sqrt 3)(2)	1	0	−1	0
\cos\alpha	1	\frac(\sqrt 3)(2)	\frac(\sqrt 2)(2)	\frac12	0	−1	0	1
tg\alpha	0	\frac(\sqrt 3)(3)	1	\sqrt3	—	0	—	0
ctg\alpha	—	\sqrt3	1	\frac(\sqrt 3)(3)	0	—	0	—

در یک نقطه متمرکز شده است آ.
α - زاویه بیان شده در رادیان.

تعریف
سینوس (sin α)تابع مثلثاتی است بسته به زاویه α بین هیپوتنوز و ساق مثلث قائم الزاویه، برابر با نسبت طول پایه مقابل | BC| به طول هیپوتنوز |AC|.

کسینوس (cos α)تابع مثلثاتی است بسته به زاویه α بین هیپوتنوز و ساق مثلث قائم الزاویه، برابر با نسبت طول پایه مجاور |AB| به طول هیپوتنوز |AC|.

نمادهای پذیرفته شده

;
;
.

;
;
.

نمودار تابع سینوس، y = sin x

نمودار تابع کسینوس، y = cos x

خواص سینوس و کسینوس

دوره ای

توابع y = گناه xو y = cos xدوره ای با دوره 2π.

برابری

تابع سینوس فرد است. تابع کسینوس زوج است.

دامنه تعریف و ارزش، افراط، افزایش، کاهش

توابع سینوس و کسینوس در دامنه تعریف خود، یعنی برای همه x پیوسته هستند (به اثبات پیوستگی مراجعه کنید). خواص اصلی آنها در جدول (n - عدد صحیح) ارائه شده است.

	y = گناه x	y = cos x
دامنه و تداوم	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
محدوده ارزش ها	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
در حال افزایش است
نزولی
ماکسیما، y = 1
حداقل، y = - 1
صفر، y = 0
نقاط قطع را با محور مختصات، x = 0	y = 0	y = 1

فرمول های پایه

مجموع مجذورات سینوس و کسینوس

فرمول های سینوس و کسینوس از مجموع و تفاوت

;
;

فرمول های حاصلضرب سینوس ها و کسینوس ها

فرمول های حاصل جمع و تفاوت

بیان سینوس از طریق کسینوس

;
;
;
.

بیان کسینوس از طریق سینوس

;
;
;
.

بیان از طریق مماس

; .

وقتی، داریم:
; .

در:
; .

جدول سینوس ها و کسینوس ها، مماس ها و کوتانژانت ها

این جدول مقادیر سینوس ها و کسینوس ها را برای مقادیر معینی از آرگومان نشان می دهد.

عبارات از طریق متغیرهای پیچیده

;

فرمول اویلر

عبارات از طریق توابع هذلولی

;
;

مشتقات

; . استخراج فرمول ها > > >

مشتقات مرتبه n:
{ -∞ < x < +∞ }

سکانت، متقاطع

توابع معکوس

توابع معکوس سینوس و کسینوس به ترتیب آرکسین و آرکوزین هستند.

آرکسین، آرکسین

آرکوزین، آرکوس

منابع:
که در. برونشتاین، ک.ا. Semendyaev، کتابچه راهنمای ریاضیات برای مهندسین و دانشجویان، "Lan"، 2009.

مثلثات شاخه ای از علوم ریاضی است که به مطالعه می پردازد توابع مثلثاتیو کاربرد آنها در هندسه توسعه مثلثات در یونان باستان آغاز شد. در قرون وسطی، دانشمندان خاورمیانه و هند سهم مهمی در توسعه این علم داشتند.

این مقاله به مفاهیم و تعاریف اساسی مثلثات اختصاص دارد. در مورد تعاریف توابع مثلثاتی اساسی بحث می کند: سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت. معنای آنها در زمینه هندسه توضیح و نشان داده شده است.

Yandex.RTB R-A-339285-1

در ابتدا تعاریف توابع مثلثاتی که استدلال آنها زاویه است بر حسب نسبت اضلاع یک مثلث قائم الزاویه بیان شد.

تعاریف توابع مثلثاتی

سینوس یک زاویه (sin α) نسبت پای مقابل این زاویه به هیپوتنوز است.

کسینوس زاویه (cos α) - نسبت پای مجاور به هیپوتنوز.

مماس زاویه (t g α) - نسبت طرف مقابل به ضلع مجاور.

کوتانژانت زاویه (c t g α) - نسبت ضلع مجاور به طرف مقابل.

این تعاریف برای زاویه تند مثلث قائم الزاویه ارائه شده است!

بیایید یک تصویر ارائه دهیم.

در مثلث ABC با زاویه قائمه C، سینوس زاویه A برابر است با نسبت پایه BC به هیپوتنوز AB.

تعاریف سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت به شما امکان می دهد مقادیر این توابع را از طول های شناخته شده اضلاع مثلث محاسبه کنید.

مهم به یاد داشته باشید!

محدوده مقادیر سینوس و کسینوس از -1 تا 1 است. به عبارت دیگر سینوس و کسینوس مقادیری از -1 تا 1 می گیرند. محدوده مقادیر مماس و کوتانژانت کل خط اعداد است. یعنی این توابع می توانند هر مقداری را بگیرند.

تعاریف ارائه شده در بالا برای زوایای حاد اعمال می شود. در مثلثات مفهوم زاویه چرخش مطرح می شود که مقدار آن بر خلاف زاویه حاد به 0 تا 90 درجه محدود نمی شود.زاویه چرخش بر حسب درجه یا رادیان با هر عدد واقعی از - ∞ تا + ∞ بیان می شود. .

در این زمینه می‌توان سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت را با زاویه‌ای با بزرگی دلخواه تعریف کرد. اجازه دهید یک دایره واحد را تصور کنیم که مرکز آن در مبدأ سیستم مختصات دکارتی است.

نقطه اولیه A با مختصات (1، 0) در اطراف مرکز دایره واحد از یک زاویه a خاص می چرخد ​​و به نقطه A 1 می رود. تعریف بر حسب مختصات نقطه A 1 (x,y) داده شده است.

سینوس (سین) زاویه چرخش

سینوس زاویه چرخش α، مختص نقطه A 1 (x,y) است. sin α = y

کسینوس (cos) زاویه چرخش

کسینوس زاویه چرخش α آبسیسا نقطه A 1 (x,y) است. cos α = x

مماس (tg) زاویه چرخش

مماس زاویه چرخش α نسبت مختصات نقطه A 1 (x, y) به آبسیسا آن است. t g α = y x

کوتانژانت (ctg) زاویه چرخش

کوتانژانت زاویه چرخش α نسبت آبسیسا نقطه A 1 (x, y) به مختصات آن است. c t g α = x y

سینوس و کسینوس برای هر زاویه چرخشی تعریف می شوند. این منطقی است، زیرا ابسیسا و مختصات یک نقطه پس از چرخش را می توان در هر زاویه ای تعیین کرد. وضعیت با مماس و کتانژانت متفاوت است. مماس زمانی تعریف نشده است که یک نقطه پس از چرخش به نقطه ای با آبسیسا صفر (0، 1) و (0، - 1) می رود. در چنین مواردی، بیان مماس t g α = y x به سادگی معنی ندارد، زیرا شامل تقسیم بر صفر است. وضعیت مشابه با کوتانژانت است. با این تفاوت که کوتانژانت در مواردی که رده یک نقطه به صفر می رسد تعریف نمی شود.

مهم به یاد داشته باشید!

سینوس و کسینوس برای هر زاویه α تعریف می شوند.

مماس برای همه زوایا به جز α = 90 درجه + 180 درجه k، k ∈ Z (α = π 2 + π k، k ∈ Z) تعریف می شود.

کوتانژانت برای همه زوایا به جز α = 180 درجه k، k ∈ Z (α = π k، k ∈ Z) تعریف شده است.

هنگام حل مثال های عملی، "سینوس زاویه چرخش α" را نگویید. کلمات "زاویه چرخش" به سادگی حذف شده اند، به این معنی که از قبل از متن آنچه مورد بحث قرار می گیرد، واضح است.

شماره

تعریف سینوس، کسینوس، مماس و کتانژانت یک عدد و نه زاویه چرخش چیست؟

سینوس، کسینوس، مماس، کتانژانت یک عدد

سینوس، کسینوس، مماس و کتانژانت یک عدد تیعددی است که به ترتیب برابر با سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت در است تیرادیان

به عنوان مثال، سینوس عدد 10 π برابر با سینوس زاویه چرخش 10 π راد است.

روش دیگری برای تعیین سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت یک عدد وجود دارد. بیایید نگاهی دقیق تر به آن بیندازیم.

هر عدد واقعی تییک نقطه روی دایره واحد با مرکز در مبدأ سیستم مختصات دکارتی مستطیلی مرتبط است. سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت از طریق مختصات این نقطه تعیین می شوند.

نقطه شروع روی دایره نقطه A با مختصات (1، 0) است.

عدد مثبت تی

عدد منفی تیمربوط به نقطه ای است که نقطه شروع اگر در خلاف جهت عقربه های ساعت به دور دایره حرکت کند و از مسیر t بگذرد، به آن می رسد.

اکنون که ارتباط بین عدد و نقطه روی یک دایره برقرار شد، به سراغ تعریف سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت می رویم.

سینوس (گناه) از t

سینوس یک عدد تی- ترتیب یک نقطه روی دایره واحد مربوط به عدد تی sin t = y

کسینوس (cos) از t

کسینوس یک عدد تی- آبسیسا نقطه دایره واحد مربوط به عدد تی cos t = x

مماس (tg) t

مماس یک عدد تی- نسبت مختصات به ابسیسا یک نقطه روی دایره واحد مربوط به عدد تی t g t = y x = گناه t cos t

آخرین تعاریف مطابق با تعریف ارائه شده در ابتدای این بند بوده و مغایرتی ندارد. روی دایره مربوط به عدد اشاره کنید تی، منطبق بر نقطه ای است که نقطه شروع پس از چرخش با یک زاویه به آن می رود تیرادیان

توابع مثلثاتی آرگومان زاویه ای و عددی

هر مقدار از زاویه α مربوط به مقدار مشخصی از سینوس و کسینوس این زاویه است. درست مانند تمام زوایای α غیر از α = 90 ° + 180 ° k، k ∈ Z (α = π 2 + π k، k ∈ Z) با مقدار مماس خاصی مطابقت دارد. همانطور که در بالا گفته شد، کوتانژانت برای همه α به جز α = 180 درجه k، k ∈ Z (α = π k، k ∈ Z) تعریف شده است.

می توان گفت sin α، cos α، tg α، c tg α توابعی از زاویه آلفا یا توابعی از آرگومان زاویه ای هستند.

به طور مشابه، ما می توانیم در مورد سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت به عنوان توابعی از یک استدلال عددی صحبت کنیم. هر عدد واقعی تیمربوط به مقدار معینی از سینوس یا کسینوس یک عدد است تی. همه اعداد غیر از π 2 + π · k، k ∈ Z، مربوط به یک مقدار مماس هستند. کتانژانت، به طور مشابه، برای همه اعداد به جز π · k، k ∈ Z تعریف شده است.

توابع اصلی مثلثات

سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت توابع اصلی مثلثاتی هستند.

معمولاً از زمینه مشخص می شود که با کدام آرگومان تابع مثلثاتی (آگومان زاویه ای یا آرگومان عددی) سروکار داریم.

بیایید به تعاریف ارائه شده در همان ابتدا و زاویه آلفا که در محدوده 0 تا 90 درجه قرار دارد، برگردیم. تعاریف مثلثاتیسینوس، کسینوس، مماس و کتانژانت کاملاً با تعاریف هندسی ارائه شده با استفاده از نسبت اضلاع یک مثلث قائم الزاویه مطابقت دارند. بیایید آن را نشان دهیم.

بیایید یک دایره واحد با یک مرکز در یک سیستم مختصات دکارتی مستطیلی را در نظر بگیریم. بیایید نقطه شروع A (1, 0) را با زاویه 90 درجه بچرخانیم و از نقطه حاصل A 1 (x, y) عمود بر محور آبسیسا بکشیم. در دریافتی راست گوشهزاویه A 1 O H برابر با زاویه چرخش α است، طول پایه O H برابر با آبسیسا نقطه A 1 (x, y) است. طول پایه مقابل زاویه برابر است با مختص نقطه A 1 (x, y) و طول هیپوتانوس برابر با یک است زیرا شعاع دایره واحد است.

مطابق با تعریف هندسه، سینوس زاویه α برابر است با نسبت طرف مقابل به هیپوتنوز.

sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

این بدان معنی است که تعیین سینوس یک زاویه حاد در یک مثلث قائم الزاویه از طریق نسبت ابعاد معادل با تعیین سینوس زاویه چرخش α است که آلفا در محدوده 0 تا 90 درجه قرار دارد.

به طور مشابه، مطابقت تعاریف را می توان برای کسینوس، مماس و کوتانژانت نشان داد.

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

در این مقاله نحوه دادن را نشان خواهیم داد تعاریف سینوس، کسینوس، مماس و کتانژانت زاویه و عدد در مثلثات. در اینجا ما در مورد نمادها صحبت می کنیم، نمونه هایی از ورودی ها را ارائه می دهیم و تصاویر گرافیکی ارائه می دهیم. در خاتمه، اجازه دهید بین تعاریف سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت در مثلثات و هندسه مشابهی ترسیم کنیم.

پیمایش صفحه.

تعریف سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت

بیایید ببینیم که چگونه ایده سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت در یک درس ریاضی مدرسه شکل می گیرد. در درس هندسه تعریف سینوس، کسینوس، مماس و کتانژانت یک زاویه حاد در مثلث قائم الزاویه آورده شده است. و بعدها مثلثاتی مورد مطالعه قرار می گیرد که در مورد سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت زاویه چرخش و عدد صحبت می کند. بیایید همه این تعاریف را ارائه کنیم، مثال بزنیم و نظرات لازم را بیان کنیم.

زاویه تند در مثلث قائم الزاویه

از درس هندسه تعاریف سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت زاویه حاد در مثلث قائم الزاویه را می دانیم. آنها به عنوان نسبت اضلاع یک مثلث قائم الزاویه داده می شوند. اجازه دهید فرمول های آنها را ارائه دهیم.

تعریف.

سینوس زاویه حاد در مثلث قائم الزاویهنسبت طرف مقابل به هیپوتنوز است.

تعریف.

کسینوس زاویه حاد در مثلث قائم الزاویهنسبت پای مجاور به هیپوتنوز است.

تعریف.

مماس زاویه حاد در مثلث قائم الزاویه- این نسبت طرف مقابل به ضلع مجاور است.

تعریف.

کتانژانت زاویه حاد در مثلث قائم الزاویه- این نسبت طرف مجاور به طرف مقابل است.

نامگذاری های سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت نیز در آنجا معرفی شده است - به ترتیب sin، cos، tg و ctg.

به عنوان مثال، اگر ABC یک مثلث قائم الزاویه با زاویه راست C باشد، سینوس زاویه حاد A برابر است با نسبت ضلع مقابل BC به هیپوتانوس AB، یعنی sin∠A=BC/AB.

این تعاریف به شما امکان می دهد مقادیر سینوس، کسینوس، مماس و کتانژانت یک زاویه حاد را از طول های شناخته شده اضلاع یک مثلث قائم الزاویه و همچنین از آن محاسبه کنید. ارزش های شناخته شدهطول اضلاع دیگر را با استفاده از سینوس، کسینوس، مماس، کوتانژانت و طول یکی از اضلاع پیدا کنید. به عنوان مثال، اگر می دانستیم که در یک مثلث قائم الزاویه، پایه AC برابر با 3 و فرض AB برابر با 7 است، می توانیم مقدار کسینوس زاویه تند A را با تعریف محاسبه کنیم: cos∠A=AC/ AB=3/7.

زاویه چرخش

در مثلثات، آنها شروع به نگاه گسترده تر به زاویه می کنند - آنها مفهوم زاویه چرخش را معرفی می کنند. بزرگی زاویه چرخش، بر خلاف زاویه حاد، به 0 تا 90 درجه محدود نمی شود، زاویه چرخش بر حسب درجه (و بر حسب رادیان) را می توان با هر عدد واقعی از -∞ تا +∞ بیان کرد.

در این پرتو، تعاریف سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت نه از یک زاویه حاد، بلکه از یک زاویه با اندازه دلخواه - زاویه چرخش، ارائه شده است. آنها از طریق مختصات x و y نقطه A 1 داده می شوند که به اصطلاح نقطه شروع A(1, 0) پس از چرخش آن با زاویه α حول نقطه O - ابتدای سیستم مختصات دکارتی مستطیلی به آن می رود. و مرکز دایره واحد.

تعریف.

سینوس زاویه چرخشα مختص نقطه A 1 است، یعنی sinα=y.

تعریف.

کسینوس زاویه چرخشα را آبسیسا نقطه A 1 می نامند، یعنی cosα=x.

تعریف.

مماس زاویه چرخشα نسبت ترتیب نقطه A 1 به ابسیسا آن است، یعنی tanα=y/x.

تعریف.

کتانژانت زاویه چرخشα نسبت آبسیسا نقطه A 1 به مختصات آن است، یعنی ctgα=x/y.

سینوس و کسینوس برای هر زاویه α تعریف می‌شوند، زیرا ما همیشه می‌توانیم ابسیسا و مختصات نقطه را تعیین کنیم که با چرخش نقطه شروع با زاویه α به دست می‌آید. اما مماس و کتانژانت برای هیچ زاویه ای تعریف نشده اند. مماس برای زوایای α تعریف نشده است که در آن نقطه شروع به نقطه ای با ابسیسا صفر (0, 1) یا (0, -1) می رود و این در زوایای 90°+180° k, k∈Z (π) رخ می دهد. /2+π·k راد). در واقع، در چنین زوایای چرخشی، عبارت tgα=y/x معنی ندارد، زیرا شامل تقسیم بر صفر است. در مورد کوتانژانت، برای زوایای α که در آن نقطه شروع به نقطه صفر (1، 0) یا (-1، 0) می رود، تعریف نشده است، و این برای زوایای 180 درجه k، k ∈Z رخ می دهد. (π·k راد).

بنابراین، سینوس و کسینوس برای هر زاویه چرخشی تعریف می شود، مماس برای همه زوایا به جز 90°+180°k، k∈Z (π/2+πk rad) و کوتانژانت برای همه زوایا به جز 180°·k تعریف می شود. ، k∈Z (π·k راد).

این تعاریف شامل نام‌هایی است که قبلاً برای ما شناخته شده‌اند sin، cos، tg و ctg، آنها همچنین برای تعیین سینوس، کسینوس، مماس و کتانژانت زاویه چرخش استفاده می‌شوند (گاهی اوقات می‌توانید عناوین tan و cot مربوط به مماس و کتانژانت را پیدا کنید) . بنابراین سینوس زاویه چرخش 30 درجه را می توان به صورت sin30° نوشت، ورودی های tg(-24°17') و ctgα مربوط به مماس زاویه چرخش 24- درجه 17 دقیقه و همتجانس زاویه چرخش α هستند. . به یاد بیاورید که هنگام نوشتن اندازه رادیان یک زاویه، نام "rad" اغلب حذف می شود. برای مثال، کسینوس زاویه چرخش سه پی راد معمولاً cos3·π نشان داده می شود.

در خاتمه این نکته، شایان ذکر است که هنگام صحبت از سینوس، کسینوس، مماس و کتانژانت زاویه چرخش، اغلب عبارت «زاویه چرخش» یا کلمه «چرخش» حذف می‌شود. یعنی به جای عبارت "سینوس زاویه آلفا" معمولا از عبارت "سینوس زاویه آلفا" یا حتی کوتاهتر از آن "سینوس آلفا" استفاده می شود. همین امر در مورد کسینوس، مماس و کوتانژانت نیز صدق می کند.

همچنین خواهیم گفت که تعاریف سینوس، کسینوس، مماس و کتانژانت یک زاویه حاد در یک مثلث قائم الزاویه با تعاریفی که برای سینوس، کسینوس، مماس و کتانژانت از زاویه چرخش از 0 تا 90 درجه ارائه شده است، مطابقت دارد. ما این را توجیه خواهیم کرد.

شماره

تعریف.

سینوس، کسینوس، مماس و کتانژانت یک عدد t عددی برابر با سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت زاویه چرخش بر حسب t رادیان است.

به عنوان مثال، کسینوس عدد 8·π طبق تعریف، عددی برابر با کسینوس زاویه 8·π rad است. و کسینوس زاویه 8 π راد است برابر با یکبنابراین کسینوس عدد 8·π برابر با 1 است.

روش دیگری برای تعیین سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت یک عدد وجود دارد. این شامل این واقعیت است که هر عدد واقعی t با یک نقطه از دایره واحد با مرکز در مبدا سیستم مختصات مستطیلی همراه است و سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت از طریق مختصات این نقطه تعیین می شوند. بیایید به این موضوع با جزئیات بیشتری نگاه کنیم.

اجازه دهید نشان دهیم که چگونه یک تناظر بین اعداد واقعی و نقاط روی یک دایره برقرار می شود:

• به عدد 0 نقطه شروع A (1, 0) اختصاص داده شده است.
• عدد مثبت t با نقطه ای از دایره واحد مرتبط است که اگر در امتداد دایره از نقطه شروع در خلاف جهت عقربه های ساعت حرکت کنیم و مسیری به طول t را طی کنیم به آن خواهیم رسید.
• عدد منفی t با نقطه واحد دایره مرتبط است که اگر در امتداد دایره از نقطه شروع در جهت عقربه های ساعت حرکت کنیم و مسیری به طول |t| .

حال به سراغ تعاریف سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت عدد t می رویم. فرض کنید عدد t مربوط به نقطه ای از دایره A 1 (x, y) است (به عنوان مثال، عدد &pi/2 مربوط به نقطه A 1 (0، 1) است).

تعریف.

سینوس عدد t مختص نقطه روی دایره واحد مربوط به عدد t است، یعنی sint=y.

تعریف.

کسینوس عدد t را ابسیسا نقطه دایره واحد مربوط به عدد t می نامند، یعنی هزینه=x.

تعریف.

مماس عدد t نسبت مجمل به ابسیسا یک نقطه روی دایره واحد مربوط به عدد t است، یعنی tgt=y/x. در فرمول معادل دیگری، مماس یک عدد t نسبت سینوس این عدد به کسینوس است، یعنی tgt=sint/cost.

تعریف.

کتانژانت عدد t نسبت آبسیسا به مختص یک نقطه در دایره واحد مربوط به عدد t است، یعنی ctgt=x/y. فرمول دیگر این است: مماس عدد t نسبت کسینوس عدد t به سینوس عدد t است: ctgt=cost/sint.

در اینجا متذکر می شویم که تعاریفی که ارائه شد با تعریف ارائه شده در ابتدای این پاراگراف مطابقت دارد. در واقع، نقطه روی دایره واحد مربوط به عدد t با نقطه به دست آمده از چرخش نقطه شروع با زاویه t رادیان منطبق است.

هنوز هم ارزش روشن شدن این نکته را دارد. فرض کنید ورودی sin3 را داریم. چگونه می توانیم بفهمیم که در مورد سینوس عدد 3 صحبت می کنیم یا سینوس زاویه چرخش 3 رادیان؟ این معمولاً از زمینه مشخص است، در غیر این صورت احتمالاً اهمیت اساسی ندارد.

توابع مثلثاتی آرگومان زاویه ای و عددی

با توجه به تعاریفی که در پاراگراف قبل ارائه شد، هر زاویه چرخش α با مقدار بسیار خاصی sinα و همچنین مقدار cosα مطابقت دارد. علاوه بر این، تمام زوایای چرخش غیر از 90°+180°k، k∈Z (π/2+πk rad) با مقادیر tgα و مقادیر دیگر از 180°k، k∈Z (πk rad) مطابقت دارند - مقادیر از ctgα. بنابراین sinα، cosα، tanα و ctgα توابعی از زاویه α هستند. به عبارت دیگر، اینها توابع آرگومان زاویه ای هستند.

ما می توانیم به طور مشابه در مورد توابع سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت یک آرگومان عددی صحبت کنیم. در واقع، هر عدد واقعی t مربوط به یک مقدار بسیار خاص سینت و همچنین هزینه است. علاوه بر این، همه اعداد غیر از π/2+π·k، k∈Z با مقادیر tgt و اعداد π·k، k∈Z - مقادیر ctgt مطابقت دارند.

توابع سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت نامیده می شوند توابع مثلثاتی اساسی.

معمولاً از زمینه مشخص می شود که آیا با توابع مثلثاتی یک آرگومان زاویه ای سروکار داریم یا یک آرگومان عددی. در غیر این صورت، می‌توانیم متغیر مستقل را هم به عنوان معیار زاویه (آگومان زاویه‌ای) و هم یک استدلال عددی در نظر بگیریم.

با این حال، در مدرسه ما عمدتاً توابع عددی را مطالعه می کنیم، یعنی توابعی که آرگومان های آنها و همچنین مقادیر تابع متناظر آنها اعداد هستند. بنابراین، اگر به طور خاص در مورد توابع صحبت می کنیم، توصیه می شود که توابع مثلثاتی را به عنوان توابعی از آرگومان های عددی در نظر بگیریم.

رابطه بین تعاریف از هندسه و مثلثات

اگر زاویه چرخش α را از 0 تا 90 درجه در نظر بگیریم، آنگاه تعاریف سینوس، کسینوس، مماس و کتانژانت زاویه چرخش در زمینه مثلثات کاملاً با تعاریف سینوس، کسینوس، مماس و کتانژانت یک مطابقت دارد. زاویه حاد در مثلث قائم الزاویه که در درس هندسه آورده شده است. بیایید این را توجیه کنیم.

اجازه دهید دایره واحد را در سیستم مختصات دکارتی مستطیلی Oxy به تصویر بکشیم. بیایید نقطه شروع A (1, 0) را علامت گذاری کنیم. بیایید آن را با زاویه α در محدوده 0 تا 90 درجه بچرخانیم، نقطه A 1 (x, y) را به دست می آوریم. اجازه دهید عمود A 1 H را از نقطه A 1 به محور Ox رها کنیم.

به راحتی می توان دید که در یک مثلث قائم الزاویه، زاویه A 1 OH برابر با زاویه چرخش α است، طول پایه OH مجاور این زاویه برابر با آبسیسا نقطه A 1 است، یعنی |OH |=x، طول پایه A 1 H در مقابل زاویه برابر است با مختص نقطه A 1، یعنی |A 1 H|=y، و طول هیپوتانوس OA 1 برابر با یک است، چون شعاع دایره واحد است. سپس طبق تعریف هندسه، سینوس زاویه تند α در مثلث قائم الزاویه A 1 OH برابر است با نسبت پای مقابل به هیپوتنوز، یعنی sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y. و طبق تعریف از مثلثات، سینوس زاویه چرخش α برابر است با مختصات نقطه A 1، یعنی sinα=y. این نشان می دهد که تعیین سینوس یک زاویه حاد در یک مثلث قائم الزاویه معادل تعیین سینوس زاویه چرخش α در زمانی است که α از 0 تا 90 درجه است.

به طور مشابه، می توان نشان داد که تعاریف کسینوس، مماس و کوتانژانت یک زاویه حاد α با تعاریف کسینوس، مماس و کوتانژانت زاویه چرخش α مطابقت دارد.

کتابشناسی - فهرست کتب.

1. هندسه. پایه های 7-9: کتاب درسی برای آموزش عمومی مؤسسات / [L. S. Atanasyan، V. F. Butuzov، S. B. Kadomtsev و غیره]. - چاپ بیستم م.: آموزش و پرورش، 1389. - 384 ص: بیمار. - شابک 978-5-09-023915-8.
2. Pogorelov A.V.هندسه: کتاب درسی. برای پایه های 7-9 آموزش عمومی موسسات / A. V. Pogorelov. - چاپ دوم - م.: آموزش و پرورش، 2001. - 224 ص: بیمار. - شابک 5-09-010803-X.
3. جبر و توابع ابتدایی: آموزشبرای دانش آموزان پایه نهم دبیرستان/ E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; ویرایش شده توسط دکتر علوم فیزیکی و ریاضی O. N. Golovin. - ویرایش 4. م.: آموزش و پرورش، 1969.
4. جبر:کتاب درسی برای کلاس نهم میانگین مدرسه/یو. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، S. B. Suvorova; اد. S. A. Telyakovsky. - M.: Education, 1990. - 272 pp.: ill. - ISBN 5-09-002727-7
5. جبرو آغاز تحلیل: Proc. برای کلاس های 10-11 آموزش عمومی موسسات / A. N. Kolmogorov، A. M. Abramov، Yu. P. Dudnitsyn و دیگران؛ اد. A. N. Kolmogorov. - ویرایش چهاردهم - M.: آموزش و پرورش، 2004. - 384 ص.: بیمار - ISBN 5-09-013651-3.
6. موردکوویچ A.G.جبر و آغاز تحلیل. پایه 10. در 2 p. قسمت 1: آموزش برای موسسات آموزشی(سطح نمایه)/ A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - ویرایش چهارم، اضافه کنید. - M.: Mnemosyne, 2007. - 424 p.: ill. شابک 978-5-346-00792-0.
7. جبرو شروع تحلیل ریاضی. پایه دهم: کتاب درسی. برای آموزش عمومی موسسات: پایه و مشخصات. سطوح /[Yu. M. Kolyagin، M. V. Tkacheva، N. E. Fedorova، M. I. Shabunin]؛ ویرایش شده توسط A. B. Zhizhchenko. - ویرایش سوم - I.: آموزش و پرورش، 1389.- 368 ص: ill.- ISBN 978-5-09-022771-1.
8. باشماکوف ام. آی.جبر و آغاز تحلیل: کتاب درسی. برای کلاس های 10-11 میانگین مدرسه - ویرایش سوم - م.: آموزش و پرورش، 1372. - 351 ص: بیمار. - شابک 5-09-004617-4.
9. گوسف وی. ا.، موردکوویچ آ. جی.ریاضیات (راهنمای برای کسانی که وارد مدارس فنی می شوند): Proc. کمک هزینه.- م. بالاتر مدرسه، 1984.-351 p., ill.

• 2. محدوده مقادیر: [-1;1]
• 3. تابع فرد.
• 7. فواصل زمانی که تابع مثبت است: (2*pi*n؛ pi+2*pi*n)
• 8. فواصل زمانی که تابع منفی است: (-pi + 2*pi*n؛ 2*pi*n)
• 9. افزایش فواصل: [-pi/2 +2*pi*n; pi/2 +2*pi*n]
• 10. کاهش فواصل:
• 11. حداقل امتیاز: -pi/2 +2*pi*n
• 12. حداقل تابع: -1
• 13. حداکثر امتیاز: pi/2 +2*pi*n
• 14. حداکثر تابع: 1

خواص کسینوس

• 1. منطقه تعریف: محور اعداد کامل
• 2. محدوده مقادیر: [-1;1]
• 3. حتی عملکرد.
• 4. کوچکترین دوره مثبت: 2*pi
• 5. مختصات نقاط تقاطع نمودار تابع با محور Ox: (pi/2 +pi*n؛ 0)
• 6. مختصات نقاط تقاطع نمودار تابع با محور Oy: (0;1)
• 7. فواصل زمانی که تابع مثبت است: (-pi/2 +2*pi*n؛ pi/2 +2*pi*n)
• 8. فواصل زمانی که تابع منفی است: (pi/2 +2*pi*n؛ 3*pi/2 +2*pi*n)
• 9. افزایش فواصل: [-pi + 2*pi*n; 2*pi*n]
• 10. کاهش فواصل:
• 11. حداقل امتیاز: pi+2*pi*n
• 12. حداقل تابع: -1
• 13. حداکثر امتیاز: 2*pi*n
• 14. حداکثر تابع: 1

خواص مماس

• 1. دامنه تعریف: (-pi/2 +pi*n؛ pi/2 +pi*n)
• 3. تابع فرد.
• 5. مختصات نقاط تقاطع نمودار تابع با محور Ox: (pi*n; 0)
• 6. مختصات نقاط تقاطع نمودار تابع با محور Oy: (0;0)
• 9. عملکرد در فواصل زمانی افزایش می یابد (-pi/2 + pi*n؛ pi/2 + pi*n)

خواص کوتانژانت

• 1. دامنه: (pi*n؛ pi +pi*n)
• 2. محدوده ارزش: کل محور اعداد
• 3. تابع فرد.
• 4. کوچکترین دوره مثبت: پی
• 5. مختصات نقاط تقاطع نمودار تابع با محور Ox: (pi/2 + pi*n؛ 0)
• 6. مختصات نقاط تقاطع نمودار تابع با محور Oy: خیر
• 7. فواصل زمانی که تابع مثبت است: (pi*n؛ pi/2 +pi*n)
• 8. فواصل زمانی که تابع منفی است: (-pi/2 +pi*n؛ pi*n)
• 9. تابع در فواصل زمانی کاهش می یابد (pi*n؛ pi +pi*n)
• 10. امتیاز حداکثر و حداقل وجود ندارد.

شکل زیر چندین دایره واحد را نشان می دهد که نشانه های سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت را در ربع مختصات مختلف نشان می دهد.