هدف: خلاصه کردن و نظام مند کردن دانش دانش آموزان در مورد موضوع "تناوب توابع"؛ ایجاد مهارت در استفاده از ویژگی های یک تابع تناوبی، پیدا کردن کوچکترین دوره مثبت یک تابع، ساختن نمودارهای توابع تناوبی. افزایش علاقه به مطالعه ریاضیات؛ مشاهده و دقت را پرورش دهید.
تجهیزات: کامپیوتر، پروژکتور چند رسانه ای، کارت های کار، اسلاید، ساعت، جداول زیور آلات، عناصر صنایع دستی عامیانه
"ریاضی چیزی است که مردم برای کنترل طبیعت و خود از آن استفاده می کنند."
A.N. کولموگروف
در طول کلاس ها
I. مرحله سازمانی.
بررسی آمادگی دانش آموزان برای درس. موضوع و اهداف درس را گزارش کنید.
II. بررسی تکالیف
ما تکالیف را با استفاده از نمونه ها بررسی می کنیم و سخت ترین نکات را مورد بحث قرار می دهیم.
III. تعمیم و سیستم سازی دانش.
1. کار فرونتال دهان.
مسائل تئوری
1) تعریفی از دوره تابع تشکیل دهید
2) کوچکترین دوره مثبت توابع y=sin(x)، y=cos(x) را نام ببرید.
3). کوچکترین دوره مثبت توابع y=tg(x)، y=ctg(x)
4) با استفاده از دایره، صحت روابط را ثابت کنید:
y=sin(x) = sin(x+360º)
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+18 0º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)
tg(x+π n)=tgx، n € Z
ctg(x+π n)=ctgx، n € Z
sin(x+2π n)=sinx، n € Z
cos(x+2π n)=cosx، n € Z
5) چگونه یک تابع تناوبی را رسم کنیم؟
تمرینات دهانی.
1) روابط زیر را ثابت کنید
آ) sin (740º) = گناه (20º)
ب) cos(54º) = cos(-1026º)
ج) sin(-1000º) = sin (80º)
2. ثابت کنید که زاویه 540 درجه یکی از دوره های تابع y= cos(2x) است.
3. ثابت کنید که زاویه 360 درجه یکی از دوره های تابع y=tg(x) است.
4. این عبارات را طوری تبدیل کنید که زوایای موجود در آنها از 90 درجه بیشتر نباشد.
آ) tg375º
ب) ctg530º
ج) sin1268
د) cos(-7363º)
5. از کجا به کلمات PERIOD، PERIODICITY برخورد کردید؟
پاسخ دانش آموز: دوره در موسیقی ساختاری است که در آن یک اندیشه موسیقایی کم و بیش کامل ارائه می شود. یک دوره زمین شناسی بخشی از یک عصر است و به دوره هایی با دوره ای از 35 تا 90 میلیون سال تقسیم می شود.
نیمه عمر یک ماده رادیواکتیو. کسر تناوبی نشریات ادواری، نشریات چاپی هستند که در مهلت‌های مشخصی منتشر می‌شوند. سیستم تناوبی مندلیف.
6. شکل ها بخش هایی از نمودار توابع تناوبی را نشان می دهند. دوره عملکرد را تعیین کنید. دوره عملکرد را تعیین کنید.
پاسخ: T=2; T=2; T=4; T=8.
7. در کجای زندگی خود با ساخت عناصر تکراری مواجه شده اید؟
پاسخ دانش آموز: عناصر زیور آلات، هنر عامیانه.
IV. حل مشکلات جمعی
(حل مسائل در اسلایدها.)
بیایید یکی از روش های مطالعه یک تابع برای تناوب را در نظر بگیریم.
این روش از مشکلات مرتبط با اثبات کوتاه‌ترین دوره زمانی جلوگیری می‌کند و همچنین نیاز به دست زدن به سؤالات مربوط به عملیات حسابیبر روی توابع تناوبی و تناوب یک تابع مختلط. استدلال فقط بر اساس تعریف یک تابع تناوبی و بر این واقعیت است: اگر T دوره تابع باشد، nT(n?0) دوره آن است.
مسئله 1. کوچکترین دوره مثبت تابع f(x)=1+3(x+q>5) را پیدا کنید.
راه حل: دوره T این تابع را فرض کنید. سپس f(x+T)=f(x) برای همه x € D(f)، یعنی.
1+3(x+T+0.25)=1+3(x+0.25)
(x+T+0.25)=(x+0.25)
بیایید x=-0.25 قرار دهیم که به دست می آوریم
(T)=0<=>T=n، n € Z
ما دریافتیم که تمام دوره های تابع مورد نظر (در صورت وجود) جزو اعداد صحیح هستند. بیایید از بین این اعداد کوچکترین عدد مثبت را انتخاب کنیم. این 1 . بیایید بررسی کنیم که آیا واقعاً یک پریود خواهد بود یا خیر 1 .
f(x+1) =3(x+1+0.25)+1
از آنجایی که (T+1)=(T) برای هر T، پس f(x+1)=3((x+0.25)+1)+1=3(x+0.25)+1=f(x)، یعنی. 1 - دوره f. از آنجایی که 1 کوچکترین اعداد صحیح است اعداد مثبت، سپس T=1.
مسئله 2. نشان دهید که تابع f(x)=cos 2 (x) تناوبی است و دوره اصلی آن را پیدا کنید.
مسئله 3. دوره اصلی تابع را پیدا کنید
f(x)=sin(1.5x)+5cos(0.75x)
اجازه دهید دوره T تابع را در نظر بگیریم، سپس برای هر کدام ایکسنسبت معتبر است
sin1.5(x+T)+5cos0.75(x+T)=sin(1.5x)+5cos(0.75x)
اگر x=0، پس
sin(1.5T)+5cos(0.75T)=sin0+5cos0
sin(1.5T)+5cos(0.75T)=5
اگر x=-T، پس
sin0+5cos0=sin(-1.5T)+5cos0.75(-T)
5= – sin(1.5T)+5cos(0.75T)
| sin(1.5T)+5cos(0.75T)=5 – sin(1.5T)+5cos(0.75T)=5 |
با جمع کردن آن، دریافت می کنیم:
10cos(0.75T)=10
2π n، n € Z
بگذارید کوچکترین عدد مثبت را از بین تمام اعداد "مشکوک" برای دوره انتخاب کنیم و بررسی کنیم که آیا نقطه ای برای f است یا خیر. این شماره
f(x+)=sin(1.5x+4π)+5cos(0.75x+2π)= sin(1.5x)+5cos(0.75x)=f(x)
این به این معنی است که این دوره اصلی تابع f است.
مسئله 4. بیایید بررسی کنیم که آیا تابع f(x)=sin(x) تناوبی است یا خیر
فرض کنید T دوره تابع f باشد. سپس برای هر x
گناه|x+Т|=گناه|x|
اگر x=0، آنگاه sin|Т|=sin0، sin|Т|=0 Т=π n، n € Z.
بیایید فرض کنیم. که برای برخی n عدد π n دوره است
تابع مورد نظر π n>0. سپس sin|π n+x|=sin|x|
این بدان معناست که n باید هم یک عدد زوج و هم فرد باشد، اما این غیرممکن است. بنابراین، این تابع دوره ای نیست.
وظیفه 5. دوره ای بودن تابع را بررسی کنید
f(x)= 
پس فرض کنید T دوره f باشد
بنابراین، sinT=0، Т=π n، n € Z. فرض کنیم برای برخی n عدد π n در واقع دوره این تابع است. سپس عدد 2π n دوره خواهد بود
از آنجایی که اعداد مساوی هستند، مخرج آنها نیز برابر است
یعنی تابع f تناوبی نیست.
کار گروهی.
وظایف گروه 1
وظایف گروه 2
بررسی کنید که آیا تابع f تناوبی است و دوره بنیادی آن را (در صورت وجود) پیدا کنید.
f(x)=cos(2x)+2sin(2x)
وظایف گروه 3
گروه ها در پایان کار خود راه حل های خود را ارائه می کنند.
VI. جمع بندی درس.
انعکاس.
معلم کارت هایی با نقاشی به دانش آموزان می دهد و از آنها می خواهد که بخشی از نقاشی اول را مطابق با میزانی که فکر می کنند بر روش های مطالعه یک تابع برای تناوب تسلط دارند و در بخشی از نقاشی دوم - مطابق با آنها رنگ آمیزی کنند. کمک به کار در درس
VII. مشق شب
1). بررسی کنید که آیا تابع f تناوبی است و دوره اصلی آن را پیدا کنید (در صورت وجود)
ب). f(x)=x 2 -2x+4
ج). f(x)=2tg(3x+5)
2). تابع y=f(x) دارای یک دوره T=2 و f(x)=x 2 +2x برای x € [-2; 0]. مقدار عبارت -2f(-3)-4f(3.5) را بیابید.
ادبیات/
- موردکوویچ A.G.جبر و آغاز تحلیل با مطالعه عمیق.
- ریاضیات. آمادگی برای آزمون دولتی واحد. اد. Lysenko F.F.، Kulabukhova S.Yu.
- شرمتیوا T.G. ، تاراسووا E.A.جبر و شروع تجزیه و تحلیل برای پایه های 10-11.
حداقل مثبت دوره زمانی کارکرددر مثلثات f نشان داده می شود. مشخص می شود کمترین مقدارعدد مثبت T، یعنی کمتر از مقدار آن T دیگر نخواهد بود دوره زمانیاهم کارکرد .
شما نیاز خواهید داشت
- – کتاب مرجع ریاضی
دستورالعمل ها
1. لطفا توجه داشته باشید که دوره زمانیتابع ical همیشه یک حداقل صحیح ندارد دوره زمانی. بنابراین، به عنوان مثال، به عنوان دوره زمانیو مستمر کارکردهر عددی می تواند بدون قید و شرط وجود داشته باشد، به این معنی که ممکن است کوچکترین عدد مثبت را نداشته باشد دوره زمانیآ. غیر دائمی هم وجود دارد دوره زمانی ical کارکرد، که کوچکترین صحیح را ندارند دوره زمانیآ. با این حال، در بیشتر موارد حداقل صحیح است دوره زمانیدر دوره زمانیهنوز برخی از توابع ical وجود دارد.
2. کمترین دوره زمانیسینوس برابر با 2 است. برای اثبات این موضوع به مثال مراجعه کنید. کارکرد y=sin(x). بگذارید T دلخواه باشد دوره زمانیسینوس اهم، در این مورد sin(a+T)=sin(a) برای هر مقدار a. اگر a=?/2، معلوم می شود که sin(T+?/2)=sin(?/2)=1. اما sin(x)=1 فقط در حالتی که x=?/2+2?n، جایی که n یک عدد صحیح است. نتیجه آن این است که T=2?n یعنی کوچکترین مقدار مثبت 2?n 2 است.
3. حداقل صحیح دوره زمانیکسینوس نیز برابر با 2 است. برای اثبات این موضوع به مثال مراجعه کنید. کارکرد y=cos(x). اگر T دلخواه باشد دوره زمانی om کسینوس، سپس cos(a+T)=cos(a). در صورتی که a=0، cos(T)=cos(0)=1. با توجه به این، کوچکترین مقدار مثبت T که در آن cos(x) = 1 برابر با 2 است.
4. با توجه به اینکه 2؟ – دوره زمانیسینوس و کسینوس، مقدار یکسان خواهد بود دوره زمانیکوتانژانت اهم، و همچنین مماس، با این حال، حداقل نیست، زیرا، همانطور که شناخته شده است، حداقل صحیح است دوره زمانیمماس و کتانژانت برابرند؟. می‌توانید با مشاهده مثال زیر این موضوع را تأیید کنید: نقاط مربوط به اعداد (x) و (x+?) روی دایره مثلثاتی دارای مکان‌های کاملاً متضاد هستند. فاصله نقطه (x) تا نقطه (x+2?) معادل نیم دایره است. با تعریف مماس و کتانژانت tg(x+?)=tgx و ctg(x+?)=ctgx، یعنی حداقل صحیح است. دوره زمانیکتانژانت و مماس برابرند؟.
تابع تناوبی تابعی است که مقادیر خود را پس از مدتی غیرصفر تکرار می کند. دوره یک تابع عددی است که وقتی به آرگومان یک تابع اضافه می شود، مقدار تابع را تغییر نمی دهد.
شما نیاز خواهید داشت
- آشنایی با ریاضیات ابتدایی و مرور مقدماتی.
دستورالعمل ها
1. اجازه دهید دوره تابع f(x) را با عدد K نشان دهیم. وظیفه ما کشف این مقدار K است. برای انجام این کار، تصور کنید که تابع f(x) را با استفاده از تعریف یک تابع تناوبی، معادل می کنیم. f(x+K)=f(x).
2. معادله حاصل را در رابطه با K مجهول حل می کنیم، گویی x یک ثابت است. بسته به مقدار K، چندین گزینه وجود خواهد داشت.
3. اگر K>0 - این دوره تابع شماست اگر K=0 - تابع f(x) تناوبی نیست اگر جواب معادله f(x+K)=f(x) وجود نداشته باشد. برای هر K که برابر با صفر نباشد، چنین تابعی نامتعادل نامیده می شود و همچنین دوره ندارد.
ویدیو در مورد موضوع
توجه داشته باشید!
همه توابع مثلثاتی تناوبی و تمام توابع چند جمله ای با درجه بزرگتر از 2 غیر تناوبی هستند.
مشاوره مفید
دوره یک تابع متشکل از 2 تابع تناوبی کمترین مضرب جهانی دوره های این توابع است.
اگر نقاط یک دایره را در نظر بگیریم، نقاط x، x + 2π، x + 4π و غیره را در نظر بگیریم. منطبق با یکدیگر بنابراین، مثلثاتی کارکردروی یک خط مستقیم به صورت دوره ایمعنی آنها را تکرار کنید اگر دوره معروف است کارکرد، می توان روی این دوره یک تابع ساخت و روی دیگران تکرار کرد.
دستورالعمل ها
1. دوره یک عدد T است به طوری که f(x) = f(x+T). برای پیدا کردن دوره، معادله مربوطه را حل کنید و x و x+T را به عنوان آرگومان جایگزین کنید. در این مورد، از دوره های شناخته شده قبلی برای توابع استفاده می شود. برای توابع سینوس و کسینوس دوره 2π و برای توابع مماس و کوتانژانت π است.
2. اجازه دهید تابع f(x) = sin^2(10x) داده شود. عبارت sin^2(10x) = sin^2(10(x+T)) را در نظر بگیرید. از فرمول برای کاهش درجه استفاده کنید: sin^2(x) = (1 – cos 2x)/2. سپس 1 – cos 20x = 1 – cos 20 (x+T) یا cos 20x = cos (20x+20T) دریافت می کنید. با دانستن اینکه دوره کسینوس 2π است، 20T = 2π است. این یعنی T = π/10. T حداقل دوره صحیح است و تابع بعد از 2T و بعد از 3T و در جهت دیگر در امتداد محور: -T، -2T و غیره تکرار می شود.
مشاوره مفید
از فرمول ها برای کاهش درجه یک تابع استفاده کنید. اگر از قبل دوره های برخی از توابع را می دانید، سعی کنید عملکرد موجود را به موارد معروف کاهش دهید.
تابعی که مقادیر آن پس از یک عدد مشخص تکرار می شود فراخوانی می شود تناوبی. یعنی مهم نیست چند دوره به مقدار x اضافه کنید، تابع برابر با همان عدد خواهد بود. هر جستجو برای توابع تناوبی با جستجو برای کوچکترین دوره شروع می شود تا کار غیر ضروری انجام نشود: کافی است تمام ویژگی ها را در فاصله ای برابر با دوره مطالعه کنید.
دستورالعمل ها
1. از تعریف استفاده کنید تناوبی کارکرد. تمام مقادیر x در کارکردبا (x+T) جایگزین کنید، جایی که T حداقل دوره است کارکرد. معادله حاصل را با در نظر گرفتن T یک عدد مجهول حل کنید.
2. در نتیجه، شما یک هویت خاص به دست خواهید آورد، سعی کنید کوچکترین دوره را از آن انتخاب کنید. فرض کنید، اگر برابری sin(2T)=0.5 را بدست آوریم، بنابراین، 2T=P/6، یعنی T=P/12.
3. اگر برابری تنها زمانی درست باشد که T = 0 یا پارامتر T به x بستگی دارد (مثلاً تساوی 2T = x به دست می‌آید)، نتیجه بگیرید که تابع تناوبی نیست.
4. به منظور یافتن حداقل دوره کارکردفقط شامل یک عبارت مثلثاتی است، از قانون استفاده کنید. اگر عبارت حاوی sin یا cos باشد، دوره برای کارکرد 2P خواهد بود و برای توابع tg، ctg حداقل دوره P را تنظیم کنید. لطفاً توجه داشته باشید که تابع نباید به هیچ قدرتی افزایش یابد و متغیر زیر علامت کارکردنباید در عددی غیر از 1 ضرب شود.
5. اگر cos یا sin داخل است کارکردساخته شده با توان یکنواخت، دوره 2P را به نصف کاهش دهید. از نظر گرافیکی می توانید آن را به این صورت ببینید: نمودار کارکرد، در زیر محور x قرار دارد، به طور متقارن به سمت بالا منعکس می شود و در نتیجه این تابع دو بار تکرار می شود.
6. به منظور یافتن حداقل دوره کارکردبا توجه به اینکه زاویه x در هر عددی ضرب می شود، به صورت زیر عمل کنید: دوره معمولی را تعیین کنید کارکرد(بگذارید برای cos آن 2P است). پس از آن، آن را بر ضریب مقابل متغیر تقسیم کنید. این حداقل دوره مورد نظر خواهد بود. کاهش دوره به وضوح در نمودار قابل مشاهده است: دقیقاً به همان تعداد که زاویه زیر علامت مثلثاتی در ضرب می شود فشرده می شود. کارکرد .
7. لطفاً توجه داشته باشید که اگر قبل از x یک عدد کسری کمتر از 1 قرار گیرد، دوره افزایش می یابد، یعنی نمودار، برعکس، کشیده می شود.
8. اگر عبارت شما دارای دو دوره ای است کارکردضرب در یکدیگر، حداقل دوره را برای هر یک به طور جداگانه پیدا کنید. پس از این، حداقل عامل جهانی را برای آنها تعیین کنید. فرض کنید، برای دوره های P و 2/3P، حداقل ضریب جهانی 3P خواهد بود (بدون باقیمانده بر هر دو P و 2/3P بخش پذیر است).
محاسبه اندازه متوسط دستمزدکارگران برای محاسبه مزایای ناتوانی موقت و پرداخت هزینه سفرهای کاری مورد نیاز هستند. میانگین درآمد کارشناسان بر اساس زمان واقعی کار محاسبه می شود و به حقوق، کمک هزینه ها و پاداش های مشخص شده در میز پرسنل.
شما نیاز خواهید داشت
- - میز پرسنل؛
- - ماشین حساب؛
- - درست؛
- - تقویم تولید؛
- - برگه زمان یا گزارش اتمام کار.
دستورالعمل ها
1. برای محاسبه میانگین حقوق یک کارمند، ابتدا مدت زمانی را که باید آن را محاسبه کنید مشخص کنید. طبق معمول این مدت 12 ماه تقویمی است. اما اگر یک کارمند کمتر از یک سال در شرکت کار کند، به عنوان مثال، 10 ماه، باید میانگین درآمد را برای زمانی که کارشناس وظیفه کار خود را انجام می دهد، پیدا کنید.
2. اکنون میزان دستمزدی را که واقعاً به او تعلق گرفته است مشخص کنید دوره صورتحساب. برای این کار از فیش های حقوقی استفاده کنید که طبق آن تمام پرداختی ها به کارمند داده می شد. اگر استفاده از این اسناد غیرممکن است، حقوق، پاداش و کمک هزینه ماهانه را در 12 ضرب کنید (یا تعداد ماه هایی که کارمند در شرکت کار کرده است، اگر کمتر از یک سال در شرکت استخدام شده است. ).
3. میانگین درآمد روزانه خود را محاسبه کنید. برای انجام این کار، مقدار دستمزد دوره صورتحساب را بر تعداد متوسط روزهای یک ماه تقسیم کنید (در حال حاضر 29.4 است). جمع حاصل را بر 12 تقسیم کنید.
4. پس از این، تعداد ساعات واقعی کار را تعیین کنید. برای این کار از یک برگه زمان استفاده کنید. این سند باید توسط یک وقت نگهدار، افسر پرسنل یا کارمند دیگری که شرح شغل آن مشخص می کند پر شود.
5. تعداد ساعات کار واقعی را در میانگین درآمد روزانه ضرب کنید. مبلغ دریافتی میانگین است دستمزدمتخصص به مدت یک سال کل را بر 12 تقسیم کنید. این میانگین درآمد ماهانه شما خواهد بود. این محاسبه برای کارمندانی استفاده می شود که دستمزد آنها به زمان واقعی کار بستگی دارد.
6. هنگامی که به یک کارمند دستمزد پرداخت می شود، نرخ تعرفه (در جدول کارکنان مشخص شده و تعیین می شود قرارداد استخدام) در تعداد محصولات تولید شده ضرب کنید (از گواهی پایان کار یا سند دیگری که در آن ثبت شده است استفاده کنید).
توجه داشته باشید!
توابع y=cos(x) و y=sin(x) را اشتباه نگیرید - با داشتن یک دوره یکسان، این توابع متفاوت به تصویر کشیده می شوند.
مشاوره مفید
برای وضوح بیشتر، یک تابع مثلثاتی رسم کنید که حداقل دوره صحیح برای آن محاسبه شود.
دستورالعمل ها
لطفا توجه داشته باشید که دوره زمانی ical همیشه کوچکترین مثبت را ندارد دوره زمانی. بنابراین، به عنوان مثال، به عنوان دوره زمانیو ثابت کارکردمی تواند مطلقاً هر عددی باشد و ممکن است کوچکترین عدد مثبت را نداشته باشد دوره زمانیآ. غیر دائمی هم وجود دارد دوره زمانی ical کارکرد، که کمترین مثبتی را ندارند دوره زمانیآ. با این حال، در بیشتر موارد کوچکترین مثبت دوره زمانیدر دوره زمانیهنوز هم آنهایی وجود دارد.
کمترین دوره زمانیسینوس برابر با 2 است. این مثال را در نظر بگیرید کارکرد y=sin(x). بگذارید T دلخواه باشد دوره زمانیسینوس اهم، در این مورد sin(a+T)=sin(a) برای هر مقدار a. اگر a=?/2، معلوم می شود که sin(T+?/2)=sin(?/2)=1. اما sin(x)=1 فقط در صورتی که x=?/2+2?n، جایی که n یک عدد صحیح است. بنابراین T=2?n و بنابراین کوچکترین مقدار مثبت 2?n 2? است.
حداقل مثبت دوره زمانیکسینوس نیز برابر با 2 است. اثبات این موضوع را با یک مثال در نظر بگیرید کارکرد y=cos(x). اگر T دلخواه باشد دوره زمانی om کسینوس، سپس cos(a+T)=cos(a). در صورتی که a=0، cos(T)=cos(0)=1. با توجه به این، کوچکترین مقدار مثبت T که در آن cos(x) = 1 برابر با 2 است.
با توجه به اینکه 2؟ – دوره زمانیسینوس و کسینوس نیز خواهد بود دوره زمانیکوتانژانت اهم، و همچنین مماس، اما نه حداقل، زیرا، مانند، کوچکترین مثبت است دوره زمانیمماس و کتانژانت برابرند؟. شما می توانید این را با در نظر گرفتن موارد زیر تأیید کنید: نقاط مربوط به (x) و (x+?) روی دایره مثلثاتی دارای مکان های قطری متضاد هستند. فاصله نقطه (x) تا نقطه (x+2?) معادل نیم دایره است. با تعریف مماس و کتانژانت tg(x+?)=tgx و ctg(x+?)=ctgx که به معنای کوچکترین مثبت است. دوره زمانیکوتانژانت و ?.
توجه داشته باشید
توابع y=cos(x) و y=sin(x) را اشتباه نگیرید - با داشتن دوره یکسان، این توابع متفاوت نشان داده می شوند.
مشاوره مفید
برای وضوح بیشتر، یک تابع مثلثاتی رسم کنید که کوچکترین دوره مثبت برای آن محاسبه شود.
منابع:
- کتاب راهنمای ریاضیات، ریاضیات مدرسه، ریاضیات عالی
تابع تناوبی تابعی است که مقادیر خود را پس از مدتی غیرصفر تکرار می کند. دوره یک تابع عددی است که وقتی به آرگومان تابع اضافه می شود، مقدار تابع را تغییر نمی دهد.
شما نیاز خواهید داشت
- آشنایی با ریاضیات ابتدایی و اصول آنالیز.
دستورالعمل ها
ویدیو در مورد موضوع
توجه داشته باشید
همه توابع مثلثاتی تناوبی و تمام توابع چند جمله ای با درجه بزرگتر از 2 غیر تناوبی هستند.
مشاوره مفید
دوره یک تابع متشکل از دو تابع تناوبی، کمترین مضرب مشترک دوره های این توابع است.
اگر نقاط یک دایره را در نظر بگیریم، نقاط x، x + 2π، x + 4π و غیره را در نظر بگیریم. منطبق با یکدیگر بنابراین، مثلثاتی کارکردروی یک خط مستقیم به صورت دوره ایمعنی آنها را تکرار کنید اگر دوره معلوم باشد کارکرد، می توانید روی این دوره یک تابع بسازید و آن را روی دیگران تکرار کنید.
دستورالعمل ها
اجازه دهید تابع f(x) = sin^2(10x) داده شود. sin^2(10x) = sin^2(10(x+T)) را در نظر بگیرید. از فرمول کاهش استفاده کنید: sin^2(x) = (1 - cos 2x)/2. سپس 1 - cos 20x = 1 - cos 20 (x+T) یا cos 20x = cos (20x+20T) دریافت می کنید. با دانستن اینکه دوره کسینوس 2π است، 20T = 2π است. این یعنی T = π/10. T کوچکترین دوره است و تابع بعد از 2T و بعد از 3T و به سمت امتداد محور تکرار می شود: -T، -2T، و غیره.
مشاوره مفید
از فرمول ها برای کاهش درجه یک تابع استفاده کنید. اگر از قبل دوره های هر توابعی را می دانید، سعی کنید تابع موجود را به توابع شناخته شده کاهش دهید.
تابعی که مقادیر آن پس از یک عدد مشخص تکرار می شود فراخوانی می شود تناوبی. یعنی مهم نیست چند دوره به مقدار x اضافه کنید، تابع برابر با همان عدد خواهد بود. هر مطالعه توابع تناوبی با جستجو برای کوچکترین دوره شروع می شود تا کار غیر ضروری انجام نشود: کافی است همه ویژگی ها را در فاصله ای برابر با دوره مطالعه کنید.
دستورالعمل ها
در نتیجه، شما هویت خاصی به دست خواهید آورد، که سعی کنید حداقل دوره را انتخاب کنید. برای مثال، اگر برابری sin(2T)=0.5 را بدست آوریم، بنابراین، 2T=P/6، یعنی T=P/12.
اگر برابری تنها زمانی درست شود که T = 0 یا پارامتر T به x بستگی دارد (مثلاً برابری 2T = x به دست می‌آید)، فرض کنید که تابع تناوبی نیست.
برای اطلاع از کوتاه ترین دوره کارکردحاوی فقط یک عبارت مثلثاتی، استفاده کنید. اگر عبارت حاوی sin یا cos باشد، دوره برای کارکرد 2P خواهد بود و برای توابع tg، ctg کوچکترین دوره P را تنظیم می کند. لطفاً توجه داشته باشید که تابع نباید به هیچ توانی افزایش یابد و متغیر زیر علامت کارکردنباید در عددی غیر از 1 ضرب شود.
اگر cos یا sin داخل است کارکردبا افزایش قدرت یکنواخت، دوره 2P را به نصف کاهش دهید. از نظر گرافیکی می توانید آن را به شکل زیر ببینید: کارکرد، در زیر محور x، به طور متقارن به سمت بالا منعکس می شود، بنابراین این تابع دو بار تکرار می شود.
برای پیدا کردن کوچکترین دوره کارکردبا توجه به اینکه زاویه x در هر عددی ضرب می شود، به صورت زیر عمل کنید: دوره استاندارد این را تعیین کنید کارکرد(مثلاً برای cos 2P است). سپس آن را قبل از متغیر تقسیم کنید. این کوتاه ترین دوره مورد نیاز خواهد بود. کاهش دوره به وضوح در نمودار قابل مشاهده است: دقیقاً به همان تعداد ضرب در زاویه زیر علامت مثلثاتی است. کارکرد.
اگر عبارت شما دارای دو دوره ای است کارکردبا ضرب در یکدیگر، کوچکترین دوره را برای هر یک به طور جداگانه پیدا کنید. سپس کمترین عامل مشترک را برای آنها تعیین کنید. به عنوان مثال، برای دوره های P و 2/3P، کوچکترین فاکتور مشترک 3P خواهد بود (هر دو P و 2/3P باقیمانده ندارد).
محاسبه میانگین حقوق کارکنان برای محاسبه مزایای از کار افتادگی موقت و پرداخت هزینه سفرهای کاری ضروری است. میانگین درآمد متخصصان بر اساس زمان واقعی کار محاسبه می شود و به حقوق، کمک هزینه و پاداش مشخص شده در جدول کارکنان بستگی دارد.
در درخواست شما!
7. کوچکترین دوره مثبت تابع را پیدا کنید: y=2cos(0.2x+1).
بیایید این قانون را اعمال کنیم: اگر تابع f تناوبی باشد و دوره T داشته باشد، تابع y=Af(kx+b) که در آن A، k و b ثابت هستند و k≠0 نیز تناوبی است و دوره آن T o = T است: | k|.برای ما، T=2π کوچکترین دوره مثبت تابع کسینوس، k=0.2 است. T o = 2π:0.2=20π:2=10π را پیدا می کنیم.
9. فاصله نقطه مساوی از رئوس مربع تا صفحه آن 9 dm است. اگر ضلع مربع 8 dm باشد فاصله این نقطه تا اضلاع مربع را بیابید.
10. معادله را حل کنید: 10=|5x+5x 2 |.
از آنجایی که |10|=10 و |-10|=10، پس 2 مورد ممکن است: 1) 5x 2 +5x=10 و 2) 5x 2 +5x=-10. هر یک از تساوی ها را بر 5 تقسیم کنید و معادلات درجه دوم را حل کنید:
1) x 2 +x-2=0، ریشه ها طبق قضیه ویتا x 1 =-2، x 2 =1. 2) x 2 +x+2=0. تمایز منفی است - هیچ ریشه ای وجود ندارد.
11. معادله را حل کنید:
در سمت راست برابری، هویت لگاریتمی اصلی را اعمال می کنیم:
برابری بدست می آوریم:
بیا تصمیم بگیریم معادله درجه دوم x 2 -3x-4=0 و ریشه ها را پیدا کنید: x 1 =-1، x 2 =4.
13. معادله را حل کنید و مجموع ریشه های آن را در بازه مشخص شده پیدا کنید.
22. حل نابرابری:
سپس نابرابری به شکل tgt در می آید< 2. Построим графики уравнений: y=tgt и y=2. Выберем промежуток значений переменной t, при которых график y=tgt лежит ниже прямой у=2.
24. خط y= آ x+b بر خط راست y=2x+3 عمود است و از نقطه C(4; 5) می گذرد. معادله آن را بسازید. مستقیماگر شرط k 1 ∙k 2 =-1 باشد y=k 1 x+b 1 و y=k 2 x+b 2 بر هم عمود هستند.نتیجه می شود که آ·2=-1. خط مستقیم مورد نظر به صورت زیر خواهد بود: y=(-1/2) x+b. در عوض مقدار b را در معادله خط مستقیم خود خواهیم یافت ایکسو درمختصات نقطه C را جایگزین می کنیم.
5=(-1/2) 4+b ⇒ 5=-2+b ⇒ b=7. سپس معادله را بدست می آوریم: y=(-1/2)x+7.
25. چهار ماهیگیر A، B، C و D در مورد صید خود افتخار کردند:
1. D بیشتر از C گرفتار شد.
2. مجموع صیدهای A و B برابر است با مجموع صیدهای C و D;
3. الف و د با هم کمتر از ب و ج با هم گرفت. صید ماهیگیران را به ترتیب نزولی ثبت کنید.
ما داریم: 1)
D>C; 2)
A+B=C+D; 3)
A+D