Come costruire una parabola? Esistono diversi modi per tracciare un grafico funzione quadratica. Ognuno di loro ha i suoi pro e contro. Consideriamo due modi.
Iniziamo tracciando una funzione quadratica della forma y=x²+bx+c e y= -x²+bx+c.
Esempio.
Rappresentare graficamente la funzione y=x²+2x-3.
Soluzione:
y=x²+2x-3 è una funzione quadratica. Il grafico è una parabola con i rami verso l'alto. Coordinate del vertice della parabola
Dal vertice (-1;-4) costruiamo un grafico della parabola y=x² (come dall'origine delle coordinate. Invece di (0;0) - vertice (-1;-4). Da (-1; -4) andiamo a destra di 1 unità e in alto di 1 unità, poi a sinistra di 1 e in alto di 1 poi: 2 - destra, 4 - su, 2 - sinistra, 3 - su, 3 -; a sinistra, 9 - in alto Se questi 7 punti non bastano, allora 4 a destra, 16 in alto, ecc.).
Il grafico della funzione quadratica y= -x²+bx+c è una parabola i cui rami sono diretti verso il basso. Per costruire un grafico cerchiamo le coordinate del vertice e da esso costruiamo una parabola y= -x².
Esempio.
Rappresentare graficamente la funzione y= -x²+2x+8.
Soluzione:
y= -x²+2x+8 è una funzione quadratica. Il grafico è una parabola con i rami verso il basso. Coordinate del vertice della parabola
Dall'alto costruiamo una parabola y= -x² (1 - a destra, 1- in basso; 1 - a sinistra, 1 - in basso; 2 - a destra, 4 - in basso; 2 - a sinistra, 4 - in basso, ecc.):
Questo metodo ti permette di costruire una parabola velocemente e non è difficile se sai come rappresentare graficamente le funzioni y=x² e y= -x². Svantaggio: se le coordinate del vertice sono numeri frazionari, non è molto conveniente costruire un grafico. Se hai bisogno di sapere valori esatti punti di intersezione del grafico con l'asse Ox, dovrai inoltre risolvere l'equazione x²+bx+c=0 (o -x²+bx+c=0), anche se questi punti possono essere determinati direttamente dal disegno.
Un altro modo per costruire una parabola è per punti, ovvero puoi trovare diversi punti sul grafico e tracciare una parabola attraverso di essi (tenendo conto che la retta x=xₒ è il suo asse di simmetria). Di solito per questo prendono il vertice della parabola, i punti di intersezione del grafico con gli assi delle coordinate e 1-2 punti aggiuntivi.
Disegna un grafico della funzione y=x²+5x+4.
Soluzione:
y=x²+5x+4 è una funzione quadratica. Il grafico è una parabola con i rami verso l'alto. Coordinate del vertice della parabola
cioè il vertice della parabola è il punto (-2,5; -2,25).
Stanno cercando. Nel punto di intersezione con l'asse del Bue y=0: x²+5x+4=0. Le radici dell'equazione quadratica x1=-1, x2=-4, cioè abbiamo due punti sul grafico (-1; 0) e (-4; 0).
Nel punto di intersezione del grafico con l'asse Oy x=0: y=0²+5∙0+4=4. Abbiamo ottenuto il punto (0; 4).
Per chiarire il grafico, puoi trovare un punto aggiuntivo. Prendiamo x=1, quindi y=1²+5∙1+4=10, ovvero un altro punto sul grafico è (1; 10). Contrassegniamo questi punti sul piano delle coordinate. Tenendo conto della simmetria della parabola rispetto alla linea che passa per il suo vertice, segniamo altri due punti: (-5; 6) e (-6; 10) e disegniamo una parabola attraverso di essi:
Rappresentare graficamente la funzione y= -x²-3x.
Soluzione:
y= -x²-3x è una funzione quadratica. Il grafico è una parabola con i rami verso il basso. Coordinate del vertice della parabola
Il vertice (-1,5; 2,25) è il primo punto della parabola.
Nei punti di intersezione del grafico con l'asse x y=0, cioè risolviamo l'equazione -x²-3x=0. Le sue radici sono x=0 e x=-3, cioè (0;0) e (-3;0) - altri due punti sul grafico. Il punto (o; 0) è anche il punto di intersezione della parabola con l'asse delle ordinate.
A x=1 y=-1²-3∙1=-4, cioè (1; -4) è un punto aggiuntivo per il grafico.
Costruire una parabola partendo da punti è un metodo più laborioso rispetto al primo. Se la parabola non interseca l'asse del Bue, punti aggiuntivi ne servirà di più.
Prima di continuare a costruire grafici di funzioni quadratiche della forma y=ax²+bx+c, consideriamo la costruzione di grafici di funzioni utilizzando trasformazioni geometriche. È anche più conveniente costruire grafici di funzioni della forma y=x²+c utilizzando una di queste trasformazioni: la traslazione parallela.
Categoria: |Note importanti!
1. Se vedi gobbledygook invece delle formule, svuota la cache. Come farlo nel tuo browser è scritto qui:
2. Prima di iniziare a leggere l'articolo, presta maggiormente attenzione al nostro navigatore risorsa utile Per
Per capire cosa verrà scritto qui, devi sapere bene cos'è una funzione quadratica e con cosa viene utilizzata. Se ti consideri un professionista quando si tratta di funzioni quadratiche, benvenuto. Ma in caso contrario dovresti leggere il thread.
Cominciamo con uno piccolo controlli:
- Che aspetto ha una funzione quadratica in forma generale (formula)?
- Come si chiama il grafico di una funzione quadratica?
- In che modo il coefficiente principale influenza il grafico di una funzione quadratica?
Se sei riuscito a rispondere subito a queste domande, continua a leggere. Se almeno una domanda ha causato difficoltà, vai a.
Quindi sai già come gestire una funzione quadratica, analizzarne il grafico e costruire un grafico per punti.
Bene, eccolo qui: .
Ricordiamo brevemente cosa fanno probabilità.
- Il coefficiente principale è responsabile della “ripidità” della parabola, o, in altre parole, della sua larghezza: maggiore è la parabola più stretta (più ripida), mentre più piccola è la parabola più larga (piatta).
- Il termine libero è la coordinata dell'intersezione della parabola con l'asse delle ordinate.
- E il coefficiente è in qualche modo responsabile dello spostamento della parabola dal centro delle coordinate. Parliamo di questo in modo più dettagliato ora.
Da dove iniziamo sempre a costruire una parabola? Qual è il suo punto distintivo?
Questo vertice. Ti ricordi come trovare le coordinate del vertice?
La ricerca dell'ascissa avviene mediante la seguente formula:
In questo modo: di Di più, quelli A sinistra si muove il vertice della parabola.
L'ordinata del vertice si trova sostituendo nella funzione:
Inseriscilo e fai i conti da solo. Quello che è successo?
Se fai tutto correttamente e semplifichi il più possibile l'espressione risultante, otterrai:
Si scopre che ancora di più modulo, quelli più alto Volere vertice parabole.
Passiamo finalmente a tracciare il grafico.
Il modo più semplice è costruire una parabola partendo dall'alto.
Esempio:
Costruisci un grafico della funzione.
Soluzione:
Per prima cosa determiniamo i coefficienti: .
Ora calcoliamo le coordinate del vertice:
Ora ricorda: tutte le parabole con lo stesso coefficiente principale sembrano uguali. Ciò significa che se costruiamo una parabola e ne spostiamo il vertice in un punto, otterremo il grafico che ci occorre:
Semplice, vero?
Rimane solo una domanda: come disegnare rapidamente una parabola? Anche se disegniamo una parabola con il vertice nell'origine, dobbiamo comunque costruirla punto per punto, e questo è lungo e scomodo. Ma tutte le parabole sembrano uguali, forse c'è un modo per velocizzare il loro disegno?
Quando ero a scuola, il mio insegnante di matematica disse a tutti di ritagliare dal cartone uno stencil a forma di parabola in modo che potessero disegnarlo velocemente. Ma non potrai andare in giro con uno stencil ovunque e non ti sarà permesso di portarlo all'esame. Ciò significa che non utilizzeremo oggetti estranei, ma cercheremo uno schema.
Consideriamo la parabola più semplice. Costruiamolo punto per punto:
Questo è lo schema qui. Se dal vertice ci spostiamo a destra (lungo l'asse) di e verso l'alto (lungo l'asse) di, arriveremo al punto della parabola. Inoltre: se da questo punto ci spostiamo a destra e in alto, arriveremo nuovamente al punto della parabola. Avanti: avanti e avanti. Qual è il prossimo? Avanti e avanti. E così via: spostane uno a destra e il successivo numero dispari in alto. Quindi facciamo lo stesso con il ramo sinistro (dopo tutto, la parabola è simmetrica, cioè i suoi rami sembrano uguali):
Ottimo, questo ti aiuterà a costruire qualsiasi parabola a partire da un vertice con un coefficiente iniziale uguale a. Ad esempio, abbiamo imparato che il vertice di una parabola è in un punto. Costruisci (tu stesso, su carta) questa parabola.
Costruito?
Dovrebbe sembrare come questo:
Ora colleghiamo i punti risultanti:
È tutto.
OK, bene, ora possiamo costruire solo parabole con?
Ovviamente no. Ora scopriamo cosa fare con loro, se.
Diamo un'occhiata ad alcuni casi tipici.
Ottimo, hai imparato a disegnare una parabola, ora facciamo pratica utilizzando le funzioni reali.
Quindi, disegna i grafici di queste funzioni:
Risposte:
3. In alto: .
Ti ricordi cosa fare se il coefficiente senior è inferiore?
Guardiamo il denominatore della frazione: è uguale. Quindi ci muoveremo in questo modo:
- proprio sopra
- proprio sopra
- proprio sopra
e anche a sinistra:
4. In alto: .
Oh, cosa possiamo fare al riguardo? Come misurare le celle se il vertice si trova da qualche parte tra le linee?...
E imbrogliamo. Disegniamo prima una parabola e solo dopo spostiamo il suo vertice in un punto. No, facciamo qualcosa di ancora più astuto: disegniamo una parabola, e poi spostare gli assi:- SU giù, a - su Giusto:
Questa tecnica è molto comoda nel caso di qualsiasi parabola, ricordatelo.
Ti ricordo che possiamo rappresentare la funzione in questa forma:
Per esempio: .
Cosa ci dà questo?
Il fatto è che il numero sottratto tra parentesi () è l'ascissa del vertice della parabola, e il termine fuori parentesi () è l'ordinata del vertice.
Ciò significa che, avendo costruito una parabola, avrai semplicemente bisogno spostare l'asse a sinistra e l'asse verso il basso.
Esempio: costruiamo il grafico di una funzione.
Selezioniamo un quadrato completo:
Che numero detratto tra parentesi? Questo (e non come puoi decidere senza pensare).
Quindi, costruiamo una parabola:
Ora spostiamo l'asse verso il basso, cioè verso l'alto:
E ora - a sinistra, cioè a destra:
È tutto. È come spostare una parabola con il suo vertice dall'origine a un punto, solo che l'asse rettilineo è molto più facile da spostare rispetto a una parabola curva.
Ora, come al solito, io stesso:
E non dimenticare di cancellare i vecchi assi con una gomma!
sono come risposte Per verificare ti scrivo le ordinate dei vertici di queste parabole:
È andato tutto bene?
Se sì, allora sei fantastico! Saper maneggiare una parabola è molto importante e utile, e qui abbiamo scoperto che non è affatto difficile.
COSTRUZIONE DI UN GRAFICO DI UNA FUNZIONE QUADRATICA. BREVEMENTE SULLE COSE PRINCIPALI
Funzione quadratica- una funzione della forma, dove e sono numeri (coefficienti), - un termine libero.
Il grafico di una funzione quadratica è una parabola.
Vertice della parabola:
, cioè. Quanto più grande è \displaystyle b , tanto più a sinistra si sposta il vertice della parabola.
Lo sostituiamo nella funzione e otteniamo:
, cioè. \displaystyle b è maggiore in valore assoluto, maggiore sarà la parte superiore della parabola
Il termine libero è la coordinata dell'intersezione della parabola con l'asse delle ordinate.
Bene, l'argomento è finito. Se stai leggendo queste righe significa che sei molto figo.
Perché solo il 5% delle persone è in grado di padroneggiare qualcosa da solo. E se leggi fino alla fine, allora sei in questo 5%!
Ora la cosa più importante.
Hai capito la teoria su questo argomento. E, ripeto, questo... è semplicemente fantastico! Sei già migliore della stragrande maggioranza dei tuoi coetanei.
Il problema è che questo potrebbe non bastare...
Per quello?
Per completamento avvenuto con successo Esame di Stato Unificato, per l'ammissione all'università con un budget limitato e, SOPRATTUTTO, per la vita.
Non ti convincerò di nulla, dirò solo una cosa...
Persone che hanno ricevuto una buona educazione, guadagna molto di più di chi non lo ha ricevuto. Questa è statistica.
Ma questa non è la cosa principale.
La cosa principale è che sono PIÙ FELICI (esistono studi del genere). Forse perché davanti a loro si aprono molte più opportunità e la vita diventa più luminosa? Non lo so...
Ma pensa tu stesso...
Cosa serve per essere sicuri di essere migliori degli altri all'Esame di Stato Unificato e, in definitiva, essere... più felici?
PRENDI LA TUA MANO RISOLVENDO PROBLEMI SU QUESTO ARGOMENTO.
Non ti verrà chiesta teoria durante l'esame.
Avrai bisogno risolvere problemi contro il tempo.
E, se non li hai risolti (MOLTO!), sicuramente commetterai uno stupido errore da qualche parte o semplicemente non avrai tempo.
È come nello sport: devi ripeterlo molte volte per vincere con certezza.
Trovi la collezione dove vuoi, necessariamente con soluzioni, analisi dettagliata e decidere, decidere, decidere!
Puoi utilizzare le nostre attività (facoltative) e noi, ovviamente, le consigliamo.
Per migliorare nell'utilizzo delle nostre attività, devi contribuire a prolungare la vita del libro di testo YouClever che stai attualmente leggendo.
Come? Ci sono due opzioni:
- Sblocca tutte le attività nascoste in questo articolo -
- Sblocca l'accesso a tutte le attività nascoste in tutti i 99 articoli del libro di testo - Acquista un libro di testo - 499 RUR
Sì, abbiamo 99 articoli di questo tipo nel nostro libro di testo e l'accesso a tutte le attività e a tutti i testi nascosti in essi contenuti può essere aperto immediatamente.
L'accesso a tutte le attività nascoste è fornito per TUTTA la vita del sito.
Insomma...
Se non ti piacciono i nostri compiti, trovane altri. Basta non fermarsi alla teoria.
“Capire” e “posso risolvere” sono abilità completamente diverse. Hai bisogno di entrambi.
Trova i problemi e risolvili!
Una funzione quadratica è una funzione della forma:
y=a*(x^2)+b*x+c,
dove a è il coefficiente per il grado più alto di incognita x,
b - coefficiente per x sconosciuto,
e c è un membro gratuito.
Il grafico di una funzione quadratica è una curva chiamata parabola. Forma generale La parabola è mostrata nella figura seguente.
Fig.1 Vista generale della parabola.
Esistono diversi modi per rappresentare graficamente una funzione quadratica. Ne vedremo i principali e i più generali.
Algoritmo per tracciare una funzione quadratica y=a*(x^2)+b*x+c
1. Costruisci un sistema di coordinate, contrassegna un segmento unitario ed etichetta gli assi delle coordinate.
2. Determinare la direzione dei rami della parabola (su o giù).
Per fare ciò, devi guardare il segno del coefficiente a. Se c'è un vantaggio, i rami sono diretti verso l'alto, se c'è un meno, i rami sono diretti verso il basso.
3. Determina la coordinata x del vertice della parabola.
Per fare ciò, è necessario utilizzare la formula Xvertex = -b/2*a.
4. Determina la coordinata al vertice della parabola.
Per fare ciò, sostituisci nell'equazione Uvershiny = a*(x^2)+b*x+c invece di x, il valore di Xverhiny trovato nel passaggio precedente.
5. Traccia il punto risultante sul grafico e traccia un asse di simmetria attraverso di esso, parallelo all'asse delle coordinate Oy.
6. Trova i punti di intersezione del grafico con l'asse del bue.
Per fare questo è necessario risolvere equazione quadrata a*(x^2)+b*x+c = 0 utilizzando uno dei metodi noti. Se l'equazione non ha radici reali, il grafico della funzione non interseca l'asse Ox.
7. Trova le coordinate del punto di intersezione del grafico con l'asse Oy.
Per fare ciò, sostituiamo il valore x=0 nell'equazione e calcoliamo il valore di y. Segniamo questo e un punto ad esso simmetrico sul grafico.
8. Trova le coordinate di un punto arbitrario A(x,y)
Per fare ciò, scegli un valore arbitrario per la coordinata x e sostituiscilo nella nostra equazione. A questo punto otteniamo il valore di y. Traccia il punto sul grafico. E segna anche un punto sul grafico che sia simmetrico al punto A(x,y).
9. Collega i punti ottenuti sul grafico con una linea morbida e continua il grafico oltre punti estremi, fino alla fine dell'asse delle coordinate. Etichetta il grafico sulla linea guida o, se lo spazio lo consente, lungo il grafico stesso.
Esempio di plottaggio
Ad esempio, tracciamo una funzione quadratica data dall'equazione y=x^2+4*x-1
1. Disegna gli assi delle coordinate, etichettali e contrassegna un segmento unitario.
2. Valori dei coefficienti a=1, b=4, c= -1. Poiché a=1, che è maggiore di zero, i rami della parabola sono diretti verso l'alto.
3. Determina la coordinata X del vertice della parabola Xvertices = -b/2*a = -4/2*1 = -2.
4. Determina la coordinata Y del vertice della parabola
Vertici = a*(x^2)+b*x+c = 1*((-2)^2) + 4*(-2) - 1 = -5.
5. Segna il vertice e disegna l'asse di simmetria.
6. Trova i punti di intersezione del grafico della funzione quadratica con l'asse Ox. Risolviamo l'equazione quadratica x^2+4*x-1=0.
x1=-2-√3 x2 = -2+√3. Contrassegniamo i valori ottenuti sul grafico.
7. Trova i punti di intersezione del grafico con l'asse Oy.
x=0; y=-1
8. Scegli un punto arbitrario B. Lascia che abbia coordinata x=1.
Allora y=(1)^2 + 4*(1)-1= 4.
9. Collega i punti ottenuti e firma il grafico.
Come mostra la pratica, i compiti sulle proprietà e sui grafici di una funzione quadratica causano serie difficoltà. Questo è abbastanza strano, perché studiano la funzione quadratica in terza media, e poi per tutto il primo trimestre della terza media “tormentano” le proprietà della parabola e costruiscono i suoi grafici per vari parametri.
Ciò è dovuto al fatto che costringendo gli studenti a costruire parabole, praticamente non dedicano tempo alla “lettura” dei grafici, cioè non si esercitano a comprendere le informazioni ricevute dall'immagine. Apparentemente, si presume che, dopo aver costruito una dozzina o due grafici, uno studente intelligente scoprirà e formulerà lui stesso la relazione tra i coefficienti nella formula e aspetto arti grafiche. In pratica questo non funziona. Per una tale generalizzazione è necessaria una seria esperienza nella mini-ricerca matematica, che la maggior parte degli studenti della nona elementare, ovviamente, non possiede. Nel frattempo, l'Ispettorato di Stato propone di determinare i segni dei coefficienti utilizzando il programma.
Non chiederemo l'impossibile agli scolari e offriremo semplicemente uno degli algoritmi per risolvere tali problemi.
Quindi, una funzione del modulo y = asse 2 + bx + c detto quadratico, il suo grafico è una parabola. Come suggerisce il nome, il termine principale è ascia 2. Questo è UN non dovrebbe essere uguale a zero, i restanti coefficienti ( B E Con) può essere uguale a zero.
Vediamo come i segni dei suoi coefficienti influenzano l'aspetto di una parabola.
La dipendenza più semplice per il coefficiente UN. La maggior parte degli scolari risponde con sicurezza: “se UN> 0, allora i rami della parabola sono diretti verso l'alto, e se UN < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой UN > 0.
y = 0,5x2 - 3x + 1
In questo caso UN = 0,5
E ora per UN < 0:
y = - 0,5x2 - 3x + 1
In questo caso UN = - 0,5
Impatto del coefficiente ConÈ anche abbastanza facile da seguire. Immaginiamo di voler trovare il valore di una funzione in un punto X= 0. Sostituisci zero nella formula:
sì = UN 0 2 + B 0 + C = C. Si scopre che y = c. Questo è Conè l'ordinata del punto di intersezione della parabola con l'asse y. In genere, questo punto è facile da trovare sul grafico. E determinare se si trova sopra lo zero o sotto. Questo è Con> 0 o Con < 0.
Con > 0:
y = x2 + 4x + 3
Con < 0
y = x2 + 4x - 3
Di conseguenza, se Con= 0, allora la parabola passerà necessariamente per l'origine:
y = x2 + 4x
Più difficile con il parametro B. Il punto in cui lo troveremo non dipende solo da B ma anche da UN. Questo è il vertice della parabola. La sua ascissa (coordinata dell'asse X) si trova dalla formula xin = - b/(2a). Così, b = - 2ax pollici. Cioè, procediamo come segue: troviamo il vertice della parabola sul grafico, determiniamo il segno della sua ascissa, cioè guardiamo a destra dello zero ( x pollici> 0) o verso sinistra ( x pollici < 0) она лежит.
Ma non è tutto. Bisogna prestare attenzione anche al segno del coefficiente UN. Cioè, guarda dove sono diretti i rami della parabola. E solo dopo, secondo la formula b = - 2ax pollici determinare il segno B.
Diamo un'occhiata ad un esempio:
I rami sono diretti verso l'alto, il che significa UN> 0, la parabola interseca l'asse A sotto zero significa Con < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x pollici> 0. Quindi b = - 2ax pollici = -++ = -. B < 0. Окончательно имеем: UN > 0, B < 0, Con < 0.
Nelle lezioni di matematica a scuola, hai già conosciuto le proprietà e il grafico più semplici di una funzione y = x2. Ampliamo le nostre conoscenze su funzione quadratica.
Esercizio 1.
Rappresentare graficamente la funzione y = x2. Scala: 1 = 2 cm Segna un punto sull'asse Oy F(0; 1/4). Utilizzando un compasso o una striscia di carta, misurare la distanza dal punto F ad un certo punto M parabole. Quindi appuntare la striscia nel punto M e ruotarla attorno a quel punto fino a quando non sarà verticale. L'estremità della striscia cadrà leggermente al di sotto dell'asse x (Fig. 1). Segna sulla striscia quanto si estende oltre l'asse x. Ora prendi un altro punto sulla parabola e ripeti nuovamente la misurazione. Di quanto è sceso il bordo della striscia sotto l'asse x?
Risultato: non importa quale punto della parabola y = x 2 prendi, la distanza da questo punto al punto F(0; 1/4) sarà maggiore della distanza dallo stesso punto all'asse delle ascisse sempre dello stesso numero - 1/4.
Possiamo dirlo diversamente: la distanza da qualsiasi punto della parabola al punto (0; 1/4) è uguale alla distanza dallo stesso punto della parabola alla retta y = -1/4. Questo meraviglioso punto si chiama F(0; 1/4). messa a fuoco parabole y = x 2 e linea retta y = -1/4 – preside questa parabola. Ogni parabola ha una direttrice e un fuoco.
Proprietà interessanti della parabola:
1. Qualsiasi punto della parabola è equidistante da un punto, chiamato fuoco della parabola, e da una linea retta, chiamata sua direttrice.
2. Se ruoti una parabola attorno all'asse di simmetria (ad esempio, la parabola y = x 2 attorno all'asse Oy), otterrai una superficie molto interessante chiamata paraboloide di rivoluzione.
La superficie del liquido in un recipiente rotante ha la forma di un paraboloide di rivoluzione. Puoi vedere questa superficie se mescoli vigorosamente con un cucchiaio in un bicchiere di tè incompleto, quindi rimuovi il cucchiaio.
3. Se lanci una pietra nel vuoto con una certa angolazione rispetto all'orizzonte, volerà in una parabola (Fig. 2).
4. Se intersechi la superficie di un cono con un piano parallelo a una qualsiasi delle sue generatrici, la sezione trasversale risulterà in una parabola (figura 3).
5. I parchi di divertimento a volte hanno un giro divertente chiamato Paraboloid of Wonders. A tutti coloro che si trovano all'interno del paraboloide rotante sembra di stare sul pavimento, e il resto delle persone si aggrappa in qualche modo miracolosamente alle pareti.
6. B telescopi a specchio Vengono utilizzati anche specchi parabolici: la luce di una stella lontana, che arriva in un raggio parallelo, cadendo sullo specchio del telescopio, viene raccolta a fuoco.
7. I faretti hanno solitamente uno specchio a forma di paraboloide. Se si posiziona una sorgente luminosa al fuoco di un paraboloide, i raggi riflessi dallo specchio parabolico formano un raggio parallelo.
Rappresentazione grafica di una funzione quadratica
Nelle lezioni di matematica hai studiato come ottenere grafici di funzioni della forma dal grafico della funzione y = x 2:
1) y = asse 2– allungando il grafico y = x 2 lungo l'asse Oy in |a| volte (con |a|< 0 – это сжатие в 1/|a| раз, riso. 4).
2) y = x2 + n– spostamento del grafico di n unità lungo l’asse Oy, e se n > 0 allora lo spostamento è verso l’alto, e se n< 0, то вниз, (или же можно переносить ось абсцисс).
3) y = (x + m) 2– spostamento del grafico di m unità lungo l'asse Ox: se m< 0, то вправо, а если m >0, poi a sinistra, (Fig.5).
4) y = -x2– visualizzazione simmetrica rispetto all'asse Ox del grafico y = x 2 .
Diamo uno sguardo più da vicino al grafico della funzione y = a(x – m)2 + n.
Una funzione quadratica della forma y = ax 2 + bx + c può sempre essere ridotta alla forma
y = a(x – m) 2 + n, dove m = -b/(2a), n = -(b 2 – 4ac)/(4a).
Dimostriamolo.
Veramente,
y = ax2 + bx + c = a(x2 + (b/a) x + c/a) =
A(x 2 + 2x · (b/a) + b 2 /(4a 2) – b 2 /(4a 2) + c/a) =
A((x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a 2)) = a(x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a).
Introduciamo nuove notazioni.
Permettere m = -b/(2a), UN n = -(b2 – 4ac)/(4a),
quindi otteniamo y = a(x – m) 2 + n oppure y – n = a(x – m) 2.
Facciamo altre sostituzioni: sia y – n = Y, x – m = X (*).
Quindi otteniamo la funzione Y = aX 2, il cui grafico è una parabola.
Il vertice della parabola è nell'origine. X = 0; Y = 0.
Sostituendo le coordinate del vertice in (*), otteniamo le coordinate del vertice del grafico y = a(x – m) 2 + n: x = m, y = n.
Pertanto, per tracciare una funzione quadratica rappresentata come
y = a(x – m)2 + n
tramite trasformazioni si può procedere nel seguente modo:
UN) tracciare la funzione y = x 2 ;
B) per traslazione parallela lungo l'asse Ox di m unità e lungo l'asse Oy di n unità - trasferisci il vertice della parabola dall'origine al punto con le coordinate (m; n) (Fig. 6).
Trasformazioni di registrazione:
y = x 2 → y = (x – m) 2 → y = a(x – m) 2 → y = a(x – m) 2 + n.
Esempio.
Utilizzando le trasformazioni, costruisci un grafico della funzione y = 2(x – 3) 2 nel sistema di coordinate cartesiane – 2.
Soluzione.
Catena di trasformazioni:
y = x2 (1) → y = (x – 3) 2 (2) → y = 2(x – 3) 2 (3) → y = 2(x – 3) 2 – 2 (4) .
La trama è mostrata in riso. 7.
Puoi esercitarti a rappresentare graficamente le funzioni quadratiche da solo. Ad esempio, costruisci un grafico della funzione y = 2(x + 3) 2 + 2 in un sistema di coordinate utilizzando le trasformazioni. Se hai domande o desideri ricevere consigli da un insegnante, hai l'opportunità di condurre lezione gratuita di 25 minuti con un tutor online dopo la registrazione. Per ulteriore lavoro con l'insegnante, puoi scegliere il piano tariffario adatto a te.
Hai ancora domande? Non sai come rappresentare graficamente una funzione quadratica?
Per ottenere aiuto da un tutor, registrati.
La prima lezione è gratuita!
sito web, quando si copia il materiale in tutto o in parte, è richiesto un collegamento alla fonte.