Le formule di riduzione sono rapporti che permettono di passare da seno, coseno, tangente e cotangente con angoli `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi) 2 \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` alle stesse funzioni dell'angolo `\alpha`, che si trova nel primo quarto della circonferenza unitaria. Pertanto, le formule di riduzione "ci portano" a lavorare con angoli compresi tra 0 e 90 gradi, il che è molto conveniente.
In totale ci sono 32 formule di riduzione. Torneranno senza dubbio utili all'esame, agli esami, ai test. Ma ti avvertiremo immediatamente che non è necessario memorizzarli! Devi dedicare un po 'di tempo e comprendere l'algoritmo per la loro applicazione, quindi non sarà difficile per te derivare l'uguaglianza necessaria al momento giusto.
Per prima cosa, annotiamo tutte le formule di riduzione:
Per angolo (`\frac (\pi)2 \pm \alpha`) o (`90^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos \ \alpha;` ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha`
`cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=sin \ \alpha;` ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha`
`tg(\frac (\pi)2 - \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (\pi)2 - \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
Per angolo (`\pi \pm \alpha`) o (`180^\circ \pm \alpha`):
`sin(\pi - \alpha)=sin \ \alpha;` ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(\pi - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` cos(\pi + \alpha)=-cos \ \alpha`
`tg(\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`
Per l'angolo (`\frac (3\pi)2 \pm \alpha`) o (`270^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` sin(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-cos \ \alpha`
`cos(\frac (3\pi)2 - \alpha)=-sin \ \alpha;` ` cos(\frac (3\pi)2 + \alpha)=sin \ \alpha`
`tg(\frac (3\pi)2 - \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (3\pi)2 - \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
Per angolo (`2\pi \pm \alpha`) o (`360^\circ \pm \alpha`):
`sin(2\pi - \alpha)=-sin \ \alpha;` ` sin(2\pi + \alpha)=sin \ \alpha`
`cos(2\pi - \alpha)=cos \ \alpha;` ` cos(2\pi + \alpha)=cos \ \alpha`
`tg(2\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(2\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(2\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(2\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`
Spesso puoi trovare formule di riduzione sotto forma di tabella, dove gli angoli sono scritti in radianti:
Per usarlo, devi selezionare la riga con la funzione di cui abbiamo bisogno e la colonna con l'argomento desiderato. Ad esempio, per utilizzare una tabella per scoprire quale sarà ` sin(\pi + \alpha)`, è sufficiente trovare la risposta all'intersezione della riga ` sin \beta` e della colonna ` \pi + \ alfa`. Otteniamo ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`.
E la seconda tabella simile, dove gli angoli sono scritti in gradi:
Regola mnemonica per lanciare formule o come ricordarle
Come abbiamo già accennato, non è necessario memorizzare tutti i rapporti di cui sopra. Se li hai guardati da vicino, probabilmente hai notato alcuni schemi. Ci permettono di formulare una regola mnemonica (mnemonic - memorize), con la quale puoi facilmente ottenere una qualsiasi delle formule di riduzione.
Notiamo subito che per applicare questa regola bisogna essere ben in grado di determinare (o ricordare) i segni delle funzioni trigonometriche in diversi quarti della circonferenza unitaria. 
L'innesto stesso contiene 3 fasi:
- L'argomento della funzione deve essere nella forma `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha`, `2\pi \ pm \alpha`, dove `\alpha` è sempre un angolo acuto (da 0 a 90 gradi).
- Per gli argomenti `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha` funzione trigonometrica dell'espressione convertita diventa una cofunzione, cioè l'opposto (seno in coseno, tangente in cotangente e viceversa). Per gli argomenti `\pi \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` la funzione non cambia.
- Il segno della funzione originale è determinato. La funzione risultante sul lato destro avrà lo stesso segno.
Per vedere come questa regola può essere applicata nella pratica, trasformiamo alcune espressioni:
1. `cos(\pi + \alpha)`.
La funzione non è invertita. L'angolo ` \pi + \alpha` è nel terzo quadrante, il coseno in questo quadrante ha un segno "-", quindi anche la funzione convertita avrà un segno "-".
Risposta: ` cos(\pi + \alpha)= - cos \alpha`
2. `sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)`.
Secondo la regola mnemonica, la funzione sarà invertita. L'angolo `\frac (3\pi)2 - \alpha` è nel terzo quadrante, il seno qui ha un segno "-", quindi anche il risultato sarà con un segno "-".
Risposta: `sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)= - cos \alpha`
3. `cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)`.
`cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (6\pi)2+\frac (\pi)2-\alpha)=cos (3\pi+(\frac(\pi) )2-\alpha))`. Rappresentiamo `3\pi` come `2\pi+\pi`. `2\pi` è il periodo della funzione.
Importante: le funzioni `cos \alpha` e `sin \alpha` hanno un periodo di `2\pi` o `360^\circ`, i loro valori non cambieranno se l'argomento viene aumentato o diminuito di questi valori.
Sulla base di ciò, la nostra espressione può essere scritta come segue: `cos (\pi+(\frac(\pi)2-\alpha)`. Applicando due volte la regola mnemonica, otteniamo: `cos (\pi+(\frac(\ pi) 2-\alpha)= - cos (\frac(\pi)2-\alpha)= - sin \alpha`.
Risposta: `cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=- sin \alpha`.
regola del cavallo
Il secondo punto della suddetta regola mnemonica è anche chiamato la regola del cavallo delle formule di riduzione. Mi chiedo perché i cavalli?
Quindi abbiamo funzioni con argomenti `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha`, `2\pi \ pm \alpha`, i punti `\frac (\pi)2`, `\pi`, `\frac (3\pi)2`, `2\pi` sono punti chiave, si trovano sugli assi delle coordinate. `\pi` e `2\pi` sono sull'asse x orizzontale, e `\frac (\pi)2` e `\frac (3\pi)2` sono sull'asse y verticale.
Ci poniamo la domanda: “La funzione si trasforma in una cofunzione?”. Per rispondere a questa domanda, devi muovere la testa lungo l'asse su cui si trova il punto chiave.
Cioè, per argomenti con punti chiave situati sull'asse orizzontale, rispondiamo "no" scuotendo la testa ai lati. E per gli angoli con punti chiave situati sull'asse verticale, rispondiamo "sì" annuendo dall'alto verso il basso, come un cavallo 🙂
Ti consigliamo di guardare un video tutorial in cui l'autore spiega in dettaglio come memorizzare le formule di riduzione senza memorizzarle.
Esempi pratici di utilizzo di formule di casting
L'uso delle formule di riduzione inizia nelle classi 9 e 10. Molte attività con il loro utilizzo vengono sottoposte all'esame. Ecco alcune delle attività in cui dovrai applicare queste formule:
- compiti per risolvere un triangolo rettangolo;
- conversione di espressioni trigonometriche numeriche e alfabetiche, calcolo dei loro valori;
- problemi stereometrici.
Esempio 1. Utilizzare le formule di riduzione per calcolare a) `sin 600^\circ`, b) `tg 480^\circ`, c) `cos 330^\circ`, d) `sin 240^\circ`.
Soluzione: a) `sin 600^\circ=sin (2 \cdot 270^\circ+60^\circ)=-cos 60^\circ=-\frac 1 2`;
b) `tg 480^\circ=tg (2 \cdot 270^\circ-60^\circ)=ctg 60^\circ=\frac(\sqrt 3)3`;
c) `cos 330^\circ=cos (360^\circ-30^\circ)=cos 30^\circ=\frac(\sqrt 3)2`;
d) `sin 240^\circ=sin (270^\circ-30^\circ)=-cos 30^\circ=-\frac(\sqrt 3)2`.
Esempio 2. Dopo aver espresso il coseno attraverso il seno usando le formule di riduzione, confrontare i numeri: 1) `sin \frac (9\pi)8` e `cos \frac (9\pi)8`; 2) `sin \frac (\pi)8` e `cos \frac (3\pi)10`.
Soluzione: 1)`sin \frac (9\pi)8=sin (\pi+\frac (\pi)8)=-sin \frac (\pi)8`
`cos \frac (9\pi)8=cos (\pi+\frac (\pi)8)=-cos \frac (\pi)8=-sin \frac (3\pi)8`
`-sin \frac (\pi)8> -sin \frac (3\pi)8`
`sin \frac (9\pi)8>cos \frac (9\pi)8`.
2) `cos \frac (3\pi)10=cos (\frac (\pi)2-\frac (\pi)5)=sin \frac (\pi)5`
`peccato \frac (\pi)8 `peccato \frac (\pi)8 Per prima cosa dimostriamo due formule per il seno e il coseno dell'argomento `\frac (\pi)2 + \alpha`: ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha` e ` cos( \frac (\ pi)2 + \alpha)=-sin \\alpha`. Il resto è derivato da loro. Prendi una circonferenza unitaria e punta A su di essa con coordinate (1,0). Lasciare dopo l'accensione Dalla definizione di tangente e cotangente, otteniamo ` tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (sin(\frac (\pi)2 + \alpha))(cos(\frac (\pi )2 + \alpha))=\frac (cos \alpha)(-sin \alpha)=-ctg \alpha` e ` ctg(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (cos(\frac (\ pi)2 + \alpha))(sin(\frac (\pi)2 + \alpha))=\frac (-sin \alpha)(cos \alpha)=-tg \alpha`, che dimostra la riduzione formule per la tangente e la cotangente dell'angolo `\frac (\pi)2 + \alpha`. Per dimostrare le formule con l'argomento `\frac (\pi)2 - \alpha`, è sufficiente rappresentarlo come `\frac (\pi)2 + (-\alpha)` e seguire lo stesso percorso di cui sopra. Ad esempio, `cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (\pi)2 + (-\alpha))=-sin(-\alpha)=sin(\alpha)`. Gli angoli `\pi + \alpha` e `\pi - \alpha` possono essere rappresentati come `\frac (\pi)2 +(\frac (\pi)2+\alpha)` e `\frac (\pi ) 2 +(\frac (\pi)2-\alpha)` rispettivamente. E `\frac (3\pi)2 + \alpha` e `\frac (3\pi)2 - \alpha` come `\pi +(\frac (\pi)2+\alpha)` e `\pi +(\frac (\pi)2-\alpha)`. In questo articolo, daremo uno sguardo completo a . Le identità trigonometriche di base sono uguaglianze che stabiliscono una relazione tra seno, coseno, tangente e cotangente di un angolo e consentono di trovare una qualsiasi di queste funzioni trigonometriche attraverso un'altra nota. Elenchiamo subito le principali identità trigonometriche, che analizzeremo in questo articolo. Li annotiamo in una tabella, e di seguito diamo la derivazione di queste formule e diamo le spiegazioni necessarie. Navigazione della pagina. A volte non parlano delle principali identità trigonometriche elencate nella tabella sopra, ma di una sola identità trigonometrica di base Tipo Cioè, è l'uguaglianza che è di particolare interesse, a cui è stato dato il nome della principale identità trigonometrica. Prima di dimostrare l'identità trigonometrica di base, diamo la sua formulazione: la somma dei quadrati del seno e del coseno di un angolo è identicamente uguale a uno. Ora dimostriamolo. L'identità trigonometrica di base è molto spesso usata in trasformazione di espressioni trigonometriche. Consente di sostituire con uno la somma dei quadrati del seno e del coseno di un angolo. Non meno spesso, l'identità trigonometrica di base viene utilizzata in ordine inverso: l'unità viene sostituita dalla somma dei quadrati del seno e del coseno di qualsiasi angolo. Identità che collegano la tangente e la cotangente con il seno e il coseno di un angolo della forma e A causa di questa ovvietà delle identità e Per concludere questa sezione, va notato che le identità e Un'identità trigonometrica ancora più evidente delle due precedenti è l'identità che collega la tangente e la cotangente di un angolo della forma Dimostrazione della formula Quindi, la tangente e la cotangente di un angolo, in cui hanno senso, è. Vengono forniti i rapporti tra le principali funzioni trigonometriche: seno, coseno, tangente e cotangente formule trigonometriche. E poiché ci sono parecchie connessioni tra le funzioni trigonometriche, questo spiega anche l'abbondanza di formule trigonometriche. Alcune formule collegano le funzioni trigonometriche dello stesso angolo, altre - le funzioni di un angolo multiplo, altre - consentono di abbassare il grado, la quarta - di esprimere tutte le funzioni attraverso la tangente di un mezzo angolo, ecc. In questo articolo elenchiamo in ordine tutte le formule trigonometriche di base, sufficienti per risolvere la stragrande maggioranza dei problemi di trigonometria. Per facilità di memorizzazione e utilizzo, li raggrupperemo in base al loro scopo e li inseriremo in tabelle. Navigazione della pagina. Identità trigonometriche di base impostare la relazione tra seno, coseno, tangente e cotangente di un angolo. Seguono dalla definizione di seno, coseno, tangente e cotangente, nonché dal concetto di circonferenza unitaria. Ti permettono di esprimere una funzione trigonometrica attraverso qualsiasi altra. Per una descrizione dettagliata di queste formule trigonometriche, la loro derivazione e gli esempi di applicazione, vedere l'articolo. Formule di fusione seguono dalle proprietà di seno, coseno, tangente e cotangente, cioè riflettono la proprietà della periodicità delle funzioni trigonometriche, la proprietà della simmetria e anche la proprietà dello spostamento di un dato angolo. Queste formule trigonometriche consentono di passare dal lavorare con angoli arbitrari al lavorare con angoli che vanno da zero a 90 gradi. La logica di queste formule, una regola mnemonica per memorizzarle ed esempi della loro applicazione possono essere studiati nell'articolo. Formule di addizione trigonometrica mostrare come le funzioni trigonometriche della somma o della differenza di due angoli sono espresse in termini delle funzioni trigonometriche di questi angoli. Queste formule servono come base per la derivazione delle seguenti formule trigonometriche. Formule per doppio, triplo, ecc. angolo (sono anche chiamate formule di angoli multipli) mostrano come le funzioni trigonometriche di doppio, triplo, ecc. gli angoli () sono espressi in termini di funzioni trigonometriche di un singolo angolo. La loro derivazione si basa su formule di addizione. Informazioni più dettagliate sono raccolte nelle formule degli articoli per doppio, triplo, ecc. angolo. Formule di mezzo angolo mostrare come le funzioni trigonometriche di un mezzo angolo sono espresse in termini di coseno di un angolo intero. Queste formule trigonometriche derivano dalle formule del doppio angolo. La loro conclusione e gli esempi di applicazione possono essere trovati nell'articolo. Formule trigonometriche per gradi decrescenti sono progettati per facilitare la transizione dai poteri naturali delle funzioni trigonometriche a seni e coseni di primo grado, ma angoli multipli. In altre parole, consentono di ridurre al primo le potenze delle funzioni trigonometriche. Lo scopo principale formule di somma e differenza per funzioni trigonometriche consiste nel passaggio al prodotto di funzioni, molto utile per semplificare le espressioni trigonometriche. Queste formule sono anche ampiamente utilizzate nella risoluzione di equazioni trigonometriche, poiché consentono di fattorizzare la somma e la differenza di seno e coseno. Il passaggio dal prodotto delle funzioni trigonometriche alla somma o differenza viene effettuato attraverso le formule per il prodotto di seno, coseno e seno per coseno. Copyright di studenti intelligenti Tutti i diritti riservati. Identità trigonometriche sono uguaglianze che stabiliscono una relazione tra seno, coseno, tangente e cotangente di un angolo, che consente di trovare una qualsiasi di queste funzioni, a condizione che se ne conosca un'altra. tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha) tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1 Questa identità dice che la somma del quadrato del seno di un angolo e del quadrato del coseno di un angolo è uguale a uno, il che in pratica rende possibile calcolare il seno di un angolo quando il suo coseno è noto e viceversa . Quando si convertono espressioni trigonometriche, questa identità viene utilizzata molto spesso, il che consente di sostituire la somma dei quadrati del coseno e del seno di un angolo con uno ed eseguire anche l'operazione di sostituzione in ordine inverso. tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace Queste identità sono formate dalle definizioni di seno, coseno, tangente e cotangente. Dopotutto, se guardi, per definizione, l'ordinata di y è il seno e l'ascissa di x è il coseno. Quindi la tangente sarà uguale al rapporto \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), e il rapporto \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- sarà una cotangente. Aggiungiamo che solo per quegli angoli \alpha per i quali le funzioni trigonometriche in essi contenute hanno senso, avranno luogo le identità, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Per esempio: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)è valido per \alpha angoli diversi da \frac(\pi)(2)+\pi z, UN ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- per un angolo \alpha diverso da \pi z , z è un numero intero. tg \alpha \cdot ctg \alpha=1 Questa identità è valida solo per angoli \alpha diversi da \frac(\pi)(2) z. In caso contrario, né la cotangente né la tangente non saranno determinate. Sulla base dei punti precedenti, lo otteniamo tg \alpha = \frac(y)(x), UN ctg\alpha=\frac(x)(y). Quindi ne consegue che tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Pertanto, la tangente e la cotangente di un angolo in cui hanno senso sono numeri mutuamente reciproci. tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- la somma del quadrato della tangente dell'angolo \alpha e 1 è uguale all'inverso del quadrato del coseno di tale angolo. Questa identità è valida per tutti gli \alpha diversi da \frac(\pi)(2)+ \pi z. 1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- la somma di 1 e del quadrato della cotangente dell'angolo \alpha , è uguale all'inverso del quadrato del seno dell'angolo dato. Questa identità è valida per qualsiasi \alpha diverso da \pi z . Trova \sin \alpha e tg \alpha if \cos \alpha=-\frac12 E \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi
; Mostra soluzione Soluzione Le funzioni \sin \alpha e \cos \alpha sono collegate dalla formula \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. Sostituendo in questa formula \cos \alpha = -\frac12, noi abbiamo: \sin^(2)\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1 Questa equazione ha 2 soluzioni: \sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2) Per condizione \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi
. Nel secondo quarto, il seno è positivo, quindi \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2). Per trovare tg \alpha , usiamo la formula tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha) tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3 Trova \cos \alpha e ctg \alpha se e \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi
. Mostra soluzione Soluzione Sostituendo nella formula \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1 numero condizionale \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), noi abbiamo \left (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. Questa equazione ha due soluzioni \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14. Per condizione \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi
. Nel secondo quarto il coseno è negativo, quindi \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12. Per trovare ctg \alpha , usiamo la formula ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Conosciamo i valori corrispondenti. ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).
angolo `\alpha` andrà al punto `A_1(x, y)`, e dopo aver girato attraverso l'angolo `\frac (\pi)2 + \alpha` al punto `A_2(-y,x)` . Trascinando le perpendicolari da questi punti alla linea OX, vediamo che i triangoli `OA_1H_1` e `OA_2H_2` sono uguali, poiché le loro ipotenuse e gli angoli adiacenti sono uguali. Quindi, in base alle definizioni di seno e coseno, possiamo scrivere `sin \alpha=y`, `cos \alpha=x`, `sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=x`, `cos (\frac (\ pi)2 + \alpha)=-y`. Come si può scrivere che ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \alpha` e ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \alpha`, il che dimostra la riduzione formule per il seno e il coseno dell'angolo `\frac (\pi)2 + \alpha`.Relazione tra seno e coseno di un angolo
. La spiegazione di questo fatto è abbastanza semplice: le uguaglianze si ottengono dall'identità trigonometrica di base dopo aver diviso entrambe le sue parti per e rispettivamente, e le uguaglianze 
E 
seguire dalle definizioni di seno, coseno, tangente e cotangente. Ne parleremo più dettagliatamente nei paragrafi seguenti.Tangente e cotangente per seno e coseno
seguono immediatamente dalle definizioni di seno, coseno, tangente e cotangente. Infatti, per definizione, il seno è l'ordinata di y, il coseno è l'ascissa di x, la tangente è il rapporto tra l'ordinata e l'ascissa, cioè, 
, e la cotangente è il rapporto tra l'ascissa e l'ordinata, cioè, 
.spesso le definizioni di tangente e cotangente sono date non attraverso il rapporto tra l'ascissa e l'ordinata, ma attraverso il rapporto tra seno e coseno. Quindi la tangente di un angolo è il rapporto tra il seno e il coseno di questo angolo, e la cotangente è il rapporto tra il coseno e il seno.vale per tutti questi angoli per i quali le funzioni trigonometriche in essi hanno senso. Quindi la formula è valida per qualsiasi diverso da (altrimenti il denominatore sarà zero e non abbiamo definito la divisione per zero), e la formula - for all , diverso da , dove z è any .Relazione tra tangente e cotangente
. È chiaro che avviene per qualsiasi angolo diverso da , altrimenti non è definita né la tangente né la cotangente.molto semplice. Per definizione e da dove 
. La dimostrazione avrebbe potuto essere svolta in modo leggermente diverso. Da e , Quello 
.Identità trigonometriche di base
Formule di fusione
Formule di addizione
Formule per doppio, triplo, ecc. angolo
Formule di mezzo angolo
Formule di riduzione
Formule per la somma e differenza di funzioni trigonometriche
Formule per il prodotto di seno, coseno e seno per coseno
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Relazione tra tangente e cotangente
Relazioni tra tangente e coseno, cotangente e seno
Esempi con soluzioni a problemi utilizzando identità trigonometriche
Esempio 1
Esempio 2