La lezione video "Funzione y = cos x, sue proprietà e grafico" fornisce materiale visivo per lo studio di questo argomento. Il manuale presenta le caratteristiche della funzione, le sue proprietà, nonché le descrizioni della risoluzione dei problemi in cui viene applicata la conoscenza delle proprietà del coseno. Con l'aiuto di una lezione video, è più facile per un insegnante fornire le conoscenze richieste e sviluppare le competenze degli studenti. Materiale visivo può aiutare a migliorare l'efficacia della lezione fornendo una comprensione più profonda del materiale e una migliore memorizzazione, oltre a liberare tempo di lezione per il lavoro individuale.
L'utilizzo di una lezione video offre all'insegnante il vantaggio di presentare il materiale in modo più efficace. Il manuale può essere utilizzato solo per chiarezza, accompagnando la spiegazione dell’insegnante o come parte indipendente della lezione, dando l’opportunità all’insegnante di migliorare il lavoro individuale con gli studenti. La tracciatura dimostrata di grafici e trasformazioni utilizzando effetti di animazione diventa più comprensibile per gli studenti e li aiuta a padroneggiare le capacità di problem solving utilizzando di questo materiale. Evidenziare ed esprimere le proprietà di una funzione utilizzando gli strumenti di tutorial video ti aiuta a ricordarle meglio.
La demo inizia introducendo il nome del tema. Per costruire un grafico della funzione y = cos x si ricorda agli studenti la formula per ridurre cos x = sin (x + π/2), che indica che i grafici delle funzioni y = cos x e y = sin (x + π/2) sono identicamente uguali . Per tracciare un grafico della funzione y= sin (x+π/2), si utilizza un piano di coordinate, sull'asse delle ascisse del quale è segnato il punto -π/2. Se prendiamo questo punto come origine delle coordinate per costruire un grafico di sin x, allora questo grafico è anche un grafico della funzione y = sin (x + π/2) per l'origine delle coordinate. Cioè, il grafico della funzione y = cos x viene spostato di π/2 lungo l'asse delle ascisse del grafico della funzione y = sin x. È ovvio che anche il grafico della funzione y = cos x è una sinusoide. La sua posizione ci consente di trarre conclusioni sulle proprietà della funzione.
La prima proprietà di una funzione riguarda il dominio di definizione. Ovviamente il dominio di definizione della funzione sarà l'intera retta numerica, cioè D(f)=(- ∞;+∞).
La seconda proprietà di una funzione indica la parità della funzione. Si ricorda agli studenti il materiale studiato nella classe 9, in cui era indicata la condizione per la parità di una funzione. Per funzione pari l'uguaglianza f(-x)=f(x) è vera. Parlando della parità della funzione coseno, va notato che il grafico di questa funzione è simmetrico rispetto all'asse delle ordinate. Le proprietà della funzione possono essere dimostrate nella figura, che mostra un cerchio unitario sul piano delle coordinate. Nel primo e nel quarto quarto vengono segnati punti simmetrici rispetto all'asse delle ascisse. Il coseno è determinato dall'ascissa del punto, quindi per due punti L(t) e N(-t) le ascisse sono le stesse. Quindi cos (-t)= costo t.
La terza proprietà segna gli intervalli di decremento e aumento di una funzione. La proprietà afferma che sul segmento la funzione diminuisce, mentre sul segmento [π;2π] il coseno aumenta. La figura mostra un grafico della funzione, che mostra chiaramente l'area delle funzioni decrescenti e crescenti.
È ovvio che la funzione y = cos x aumenta su ogni segmento [π+2πk;2π+2πk]. Segmenti discendenti verso l'interno vista generale assomiglia a questo, dove k è un numero intero.
La quarta proprietà rileva che la funzione coseno è limitata sopra e sotto. Analogamente al seno, possiamo notare i valori limitati del coseno -1<= cos х<=1. Поэтому функция является ограниченной.
La quinta proprietà specifica i valori più piccoli e più grandi della funzione. In questo caso, il valore più piccolo -1 si ottiene in qualsiasi punto x=π+2πk, mentre il valore più grande 1 si ottiene in qualsiasi punto x=2πk.
La sesta proprietà indica la continuità della funzione y = cos x. La figura che mostra il grafico mostra che questa funzione non ha interruzioni nell'intero dominio di definizione.
La settima proprietà della funzione afferma che l'insieme dei valori y = cos x si trova sul segmento [-1;1].
Successivamente, vengono considerati esempi in cui è necessario utilizzare la conoscenza delle proprietà della funzione y = cos x. Nel primo esempio è necessario risolvere l'equazione cos x=1-2. La soluzione di questa equazione saranno i punti di intersezione dei grafici delle funzioni, che sono rappresentati dalle espressioni dei lati destro e sinistro dell'equazione, cioè y = cos x e y = 1-x 2. Ovviamente, il grafico della prima equazione è la sinusoide mostrata in precedenza nell'argomento. Il grafico della seconda funzione è una parabola, il cui vertice si trova nel punto (0;1). Dopo aver tracciato i grafici di ciascuna funzione, la figura di questo problema mostra che l'unico punto di intersezione dei due grafici sarà il punto B(0;1).
Nel secondo esempio, devi costruire e leggere un grafico di una funzione definita sul segmento x<π/2 выражением sinx, а на отрезке х>=π/2 per l'espressione cosx. Nella figura che accompagna la soluzione dell'esempio, sul segmento [-3π/2 è tracciato il grafico della funzione у=sinx; π/2]. In questo caso nel punto π/2 la funzione non assume valore. Sul segmento [π/2; 3π/2] viene costruito un frammento della funzione y = cos x. Ovviamente, i frammenti costruiti verranno ripetuti in tutto il dominio della definizione. Di seguito viene descritto come viene letta la funzione. Si noti che questo significa descrivere le sue proprietà. Sono elencate le proprietà di questa funzione: il dominio di definizione (-∞;+∞), l'assenza di segni di parità o disparità per l'intero dominio di definizione, la funzione essendo limitata sia sopra che sotto. Il valore più grande della funzione sarà 1 e il più piccolo -1. Si nota inoltre che nel punto x=π/2 esiste una discontinuità, un insieme di valori della funzione (-1;1).
La lezione video “Funzione y = cos x, sue proprietà e grafico” viene utilizzata in una lezione di matematica su questo argomento come materiale visivo. Inoltre, questo video può essere utile agli insegnanti che insegnano a distanza per sviluppare le competenze necessarie negli studenti. Il materiale può essere consigliato per una revisione indipendente da parte degli studenti che non hanno padroneggiato sufficientemente bene l'argomento e necessitano di formazione aggiuntiva.
DECODIFICA DEL TESTO:
Prima di costruire un grafico della funzione y = cos x, ricorda la formula di riduzione, secondo la quale cos x = sin(x + 14ПЂ2) "> (il coseno dell'argomento x è uguale al seno dell'argomento x più pi di due). Ciò significa che le funzioni y = cos x And
y = peccato(x +14ПЂ2)"> sono identicamente uguali, quindi i loro grafici coincidono.
Per rappresentare graficamente la funzione y = sin(x +14ПЂ2)"> avremo bisogno di un sistema di coordinate ausiliario con l'origine nel punto B(-14ПЂ2"> ; 0) (nel punto BE con coordinate meno pi greco per due, zero). Se tracciamo la funzione y = sin x nel nuovo sistema di coordinate, otteniamo un grafico della funzione
y = peccato(x +14ПЂ2)"> o il grafico della funzione y = cos x, poiché i loro grafici coincidono (vedi Fig. 1).
Poiché il grafico della funzione y = cos x si ottiene dal grafico seno utilizzando la traslazione parallela su una distanza14ПЂ2"> nella direzione negativa, anche il grafico di questa funzione è una sinusoide.
Il grafico della funzione y = cos x dà un'idea chiara delle proprietà di questa funzione.
PROPRIETÀ 1. Il dominio è l'insieme di tutti i numeri reali o D (f) = (-14×"> ; +14в€ћ">) (de da ef è uguale all'intervallo da meno infinito a più infinito).
PROPRIETÀ 2. La funzione y = cos x è pari.
Nelle lezioni di terza media abbiamo imparato che la funzione y = f (x), x ϵX (la y è uguale a eff di x, dove x appartiene all'insieme x è grande) viene chiamata anche se per qualsiasi valore x della impostare X l'uguaglianza
f (- x) = f (x) (eff da meno x è uguale a ef da x).
PROPRIETÀ 3.Sull'intervallo [ 0 ; π ] (da zero a pi greco) la funzione diminuisce e aumenta sul segmento [ π ; 2π] (da pi greco a due pi greco) e così via.
Possiamo trarre una conclusione generale: la funzione y = cos x aumenta sul segmento
[π 14+2ПЂk ">;142ПЂ+2ПЂk "> ] (da pi più due pi ka a due pi più due pi ka), e diminuisce sul segmento [14 2ПЂk">;14ПЂ+2ПЂk]"> (da due picchi a pi più due picchi), dove (ka appartiene all'insieme degli interi).
PROPRIETÀ 4. La funzione è limitata sopra e sotto.
PROPRIETÀ 5. Il valore più piccolo della funzione è uguale a meno uno e si ottiene in qualsiasi punto della forma x =14ПЂ+2ПЂk"> (oppure puoi scrivere y nome = - 1); il valore più grande è 1 e si ottiene in qualsiasi punto della forma x =142ПЂk">
(oppure puoi scrivere y max. = 1).
PROPRIETÀ 6. La funzione y = cos x è continua.
PROPRIETÀ 7. L'insieme dei valori di una funzione è un segmento da meno uno a uno (oppure puoi scrivere E(f) = [ - 1; 1]).
Diamo un'occhiata agli esempi.
ESEMPIO 1.Risolvi l'equazione cos x= 1 - x 2 (il coseno x è uguale a uno meno x al quadrato).
Soluzione. Risolviamo graficamente questa equazione. In un sistema di coordinate costruiremo due grafici di funzioni: y = cos x e y = 1 - x 2. Grafico della funzione
y = 1 - x 2 è una parabola i cui rami sono diretti verso il basso, poiché il coefficiente di x al quadrato è negativo. (vedi Fig. 2) I grafici costruiti hanno solo un punto comune: questo è il punto B(0; 1)(essere con coordinate zero, uno).
Soluzione. Costruiremo il palinsesto “pezzo per pezzo”. Per prima cosa tracciamo parte del grafico della funzione y = sin x sulla trave aperta (-14"> ;14ПЂ2">), quindi nello stesso sistema di coordinate sulla semiretta [14 ПЂ2"> ; +14€">) costruiremo parte del grafico della funzione y = cos x. Otterremo il grafico della funzione y = f(x).
Leggiamo il grafico di questa funzione (questo significa elencare le proprietà della funzione):
- Il dominio di definizione è l’insieme di tutti i numeri reali, cioè
D(f) = (-14”; + в€ћ)"> (cioè de da ef è uguale all'intervallo da meno infinito a più infinito).
- La funzione non è né pari né dispari.
- La funzione è limitata sia sotto che sopra.
- Il valore più piccolo della funzione è uguale a meno uno (esistono infiniti punti simili), il valore più grande della funzione è uguale a uno (esistono anche infiniti punti simili).
- La funzione ha una discontinuità nel punto x =14ПЂ 2"> .
- L'insieme dei valori della funzione è il segmento da meno uno a uno.
Le principali funzioni trigonometriche sono le funzioni y=sin(x), y=cos(x), y=tg(x), y=ctg(x). Consideriamo ciascuno di essi separatamente.
Y = peccato(x)
Grafico della funzione y=sin(x).
Proprietà di base:
3. La funzione è strana.
Y = cos(x)
Grafico della funzione y=cos(x).
.jpg)
Proprietà di base:
1. Il dominio di definizione è l'intero asse numerico.
2. Funzione limitata. L'insieme dei valori è il segmento [-1;1].
3. La funzione è uniforme.
4. La funzione è periodica con il periodo positivo più piccolo pari a 2*π.
Y = marrone chiaro(x)
Grafico della funzione y=tg(x).
.jpg)
Proprietà di base:
1. Il dominio di definizione è l'intero asse numerico, ad eccezione dei punti della forma x=π/2 +π*k, dove k è un numero intero.
3. La funzione è strana.
Y = ctg(x)
Grafico della funzione y=ctg(x).
.jpg)
Proprietà di base:
1. Il dominio di definizione è l'intero asse numerico, ad eccezione dei punti della forma x=π*k, dove k è un numero intero.
2. Funzione illimitata. L'insieme dei valori è l'intera linea numerica.
3. La funzione è strana.
4. La funzione è periodica con il periodo positivo più piccolo pari a π.
Indietro avanti
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Argomento della lezione: “Funzione y=cosx”
Lezione 1
Obiettivi della lezione: Familiarizzare gli studenti con le proprietà di una funzione
Obiettivi della lezione.
Educativo: la formazione di concetti funzionali utilizzando materiale visivo, la formazione di abilità nella costruzione di grafici della funzione y=cosx, la formazione di abilità nella lettura fluente dei grafici, la capacità di riflettere le proprietà di una funzione su un grafico.
Durante le lezioni
| № | Fase della lezione | Presentazione | Tempo |
| 1 | Organizzare il tempo. Saluti | ||
| 2 | Annuncio dell'argomento e dello scopo della lezione | ||
| 3 | Aggiornamento delle conoscenze di riferimento Esecuzione di esercizi orali. |
Rilievo frontale |
|
| 4 | Presentazione di nuovo materiale Il compito di costruire un grafico di y = cosx su un segmento Discussione delle proprietà della funzione y =cosx su un intervallo Il compito di costruire uno schizzo di un grafico della funzione y = cosх Discussione delle proprietà della funzione y = cosx |
Immissione delle proprietà in una tabella |
|
| 5 | Risoluzione dei problemi secondo il libro di testo n. 708, n. 709 |
La soluzione è accompagnata dalla diapositiva n. 4 | |
| 6 | Il compito è costruire un grafico di una funzione con uno spostamento lungo l'asse delle ordinate e lungo l'asse delle ascisse. Discussione sulle proprietà delle funzioni |
||
| 7 | Lavoro indipendente utilizzando il libro di testo | №710 (1;3), №711 (1;3), №711 (1;3) |
|
| Riassumendo. Riepilogo della lezione. Classificazione. |
|||
| 9 | Compiti a casa | §40 N. 710(2;4), N. 711(2;4), N. 711(2;4). Costruisci grafici delle funzioni y =cosx on e descrivi le proprietà di questa funzione. N. aggiuntivo 717 (1) |
Scopo della lezione: familiarizzare gli studenti con le proprietà della funzione y=cosx, imparare a costruire un grafico della funzione y=cosx, leggere questo grafico, utilizzare le proprietà e il grafico della funzione quando si risolvono equazioni e disuguaglianze.
2. L'annuncio dell'argomento e dello scopo della lezione è accompagnato dalla diapositiva n. 2
3. Aggiornamento delle conoscenze di base
Esecuzione di esercizi orali.
- Rivedi la definizione delle funzioni trigonometriche e i segni dei valori di queste funzioni.
- Attira l'attenzione degli studenti sul fatto che per ogni numero reale si può indicare il punto corrispondente sulla circonferenza unitaria, e quindi la sua ascissa e ordinata, cioè coseno e seno di un numero x: y = cosx e y = sinx, il cui dominio sono tutti numeri reali.
Poi gli studenti rispondono alle domande:
- Per quali valori di x la funzione y=cosx assume il valore 0? 1? -1?
- La funzione y=cosx può assumere un valore maggiore di 1 o minore di -1?
- A quali valori di x la funzione y=cosx assume il valore più grande (più piccolo)?
- Qual è l'insieme dei valori della funzione y=cosx?
Le risposte a queste e alle seguenti domande sono accompagnate da un'illustrazione sulla circonferenza unitaria.
Dopo aver ripetuto i segni dei valori delle funzioni trigonometriche in ciascun quarto del piano delle coordinate, gli studenti vengono invitati a mostrare diversi punti sul cerchio unitario corrispondenti a numeri il cui coseno è un numero positivo (negativo). Poi rispondi alle domande:
1) Che segno ha la funzione y=cosx se x=, x=,
0<х<, 0<х<, <х<, <х<2.5?
2) Indicare diversi valori di x in cui i valori della funzione y = cosx sono positivi e negativi.
3) È possibile nominare tutti i valori di un numero il cui coseno è positivo o negativo?
4) È possibile nominare tutti i valori dell'argomento x per i quali i valori della funzione y = cosx sono positivi e negativi?
5) Funzione pari o dispari y = cosx.
6) Qual è il periodo di questa funzione?
4. Presentazione di nuovo materiale.
Generalizzazione e concretizzazione delle conoscenze acquisite in precedenza: lo studio del dominio di definizione, insieme di valori, parità, periodicità consente di costruire un grafico prima su un segmento, poi su un segmento e poi sull'intera retta numerica. La spiegazione è accompagnata dalla diapositiva numero 3.
Successivamente gli studenti imparano a disegnare uno schizzo del grafico della funzione y = cosx utilizzando i punti (0;1), (;0),
(:-1), (;0), (;1) e riassumere le proprietà della funzione, registrandole in una tabella.
Controlliamo utilizzando la diapositiva numero 4.
(In questa fase vengono emesse note di supporto (Appendice 1))
5. Consolidamento delle conoscenze primarie.
Utilizzando uno schizzo del grafico della funzione y=cosx, gli studenti rispondono alle domande n. 708, utilizzando una tabella delle proprietà della funzione y=cosx, rispondono alle domande n. 709
6. Il compito di costruire un grafico di una funzione con uno spostamento lungo l'asse delle ordinate e lungo l'asse delle ascisse.
1. Diapositiva n. 5, 6
Durante la conversazione vengono discusse le proprietà di queste funzioni.
7. Lavoro indipendente utilizzando il libro di testo
№710(1;3), №711(1;3), №711(1;3), №710
Dividi questo segmento in due segmenti in modo che su uno di essi la funzione y = cosx aumenti e sull'altro diminuisca:
Discendente; - aumenta
Discendente; - aumenta
Utilizzando la proprietà crescente o decrescente della funzione y = cosx, confronta i numeri:
Sul segmento la funzione y = cosx diminuisce; , quindi, .
Sul segmento aumenta la funzione y = cosx;
<, следовательно, cos < cos
Trova tutte le radici dell'equazione appartenenti al segmento:
1) cosx = x = ±+2 n, n Z
Risposta: ; ; .
2) cosx = - x = ± 
8. Riassumendo.
Classificazione.
Durante la lezione abbiamo imparato come costruire un grafico della funzione y = cosx, leggere le proprietà di questo grafico, costruire uno schizzo del grafico e risolvere problemi legati all'uso del grafico e alle proprietà della funzione y = cosx.
9. Compiti a casa.
§40 N. 710(2;4), N. 711(2;4), N. 711(2;4). Costruisci grafici delle funzioni y =cosx on e descrivi le proprietà di questa funzione.
N. aggiuntivo 717(1).
Argomento: “Funzione y=cosx”
Lezione 2
Obiettivi della lezione: rivedere le regole per costruire un grafico della funzione у=cosx, imparare come trasformare un grafico, leggere questo grafico, utilizzare le proprietà e il grafico di una funzione quando si risolvono equazioni e disuguaglianze.
Obiettivi della lezione.
Educativo: la formazione di rappresentazioni funzionali utilizzando materiale visivo, la formazione di abilità nel tracciare grafici della funzione y=cosx sotto varie trasformazioni, la formazione di abilità nella lettura fluente dei grafici, la capacità di riflettere le proprietà di una funzione su un grafico .
Sviluppo: sviluppare la capacità di analizzare e generalizzare le conoscenze acquisite. Formazione del pensiero logico.
Educativo: intensificare l'interesse per l'acquisizione di nuove conoscenze, promuovere una cultura grafica, sviluppare precisione e accuratezza nella realizzazione dei disegni.
Dotata di: proiettore multimediale, schermo, sistema operativo Microsoft Windows 98/Me/2000/XP, programma MS Office 2003: Power Point, Microsoft Word, Microsoft Excel.
Durante le lezioni
| № | Fase della lezione | Presentazione | Tempo |
| 1 | Organizzare il tempo. Saluti | 1 | |
| 2 | Annuncio dell'argomento e dello scopo della lezione | 2 | |
| 3 | Controllo dei compiti | N. 717(1), diapositiva n. 7 |
5 |
| 4 | Presentazione di nuovo materiale Il compito di costruire un grafico comprimendo e allungando verso l'asse OX Discussione delle proprietà della funzione y =k cosx per k>1 e 0 Il compito di costruire un grafico comprimendo e allungando un amplificatore operazionale ori Discussione delle proprietà della funzione y = cos(k x) per k>1 e 0 |
Diapositiva n. 8, 9 |
12 |
| 5 | Consolidamento delle conoscenze primarie. Risolvere problemi secondo il libro di testo №713(1;3), №715(1) №716(1) |
N. 717(2) libro di testo p. 208. Quando si risolvono N. 715(1), N. 716(1), utilizzare il grafico costruito della funzione y = cos2x. Diapositiva n. 10 | 5 |
| 6 | Il compito è costruire il grafico di una funzione simmetrica rispetto all'asse delle ascisse. 1. Momento organizzativo. Saluti. 2. L'annuncio dell'argomento e dello scopo della lezione è accompagnato dalla diapositiva n. 2. 3. Controllo dei compiti 4. Presentazione di nuovo materiale 1. Il compito di costruire un grafico comprimendo e allungando verso l'asse OX. Discussione delle proprietà della funzione y =k cosx per k>1 e 0 Diapositiva numero 8 2. Il compito di costruire un grafico comprimendo e allungando l'asse dell'amplificatore operazionale. Discussione delle proprietà della funzione y = cos(kx) per k>1 e 0 Diapositiva numero 9 5. Consolidamento delle conoscenze primarie Risolvere problemi secondo il libro di testo N. 713(1;3), N. 715(1) N. 716(1) Controlliamo l'attività n. 715(1) n. 716(1) utilizzando la diapositiva n. 10 6. Il compito di costruire un grafico di una funzione simmetrica rispetto all'asse delle ascisse Discussione sulle proprietà delle funzioni .
Diapositiva n. 11 (utilizzare il riepilogo di supporto (Appendice 1)) 7. Lavoro indipendente Risoluzione dei problemi di prova .
(Metà degli studenti risolvono i test in XL (Appendice 2), al computer, l'altra metà su dispense (Appendice 3). Quindi gli studenti cambiano di posto.) 8. Riepilogo della lezione. Come risultato dello studio dell'argomento, gli studenti hanno imparato a costruire un grafico della funzione y = cosх, leggere le proprietà di una funzione, costruire grafici di una funzione utilizzando varie trasformazioni, leggere le proprietà dei grafici con trasformazioni, risolvere semplici problemi utilizzando i grafici e proprietà della funzione y = cosx. Classificazione. 9. Compiti a casa. §40 N. 717(3), N. 713(4), N. 715(4), N. 716(2). N. aggiuntivo 719(2) (Controllare la diapositiva n. 13) All'inizio della lezione successiva, puoi invitare gli studenti a completare il lavoro di costruzione di grafici su dispense già pronte ( |
Centrato in un punto UN.
α
- angolo espresso in radianti.
Definizione
Seno (seno α)è una funzione trigonometrica dipendente dall'angolo α tra l'ipotenusa e il cateto di un triangolo rettangolo, pari al rapporto tra la lunghezza del cateto opposto |BC| alla lunghezza dell'ipotenusa |AC|.
Coseno (cos α)è una funzione trigonometrica dipendente dall'angolo α tra l'ipotenusa e il cateto di un triangolo rettangolo, pari al rapporto tra la lunghezza del cateto adiacente |AB| alla lunghezza dell'ipotenusa |AC|.
Notazioni accettate
;
;
.
;
;
.
Grafico della funzione seno, y = sin x
Grafico della funzione coseno, y = cos x
Proprietà di seno e coseno
Periodicità
Funzioni y = peccato x e y = cos x periodico con periodo 2π.
Parità
La funzione seno è dispari. La funzione coseno è pari.
Dominio delle definizioni e dei valori, estremi, aumento, diminuzione
Le funzioni seno e coseno sono continue nel loro dominio di definizione, cioè per tutti gli x (vedi prova di continuità). Le loro proprietà principali sono presentate nella tabella (n - intero).
| y= peccato x | y= cos x | |
| Portata e continuità | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
| Intervallo di valori | -1 ≤ y ≤ 1 | -1 ≤ y ≤ 1 |
| Crescente | ||
| Discendente | ||
| Massimi, y = 1 | ||
| Minimi, y = - 1 | ||
| Zeri, y = 0 | ||
| Punti di intercetta con l'asse delle ordinate, x = 0 | y= 0 | y= 1 |
Formule di base
Somma dei quadrati di seno e coseno
Formule per seno e coseno da somma e differenza
;
;
Formule per il prodotto di seni e coseni
Formule di somma e differenza
Esprimere seno attraverso coseno
;
;
;
.
Esprimere coseno attraverso seno
;
;
;
.
Espressione attraverso la tangente
; .
Quando abbiamo:
;
.
A :
;
.
Tavola dei seni e coseni, tangenti e cotangenti
Questa tabella mostra i valori di seno e coseno per determinati valori dell'argomento. 
Espressioni attraverso variabili complesse
;
La formula di Eulero
Espressioni mediante funzioni iperboliche
;
;
Derivati
; . Formule di derivazione > > >
Derivati dell'ennesimo ordine:
{ -∞ <
x < +∞ }
Secante, cosecante
Funzioni inverse
Le funzioni inverse di seno e coseno sono rispettivamente arcoseno e arcocoseno.
Arcoseno, arcoseno
Arcocoseno, arccos
Riferimenti:
IN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manuale di matematica per ingegneri e studenti universitari, “Lan”, 2009.
In questa lezione vedremo in dettaglio la funzione y = cos x, le sue principali proprietà e il grafico. All'inizio della lezione daremo la definizione della funzione trigonometrica y = costo sul cerchio coordinato e considereremo il grafico della. funzione sul cerchio e sulla linea. Mostriamo la periodicità di questa funzione sul grafico e consideriamo le principali proprietà della funzione. Alla fine della lezione risolveremo alcuni semplici problemi utilizzando il grafico di una funzione e le sue proprietà.
Argomento: funzioni trigonometriche
Lezione: Funzione y=costo, sue proprietà di base e grafico
Una funzione è una legge secondo la quale ogni valore di un argomento indipendente è associato a un singolo valore della funzione.
Ricordiamo definizione della funzione Permettere T- qualsiasi numero reale. C'è solo un punto corrispondente ad esso M sul cerchio dei numeri. Al punto M c'è una sola ascissa. Si chiama coseno del numero T. Ogni valore dell'argomento T corrisponde un solo valore di funzione (Fig. 1).
L'angolo al centro è numericamente uguale al valore dell'arco in radianti, cioè numero Pertanto, l'argomento può essere un numero reale o un angolo in radianti.
Se riusciamo a determinare per ciascun valore, possiamo costruire un grafico della funzione
Puoi ottenere il grafico di una funzione in un altro modo. Secondo formule di riduzione 
quindi il grafico del coseno è un'onda sinusoidale spostata lungo l'asse X a sinistra (Fig. 2).
Proprietà della funzione
1) Ambito della definizione:
2) Intervallo di valori: 
3) Funzione uniforme:
4) Periodo positivo più piccolo:
5) Coordinate dei punti di intersezione con l'asse delle ascisse:
6) Coordinate del punto di intersezione con l'asse delle ordinate:
7) Intervalli in cui la funzione assume valori positivi:
8) Intervalli in cui la funzione assume valori negativi:
9) Intervalli crescenti:
10) Intervalli decrescenti:
11) Punteggio minimo: 
12) Funzione minima: .
13) Punteggio massimo: 
14) Funzioni massime:
Abbiamo esaminato le proprietà di base e il grafico della funzione. Successivamente, verranno utilizzati per risolvere i problemi.
Bibliografia
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2. Algebra e inizio dell'analisi, grado 10 (in due parti). Libro dei problemi per le istituzioni educative (livello di profilo), ed. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosine, 2007.
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4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Studio approfondito dell'algebra e dell'analisi matematica.-M.: Education, 1997.
5. Raccolta di problemi di matematica per i candidati agli istituti di istruzione superiore (a cura di M.I. Skanavi - M.: Higher School, 1992).
6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Simulatore algebrico.-K.: A.S.K., 1997.
7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Problemi di algebra e principi di analisi (un manuale per gli studenti delle classi 10-11 degli istituti di istruzione generale - M.: Prosveshchenie, 2003).
8. Karp A.P. Raccolta di problemi di algebra e principi di analisi: libro di testo. indennità per 10-11 gradi. con profondità studiato Matematica.-M.: Educazione, 2006.
Compiti a casa
Algebra e inizio analisi, grado 10 (in due parti). Libro dei problemi per le istituzioni educative (livello di profilo), ed. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosine, 2007.
№№ 16.6, 16.7, 16.9.
Risorse web aggiuntive
3. Portale didattico per la preparazione agli esami ().