Il triangolo in geometria rappresenta una delle forme base. Dalle lezioni precedenti sai che un triangolo è una figura poligonale che ha tre angoli e tre lati.

Triangolo chiamato rettangolare se ha un angolo retto di 90 gradi.
Un triangolo rettangolo ha due lati reciprocamente perpendicolari chiamati gambe ; il terzo lato è chiamato ipotenusa . L'ipotenusa è il lato maggiore di questo triangolo.

• Secondo le proprietà dell'ipotenusa perpendicolare e obliqua, ciascuna delle gambe è più lunga (ma inferiore alla loro somma).
• La somma di due angoli acuti di un triangolo rettangolo è uguale all'angolo retto.
• Due altezze di un triangolo rettangolo coincidono con le sue gambe. Pertanto, uno dei quattro punti notevoli cade sui vertici dell'angolo retto del triangolo.
• Il centro del cerchio circoscritto di un triangolo rettangolo si trova nel punto medio dell'ipotenusa.
• La mediana di un triangolo rettangolo tracciato dal vertice dell'angolo retto all'ipotenusa è il raggio del cerchio circoscritto a questo triangolo.

Proprietà e caratteristiche dei triangoli rettangoli

Io - proprietà. In un triangolo rettangolo la somma dei suoi angoli acuti è di 90°. Il lato maggiore del triangolo è opposto all'angolo maggiore e il lato maggiore è opposto all'angolo maggiore. In un triangolo rettangolo, l'angolo maggiore è l'angolo retto. Se in un triangolo l'angolo maggiore ha più di 90 °, allora tale triangolo cessa di essere ad angolo retto, poiché la somma di tutti gli angoli supera i 180 gradi. Da tutto ciò segue che l'ipotenusa è il lato maggiore del triangolo.

II - e proprietà. La gamba di un triangolo rettangolo che si trova di fronte a un angolo di 30 gradi è uguale alla metà dell'ipotenusa.

III - e proprietà. Se in un triangolo rettangolo la gamba è uguale alla metà dell'ipotenusa, allora l'angolo che si trova di fronte a questa gamba sarà uguale a 30 gradi.

Livello medio

Triangolo rettangolo. Guida illustrata completa (2019)

TRIANGOLO RETTANGOLO. PRIMO LIVELLO.

Nei problemi, un angolo retto non è affatto necessario: quello in basso a sinistra, quindi devi imparare a riconoscere un triangolo rettangolo in questa forma,

e in tale

e in tale

Cosa c'è di buono in un triangolo rettangolo? Beh... prima di tutto, ci sono dei bei nomi speciali per le sue feste.

Attenzione al disegno!

Ricorda e non confondere: gambe - due e l'ipotenusa - solo una(l'unico, unico e più lungo)!

Bene, abbiamo discusso i nomi, ora la cosa più importante: il teorema di Pitagora.

Teorema di Pitagora.

Questo teorema è la chiave per risolvere molti problemi che coinvolgono un triangolo rettangolo. Fu dimostrato da Pitagora in tempi del tutto immemorabili, e da allora ha portato molti benefici a chi lo conosce. E la cosa migliore di lei è che è semplice.

COSÌ, Teorema di Pitagora:

Ricordi la battuta: "I pantaloni pitagorici sono uguali su tutti i lati!"?

Disegniamo questi pantaloni molto pitagorici e guardiamoli.

Sembrano davvero dei pantaloncini? Ebbene, da che parte e dove sono uguali? Perché e da dove viene la battuta? E questa battuta è collegata proprio al teorema di Pitagora, più precisamente al modo in cui lo stesso Pitagora formulò il suo teorema. E lo ha formulato così:

"Somma area dei quadrati, costruito sulle gambe, è uguale a area quadrata costruito sull'ipotenusa.

Non suona un po' diverso, vero? E così, quando Pitagora disegnò l'enunciato del suo teorema, venne fuori proprio un'immagine del genere.

In questa figura la somma delle aree dei quadratini è uguale all'area del quadrato grande. E affinché i bambini ricordino meglio che la somma dei quadrati delle gambe è uguale al quadrato dell'ipotenusa, qualcuno di spiritoso ha inventato questa barzelletta sui pantaloni pitagorici.

Perché ora stiamo formulando il teorema di Pitagora

Pitagora soffriva e parlava di quadrati?

Vedi, nei tempi antichi non c'era ... l'algebra! Non c'erano segni e così via. Non c'erano iscrizioni. Riesci a immaginare quanto fosse terribile per i poveri antichi studenti memorizzare tutto con le parole??! E possiamo essere contenti di avere una semplice formulazione del teorema di Pitagora. Ripetiamolo ancora per ricordare meglio:

Ora dovrebbe essere facile:

Il quadrato dell'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati dei cateti.

Bene, è stato discusso il teorema più importante su un triangolo rettangolo. Se sei interessato a come viene dimostrato, leggi i prossimi livelli di teoria, e ora andiamo avanti... nella selva oscura... della trigonometria! Alle terribili parole seno, coseno, tangente e cotangente.

Seno, coseno, tangente, cotangente in un triangolo rettangolo.

In effetti, tutto non è affatto così spaventoso. Naturalmente, la definizione "reale" di seno, coseno, tangente e cotangente dovrebbe essere esaminata nell'articolo. Ma davvero non vuoi, vero? Possiamo rallegrarci: per risolvere problemi su un triangolo rettangolo, puoi semplicemente compilare le seguenti semplici cose:

Perché si tratta solo dell'angolo? Dov'è l'angolo? Per capirlo, devi sapere come le affermazioni 1 - 4 sono scritte a parole. Guarda, capisci e ricorda!

1.
In realtà suona così:

E l'angolo? C'è una gamba opposta all'angolo, cioè la gamba opposta (per l'angolo)? Certo! Questo è un catetere!

Ma per quanto riguarda l'angolo? Guarda da vicino. Quale gamba è adiacente all'angolo? Certo, il gatto. Quindi, per l'angolo, la gamba è adiacente, e

E ora, attenzione! Guarda cosa abbiamo:

Guarda quanto è bello:

Ora passiamo a tangente e cotangente.

Come esprimerlo a parole adesso? Qual è la gamba in relazione all'angolo? Di fronte, ovviamente, "giace" di fronte all'angolo. E il catetere? Adiacente all'angolo. Quindi cosa abbiamo ottenuto?

Vedi come si invertono numeratore e denominatore?

E ora di nuovo gli angoli e fatto lo scambio:

Riepilogo

Scriviamo brevemente ciò che abbiamo imparato.

Teorema di Pitagora:

Il principale teorema del triangolo rettangolo è il teorema di Pitagora.

teorema di Pitagora

A proposito, ricordi bene cosa sono le gambe e l'ipotenusa? In caso contrario, guarda l'immagine: aggiorna le tue conoscenze

È possibile che tu abbia già usato il teorema di Pitagora molte volte, ma ti sei mai chiesto perché un tale teorema è vero. Come lo dimostreresti? Facciamo come gli antichi greci. Disegniamo un quadrato con un lato.

Vedi con quanta astuzia abbiamo diviso i suoi lati in segmenti di lunghezze e!

Ora colleghiamo i punti contrassegnati

Qui, tuttavia, abbiamo notato qualcos'altro, ma tu stesso guardi l'immagine e pensi al perché.

Qual è l'area del quadrato più grande? Giusto, . E l'area più piccola? Certamente, . Rimane l'area totale dei quattro angoli. Immagina di prenderne due e di appoggiarci l'uno contro l'altro con ipotenuse. Quello che è successo? Due rettangoli. Quindi, l'area delle "talee" è uguale.

Mettiamo tutto insieme ora.

Trasformiamo:

Così abbiamo visitato Pitagora - abbiamo dimostrato il suo teorema in modo antico.

Triangolo rettangolo e trigonometria

Per un triangolo rettangolo valgono le seguenti relazioni:

Il seno di un angolo acuto è uguale al rapporto tra la gamba opposta e l'ipotenusa

Il coseno di un angolo acuto è uguale al rapporto tra il cateto adiacente e l'ipotenusa.

La tangente di un angolo acuto è uguale al rapporto tra la gamba opposta e la gamba adiacente.

La cotangente di un angolo acuto è uguale al rapporto tra la gamba adiacente e la gamba opposta.

E ancora una volta, tutto questo sotto forma di piatto:

È molto comodo!

Segni di uguaglianza dei triangoli rettangoli

I. Su due gambe

II. Per cateto e ipotenusa

III. Per ipotenusa e angolo acuto

IV. Lungo la gamba e l'angolo acuto

UN)

B)

Attenzione! Qui è molto importante che le gambe siano "corrispondenti". Ad esempio, se va così:

ALLORA I TRIANGOLI NON SONO UGUALI, nonostante abbiano un angolo acuto identico.

Bisogno di in entrambi i triangoli la gamba era adiacente, o in entrambi - opposta.

Hai notato come i segni di uguaglianza dei triangoli rettangoli differiscono dai soliti segni di uguaglianza dei triangoli? Guarda l'argomento “e presta attenzione al fatto che per l'uguaglianza dei triangoli “ordinari” è necessaria l'uguaglianza dei loro tre elementi: due lati e un angolo tra loro, due angoli e un lato tra loro o tre lati. Ma per l'uguaglianza dei triangoli rettangoli bastano solo due elementi corrispondenti. È fantastico, vero?

Approssimativamente la stessa situazione con segni di somiglianza dei triangoli rettangoli.

Segni di somiglianza di triangoli rettangoli

I. Angolo acuto

II. Su due gambe

III. Per cateto e ipotenusa

Mediana in un triangolo rettangolo

Perché è così?

Considera un rettangolo intero invece di un triangolo rettangolo.

Disegniamo una diagonale e consideriamo un punto: il punto di intersezione delle diagonali. Cosa sai delle diagonali di un rettangolo?

E cosa ne consegue?

Così è successo

1. - mediano:

Ricorda questo fatto! Aiuta molto!

Ciò che è ancora più sorprendente è che è vero anche il contrario.

A che serve il fatto che la mediana tracciata all'ipotenusa sia uguale alla metà dell'ipotenusa? Diamo un'occhiata all'immagine

Guarda da vicino. Abbiamo: , cioè le distanze dal punto a tutti e tre i vertici del triangolo si sono rivelate uguali. Ma in un triangolo c'è solo un punto, le distanze da cui circa tutti e tre i vertici del triangolo sono uguali, e questo è il CENTRO DEL CIRCO descritto. Allora, cos'è successo?

Allora cominciamo con questo "inoltre...".

Diamo un'occhiata a i.

Ma in triangoli simili tutti gli angoli sono uguali!

Lo stesso si può dire di e

Ora disegniamolo insieme:

Quale utilità si può trarre da questa "tripla" somiglianza.

Bene, per esempio - due formule per l'altezza di un triangolo rettangolo.

Scriviamo le relazioni delle parti corrispondenti:

Per trovare l'altezza, risolviamo la proporzione e otteniamo prima formula "Altezza in un triangolo rettangolo":

Quindi, applichiamo la somiglianza: .

Cosa succederà ora?

Ancora una volta risolviamo la proporzione e otteniamo la seconda formula:

Entrambe queste formule devono essere ricordate molto bene e quella più conveniente da applicare. Scriviamoli di nuovo.

Teorema di Pitagora:

In un triangolo rettangolo, il quadrato dell'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati delle gambe:.

Segni di uguaglianza dei triangoli rettangoli:

• su due gambe:
• lungo la gamba e l'ipotenusa: o
• lungo la gamba e l'angolo acuto adiacente: o
• lungo la gamba e l'angolo acuto opposto: o
• per ipotenusa e angolo acuto: o.

Segni di somiglianza dei triangoli rettangoli:

• un angolo acuto: o
• dalla proporzionalità delle due gambe:
• dalla proporzionalità del cateto e dell'ipotenusa: o.

Seno, coseno, tangente, cotangente in un triangolo rettangolo

• Il seno di un angolo acuto di un triangolo rettangolo è il rapporto tra la gamba opposta e l'ipotenusa:
• Il coseno di un angolo acuto di un triangolo rettangolo è il rapporto tra la gamba adiacente e l'ipotenusa:
• La tangente di un angolo acuto di un triangolo rettangolo è il rapporto tra la gamba opposta e quella adiacente:
• La cotangente di un angolo acuto di un triangolo rettangolo è il rapporto tra la gamba adiacente e l'opposto:.

Altezza di un triangolo rettangolo: o.

In un triangolo rettangolo, la mediana ricavata dal vertice dell'angolo retto è uguale alla metà dell'ipotenusa: .

Area di un triangolo rettangolo:

• attraverso i cateteri:

Livello medio

Triangolo rettangolo. Guida illustrata completa (2019)

TRIANGOLO RETTANGOLO. PRIMO LIVELLO.

Nei problemi, un angolo retto non è affatto necessario: quello in basso a sinistra, quindi devi imparare a riconoscere un triangolo rettangolo in questa forma,

e in tale

e in tale

Cosa c'è di buono in un triangolo rettangolo? Beh... prima di tutto, ci sono dei bei nomi speciali per le sue feste.

Attenzione al disegno!

Ricorda e non confondere: gambe - due e l'ipotenusa - solo una(l'unico, unico e più lungo)!

Bene, abbiamo discusso i nomi, ora la cosa più importante: il teorema di Pitagora.

Teorema di Pitagora.

Questo teorema è la chiave per risolvere molti problemi che coinvolgono un triangolo rettangolo. Fu dimostrato da Pitagora in tempi del tutto immemorabili, e da allora ha portato molti benefici a chi lo conosce. E la cosa migliore di lei è che è semplice.

COSÌ, Teorema di Pitagora:

Ricordi la battuta: "I pantaloni pitagorici sono uguali su tutti i lati!"?

Disegniamo questi pantaloni molto pitagorici e guardiamoli.

Sembrano davvero dei pantaloncini? Ebbene, da che parte e dove sono uguali? Perché e da dove viene la battuta? E questa battuta è collegata proprio al teorema di Pitagora, più precisamente al modo in cui lo stesso Pitagora formulò il suo teorema. E lo ha formulato così:

"Somma area dei quadrati, costruito sulle gambe, è uguale a area quadrata costruito sull'ipotenusa.

Non suona un po' diverso, vero? E così, quando Pitagora disegnò l'enunciato del suo teorema, venne fuori proprio un'immagine del genere.

In questa figura la somma delle aree dei quadratini è uguale all'area del quadrato grande. E affinché i bambini ricordino meglio che la somma dei quadrati delle gambe è uguale al quadrato dell'ipotenusa, qualcuno di spiritoso ha inventato questa barzelletta sui pantaloni pitagorici.

Perché ora stiamo formulando il teorema di Pitagora

Pitagora soffriva e parlava di quadrati?

Vedi, nei tempi antichi non c'era ... l'algebra! Non c'erano segni e così via. Non c'erano iscrizioni. Riesci a immaginare quanto fosse terribile per i poveri antichi studenti memorizzare tutto con le parole??! E possiamo essere contenti di avere una semplice formulazione del teorema di Pitagora. Ripetiamolo ancora per ricordare meglio:

Ora dovrebbe essere facile:

Il quadrato dell'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati dei cateti.

Bene, è stato discusso il teorema più importante su un triangolo rettangolo. Se sei interessato a come viene dimostrato, leggi i prossimi livelli di teoria, e ora andiamo avanti... nella selva oscura... della trigonometria! Alle terribili parole seno, coseno, tangente e cotangente.

Seno, coseno, tangente, cotangente in un triangolo rettangolo.

In effetti, tutto non è affatto così spaventoso. Naturalmente, la definizione "reale" di seno, coseno, tangente e cotangente dovrebbe essere esaminata nell'articolo. Ma davvero non vuoi, vero? Possiamo rallegrarci: per risolvere problemi su un triangolo rettangolo, puoi semplicemente compilare le seguenti semplici cose:

Perché si tratta solo dell'angolo? Dov'è l'angolo? Per capirlo, devi sapere come le affermazioni 1 - 4 sono scritte a parole. Guarda, capisci e ricorda!

1.
In realtà suona così:

E l'angolo? C'è una gamba opposta all'angolo, cioè la gamba opposta (per l'angolo)? Certo! Questo è un catetere!

Ma per quanto riguarda l'angolo? Guarda da vicino. Quale gamba è adiacente all'angolo? Certo, il gatto. Quindi, per l'angolo, la gamba è adiacente, e

E ora, attenzione! Guarda cosa abbiamo:

Guarda quanto è bello:

Ora passiamo a tangente e cotangente.

Come esprimerlo a parole adesso? Qual è la gamba in relazione all'angolo? Di fronte, ovviamente, "giace" di fronte all'angolo. E il catetere? Adiacente all'angolo. Quindi cosa abbiamo ottenuto?

Vedi come si invertono numeratore e denominatore?

E ora di nuovo gli angoli e fatto lo scambio:

Riepilogo

Scriviamo brevemente ciò che abbiamo imparato.

Teorema di Pitagora:

Il principale teorema del triangolo rettangolo è il teorema di Pitagora.

teorema di Pitagora

A proposito, ricordi bene cosa sono le gambe e l'ipotenusa? In caso contrario, guarda l'immagine: aggiorna le tue conoscenze

È possibile che tu abbia già usato il teorema di Pitagora molte volte, ma ti sei mai chiesto perché un tale teorema è vero. Come lo dimostreresti? Facciamo come gli antichi greci. Disegniamo un quadrato con un lato.

Vedi con quanta astuzia abbiamo diviso i suoi lati in segmenti di lunghezze e!

Ora colleghiamo i punti contrassegnati

Qui, tuttavia, abbiamo notato qualcos'altro, ma tu stesso guardi l'immagine e pensi al perché.

Qual è l'area del quadrato più grande? Giusto, . E l'area più piccola? Certamente, . Rimane l'area totale dei quattro angoli. Immagina di prenderne due e di appoggiarci l'uno contro l'altro con ipotenuse. Quello che è successo? Due rettangoli. Quindi, l'area delle "talee" è uguale.

Mettiamo tutto insieme ora.

Trasformiamo:

Così abbiamo visitato Pitagora - abbiamo dimostrato il suo teorema in modo antico.

Triangolo rettangolo e trigonometria

Per un triangolo rettangolo valgono le seguenti relazioni:

Il seno di un angolo acuto è uguale al rapporto tra la gamba opposta e l'ipotenusa

Il coseno di un angolo acuto è uguale al rapporto tra il cateto adiacente e l'ipotenusa.

La tangente di un angolo acuto è uguale al rapporto tra la gamba opposta e la gamba adiacente.

La cotangente di un angolo acuto è uguale al rapporto tra la gamba adiacente e la gamba opposta.

E ancora una volta, tutto questo sotto forma di piatto:

È molto comodo!

Segni di uguaglianza dei triangoli rettangoli

I. Su due gambe

II. Per cateto e ipotenusa

III. Per ipotenusa e angolo acuto

IV. Lungo la gamba e l'angolo acuto

UN)

B)

Attenzione! Qui è molto importante che le gambe siano "corrispondenti". Ad esempio, se va così:

ALLORA I TRIANGOLI NON SONO UGUALI, nonostante abbiano un angolo acuto identico.

Bisogno di in entrambi i triangoli la gamba era adiacente, o in entrambi - opposta.

Hai notato come i segni di uguaglianza dei triangoli rettangoli differiscono dai soliti segni di uguaglianza dei triangoli? Guarda l'argomento “e presta attenzione al fatto che per l'uguaglianza dei triangoli “ordinari” è necessaria l'uguaglianza dei loro tre elementi: due lati e un angolo tra loro, due angoli e un lato tra loro o tre lati. Ma per l'uguaglianza dei triangoli rettangoli bastano solo due elementi corrispondenti. È fantastico, vero?

Approssimativamente la stessa situazione con segni di somiglianza dei triangoli rettangoli.

Segni di somiglianza di triangoli rettangoli

I. Angolo acuto

II. Su due gambe

III. Per cateto e ipotenusa

Mediana in un triangolo rettangolo

Perché è così?

Considera un rettangolo intero invece di un triangolo rettangolo.

Disegniamo una diagonale e consideriamo un punto: il punto di intersezione delle diagonali. Cosa sai delle diagonali di un rettangolo?

E cosa ne consegue?

Così è successo

1. - mediano:

Ricorda questo fatto! Aiuta molto!

Ciò che è ancora più sorprendente è che è vero anche il contrario.

A che serve il fatto che la mediana tracciata all'ipotenusa sia uguale alla metà dell'ipotenusa? Diamo un'occhiata all'immagine

Guarda da vicino. Abbiamo: , cioè le distanze dal punto a tutti e tre i vertici del triangolo si sono rivelate uguali. Ma in un triangolo c'è solo un punto, le distanze da cui circa tutti e tre i vertici del triangolo sono uguali, e questo è il CENTRO DEL CIRCO descritto. Allora, cos'è successo?

Allora cominciamo con questo "inoltre...".

Diamo un'occhiata a i.

Ma in triangoli simili tutti gli angoli sono uguali!

Lo stesso si può dire di e

Ora disegniamolo insieme:

Quale utilità si può trarre da questa "tripla" somiglianza.

Bene, per esempio - due formule per l'altezza di un triangolo rettangolo.

Scriviamo le relazioni delle parti corrispondenti:

Per trovare l'altezza, risolviamo la proporzione e otteniamo prima formula "Altezza in un triangolo rettangolo":

Quindi, applichiamo la somiglianza: .

Cosa succederà ora?

Ancora una volta risolviamo la proporzione e otteniamo la seconda formula:

Entrambe queste formule devono essere ricordate molto bene e quella più conveniente da applicare. Scriviamoli di nuovo.

Teorema di Pitagora:

In un triangolo rettangolo, il quadrato dell'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati delle gambe:.

Segni di uguaglianza dei triangoli rettangoli:

• su due gambe:
• lungo la gamba e l'ipotenusa: o
• lungo la gamba e l'angolo acuto adiacente: o
• lungo la gamba e l'angolo acuto opposto: o
• per ipotenusa e angolo acuto: o.

Segni di somiglianza dei triangoli rettangoli:

• un angolo acuto: o
• dalla proporzionalità delle due gambe:
• dalla proporzionalità del cateto e dell'ipotenusa: o.

Seno, coseno, tangente, cotangente in un triangolo rettangolo

• Il seno di un angolo acuto di un triangolo rettangolo è il rapporto tra la gamba opposta e l'ipotenusa:
• Il coseno di un angolo acuto di un triangolo rettangolo è il rapporto tra la gamba adiacente e l'ipotenusa:
• La tangente di un angolo acuto di un triangolo rettangolo è il rapporto tra la gamba opposta e quella adiacente:
• La cotangente di un angolo acuto di un triangolo rettangolo è il rapporto tra la gamba adiacente e l'opposto:.

Altezza di un triangolo rettangolo: o.

In un triangolo rettangolo, la mediana ricavata dal vertice dell'angolo retto è uguale alla metà dell'ipotenusa: .

Area di un triangolo rettangolo:

• attraverso i cateteri:

La risoluzione di problemi geometrici richiede un'enorme quantità di conoscenze. Una delle definizioni fondamentali di questa scienza è un triangolo rettangolo.

Questo concetto significa composto da tre angoli e

lati e il valore di uno degli angoli è di 90 gradi. I lati che formano un angolo retto si chiamano cateti, mentre il terzo lato opposto si chiama ipotenusa.

Se le gambe in una tale figura sono uguali, si chiama triangolo rettangolo isoscele. In questo caso, c'è un'affiliazione a due, il che significa che vengono osservate le proprietà di entrambi i gruppi. Ricordiamo che gli angoli alla base di un triangolo isoscele sono assolutamente sempre uguali, quindi gli angoli acuti di tale figura includeranno 45 gradi ciascuno.

La presenza di una delle seguenti proprietà ci permette di affermare che un triangolo rettangolo è uguale a un altro:

1. le gambe di due triangoli sono uguali;
2. le figure hanno la stessa ipotenusa e una delle gambe;
3. l'ipotenusa e uno qualsiasi degli angoli acuti sono uguali;
4. si osserva la condizione di uguaglianza della gamba e dell'angolo acuto.

L'area di un triangolo rettangolo può essere facilmente calcolata sia utilizzando formule standard sia come valore pari alla metà del prodotto delle sue gambe.

In un triangolo rettangolo si osservano le seguenti relazioni:

1. la gamba non è altro che la media proporzionale all'ipotenusa e la sua proiezione su di essa;
2. se descrivi un cerchio attorno a un triangolo rettangolo, il suo centro sarà nel mezzo dell'ipotenusa;
3. l'altezza ricavata dall'angolo retto è la media proporzionale alle proiezioni dei cateti del triangolo sulla sua ipotenusa.

È interessante che non importa quale sia il triangolo rettangolo, queste proprietà sono sempre osservate.

teorema di Pitagora

Oltre alle proprietà di cui sopra, i triangoli rettangoli sono caratterizzati dalla seguente condizione:

Questo teorema prende il nome dal suo fondatore: il teorema di Pitagora. Ha scoperto questa relazione quando stava studiando le proprietà dei quadrati costruiti su

Per dimostrare il teorema, costruiamo un triangolo ABC, di cui indichiamo i cateti a e b, e l'ipotenusa c. Successivamente, costruiremo due quadrati. Un lato sarà l'ipotenusa, l'altro la somma di due gambe.

Allora l'area del primo quadrato si può trovare in due modi: come somma delle aree dei quattro triangoli ABC e del secondo quadrato, oppure come quadrato del lato, naturalmente, questi rapporti saranno uguali. Questo è:

con 2 + 4 (ab/2) = (a + b) 2 , trasformiamo l'espressione risultante:

c 2 +2 ab = a 2 + b 2 + 2 ab

Di conseguenza, otteniamo: c 2 \u003d a 2 + b 2

Così, figura geometrica un triangolo rettangolo corrisponde non solo a tutte le proprietà caratteristiche dei triangoli. La presenza di un angolo retto porta al fatto che la figura ha altre relazioni uniche. Il loro studio sarà utile non solo nella scienza, ma anche in Vita di ogni giorno, poiché una figura come un triangolo rettangolo si trova ovunque.

Definizione.Triangolo rettangolo - triangolo, uno dei cui angoli è retto (uguale).

Un triangolo rettangolo è un caso speciale di un triangolo ordinario. Pertanto, vengono preservate tutte le proprietà dei triangoli ordinari per quelli rettangolari. Ma ci sono alcune proprietà particolari dovute alla presenza di un angolo retto.

Notazione comune (Fig. 1):

- angolo retto;

- ipotenusa;

- gambe;

.

Riso. 1.

CONproprietà del triangolo rettangolo.

Proprietà 1. La somma degli angoli e di un triangolo rettangolo è .

Prova. Ricordiamo che la somma degli angoli di ogni triangolo è . Considerando il fatto che , otteniamo che la somma dei restanti due angoli è Cioè,

Proprietà 2. In un triangolo rettangolo ipotenusa più di qualsiasi altro gambe(è il lato più grande).

Prova. Ricorda che in un triangolo opposto all'angolo maggiore si trova il lato maggiore (e viceversa). Dalla proprietà 1 dimostrata sopra segue che la somma degli angoli e del triangolo rettangolo è uguale a . Poiché l'angolo di un triangolo non può essere 0, ciascuno di essi è minore di . Ciò significa che è il più grande, il che significa che il lato più grande del triangolo si trova di fronte ad esso. Quindi, l'ipotenusa è il lato più grande di un triangolo rettangolo, cioè:.

Proprietà 3. In un triangolo rettangolo l'ipotenusa è minore della somma dei cateti.

Prova. Questa proprietà diventa chiara se ricordiamo disuguaglianza triangolare.

disuguaglianza triangolare

In ogni triangolo la somma di due lati qualsiasi è maggiore del terzo lato.

La proprietà 3 segue immediatamente da questa disuguaglianza.

Nota: nonostante ciascuna delle gambe singolarmente sia minore dell'ipotenusa, la loro somma risulta essere maggiore. In un esempio numerico, appare così: , ma .

V:

1° segno (su 2 lati e l'angolo tra loro): se due triangoli hanno i lati uguali e l'angolo tra loro, allora tali triangoli sono congruenti.

2° segno (sul lato e due angoli adiacenti): se i triangoli hanno lato uguale e due angoli adiacenti a un dato lato, allora tali triangoli sono congruenti. Nota: utilizzando il fatto che la somma degli angoli di un triangolo è costante e uguale a , è facile dimostrare che la condizione di "adiacenza" degli angoli non è necessaria, cioè il segno sarà vero nella seguente formulazione: "... un lato e due angoli sono uguali, allora...".

3° cartello (su 3 lati): se tutti e tre i lati di un triangolo sono uguali, allora tali triangoli sono congruenti.

Naturalmente, tutti questi segni rimangono veri per i triangoli rettangoli. Tuttavia, i triangoli rettangoli hanno una caratteristica essenziale: hanno sempre una coppia di angoli retti uguali. Pertanto, questi segni sono semplificati per loro. Quindi, formuliamo i segni di uguaglianza dei triangoli rettangoli:

1° segno (su due gambe): se le gambe dei triangoli rettangoli sono uguali a coppie, allora tali triangoli sono uguali tra loro (Fig. 2).

Dato:

Riso. 2. Illustrazione del primo segno di uguaglianza dei triangoli rettangoli

Dimostrare:

Prova: nei triangoli rettangoli: . Quindi, possiamo usare il primo segno di uguaglianza dei triangoli (su 2 lati e l'angolo tra di loro) e ottenere: .

2-esimo segno (sulla gamba e sull'angolo): se la gamba e l'angolo acuto di un triangolo rettangolo sono uguali alla gamba e all'angolo acuto di un altro triangolo rettangolo, allora tali triangoli sono uguali tra loro (Fig. 3).

Dato:

Riso. 3. Illustrazione del secondo segno di uguaglianza dei triangoli rettangoli

Dimostrare:

Prova: notare immediatamente che il fatto che gli angoli adiacenti a gambe uguali, non è critico. Infatti, la somma degli angoli acuti di un triangolo rettangolo (per la proprietà 1) è pari a . Quindi, se una coppia di questi angoli è uguale, allora l'altro è uguale (poiché le loro somme sono le stesse).

La prova di questa caratteristica si riduce all'uso secondo segno di uguaglianza dei triangoli(ai 2 angoli e lateralmente). Infatti, per condizione, le gambe e una coppia di angoli ad esse adiacenti sono uguali. Ma la seconda coppia di angoli ad essi adiacenti è costituita dagli angoli . Quindi, possiamo usare il secondo criterio per l'uguaglianza dei triangoli e ottenere: .

3° segno (per ipotenusa e angolo): se l'ipotenusa e l'angolo acuto di un triangolo rettangolo sono uguali all'ipotenusa e all'angolo acuto di un altro triangolo rettangolo, allora tali triangoli sono uguali tra loro (Fig. 4).

Dato:

Riso. 4. Illustrazione del terzo segno di uguaglianza dei triangoli rettangoli

Dimostrare:

Prova: per dimostrare questo segno, puoi usarlo immediatamente il secondo segno dell'uguaglianza dei triangoli- per il lato e due angoli (più precisamente, per la conseguenza, che dice che gli angoli non devono essere adiacenti al lato). Infatti, dalla condizione: , , e dalle proprietà dei triangoli rettangoli ne consegue . Quindi, possiamo usare il secondo criterio per l'uguaglianza dei triangoli e ottenere: .

4° segno (per ipotenusa e cateto): se l'ipotenusa e la gamba di un triangolo rettangolo sono uguali, rispettivamente, all'ipotenusa e alla gamba di un altro triangolo rettangolo, allora tali triangoli sono uguali tra loro (Fig. 5).

Dato:

Riso. 5. Illustrazione del quarto segno di uguaglianza dei triangoli rettangoli

Dimostrare:

Prova: per dimostrare questo segno, useremo il segno di uguaglianza dei triangoli, che abbiamo formulato e dimostrato nell'ultima lezione, vale a dire: se i triangoli hanno due lati uguali e un angolo maggiore, allora tali triangoli sono uguali. In effetti, per condizione abbiamo due lati uguali. Inoltre, per la proprietà dei triangoli rettangoli: . Resta da dimostrare che l'angolo retto è il più grande del triangolo. Supponiamo che non sia così, il che significa che ci deve essere almeno un altro angolo maggiore di . Ma allora la somma degli angoli del triangolo sarà già maggiore. Ma questo è impossibile, il che significa che un tale angolo non può esistere in un triangolo. Quindi, l'angolo retto è il più grande in un triangolo rettangolo. Quindi, puoi usare il segno formulato sopra e ottenere: .

Formuliamo ora un'altra proprietà, che è caratteristica solo per i triangoli rettangoli.

Proprietà

La gamba opposta all'angolo è 2 volte più piccola dell'ipotenusa(figura 6).

Dato:

Riso. 6.

Dimostrare:AB

Prova: eseguire un'ulteriore costruzione: estendere la linea oltre il punto di un segmento uguale a . Facciamo un punto. Poiché gli angoli e sono adiacenti, la loro somma è uguale a . Poiché , quindi l'angolo .

Quindi triangoli rettangoli (per due gambe: - generale, - per costruzione) - il primo segno dell'uguaglianza dei triangoli rettangoli.

Dall'uguaglianza dei triangoli segue l'uguaglianza di tutti gli elementi corrispondenti. Significa, . Dove: . Inoltre, (dall'uguaglianza di tutti gli stessi triangoli). Ciò significa che il triangolo è isoscele (poiché ha angoli uguali alla base), ma un triangolo isoscele, i cui angoli sono uguali, è equilatero. Ne consegue, in particolare, che .

Proprietà della gamba opposta all'angolo in

Vale la pena notare che è vera anche l'affermazione inversa: se in un triangolo rettangolo l'ipotenusa è due volte più grande di una delle gambe, allora l'angolo acuto opposto a questa gamba è uguale a.

Nota: cartello significa che se qualche affermazione è vera, allora il triangolo è un triangolo rettangolo. Cioè, la funzione ti consente di identificare un triangolo rettangolo.

È importante non confondere il segno con proprietà- cioè, se il triangolo è ad angolo retto, allora ha tali proprietà ... Spesso i segni e le proprietà sono reciprocamente inversi, ma non sempre. Ad esempio, la proprietà di un triangolo equilatero: un triangolo equilatero ha un angolo. Ma questo non sarà un segno di un triangolo equilatero, poiché non tutti i triangoli hanno un angolo, è equilatero.