2. Fondamenti di teoria della probabilità
Valore atteso
Considera una variabile casuale con valori numerici. È spesso utile associare un numero a questa funzione: il suo "valore medio" o, come si suol dire, "valore medio", "un indicatore della tendenza centrale". Per una serie di ragioni, alcune delle quali risulteranno chiare in seguito, è comune usare la media come media.
Definizione 3. Aspettativa matematica di una variabile casuale X chiamato un numero
quelli. l'aspettativa matematica di una variabile casuale è una somma ponderata di valori di una variabile casuale con pesi pari alle probabilità dei corrispondenti eventi elementari.
Esempio 6 Calcoliamo l'aspettativa matematica del numero che è caduto sulla faccia superiore dei dadi. Segue direttamente dalla definizione 3 che
Dichiarazione 2. Lascia la variabile casuale X assume valori x 1, x 2, ..., xM. Poi l'uguaglianza
(5)
quelli. L'aspettativa matematica di una variabile casuale è la somma ponderata dei valori della variabile casuale con pesi pari alle probabilità che la variabile casuale assuma determinati valori.
Contrariamente a (4), dove la sommatoria viene effettuata direttamente su eventi elementari, un evento casuale può essere costituito da più eventi elementari.
A volte la relazione (5) è considerata la definizione dell'aspettativa matematica. Tuttavia, utilizzando la Definizione 3, come mostrato di seguito, è più facile stabilire le proprietà dell'aspettativa necessaria per costruire modelli probabilistici fenomeni reali che con l'aiuto della relazione (5).
Per dimostrare la relazione (5), raggruppiamo in (4) i termini con gli stessi valori variabile casuale :
Poiché il fattore costante può essere tolto dal segno della somma, allora
Per definizione della probabilità di un evento
Con l'aiuto delle ultime due relazioni, otteniamo quanto desiderato:
Il concetto di aspettativa matematica nella teoria probabilistico-statistica corrisponde al concetto di centro di gravità nella meccanica. Mettiamolo nei puntini x 1, x 2, ..., xM sull'asse numerico della massa P(X= X 1 ), P(X= X 2 ),…, P(X= x m) rispettivamente. Quindi l'uguaglianza (5) mostra che il centro di gravità di questo sistema di punti materiali coincide con l'aspettativa matematica, che mostra la naturalezza della definizione 3.
Dichiarazione 3. Permettere X- valore casuale, M(X)è la sua aspettativa matematica, UN- un certo numero. Poi
1) M(a)=a; 2) M(X-M(X))=0; 3M[(X- UN) 2 ]= M[(X- M(X)) 2 ]+(UN- M(X)) 2 .
Per dimostrarlo, consideriamo prima una variabile casuale che è costante, cioè la funzione mappa lo spazio degli eventi elementari in un singolo punto UN. Poiché il fattore costante può essere tolto dal segno della somma, allora
Se ogni termine della somma è diviso in due termini, allora anche l'intera somma è divisa in due somme, di cui la prima è formata dai primi termini, e la seconda dal secondo. Pertanto, l'aspettativa matematica della somma di due variabili casuali X+Y, definito sullo stesso spazio degli eventi elementari, è uguale alla somma delle aspettative matematiche M(X) E M(U) queste variabili casuali:
M(X+Y) = M(X) + M(Y).
E quindi M(X-M(X)) = M(X) - M(M(X)). Come mostrato sopra, M(M(X)) = M(X). Quindi, M(X-M(X)) = M(X) - M(X) = 0.
Perché il (X - a) 2 = ((X – M(X)) + (M(X) - UN)} 2 = (X - M(X)) 2 + 2(X - M(X))(M(X) - UN) + (M(X) – UN) 2 , Quello M[(X - a) 2] =M(X - M(X)) 2 + M{2(X - M(X))(M(X) - UN)} + M[(M(X) – UN) 2 ]. Semplifichiamo l'ultima uguaglianza. Come mostrato all'inizio della dimostrazione della Proposizione 3, l'aspettativa di una costante è la costante stessa, e quindi M[(M(X) – UN) 2 ] = (M(X) – UN) 2 . Poiché il fattore costante può essere tolto dal segno della somma, allora M{2(X - M(X))(M(X) - UN)} = 2(M(X) - UN)M(X - M(X)). Il lato destro dell'ultima uguaglianza è 0 perché, come mostrato sopra, M(X-M(X))=0. Quindi, M[(X- UN) 2 ]= M[(X- M(X)) 2 ]+(UN- M(X)) 2 , che doveva essere dimostrato.
Da quanto detto ne consegue M[(X- UN) 2 ] raggiunge un minimo UN uguale a M[(X- M(X)) 2 ], A a = M(X), poiché il secondo termine nell'uguaglianza 3) è sempre non negativo ed è uguale a 0 solo per il valore specificato UN.
Dichiarazione 4. Lascia la variabile casuale X assume valori x 1, x 2, ..., xM, e f è una funzione di un argomento numerico. Poi
Per dimostrarlo, raggruppiamo sul lato destro dell'uguaglianza (4), che determina l'aspettativa matematica, termini con gli stessi valori:
Usando il fatto che il fattore costante può essere tolto dal segno della somma, e determinando la probabilità di un evento casuale (2), otteniamo
Q.E.D.
Dichiarazione 5. Permettere X E A sono variabili casuali definite sullo stesso spazio di eventi elementari, UN E B- alcuni numeri. Poi M(ascia+ di)= Sono(X)+ bM(Y).
Usando la definizione dell'aspettativa matematica e le proprietà del simbolo di sommatoria, otteniamo una catena di uguaglianze:
Il necessario è dimostrato.
Quanto sopra mostra come l'aspettativa matematica dipenda dalla transizione verso un altro punto di riferimento e verso un'altra unità di misura (transizione Y=ascia+B), nonché alle funzioni di variabili casuali. I risultati ottenuti sono costantemente utilizzati nell'analisi tecnica ed economica, nella valutazione delle attività finanziarie ed economiche di un'impresa, nel passaggio da una valuta all'altra nei regolamenti economici esteri, nella documentazione normativa e tecnica, ecc. I risultati considerati consentono di utilizzare il stesse formule di calcolo per vari parametri scala e spostamento.
| Precedente |
L'aspettativa matematica (valore medio) di una variabile casuale X , data su uno spazio di probabilità discreto, è il numero m =M[X]=∑x i p i , se la serie converge assolutamente.
Assegnazione del servizio. Con l'aiuto del servizio modalità online vengono calcolate l'aspettativa matematica, la varianza e la deviazione standard(vedi esempio). Inoltre, viene tracciato un grafico della funzione di distribuzione F(X).
Proprietà dell'aspettativa matematica di una variabile aleatoria
- L'aspettativa matematica di un valore costante è uguale a se stessa: M[C]=C , C è una costante;
- M=DO M[X]
- L'aspettativa matematica della somma delle variabili casuali è uguale alla somma delle loro aspettative matematiche: M=M[X]+M[Y]
- L'aspettativa matematica del prodotto di variabili casuali indipendenti è uguale al prodotto delle loro aspettative matematiche: M=M[X] M[Y] se X e Y sono indipendenti.
Proprietà di dispersione
- La dispersione di un valore costante è uguale a zero: D(c)=0.
- Il fattore costante può essere estratto da sotto il segno di dispersione elevandolo al quadrato: D(k*X)= k 2 D(X).
- Se le variabili casuali X e Y sono indipendenti, allora la varianza della somma è uguale alla somma delle varianze: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
- Se le variabili casuali X e Y sono dipendenti: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
- Per la varianza vale la formula di calcolo:
D(X)=M(X 2)-(M(X)) 2
Esempio. Le aspettative matematiche e le varianze di due variabili casuali indipendenti X e Y sono note: M(x)=8 , M(Y)=7 , D(X)=9 , D(Y)=6 . Trova l'aspettativa matematica e la varianza della variabile casuale Z=9X-8Y+7 .
Soluzione. In base alle proprietà dell'aspettativa matematica: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23.
In base alle proprietà di dispersione: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345
Algoritmo per il calcolo dell'aspettativa matematica
Proprietà delle variabili aleatorie discrete: tutti i loro valori possono essere rinumerati con numeri naturali; Assegna a ogni valore una probabilità diversa da zero.- Moltiplica le coppie una per una: x i per p i .
- Aggiungiamo il prodotto di ciascuna coppia x i p i .
Ad esempio, per n = 4: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4
Esempio 1.
| x io | 1 | 3 | 4 | 7 | 9 |
| pi | 0.1 | 0.2 | 0.1 | 0.3 | 0.3 |
L'aspettativa matematica si trova con la formula m = ∑x i p i .
Aspettativa matematica M[X].
M[x] = 1*0.1 + 3*0.2 + 4*0.1 + 7*0.3 + 9*0.3 = 5.9
La dispersione si trova con la formula d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 .
Dispersione D[X].
D[X] = 1 2 *0.1 + 3 2 *0.2 + 4 2 *0.1 + 7 2 *0.3 + 9 2 *0.3 - 5.9 2 = 7.69
Deviazione standard σ(x).
σ = sqrt(D[X]) = sqrt(7.69) = 2.78
Esempio #2. Una variabile casuale discreta ha le seguenti serie di distribuzione:
| X | -10 | -5 | 0 | 5 | 10 |
| R | UN | 0,32 | 2UN | 0,41 | 0,03 |
Soluzione. Il valore a si ricava dalla relazione: Σp i = 1
Σp io = a + 0,32 + 2 a + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 a = 1
0.76 + 3 a = 1 o 0.24=3 a , da cui a = 0.08
Esempio #3. Determina la legge di distribuzione di una variabile casuale discreta se la sua varianza è nota e x 1
p 1 = 0,3; p2=0,3; p3=0.1; p 4 \u003d 0,3
d(x)=12,96
Soluzione.
Qui devi creare una formula per trovare la varianza d (x) :
d(x) = x 1 2 p 1 +x 2 2 p 2 +x 3 2 p 3 +x 4 2 p 4 -m(x) 2
dove aspettativa m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
Per i nostri dati
m(x)=6*0.3+9*0.3+x 3 *0.1+15*0.3=9+0.1x 3
12.96 = 6 2 0.3+9 2 0.3+x 3 2 0.1+15 2 0.3-(9+0.1x 3) 2
o -9/100 (x 2 -20x+96)=0
Di conseguenza, è necessario trovare le radici dell'equazione e ce ne saranno due.
x 3 \u003d 8, x 3 \u003d 12
Scegliamo quello che soddisfa la condizione x 1
Legge di distribuzione di una variabile aleatoria discreta
x 1 = 6; x2=9; x 3 \u003d 12; x4=15
p 1 = 0,3; p2=0,3; p3=0.1; p 4 \u003d 0,3
L'aspettativa matematica di una variabile casuale discreta è la somma dei prodotti di tutti i suoi possibili valori e delle loro probabilità.
Se una variabile casuale può assumere solo le cui probabilità sono rispettivamente uguali, allora l'aspettativa matematica di una variabile casuale è determinata dall'uguaglianza
Se una variabile casuale discreta assume un insieme numerabile di possibili valori, allora
Inoltre, l'aspettativa matematica esiste se la serie a destra dell'uguaglianza converge assolutamente.
Commento. Dalla definizione risulta che l'aspettativa matematica di una variabile casuale discreta è una variabile non casuale (costante).
Definizione di aspettativa matematica nel caso generale
Definiamo l'aspettativa matematica di una variabile casuale la cui distribuzione non è necessariamente discreta. Cominciamo con il caso di variabili casuali non negative. L'idea sarà di approssimare tali variabili casuali con l'aiuto di quelle discrete, per le quali l'aspettativa matematica è già stata determinata, e porre l'aspettativa matematica uguale al limite delle aspettative matematiche delle variabili casuali discrete che la approssimano. A proposito, questa è un'idea generale molto utile, che consiste nel fatto che alcune caratteristiche vengono prima determinate per oggetti semplici, e poi per oggetti più complessi vengono determinate approssimandole con quelle più semplici.
Lemma 1. Sia una variabile casuale arbitraria non negativa. Poi c'è una sequenza di variabili casuali discrete tale che
Prova. Dividiamo il semiasse in segmenti uguali di lunghezza e definiamo
Quindi le proprietà 1 e 2 seguono facilmente dalla definizione di una variabile casuale, e
Lemma 2. Sia una variabile aleatoria non negativa e due sequenze di variabili aleatorie discrete con proprietà 1-3 dal Lemma 1. Allora
Prova. Si noti che per variabili casuali non negative lo permettiamo
Dalla proprietà 3, è facile vedere che esiste una sequenza di numeri positivi tale che
Quindi ne consegue che
Usando le proprietà delle aspettative matematiche per variabili casuali discrete, otteniamo
Passando al limite man mano otteniamo l'asserzione del Lemma 2.
Definizione 1. Sia una variabile casuale non negativa, sia una sequenza di variabili casuali discrete con proprietà 1-3 dal Lemma 1. L'aspettativa matematica di una variabile casuale è il numero
Il Lemma 2 garantisce che esso non dipende dalla scelta della successione approssimante.
Sia ora una variabile casuale arbitraria. Definiamo
Dalla definizione e ne consegue facilmente
Definizione 2. L'aspettativa matematica di una variabile casuale arbitraria è il numero
Se almeno uno dei numeri a destra di questa uguaglianza è finito.
Proprietà di aspettativa
Proprietà 1. L'aspettativa matematica di un valore costante è uguale alla costante stessa:
Prova. Considereremo una costante come una variabile casuale discreta che ha un possibile valore e lo prende con probabilità, quindi,
Osservazione 1. Definiamo il prodotto di un valore costante per una variabile casuale discreta come una variabile casuale discreta i cui possibili valori sono uguali ai prodotti di una costante per possibili valori; le probabilità dei possibili valori sono uguali alle probabilità dei corrispondenti possibili valori.Ad esempio, se la probabilità di un possibile valore è uguale, allora anche la probabilità che il valore assuma un valore è pari a
Proprietà 2. Un fattore costante può essere tolto dal segno di aspettativa:
Prova. Lascia che la variabile casuale sia data dalla legge di distribuzione della probabilità:
Considerando l'Osservazione 1, scriviamo la legge di distribuzione della variabile casuale
Osservazione 2. Prima di passare alla proprietà successiva, indichiamo che due variabili casuali sono chiamate indipendenti se la legge di distribuzione di una di esse non dipende da quali possibili valori ha assunto l'altra variabile. Altrimenti, le variabili casuali sono dipendenti. Diverse variabili casuali sono chiamate mutuamente indipendenti se le leggi di distribuzione di un numero qualsiasi di esse non dipendono da quali possibili valori hanno assunto le altre variabili.
Osservazione 3. Definiamo il prodotto di variabili casuali indipendenti e come variabile casuale i cui possibili valori sono uguali ai prodotti di ogni possibile valore per ogni possibile valore delle probabilità dei possibili valori del prodotto sono uguali ai prodotti delle probabilità dei possibili valori dei fattori. Ad esempio, se la probabilità di un possibile valore è, la probabilità di un possibile valore è, allora la probabilità di un possibile valore è
Proprietà 3. L'aspettativa matematica del prodotto di due variabili casuali indipendenti è uguale al prodotto delle loro aspettative matematiche:
Prova. Lascia che variabili casuali indipendenti e siano date dalle loro leggi di distribuzione di probabilità:
Inventiamo tutti i valori che può assumere una variabile casuale, per fare ciò moltiplichiamo tutti i possibili valori per ogni possibile valore; come risultato si ottiene e, tenendo conto dell'Osservazione 3, si scrive la legge di distribuzione assumendo per semplicità che tutti i possibili valori del prodotto siano diversi (in caso contrario, la dimostrazione si svolge in modo analogo):
L'aspettativa matematica è uguale alla somma dei prodotti di tutti i possibili valori e delle loro probabilità:
Conseguenza. L'aspettativa matematica del prodotto di diverse variabili casuali mutuamente indipendenti è uguale al prodotto delle loro aspettative matematiche.
Proprietà 4. L'aspettativa matematica della somma di due variabili casuali è uguale alla somma delle aspettative matematiche dei termini:
Prova. Lasciate che le variabili casuali e siano date dalle seguenti leggi di distribuzione:
Componi tutti i possibili valori della quantità Per fare ciò, aggiungi ogni possibile valore a ogni possibile valore; otteniamo Supponiamo per semplicità che questi possibili valori siano diversi (se così non fosse, allora la dimostrazione si svolge in modo analogo), e indichiamo le loro probabilità con e rispettivamente
L'aspettativa matematica di un valore è uguale alla somma dei prodotti di possibili valori per le loro probabilità:
Dimostriamo che un Evento consistente nel prendere un valore (la probabilità di questo evento è uguale) comporta un evento che consiste nel prendere il valore o (la probabilità di questo evento è uguale per il teorema di addizione), e viceversa. Quindi segue che Le uguaglianze
Sostituendo le parti giuste di queste uguaglianze nella relazione (*), otteniamo
o infine
Dispersione e deviazione standard
In pratica, è spesso necessario stimare la dispersione dei possibili valori di una variabile casuale attorno al suo valore medio. Ad esempio, nell'artiglieria è importante sapere quanto i proiettili cadranno vicino al bersaglio che dovrebbe essere colpito.
A prima vista, può sembrare che il modo più semplice per stimare lo scattering sia calcolare tutti i possibili valori della deviazione di una variabile casuale e quindi trovarne il valore medio. Tuttavia, questo percorso non darà nulla, poiché il valore medio della deviazione, ad es. per ogni variabile casuale è zero. Questa proprietà è spiegata dal fatto che alcune possibili deviazioni sono positive, mentre altre sono negative; per effetto del loro reciproco annullamento, il valore medio dello scostamento è nullo. Queste considerazioni indicano l'opportunità di sostituire eventuali deviazioni con i loro valori assoluti o con i loro quadrati. È così che lo fanno in pratica. È vero, nel caso in cui le possibili deviazioni vengano sostituite dai loro valori assoluti, si deve operare con valori assoluti, il che a volte porta a serie difficoltà. Pertanto, molto spesso vanno dall'altra parte, ad es. calcolare il valore medio della deviazione al quadrato, che si chiama varianza.
Possono essere descritte anche variabili casuali, oltre alle leggi di distribuzione caratteristiche numeriche .
aspettativa matematica M (x) di una variabile casuale è chiamato il suo valore medio.
L'aspettativa matematica di una variabile casuale discreta è calcolata dalla formula
Dove – valori di una variabile casuale, p io- le loro probabilità.
Considera le proprietà dell'aspettativa matematica:
1. L'aspettativa matematica di una costante è uguale alla costante stessa
2. Se una variabile casuale viene moltiplicata per un certo numero k, l'aspettativa matematica verrà moltiplicata per lo stesso numero
M (kx) = kM (x)
3. L'aspettativa matematica della somma delle variabili casuali è uguale alla somma delle loro aspettative matematiche
M (x 1 + x 2 + ... + x n) \u003d M (x 1) + M (x 2) + ... + M (x n)
4. M (x 1 - x 2) \u003d M (x 1) - M (x 2)
5. Per variabili casuali indipendenti x 1 , x 2 , … x n l'aspettativa matematica del prodotto è uguale al prodotto delle loro aspettative matematiche
M (x 1, x 2, ... x n) \u003d M (x 1) M (x 2) ... M (x n)
6. M (x - M (x)) \u003d M (x) - M (M (x)) \u003d M (x) - M (x) \u003d 0
Calcoliamo l'aspettativa matematica per la variabile casuale dall'Esempio 11.
M(x) == 
.
Esempio 12. Siano rispettivamente le variabili aleatorie x 1 , x 2 date dalle leggi di distribuzione:
x 1 Tabella 2
x 2 Tabella 3
Calcola M (x 1) e M (x 2)
M (x 1) \u003d (- 0,1) 0,1 + (- 0,01) 0,2 + 0 0,4 + 0,01 0,2 + 0,1 0,1 \u003d 0
M (x 2) \u003d (- 20) 0,3 + (- 10) 0,1 + 0 0,2 + 10 0,1 + 20 0,3 \u003d 0
Le aspettative matematiche di entrambe le variabili casuali sono le stesse: sono uguali a zero. Tuttavia, la loro distribuzione è diversa. Se i valori di x 1 differiscono poco dalla loro aspettativa matematica, allora i valori di x 2 differiscono in larga misura dalla loro aspettativa matematica e le probabilità di tali deviazioni non sono piccole. Questi esempi mostrano che è impossibile determinare dal valore medio quali deviazioni da esso si verificano sia verso l'alto che verso il basso. Pertanto, con la stessa precipitazione media annua in due località, non si può dire che queste località siano ugualmente favorevoli al lavoro agricolo. Allo stesso modo, dall'indicatore dei salari medi, non è possibile giudicare la proporzione di lavoratori ad alta e bassa retribuzione. Pertanto, viene introdotta una caratteristica numerica - dispersione D(x) , che caratterizza il grado di deviazione di una variabile casuale dal suo valore medio:
D (x) = M (x - M (x)) 2 . (2)
La dispersione è l'aspettativa matematica della deviazione al quadrato di una variabile casuale dall'aspettativa matematica. Per una variabile casuale discreta, la varianza è calcolata dalla formula:
D(x)= 
= 
(3)
Dalla definizione di varianza segue che D (x) 0.
Proprietà di dispersione:
1. La dispersione della costante è zero
2. Se una variabile casuale viene moltiplicata per un numero k, la varianza viene moltiplicata per il quadrato di questo numero
D (kx) = k 2 D (x)
3. D (x) \u003d M (x 2) - M 2 (x)
4. Per variabili casuali indipendenti a coppie x 1 , x 2 , … x n la varianza della somma è uguale alla somma delle varianze.
D (x 1 + x 2 + ... + x n) = D (x 1) + D (x 2) + ... + D (x n)
Calcoliamo la varianza per la variabile casuale dall'Esempio 11.
Aspettativa matematica M (x) = 1. Pertanto, secondo la formula (3) abbiamo:
D (x) = (0 – 1) 2 1/4 + (1 – 1) 2 1/2 + (2 – 1) 2 1/4 =1 1/4 +1 1/4= 1/2
Nota che è più facile calcolare la varianza se usiamo la proprietà 3:
D (x) \u003d M (x 2) - M 2 (x).
Calcoliamo le varianze per variabili casuali x 1 , x 2 dall'Esempio 12 usando questa formula. Le aspettative matematiche di entrambe le variabili casuali sono uguali a zero.
D (x 1) \u003d 0,01 0,1 + 0,0001 0,2 + 0,0001 0,2 + 0,01 0,1 \u003d 0,001 + 0,00002 + 0,00002 + 0,001 \u003d 0,00204
D (x 2) \u003d (-20) 2 0,3 + (-10) 2 0,1 + 10 2 0,1 + 20 2 0,3 \u003d 240 +20 \u003d 260
Più il valore di dispersione è vicino a zero, minore è lo spread della variabile casuale rispetto al valore medio.
Il valore è chiamato deviazione standard. Moda casuale X tipo discreto Mdè il valore della variabile casuale, che corrisponde alla probabilità più alta.
Moda casuale X tipo continuo Md, è un numero reale definito come il punto massimo della densità della distribuzione di probabilità f(x).
Mediana di una variabile casuale X tipo continuo Mnè un numero reale che soddisfa l'equazione
- il numero di maschi su 10 neonati.
È abbastanza chiaro che questo numero non è noto in anticipo e nei prossimi dieci bambini nati potrebbero esserci:
O ragazzi - uno e solo uno delle opzioni elencate.
E, per tenersi in forma, un po' di educazione fisica:
- distanza di salto in lungo (in alcune unità).
Anche il maestro dello sport non è in grado di prevederlo :)
Comunque, quali sono le tue ipotesi?
2) Variabile casuale continua - prende Tutto valori numerici da un intervallo finito o infinito.
Nota : le abbreviazioni DSV e NSV sono popolari nella letteratura educativa
Innanzitutto, analizziamo una variabile casuale discreta, quindi - continuo.
Legge di distribuzione di una variabile aleatoria discreta
- Questo corrispondenza tra i possibili valori di questa quantità e le loro probabilità. Molto spesso, la legge è scritta in una tabella: 
Il termine è abbastanza comune riga
distribuzione, ma in alcune situazioni suona ambiguo, e quindi mi atterrò alla "legge".
E adesso punto molto importante: dalla variabile casuale Necessariamente accetterà uno dei valori, quindi si formano gli eventi corrispondenti gruppo completo e la somma delle probabilità del loro verificarsi è uguale a uno:
oppure, se scritto piegato:
Quindi, ad esempio, la legge della distribuzione delle probabilità dei punti su un dado ha la seguente forma: 
Non ci sono commenti.
Potresti avere l'impressione che una variabile casuale discreta possa assumere solo valori interi "buoni". Dissipiamo l'illusione: possono essere qualsiasi cosa:
Esempio 1
Alcuni giochi hanno la seguente legge di distribuzione dei payoff: 
…probabilmente hai sognato a lungo tali compiti :) Lascia che ti dica un segreto, anch'io. Soprattutto dopo aver terminato il lavoro teoria del campo.
Soluzione: poiché una variabile casuale può assumere solo uno dei tre valori, si formano gli eventi corrispondenti gruppo completo, il che significa che la somma delle loro probabilità è uguale a uno: 
Esponiamo il "partigiano": 
– quindi, la probabilità di vincere unità convenzionali è 0,4.
Controllo: ciò di cui hai bisogno per assicurarti.
Risposta:
Non è raro che la legge sulla distribuzione debba essere compilata in modo indipendente. Per questo uso definizione classica di probabilità, teoremi di moltiplicazione/addizione per probabilità di eventi e altri chip terra:
Esempio 2
Ci sono 50 biglietti della lotteria nella scatola, 12 dei quali stanno vincendo, e 2 di loro vincono 1000 rubli ciascuno, e il resto - 100 rubli ciascuno. Elabora una legge di distribuzione di una variabile casuale: l'entità delle vincite, se un biglietto viene estratto casualmente dalla scatola.
Soluzione: come hai notato, è consuetudine inserire i valori di una variabile casuale in ordine ascendente. Pertanto, iniziamo con le vincite più piccole, ovvero i rubli.
In totale, ci sono 50 - 12 = 38 di questi biglietti e secondo definizione classica:
è la probabilità che un biglietto estratto a caso non vinca.
Il resto dei casi è semplice. La probabilità di vincere rubli è:
Controllo: - e questo è un momento particolarmente piacevole di tali compiti!
Risposta: la legge di distribuzione del payoff richiesta: 
Il seguente compito per una decisione indipendente:
Esempio 3
La probabilità che il tiratore colpisca il bersaglio è . Crea una legge di distribuzione per una variabile casuale: il numero di colpi dopo 2 colpi.
... Sapevo che ti mancava :) Ricordiamo Teoremi di moltiplicazione e addizione. Soluzione e risposta alla fine della lezione.
La legge di distribuzione descrive completamente una variabile casuale, ma in pratica è utile (e talvolta più utile) conoscerne solo una parte. caratteristiche numeriche .
Aspettativa matematica di una variabile aleatoria discreta
In termini semplici, questo valore medio atteso con test ripetuti. Lascia che una variabile casuale assuma valori con probabilità 
rispettivamente. Quindi l'aspettativa matematica di questa variabile casuale è uguale a somma di opere tutti i suoi valori per le probabilità corrispondenti:
o in forma piegata: 
Calcoliamo, ad esempio, l'aspettativa matematica di una variabile casuale: il numero di punti caduti su un dado:
Ora ricordiamo il nostro gioco ipotetico: 
La domanda sorge spontanea: è persino redditizio giocare a questo gioco? ... chi ha impressioni? Quindi non puoi dire "improvvisamente"! Ma a questa domanda si può facilmente rispondere calcolando l'aspettativa matematica, in sostanza: media ponderata probabilità di vincita:
Quindi, l'aspettativa matematica di questo gioco perdere.
Non fidarti delle impressioni: fidati dei numeri!
Sì, qui puoi vincere 10 o anche 20-30 volte di fila, ma alla lunga saremo inevitabilmente rovinati. E non ti consiglierei di giocare a questi giochi :) Beh, forse solo per divertimento.
Da tutto quanto sopra, ne consegue che l'aspettativa matematica NON è un valore CASUALE.
Compito creativo per la ricerca indipendente:
Esempio 4
Il signor X gioca alla roulette europea secondo il seguente sistema: scommette costantemente 100 rubli sul rosso. Componi la legge di distribuzione di una variabile casuale - il suo payoff. Calcola l'aspettativa matematica delle vincite e arrotondala a copechi. Quanti media il giocatore perde ogni cento puntate?
Riferimento : La roulette europea contiene 18 settori rossi, 18 neri e 1 verde ("zero"). In caso di "rosso" che cade, il giocatore riceve una doppia puntata, altrimenti va alle entrate del casinò
Ci sono molti altri sistemi di roulette per i quali puoi creare le tue tabelle di probabilità. Ma questo è il caso in cui non abbiamo bisogno di leggi e tabelle di distribuzione, perché è stabilito per certo che l'aspettativa matematica del giocatore sarà esattamente la stessa. Cambia solo da sistema a sistema