曲線台形の面積は数値的には定積分に等しい。曲がった台形の面積の求め方

確定積分。図形の面積の計算方法

積分の応用を考えてみましょう。このレッスンでは、典型的で最も一般的なタスクを分析します。 – 定積分を使用して平面図形の面積を計算する方法。最後に、高等数学の意味を探している人たちに、それが見つかりますように。あなたは、決して知らない。実際には、初等関数を使用してダーチャプロットを近似し、定積分を使用してその面積を求める必要があります。

教材をうまくマスターするには、次のことを行う必要があります。

1) 理解する不定積分少なくとも平均レベルでは。したがって、ダミーは最初にレッスンを読む必要がありますない.

２）ニュートン・ライプニッツの公式を応用し、定積分の計算ができる。ページ上の特定の積分と温かい友好関係を築くことができます 確定積分。解決策の例.

実際、図形の面積を求めるのに、不定積分と定積分の知識はそれほど必要ありません。 「定積分を使用して面積を計算する」というタスクには、必ず図面の作成が含まれます。, そのため、あなたの知識と描画スキルがより差し迫った問題になります。この点に関して、基本的な初等関数のグラフの記憶をリフレッシュし、少なくとも直線、放物線、双曲線を作成できるようにしておくと役立ちます。これは、次のようにして行うことができます (多くの場合、これは必要です)。方法論的資料およびグラフの幾何学的変換に関する記事。

実際、定積分を使用して面積を求めるタスクには学生時代から誰もが慣れ親しんでいるので、ここからさらに詳しく説明する必要はありません。学校のカリキュラム。この記事はまったく存在しなかったかもしれませんが、実際には、学生が嫌われている学校に苦しみ、高等数学のコースを熱心に習得した場合、100 件中 99 件のケースで問題が発生します。

このワークショップの資料は、簡潔かつ詳細に、最小限の理論とともに提示されています。

まずは始めましょう湾曲した台形.

曲線台形は、軸、直線、およびこの区間で符号が変わらない区間で連続する関数のグラフで囲まれた平らな図形です。この図を見つけてみましょう それ以下ではない x 軸:

それから 曲線台形の面積は数値的には定積分に等しい。 (存在する) 定積分には、非常に優れた幾何学的意味があります。レッスン中 確定積分。解決策の例定積分は数だと言いました。そして今、もう一つ述べるべき時が来ました有益な事実. 幾何学の観点から見ると、定積分は AREA です。.

あれは、 定積分（存在する場合）は幾何学的に特定の図形の面積に対応します。たとえば、定積分を考えてみましょう。被積分関数は、軸の上に位置する平面上の曲線を定義します (希望する人は図面を作成できます)。定積分自体は、対応する曲線台形の面積に数値的に等しくなります。

例1

これは典型的な代入ステートメントです。 まず、そして最も重要な瞬間ソリューション - 描画。さらに、図面を作成する必要があります右.

図面を作成するときは、次の順序をお勧めします。 初めにすべての直線 (存在する場合) を作成し、 それから– 放物線、双曲線、その他の関数のグラフ。関数のグラフを作成する方が有益です 点ごとに、ポイントバイポイント構築テクニックは次の場所にあります。参考資料 初等関数のグラフと性質。そこには、放物線を素早く作成する方法というレッスンに非常に役立つ資料もあります。

この問題では、解決策は次のようになります。
図面を描いてみましょう (方程式が軸を定義していることに注意してください)。

湾曲した台形には影をつけませんが、ここでどの領域について話しているのかは明らかです。解決策は次のように続きます。

セグメント上に関数のグラフが配置されています 軸の上に、それが理由です：

答え：

定積分の計算とニュートン・ライプニッツの公式の適用が難しい人、講義を参照してください。 確定積分。解決策の例.

タスクが完了した後、図面を見て答えが本物かどうかを判断すると常に役に立ちます。この場合、図面内のセルの数を「目で」数えます。まあ、約9個になるでしょう、それは本当のようです。たとえば、20 平方単位という答えが得られた場合、どこかで間違いがあったことは明らかです。20 個のセルは明らかに問題の図に適合せず、せいぜい 12 個です。答えが否定的であれば、タスクも間違って解決されたことになります。

例 2

線、、軸で囲まれた図形の面積を計算します

これは自分で解決できる例です。完全な解決策と答えはレッスンの最後にあります。

曲がった台形がある場合の対処方法 車軸の下？

例 3

線と座標軸で囲まれた図形の面積を計算します。

解決: 絵を描いてみましょう:

曲がった台形がある場合 車軸の下に(少なくとも 高くない指定された軸)、その面積は次の式を使用して求めることができます。
この場合：

注意！ 2 種類のタスクを混同しないでください:

1) 幾何学的な意味を持たずに単に定積分を解くように求められた場合、それは否定的になる可能性があります。

2) 定積分を使用して図形の面積を求めるように求められた場合、その面積は常に正になります。これが、先ほど説明した式にマイナスが表示される理由です。

実際には、ほとんどの場合、図は上半面と下半面の両方に位置するため、最も単純な学校の問題から、より意味のある例に進みます。

例 4

線、で囲まれた平面図形の面積を求めます。

解決: まず、図面を完成させる必要があります。一般に、面積問題で図面を作成するとき、最も関心があるのは線の交点です。放物線と直線の交点を求めてみましょう。これは 2 つの方法で実行できます。 1 つ目の方法は分析的です。次の方程式を解きます。

これは、積分の下限が、積分の上限がであることを意味します。
可能であれば、この方法は使用しない方が良いでしょう。.

点ごとにラインを構築する方がはるかに収益性が高く、より速く、統合の限界は「それ自体で」明らかになります。さまざまなグラフのポイントごとの構築手法については、ヘルプで詳しく説明されています。 初等関数のグラフと性質。それにもかかわらず、たとえば、グラフが十分に大きい場合、または詳細な構築で積分の限界が明らかにならない場合 (端数または無理数になる可能性があります)、限界を見つける分析手法を使用する必要がある場合があります。そして、そのような例についても考えてみましょう。

私たちの仕事に戻りましょう。最初に直線を作成し、その後放物線を作成する方が合理的です。絵を描いてみましょう:

繰り返しますが、点単位で構築する場合、積分の限界はほとんどの場合「自動的に」見つかります。

そして今、実用的な公式が: セグメント上に何らかの連続関数がある場合以上何らかの連続関数を使用すると、これらの関数のグラフと線で囲まれた図の面積は、次の式を使用して求めることができます。

ここでは、Figure がどこに配置されているか、つまり軸の上か下か、そして大まかに言えば、次のように考える必要はありません。 どのグラフが高いかが重要です(別のグラフとの比較)、 そしてどれが下ですか.

検討中の例では、線分上で放物線が直線の上に位置していることは明らかであるため、から減算する必要があります。

完成したソリューションは次のようになります。

望ましい図形は、上が放物線、下が直線によって制限されます。
セグメントでは、対応する式に従って次のようになります。

答え：

実際、下半平面の曲線台形の面積に関する学校公式 (簡単な例 No. 3 を参照) は、公式の特殊なケースです。。方程式で軸を指定し、関数のグラフを配置しますので、 高くない軸、それから

次に、独自のソリューションの例をいくつか示します

例5

例6

線、で囲まれた図形の面積を求めます。

定積分を使って面積を計算する問題を解くと、時々面白い出来事が起こります。図面は正確に作成され、計算も正確でしたが、不注意が原因でした... 間違った図形の領域が見つかりました、これはまさにあなたの謙虚な使用人が何度か失敗した方法です。実際のケースを次に示します。

例 7

、、、の線で囲まれた図形の面積を計算します。

解決: まず、図面を作成しましょう:

...えー、絵は下手くそになりましたが、すべて読み取れるようです。

見つける必要がある領域の図は青色で網掛けされています（状態を注意深く見てください - 数値がどのように制限されているかを確認してください！）。しかし、実際には、不注意により、図形の影になっている領域を見つける必要があるという「不具合」が発生することがよくあります。緑!

この例は、2 つの定積分を使用して図形の面積を計算するという点でも便利です。本当に：

1) 軸の上のセグメントには直線のグラフがあります。

2) 軸の上のセグメントには双曲線のグラフがあります。

したがって、領域を追加できる (そして追加すべきである) ことは明らかです。

答え：

別の意味のあるタスクに移りましょう。

例8

線で囲まれた図形の面積を計算し、
方程式を「学校」形式で提示し、点ごとに図を作成してみましょう。

この図から、上限が「良好」であることは明らかです。
しかし、下限は何ですか？これが整数ではないことは明らかですが、何でしょうか? 多分？しかし、図面が完全な精度で作成されているという保証はどこにあるのでしょうか... あるいは根です。グラフの作成が間違っていたらどうなるでしょうか?

このような場合は、さらに時間をかけて、統合の限界を分析的に明確にする必要があります。

直線と放物線の交点を求めてみましょう。
これを行うには、次の方程式を解きます。

,

本当に、。

さらなる解決策は自明であり、重要なことは置換と符号を混同しないことです; ここでの計算は最も単純ではありません。

セグメント上、対応する式によると、

答え：

さて、レッスンの締めくくりとして、さらに 2 つの難しいタスクを見てみましょう。

例9

、、の線で囲まれた図形の面積を計算します。

解決：この図を図に描いてみましょう。

くそー、スケジュール表にサインするのを忘れてしまいました、そして、申し訳ありませんが、写真を撮り直すつもりはありませんでした。絵を描く日ではありません。つまり、今日がその日です =)

ポイントバイポイントの構築について知っておくべきこと外観正弦波 (一般的に知っておくと便利です) すべての初等関数のグラフ)、およびいくつかの正弦値は、次の場所にあります。 三角関数表。場合によっては（この場合のように）、グラフと積分限界が基本的に正しく表示される概略図を作成することが可能です。

ここでの積分限界には問題はありません。これらは、「x」がゼロから「pi」に変化するという条件から直接導き出されます。さらに決定を下してみましょう。

セグメント上では、関数のグラフは軸の上に位置するため、次のようになります。

曲線台形の面積は数値的には定積分に等しい

(存在する) 定積分には、非常に優れた幾何学的意味があります。授業で定積分は数だと言いました。ここで、もう 1 つの有益な事実を述べます。 幾何学の観点から見ると、定積分は AREA です。.

あれは、 定積分（存在する場合）は幾何学的に特定の図形の面積に対応します。たとえば、定積分を考えてみましょう。被積分関数は平面上に特定の曲線を定義し (必要に応じていつでも描画できます)、定積分自体は対応する曲線台形の面積に数値的に等しくなります。

例1

これは典型的な代入ステートメントです。 決定における最初の最も重要な点は、図面の作成です。。さらに、図面を作成する必要があります右.

図面を作成するときは、次の順序をお勧めします。 初めにすべての直線 (存在する場合) を作成し、 それから– 放物線、双曲線、その他の関数のグラフ。関数のグラフを作成する方が有益です 点ごとにポイントバイポイント構築テクニックは参考資料にあります。

そこには、放物線を素早く作成する方法というレッスンに非常に役立つ資料もあります。

この問題では、解決策は次のようになります。
図面を描いてみましょう (方程式が軸を定義していることに注意してください)。

湾曲した台形には影をつけませんが、ここでどの領域について話しているのかは明らかです。解決策は次のように続きます。

セグメント上に関数のグラフが配置されています 軸の上に、それが理由です：

答え：

定積分の計算とニュートン・ライプニッツの公式の適用が難しい人、講義を参照してください。 確定積分。解決策の例.

例 2

線、、軸で囲まれた図形の面積を計算します

これは自分で解決できる例です。完全な解決策と答えはレッスンの最後にあります。

曲がった台形がある場合の対処方法 車軸の下？

例 3

線と座標軸で囲まれた図形の面積を計算します。

解決策: 絵を描いてみましょう:

曲がった台形の場合 完全に軸の下に位置します、その面積は次の式を使用して求めることができます。
この場合：

注意！次の 2 種類のタスクを混同しないでください。

1) 幾何学的な意味を持たずに単に定積分を解くように求められた場合、それは否定的になる可能性があります。

実際には、ほとんどの場合、図は上半面と下半面の両方に位置するため、最も単純な学校の問題から、より意味のある例に進みます。

例 4

線、で囲まれた平面図形の面積を求めます。

解決策: まず、図面を作成する必要があります。一般に、面積問題で図面を作成するとき、最も関心があるのは線の交点です。放物線と直線の交点を求めてみましょう。これは 2 つの方法で実行できます。 1 つ目の方法は分析的です。次の方程式を解きます。

これは、積分の下限が、積分の上限がであることを意味します。
できればこの方法は使わない方が良いでしょう。

そして今、実際の公式は次のようになります。セグメント上に何らかの連続関数がある場合以上連続関数の場合、対応する図形の面積は次の式を使用して求めることができます。

検討中の例では、線分上で放物線が直線の上に位置していることは明らかであるため、から減算する必要があります。

完成したソリューションは次のようになります。

望ましい図形は、上が放物線、下が直線によって制限されます。
セグメントでは、対応する式に従って次のようになります。

答え：

実際、下半平面の曲線台形の面積に関する学校公式 (簡単な例 No. 3 を参照) は、公式の特殊なケースです。。軸は方程式で指定されており、関数のグラフは軸の下にあるため、

次に、独自のソリューションの例をいくつか示します

例5

例6

線、で囲まれた図形の面積を求めます。

例 7

、、、の線で囲まれた図形の面積を計算します。

まず、図面を作成しましょう。

見つける必要がある領域の図は青色で網掛けされています（状態を注意深く見てください - 数値がどのように制限されているかを確認してください！）。しかし、実際には、不注意のため、緑の影になっている図形の領域を見つける必要があることがよくあります。

この例も、2 つの定積分を使用して図形の面積を計算するので便利です。本当に：

1) 軸の上のセグメントには直線のグラフがあります。

2) 軸の上のセグメントには双曲線のグラフがあります。

したがって、領域を追加できる (そして追加すべきである) ことは明らかです。

答え：

例8

このような場合は、さらに時間をかけて、統合の限界を分析的に明確にする必要があります。

直線と放物線の交点を求めてみましょう。
これを行うには、次の方程式を解きます。

したがって、。

さらなる解決策は自明であり、重要なことは置換と符号を混同しないことです; ここでの計算は最も単純ではありません。

セグメント上、対応する式によると、

さて、レッスンの締めくくりとして、さらに 2 つの難しいタスクを見てみましょう。

例9

、、の線で囲まれた図形の面積を計算します。

解決策: この図を図に描いてみましょう。

ポイントごとの描画を作成するには、正弦波の外観を知る必要があります (一般に、正弦波の外観を知ることは役に立ちます) すべての初等関数のグラフ)、およびいくつかの正弦値は、次の場所にあります。 三角関数表。場合によっては（この場合のように）、グラフと積分限界が基本的に正しく表示される概略図を作成することが可能です。

セグメント上では、関数のグラフは軸の上に位置するため、次のようになります。

(1) サインとコサインが奇乗でどのように統合されるかをレッスンで確認できます 三角関数の積分。これは典型的な手法で、片方の副鼻腔を摘み取ります。

(2) 基本的な使い方三角恒等式として

(3) 変数を変更してみましょう。

新しい統合領域:

置き換えが本当に苦手な人はぜひレッスンを受けてください。 不定積分の代入法。定積分の置換アルゴリズムがよくわからない方はこちらのページをご覧ください。 確定積分。解決策の例.

トピック: 定積分を使用した平面図形の面積の計算

目的: 曲線台形の面積を求めるための定義と公式を学びます。

曲線台形の面積を求めるさまざまなケースを考えてみましょう。

曲がった台形の面積を計算できる。

プラン：

曲線的な台形。

湾曲した台形の面積を計算する公式。

曲線台形区間上の連続非負関数 f(x) のグラフ、線分 x=a および x=b、および点 a と b の間の x 軸の線分によって制限される図形です。。

湾曲した台形のイメージ:

それでは次に進みましょう可能なオプション座標平面上で面積を計算する必要がある図形の位置。

初め最も単純なオプション (最初の写真) と、通常のオプションがあります。 湾曲した台形、定義のように。ここで何かを発明する必要はありません。単に次の積分を取るだけです。ある前に b関数から f(x)。積分を求めると、この台形の面積もわかります。

で 2番オプションを使用すると、図は X 軸ではなく、別の関数によって制限されます。 g(x)。したがって、面積を求めるには、 CEFD、まず領域を見つける必要があります AEFB(の積分を使用 f(x))、面積を求めます。 ACDB(の積分を使用 g(x)）。そして図の必要な面積 CEFD、湾曲した台形の最初の領域と 2 番目の領域の間に差が生じます。ここでは積分の境界が同じであるため、これはすべて 1 つの積分で書くことができます (図の下の式を参照)。すべては関数の複雑さに依存します。この場合、積分を見つけるのが簡単になります。

三番目 最初のものと非常に似ていますが、台形のみが配置されており、上には配置されていません。 X軸、その下にあります。したがって、ここでは、積分の値は負であり、面積の値は正である必要があるため、同じ積分をマイナス符号のみを使用して取得する必要があります。関数の代わりに f(x)関数を取る –f(x)の場合、そのグラフは同じになり、単に x 軸に対して対称的に表示されます。

そして第4 Figure の一部が X 軸の上にあり、一部が X 軸の下にある場合のオプション。したがって、最初に図形の面積を見つける必要があります AEFB、最初のオプションと同様に、次に図の面積 あいうえお、3番目のオプションと同様に、それらを折ります。その結果、図形の面積が得られます DEFC。ここでは積分の境界が同じであるため、これはすべて 1 つの積分で書くことができます (図の下の式を参照)。すべては関数の複雑さに依存します。この場合、積分を見つけるのが簡単になります。

セルフテストの質問:

曲がった台形と呼ばれる図形は何ですか?

曲がった台形の面積を求めるにはどうすればよいですか?

関数が非負で、区間上連続であるとします。それから、によると、幾何学的な感覚ある積分の、この関数のグラフの上で、軸で下に、左右で直線で囲まれた曲線台形の面積は、次の式で計算されます（図2を参照）。

例9。線と軸で囲まれた図形の面積を求めます。

解決。関数グラフ枝が下に向いている放物線です。作ってみましょう（図3）。積分の限界を決定するには、線 (放物線) と軸 (直線) の交点を見つけます。これを行うには、連立方程式を解きます。

我々が得る：、どこ、 ; したがって、、。

米。 3

式(5)を使用して図の面積を求めます。

関数が非正で、セグメント上で連続である場合、この関数のグラフの下、軸によって上、直線によって左右に囲まれた曲線台形の面積は、次の式で計算されます。式

. (6)

関数がセグメント上で連続で、有限数の点で符号が変わる場合、影付きの図 (図 4) の面積は、対応する定積分の代数和に等しくなります。

米。 4

例10。軸と関数のグラフで囲まれた図形の面積を計算します。

米。 5

解決。絵を描いてみましょう（図5）。必要な面積は、との面積の合計です。これらの各領域を見つけてみましょう。まず、システムを解くことによって統合の限界を決定します。我々が得る、。したがって、次のようになります。

;

したがって、影付きの図の面積は、

(平方単位)。

米。 6

最後に、曲線台形の上下を線分上で連続する関数のグラフとで境界付けるとします。
そして左右に - 直線と（図6）。次に、その面積が次の式で計算されます。

. (8)

例11.線で囲まれた図形の面積を求めます。

解決。この図を図に示します。 7. 式(8)を使用してその面積を計算してみましょう。連立方程式を解くと、次のことがわかります。したがって、、。セグメントには次のものがあります。これは、式 (8) で次のように解釈することを意味します。バツ、そして品質として – 。我々が得る：

(平方単位)。

面積を計算するというより複雑な問題は、図形を重ならない部分に分割し、これらの部分の面積の合計として図形全体の面積を計算することで解決されます。

米。 7

例12。線、、で囲まれた図形の面積を求めます。

解決。絵を描いてみましょう（図8）。この図は、下からは軸、左右は直線、上からは関数のグラフによって境界が定められた曲線台形と考えることができます。この図形は上から 2 つの関数のグラフによって制限されているため、その面積を計算するには、この直線図形を 2 つの部分に分割します (1 は直線との交点の横軸です)。これらの各部分の面積は、式 (4) を使用して求められます。

(平方単位); (平方単位)。したがって、次のようになります。

(平方単位)。

米。 8

バツ= j ( で)

米。 9

結論として、曲線台形が曲線上で連続する直線、軸、および連続線によって制限されている場合 (図 9)、その面積は次の式で求められることに注意してください。

回転体の体積

線分上で連続する関数のグラフ、軸、直線、およびによって境界付けられた曲線台形を軸の周りに回転させます (図 10)。次に、結果の回転体の体積が次の式で計算されます。

. (9)

例13。双曲線、直線、軸で囲まれた曲線台形の軸の周りを回転することによって得られる物体の体積を計算します。

解決。絵を描いてみましょう（図11）。

問題の条件から、、ということがわかります。式 (9) から次のようになります。

米。 10

米。十一

軸を中心とした回転によって得られる物体の体積 OU直線で囲まれた曲線台形 y = cそして y = d、軸 OUおよび次の式で決定される、セグメント上で連続する関数のグラフ (図 12)

. (10)

バツ= j ( で)

米。 12

例 14。軸を中心に回転させて得られる物体の体積を計算します。 OU線で囲まれた曲線台形バツ 2 = 4で, y = 4, x =０（図１３）。

解決。問題の条件に従って、積分の極限を見つけます: 、。式 (10) を使用すると、次のようになります。

米。 13

平面曲線の円弧の長さ

式で与えられる曲線が平面内にあるとします (図 14)。

米。 14

意味。 円弧の長さは、破線のリンクの数が無限大になる傾向があり、最大のリンクの長さがゼロになる傾向がある場合に、この円弧に内接する破線の長さが傾向を示す限界として理解されます。

関数とその導関数がセグメント上で連続している場合、曲線の弧の長さは次の式で計算されます。

. (11)

例 15。点間に囲まれた曲線の弧長を計算します。 .

解決。私たちが抱えている問題の状況から。式 (11) を使用すると、次のようになります。

4. 不適切な積分
無限の積分限界がある

定積分の概念を導入する際には、次の 2 つの条件が満たされると想定されました。

a) 積分の限界あそして有限である。

b) 被積分関数は区間で制限されます。

これらの条件の少なくとも 1 つが満たされない場合、積分は次のように呼ばれます。 あなた自身のものではありません.

まず、無限の積分限界を持つ不適切な積分を考えてみましょう。

意味。 関数が定義され、区間上で連続するとします。右側は無制限です (図 15)。

不適切な積分が収束すると、この領域は有限になります。不適切な積分が発散すると、この領域は無限になります。

米。 15

積分の下限が無限である不適切な積分も同様に定義されます。

. (13)

この積分は、等式 (13) の右辺の極限が存在し、有限であれば収束します。それ以外の場合、積分は発散していると言われます。

2 つの無限積分限界を持つ不適切な積分は、次のように定義されます。

, (14)

ここで、с は区間の任意の点です。積分は、等式 (14) の右辺の両方の積分が収束する場合にのみ収束します。

;

G) = [分母の完全な正方形を選択: ] = [交換：

] =

これは、不適切な積分が収束し、その値がに等しいことを意味します。

Ox 軸、曲線 y=f(x)、および 2 つの直線 x=a および x=b で囲まれた湾曲した台形を考えてみましょう (図 85)。 x の任意の値を考えてみましょう (a と b ではありません)。これに増分 h = dx を与え、考慮中の曲線に属する直線 AB と CD、Ox 軸および円弧 BD で囲まれたストリップを考えてみましょう。このストリップを基本ストリップと呼びます。基本ストリップの面積は、曲線三角形BQDによる長方形ACQBの面積とは異なり、後者の面積は曲線三角形BQDによって異なります。面積が少ない辺 BQ = =h=dx) QD=Ay および面積 hAy = Ay dx に等しい長方形 BQDM。辺 h が減少すると、辺 Du も減少し、同時に h がゼロになる傾向があります。したがって、BQDM の面積は 2 次の微小になります。基本ストリップの面積は面積の増分であり、AB-AC ==/(x) dx> に等しい長方形 ACQB の面積は面積の微分です。したがって、その微分を積分することで面積そのものを求めます。検討中の図内では、独立変数 l: が a から b に変化するため、必要な面積 5 は 5= \f(x) dx に等しくなります。 (I) 例 1. 放物線 y - 1 -x*、直線 X =--Fj-、x = 1、および O* 軸によって囲まれる面積を計算してみましょう (図 86)。図で。 87.図 86. 1 ここで f(x) = 1 - l?、積分の極限は a = - および £ = 1 であるため、 J [*-t]\- -fl -- Г -1-±Л_ 1V1 -l-l- Ii-^ 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* 例 2. 正弦波 y = sinXy、Ox 軸、および直線によって制限される領域を計算してみましょう (図 87)。式 (I) を適用すると、A 2 S= J sinxdx= [-cos x]Q =0 -(-1) = lf が得られます。例 3. 正弦波の円弧によって制限される面積を計算します ^у = sin jc (囲み) Ox 軸との 2 つの隣接する交点の間 (たとえば、原点と横軸 i の点の間)。幾何学的な考慮から、この領域は前の例の領域の 2 倍になることが明らかであることに注意してください。ただし、次のように計算してみましょう。 s\nxdx= [ - cosх)* - - cos i-(-cos 0)= 1 + 1 = 2. o 確かに、私たちの仮定は正しいことが判明しました。例 4. 1 周期における正弦波と Ox 軸で囲まれた面積を計算します (図 88)。予備的な計算では、面積は例 2 の 4 倍になることが示唆されています。しかし、計算を行うと、「i Г,*i S - \ sin x dx = [ - cos x]0 = = - cos 2l -( -cos 0) = - 1 + 1 = 0。この結果については説明が必要です。問題の本質を明らかにするために、同じ正弦波 y = sin l: と l から 2i の範囲の Ox 軸によって制限される面積も計算します。式(I)を適用すると、2l $2l sin xdx=[ - cosх]l = -cos 2i~)-c05i=- 1-1 =-2 が得られます。したがって、この領域はマイナスであることがわかります。演習 3 で計算した面積と比較すると、絶対値は同じですが、符号が異なることがわかります。プロパティ V (第 11 章、§ 4 を参照) を適用すると、 2l I 2l J sin xdx= J sin * dx [ sin x dx = 2 + (- 2) = 0 が得られます。この例で起こったことは偶然ではありません。独立変数が左から右に変化する場合、積分を使用して計算すると、常に Ox 軸の下に位置する領域が取得されます。このコースでは、標識のない領域を常に考慮します。したがって、今説明した例の答えは次のようになります: 必要な面積は 2 + |-2| です。 = 4. 例 5. 図に示す BAB の面積を計算してみましょう。 89. この領域は、Ox 軸、放物線 y = - xr、および直線 y - = -x+\ によって制限されます。曲線台形の面積必要な面積 OAB は、OAM と MAV の 2 つの部分で構成されます。点 A は放物線と直線の交点なので、連立方程式 3 2 Y = mx を解くことでその座標を求めます。 (点 A の横座標を見つける必要があるだけです)。この系を解くと l がわかります。 = ~。したがって、面積は最初の正方形に分けて計算する必要があります。 OAM してからお願いします。 MAV: .... G 3 2、3 G xP 3 1/2 U 2. QAM-^x)

曲線台形の面積は数値的には定積分に等しい。 曲がった台形の面積の求め方

確定積分。 図形の面積の計算方法

曲線台形の面積は数値的には定積分に等しい

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