各トピックを見ていき、最後にトピックに関するテストがあります。
数学のポイント
数学のポイントとは何ですか? 数学的な点には次元がなく、大文字で示されます。 ラテン文字で：A、B、C、D、Fなど
図では、点 A、B、C、D、F、E、M、T、S の画像が表示されます。
数学のセグメント
数学におけるセグメントとは何ですか? 数学の授業では、次のような説明を聞くことができます。数学的なセグメントには長さと終わりがあります。 数学におけるセグメントは、セグメントの端の間の直線上にあるすべての点のセットです。 セグメントの端は 2 つの境界点です。
この図には、セグメント 、、、、および 、および 2 つの点 B と S が表示されます。
数学で直接
数学における直線とは何ですか? 数学における直線の定義は、直線には端がなく、両方向に無限に続くことができるということです。 数学における線は、線上の任意の 2 つの点によって表されます。 直線の概念を生徒に説明するには、直線は両端のない線分であると言えます。
この図には、CD と EF という 2 つの直線が示されています。
数学におけるビーム
光線とは何ですか? 数学における光線の定義: 光線は、始まりがあって終わりのない線の一部です。 ビームの名前には 2 文字が含まれます (例: DC)。 さらに、最初の文字は常にビームの開始点を示すため、文字を入れ替えることはできません。
この図は、DC、KC、EF、MT、MS の光線を示しています。 ビーム KC と KD は 1 つのビームです。 彼らには共通の起源があります。
数学における数直線
数学における数直線の定義: 点が数字をマークする直線は数直線と呼ばれます。
この図は、数直線と、OD 光線と ED 光線を示しています。
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§1. コントロールの質問
質問 1.
幾何学的形状の例を挙げてください。
答え。幾何学的形状の例: 三角形、正方形、円。
質問2。平面上の基本的な幾何学的形状に名前を付けます。
答え。主要 幾何学的形状平面上には点と直線があります。
質問3。点と線はどのように指定されますか?
答え。ポイントはラテン大文字で指定されます: A、B、C、D、…。 直通線は、小文字のラテン文字 a、b、c、d、… で指定されます。
直線は、その上にある 2 つの点によって表すことができます。 たとえば、図 4 の線 a には AC というラベルを付けることができ、線 b には BC というラベルを付けることができます。
質問4。点と線のメンバーシップの基本的なプロパティを定式化します。
答え。どのような直線であっても、その直線に属する点と属さない点が存在します。
任意の 2 点を通る直線は 1 つだけ引くことができます。
質問5。これらの点で端を持つ線分が何であるかを説明してください。
答え。セグメントは、指定された 2 つの点の間にあるこの線のすべての点で構成される線の一部です。 これらの点はセグメントの端と呼ばれます。 セグメントは、その端を示すことによって示されます。 「セグメント AB」と言うか書く場合、それらは点 A と B で終わるセグメントを意味します。
質問6。直線上の点の位置の基本的な性質を述べます。
答え。直線上の 3 つの点のうち、1 つだけが他の 2 点の間にあります。
質問7。測定セグメントの基本プロパティを定式化します。
答え。各セグメントはゼロより大きい一定の長さを持っています。 セグメントの長さは、セグメントをその点で分割した部分の長さの合計に等しくなります。
質問8。指定された 2 点間の距離はいくらですか?
答え。線分 AB の長さを点 A と点 B の間の距離といいます。
質問9。平面を 2 つの半平面に分割すると、どのような性質がありますか?
答え。プレーンを 2 つの半プレーンに分割すると、次の特性があります。 セグメントの端が同じ半平面に属している場合、セグメントは線と交差しません。 セグメントの端が異なる半平面に属している場合、セグメントは線と交差します。
この記事では、幾何学の主要な概念の 1 つである平面上の直線の概念について詳しく説明します。 まず、基本的な用語と名称を定義しましょう。 次に、線と点、および平面上の 2 つの線の相対的な位置について説明し、必要な公理を示します。 結論として、平面上に直線を定義し、グラフィック図を提供する方法を検討します。
ページナビゲーション。
平面上の直線は概念です。
平面上の直線の概念を説明する前に、平面とは何かを明確に理解する必要があります。 飛行機の概念たとえば、自宅のテーブルや壁に平らな面を得ることができます。 ただし、テーブルの寸法には制限があり、平面はこれらの境界を超えて無限に広がることに留意する必要があります (あたかも任意に大きなテーブルがあるかのように)。
よく削った鉛筆を「テーブル」の表面に触れると、点のイメージが得られます。 これが私たちが得る方法です 平面上の点の表現.
これで、次に進むことができます 平面上の直線の概念.
テーブルの表面（平面）にきれいな紙を置きます。 直線を引くには、定規と紙のサイズが許す限り、定規を用意し、鉛筆で線を引く必要があります。 この方法では、行の一部しか取得できないことに注意してください。 私たちは、直線全体が無限に伸びることしか想像できません。
線と点の相対位置。
公理から始める必要があります。すべての直線とすべての平面には点があります。
点は通常、点 A や点 F のように大文字のラテン文字で表されます。 また、直線は小さなラテン文字で表されます (直線 a と直線 d など)。
可能 平面上の線と点の相対位置の 2 つのオプション: 点が直線上にある (この場合、直線が点を通過しているとも言われます)、または点が直線上にない (点が直線に属していないか、または線は点を通過しません）。
点が特定の線に属することを示すには、記号「」を使用します。 たとえば、点 A が直線 a 上にある場合、 と書くことができます。 点 A が線 a に属さない場合は、 と書きます。
次の文は真です。任意の 2 点を通過する直線は 1 本だけです。
この記述は公理であり、事実として受け入れられる必要があります。 さらに、これは非常に明白です。紙上に 2 つの点をマークし、そこに定規を当てて直線を描きます。 指定された 2 つの点 (たとえば、点 A と B を通過) を通過する直線は、これら 2 つの文字で表すことができます (この場合、直線 AB または BA)。
平面上に定義された直線上には、無数の異なる点が存在し、これらの点はすべて同じ平面上にあることを理解する必要があります。 このステートメントは公理によって確立されます。線の 2 つの点が特定の平面内にある場合、この線のすべての点はこの平面内にあります。
直線上に与えられた 2 点の間に位置するすべての点と、これらの点の集合をと呼びます。 直線セグメントまたは単に セグメント。 セグメントを制限する点はセグメントの端と呼ばれます。 セグメントは、セグメントの端点に対応する 2 つの文字で表されます。 たとえば、点 A と B をセグメントの端とすると、このセグメントは AB または BA と指定できます。 このセグメントの指定は直線の指定と一致することに注意してください。 混乱を避けるために、「セグメント」または「ストレート」という言葉を指定に追加することをお勧めします。
ある点があるセグメントに属するか属さないかを簡単に記録するために、同じ記号と が使用されます。 特定のセグメントが線上にあるかどうかを示すには、記号と をそれぞれ使用します。 たとえば、線分 AB が線分 a に属する場合、 と短く書くことができます。
3 つの異なる点が同じ直線に属する場合についても検討する必要があります。 この場合、他の 2 つの点の間には 1 つの点だけが存在します。 このステートメントは別の公理です。 点 A、B、C が同一線上にあり、点 B が点 A と C の間にあるとします。 すると、点 A と C は点 B の反対側にあると言えます。 点 B と C は点 A の同じ側にあり、点 A と B は点 C の同じ側にあるとも言えます。
画像を完成させるために、線上の任意の点がこの線を 2 つの部分に分割することに注意してください。 ビーム。 この場合、公理が与えられます。直線に属する任意の点 O は、この直線を 2 本の光線に分割し、1 本の光線の任意の 2 点は点 O の同じ側にあり、異なる光線の任意の 2 点は存在します。点Oの反対側にあります。
平面上の線の相対位置。
ここで、「2 つの直線を互いに相対的に平面上に配置するにはどうすればよいですか?」という質問に答えてみましょう。
まず、平面上の 2 つの直線は次のようになります。 一致.
これは、線に少なくとも 2 つの共通点がある場合に可能です。 実際、前の段落で述べた公理により、2 点を通過する直線は 1 本だけです。 言い換えれば、2 つの直線が指定された 2 つの点を通過する場合、それらは一致します。
次に、平面上の 2 つの直線は次のようになります。 クロス.
この場合、線には 1 つの共通点があり、これを線の交点と呼びます。 線の交点は記号「」で示されます。たとえば、このエントリは、線 a と線 b が点 M で交差することを意味します。 交差する線は、交差する線の間の角度の概念につながります。 これとは別に、直線間の角度が90度である場合の平面上の直線の位置を考慮する価値があります。 この場合、行は次のように呼ばれます。 垂直（品物の垂直線、線の直角度を推奨します）。 線 a が線 b に垂直な場合、短い表記法を使用できます。
第三に、平面上の 2 つの直線は平行にすることができます。
実用的な観点からは、平面上の直線をベクトルとともに考えると便利です。 特に重要なのは、特定の直線上または任意の平行線上にある非ゼロ ベクトルであり、これらは次のように呼ばれます。 直線のベクトルを方向付ける。 「平面上の直線のベクトルの方向」という記事では、ベクトルの方向の例と、問題解決に使用するオプションを示しています。
また、このベクトルに垂直な線上にある非ゼロ ベクトルにも注意する必要があります。 このようなベクトルは次のように呼ばれます。 法線ベクトル。 法線ベクトルの使用については、「平面上の法線ベクトル」の記事で説明されています。
平面上に3本以上の直線が与えられると集合が生じます さまざまなオプション彼らの相対的な位置。 すべての線は平行にすることができますが、そうでない場合は、一部またはすべてが交差します。 この場合、すべての線が 1 つの点で交差することも (線の束に関する記事を参照)、異なる交点を持つこともできます。
これについては詳しく説明しませんが、いくつかの注目に値する非常に頻繁に使用される事実を証拠なしで紹介します。
- 2 つの線が 3 番目の線に平行であれば、それらは互いに平行です。
- 2 つの線が 3 番目の線に垂直であれば、それらは互いに平行です。
- 平面上の特定の線が 2 本の平行線の 1 つと交差する場合、その線は 2 番目の線とも交差します。
平面上に直線を定義するメソッド。
次に、平面上に特定の直線を定義する主な方法をリストします。 この知識は、多くの例や問題の解決策に基づいているため、実用的な観点から非常に役立ちます。
まず、平面上の 2 点を指定することで直線を定義できます。
実際、この記事の最初の段落で説明した公理から、直線は 2 つの点を通過し、1 つの点だけを通過することがわかります。
分岐する２点の座標を平面上の直交座標系で表すと、与えられた２点を通る直線の方程式を書くことができる。
次に、直線は、その直線が通過する点と平行な直線を指定することによって指定できます。 平面上の特定の点を通過し、特定の直線に平行な単一の直線が通過するため、この方法は公平です。 この事実の証明は高校の幾何学の授業で行われました。
導入された直交デカルト座標系に対してこのようにして平面上の直線を定義すると、その方程式を構成することができます。 これは、与えられた直線に平行な与えられた点を通過する直線の方程式の記事に書かれています。
第三に、直線は通過する点とその方向ベクトルを指定することで指定できます。
このように直交座標系で直線が与えられると、その平面上の直線の正準方程式や平面上の直線のパラメトリック方程式を構築することが容易になります。
直線を指定する 4 番目の方法は、直線が通過する点とその直線に垂直な直線を指定することです。 実際、平面の所定の点を通って、その直線に垂直な単一の直線が通過します。 この事実は証拠なしで放置しましょう。
最後に、平面内の線は、通過する点と線の法線ベクトルを指定することによって指定できます。
与えられた直線上にある点の座標とその直線の法線ベクトルの座標がわかっている場合は、その直線の一般方程式を書き留めることが可能です。
参考文献。
- アタナシアン L.S.、ブトゥーゾフ V.F.、カドムツェフ S.B.、ポズニャク E.G.、ユディナ I.I. 幾何学。 7 ～ 9 年生: 一般教育機関向けの教科書。
- アタナシアン L.S.、ブトゥーゾフ V.F.、カドムツェフ S.B.、キセレバ L.S.、ポズニャク E.G. 幾何学。 中学校 10 ～ 11 年生向けの教科書。
- Bugrov Ya.S.、ニコルスキー S.M. 高等数学。 第 1 巻: 線形代数と解析幾何学の要素。
- イリン V.A.、ポズニャク E.G. 解析幾何学。
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幾何学において、主な幾何学的図形は点と線です。 点を指定するには、A、B、C、D、E、F... のラテン大文字を使用するのが通例です。 直線を指定するには、a、b、c、d、e、f ... のような小文字のラテン文字が使用されます。 下の図は、直線 a といくつかの点 A、B、C、D を示しています。
図面で直線を描くには定規を使いますが、直線全体を描くのではなく、直線の一部だけを描きます。 私たちの表現における直線は両方向に無限に伸びるので、直線は無限になります。
上に示した図では、点 A と点 C が直線上に位置していることがわかります。 あ。 このような場合、点Aと点Cは直線aに属すると言われます。 または、直線は点 A と点 C を通過すると言われます。書くとき、点が直線に属することは特別なアイコンで示されます。 そして、点が線に属していないという事実は、取り消し線のみが付けられた同じアイコンでマークされます。
この場合、点 B と D は線分 a に属しません。
上で述べたように、図では点 A と点 C は直線 a に属します。 指定された 2 つの点の間にあるこの線のすべての点で構成される線の部分は、 セグメント。 言い換えれば、セグメントは 2 つの点で囲まれた線の一部です。
私たちの場合、セグメントがあります AB。 点 A と B はセグメントの端と呼ばれます。 セグメントを指定するために、その端が示されます (この場合は AB)。 点と線の所属に関する主な特性の 1 つは次のとおりです。 財産: 任意の 2 点を経由して直線を引くことができますが、直線は 1 つだけです。
2 本の線に共通点がある場合、その 2 本の線は交差していると言われます。 図において、線aと線bは点Aで交差します。線aと線cは交差しません。
2 本の直線には、共通点が 1 つだけあるか、共通点がありません。 逆に、2 本の直線に 2 つの共通点があると仮定すると、2 本の直線はそれらを通過することになります。 しかし、2 点を通る直線は 1 本しか引けないため、これは不可能です。
点は、高さ、長さ、半径などの測定特性を持たない抽象的なオブジェクトです。 タスクの範囲内では、その場所のみが重要です
点は数字または大文字（大文字）のラテン文字で示されます。 いくつかの点 - 異なる数字または 違う文字で区別できるように
点A、点B、点C
A B Cポイント1、ポイント2、ポイント3
1 2 3紙に「A」という 3 つの点を描き、その 2 つの点「A」を通る線を子供に描いてもらいます。 しかし、どのように理解すればよいのでしょうか? ああああ
ラインは点の集合です。 長さのみ計測しております。 幅も厚みもない
小文字（小さい）のラテン文字で示されます
a線、b線、c線
a b cラインは次のとおりである可能性があります
- 始まりと終わりが同じ点にある場合は閉じられます。
- 先頭と末尾が接続されていない場合は開きます
閉じた線
開いた線
あなたはアパートを出て、店でパンを買ってアパートに戻りました。 何のラインが出ましたか？ そうです、閉店しました。 あなたは出発点に戻ってきました。 あなたはアパートを出て、店でパンを買い、玄関に入り、隣人と話し始めました。 何のラインが出ましたか？ 開ける。 まだ原点に戻っていないんですね。 あなたはアパートを出て店でパンを買いました。 何のラインが出ましたか？ 開ける。 まだ原点に戻っていないんですね。- 自己交差
- 自己交差なし
自己交差する線
自己交差のないライン
- 真っ直ぐ
- 壊れた
- 曲がった
直線
破線
曲線
直線とは、曲がらず、始まりも終わりもなく、両方向に無限に続くことができる線です
直線の小さな部分が表示される場合でも、それは両方向に無限に続くものとみなします。
小文字（小さい）のラテン文字で示されます。 または 2 つの大文字 (大文字) ラテン文字 - 直線上にある点
直線a
ある直線AB
B A直接的な場合もあります
- 共通点がある場合は交差します。 2 本の線は 1 点でのみ交差できます。
- それらが直角（90°）で交差する場合は垂直になります。
- 平行で、交わらない場合は共通点がありません。
平行線
交差する線
垂直線
光線は、始まりはあるが終わりのない直線の一部であり、一方向にのみ無限に継続できます。
絵の中の光線の出発点は太陽です。
太陽
点は直線を 2 つの部分、つまり 2 本の光線に分割します A A
ビームはラテン語の小文字 (小さい) で指定されます。 または 2 つの大文字のラテン文字。最初の文字は光線の開始点であり、2 番目の文字は光線の上にある点です。
レイ
あるビームAB
B A光線が一致する場合
- 同じ直線上に位置する
- ある時点から始める
- 一方向に向けられた
光線ABとACが一致する
光線 CB と CA が一致する
CBAセグメントは 2 つの点によって制限される線の一部です。つまり、始点と終点の両方があり、その長さを測定できることを意味します。 セグメントの長さは、その開始点と終了点の間の距離です。
1 点を通して、直線を含む任意の数の線を引くことができます
2 点を通過 - 曲線は無制限ですが、直線は 1 つだけです
2点を通る曲線
B A直線AB
B Aピースが直線から「切り取られ」、セグメントが残りました。 上の例から、その長さは 2 点間の最短距離であることがわかります。 ✂ B A ✂
セグメントは 2 つの大文字のラテン文字で表され、最初の文字はセグメントの開始点、2 番目の文字はセグメントの終了点です。
セグメントAB
B A問題: 線、光線、線分、曲線はどこにありますか?
破線は、180°の角度ではなく連続して接続されたセグメントで構成される線です。
長いセグメントがいくつかの短いセグメントに「分割」されました
破線のリンク (チェーンのリンクと同様) は、破線を構成するセグメントです。 隣接リンクとは、1 つのリンクの終わりが別のリンクの始まりとなるリンクです。 隣接するリンクは同じ直線上にあってはなりません。
破線の頂点 (山の頂上と同様) は、破線の開始点、破線を形成するセグメントが接続される点、および破線の終了点です。
破線は、そのすべての頂点をリストすることによって指定されます。
破線ABCDE
ポリライン A の頂点、ポリライン B の頂点、ポリライン C の頂点、ポリライン D の頂点、ポリライン E の頂点
リンク切れ AB、リンク切れ BC、リンク切れ CD、リンク切れ DE
リンクABとリンクBCは隣接しています
リンク BC とリンク CD は隣接しています
リンク CD とリンク DE が隣接しています
ABCDE 64 62 127 52破線の長さは、そのリンクの長さの合計です: ABCDE = AB + BC + CD + DE = 64 + 62 + 127 + 52 = 305
タスク： どちらの破線が長いか、A どちらの頂点が多いか? 最初の行には、すべてのリンクが同じ長さ、つまり 13 cm です。 2 行目はすべてのリンクが同じ長さ、つまり 49 cm です。 3 行目のリンクはすべて同じ長さ、つまり 41 cm です。
ポリゴンは閉じた折れ線です
多角形の辺 (「四方向すべてに進む」、「家に向かって走る」、「テーブルのどちら側に座る?」などの表現は覚えておくのに役立ちます) は破線のリンクです。 多角形の隣接する辺は、破線の隣接するリンクになります。
多角形の頂点は破線の頂点です。 隣接する頂点は、多角形の 1 つの辺の端点です。
多角形は、そのすべての頂点をリストすることによって表されます。
自己交差のない閉じたポリライン、ABCDEF
ポリゴンABCDEF
ポリゴン頂点 A、ポリゴン頂点 B、ポリゴン頂点 C、ポリゴン頂点 D、ポリゴン頂点 E、ポリゴン頂点 F
頂点 A と頂点 B が隣接しています
頂点 B と頂点 C が隣接しています
頂点 C と頂点 D は隣接しています
頂点 D と頂点 E は隣接しています
頂点 E と頂点 F が隣接しています
頂点 F と頂点 A が隣接しています
多角形辺AB、多角形辺BC、多角形辺CD、多角形辺DE、多角形辺EF
辺ABと辺BCは隣接しています
BC面とCD面が隣接している
CD面とDE面が隣接している
辺 DE と辺 EF は隣接しています
EF側とFA側が隣接している
ABCDEF 120 60 58 122 98 141多角形の周囲は破線の長さです: P = AB + BC + CD + DE + EF + FA = 120 + 60 + 58 + 122 + 98 + 141 = 599
頂点が 3 つある多角形は三角形、4 つある多角形は四角形、5 つある多角形は五角形などと呼ばれます。