Téma lekcie
- Zmena sínusu, kosínusu a tangenty so zväčšovaním uhla.
Ciele lekcie
- Zoznámte sa s novými definíciami a pripomeňte si niektoré už naštudované.
- Zoznámte sa so vzorom zmien hodnôt sínusu, kosínusu a tangenty s rastúcim uhlom.
- Rozvíjajúce – rozvíjať pozornosť žiakov, vytrvalosť, vytrvalosť, logické myslenie, matematickú reč.
- Vzdelávacie - prostredníctvom lekcie pestovať pozorný postoj k sebe navzájom, vštepovať schopnosť počúvať súdruhov, vzájomnú pomoc, nezávislosť.
Ciele lekcie
- Otestujte si vedomosti žiakov.
Plán lekcie
- Opakovanie predtým naučeného učiva.
- Opakujúce sa úlohy.
- Zmena sínusu, kosínusu a tangenty so zväčšovaním uhla.
- Praktické využitie.
Opakovanie predtým preštudovanej látky
Začnime od úplného začiatku a spomeňte si, čo sa vám bude hodiť na osvieženie pamäte. Čo je sínus, kosínus a tangens a do akej časti geometrie tieto pojmy patria.
Trigonometria- je to tak zložité Grécke slovo: trigonón - trojuholník, metro - miera. Preto v gréčtine znamená: merané trojuholníkmi.
Predmety > Matematika > Matematika 8. ročníkTento článok je venovaný podrobnému štúdiu trigonometrických redukčných vzorcov. Dan úplný zoznam redukčné vzorce, sú uvedené príklady ich použitia, je uvedený dôkaz o správnosti vzorcov. Článok tiež poskytuje mnemotechnické pravidlo, ktoré vám umožňuje odvodiť redukčné vzorce bez toho, aby ste si každý vzorec pamätali.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Odlievacie vzorce. Zoznam
Redukčné vzorce umožňujú zredukovať základné goniometrické funkcie uhlov ľubovoľnej veľkosti na funkcie uhlov ležiacich v rozsahu od 0 do 90 stupňov (od 0 do π 2 radiány). Práca s uhlami od 0 do 90 stupňov je oveľa pohodlnejšia ako práca s ľubovoľne veľkými hodnotami, preto sa redukčné vzorce široko používajú pri riešení problémov s trigonometriou.
Predtým, než si zapíšeme samotné vzorce, objasníme si niekoľko bodov, ktoré sú dôležité pre pochopenie.
- Argumenty goniometrických funkcií v redukčných vzorcoch sú uhly v tvare ± α + 2 π · z , π 2 ± α + 2 π · z , 3 π 2 ± α + 2 π · z . Tu z je ľubovoľné celé číslo a α je ľubovoľný uhol natočenia.
- Nie je potrebné naučiť sa všetky redukčné vzorce, ktorých počet je dosť pôsobivý. Existuje mnemotechnické pravidlo, ktoré uľahčuje odvodenie požadovaného vzorca. Mnemotechnické pravidlo bude diskutované neskôr.
Teraz poďme priamo k redukčným vzorcom.
Odlievacie vzorce vám umožňujú prejsť od práce s ľubovoľnými a ľubovoľne veľkými uhlami k práci s uhlami v rozsahu od 0 do 90 stupňov. Napíšme všetky vzorce vo forme tabuľky.
Odlievané vzorce
sin α + 2 π z = sin α , cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α , c t g α + 2 π z = c t g α sin - α + 2 π z = - sin α , cos - α + 2 π z = cos α t g - α + 2 π z = - t g α , c t g - α + 2 π z = - c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos α , cos π 2 + α + 2 π z = - sin α t g π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = - t g α sin π 2 - α + 2 π z = cos α , cos π 2 - α + 2 π z = sin α t g π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 - α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z = - sin α , cos π + α + 2 π z = - cos α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π - α + 2 π z = sin α , cosα π - . + 2 π z = - cos α t g π - α + 2 π z = - t g α , c t g π - α + 2 π z = - c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 + α + 2 π z = sin α t g 3 π 2 + α + 2 π z = - c t g α, c t g 3 π 2 + α + 2 π z = - t g α sin 3 π 2 - α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 - α + 2 π z = - sin α t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g 3 π 2 - α + 2 π z = t g α
V tomto prípade sú vzorce napísané v radiánoch. Môžete ich však napísať aj pomocou stupňov. Stačí previesť radiány na stupne nahradením π 180 stupňami.
Príklady použitia odlievaných vzorcov
Ukážeme si, ako použiť redukčné vzorce a ako sa tieto vzorce používajú pri riešení praktických príkladov.
Uhol pod znamienkom goniometrickej funkcie môže byť reprezentovaný nie jedným, ale mnohými spôsobmi. Napríklad argument goniometrickej funkcie možno znázorniť ako ± α + 2 π z , π 2 ± α + 2 π z , π ± α + 2 π z , 3 π 2 ± α + 2 π z . Poďme si to ukázať.
Zoberme si uhol α = 16 π 3 . Tento uhol možno zapísať takto:
α = 16 π 3 = π + π 3 + 2 π 2 α = 16 π 3 = - 2 π 3 + 2 π 3 α = 16 π 3 = 3 π 2 - π 6 + 2 π
V závislosti od znázornenia uhla sa použije zodpovedajúci redukčný vzorec.
Zoberme si rovnaký uhol α = 16 π 3 a vypočítajme jeho dotyčnicu
Príklad 1: Použitie vzorcov na casting
α \u003d 16 π 3, t g α \u003d?
Predstavme si uhol α = 16 π 3 ako α = π + π 3 + 2 π 2
Toto znázornenie uhla bude zodpovedať redukčnému vzorcu
t g (π + α + 2 π z) = t g α
t g 16 π 3 = t g π + π 3 + 2 π 2 = t g π 3
Pomocou tabuľky uvádzame hodnotu dotyčnice
Teraz použijeme iné znázornenie uhla α = 16 π 3 .
Príklad 2: Použitie vzorcov na casting
α \u003d 16 π 3, t g α \u003d? α \u003d - 2 π 3 + 2 π 3 t g 16 π 3 \u003d t g - 2 π 3 + 2 π 3 \u003d - t g 2 π 3 \u003d - (- 3) \u003d 3
Nakoniec pre tretie znázornenie uhla píšeme
Príklad 3: Použitie vzorcov na casting
α = 16 π 3 = 3 π 2 - π 6 + 2 π t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α t g α = t g (3 π 2 - π 6 + 2 π) = c = t g 3π 6
Teraz uveďme príklad použitia zložitejších redukčných vzorcov
Príklad 4: Použitie vzorcov na casting
Predstavme si hriech 197 ° v zmysle sínusu a kosínusu ostrého uhla.
Aby bolo možné použiť redukčné vzorce, je potrebné znázorniť uhol α = 197 ° v jednej z foriem
± α + 360 ° z, 90 ° ± α + 360 ° z, 180 ° ± α + 360 ° z, 270 ° ± α + 360 ° z. Podľa stavu problému musí byť uhol ostrý. V súlade s tým máme dva spôsoby, ako to reprezentovať:
197° = 180° + 17° 197° = 270° - 73°
Dostaneme
sin 197° = sin(180° + 17°) sin 197° = sin(270° - 73°)
Teraz sa pozrime na redukčné vzorce pre sínusy a vyberieme si tie vhodné.
sin (π + α + 2 πz) = - sinα sin (3 π 2 - α + 2 πz) = - cosα sin 197 ° = sin (180 ° + 17 ° + 360 ° z) = - sin 17 ° sin 197 ° = sin(270° - 73° + 360° z) = - cos 73°
Mnemotechnické pravidlo
Castingových vzorcov je veľa a našťastie nie je potrebné sa ich učiť naspamäť. Existujú vzory, pomocou ktorých môžete odvodiť redukčné vzorce pre rôzne uhly a goniometrické funkcie. Tieto vzory sa nazývajú mnemotechnické pravidlá. Mnemotechnika je umenie memorovania. Mnemotechnické pravidlo pozostáva z troch častí alebo obsahuje tri stupne.
Mnemotechnické pravidlo
1. Argument pôvodnej funkcie je zastúpený v jednej z foriem
± α + 2 πz π 2 ± α + 2 πz π ± α + 2 πz 3 π 2 ± α + 2 πz
Uhol α musí byť medzi 0 a 90 stupňami.
2. Určí sa znamienko pôvodnej goniometrickej funkcie. Funkcia napísaná na pravej strane vzorca bude mať rovnaké znamienko.
3. Pre uhly ± α + 2 πz a π ± α + 2 πz zostáva názov pôvodnej funkcie nezmenený a pre uhly π 2 ± α + 2 πz a 3 π 2 ± α + 2 πz sa mení „spolufungovať“. Sínus ku kosínusu. Tangenta ku kotangensu.
Ak chcete použiť mnemotechnické pravidlo pre redukčné vzorce, musíte byť schopní určiť znamienka goniometrických funkcií pozdĺž štvrtín jednotkového kruhu. Pozrime sa na príklady aplikácie mnemotechnického pravidla.
Príklad 1: Použitie mnemotechnického pravidla
Zapíšme si redukčné vzorce pre cos π 2 - α + 2 πz a t g π - α + 2 πz . α - uhol prvej štvrtiny.
1. Keďže podľa podmienky α je logaritmus prvej štvrtiny, preskočíme prvý odsek pravidla.
2. Určme znamienka funkcií cos π 2 - α + 2 πz a t g π - α + 2 πz . Uhol π 2 - α + 2 πz je tiež uhol prvej štvrtiny a uhol π - α + 2 πz je uhol druhej štvrtiny. V prvom štvrťroku je funkcia kosínus kladná a dotyčnica v druhom štvrťroku má znamienko mínus. Napíšme si, ako budú v tejto fáze vyzerať požadované vzorce.
cos π 2 - α + 2 πz = + t g π - α + 2 πz = -
3. Podľa tretieho bodu sa pre uhol π 2 - α + 2 π zmení názov funkcie na Konfuciov a pre uhol π - α + 2 πz zostáva rovnaký. Píšme:
cos π 2 - α + 2 πz = + sin α t g π - α + 2 πz = - t g α
Teraz sa pozrime na vyššie uvedené vzorce a uistite sa, že mnemotechnické pravidlo funguje.
Zvážte príklad so špecifickým uhlom α = 777°. Sínus alfa privedieme k trigonometrickej funkcii ostrého uhla.
Príklad 2: Použitie mnemotechnického pravidla
1. Predstavme si uhol α = 777 ° v požadovanom tvare
777° = 57° + 360° 2 777° = 90° - 33° + 360° 2
2. Počiatočný uhol - uhol prvej štvrtiny. Takže sínus uhla je kladné znamenie. V dôsledku toho máme:
3. sin 777° = sin(57° + 360° 2) = sin 57° sin 777° = sin(90° - 33° + 360° 2) = cos 33°
Teraz sa pozrime na príklad, ktorý ukazuje, aké dôležité je správne určiť znamienko goniometrickej funkcie a správne znázorniť uhol pri použití mnemotechnického pravidla. Zopakujme si to ešte raz.
Dôležité!
Uhol α musí byť ostrý!
Vypočítajme tangens uhla 5 π 3 . Z tabuľky hodnôt hlavných goniometrických funkcií môžete okamžite prevziať hodnotu t g 5 π 3 = - 3, ale použijeme mnemotechnické pravidlo.
Príklad 3: Použitie mnemotechnického pravidla
Uhol α = 5 π 3 znázorníme v požadovanom tvare a použijeme pravidlo
t g 5 π 3 = t g 3 π 2 + π 6 = - c t g π 6 = - 3 t g 5 π 3 = t g 2 π - π 3 = - t g π 3 = - 3
Ak znázorníme uhol alfa v tvare 5 π 3 = π + 2 π 3, tak výsledok aplikácie mnemotechnického pravidla bude nesprávny.
t g 5 π 3 \u003d t g π + 2 π 3 \u003d - t g 2 π 3 \u003d - (- 3) \u003d 3
Nesprávny výsledok je spôsobený tým, že uhol 2 π 3 nie je ostrý.
Dôkaz redukčných vzorcov je založený na vlastnostiach periodicity a symetrie goniometrických funkcií, ako aj na vlastnosti posunu o uhly π 2 a 3 π 2 . Dôkaz platnosti všetkých redukčných vzorcov možno vykonať bez zohľadnenia členu 2 πz, pretože označuje zmenu uhla o celé číslo. plné revolúcie a len odráža vlastnosť periodicity.
Prvých 16 vzorcov vyplýva priamo z vlastností základných goniometrických funkcií: sínus, kosínus, tangens a kotangens.
Uvádzame dôkaz redukčných vzorcov pre sínusy a kosínusy
sin π 2 + α = cos α a cos π 2 + α = - sin α
Pozrime sa na jednotkovú kružnicu, ktorej počiatočný bod po otočení o uhol α prešiel do bodu A 1 x , y a po otočení cez uhol π 2 + α - do bodu A 2 . Z oboch bodov nakreslíme kolmice na os x.
Dva pravouhlé trojuholníky O A 1 H 1 a O A 2 H 2 sú rovnaké, pokiaľ ide o preponu a uhly k nej priľahlé. Z umiestnenia bodov na kružnici a rovnosti trojuholníkov môžeme usúdiť, že bod A 2 má súradnice A 2 - y, x. Pomocou definícií sínusu a kosínusu píšeme:
sin α \u003d y, cos α \u003d x, sin π 2 + α \u003d x, cos π 2 + α \u003d y
sin π 2 + α \u003d cos α, cos π 2 + α \u003d - sin α
Berúc do úvahy základné identity trigonometrie a to, čo bolo práve dokázané, môžeme písať
t g π 2 + α = sin π 2 + α cos π 2 + α = cos α - sin α = - c t g α c t g π 2 + α = cos π 2 + α sin π 2 + α = - sin α cos α = - tgα
Aby sme dokázali redukčné vzorce s argumentom π 2 - α, musíme ho reprezentovať ako π 2 + (- α) . Napríklad:
cos π 2 - α \u003d cos π 2 + (- α) \u003d - sin (- α) \u003d sin α
Dôkaz využíva vlastnosti goniometrických funkcií s opačnými argumentmi v znamienku.
Všetky ostatné redukčné vzorce možno dokázať na základe vyššie napísaných.
Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter
Ako si zapamätať vzorce na redukciu goniometrických funkcií? Je to jednoduché, ak použijete asociáciu.Túto asociáciu som nevymyslel ja. Ako už bolo spomenuté, dobrá asociácia by mala „držať“, to znamená vyvolávať živé emócie. Emócie vyvolané touto asociáciou nemôžem nazvať pozitívnymi. Ale dáva výsledok - umožňuje vám zapamätať si redukčné vzorce, čo znamená, že má právo na existenciu. Koniec koncov, ak sa vám to nepáči, nemusíte to používať, nie?
Redukčné vzorce sú: sin(πn/2±α), cos(πn/2±α), tg(πn/2±α), ctg(πn/2±α). Pamätáme si, že +α dáva pohyb proti smeru hodinových ručičiek, - α - pohyb v smere hodinových ručičiek.
Na prácu s redukčnými vzorcami sú potrebné dva body:
1) dáme znamienko, ktoré má začiatočná funkcia (v učebniciach píšu: redukovateľná. Ale aby sme sa neplietli, je lepšie nazvať ju začiatočnou), ak za uhol prvej štvrtiny považujeme α, že je malé.
2) Horizontálny priemer - π ± α, 2π ± α, 3π ± α ... - vo všeobecnosti, keď neexistuje zlomok, názov funkcie sa nemení. Vertikálne π / 2 ± α, 3π / 2 ± α, 5π / 2 ± α ... - keď je tam zlomok, zmení sa názov funkcie: sínus - na kosínus, kosínus - na sínus, dotyčnica - na kotangens a kotangens — k dotyčnici. 
Teraz vlastne asociácia:
vertikálny priemer (je tam zlomok) -
opitý stojí. Čo sa s ním stane skôr
alebo neskoro? Presne tak, padne.
Názov funkcie sa zmení.
Ak je priemer vodorovný, pijan už leží. Asi spí. Nič sa mu nestane, už zaujal vodorovnú polohu. V súlade s tým sa názov funkcie nemení.
Teda sin(π/2±α), sin(3π/2±α), sin(5π/2±α) atď. dať ±cosα,
a sin(π±α), sin(2π±α), sin(3π±α), … — ±sinα.
Ako už vieme.
Ako to funguje? Pozrime sa na príklady.
1) cos(π/2+α)=?
Stávame sa na π/2. Keďže +α znamená, že ideme dopredu, proti smeru hodinových ručičiek. Spadáme do štvrte II, kde má kosínus znak "-". Názov funkcie sa zmení („opitý stojí“, čo znamená, že padne). takže,
cos(π/2+α)=-sinα.
Stávame sa 2π. Keďže -α - ideme späť, teda v smere hodinových ručičiek. Spadáme do štvrtej IV, kde dotyčnica má znamienko "-". Názov funkcie sa nemení (priemer je vodorovný, „opilec už leží“). Teda tg(2π-α)=- tgα.
3) ctg²(3π/2-α)=?
Príklady, v ktorých je funkcia zvýšená na rovnomernú moc, sú ešte jednoduchšie vyriešiť. Párny stupeň „-“ sa odstráni, to znamená, že musíte zistiť, či sa názov funkcie zmení alebo zostane. Priemer je vertikálny (je tam zlomok, „opilec stojí“, spadne), názov funkcie sa zmení. Dostaneme: ctg²(3π/2-α)= tg²α.
A ešte jedna úloha B11 na tú istú tému – z reálneho POUŽITIA v matematike.
Úloha. Nájdite hodnotu výrazu:
V tomto krátkom videonávode sa naučíme, ako aplikovať redukčné vzorce na riešenie reálnych úloh B11 zo skúšky z matematiky. Ako vidíte, máme pred sebou dva trigonometrické výrazy, z ktorých každý obsahuje sínusy a kosínusy, ako aj dosť brutálne číselné argumenty.
Pred riešením týchto problémov si pripomeňme, čo sú redukčné vzorce. Takže, ak máme výrazy ako:
Potom sa prvého člena (tvaru k · π/2) môžeme zbaviť podľa špeciálnych pravidiel. Nakreslíme trigonometrický kruh, označíme na ňom hlavné body: 0, π/2; π; 3π/2 a 2π. Potom sa pozrieme na prvý člen pod znamienkom goniometrickej funkcie. Máme:
- Ak člen, ktorý nás zaujíma, leží na zvislej osi trigonometrickej kružnice (napríklad: 3π / 2; π / 2 atď.), potom je pôvodná funkcia nahradená kofunkciou: sínus je nahradený kosínus a kosínus je nahradený sínusom.
- Ak náš člen leží na vodorovnej osi, potom sa pôvodná funkcia nemení. Stačí odstrániť prvý výraz vo výraze – a je to.
Dostaneme teda goniometrickú funkciu, ktorá neobsahuje členy tvaru k · π/2. Tým však práca s redukčnými vzorcami nekončí. Ide o to, že pred naším Nová funkcia, získané po "vyradení" prvého termínu, môže byť znamienko plus alebo mínus. Ako identifikovať toto znamenie? Teraz to zistíme.
Predstavte si, že uhol α, ktorý po transformáciách zostane vo vnútri goniometrickej funkcie, má veľmi malú mieru. Čo však znamená „malá miera“? Predpokladajme, že α ∈ (0; 30 °) - to je dosť. Zoberme si funkciu ako príklad:
Potom, podľa našich predpokladov, že α ∈ (0; 30°) dospejeme k záveru, že uhol 3π/2 − α leží v treťom súradnicovom kvadrante, t.j. 3π/2 − α ∈ (π; 3π/2). Pripomíname si znak pôvodnej funkcie, t.j. y = sin x na tomto intervale. Je zrejmé, že sínus v tretej súradnicovej štvrtine je záporný, pretože podľa definície je sínus ordinátou konca pohyblivého polomeru (v skratke, sínus je súradnica y). No súradnica y v dolnej polrovine vždy zaberá záporné hodnoty. V treťom štvrťroku je teda y tiež záporné.
Na základe týchto úvah môžeme napísať konečný výraz:
Problém B11 - 1 možnosť
Tieto isté techniky sú celkom vhodné na riešenie problému B11 z Jednotnej štátnej skúšky z matematiky. Jediný rozdiel je v tom, že v mnohých skutočných problémoch B11 sa namiesto radiánovej miery (t.j. čísla π, π/2, 2π atď.) používa miera stupňov (t.j. 90°, 180°, 270° a atď.). Pozrime sa na prvú úlohu:
Najprv sa vysporiadajme s čitateľom. cos 41° je netabuľková hodnota, takže s tým nemôžeme nič robiť. Zatiaľ to nechajme tak.
Teraz sa pozrite na menovateľa:
sin 131° = sin (90° + 41°) = cos 41°
Je zrejmé, že máme pred sebou redukčný vzorec, takže sínus bol nahradený kosínusom. Okrem toho na segmente leží uhol 41° (0°; 90°), t.j. v prvom súradnicovom štvrťroku - presne tak, ako je to potrebné na uplatnenie redukčných vzorcov. Ale potom je 90° + 41° druhá súradnicová štvrtina. Pôvodná funkcia y = sin x je tam kladná, preto sme v poslednom kroku dali pred kosínus znamienko plus (inými slovami, nevložili sme nič).
Zostáva sa zaoberať posledným prvkom:
cos 240° = cos (180° + 60°) = -cos 60° = -0,5
Tu vidíme, že 180° je horizontálna os. V dôsledku toho sa samotná funkcia nezmení: bol tam kosínus - a kosínus tiež zostane. Opäť však vyvstáva otázka: bude plus alebo mínus pred výsledným výrazom cos 60 °? Všimnite si, že 180° je tretí súradnicový kvadrant. Kosínus je tam záporný, preto kosínus skončí so znamienkom mínus. Celkovo dostaneme konštrukciu -cos 60° = -0,5 - to je tabuľková hodnota, takže všetko sa dá ľahko vypočítať.
Teraz dosadíme získané čísla do pôvodného vzorca a dostaneme:
Ako vidíte, číslo cos 41 ° v čitateli a menovateli zlomku sa ľahko zníži a zostane obvyklý výraz, ktorý sa rovná -10. V tomto prípade môže byť mínus buď vyňaté a umiestnené pred zlomkom, alebo "ponechané" vedľa druhého multiplikátora až do posledného kroku výpočtov. Tak či onak, odpoveď je -10. To je všetko, problém B11 je vyriešený!
Problém B14 - 2. možnosť
Prejdime k druhej úlohe. Pred nami je opäť zlomok:
No v prvom súradnicovom kvadrante máme 27°, takže tu už nič nezmeníme. Ale hriech 117 ° musí byť natretý (zatiaľ bez akéhokoľvek štvorca):
sin 117° = sin (90° + 27°) = cos 27°
Očividne opäť pred nami redukčný vzorec: 90° je vertikálna os, takže sínus sa zmení na kosínus. Okrem toho uhol α = 117° = 90° + 27° leží v druhom súradnicovom kvadrante. Pôvodná funkcia y = sin x je tam kladná, preto pred kosínusom po všetkých transformáciách stále zostáva znamienko plus. Inými slovami, nič sa tam nepridáva - necháme to tak: cos 27 °.
Vraciame sa k pôvodnému výrazu, ktorý je potrebné vyhodnotiť:
Ako vidíme, hlavný faktor sa objavil v menovateli po transformáciách. trigonometrická identita: sin 2 27° + cos 2 27° = 1. Celkom -4: 1 = -4 - tak sme našli odpoveď na druhú úlohu B11.
Ako vidíte, pomocou redukčných vzorcov sa takéto úlohy z Jednotnej štátnej skúšky z matematiky riešia len v niekoľkých riadkoch. Žiadne sínusy súčtu a kosínusy rozdielu. Všetko, čo si musíme zapamätať, je len trigonometrický kruh.
Patria do "trigonometrie" sekcie matematiky. Ich podstatou je priniesť goniometrické funkcie uhlov do „jednoduchšej“ podoby. O dôležitosti ich vedomostí sa dá napísať veľa. Týchto vzorcov je 32!
Nebojte sa, nemusíte sa ich učiť, ako mnohé iné vzorce v rámci matematiky. Nemusíte si zapĺňať hlavu zbytočnými informáciami, musíte si zapamätať „kľúče“ alebo zákony a zapamätať si alebo odvodiť požadovaný vzorec nebude problém. Mimochodom, keď v článkoch píšem „...treba sa učiť!!!“ - to znamená, že je naozaj potrebné sa to naučiť.
Ak sa v redukčných vzorcoch nevyznáte, jednoduchosť ich odvodenia vás milo prekvapí – existuje „zákon“, s ktorým je to jednoduché. A ktorýkoľvek z 32 vzorcov napíšete za 5 sekúnd.
Uvediem len niektoré z úloh, ktoré budú na skúške z matematiky, kde bez znalosti týchto vzorcov je veľká pravdepodobnosť neúspechu pri riešení. Napríklad:
- úlohy na riešenie pravouhlého trojuholníka, kde hovoríme o vonkajšom uhle a úlohy na vnútorné uhly, niektoré z týchto vzorcov sú tiež potrebné.
- úlohy na výpočet hodnôt goniometrických výrazov; transformácie číselných goniometrických výrazov; transformácie doslovných goniometrických výrazov.
– úlohy pre dotyčnicu a geometrický význam dotyčnica, je potrebný redukčný vzorec pre dotyčnicu, ako aj ďalšie úlohy.
- stereometrické úlohy, pri riešení je často potrebné určiť sínus alebo kosínus uhla, ktorý leží v rozsahu od 90 do 180 stupňov.
A to sú práve tie body, ktoré sa týkajú skúšky. A v priebehu samotnej algebry je veľa problémov, ktorých riešenie je bez znalosti redukčných vzorcov jednoducho nemožné.
K čomu to teda vedie a ako nám stanovené vzorce zjednodušujú riešenie problémov?
Napríklad musíte určiť sínus, kosínus, tangens alebo kotangens ľubovoľného uhla medzi 0 a 450 stupňami:
uhol alfa sa pohybuje od 0 do 90 stupňov
* * *
Takže je potrebné pochopiť „zákon“, ktorý tu funguje:
1. Určte znamienko funkcie v príslušnej štvrtine.
Pripomeniem im:
2. Pamätajte na nasledovné:
funkcia sa mení na kofunkciu
funkcia sa nemení na kofunkciu
Čo znamená pojem – funkcia sa mení na kofunkciu?
Odpoveď: sínus sa mení na kosínus alebo naopak, dotyčnica na kotangens alebo naopak.
To je všetko!
Teraz, podľa predloženého zákona, píšeme nezávisle niekoľko redukčných vzorcov:
Tento uhol leží v treťom štvrťroku, kosínus v treťom štvrťroku je záporný. Funkciu pre kofunkciu nemeníme, pretože máme 180 stupňov, čo znamená:
Uhol leží v prvej štvrtine, sínus v prvej štvrtine je kladný. Funkciu nemeníme na kofunkciu, pretože máme 360 stupňov, čo znamená:
Tu je ďalšie dodatočné potvrdenie, že sínusy susedných uhlov sú rovnaké:
Uhol leží v druhej štvrtine, sínus v druhej štvrtine je kladný. Funkciu nemeníme na kofunkciu, pretože máme 180 stupňov, čo znamená:
Prepracujte si každý vzorec mentálne alebo písomne a uvidíte, že v tom nie je nič zložité.
***
V článku o riešení bola zaznamenaná taká skutočnosť - sínus jedného ostrého uhla v správny trojuholník sa rovná kosínusu iného ostrého uhla v ňom.