Násobenie celého čísla zlomkom je jednoduchá úloha. Existujú však jemnosti, ktoré ste pravdepodobne pochopili v škole, ale odvtedy ste na ne zabudli.
Ako vynásobiť celé číslo zlomkom - niekoľko pojmov
Ak si pamätáte, čo je čitateľ a menovateľ a ako sa správny zlomok líši od nesprávneho, tento odsek preskočte. Je pre tých, ktorí úplne zabudli na teóriu.
Čitateľ je vrchná časť zlomky sú to, čo delíme. Menovateľ je ten spodný. To je to, čo zdieľame.
Správny zlomok je zlomok, ktorého čitateľ je menší ako menovateľ. Nevlastný zlomok je zlomok, ktorého čitateľ je väčší alebo rovný menovateľovi.
Ako vynásobiť celé číslo zlomkom
Pravidlo pre násobenie celého čísla zlomkom je veľmi jednoduché - čitateľa vynásobíme celým číslom a menovateľa sa nedotkneme. Napríklad: dve vynásobené jednou pätinou – dostaneme dve pätiny. Štyri krát tri šestnástky je dvanásť šestnástok.
Zníženie
V druhom príklade je možné výslednú frakciu znížiť.
Čo to znamená? Všimnite si, že čitateľ aj menovateľ tohto zlomku sú deliteľné štyrmi. Delenie oboch čísel spoločným deliteľom sa nazýva zmenšovanie zlomku. Dostaneme tri štvrtiny.
Nepravé zlomky
Predpokladajme však, že vynásobíme štyri krát dve pätiny. Má osem pätín. Toto je nesprávny zlomok.
Musí sa uviesť do správnej formy. Aby ste to dosiahli, musíte z nej vybrať celú časť.
Tu je potrebné použiť delenie so zvyškom. Zostáva nám jedna a tri.
Jeden celok a tri pätiny je náš správny zlomok.
Oprava tridsiatich piatich osmin je o niečo náročnejšia. Najbližšie číslo k tridsiatim siedmim, ktoré je deliteľné ôsmimi, je tridsaťdva. Pri rozdelení dostaneme štyri. Od tridsiatich piatich odpočítame tridsaťdva – dostaneme tri. Výsledok: štyri celé a tri osminy.
Rovnosť čitateľa a menovateľa. A tu je všetko veľmi jednoduché a krásne. Keď sú čitateľ a menovateľ rovnaký, výsledok je len jeden.
Násobenie obyčajných zlomkov
Zvážte príklad.
Nech je na tanieri $\frac(1)(3)$ časť jablka. Musíme nájsť jeho časť $\frac(1)(2)$. Požadovaná časť je výsledkom vynásobenia zlomkov $\frac(1)(3)$ a $\frac(1)(2)$. Výsledkom vynásobenia dvoch spoločných zlomkov je spoločný zlomok.
Násobenie dvoch bežných zlomkov
Pravidlo na násobenie obyčajných zlomkov:
Výsledkom vynásobenia zlomku zlomkom je zlomok, ktorého čitateľ sa rovná súčinu čitateľov vynásobených zlomkov a menovateľ sa rovná súčinu menovateľov:
Príklad 1
Vynásobte obyčajné zlomky $\frac(3)(7)$ a $\frac(5)(11)$.
Riešenie.
Využime pravidlo násobenia obyčajných zlomkov:
\[\frac(3)(7)\cdot \frac(5)(11)=\frac(3\cdot 5)(7\cdot 11)=\frac(15)(77)\]
odpoveď:$\frac(15)(77)$
Ak sa v dôsledku násobenia zlomkov získa zrušiteľný alebo nesprávny zlomok, potom je potrebné ho zjednodušiť.
Príklad 2
Vynásobte zlomky $\frac(3)(8)$ a $\frac(1)(9)$.
Riešenie.
Na násobenie obyčajných zlomkov používame pravidlo:
\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)\]
Výsledkom je, že sme dostali redukovateľný zlomok (na základe delenia 3 $. Vydelíme čitateľa a menovateľa zlomku 3 $, dostaneme:
\[\frac(3)(72)=\frac(3:3)(72:3)=\frac(1)(24)\]
Krátke riešenie:
\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)=\frac(1) (24)\]
odpoveď:$\frac(1)(24).$
Pri násobení zlomkov môžete zmenšiť čitateľov a menovateľov, aby ste našli ich súčin. V tomto prípade sa čitateľ a menovateľ zlomku rozloží na hlavné faktory, po ktorom sa redukujú opakované faktory a nájde sa výsledok.
Príklad 3
Vypočítajte súčin zlomkov $\frac(6)(75)$ a $\frac(15)(24)$.
Riešenie.
Na násobenie obyčajných zlomkov použijeme vzorec:
\[\frac(6)(75)\cdot \frac(15)(24)=\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)\]
Je zrejmé, že čitateľ a menovateľ obsahujú čísla, ktoré možno v pároch zmenšiť o čísla $2$, $3$ a $5$. Rozložíme čitateľa a menovateľa na jednoduché faktory a urobíme redukciu:
\[\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)=\frac(2\cdot 3\cdot 3\cdot 5)(3\cdot 5\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3)=\frac(1)(5\cdot 2\cdot 2)=\frac(1)(20)\]
odpoveď:$\frac(1)(20).$
Pri násobení zlomkov možno použiť komutatívny zákon:
Násobenie zlomku prirodzeným číslom
Pravidlo pre násobenie obyčajného zlomku prirodzeným číslom:
Výsledkom vynásobenia zlomku prirodzeným číslom je zlomok, v ktorom sa čitateľ rovná súčinu čitateľa vynásobeného zlomku prirodzeným číslom a menovateľ sa rovná menovateľovi vynásobeného zlomku:
kde $\frac(a)(b)$ je bežný zlomok, $n$ je prirodzené číslo.
Príklad 4
Vynásobte zlomok $\frac(3)(17)$ hodnotou $4$.
Riešenie.
Využime pravidlo násobenia obyčajného zlomku prirodzeným číslom:
\[\frac(3)(17)\cdot 4=\frac(3\cdot 4)(17)=\frac(12)(17)\]
odpoveď:$\frac(12)(17).$
Nezabudnite skontrolovať výsledok násobenia na kontrahovateľnosť zlomku alebo na nesprávny zlomok.
Príklad 5
Vynásobte zlomok $\frac(7)(15)$ hodnotou $3$.
Riešenie.
Použime vzorec na násobenie zlomku prirodzeným číslom:
\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)\]
Kritériom delenia číslom $3$) možno určiť, že výsledný zlomok možno zmenšiť:
\[\frac(21)(15)=\frac(21:3)(15:3)=\frac(7)(5)\]
Výsledkom je nesprávny zlomok. Zoberme si celú časť:
\[\frac(7)(5)=1\frac(2)(5)\]
Krátke riešenie:
\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)=\frac(7)(5)=1\frac(2) (5)\]
Zlomky bolo možné zmenšiť aj nahradením čísel v čitateli a menovateli ich rozšíreniami na prvočísla. V tomto prípade môže byť riešenie napísané takto:
\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(7\cdot 3)(3\cdot 5)=\frac(7)(5)= 1\frac(2)(5)\]
odpoveď:$1\frac(2)(5).$
Pri násobení zlomku prirodzeným číslom môžete použiť komutatívny zákon:
Delenie obyčajných zlomkov
Operácia delenia je inverzná k násobeniu a jej výsledkom je zlomok, ktorým musíte vynásobiť známy zlomok, aby ste získali známy súčin dvoch zlomkov.
Delenie dvoch bežných zlomkov
Pravidlo delenia obyčajných zlomkov: Je zrejmé, že čitateľ a menovateľ výsledného zlomku možno rozložiť na jednoduché faktory a znížiť:
\[\frac(8\cdot 35)(15\cdot 12)=\frac(2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 7)(3\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 3)= \frac(2\cdot 7)(3\cdot 3)=\frac(14)(9)\]
V dôsledku toho sme dostali nesprávny zlomok, z ktorého vyberieme celú časť:
\[\frac(14)(9)=1\frac(5)(9)\]
odpoveď:$1\frac(5)(9).$
Ďalšou operáciou, ktorú možno vykonať s obyčajnými zlomkami, je násobenie. Pokúsime sa vysvetliť jej základné pravidlá pri riešení úloh, ukážeme, ako sa obyčajný zlomok násobí prirodzeným číslom a ako správne násobiť tri a viac obyčajných zlomkov.
Najprv si napíšme základné pravidlo:
Definícia 1
Ak vynásobíme jeden obyčajný zlomok, potom sa čitateľ výsledného zlomku bude rovnať súčinu čitateľov pôvodných zlomkov a menovateľ súčinu ich menovateľov. V doslovnom tvare to možno pre dva zlomky a / b a c / d vyjadriť ako a b · c d = a · c b · d.
Pozrime sa na príklad, ako správne aplikovať toto pravidlo. Povedzme, že máme štvorec, ktorého strana sa rovná jednej číselnej jednotke. Potom bude plocha obrázku 1 štvorcový. jednotka. Ak štvorec rozdelíme na rovnaké obdĺžniky so stranami rovnými 1 4 a 1 8 číselnej jednotky, dostaneme, že teraz pozostáva z 32 obdĺžnikov (pretože 8 4 = 32). V súlade s tým sa plocha každého z nich bude rovnať 1 32 plochy celého obrázku, t.j. 1 32 m2 Jednotky.
Máme tieňovaný fragment so stranami rovnými 5 8 číselným jednotkám a 3 4 číselným jednotkám. Preto na výpočet jeho plochy je potrebné vynásobiť prvý zlomok druhým. Bude sa rovnať 5 8 3 4 štvorcovým metrom. Jednotky. Ale môžeme jednoducho spočítať, koľko obdĺžnikov je zahrnutých vo fragmente: je ich 15, čo znamená, že celková plocha je 1532 štvorcových jednotiek.
Pretože 5 3 = 15 a 8 4 = 32, môžeme napísať nasledujúcu rovnicu:
5 8 3 4 = 5 3 8 4 = 15 32
Je to potvrdenie nami sformulovaného pravidla pre násobenie obyčajných zlomkov, ktoré je vyjadrené ako a b · c d = a · c b · d. Funguje to rovnako pre správne aj nesprávne zlomky; Môže sa použiť na násobenie zlomkov s rôznymi a rovnakými menovateľmi.
Poďme analyzovať riešenia niekoľkých úloh na násobenie obyčajných zlomkov.
Príklad 1
Vynásobte 7 11 číslom 9 8 .
Riešenie
Na začiatok vypočítame súčin čitateľov uvedených zlomkov vynásobením 7 x 9. Máme 63. Potom vypočítame súčin menovateľov a dostaneme: 11 8 = 88 . Poskladajme odpoveď z dvoch čísel: 63 88.
Celé riešenie možno napísať takto:
7 11 9 8 = 7 9 11 8 = 63 88
odpoveď: 7 11 9 8 = 63 88 .
Ak sme v odpovedi dostali redukovateľný zlomok, musíme dokončiť výpočet a vykonať jeho redukciu. Ak dostaneme nesprávny zlomok, musíme z neho vybrať celú časť.
Príklad 2
Vypočítajte súčin zlomkov 415 a 556.
Riešenie
Podľa vyššie uvedeného pravidla musíme vynásobiť čitateľa čitateľom a menovateľa menovateľom. Zadanie riešenia bude vyzerať takto:
4 15 55 6 = 4 55 15 6 = 220 90
Získali sme redukovanú frakciu, t.j. ten, ktorý má znamienko deliteľnosti 10.
Znížime zlomok: 220 90 GCD (220, 90) \u003d 10, 220 90 \u003d 220: 10 90: 10 \u003d 22 9. V dôsledku toho sme dostali nesprávny zlomok, z ktorého vyberieme celočíselnú časť a dostaneme zmiešané číslo: 22 9 = 2 4 9 .
odpoveď: 4 15 55 6 = 2 4 9 .
Pre uľahčenie výpočtu môžeme pôvodné zlomky zmenšiť aj pred vykonaním operácie násobenia, na ktorú potrebujeme zlomok uviesť do tvaru a · c b · d. Hodnoty premenných rozložíme na jednoduché faktory a tie isté zrušíme.
Vysvetlime si, ako to vyzerá s použitím údajov konkrétneho problému.
Príklad 3
Vypočítajte súčin 4 15 55 6 .
Riešenie
Napíšme výpočty na základe pravidla násobenia. Budeme môcť:
4 15 55 6 = 4 55 15 6
Pretože ako 4 = 2 2 , 55 = 5 11 , 15 = 3 5 a 6 = 2 3 , potom 4 55 15 6 = 2 2 5 11 3 5 2 3 .
2 11 3 3 = 22 9 = 2 4 9
Odpoveď: 4 15 55 6 = 2 4 9 .
Číselný výraz, v ktorom dochádza k násobeniu obyčajných zlomkov, má komutatívnu vlastnosť, to znamená, že v prípade potreby môžeme zmeniť poradie faktorov:
a b c d = c d a b = a c b d
Ako vynásobiť zlomok prirodzeným číslom
Hneď si zapíšme základné pravidlo, a potom si ho skúsme vysvetliť v praxi.
Definícia 2
Ak chcete vynásobiť obyčajný zlomok prirodzeným číslom, musíte vynásobiť čitateľa tohto zlomku týmto číslom. V tomto prípade sa menovateľ konečného zlomku bude rovnať menovateľovi pôvodného obyčajného zlomku. Násobenie nejakého zlomku a b prirodzeným číslom n možno zapísať ako vzorec a b · n = a · n b .
Je ľahké pochopiť tento vzorec, ak si pamätáte, že akékoľvek prirodzené číslo môže byť reprezentované ako obyčajný zlomok s menovateľom, rovný jednej, teda:
a b n = a b n 1 = a n b 1 = a n b
Vysvetlíme našu myšlienku na konkrétnych príkladoch.
Príklad 4
Vypočítajte súčin 2 27 krát 5 .
Riešenie
V dôsledku vynásobenia čitateľa pôvodného zlomku druhým faktorom dostaneme 10. Na základe vyššie uvedeného pravidla dostaneme ako výsledok 10 27. Celé riešenie je uvedené v tomto príspevku:
2 27 5 = 2 5 27 = 10 27
odpoveď: 2 27 5 = 10 27
Keď vynásobíme prirodzené číslo spoločným zlomkom, často musíme výsledok zmenšiť alebo reprezentovať ako zmiešané číslo.
Príklad 5
Podmienka: Vypočítajte súčin 8 krát 5 12 .
Riešenie
Podľa vyššie uvedeného pravidla vynásobíme prirodzené číslo čitateľom. Výsledkom je, že 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12. Posledný zlomok má znaky deliteľnosti 2, takže ho musíme zmenšiť:
LCM (40, 12) \u003d 4, takže 40 12 \u003d 40: 4 12: 4 \u003d 10 3
Teraz už len musíme vybrať celú časť a zapísať hotovú odpoveď: 10 3 = 3 1 3.
V tomto zázname môžete vidieť celé riešenie: 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12 = 10 3 = 3 1 3 .
Zlomok by sme mohli zmenšiť aj rozdelením čitateľa a menovateľa na prvočísla a výsledok by bol úplne rovnaký.
odpoveď: 5 12 8 = 3 1 3 .
Číselný výraz, v ktorom je prirodzené číslo vynásobené zlomkom, má tiež vlastnosť posunutia, to znamená, že poradie faktorov neovplyvňuje výsledok:
a b n = n a b = a n b
Ako vynásobiť tri alebo viac bežných zlomkov
Na násobenie obyčajných zlomkov môžeme rozšíriť tie isté vlastnosti, ktoré sú charakteristické pre násobenie prirodzených čísel. Vyplýva to zo samotnej definície týchto pojmov.
Vďaka znalostiam o asociatívnych a komutatívnych vlastnostiach je možné násobiť tri bežné zlomky a viac. Pre väčšie pohodlie je prípustné preusporiadať faktory na miestach alebo usporiadať zátvorky tak, aby bolo ľahšie počítanie.
Ukážme si príklad, ako sa to robí.
Príklad 6
Vynásobte štyri bežné zlomky 1 20 , 12 5 , 3 7 a 5 8 .
Riešenie: Najprv si prácu zaznamenajme. Dostaneme 1 20 12 5 3 7 5 8 . Musíme vynásobiť všetky čitateľa a všetky menovatele spolu: 1 20 12 5 3 7 5 8 = 1 12 3 5 20 5 7 8 .
Predtým, než začneme s násobením, môžeme si to trochu uľahčiť a niektoré čísla rozložiť na prvočísla pre ďalšiu redukciu. Bude to jednoduchšie ako redukcia výslednej frakcie.
1 12 3 5 20 5 7 8 = 1 (2 2 3) 3 5 2 2 5 5 7 (2 2 2) = 3 3 5 7 2 2 2 = 9 280
odpoveď: 1 12 3 5 20 5 7 8 = 9280.
Príklad 7
Vynásobte 5 čísel 7 8 12 8 5 36 10 .
Riešenie
Pre pohodlie môžeme zlomok 7 8 zoskupiť s číslom 8 a číslo 12 so zlomkom 5 36 , pretože nám to ozrejmí budúce redukcie. V dôsledku toho dostaneme:
7 8 12 8 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 1 2 2 3 5 2 2 3 3 10 = = 7 5 3 10 = 7 5 3 5 10 = 7 5 3 5 10 116 2 3
odpoveď: 7 8 12 8 5 36 10 = 116 2 3 .
Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter