UŽ TIETO HRABELE OBCHÁDZAJTE! 🙂
Násobenie a delenie zlomkov.
Pozor!
Existujú ďalšie
materiál v osobitnom oddiele 555.
Pre tých, ktorí sú silní „nie veľmi. »
A pre tých, ktorí sú „veľmi vyrovnaní. "")
Táto operácia je oveľa krajšia ako sčítanie-odčítanie! Pretože je to jednoduchšie. Pripomínam vám: ak chcete vynásobiť zlomok zlomkom, musíte vynásobiť čitateľov (toto bude čitateľ výsledku) a menovateľov (toto bude menovateľ). To je:
Všetko je mimoriadne jednoduché. A prosím, nehľadajte spoločného menovateľa! Netreba to tu...
Ak chcete rozdeliť zlomok zlomkom, musíte prevrátiť druhý(to je dôležité!) zlomok a vynásobte ich, t.j.:
Ak sa zachytí násobenie alebo delenie celými číslami a zlomkami, je to v poriadku. Rovnako ako pri sčítaní, aj tu urobíme zlomok z celého čísla s jednotkou v menovateli – a ideme! Napríklad:
Na strednej škole sa často musíte zaoberať trojposchodovými (alebo aj štvorposchodovými!) zlomkami. Napríklad:
Ako priviesť tento zlomok do slušnej podoby? Áno, veľmi jednoduché! Použite rozdelenie podľa dvoch bodov:
Nezabudnite však na poradie rozdelenia! Na rozdiel od násobenia je to tu veľmi dôležité! Samozrejme, nebudeme si mýliť 4:2 alebo 2:4. Ale v trojposchodovom zlomku je ľahké urobiť chybu. Všimnite si napríklad:
V prvom prípade (výraz vľavo):
V druhom (výraz vpravo):
Cítiť rozdiel? 4 a 1/9!
Aké je poradie delenia? Alebo zátvorky, alebo (ako tu) dĺžka vodorovných pomlčiek. Rozvíjajte oko. A ak neexistujú žiadne zátvorky alebo pomlčky, napríklad:
potom deliť-násobiť v poradí, zľava doprava!
A ešte jeden veľmi jednoduchý a dôležitý trik. V akciách s grády sa vám to bude hodiť! Rozdeľme jednotku ľubovoľným zlomkom, napríklad 13/15:
Strela sa obrátila! A vždy sa to stane. Pri delení 1 ľubovoľným zlomkom je výsledkom rovnaký zlomok, len prevrátený.
To sú všetky akcie so zlomkami. Vec je celkom jednoduchá, ale poskytuje viac než dosť chýb. Berte na vedomie praktické rady a bude ich (chýb) menej!
1. Najdôležitejšia vec pri práci so zlomkovými výrazmi je presnosť a pozornosť! Nie je bežné slová, nie dobré priania! Toto je vážna potreba! Všetky výpočty na skúške robte ako plnohodnotnú úlohu, sústredene a prehľadne. Je lepšie napísať dva riadky navyše do konceptu, ako sa pokaziť pri počítaní v hlave.
2. V príkladoch s odlišné typy zlomky - prejdite na obyčajné zlomky.
3. Všetky frakcie zredukujeme až na doraz.
4. Viacpodlažný zlomkové výrazy redukujeme na obyčajné pomocou delenia cez dva body (dodržiavame poradie delenia!).
Tu sú úlohy, ktoré musíte splniť. Odpovede sú uvedené po všetkých úlohách. Použite materiály tejto témy a praktické rady. Odhadnite, koľko príkladov by ste dokázali správne vyriešiť. Prvý krát! Bez kalkulačky! A vyvodiť správne závery.
Zapamätajte si správnu odpoveď získané z druhého (najmä tretieho) času - sa nepočíta! Taký je krutý život.
takže, riešiť v skúšobnom režime ! Mimochodom, toto je príprava na skúšku. Riešime príklad, kontrolujeme, riešime nasledovné. O všetkom sme rozhodli - znova sme kontrolovali od prvého do posledného. Ale len Potom pozri si odpovede.
Hľadáte odpovede, ktoré zodpovedajú vašim. Schválne som ich napísal do neporiadku, takpovediac ďaleko od pokušenia. Tu sú odpovede oddelené bodkočiarkou.
0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.
A teraz robíme závery. Ak všetko fungovalo - šťastný pre vás! Elementárne výpočty so zlomkami nie sú váš problém! Môžete robiť aj vážnejšie veci. Ak nie.
Takže máte jeden z dvoch problémov. Alebo oboje naraz.) Nedostatok vedomostí a (alebo) nepozornosť. Ale. Toto riešiteľný Problémy.
V špeciálnej časti 555 „Zlomky“ sú všetky tieto (nielen!) príklady analyzované. S podrobným vysvetlením čo, prečo a ako. Takáto analýza veľmi pomáha pri nedostatku vedomostí a zručností!
Áno, a na druhom probléme tam niečo je.) Celkom praktické rady, ako sa stať pozornejším. Áno áno! Rady, ktoré možno uplatniť každý.
K úspechu je okrem vedomostí a všímavosti potrebný aj istý automatizmus. Kde ho získať? Počujem ťažký vzdych... Áno, len v praxi, nikde inde.
Na školenie môžete prejsť na stránku 321start.ru. Tam je vo voľbe „Vyskúšať“ 10 príkladov, ktoré môže použiť každý. S okamžitým overením. Pre registrovaných užívateľov - 34 príkladov od jednoduchých po ťažké. Je to len pre zlomky.
Ak sa vám táto stránka páči.
Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)
Tu si môžete precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učte sa so záujmom!
A tu sa môžete zoznámiť s funkciami a derivátmi.
Pravidlo 1
Ak chcete vynásobiť zlomok prirodzeným číslom, musíte vynásobiť jeho čitateľa týmto číslom a menovateľa ponechať nezmenený.
Pravidlo 2
Ak chcete vynásobiť zlomok zlomkom:
1. nájdite súčin čitateľov a súčin menovateľov týchto zlomkov
2. Napíšte prvý súčin ako čitateľ a druhý ako menovateľ.
Pravidlo 3
Ak chcete vynásobiť zmiešané čísla, musíte ich napísať ako nesprávne zlomky a potom použiť pravidlo na násobenie zlomkov.
Pravidlo 4
Ak chcete rozdeliť jeden zlomok druhým, musíte dividendu vynásobiť prevrátenou hodnotou deliteľa.
Príklad 1
Vypočítajte
Príklad 2
Vypočítajte
Príklad 3
Vypočítajte
Príklad 4
Vypočítajte
Matematika. Iné materiály
Zvýšenie čísla na racionálnu silu. (
Zvýšenie čísla na prirodzenú silu. (
Zovšeobecnená intervalová metóda na riešenie algebraických nerovností (Autor Kolchanov A.V.)
Metóda nahradenia faktorov pri riešení algebraických nerovností (Autor Kolchanov A.V.)
Známky deliteľnosti (Lungu Alena)
Otestujte sa na tému „Násobenie a delenie obyčajných zlomkov“
Násobenie zlomkov
Násobenie obyčajných zlomkov zvážime niekoľkými možnými spôsobmi.
Násobenie zlomku zlomkom
Toto je najjednoduchší prípad, v ktorom musíte použiť nasledujúce pravidlá násobenia zlomkov.
Komu vynásobte zlomok zlomkom, potrebné:
Pred násobením čitateľov a menovateľov skontrolujte, či je možné zlomky zmenšiť. Zníženie zlomkov vo výpočtoch výrazne uľahčí vaše výpočty.
Násobenie zlomku prirodzeným číslom
Na zlomok vynásobte prirodzeným číslom musíte vynásobiť čitateľa zlomku týmto číslom a ponechať menovateľ zlomku nezmenený.
Ak je výsledkom násobenia nesprávny zlomok, nezabudnite ho premeniť na zmiešané číslo, to znamená vybrať celú časť.
Násobenie zmiešaných čísel
Na množenie zmiešané čísla, musíte ich najskôr premeniť na nesprávne zlomky a potom násobiť podľa pravidla pre násobenie obyčajných zlomkov.
Ďalší spôsob, ako vynásobiť zlomok prirodzeným číslom
Niekedy je pri výpočtoch vhodnejšie použiť inú metódu násobenia obyčajného zlomku číslom.
Ak chcete vynásobiť zlomok prirodzeným číslom, musíte vydeliť menovateľa zlomku týmto číslom a čitateľa ponechať rovnaký.
Ako vidno z príkladu, je vhodnejšie použiť túto verziu pravidla, ak je menovateľ zlomku bezo zvyšku deliteľný prirodzeným číslom.
Delenie zlomku číslom
Aký je najrýchlejší spôsob delenia zlomku číslom? Poďme analyzovať teóriu, vyvodiť záver a na príkladoch vidieť, ako možno vykonať delenie zlomku číslom podľa nového krátkeho pravidla.
Zvyčajne sa delenie zlomku číslom vykonáva podľa pravidla delenia zlomkov. Prvé číslo (zlomok) sa vynásobí prevrátenou hodnotou druhého. Keďže druhé číslo je celé číslo, jeho recipročné číslo je zlomok, ktorého čitateľ rovný jednej a menovateľom je dané číslo. Schematicky delenie zlomku prirodzeným číslom vyzerá takto:
Z toho usudzujeme:
Ak chcete zlomok vydeliť číslom, vynásobte menovateľa týmto číslom a čitateľa ponechajte rovnaký. Pravidlo možno sformulovať ešte stručnejšie:
Keď zlomok vydelíte číslom, číslo prejde do menovateľa.
Vydeľte zlomok číslom:
Ak chcete zlomok rozdeliť číslom, prepíšeme čitateľa nezmenený a vynásobíme menovateľa týmto číslom. Znížime 6 a 3 o 3.
Pri delení zlomku číslom prepíšeme čitateľa a týmto číslom vynásobíme menovateľa. Zmenšíme 16 a 24 o 8.
Pri delení zlomku číslom ide číslo do menovateľa, takže čitateľa necháme rovnaký a menovateľa vynásobíme deliteľom. Znížime 21 a 35 o 7.
Násobenie a delenie zlomkov
Minule sme sa naučili sčítať a odčítať zlomky (pozri lekciu „Sčítanie a odčítanie zlomkov“). Najťažším momentom týchto akcií bolo privedenie zlomkov k spoločnému menovateľovi.
Teraz je čas zaoberať sa násobením a delením. Dobrou správou je, že tieto operácie sú ešte jednoduchšie ako sčítanie a odčítanie. Na začiatok zvážte najjednoduchší prípad, keď existujú dva kladné zlomky bez rozlíšenej celočíselnej časti.
Ak chcete vynásobiť dva zlomky, musíte vynásobiť ich čitateľov a menovateľov oddelene. Prvé číslo bude čitateľom nového zlomku a druhé bude menovateľom.
Ak chcete rozdeliť dva zlomky, musíte vynásobiť prvý zlomok „prevrátenou“ sekundou.
Z definície vyplýva, že delenie zlomkov sa redukuje na násobenie. Ak chcete zlomok obrátiť, stačí vymeniť čitateľa a menovateľa. Preto celú lekciu budeme uvažovať hlavne o násobení.
Následkom násobenia môže vzniknúť (a často aj vzniká) redukovaný zlomok - samozrejme, treba ho zmenšiť. Ak sa po všetkých redukciách zlomok ukázal ako nesprávny, mala by sa v ňom rozlíšiť celá časť. Čo sa však pri násobení nestane, je redukcia na spoločného menovateľa: žiadne krížové metódy, maximálne faktory a najmenšie spoločné násobky.
Úloha. Nájdite hodnotu výrazu:
Podľa definície máme:
Násobenie zlomkov celočíselnou časťou a zápornými zlomkami
Ak je v zlomkoch celočíselná časť, musia sa previesť na nesprávne - a až potom vynásobiť podľa schém uvedených vyššie.
Ak je v čitateli zlomku, v menovateli alebo pred ním mínus, možno ho vyňať z hraníc násobenia alebo úplne odstrániť podľa nasledujúcich pravidiel:
- Plus krát mínus dáva mínus;
- Dva zápory potvrdzujú.
- Mínusy škrtáme vo dvojiciach, až kým úplne nezmiznú. V extrémnom prípade môže prežiť jeden mínus - ten, ktorý nenašiel zhodu;
- Ak nezostali žiadne mínusy, operácia je dokončená - môžete začať násobiť. Ak posledné mínus nie je prečiarknuté, keďže nenašlo pár, vytiahneme ho z hraníc násobenia. Dostanete záporný zlomok.
Doteraz sme sa s týmito pravidlami stretávali len pri sčítavaní a odčítaní záporných zlomkov, kedy bolo potrebné zbaviť sa celej časti. Pre produkt ich možno zovšeobecniť, aby „spálili“ niekoľko mínusov naraz:
Všetky zlomky preložíme na nesprávne a mínusy potom vytiahneme mimo hraníc násobenia. To, čo zostane, sa rozmnoží podľa zaužívaných pravidiel. Dostaneme:
Dovoľte mi ešte raz pripomenúť, že mínus, ktoré nasleduje pred zlomkom so zvýraznenou celočíselnou časťou, sa vzťahuje konkrétne na celý zlomok, a nie len na jeho celočíselnú časť (to platí pre posledné dva príklady).
Venujte pozornosť aj záporné čísla: Po vynásobení sú uvedené v zátvorkách. Robí sa to preto, aby sa oddelili mínusy od znamienok násobenia a spresnil sa celý zápis.
Znižovanie frakcií za chodu
Násobenie je veľmi pracná operácia. Čísla sú tu dosť veľké a na zjednodušenie úlohy sa môžete pokúsiť zlomok ešte zmenšiť pred násobením. Čitatelia a menovatelia zlomkov sú v podstate bežné faktory, a preto ich možno redukovať pomocou základnej vlastnosti zlomku. Pozrite si príklady:
Vo všetkých príkladoch sú červenou farbou vyznačené čísla, ktoré boli zredukované a to, čo z nich zostalo.
Poznámka: v prvom prípade boli multiplikátory úplne znížené. Jednotky zostali na svojom mieste, ktoré možno vo všeobecnosti vynechať. V druhom príklade nebolo možné dosiahnuť úplné zníženie, ale celkové množstvo výpočtov sa stále znížilo.
Túto techniku však v žiadnom prípade nepoužívajte pri sčítavaní a odčítaní zlomkov! Áno, niekedy sa vyskytnú podobné čísla, ktoré chcete len znížiť. Tu, pozri:
To nemôžeš!
Chyba sa vyskytuje v dôsledku skutočnosti, že pri sčítaní zlomku sa v čitateli zlomku objaví súčet a nie súčin čísel. Preto nie je možné použiť hlavnú vlastnosť zlomku, pretože táto vlastnosť sa zaoberá špecificky násobením čísel.
Jednoducho neexistuje žiadny iný dôvod na zmenšenie zlomkov, takže správne riešenie predchádzajúceho problému vyzerá takto:
Ako vidíte, správna odpoveď nebola taká krásna. Vo všeobecnosti buďte opatrní.
Delenie zlomkov.
Delenie zlomku prirodzeným číslom.
Príklady delenia zlomku prirodzeným číslom
Delenie prirodzeného čísla zlomkom.
Príklady delenia prirodzeného čísla zlomkom
Delenie obyčajných zlomkov.
Príklady delenia obyčajných zlomkov
Delenie zmiešaných čísel.
- Ak chcete rozdeliť jedno zmiešané číslo druhým, potrebujete:
- previesť zmiešané frakcie na nesprávne;
- vynásobte prvý zlomok prevráteným zlomkom druhého;
- znížiť výslednú frakciu;
- Ak dostanete nesprávny zlomok, preveďte nesprávny zlomok na zmiešaný.
- previesť zmiešané frakcie na nesprávne;
- vynásobte čitateľov a menovateľov zlomkov;
- znížime zlomok;
- ak dostaneme nevlastný zlomok, tak premeníme nevlastný zlomok na zmiešaný.
- Pod-a nie až- Prepracovaná pieseň „Spring Tango“ (Prichádza čas – prilietajú vtáky z juhu) – hudba. Valery Milyaev Zle som počul, zle som pochopil, nestíhal som v tom zmysle, že som neuhádol, napísal som všetky slovesá s nie oddelene, nevedel som o predpone nedo-. To sa stáva, […]
- Stránka nenájdená V treťom záverečnom čítaní bol prijatý balík vládnych dokumentov o vytvorení osobitných správnych regiónov (SAR). Z dôvodu vystúpenia z Európskej únie nebude Spojené kráľovstvo zahrnuté do európskeho priestoru DPH a […]
- Spoločný vyšetrovací výbor sa objaví na jeseň
- Patent algoritmu Ako vyzerá patent algoritmu Ako sa pripravuje patent algoritmu technické popisy spôsoby ukladania, spracovania a prenosu signálov a/alebo údajov špeciálne na účely patentovania zvyčajne nepredstavujú žiadne zvláštne ťažkosti a […]
- ČO JE DÔLEŽITÉ VEDIEŤ O NOVOM NÁVRHU DÔCHODKOV 12. decembra 1993 ÚSTAVA RUSKEJ FEDERÁCIE (s výhradou zmien zákonov Ruskej federácie o zmenách a doplneniach Ústavy Ruskej federácie z 30. decembra 2008 N 6- FKZ, zo dňa 30. decembra 2008 N 7-FKZ, […]
- Chastushky o dôchodku pre ženu sú cool pre hrdinu dňa muži pre hrdinu dňa pre muža - v zbore pre hrdinu dňa pre ženu - zasvätenie do dôchodcov ženy sú komické Súťaže pre dôchodcov budú zaujímavé Hostiteľ : Drahí priatelia! Chvíľka pozornosti! Senzácia! Iba […]
Príklady delenia zmiešaných čísel
1 1 2: 2 2 3 = 1 2 + 1 2: 2 3 + 2 3 = 3 2: 8 3 = 3 2 3 8 = 3 3 2 8 = 9 16
2 1 7: 3 5 = 2 7 + 1 7: 3 5 = 15 7: 3 5 = 15 7 5 3 = 15 5 7 3 = 5 5 7 = 25 7 = 7 3 + 4 7 = 3 4 7
Akékoľvek obscénne komentáre budú odstránené a ich autori zaradení na čiernu listinu!
Vitajte v OnlineMSchool.
Volám sa Dovzhik Michail Viktorovič. Som vlastníkom a autorom tejto stránky, napísal som ju celú teoretický materiál, ako aj online cvičenia a kalkulačky, ktoré môžete použiť pri štúdiu matematiky.
Zlomky. Násobenie a delenie zlomkov.
Násobenie zlomku zlomkom.
Na násobenie obyčajných zlomkov je potrebné vynásobiť čitateľa čitateľom (dostaneme čitateľa súčinu) a menovateľa menovateľom (dostaneme menovateľa súčinu).
Vzorec na násobenie zlomkov:
Pred násobením čitateľov a menovateľov je potrebné skontrolovať možnosť zníženia zlomku. Ak sa vám podarí zlomok znížiť, bude pre vás jednoduchšie pokračovať vo výpočtoch.
Poznámka! Netreba hľadať spoločného menovateľa!!
Delenie obyčajného zlomku zlomkom.
Delenie obyčajného zlomku zlomkom je nasledovné: otočte druhý zlomok (t. j. zmeňte miestami čitateľa a menovateľa) a potom sa zlomky vynásobia.
Vzorec na delenie obyčajných zlomkov:
Násobenie zlomku prirodzeným číslom.
Poznámka! Pri násobení zlomku prirodzeným číslom sa čitateľ zlomku vynásobí naším prirodzeným číslom a menovateľ zlomku zostáva rovnaký. Ak je výsledkom produktu nesprávna frakcia, potom nezabudnite vybrať celú časť tak, že nevhodnú frakciu zmeníte na zmiešanú.
Delenie zlomkov zahŕňajúcich prirodzené číslo.
Nie je to také strašidelné, ako sa zdá. Rovnako ako v prípade sčítania prevedieme celé číslo na zlomok s jednotkou v menovateli. Napríklad:
Násobenie zmiešaných frakcií.
Pravidlá pre násobenie zlomkov (zmiešané):
Poznámka! Ak chcete vynásobiť zmiešaný zlomok iným zmiešaným zlomkom, musíte ich najskôr uviesť do formy nesprávnych zlomkov a potom vynásobiť podľa pravidla pre násobenie obyčajných zlomkov.
Druhý spôsob, ako vynásobiť zlomok prirodzeným číslom.
Je vhodnejšie použiť druhý spôsob násobenia obyčajného zlomku číslom.
Poznámka! Na vynásobenie zlomku prirodzeným číslom je potrebné vydeliť menovateľa zlomku týmto číslom a čitateľa ponechať nezmenený.
Z uvedeného príkladu je zrejmé, že túto možnosť je vhodnejšie použiť vtedy, keď je menovateľ zlomku delený bezo zvyšku prirodzeným číslom.
Viacúrovňové zlomky.
Na strednej škole sa často nachádzajú trojposchodové (alebo viac) zlomky. Príklad:
Aby sa takýto zlomok dostal do jeho obvyklej podoby, používa sa rozdelenie na 2 body:
Poznámka! Pri delení zlomkov je veľmi dôležité poradie delenia. Buďte opatrní, tu sa dá ľahko zmiasť.
Poznámka, Napríklad:
Pri delení jedného zlomkom bude výsledkom rovnaký zlomok, len prevrátený:
Praktické tipy na násobenie a delenie zlomkov:
1. Najdôležitejšia vec pri práci so zlomkovými výrazmi je presnosť a pozornosť. Všetky výpočty robte opatrne a presne, sústredene a jasne. Radšej si nejaké napíšte extra riadky v koncepte, než sa zmiasť vo výpočtoch v mysli.
2. V úlohách s rôznymi druhmi zlomkov prejdite na typ obyčajných zlomkov.
3. Všetky zlomky redukujeme, až kým to už nie je možné.
4. Viacúrovňové zlomkové výrazy prenesieme na bežné, pomocou delenia cez 2 body.
Povedzme, že Achilles beží desaťkrát rýchlejšie ako korytnačka a je za ňou tisíc krokov. Počas doby, počas ktorej Achilles prebehne túto vzdialenosť, sa korytnačka plazí sto krokov rovnakým smerom. Keď Achilles prebehne sto krokov, korytnačka sa plazí ďalších desať krokov atď. Proces bude pokračovať donekonečna, Achilles korytnačku nikdy nedohoní.
Táto úvaha sa stala logickým šokom pre všetky nasledujúce generácie. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Gilbert... Všetci tak či onak považovali Zenónove apórie. Šok bol taký silný, že " ... diskusie pokračujú aj v súčasnosti, vo vedeckej komunite sa zatiaľ nepodarilo dospieť k jednotnému názoru na podstatu paradoxov ... do skúmania problematiky bola zapojená matematická analýza, teória množín, nové fyzikálne a filozofické prístupy ; žiadna z nich sa nestala všeobecne akceptovaným riešením problému ..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Každý chápe, že je oklamaný, ale nikto nechápe, čo je to podvod.
Z pohľadu matematiky Zenón vo svojich apóriách jasne demonštroval prechod od hodnoty k. Tento prechod znamená použitie namiesto konštánt. Pokiaľ som pochopil, matematický aparát na aplikáciu premenných jednotiek merania buď ešte nebol vyvinutý, alebo nebol aplikovaný na Zenónove apórie. Aplikácia našej bežnej logiky nás vedie do pasce. My zotrvačnosťou myslenia aplikujeme konštantné jednotky času na recipročné. Z fyzického hľadiska to vyzerá tak, že sa čas spomalí až úplne zastaví v momente, keď Achilles dobehne korytnačku. Ak sa čas zastaví, Achilles už nemôže predbehnúť korytnačku.
Ak otočíme logiku, na ktorú sme zvyknutí, všetko zapadne na svoje miesto. Achilles beží konštantnou rýchlosťou. Každý nasledujúci segment jeho cesty je desaťkrát kratší ako predchádzajúci. Čas strávený na jeho prekonanie je teda desaťkrát kratší ako ten predchádzajúci. Ak v tejto situácii použijeme pojem „nekonečno“, potom by bolo správne povedať „Achilles nekonečne rýchlo predbehne korytnačku“.
Ako sa vyhnúť tejto logickej pasci? Zostaňte v konštantných jednotkách času a neprechádzajte na recipročné hodnoty. V Zenónovom jazyku to vyzerá takto:
Za čas, ktorý Achilles potrebuje prejsť tisíc krokov, sa korytnačka plazí sto krokov rovnakým smerom. Počas nasledujúceho časového intervalu, ktorý sa rovná prvému, prebehne Achilles ďalších tisíc krokov a korytnačka prejde sto krokov. Teraz je Achilles osemsto krokov pred korytnačkou.
Tento prístup adekvátne popisuje realitu bez akýchkoľvek logických paradoxov. Ale to nie je úplné riešenie problému. Einsteinov výrok o neprekonateľnosti rýchlosti svetla je veľmi podobný Zenónovej apórii „Achilles a korytnačka“. Tento problém musíme ešte študovať, prehodnotiť a vyriešiť. A riešenie treba hľadať nie v nekonečne veľkých číslach, ale v merných jednotkách.
Ďalšia zaujímavá aporia Zeno hovorí o lietajúcom šípe:
Letiaci šíp je nehybný, pretože v každom okamihu je v pokoji, a keďže je v každom okamihu v pokoji, je vždy v pokoji.
V tejto apórii je logický paradox prekonaný veľmi jednoducho - stačí objasniť, že letiaci šíp v každom okamihu spočíva na rôznych bodoch priestoru, čo je v skutočnosti pohyb. Tu je potrebné poznamenať ešte jeden bod. Z jednej fotografie auta na ceste nie je možné určiť ani skutočnosť jeho pohybu, ani vzdialenosť k nemu. Na určenie skutočnosti pohybu auta sú potrebné dve fotografie nasnímané z toho istého bodu v rôznych časových okamihoch, ale nemožno ich použiť na určenie vzdialenosti. Na určenie vzdialenosti od auta potrebujete dve fotografie rôzne body priestor v jednom časovom bode, ale nie je možné z nich určiť skutočnosť pohybu (prirodzene sú stále potrebné ďalšie údaje pre výpočty, pomôže vám trigonometria). Chcem poukázať najmä na to, že dva body v čase a dva body v priestore sú dve rôzne veci, ktoré by sa nemali zamieňať, pretože poskytujú rôzne príležitosti na prieskum.
Streda 4. júla 2018
Veľmi dobre sú rozdiely medzi množinou a multimnožinou opísané vo Wikipédii. Pozeráme sa.
Ako vidíte, „súprava nemôže mať dva rovnaké prvky“, ale ak sú v súprave rovnaké prvky, takáto súprava sa nazýva „multiset“. Rozumné bytosti nikdy nepochopia takúto logiku absurdity. Toto je úroveň hovoriacich papagájov a cvičených opíc, v ktorých myseľ chýba pri slove „úplne“. Matematici fungujú ako obyčajní školitelia, ktorí nám kážu svoje absurdné myšlienky.
Kedysi boli inžinieri, ktorí most stavali, počas skúšok mosta v člne pod mostom. Ak sa most zrútil, priemerný inžinier zomrel pod troskami svojho výtvoru. Ak most vydržal zaťaženie, talentovaný inžinier postavil ďalšie mosty.
Bez ohľadu na to, ako sa matematici skrývajú za frázu „pozor, som v dome“, alebo skôr „matematika študuje abstraktné pojmy“, existuje jedna pupočná šnúra, ktorá ich nerozlučne spája s realitou. Táto pupočná šnúra sú peniaze. Použiteľné matematická teória sadám samotným matematikom.
Učili sme sa veľmi dobre matematiku a teraz sedíme v pokladni a platíme mzdy. Tu si k nám príde matematik pre svoje peniaze. Spočítame mu celú sumu a rozložíme ju na stôl na rôzne kôpky, do ktorých vložíme bankovky rovnakej nominálnej hodnoty. Potom z každej kôpky vezmeme jednu bankovku a dáme matematikovi jeho „matematický platový set“. Vysvetlíme matematiku, že zvyšok účtov dostane až vtedy, keď preukáže, že množina bez identických prvkov sa nerovná množine s identickými prvkami. Tu začína zábava.
V prvom rade zafunguje poslanecká logika: "na ostatných to môžeš aplikovať, ale na mňa nie!" Ďalej sa začnú ubezpečovať, že na bankovkách rovnakej nominálnej hodnoty sú rôzne čísla bankoviek, čo znamená, že ich nemožno považovať za identické prvky. No plat počítame v minciach – na minciach nie sú čísla. Tu si matematik začne kŕčovito pripomínať fyziku: na rôznych minciach je iná sumašpina, kryštálová štruktúra a atómové usporiadanie každej mince je jedinečné...
A teraz mám najviac záujem Spýtaj sa: kde je hranica, za ktorou sa prvky multimnožiny menia na prvky množiny a naopak? Takáto línia neexistuje - o všetkom rozhodujú šamani, veda tu nie je ani zďaleka.
Pozri sa sem. Vyberáme futbalové štadióny s rovnakou rozlohou ihriska. Plocha polí je rovnaká, čo znamená, že máme multiset. Ale ak vezmeme do úvahy názvy rovnakých štadiónov, dostaneme veľa, pretože názvy sú rôzne. Ako vidíte, tá istá množina prvkov je zároveň množinou aj multimnožinou. Ako správne? A tu sa matematik-šaman-šuller vyťahuje z rukáva Trumpovo eso a začne nám hovoriť o množine alebo o množine. V každom prípade nás presvedčí, že má pravdu.
Aby sme pochopili, ako moderní šamani pracujú s teóriou množín a spájajú ju s realitou, stačí odpovedať na jednu otázku: ako sa líšia prvky jednej množiny od prvkov inej množiny? Ukážem vám to bez akéhokoľvek „nemysliteľného ako jeden celok“ alebo „nemysliteľného ako jeden celok“.
Nedeľa 18. marca 2018
Súčet číslic čísla je tanec šamanov s tamburínou, ktorý nemá nič spoločné s matematikou. Áno, na hodinách matematiky nás učia nájsť súčet číslic čísla a použiť ho, ale na to sú šamani, aby naučili svojich potomkov ich zručnosti a múdrosti, inak šamani jednoducho vymrú.
Potrebujete dôkaz? Otvorte Wikipédiu a skúste nájsť stránku „Súčet číslic čísla“. Ona neexistuje. V matematike neexistuje vzorec, pomocou ktorého by ste našli súčet číslic akéhokoľvek čísla. Veď čísla sú grafické symboly, pomocou ktorého píšeme čísla a v jazyku matematiky znie úloha takto: "Nájdi súčet grafických symbolov reprezentujúcich ľubovoľné číslo." Matematici tento problém vyriešiť nedokážu, ale šamani to elementárne dokážu.
Poďme zistiť, čo a ako robíme, aby sme našli súčet číslic daného čísla. Povedzme, že máme číslo 12345. Čo je potrebné urobiť, aby sme našli súčet číslic tohto čísla? Zvážme všetky kroky v poradí.
1. Zapíšte si číslo na kúsok papiera. čo sme urobili? Číslo sme previedli na číselný grafický symbol. Toto nie je matematická operácia.
2. Jeden prijatý obrázok rozstriháme na niekoľko obrázkov obsahujúcich samostatné čísla. Vystrihnutie obrázka nie je matematická operácia.
3. Preveďte jednotlivé grafické znaky na čísla. Toto nie je matematická operácia.
4. Výsledné čísla spočítajte. Teraz je to matematika.
Súčet číslic čísla 12345 je 15. Ide o „kurzy strihania a šitia“ od šamanov, ktoré používajú matematici. To však nie je všetko.
Z hľadiska matematiky je jedno, v akej číselnej sústave číslo zapíšeme. Takže v rôznych číselných sústavách bude súčet číslic toho istého čísla rôzny. V matematike sa číselný systém uvádza ako dolný index napravo od čísla. S Vysoké číslo 12345 Nechcem si klamať hlavu, zvážte číslo 26 z článku o. Zapíšme toto číslo v dvojkovej, osmičkovej, desiatkovej a šestnástkovej sústave. Nebudeme zvažovať každý krok pod mikroskopom, to sme už urobili. Pozrime sa na výsledok.
Ako vidíte, v rôznych číselných sústavách je súčet číslic toho istého čísla odlišný. Tento výsledok nemá nič spoločné s matematikou. Je to ako keby ste našli plochu obdĺžnika v metroch a centimetroch, čo by vám dalo úplne iné výsledky.
Nula vo všetkých číselných sústavách vyzerá rovnako a nemá žiadny súčet číslic. Toto je ďalší argument v prospech skutočnosti, že . Otázka pre matematikov: ako sa v matematike označuje to, čo nie je číslo? Čo pre matematikov neexistuje nič iné ako čísla? Pre šamanov to môžem dovoliť, ale pre vedcov nie. Realita nie je len o číslach.
Získaný výsledok by sa mal považovať za dôkaz, že číselné sústavy sú jednotkami merania čísel. Nemôžeme predsa porovnávať čísla s rôznymi jednotkami merania. Ak rovnaké akcie s rôznymi jednotkami merania rovnakej veličiny vedú k rozdielne výsledky po ich porovnaní to potom s matematikou nemá nič spoločné.
Čo je skutočná matematika? Je to vtedy, keď výsledok matematickej akcie nezávisí od hodnoty čísla, použitej mernej jednotky a od toho, kto túto akciu vykoná.
Oh! Nie je to dámska toaleta?
- Mladá žena! Toto je laboratórium na štúdium neurčitej svätosti duší pri vzostupe do neba! Nimbus navrchu a šípka hore. Aké iné WC?
Žena... Svätožiara navrchu a šípka dole je muž.
Ak sa vám takéto umelecké dielo mihne pred očami niekoľkokrát za deň,
Potom nie je prekvapujúce, že zrazu nájdete vo svojom aute zvláštnu ikonu:
Osobne sa na sebe snažím vidieť u kakajúceho človeka mínus štyri stupne (jeden obrázok) (zloženie viacerých obrázkov: znamienko mínus, číslo štyri, označenie stupňov). A toto dievča nepovažujem za blázna, ktorý nepozná fyziku. Má len oblúkový stereotyp vnímania grafických obrazov. A matematici nás to neustále učia. Tu je príklad.
1A nie je "mínus štyri stupne" alebo "jeden a". Toto je „kakajúci muž“ alebo číslo „dvadsaťšesť“ v hexadecimálnej číselnej sústave. Tí ľudia, ktorí neustále pracujú v tomto číselnom systéme, automaticky vnímajú číslo a písmeno ako jeden grafický symbol.
Násobenie celého čísla zlomkom je jednoduchá úloha. Existujú však jemnosti, ktoré ste pravdepodobne pochopili v škole, ale odvtedy ste na ne zabudli.
Ako vynásobiť celé číslo zlomkom - niekoľko pojmov
Ak si pamätáte, čo je čitateľ a menovateľ a ako sa správny zlomok líši od nesprávneho, tento odsek preskočte. Je pre tých, ktorí úplne zabudli na teóriu.
Čitateľ je vrchná časť zlomky sú to, čo delíme. Menovateľ je ten spodný. To je to, čo zdieľame.
Správny zlomok je zlomok, ktorého čitateľ je menší ako menovateľ. Nevlastný zlomok je zlomok, ktorého čitateľ je väčší alebo rovný menovateľovi.
Ako vynásobiť celé číslo zlomkom
Pravidlo pre násobenie celého čísla zlomkom je veľmi jednoduché - čitateľa vynásobíme celým číslom a menovateľa sa nedotkneme. Napríklad: dve vynásobené jednou pätinou – dostaneme dve pätiny. Štyri krát tri šestnástky je dvanásť šestnástok.
Zníženie
V druhom príklade je možné výslednú frakciu znížiť.
Čo to znamená? Všimnite si, že čitateľ aj menovateľ tohto zlomku sú deliteľné štyrmi. Delenie oboch čísel spoločným deliteľom sa nazýva zmenšovanie zlomku. Dostaneme tri štvrtiny.
Nepravé zlomky
Predpokladajme však, že vynásobíme štyri krát dve pätiny. Má osem pätín. Toto je nesprávny zlomok.
Musí sa uviesť do správnej formy. Aby ste to dosiahli, musíte z nej vybrať celú časť.
Tu je potrebné použiť delenie so zvyškom. Zostáva nám jedna a tri.
Jeden celok a tri pätiny je náš správny zlomok.
Oprava tridsiatich piatich osmin je o niečo náročnejšia. Najbližšie číslo k tridsiatim siedmim, ktoré je deliteľné ôsmimi, je tridsaťdva. Pri rozdelení dostaneme štyri. Od tridsiatich piatich odpočítame tridsaťdva – dostaneme tri. Výsledok: štyri celé a tri osminy.
Rovnosť čitateľa a menovateľa. A tu je všetko veľmi jednoduché a krásne. Keď sú čitateľ a menovateľ rovnaký, výsledok je len jeden.
§ 87. Sčítanie zlomkov.
Sčítanie zlomkov má veľa podobností so sčítaním celých čísel. Sčítanie zlomkov je akcia spočívajúca v tom, že niekoľko daných čísel (členov) sa spojí do jedného čísla (súčtu), ktoré obsahuje všetky jednotky a zlomky jednotiek členov.
Postupne zvážime tri prípady:
1. Sčítanie zlomkov s rovnakých menovateľov.
2. Pridávanie zlomkov s rôznych menovateľov.
3. Sčítanie zmiešaných čísel.
1. Sčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi.
Zvážte príklad: 1/5 + 2/5 .
Vezmite segment AB (obr. 17), vezmite ho ako jednotku a rozdeľte ho na 5 rovnakých častí, potom sa časť AC tohto segmentu bude rovnať 1/5 segmentu AB a časť toho istého segmentu CD sa bude rovnať 2/5 AB.
Z nákresu je zrejmé, že ak vezmeme segment AD, bude sa rovnať 3/5 AB; ale segment AD je presne súčtom segmentov AC a CD. Môžeme teda napísať:
1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5
Vzhľadom na tieto pojmy a výslednú sumu vidíme, že čitateľ súčtu bol získaný sčítaním čitateľov členov a menovateľ zostal nezmenený.
Z toho dostaneme nasledujúce pravidlo: Ak chcete pridať zlomky s rovnakými menovateľmi, musíte pridať ich čitateľov a ponechať rovnaký menovateľ.
Zvážte príklad:
2. Sčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi.
Pridajme zlomky: 3/4 + 3/8 Najprv ich treba zredukovať na najnižšieho spoločného menovateľa:
Stredne pokročilý 6 / 8 + 3 / 8 nebolo možné napísať; pre väčšiu prehľadnosť sme to napísali sem.
Ak teda chcete sčítať zlomky s rôznymi menovateľmi, musíte ich najprv priviesť k najnižšiemu spoločnému menovateľovi, pridať ich čitateľov a podpísať spoločného menovateľa.
Zvážte príklad (napíšeme ďalšie faktory nad zodpovedajúce zlomky):
3. Sčítanie zmiešaných čísel.
Sčítajme čísla: 2 3 / 8 + 3 5 / 6.
Najprv privedieme zlomkové časti našich čísel k spoločnému menovateľovi a znova ich prepíšeme:
Teraz postupne pridajte celé číslo a zlomkové časti:
§ 88. Odčítanie zlomkov.
Odčítanie zlomkov je definované rovnakým spôsobom ako odčítanie celých čísel. Ide o akciu, pri ktorej sa na základe súčtu dvoch výrazov a jedného z nich nájde ďalší výraz. Pozrime sa postupne na tri prípady:
1. Odčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi.
2. Odčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi.
3. Odčítanie zmiešaných čísel.
1. Odčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi.
Zvážte príklad:
13 / 15 - 4 / 15
Zoberme si segment AB (obr. 18), vezmime ho ako jednotku a rozdeľme ho na 15 rovnakých častí; potom časť AC tohto segmentu bude 1/15 AB a časť AD toho istého segmentu bude zodpovedať 13/15 AB. Odložme ďalší segment ED, rovný 4/15 AB.
Musíme odpočítať 4/15 od 13/15. Na výkrese to znamená, že segment ED sa musí odpočítať od segmentu AD. V dôsledku toho zostane segment AE, čo je 9/15 segmentu AB. Môžeme teda napísať:
Príklad, ktorý sme urobili, ukazuje, že čitateľ rozdielu bol získaný odčítaním čitateľov a menovateľ zostal rovnaký.
Preto, aby ste odčítali zlomky s rovnakými menovateľmi, musíte odčítať čitateľa podhodnoty od čitateľa menovateľa a ponechať rovnaký menovateľ.
2. Odčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi.
Príklad. 3/4 - 5/8
Najprv zredukujme tieto zlomky na najmenšieho spoločného menovateľa:
Pre prehľadnosť je tu napísaný medzičlánok 6 / 8 - 5 / 8, ale v budúcnosti sa dá preskočiť.
Ak teda chcete odčítať zlomok od zlomku, musíte ich najprv priviesť k najmenšiemu spoločnému menovateľovi, potom odčítať čitateľa podradníka od čitateľa mínusu a podpísať spoločný menovateľ pod ich rozdiel.
Zvážte príklad:
3. Odčítanie zmiešaných čísel.
Príklad. 10 3/4 - 7 2/3.
Prinesme zlomkové časti minuendu a subtrahendu k najnižšiemu spoločnému menovateľovi:
Odčítali sme celok od celku a zlomok od zlomku. Existujú však prípady, keď je zlomková časť subtrahendu väčšia ako zlomková časť minuendu. V takýchto prípadoch musíte zobrať jednu jednotku z celočíselnej časti redukovaného, rozdeliť ju na tie časti, v ktorých je vyjadrená zlomková časť, a pridať k zlomkovej časti redukovaného. A potom sa odčítanie vykoná rovnakým spôsobom ako v predchádzajúcom príklade:
§ 89. Násobenie zlomkov.
Pri štúdiu násobenia zlomkov zvážime nasledujúce otázky:
1. Násobenie zlomku celým číslom.
2. Nájdenie zlomku daného čísla.
3. Násobenie celého čísla zlomkom.
4. Násobenie zlomku zlomkom.
5. Násobenie zmiešaných čísel.
6. Pojem úroku.
7. Nájdenie percent daného čísla. Zvážme ich postupne.
1. Násobenie zlomku celým číslom.
Násobenie zlomku celým číslom má rovnaký význam ako násobenie celého čísla celým číslom. Násobenie zlomku (násobiteľa) celým číslom (násobiteľom) znamená zostavenie súčtu identických členov, pričom každý člen sa rovná násobiteľu a počet členov sa rovná násobiteľu.
Ak teda potrebujete vynásobiť 1/9 číslom 7, môžete to urobiť takto:
Výsledok sme získali ľahko, pretože akcia bola zredukovaná na sčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi. teda
Zváženie tejto akcie ukazuje, že vynásobenie zlomku celým číslom sa rovná zvýšeniu tohto zlomku toľkokrát, koľko jednotiek obsahuje celé číslo. A keďže zvýšenie zlomku sa dosiahne buď zvýšením jeho čitateľa
alebo znížením jeho menovateľa 
, potom môžeme čitateľa buď vynásobiť celým číslom, alebo ním vydeliť menovateľa, ak je takéto delenie možné.
Odtiaľ dostaneme pravidlo:
Ak chcete vynásobiť zlomok celým číslom, musíte vynásobiť čitateľa týmto celým číslom a ponechať menovateľa rovnakého, alebo ak je to možné, vydeliť menovateľa týmto číslom, pričom čitateľ zostane nezmenený.
Pri násobení sú možné skratky, napríklad:
2. Nájdenie zlomku daného čísla. Existuje veľa úloh, v ktorých musíte nájsť alebo vypočítať časť daného čísla. Rozdiel medzi týmito úlohami a ostatnými je v tom, že udávajú počet niektorých predmetov alebo jednotiek merania a musíte nájsť časť tohto čísla, ktorá je tu tiež označená určitým zlomkom. Na uľahčenie pochopenia uvedieme najprv príklady takýchto problémov a potom predstavíme spôsob ich riešenia.
Úloha 1. Mal som 60 rubľov; 1/3 z týchto peňazí som minul na nákup kníh. Koľko stáli knihy?
Úloha 2. Vlak musí prekonať vzdialenosť medzi mestami A a B, ktorá sa rovná 300 km. Už prekonal 2/3 tejto vzdialenosti. Koľko je toto kilometrov?
Úloha 3. V obci je 400 domov, z toho 3/4 sú murované, ostatné sú drevené. Koľko je tam tehlových domov?
Tu sú niektoré z mnohých problémov, s ktorými sa musíme vysporiadať, aby sme našli zlomok daného čísla. Zvyčajne sa nazývajú problémy na nájdenie zlomku daného čísla.
Riešenie problému 1. Od 60 rubľov. 1/3 som minul na knihy; Ak chcete zistiť cenu kníh, musíte vydeliť číslo 60 tromi:
Riešenie problému 2. Význam problému je, že potrebujete nájsť 2/3 z 300 km. Vypočítajte prvú 1/3 z 300; to sa dosiahne vydelením 300 km tromi:
300: 3 = 100 (to je 1/3 z 300).
Ak chcete nájsť dve tretiny z 300, musíte zdvojnásobiť výsledný kvocient, to znamená vynásobiť 2:
100 x 2 = 200 (to sú 2/3 z 300).
Riešenie problému 3. Tu je potrebné určiť počet murovaných domov, ktorých sú 3/4 zo 400. Najprv nájdime 1/4 zo 400,
400 : 4 = 100 (to je 1/4 zo 400).
Na výpočet troch štvrtín zo 400 sa musí výsledný kvocient strojnásobiť, to znamená vynásobiť 3:
100 x 3 = 300 (to sú 3/4 zo 400).
Na základe riešenia týchto problémov môžeme odvodiť nasledujúce pravidlo:
Ak chcete zistiť hodnotu zlomku daného čísla, musíte toto číslo vydeliť menovateľom zlomku a výsledný podiel vynásobiť jeho čitateľom.
3. Násobenie celého čísla zlomkom.
Skôr (§ 26) sa stanovilo, že násobenie celých čísel by sa malo chápať ako sčítanie rovnakých výrazov (5 x 4 \u003d 5 + 5 + 5 + 5 \u003d 20). V tomto odseku (odsek 1) bolo stanovené, že vynásobenie zlomku celým číslom znamená nájsť súčet identických členov rovný tomuto zlomku.
V oboch prípadoch násobenie spočívalo v nájdení súčtu identických členov.
Teraz prejdeme k vynásobeniu celého čísla zlomkom. Tu sa stretneme napríklad s násobením: 9 2 / 3. Je celkom zrejmé, že predchádzajúca definícia násobenia v tomto prípade neplatí. Je to zrejmé z toho, že takéto násobenie nemôžeme nahradiť sčítaním rovnakých čísel.
Kvôli tomu budeme musieť dať novú definíciu násobenia, t.j. inými slovami, odpovedať na otázku, čo treba rozumieť pod násobením zlomkom, ako treba chápať tento úkon.
Význam násobenia celého čísla zlomkom je jasný z nasledujúcej definície: vynásobiť celé číslo (násobiteľ) zlomkom (násobiteľom) znamená nájsť tento zlomok násobiteľa.
Totiž vynásobenie 9 2/3 znamená nájdenie 2/3 z deviatich jednotiek. V predchádzajúcom odseku boli takéto problémy vyriešené; takže je ľahké zistiť, že skončíme so 6.
Teraz však vyvstáva zaujímavá a dôležitá otázka: prečo práve na prvý pohľad rôzne aktivity ako zistiť sumu rovnaké čísla a nájdenie zlomku čísla sa v aritmetike nazývajú rovnakým slovom "násobenie"?
Stáva sa to preto, lebo predchádzajúca akcia (niekoľkokrát zopakovanie čísla s výrazmi) a nová akcia (nájdenie zlomku čísla) dávajú odpoveď na homogénne otázky. To znamená, že tu vychádzame z úvah, že homogénne otázky alebo úlohy sa riešia jednou a tou istou akciou.
Aby ste to pochopili, zvážte nasledujúci problém: „1 m látky stojí 50 rubľov. Koľko budú stáť 4 m takejto látky?
Tento problém sa rieši vynásobením počtu rubľov (50) počtom metrov (4), t.j. 50 x 4 = 200 (rubľov).
Zoberme si rovnaký problém, ale v ňom bude množstvo látky vyjadrené ako zlomkové číslo: „1 m látky stojí 50 rubľov. Koľko bude stáť 3/4 m takejto látky?
Tento problém je tiež potrebné vyriešiť vynásobením počtu rubľov (50) počtom metrov (3/4).
Čísla v ňom môžete zmeniť aj niekoľkokrát bez toho, aby ste zmenili význam problému, napríklad zoberte 9/10 m alebo 2 3/10 m atď.
Keďže tieto úlohy majú rovnaký obsah a líšia sa len číslami, akcie použité pri ich riešení nazývame rovnakým slovom – násobenie.
Ako sa celé číslo vynásobí zlomkom?
Zoberme si čísla, s ktorými sme sa stretli v poslednom probléme:
Podľa definície musíme nájsť 3/4 z 50. Najprv nájdeme 1/4 z 50 a potom 3/4.
1/4 z 50 je 50/4;
3/4 z 50 je .
Preto.
Zvážte ďalší príklad: 12 5 / 8 = ?
1/8 z 12 je 12/8,
5/8 z čísla 12 je .
teda
Odtiaľ dostaneme pravidlo:
Ak chcete vynásobiť celé číslo zlomkom, musíte celé číslo vynásobiť čitateľom zlomku a urobiť z tohto súčinu čitateľa a menovateľa daného zlomku podpísať ako menovateľa.
Toto pravidlo napíšeme pomocou písmen:
Aby bolo toto pravidlo úplne jasné, treba pripomenúť, že zlomok možno považovať za podiel. Preto je užitočné zistené pravidlo porovnať s pravidlom pre násobenie čísla podielom, ktoré bolo ustanovené v § 38
Je potrebné mať na pamäti, že pred vykonaním násobenia by ste mali urobiť (ak je to možné) škrty, Napríklad:
4. Násobenie zlomku zlomkom. Násobenie zlomku zlomkom má rovnaký význam ako násobenie celého čísla zlomkom, to znamená, že pri násobení zlomku zlomkom je potrebné nájsť zlomok v násobilke z prvého zlomku (násobiteľa).
Totiž vynásobenie 3/4 1/2 (polovica) znamená nájdenie polovice 3/4.
Ako vynásobíte zlomok zlomkom?
Vezmime si príklad: 3/4 krát 5/7. To znamená, že musíte nájsť 5/7 z 3/4. Nájdite najprv 1/7 z 3/4 a potom 5/7
1/7 z 3/4 by bola vyjadrená takto:
5/7 číslic 3/4 budú vyjadrené takto:
teda
Ďalší príklad: 5/8 krát 4/9.
1/9 z 5/8 je ,
4/9 čísla 5/8 sú .
teda 
Z týchto príkladov možno odvodiť nasledujúce pravidlo:
Ak chcete vynásobiť zlomok zlomkom, musíte vynásobiť čitateľa čitateľom a menovateľa menovateľom a urobiť prvý súčin čitateľom a druhý súčin menovateľom súčinu.
Toto je pravidlo v všeobecný pohľad dá sa napísať takto:
Pri násobení je potrebné robiť (ak je to možné) redukcie. Zvážte príklady:
5. Násobenie zmiešaných čísel. Keďže zmiešané čísla možno ľahko nahradiť nesprávnymi zlomkami, táto okolnosť sa zvyčajne používa pri násobení zmiešaných čísel. To znamená, že v tých prípadoch, keď sú násobiteľ alebo násobiteľ alebo oba faktory vyjadrené ako zmiešané čísla, potom sú nahradené nesprávnymi zlomkami. Vynásobte napríklad zmiešané čísla: 2 1/2 a 3 1/5. Každý z nich premeníme na nesprávny zlomok a výsledné zlomky potom vynásobíme podľa pravidla násobenia zlomku zlomkom:
Pravidlo. Ak chcete vynásobiť zmiešané čísla, musíte ich najskôr previesť na nesprávne zlomky a potom vynásobiť podľa pravidla násobenia zlomku zlomkom.
Poznámka. Ak je jedným z faktorov celé číslo, potom sa násobenie môže vykonať na základe distribučného zákona takto:
6. Pojem úroku. Pri riešení úloh a pri vykonávaní rôznych praktických výpočtov používame všetky druhy zlomkov. Treba však mať na pamäti, že mnohé veličiny nepripúšťajú žiadne, ale prirodzené členenia. Môžete si napríklad vziať jednu stotinu (1/100) rubľa, bude to cent, dve stotiny sú 2 kopejky, tri stotiny sú 3 kopejky. Môžete si vziať 1/10 rubľa, bude to "10 kopejok alebo desetník. Môžete si vziať štvrtinu rubľa, t. j. 25 kopejok, pol rubľa, t. j. 50 kopejok (päťdesiat kopejok). Neberte si napríklad 2/7 rubľov, pretože rubeľ nie je rozdelený na sedminy.
Jednotka merania hmotnosti, t.j. kilogram, umožňuje v prvom rade desatinné delenie, napríklad 1/10 kg alebo 100 g. A také zlomky kilogramu ako 1/6, 1/11, 1/ 13 sú zriedkavé.
Vo všeobecnosti sú naše (metrické) miery desatinné a umožňujú desiatkové delenie.
Treba však poznamenať, že je mimoriadne užitočné a vhodné v širokej škále prípadov použiť rovnakú (jednotnú) metódu delenia veličín. Roky skúseností ukázal, že takýmto dobre odôvodneným delením je delenie na „stovky“. Uvažujme o niekoľkých príkladoch týkajúcich sa najrozmanitejších oblastí ľudskej praxe.
1. Cena kníh sa znížila o 12/100 z predchádzajúcej ceny.
Príklad. Predchádzajúca cena knihy je 10 rubľov. Klesla o 1 rubeľ. 20 kop.
2. Sporiteľne vyplácajú v priebehu roka vkladateľom 2/100 sumy, ktorá sa vloží do sporenia.
Príklad. Do pokladne sa vloží 500 rubľov, príjem z tejto sumy za rok je 10 rubľov.
3. Počet absolventov jednej školy bol 5/100 z celkového počtu žiakov.
PRÍKLAD Na škole študovalo len 1200 žiakov, z nich 60 školu ukončilo.
Stotina čísla sa nazýva percento..
Slovo „percento“ je prevzaté z latinčina a jeho koreň "cent" znamená sto. Spolu s predložkou (pro centum) toto slovo znamená „za sto“. Význam tohto výrazu vyplýva zo skutočnosti, že pôvodne v starom Ríme boli úrokom peniaze, ktoré dlžník zaplatil veriteľovi „za každých sto“. Slovo "cent" je počuť v takých známych slovách: centner (sto kilogramov), centimeter (hovoria centimeter).
Napríklad, namiesto toho, aby sme povedali, že závod vyrobil 1/100 všetkých produktov, ktoré vyrobil za posledný mesiac, povieme toto: závod vyrobil za posledný mesiac jedno percento nepodarkov. Namiesto toho, aby sme povedali: závod vyrobil o 4/100 produktov viac ako bol stanovený plán, povieme: závod prekročil plán o 4 percentá.
Vyššie uvedené príklady môžu byť vyjadrené rôzne:
1. Cena kníh klesla o 12 percent z predchádzajúcej ceny.
2. Záložne vyplácajú vkladateľom 2 percentá ročne zo sumy vloženej do sporenia.
3. Počet absolventov jednej školy bol 5 percent z počtu všetkých žiakov školy.
Na skrátenie písmena je zvykom písať znak % namiesto slova „percento“.
Treba však pamätať na to, že znamienko % sa zvyčajne nezapisuje do výpočtov, môže sa zapísať do výkazu problému a do konečného výsledku. Pri výpočtoch musíte namiesto celého čísla s touto ikonou napísať zlomok s menovateľom 100.
Musíte byť schopní nahradiť celé číslo zadanou ikonou zlomkom s menovateľom 100:
Naopak, musíte si zvyknúť na písanie celého čísla s naznačenou ikonou namiesto zlomku s menovateľom 100:
7. Nájdenie percent daného čísla.
Úloha 1.Škola dostala 200 metrov kubických. m palivového dreva, pričom brezové palivové drevo predstavuje 30 %. Koľko tam bolo brezového dreva?
Význam tohto problému je, že brezové palivové drevo bolo len časťou palivového dreva, ktoré bolo dodané do školy a táto časť je vyjadrená ako zlomok 30/100. Stojíme teda pred úlohou nájsť zlomok čísla. Aby sme to vyriešili, musíme vynásobiť 200 30 / 100 (úlohy na nájdenie zlomku čísla riešime vynásobením čísla zlomkom.).
Takže 30% z 200 sa rovná 60.
Zlomok 30/100, ktorý sa vyskytuje v tomto probléme, môže byť znížený o 10. Toto zníženie by bolo možné vykonať od samého začiatku; riešenie problému by sa nezmenilo.
Úloha 2. V tábore bolo 300 detí rôzneho veku. Detí vo veku 11 rokov bolo 21 %, detí vo veku 12 rokov bolo 61 % a napokon 13-ročných 18 %. Koľko detí každého veku bolo v tábore?
V tomto probléme musíte vykonať tri výpočty, to znamená postupne nájsť počet detí vo veku 11 rokov, potom vo veku 12 rokov a nakoniec vo veku 13 rokov.
Takže tu bude potrebné nájsť zlomok čísla trikrát. Poďme na to:
1) Koľko detí malo 11 rokov?
2) Koľko detí malo 12 rokov?
3) Koľko detí malo 13 rokov?
Po vyriešení úlohy je užitočné doplniť nájdené čísla; ich súčet by mal byť 300:
63 + 183 + 54 = 300
Mali by ste tiež venovať pozornosť skutočnosti, že súčet percent uvedených v podmienke problému je 100:
21% + 61% + 18% = 100%
To naznačuje celkový počet deti, ktoré boli v tábore boli brané ako 100%.
3 a da cha 3. Pracovník dostal 1 200 rubľov mesačne. Z toho 65 % minul na stravu, 6 % na byt a kúrenie, 4 % na plyn, elektrinu a rozhlas, 10 % na kultúrne potreby a 15 % ušetril. Koľko peňazí bolo vynaložených na potreby uvedené v úlohe?
Ak chcete vyriešiť tento problém, musíte 5-krát nájsť zlomok čísla 1 200. Poďme na to.
1) Koľko peňazí sa minie na jedlo? Úloha hovorí, že tento výdavok je 65 % zo všetkých zárobkov, teda 65/100 z čísla 1 200. Urobme výpočet:
2) Koľko peňazí sa zaplatilo za byt s kúrením? Argumentujúc ako predchádzajúci, dospejeme k nasledujúcemu výpočtu:
3) Koľko peňazí ste zaplatili za plyn, elektrinu a rádio?
4) Koľko peňazí sa vynakladá na kultúrne potreby?
5) Koľko peňazí pracovník ušetril?
Pre overenie je užitočné pridať čísla nájdené v týchto 5 otázkach. Suma by mala byť 1 200 rubľov. Všetky zárobky sa berú ako 100 %, čo sa dá ľahko skontrolovať sčítaním percent uvedených vo vyhlásení o probléme.
Vyriešili sme tri problémy. Napriek tomu, že tieto úlohy boli o rôznych veciach (dodávka palivového dreva pre školu, počet detí rôzneho veku, výdavky pracovníka), riešili sa rovnako. Stalo sa tak preto, že vo všetkých úlohách bolo potrebné nájsť niekoľko percent z daných čísel.
§ 90. Delenie zlomkov.
Pri štúdiu rozdelenia zlomkov zvážime nasledujúce otázky:
1. Vydeľte celé číslo celým číslom.
2. Delenie zlomku celým číslom
3. Delenie celého čísla zlomkom.
4. Delenie zlomku zlomkom.
5. Delenie zmiešaných čísel.
6. Nájdenie čísla daného zlomkom.
7. Nájdenie čísla podľa jeho percent.
Zvážme ich postupne.
1. Vydeľte celé číslo celým číslom.
Ako už bolo naznačené v časti celé čísla, delenie je dej spočívajúci v tom, že pri súčine dvoch faktorov (dividenda) a jedného z týchto faktorov (deliteľ) sa nájde ďalší faktor.
Delenie celého čísla celým číslom sme uvažovali v oddelení celých čísel. Stretli sme sa tam s dvomi prípadmi delenia: delenie bez zvyšku, alebo „úplne“ (150: 10 = 15) a delenie so zvyškom (100: 9 = 11 a 1 vo zvyšku). Môžeme teda povedať, že v oblasti celých čísel nie je presné delenie vždy možné, pretože dividenda nie je vždy súčinom deliteľa a celého čísla. Po zavedení násobenia zlomkom môžeme považovať za možný akýkoľvek prípad delenia celých čísel (vylúčené je len delenie nulou).
Napríklad delenie 7 číslom 12 znamená nájdenie čísla, ktorého súčin krát 12 by bol 7. Toto číslo je zlomok 7/12, pretože 7/12 12 = 7. Ďalší príklad: 14: 25 = 14/25, pretože 14/25 25 = 14.
Ak teda chcete deliť celé číslo celým číslom, musíte vytvoriť zlomok, ktorého čitateľ sa rovná dividende a menovateľ je deliteľ.
2. Delenie zlomku celým číslom.
Vydeľte zlomok 6 / 7 3. Podľa vyššie uvedenej definície delenia tu máme súčin (6 / 7) a jeden z faktorov (3); je potrebné nájsť taký druhý faktor, ktorý po vynásobení 3 dostane daný súčin 6/7. Je zrejmé, že by mal byť trikrát menší ako tento produkt. To znamená, že úlohou, ktorá bola pred nami, bolo znížiť zlomok 6/7 3-krát.
Už vieme, že zlomok možno zmenšiť buď zmenšením jeho čitateľa, alebo zvýšením jeho menovateľa. Preto môžete napísať:
V tomto prípade je čitateľ 6 deliteľný 3, takže čitateľ by sa mal zmenšiť 3-krát.
Zoberme si ďalší príklad: 5 / 8 delené 2. Tu čitateľ 5 nie je deliteľný 2, čo znamená, že menovateľ bude musieť byť vynásobený týmto číslom:
Na základe toho môžeme stanoviť pravidlo: Ak chcete rozdeliť zlomok celým číslom, musíte vydeliť čitateľa zlomku týmto celým číslom(Ak je to možné), ponecháme rovnakého menovateľa, alebo vynásobíme menovateľa zlomku týmto číslom, pričom zostane rovnaký čitateľ.
3. Delenie celého čísla zlomkom.
Nech je potrebné deliť 5 1/2, t.j. nájsť číslo, ktoré po vynásobení 1/2 dostane súčin 5. Toto číslo musí byť samozrejme väčšie ako 5, keďže 1/2 je vlastný zlomok, a pri vynásobení čísla správnym zlomkom musí byť súčin menší ako násobiteľ. Aby to bolo jasnejšie, napíšme naše akcie takto: 5: 1 / 2 = X , takže x 1/2 \u003d 5.
Takéto číslo musíme nájsť X , čo po vynásobení 1/2 by dalo 5. Keďže vynásobiť určité číslo 1/2 znamená nájsť 1/2 tohto čísla, potom teda 1/2 neznámeho čísla X je 5 a celé číslo X dvakrát toľko, t.j. 5 2 \u003d 10.
Takže 5: 1/2 = 5 2 = 10
Skontrolujme to: 
Uvažujme ešte o jednom príklade. Nech je potrebné deliť 6 2/3. Skúsme najprv nájsť požadovaný výsledok pomocou nákresu (obr. 19).
Obr.19
Nakreslite segment AB, ktorý sa rovná 6 z niektorých jednotiek, a rozdeľte každú jednotku na 3 rovnaké časti. V každej jednotke sú tri tretiny (3 / 3) v celom segmente AB 6-krát väčšie, t.j. napríklad 18/3. Spájame pomocou malých zátvoriek 18 získaných segmentov po 2; Bude len 9 segmentov. To znamená, že zlomok 2/3 je obsiahnutý v b jednotkách 9-krát, alebo inými slovami, zlomok 2/3 je 9-krát menší ako 6 celých jednotiek. teda
Ako získať tento výsledok bez výkresu iba pomocou výpočtov? Budeme argumentovať nasledovne: je potrebné deliť 6 2/3, t.j. je potrebné odpovedať na otázku, koľkokrát je 2/3 obsiahnutých v 6. Najprv zistíme: koľkokrát je 1/3 obsiahnuté v 6? V celej jednotke - 3 tretiny a v 6 jednotkách - 6 krát viac, t.j. 18 tretín; aby sme našli toto číslo, musíme 6 vynásobiť 3. Preto 1/3 je obsiahnutá v b jednotkách 18-krát a 2/3 je obsiahnutá v b jednotkách nie 18-krát, ale polovične, t.j. 18: 2 = 9 Preto pri delení 6 2/3 máme hotovo nasledujúce akcie:
Odtiaľ dostaneme pravidlo na delenie celého čísla zlomkom. Ak chcete deliť celé číslo zlomkom, musíte toto celé číslo vynásobiť menovateľom daného zlomku a urobiť z tohto súčinu čitateľa a vydeliť ho čitateľom daného zlomku.
Pravidlo napíšeme pomocou písmen:
Aby bolo toto pravidlo úplne jasné, treba pripomenúť, že zlomok možno považovať za podiel. Preto je užitočné zistené pravidlo porovnať s pravidlom delenia čísla podielom, ktoré bolo uvedené v § 38. Všimnite si, že tam bol získaný rovnaký vzorec.
Pri delení sú možné skratky, napr.
4. Delenie zlomku zlomkom.
Nech je potrebné deliť 3/4 3/8. Čo bude označovať číslo, ktoré sa získa v dôsledku delenia? Odpovie na otázku, koľkokrát je zlomok 3/8 obsiahnutý v zlomku 3/4. Aby sme pochopili túto problematiku, urobme si nákres (obr. 20).
Vezmite segment AB, vezmite ho ako celok, rozdeľte ho na 4 rovnaké časti a označte 3 takéto časti. Segment AC sa bude rovnať 3/4 segmentu AB. Rozdeľme teraz každý zo štyroch počiatočných segmentov na polovicu, potom sa segment AB rozdelí na 8 rovnakých častí a každá takáto časť sa bude rovnať 1/8 segmentu AB. Spojíme 3 takéto segmenty s oblúkmi, potom sa každý zo segmentov AD a DC bude rovnať 3/8 segmentu AB. Na výkrese je znázornené, že segment rovnajúci sa 3/8 je obsiahnutý v segmente rovnajúcemu sa 3/4 presne 2-krát; Takže výsledok delenia možno zapísať takto:
3 / 4: 3 / 8 = 2
Uvažujme ešte o jednom príklade. Nech je potrebné deliť 15/16 3/32:
Môžeme uvažovať takto: musíme nájsť číslo, ktoré po vynásobení 3/32 dostane súčin rovný 15/16. Zapíšme si výpočty takto:
15 / 16: 3 / 32 = X
3 / 32 X = 15 / 16
3/32 neznáme číslo X make up 15/16
1/32 neznáme číslo X je ,
32/32 čísel X makeup .
teda
Ak teda chcete rozdeliť zlomok zlomkom, musíte vynásobiť čitateľa prvého zlomku menovateľom druhého a vynásobiť menovateľa prvého zlomku čitateľom druhého a urobiť z prvého súčinu čitateľa a druhý menovateľ.
Napíšme pravidlo pomocou písmen:
Pri delení sú možné skratky, napr.
5. Delenie zmiešaných čísel.
Pri delení zmiešaných čísel sa musia najskôr previesť na nesprávne zlomky a potom by sa výsledné zlomky mali rozdeliť podľa pravidiel na delenie zlomkových čísel. Zvážte príklad:
Previesť zmiešané čísla na nesprávne zlomky:
Teraz sa rozdeľme:
Ak teda chcete rozdeliť zmiešané čísla, musíte ich previesť na nesprávne zlomky a potom rozdeliť podľa pravidla na delenie zlomkov.
6. Nájdenie čísla daného zlomkom.
Medzi rôznymi úlohami o zlomkoch sú niekedy také, v ktorých je daná hodnota nejakého zlomku neznámeho čísla a je potrebné toto číslo nájsť. Tento typ problému bude inverzný k problému nájdenia zlomku daného čísla; tam bolo dané číslo a bolo potrebné nájsť nejaký zlomok tohto čísla, tu je daný zlomok čísla a je potrebné nájsť toto číslo samo. Táto myšlienka bude ešte jasnejšia, ak sa obrátime na riešenie tohto typu problému.
Úloha 1. V prvý deň sklenári zasklili 50 okien, čo je 1/3 všetkých okien postaveného domu. Koľko okien je v tomto dome?
Riešenie. Problém hovorí, že 50 zasklených okien tvorí 1/3 všetkých okien domu, čiže celkovo je okien 3x viac, t.j.
Dom mal 150 okien.
Úloha 2. Predajňa predala 1500 kg múky, čo sú 3/8 z celkových zásob múky v predajni. Aká bola počiatočná dodávka múky v obchode?
Riešenie. Zo stavu problému je vidieť, že predaných 1500 kg múky tvorí 3/8 celkových zásob; to znamená, že 1/8 tejto zásoby bude 3-krát menej, t.j. na jej výpočet je potrebné znížiť 1500 3-krát:
1 500: 3 = 500 (to je 1/8 zásob).
Je zrejmé, že celá zásoba bude 8-krát väčšia. teda
500 8 \u003d 4 000 (kg).
Počiatočná zásoba múky v obchode bola 4000 kg.
Z uvažovania o tomto probléme možno odvodiť nasledujúce pravidlo.
Ak chcete nájsť číslo zadanou hodnotou jeho zlomku, stačí túto hodnotu vydeliť čitateľom zlomku a výsledok vynásobiť menovateľom zlomku.
Vyriešili sme dva problémy s nájdením čísla daného zlomkom. Takéto problémy, ako je obzvlášť dobre vidieť z posledného, sa riešia dvoma akciami: delením (keď sa nájde jedna časť) a násobením (keď sa nájde celé číslo).
Avšak potom, čo sme študovali delenie zlomkov, vyššie uvedené problémy môžu byť vyriešené v jednej akcii, a to: delenie zlomkom.
Napríklad posledná úloha môže byť vyriešená jednou akciou takto:
V budúcnosti vyriešime problém hľadania čísla jeho zlomkom v jednej akcii – delení.
7. Nájdenie čísla podľa jeho percent.
V týchto úlohách budete musieť nájsť číslo a poznať niekoľko percent tohto čísla.
Úloha 1. Začiatkom tohto roka som dostal od sporiteľne 60 rubľov. príjem zo sumy, ktorú som pred rokom vložil do sporenia. Koľko peňazí som vložil do sporiteľne? (Pokladne dávajú vkladateľom 2 % z príjmu ročne.)
Zmysel problému je v tom, že určitú sumu peňazí som vložil do sporiteľne a ležal tam rok. Po roku som od nej dostal 60 rubľov. príjem, čo sú 2/100 z peňazí, ktoré som vložil. Koľko peňazí som vložil?
Preto, keď poznáme časť týchto peňazí, vyjadrenú dvoma spôsobmi (v rubľoch a zlomkoch), musíme nájsť celú, zatiaľ neznámu sumu. Toto je bežný problém nájsť číslo vzhľadom na jeho zlomok. Nasledujúce úlohy sa riešia delením:
Do sporiteľne sa teda vložilo 3 000 rubľov.
Úloha 2. Za dva týždne rybári splnili mesačný plán na 64 %, keď pripravili 512 ton rýb. Aký mali plán?
Zo stavu problému je známe, že rybári dokončili časť plánu. Táto časť sa rovná 512 tonám, čo je 64 % plánu. Koľko ton rýb treba podľa plánu vyloviť, nevieme. Riešenie problému bude spočívať v nájdení tohto čísla.
Takéto úlohy sa riešia rozdelením:
Takže podľa plánu musíte pripraviť 800 ton rýb.
Úloha 3. Vlak išiel z Rigy do Moskvy. Keď prešiel 276. kilometer, jeden z cestujúcich sa spýtal okoloidúceho sprievodcu, koľko cesty už prešli. Na to sprievodca odpovedal: „Už sme prešli 30 % celej cesty. Aká je vzdialenosť z Rigy do Moskvy?
Zo stavu problému je vidieť, že 30% cesty z Rigy do Moskvy je 276 km. Musíme nájsť celú vzdialenosť medzi týmito mestami, t. j. pre túto časť nájsť celok:
§ 91. Vzájomné čísla. Nahradenie delenia násobením.
Vezmite zlomok 2/3 a preusporiadajte čitateľa na miesto menovateľa, dostaneme 3/2. Dostali sme zlomok, recipročný tento.
Aby ste dostali zlomok prevrátený k danému, musíte na miesto menovateľa umiestniť jeho čitateľa a na miesto čitateľa menovateľa. Týmto spôsobom môžeme získať zlomok, ktorý je prevrátený k ľubovoľnému zlomku. Napríklad:
3/4, spätný chod 4/3; 5/6, spätný chod 6/5
Dva zlomky, ktoré majú vlastnosť, že čitateľ prvého je menovateľom druhého a menovateľ prvého je čitateľom druhého, sa nazývajú vzájomne inverzné.
Teraz sa zamyslime nad tým, aký zlomok bude prevrátená 1/2. Je zrejmé, že to bude 2 / 1, alebo len 2. Ak hľadáme prevrátenú hodnotu, máme celé číslo. A tento prípad nie je izolovaný; naopak, pre všetky zlomky s čitateľom 1 (jedna) budú prevrátené celé čísla, napríklad:
1/3, prevrátená 3; 1/5, obrátene 5
Keďže pri hľadaní recipročných sme sa stretli aj s celými číslami, v budúcnosti nebudeme hovoriť o recipročných, ale o recipročné.
Poďme zistiť, ako napísať prevrátenú hodnotu celého čísla. V prípade zlomkov je to vyriešené jednoducho: namiesto čitateľa musíte umiestniť menovateľa. Rovnakým spôsobom môžete získať prevrátenú hodnotu celého čísla, pretože každé celé číslo môže mať menovateľa 1. Preto bude prevrátená hodnota 7 1/7, pretože 7 \u003d 7/1; pre číslo 10 je to naopak 1/10, pretože 10 = 10/1
Túto myšlienku možno vyjadriť aj inak: prevrátenú hodnotu daného čísla získame vydelením jednotky daným číslom. Toto tvrdenie platí nielen pre celé čísla, ale aj pre zlomky. Skutočne, ak chcete napísať číslo, ktoré je prevrátené k zlomku 5 / 9, potom môžeme vziať 1 a vydeliť ho 5 / 9, t.j.
Teraz poukážeme na jeden nehnuteľnosť vzájomne recipročné čísla, ktoré sa nám budú hodiť: súčin vzájomne recipročných čísel sa rovná jednej. Naozaj:
Pomocou tejto vlastnosti môžeme nájsť recipročné hodnoty nasledujúcim spôsobom. Nájdime prevrátenú hodnotu 8.
Označme to písmenom X , potom 8 X = 1, teda X = 1/8. Nájdime iné číslo, prevrátené číslo 7/12, označme ho písmenom X , potom 7/12 X = 1, teda X = 1:7 / 12 alebo X = 12 / 7 .
Zaviedli sme tu pojem reciproké čísla, aby sme mierne doplnili informácie o delení zlomkov.
Keď vydelíme číslo 6 3/5, urobíme nasledovné:
Venujte zvláštnu pozornosť výrazu a porovnajte ho s daným: .
Ak vezmeme výraz oddelene, bez spojenia s predchádzajúcim, potom nie je možné vyriešiť otázku, odkiaľ pochádza: z delenia 6 3/5 alebo z vynásobenia 6 5/3. V oboch prípadoch je výsledok rovnaký. Takže môžeme povedať že delenie jedného čísla druhým možno nahradiť vynásobením dividendy prevrátenou hodnotou deliteľa.
Príklady, ktoré uvádzame nižšie, plne potvrdzujú tento záver.
Násobenie obyčajných zlomkov
Zvážte príklad.
Nech je na tanieri $\frac(1)(3)$ časť jablka. Musíme nájsť jeho časť $\frac(1)(2)$. Požadovaná časť je výsledkom vynásobenia zlomkov $\frac(1)(3)$ a $\frac(1)(2)$. Výsledkom vynásobenia dvoch spoločných zlomkov je spoločný zlomok.
Násobenie dvoch bežných zlomkov
Pravidlo na násobenie obyčajných zlomkov:
Výsledkom vynásobenia zlomku zlomkom je zlomok, ktorého čitateľ sa rovná súčinu čitateľov vynásobených zlomkov a menovateľ sa rovná súčinu menovateľov:
Príklad 1
Vynásobte obyčajné zlomky $\frac(3)(7)$ a $\frac(5)(11)$.
Riešenie.
Využime pravidlo násobenia obyčajných zlomkov:
\[\frac(3)(7)\cdot \frac(5)(11)=\frac(3\cdot 5)(7\cdot 11)=\frac(15)(77)\]
odpoveď:$\frac(15)(77)$
Ak sa v dôsledku násobenia zlomkov získa zrušiteľný alebo nesprávny zlomok, potom je potrebné ho zjednodušiť.
Príklad 2
Vynásobte zlomky $\frac(3)(8)$ a $\frac(1)(9)$.
Riešenie.
Na násobenie obyčajných zlomkov používame pravidlo:
\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)\]
Výsledkom je, že sme dostali redukovateľný zlomok (na základe delenia 3 $. Vydelíme čitateľa a menovateľa zlomku 3 $, dostaneme:
\[\frac(3)(72)=\frac(3:3)(72:3)=\frac(1)(24)\]
Krátke riešenie:
\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)=\frac(1) (24)\]
odpoveď:$\frac(1)(24).$
Pri násobení zlomkov môžete zmenšiť čitateľov a menovateľov, aby ste našli ich súčin. V tomto prípade sa čitateľ a menovateľ zlomku rozloží na hlavné faktory, po ktorom sa redukujú opakované faktory a nájde sa výsledok.
Príklad 3
Vypočítajte súčin zlomkov $\frac(6)(75)$ a $\frac(15)(24)$.
Riešenie.
Na násobenie obyčajných zlomkov použijeme vzorec:
\[\frac(6)(75)\cdot \frac(15)(24)=\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)\]
Je zrejmé, že čitateľ a menovateľ obsahujú čísla, ktoré možno v pároch zmenšiť o čísla $2$, $3$ a $5$. Rozložíme čitateľa a menovateľa na jednoduché faktory a urobíme redukciu:
\[\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)=\frac(2\cdot 3\cdot 3\cdot 5)(3\cdot 5\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3)=\frac(1)(5\cdot 2\cdot 2)=\frac(1)(20)\]
odpoveď:$\frac(1)(20).$
Pri násobení zlomkov možno použiť komutatívny zákon:
Násobenie zlomku prirodzeným číslom
Pravidlo pre násobenie obyčajného zlomku prirodzeným číslom:
Výsledkom vynásobenia zlomku prirodzeným číslom je zlomok, v ktorom sa čitateľ rovná súčinu čitateľa vynásobeného zlomku prirodzeným číslom a menovateľ sa rovná menovateľovi vynásobeného zlomku:
kde $\frac(a)(b)$ je bežný zlomok, $n$ je prirodzené číslo.
Príklad 4
Vynásobte zlomok $\frac(3)(17)$ hodnotou $4$.
Riešenie.
Využime pravidlo násobenia obyčajného zlomku prirodzeným číslom:
\[\frac(3)(17)\cdot 4=\frac(3\cdot 4)(17)=\frac(12)(17)\]
odpoveď:$\frac(12)(17).$
Nezabudnite skontrolovať výsledok násobenia na kontrahovateľnosť zlomku alebo na nesprávny zlomok.
Príklad 5
Vynásobte zlomok $\frac(7)(15)$ hodnotou $3$.
Riešenie.
Použime vzorec na násobenie zlomku prirodzeným číslom:
\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)\]
Kritériom delenia číslom $3$) možno určiť, že výsledný zlomok možno zmenšiť:
\[\frac(21)(15)=\frac(21:3)(15:3)=\frac(7)(5)\]
Výsledkom je nesprávny zlomok. Zoberme si celú časť:
\[\frac(7)(5)=1\frac(2)(5)\]
Krátke riešenie:
\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)=\frac(7)(5)=1\frac(2) (5)\]
Zlomky bolo možné zmenšiť aj nahradením čísel v čitateli a menovateli ich rozšíreniami na prvočísla. V tomto prípade môže byť riešenie napísané takto:
\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(7\cdot 3)(3\cdot 5)=\frac(7)(5)= 1\frac(2)(5)\]
odpoveď:$1\frac(2)(5).$
Pri násobení zlomku prirodzeným číslom môžete použiť komutatívny zákon:
Delenie obyčajných zlomkov
Operácia delenia je inverzná k násobeniu a jej výsledkom je zlomok, ktorým musíte vynásobiť známy zlomok, aby ste získali známy súčin dvoch zlomkov.
Delenie dvoch bežných zlomkov
Pravidlo delenia obyčajných zlomkov: Je zrejmé, že čitateľ a menovateľ výsledného zlomku možno rozložiť na jednoduché faktory a znížiť:
\[\frac(8\cdot 35)(15\cdot 12)=\frac(2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 7)(3\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 3)= \frac(2\cdot 7)(3\cdot 3)=\frac(14)(9)\]
V dôsledku toho sme dostali nesprávny zlomok, z ktorého vyberieme celú časť:
\[\frac(14)(9)=1\frac(5)(9)\]
odpoveď:$1\frac(5)(9).$