2. Základy teórie pravdepodobnosti
Očakávaná hodnota
Uvažujme náhodnú premennú s číselnými hodnotami. Často je užitočné priradiť k tejto funkcii číslo – jeho „priemernú hodnotu“ alebo, ako sa hovorí, „priemernú hodnotu“, „ukazovateľ centrálnej tendencie“. Z mnohých dôvodov, z ktorých niektoré budú zrejmé z nasledujúceho, je bežné používať priemer ako priemer.
Definícia 3. Matematické očakávanie náhodnej premennej X zavolal na číslo
tie. matematické očakávanie náhodnej premennej je vážený súčet hodnôt náhodnej premennej s váhami rovnými pravdepodobnostiam zodpovedajúcich elementárnych udalostí.
Príklad 6 Vypočítajme matematické očakávanie čísla, ktoré padlo na hornú stranu kocky. Priamo z definície 3 vyplýva, že
Vyhlásenie 2. Nech náhodná premenná X nadobúda hodnoty x 1, x 2, ..., xm. Potom rovnosť
(5)
tie. Matematické očakávanie náhodnej premennej je vážený súčet hodnôt náhodnej premennej s váhami rovnajúcimi sa pravdepodobnosti, že náhodná premenná nadobúda určité hodnoty.
Na rozdiel od (4), kde sa sčítanie vykonáva priamo nad elementárnymi udalosťami, náhodná udalosť môže pozostávať z niekoľkých elementárnych udalostí.
Niekedy sa vzťah (5) považuje za definíciu matematického očakávania. Avšak pomocou definície 3, ako je uvedené nižšie, je jednoduchšie stanoviť vlastnosti očakávania potrebného na konštrukciu pravdepodobnostné modely reálnych javov než pomocou vzťahu (5).
Aby sme dokázali vzťah (5), zoskupíme do (4) výrazy s rovnaké hodnoty náhodná premenná :
Keďže konštantný faktor možno vyňať zo znamienka súčtu, potom
Podľa definície pravdepodobnosti udalosti
Pomocou posledných dvoch vzťahov získame požadované:
Pojem matematického očakávania v pravdepodobnostno-štatistickej teórii zodpovedá pojmu ťažisko v mechanike. Dajme tomu do bodiek x 1, x 2, ..., xm na číselnej osi hmoty P(X= X 1 ), P(X= X 2 ),…, P(X= x m) resp. Potom rovnosť (5) ukazuje, že ťažisko tohto systému hmotných bodov sa zhoduje s matematickým očakávaním, čo ukazuje prirodzenosť definície 3.
Vyhlásenie 3. Nechaj X- náhodná hodnota, M(X) je jeho matematické očakávanie, a- nejaké číslo. Potom
1) M(a)=a; 2) M(X-M(X))=0; 3 milióny[(X- a) 2 ]= M[(X- M(X)) 2 ]+(a- M(X)) 2 .
Aby sme to dokázali, najprv uvažujeme náhodnú premennú, ktorá je konštantná, t.j. funkcia mapuje priestor elementárnych udalostí do jedného bodu a. Keďže konštantný faktor možno vyňať zo znamienka súčtu, potom
Ak je každý člen súčtu rozdelený na dva členy, potom sa celý súčet tiež rozdelí na dva súčty, z ktorých prvý pozostáva z prvých členov a druhý z druhého. Preto matematické očakávanie súčtu dvoch náhodných premenných X + Y, definovaný na rovnakom priestore elementárnych udalostí, sa rovná súčtu matematických očakávaní M(X) a M(U) tieto náhodné premenné:
M(X+Y) = M(X) + M(Y).
A preto M(X-M(X)) = M(X) - M(M(X)). Ako je uvedené vyššie, M(M(X)) = M(X). v dôsledku toho M(X-M(X)) = M(X) - M(X) = 0.
Pretože (X - a) 2 = ((X – M(X)) + (M(X) - a)} 2 = (X - M(X)) 2 + 2(X - M(X))(M(X) - a) + (M(X) – a) 2 , potom M[(X - a) 2] =M(X - M(X)) 2 + M{2(X - M(X))(M(X) - a)} + M[(M(X) – a) 2 ]. Zjednodušme poslednú rovnosť. Ako je ukázané na začiatku dôkazu tvrdenia 3, očakávanie konštanty je samotná konštanta, a preto M[(M(X) – a) 2 ] = (M(X) – a) 2 . Keďže konštantný faktor možno vyňať zo znamienka súčtu, potom M{2(X - M(X))(M(X) - a)} = 2(M(X) - a)M(X - M(X)). Pravá strana poslednej rovnosti je 0, pretože, ako je uvedené vyššie, M(X-M(X))=0. v dôsledku toho M[(X- a) 2 ]= M[(X- M(X)) 2 ]+(a- M(X)) 2 , čo malo byť preukázané.
Z toho, čo bolo povedané, to vyplýva M[(X- a) 2 ] dosiahne minimum a rovná M[(X- M(X)) 2 ], pri a = M(X), keďže druhý člen v rovnosti 3) je vždy nezáporný a rovná sa 0 len pre zadanú hodnotu a.
Vyhlásenie 4. Nech náhodná premenná X nadobúda hodnoty x 1, x 2, ..., xm a f je nejaká funkcia číselného argumentu. Potom
Aby sme to dokázali, zoskupme na pravú stranu rovnosti (4), ktorá určuje matematické očakávanie, členy s rovnakými hodnotami:
Využitím faktu, že konštantný faktor možno vyňať zo znamienka súčtu a určením pravdepodobnosti náhodnej udalosti (2) dostaneme
Q.E.D.
Vyhlásenie 5. Nechaj X a O sú náhodné premenné definované na rovnakom priestore elementárnych udalostí, a a b- nejaké čísla. Potom M(aX+ byY)= aM(X)+ bM(Y).
Použitím definície matematického očakávania a vlastností súčtového symbolu získame reťazec rovnosti:
Požadované je preukázané.
Vyššie uvedené ukazuje, ako matematické očakávanie závisí od prechodu na iný pôvod a na inú jednotku merania (prechod Y=aX+b), ako aj na funkcie náhodných premenných. Získané výsledky sa neustále využívajú v technicko-ekonomickej analýze, pri hodnotení finančnej a ekonomickej činnosti podniku, pri prechode z jednej meny na druhú v zahraničných ekonomických zúčtovaniach, v regulačnej a technickej dokumentácii a pod. Uvažované výsledky umožňujú využitie rovnaké výpočtové vzorce pre rôzne parametre mierka a posun.
| Predchádzajúce |
Matematické očakávanie (stredná hodnota) náhodnej premennej X , dané na diskrétnom pravdepodobnostnom priestore, je číslo m =M[X]=∑x i p i , ak rad absolútne konverguje.
Pridelenie služby. S pomocou služby online režim vypočítajú sa matematické očakávania, rozptyl a smerodajná odchýlka(pozri príklad). Okrem toho sa vykreslí graf distribučnej funkcie F(X).
Vlastnosti matematického očakávania náhodnej premennej
- Matematické očakávanie konštantnej hodnoty sa rovná sebe samej: M[C]=C , C je konštanta;
- M=C M[X]
- Matematické očakávanie súčtu náhodných premenných sa rovná súčtu ich matematických očakávaní: M=M[X]+M[Y]
- Matematické očakávanie súčinu nezávislých náhodných premenných sa rovná súčinu ich matematických očakávaní: M=M[X] M[Y], ak sú X a Y nezávislé.
Vlastnosti disperzie
- Disperzia konštantnej hodnoty sa rovná nule: D(c)=0.
- Konštantný faktor možno vybrať spod znamienka rozptylu jeho umocnením: D(k*X)= k 2 D(X).
- Ak sú náhodné premenné X a Y nezávislé, potom sa rozptyl súčtu rovná súčtu rozptylov: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
- Ak sú náhodné premenné X a Y závislé: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
- Pre rozptyl platí výpočtový vzorec:
D(X)=M(X2)-(M(X)) 2
Príklad. Matematické očakávania a rozptyly dvoch nezávislých náhodných premenných X a Y sú známe: M(x)=8, M(Y)=7, D(X)=9, D(Y)=6. Nájdite matematické očakávanie a rozptyl náhodnej premennej Z=9X-8Y+7 .
Riešenie. Na základe vlastností matematického očakávania: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23.
Na základe disperzných vlastností: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345
Algoritmus na výpočet matematického očakávania
Vlastnosti diskrétnych náhodných premenných: všetky ich hodnoty možno prečíslovať prirodzenými číslami; Každej hodnote priraďte nenulovú pravdepodobnosť.- Vynásobte dvojice jeden po druhom: x i x p i .
- Pripočítame súčin každej dvojice x i p i .
Napríklad pre n = 4: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4
Príklad #1.
| x i | 1 | 3 | 4 | 7 | 9 |
| pi | 0.1 | 0.2 | 0.1 | 0.3 | 0.3 |
Matematické očakávanie nájdeme podľa vzorca m = ∑x i p i .
Matematické očakávanie M[X].
M[x] = 1 x 0,1 + 3 x 0,2 + 4 x 0,1 + 7 x 0,3 + 9 x 0,3 = 5,9
Disperzia sa zistí podľa vzorca d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 .
Rozptyl D[X].
D[X] = 1 2 * 0,1 + 3 2 * 0,2 + 4 2 * 0,1 + 7 2 * 0,3 + 9 2 * 0,3 - 5,9 2 = 7,69
Smerodajná odchýlka σ(x).
σ = sqrt(D[X]) = sqrt(7,69) = 2,78
Príklad č. 2. Diskrétna náhodná premenná má nasledujúce distribučné rady:
| X | -10 | -5 | 0 | 5 | 10 |
| R | a | 0,32 | 2a | 0,41 | 0,03 |
Riešenie. Hodnota a sa zistí zo vzťahu: Σp i = 1
Σp i = a + 0,32 + 2 a + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 a = 1
0,76 + 3 a = 1 alebo 0,24 = 3 a , odkiaľ a = 0,08
Príklad č. 3. Určte distribučný zákon diskrétnej náhodnej premennej, ak je známy jej rozptyl a x 1
p1 = 0,3; p2 = 0,3; p3 = 0,1; p 4 \u003d 0,3
d(x) = 12,96
Riešenie.
Tu musíte vytvoriť vzorec na nájdenie rozptylu d (x):
d(x) = x 1 2 p 1 +x 2 2 p 2 +x 3 2 p 3 +x 4 2 p 4 -m(x) 2
kde očakávanie m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
Pre naše údaje
m(x)=6*0,3+9*0,3+x3 *0,1+15*0,3=9+0,1x3
12,96 = 6 2 0,3+9 2 0,3+x 3 2 0,1+15 2 0,3-(9+0,1x 3) 2
alebo -9/100 (x 2 -20x+96)=0
Preto je potrebné nájsť korene rovnice a budú dva.
x 3 \u003d 8, x 3 \u003d 12
Vyberieme ten, ktorý spĺňa podmienku x 1
Distribučný zákon diskrétnej náhodnej premennej
x 1 = 6; x2=9; x 3 \u003d 12; x4=15
p1 = 0,3; p2 = 0,3; p3 = 0,1; p 4 \u003d 0,3
Matematické očakávanie diskrétnej náhodnej premennej je súčtom produktov všetkých jej možných hodnôt a ich pravdepodobností.
Nech náhodná premenná môže nadobudnúť len tie pravdepodobnosti, ktoré sú v tomto poradí rovnaké. Potom je matematické očakávanie náhodnej premennej určené rovnosťou
Ak diskrétna náhodná premenná nadobudne spočítateľný súbor možných hodnôt, potom
Navyše, matematické očakávanie existuje, ak rad na pravej strane rovnosti absolútne konverguje.
Komentujte. Z definície vyplýva, že matematické očakávanie diskrétnej náhodnej premennej je nenáhodná (konštantná) premenná.
Definícia matematického očakávania vo všeobecnom prípade
Definujme matematické očakávanie náhodnej premennej, ktorej rozdelenie nemusí byť nevyhnutne diskrétne. Začnime prípadom nezáporných náhodných premenných. Myšlienkou bude aproximovať také náhodné premenné pomocou diskrétnych premenných, pre ktoré už bolo určené matematické očakávanie, a nastaviť matematické očakávanie rovné limitu matematických očakávaní diskrétnych náhodných premenných, ktoré ho aproximujú. Mimochodom, toto je veľmi užitočná všeobecná myšlienka, ktorá spočíva v tom, že najprv sa určí nejaká charakteristika pre jednoduché objekty a potom sa pre zložitejšie objekty určí ich aproximáciou s jednoduchšími.
Lema 1. Nech existuje ľubovoľná nezáporná náhodná premenná. Potom existuje postupnosť diskrétnych náhodných premenných tak, že
Dôkaz. Rozdeľme poloos na rovnaké segmenty dĺžky a definujme
Potom vlastnosti 1 a 2 ľahko vyplývajú z definície náhodnej premennej a
Lema 2. Nech je nezáporná náhodná premenná a dve postupnosti diskrétnych náhodných premenných s vlastnosťami 1-3 z Lemy 1. Potom
Dôkaz. Všimnite si, že pre nezáporné náhodné premenné to povoľujeme
Podľa vlastnosti 3 je ľahké vidieť, že existuje postupnosť kladných čísel taká, že
Z toho teda vyplýva
Pomocou vlastností matematických očakávaní pre diskrétne náhodné premenné získame
Prechod na limit, keď získame tvrdenie Lemy 2.
Definícia 1. Nech je nezáporná náhodná premenná, je postupnosť diskrétnych náhodných premenných s vlastnosťami 1-3 z Lemy 1. Matematické očakávanie náhodnej premennej je číslo
Lema 2 zaručuje, že nezávisí od výberu aproximačnej postupnosti.
Nech je teraz ľubovoľná náhodná premenná. Poďme definovať
Z definície a ľahko to vyplýva
Definícia 2. Matematické očakávanie ľubovoľnej náhodnej premennej je číslo
Ak je aspoň jedno z čísel na pravej strane tejto rovnosti konečné.
Vlastnosti očakávania
Vlastnosť 1. Matematické očakávanie konštantnej hodnoty sa rovná samotnej konštante:
Dôkaz. Konštantu budeme považovať za diskrétnu náhodnú premennú, ktorá má jednu možnú hodnotu a naberá ju s pravdepodobnosťou, teda,
Poznámka 1. Súčin konštantnej hodnoty diskrétnou náhodnou premennou definujeme ako diskrétnu náhodnú premennú, ktorej možné hodnoty sa rovnajú súčinom konštanty možnými hodnotami; pravdepodobnosti možných hodnôt sa rovnajú pravdepodobnostiam zodpovedajúcich možných hodnôt. Napríklad, ak je pravdepodobnosť možnej hodnoty rovnaká, potom pravdepodobnosť, že hodnota nadobudne hodnotu, sa tiež rovná
Vlastnosť 2. Konštantný faktor možno vyňať zo znamenia očakávania:
Dôkaz. Nech je náhodná premenná daná zákonom o rozdelení pravdepodobnosti:
Vzhľadom na poznámku 1 píšeme zákon rozdelenia náhodnej premennej
Poznámka 2. Predtým, ako prejdeme k ďalšej vlastnosti, uvádzame, že dve náhodné premenné sa nazývajú nezávislé, ak distribučný zákon jednej z nich nezávisí od možných hodnôt, ktoré nadobudla druhá premenná. V opačnom prípade sú náhodné premenné závislé. Niekoľko náhodných premenných sa nazýva vzájomne nezávislých, ak zákony distribúcie ľubovoľného počtu z nich nezávisia od toho, aké možné hodnoty nadobudli ostatné premenné.
Poznámka 3. Definujeme súčin nezávislých náhodných premenných a ako náhodnú premennú, ktorej možné hodnoty sa rovnajú súčinom každej možnej hodnoty o každú možnou hodnotu pravdepodobnosti možných hodnôt súčinu sa rovnajú na súčin pravdepodobnosti možných hodnôt faktorov. Napríklad, ak je pravdepodobnosť možnej hodnoty, pravdepodobnosť možnej hodnoty je potom pravdepodobnosť možnej hodnoty
Vlastnosť 3. Matematické očakávanie súčinu dvoch nezávislých náhodných premenných sa rovná súčinu ich matematických očakávaní:
Dôkaz. Nech sú nezávislé náhodné premenné a sú dané ich vlastnými zákonmi rozdelenia pravdepodobnosti:
Zostavme si všetky hodnoty, ktoré môže nadobudnúť náhodná premenná. Aby sme to dosiahli, vynásobíme všetky možné hodnoty každou možnou hodnotou; v dôsledku toho získame a s prihliadnutím na poznámku 3 napíšeme distribučný zákon, ktorý pre jednoduchosť predpokladá, že všetky možné hodnoty produktu sú odlišné (ak to tak nie je, potom sa dôkaz vykoná podobne):
Matematické očakávanie sa rovná súčtu súčinov všetkých možných hodnôt a ich pravdepodobností:
Dôsledok. Matematické očakávanie súčinu niekoľkých vzájomne nezávislých náhodných premenných sa rovná súčinu ich matematických očakávaní.
Vlastnosť 4. Matematické očakávanie súčtu dvoch náhodných premenných sa rovná súčtu matematických očakávaní pojmov:
Dôkaz. Nech náhodné premenné a sú dané nasledujúcimi distribučnými zákonmi:
Zostavte všetky možné hodnoty množstva Za týmto účelom pridajte každú možnú hodnotu ku každej možnej hodnote; získame Pre zjednodušenie predpokladajme, že tieto možné hodnoty sú rôzne (ak to tak nie je, potom sa dôkaz vykoná podobným spôsobom) a ich pravdepodobnosti označíme resp.
Matematické očakávanie hodnoty sa rovná súčtu súčinov možných hodnôt podľa ich pravdepodobnosti:
Dokážme, že Udalosť spočívajúca v získaní hodnoty (pravdepodobnosť tejto udalosti je rovnaká) má za následok udalosť, ktorá spočíva v prijatí hodnoty alebo (pravdepodobnosť tejto udalosti sa rovná teorému sčítania) a naopak. Z toho vyplýva, že rovnosti
Dosadením správnych častí týchto rovníc do vzťahu (*) dostaneme
alebo nakoniec
Rozptyl a štandardná odchýlka
V praxi sa často vyžaduje odhad rozptylu možných hodnôt náhodnej premennej okolo jej strednej hodnoty. Napríklad v delostrelectve je dôležité vedieť, ako blízko budú strely dopadať blízko cieľa, ktorý by mal byť zasiahnutý.
Na prvý pohľad sa môže zdať, že najjednoduchší spôsob odhadu rozptylu je vypočítať všetky možné hodnoty odchýlky náhodnej veličiny a následne nájsť ich priemernú hodnotu. Táto cesta však nič nedá, keďže priemerná hodnota odchýlky, t.j. pre akúkoľvek náhodnú premennú je nula. Táto vlastnosť sa vysvetľuje skutočnosťou, že niektoré možné odchýlky sú pozitívne, zatiaľ čo iné sú negatívne; v dôsledku ich vzájomného zrušenia je priemerná hodnota odchýlky nulová. Tieto úvahy naznačujú účelnosť nahradenia možných odchýlok ich absolútnymi hodnotami alebo ich štvorcami. Takto to robia v praxi. Je pravda, že v prípade, keď sú možné odchýlky nahradené ich absolútnymi hodnotami, treba pracovať s absolútnymi hodnotami, čo niekedy vedie k vážnym ťažkostiam. Preto najčastejšie idú inou cestou, t.j. vypočítajte priemernú hodnotu štvorcovej odchýlky, ktorá sa nazýva rozptyl.
Okrem distribučných zákonov možno opísať aj náhodné premenné číselné charakteristiky .
matematické očakávanie M (x) náhodnej premennej sa nazýva jej priemerná hodnota.
Matematické očakávanie diskrétnej náhodnej premennej sa vypočíta podľa vzorca
kde – hodnoty náhodnej premennej, p ja- ich pravdepodobnosti.
Zvážte vlastnosti matematického očakávania:
1. Matematické očakávanie konštanty sa rovná samotnej konštante
2. Ak sa náhodná premenná vynásobí určitým číslom k, potom sa matematické očakávanie vynásobí rovnakým číslom
M (kx) = kM (x)
3. Matematické očakávanie súčtu náhodných premenných sa rovná súčtu ich matematických očakávaní
M (x 1 + x 2 + ... + x n) \u003d M (x 1) + M (x 2) + ... + M (x n)
4. M (x 1 - x 2) \u003d M (x 1) - M (x 2)
5. Pre nezávislé náhodné premenné x 1 , x 2 , … x n sa matematické očakávanie súčinu rovná súčinu ich matematických očakávaní
M (x 1, x 2, ... x n) \u003d M (x 1) M (x 2) ... M (x n)
6. M (x - M (x)) \u003d M (x) - M (M (x)) \u003d M (x) - M (x) \u003d 0
Vypočítajme matematické očakávanie pre náhodnú premennú z príkladu 11.
M(x) == 
.
Príklad 12. Nech sú náhodné premenné x 1 , x 2 dané distribučnými zákonmi, resp.
x 1 Tabuľka 2
x 2 Tabuľka 3
Vypočítajte M (x 1) a M (x 2)
M (x 1) \u003d (- 0,1) 0,1 + (- 0,01) 0,2 + 0 0,4 + 0,01 0,2 + 0,1 0,1 \u003d 0
M (x 2) \u003d (- 20) 0,3 + (- 10) 0,1 + 0 0,2 + 10 0,1 + 20 0,3 \u003d 0
Matematické očakávania oboch náhodných premenných sú rovnaké – rovnajú sa nule. Ich distribúcia je však odlišná. Ak sa hodnoty x 1 líšia len málo od ich matematického očakávania, potom sa hodnoty x 2 líšia do značnej miery od ich matematického očakávania a pravdepodobnosti takýchto odchýlok nie sú malé. Tieto príklady ukazujú, že z priemernej hodnoty nie je možné určiť, aké odchýlky od nej sa vyskytujú hore aj dole. Nedá sa teda pri rovnakom priemernom ročnom úhrne zrážok v dvoch lokalitách povedať, že tieto lokality sú rovnako priaznivé pre poľnohospodárske práce. Podobne podľa ukazovateľa priemernej mzdy nie je možné posúdiť podiel vysoko a nízko platených pracovníkov. Preto sa zavádza číselná charakteristika - disperzia D(x) , ktorý charakterizuje mieru odchýlky náhodnej premennej od jej strednej hodnoty:
D (x) = M (x - M (x))2. (2)
Disperzia je matematické očakávanie druhej mocniny odchýlky náhodnej premennej od matematického očakávania. Pre diskrétnu náhodnú premennú sa rozptyl vypočíta podľa vzorca:
D(x)= 
= 
(3)
Z definície rozptylu vyplýva, že D (x) 0.
Vlastnosti disperzie:
1. Disperzia konštanty je nulová
2. Ak sa náhodná premenná vynásobí nejakým číslom k, potom sa rozptyl vynásobí druhou mocninou tohto čísla
D (kx) = k 2 D (x)
3. D (x) \u003d M (x 2) - M 2 (x)
4. Pre párovo nezávislé náhodné premenné x 1 , x 2 , … x n sa rozptyl súčtu rovná súčtu rozptylov.
D (x 1 + x 2 + ... + x n) = D (x 1) + D (x 2) + ... + D (x n)
Vypočítajme rozptyl pre náhodnú premennú z príkladu 11.
Matematické očakávanie M (x) = 1. Preto podľa vzorca (3) máme:
D (x) = (0 – 1) 2 1/4 + (1 – 1) 2 1/2 + (2 – 1) 2 1/4 = 1 1/4 +1 1/4 = 1/2
Všimnite si, že je jednoduchšie vypočítať rozptyl, ak použijeme vlastnosť 3:
D (x) \u003d M (x 2) - M 2 (x).
Vypočítajme rozptyly pre náhodné veličiny x 1 , x 2 z príkladu 12 pomocou tohto vzorca. Matematické očakávania oboch náhodných premenných sú rovné nule.
D (x 1) \u003d 0,01 0,1 + 0,0001 0,2 + 0,0001 0,2 + 0,01 0,1 \u003d 0,001 + 0,00002 + 0,00002 + 0,0001 \u003d
D (x 2) \u003d (-20) 2 0,3 + (-10) 2 0,1 + 10 2 0,1 + 20 2 0,3 \u003d 240 +20 \u003d 260
Čím bližšie je hodnota disperzie k nule, tým menšie je rozptyl náhodnej premennej v porovnaní so strednou hodnotou.
Hodnota sa volá smerodajná odchýlka. Náhodná móda X diskrétny typ Md je hodnota náhodnej premennej, ktorá zodpovedá najvyššej pravdepodobnosti.
Náhodná móda X spojitý typ Md, je reálne číslo definované ako maximálny bod hustoty rozdelenia pravdepodobnosti f(x).
Medián náhodnej premennej X spojitý typ Mn je reálne číslo, ktoré spĺňa rovnicu
- počet chlapcov medzi 10 novorodencami.
Je celkom jasné, že toto číslo nie je vopred známe a v nasledujúcich desiatich narodených deťoch môžu byť:
Alebo chlapci - jeden a len jeden z uvedených možností.
A aby ste sa udržali vo forme, trochu telesnej výchovy:
- vzdialenosť skoku do diaľky (v niektorých jednotkách).
Ani majster športu to nevie odhadnúť :)
Aké sú však vaše hypotézy?
2) Spojitá náhodná veličina – berie všetkyčíselné hodnoty z nejakého konečného alebo nekonečného rozsahu.
Poznámka : skratky DSV a NSV sú populárne v náučnej literatúre
Najprv analyzujme diskrétnu náhodnú premennú, potom - nepretržitý.
Distribučný zákon diskrétnej náhodnej premennej
- toto je zhoda medzi možnými hodnotami tejto veličiny a ich pravdepodobnosťou. Zákon je najčastejšie napísaný v tabuľke: 
Termín je celkom bežný riadok
distribúcia, no v niektorých situáciách to vyznieva dvojzmyselne, a preto sa budem držať "zákona".
A teraz veľmi dôležitý bod: od náhodnej premennej nevyhnutne prijme jedna z hodnôt, potom sa vytvoria zodpovedajúce udalosti celá skupina a súčet pravdepodobností ich výskytu sa rovná jednej:
alebo ak je napísané zložené:
Napríklad zákon rozdelenia pravdepodobnosti bodov na kocke má nasledujúci tvar: 
Bez komentára.
Môžete mať dojem, že diskrétna náhodná premenná môže nadobudnúť iba „dobré“ celočíselné hodnoty. Poďme rozptýliť ilúziu - môžu to byť čokoľvek:
Príklad 1
Niektoré hry majú nasledujúci zákon o distribúcii výplat: 
...asi o takýchto úlohách snívaš už dlho :) Prezradím ti tajomstvo - ja tiež. Najmä po ukončení prác na teória poľa.
Riešenie: keďže náhodná premenná môže nadobudnúť iba jednu z troch hodnôt, tvoria sa zodpovedajúce udalosti celá skupina, čo znamená, že súčet ich pravdepodobností sa rovná jednej: 
Odhaľujeme „partizána“: 
– teda pravdepodobnosť výhry konvenčných jednotiek je 0,4.
Kontrola: čo sa musíte uistiť.
Odpoveď:
Nie je nezvyčajné, keď zákon o rozdeľovaní treba zostaviť samostatne. Na toto použitie klasická definícia pravdepodobnosti, násobiace / sčítacie teorémy pre pravdepodobnosti udalostí a iné čipy tervera:
Príklad 2
V krabici je 50 lotériových lístkov, z ktorých 12 je výherných a 2 z nich vyhrávajú každý po 1000 rubľov a zvyšok - každý po 100 rubľov. Zostavte zákon rozdelenia náhodnej premennej - veľkosť výhry, ak sa náhodne vyžrebuje jeden tiket z krabice.
Riešenie: ako ste si všimli, je zvykom umiestňovať hodnoty náhodnej premennej vzostupné poradie. Preto začíname s najmenšími výhrami, a to rubľmi.
Celkovo je takýchto lístkov 50 - 12 = 38 a podľa klasická definícia:
je pravdepodobnosť, že náhodne vyžrebovaný tiket nevyhrá.
Ostatné prípady sú jednoduché. Pravdepodobnosť výhry rubľov je:
Kontrola: - a to je obzvlášť príjemný moment takýchto úloh!
Odpoveď: požadovaný zákon o rozdelení výplat: 
Nasledujúca úloha pre nezávislé rozhodnutie:
Príklad 3
Pravdepodobnosť, že strelec zasiahne cieľ, je . Vytvorte distribučný zákon pre náhodnú premennú - počet zásahov po 2 výstreloch.
... vedel som, že ti chýbal :) Spomíname vety o násobení a sčítaní. Riešenie a odpoveď na konci hodiny.
Zákon o rozdelení úplne popisuje náhodnú premennú, ale v praxi je užitočné (a niekedy užitočnejšie) poznať len niektoré z nich. číselné charakteristiky .
Matematické očakávanie diskrétnej náhodnej premennej
Zjednodušene povedané, toto priemerná očakávaná hodnota s opakovaným testovaním. Nech náhodná premenná nadobúda hodnoty s pravdepodobnosťou 
resp. Potom sa matematické očakávanie tejto náhodnej premennej rovná súčet produktov všetky jeho hodnoty podľa zodpovedajúcich pravdepodobností:
alebo v zloženom tvare: 
Vypočítajme napríklad matematické očakávanie náhodnej premennej - počtu bodov, ktoré padne na kocke:
Teraz si pripomeňme našu hypotetickú hru: 
Vynára sa otázka: je vôbec výhodné hrať túto hru? ... kto má nejaké dojmy? Takže nemôžete povedať „offhand“! Ale na túto otázku možno ľahko odpovedať výpočtom matematického očakávania, v podstate - Vážený priemer pravdepodobnosť výhry:
Teda matematické očakávania tejto hry stratiť.
Neverte dojmom – dôverujte číslam!
Áno, tu môžete vyhrať 10 alebo dokonca 20-30 krát za sebou, ale z dlhodobého hľadiska nás to nevyhnutne zruinuje. A také hry by som ti neradil :) No možno len pre zábavu.
Zo všetkého vyššie uvedeného vyplýva, že matematické očakávanie NIE JE NÁHODNÁ hodnota.
Kreatívna úloha pre nezávislý výskum:
Príklad 4
Pán X hrá európsku ruletu podľa nasledujúceho systému: neustále vsádza 100 rubľov na červenú. Zostavte zákon rozdelenia náhodnej veličiny – jej výplatu. Vypočítajte matematické očakávania výhier a zaokrúhlite ich na kopejky. Ako priemer prehráva hráč za každú stovku vsadených?
Odkaz : Európska ruleta obsahuje 18 červených, 18 čiernych a 1 zelený sektor („nula“). V prípade vypadnutia „červenej“ je hráčovi vyplatená dvojnásobná stávka, inak ide do príjmu kasína
Existuje mnoho ďalších ruletových systémov, pre ktoré si môžete vytvoriť vlastné pravdepodobnostné tabuľky. Ale to je prípad, keď nepotrebujeme žiadne distribučné zákony a tabuľky, pretože je isté, že matematické očakávania hráča budú úplne rovnaké. Len zmeny zo systému na systém