Nižšie uvedený materiál je logickým pokračovaním teórie z článku pod názvom LCM - najmenší spoločný násobok, definícia, príklady, vzťah medzi LCM a GCD. Tu budeme hovoriť o nájdenie najmenšieho spoločného násobku (LCM), a venovať osobitnú pozornosť riešeniu príkladov. Najprv ukážme, ako sa vypočíta LCM dvoch čísel z hľadiska GCD týchto čísel. Ďalej zvážte nájdenie najmenšieho spoločného násobku rozkladom čísel na prvočísla. Potom sa zameriame na nájdenie LCM troch alebo viacerých čísel a venujeme pozornosť aj výpočtu LCM záporných čísel.
Navigácia na stránke.
Výpočet najmenšieho spoločného násobku (LCM) prostredníctvom gcd
Jeden spôsob, ako nájsť najmenší spoločný násobok, je založený na vzťahu medzi LCM a GCD. Existujúci vzťah medzi LCM a GCD vám umožňuje vypočítať najmenší spoločný násobok dvoch kladných celých čísel prostredníctvom známeho najväčšieho spoločného deliteľa. Zodpovedajúci vzorec má tvar LCM(a, b)=a b: GCD(a, b) . Zvážte príklady nájdenia LCM podľa vyššie uvedeného vzorca.
Príklad.
Nájdite najmenší spoločný násobok dvoch čísel 126 a 70 .
Riešenie.
V tomto príklade a=126, b=70. Využime vzťah medzi LCM a GCD vyjadrený vzorcom LCM(a, b)=a b: GCD(a, b). To znamená, že najprv musíme nájsť najväčšieho spoločného deliteľa čísel 70 a 126, potom môžeme vypočítať LCM týchto čísel podľa napísaného vzorca.
Nájdite gcd(126, 70) pomocou Euklidovho algoritmu: 126=70 1+56, 70=56 1+14, 56=14 4, teda gcd(126, 70)=14.
Teraz nájdeme požadovaný najmenší spoločný násobok: LCM(126; 70)=126 70: GCM(126; 70)= 126 70:14=630.
odpoveď:
LCM(126,70)=630.
Príklad.
Čo je LCM(68, 34)?
Riešenie.
Pretože 68 je rovnomerne deliteľné 34 , potom gcd(68, 34)=34 . Teraz vypočítame najmenší spoločný násobok: LCM(68; 34)=68 34: LCM(68; 34)= 68 34:34=68.
odpoveď:
LCM(68,34)=68.
Všimnite si, že predchádzajúci príklad vyhovuje nasledujúcemu pravidlu na nájdenie LCM pre kladné celé čísla aab: ak je číslo a deliteľné b, potom najmenší spoločný násobok týchto čísel je a .
Nájdenie LCM rozdelením čísel na hlavné faktory
Ďalší spôsob, ako nájsť najmenší spoločný násobok, je založený na rozklade čísel na prvočísla. Ak vytvoríme súčin všetkých prvočiniteľov týchto čísel, potom z tohto súčinu vylúčime všetky spoločné prvočísla, ktoré sú prítomné v rozšíreniach týchto čísel, potom sa výsledný súčin bude rovnať najmenšiemu spoločnému násobku týchto čísel.
Vyhlásené pravidlo pre hľadanie LCM vyplýva z rovnosti LCM(a, b)=a b: GCD(a, b). V skutočnosti sa súčin čísel a a b rovná súčinu všetkých faktorov podieľajúcich sa na expanziách čísel a a b. Na druhej strane, gcd(a, b) sa rovná súčinu všetkých prvočísel, ktoré sú súčasne prítomné v expanziách čísel a a b (čo je popísané v časti o nájdení gcd pomocou rozkladu čísel na prvočísla ).
Vezmime si príklad. Nech vieme, že 75=3 5 5 a 210=2 3 5 7 . Zostavte súčin všetkých faktorov týchto expanzií: 2 3 3 5 5 5 7 . Teraz z tohto produktu vylúčime všetky faktory, ktoré sú prítomné tak v rozšírení čísla 75, ako aj v rozšírení čísla 210 (takými faktormi sú 3 a 5), potom bude produkt mať tvar 2 3 5 5 7 . Hodnota tohto súčinu sa rovná najmenšiemu spoločnému násobku čísel 75 a 210, tj. LCM(75; 210)= 2 3 5 5 7=1 050.
Príklad.
Po rozklade čísel 441 a 700 na prvočísla nájdite najmenší spoločný násobok týchto čísel.
Riešenie.
Rozložme čísla 441 a 700 na prvočísla:
Dostaneme 441 = 3 3 7 7 a 700 = 2 2 5 5 7 .
Teraz urobme súčin všetkých faktorov podieľajúcich sa na expanziách týchto čísel: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Vylúčme z tohto produktu všetky faktory, ktoré sú súčasne prítomné v oboch expanziách (existuje len jeden taký faktor - toto je číslo 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Touto cestou, LCM(441; 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100.
odpoveď:
LCM(441,700)= 44100.
Pravidlo na nájdenie LCM pomocou rozkladu čísel na prvočísla možno formulovať trochu inak. Ak pripočítame chýbajúce faktory z rozšírenia čísla b k faktorom z rozšírenia čísla a, potom sa hodnota výsledného súčinu bude rovnať najmenšiemu spoločnému násobku čísel a a b.
Vezmime si napríklad všetky rovnaké čísla 75 a 210, ich expanzie na prvočísla sú nasledovné: 75=3 5 5 a 210=2 3 5 7 . K faktorom 3, 5 a 5 z rozkladu čísla 75 pripočítame chýbajúce faktory 2 a 7 z rozkladu čísla 210, dostaneme súčin 2 3 5 5 7, ktorého hodnota je LCM(75 , 210).
Príklad.
Nájdite najmenší spoločný násobok 84 a 648.
Riešenie.
Najprv získame rozklad čísel 84 a 648 na prvočísla. Vyzerajú ako 84=2 2 3 7 a 648=2 2 2 3 3 3 3 . K faktorom 2 , 2 , 3 a 7 z rozkladu čísla 84 pripočítame chýbajúce faktory 2 , 3 , 3 a 3 z rozkladu čísla 648 , dostaneme súčin 2 2 2 3 3 3 3 7 , čo sa rovná 4 536 . Požadovaný najmenší spoločný násobok čísel 84 a 648 je teda 4 536.
odpoveď:
LCM(84,648)=4536.
Nájdenie LCM troch alebo viacerých čísel
Najmenší spoločný násobok troch alebo viacerých čísel možno nájsť postupným nájdením LCM dvoch čísel. Pripomeňme si príslušnú vetu, ktorá umožňuje nájsť LCM troch alebo viacerých čísel.
Veta.
Nech sú dané celé čísla kladné čísla a 1 , a 2 , …, a k , najmenší spoločný násobok m k týchto čísel sa zistí sekvenčným výpočtom m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2, a 3), …, m k = LCM (mk-1, ak).
Zvážte aplikáciu tejto vety na príklade hľadania najmenšieho spoločného násobku štyroch čísel.
Príklad.
Nájdite LCM štyroch čísel 140, 9, 54 a 250.
Riešenie.
V tomto príklade a1=140, a2=9, a3=54, a4=250.
Najprv nájdeme m 2 \u003d LCM (a 1, a 2) \u003d LCM (140, 9). Aby sme to urobili, pomocou euklidovského algoritmu určíme gcd(140, 9) , máme 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , teda gcd( 140, 9) = 1, odkiaľ LCM(140; 9)=140 9: LCM(140; 9)= 140 9:1=1260. To znamená, m2 = 1 260.
Teraz nájdeme m 3 \u003d LCM (m 2, a 3) \u003d LCM (1 260, 54). Vypočítajme to pomocou gcd(1 260, 54) , ktorý je tiež určený Euklidovým algoritmom: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Potom gcd(1260,54)=18, odkiaľ LCM(1260,54)= 126054:gcd(1260,54)= 1260 54:18=3780. To znamená, m 3 \u003d 3 780.
Zostáva nájsť m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). Aby sme to dosiahli, nájdeme GCD(3 780, 250) pomocou Euklidovho algoritmu: 3 780=250 15+30, 250=30 8+10, 30=10 3 . Preto gcd(3 780, 250)=10 , odkiaľ gcd(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500. To znamená, m 4 \u003d 94 500.
Takže najmenší spoločný násobok pôvodných štyroch čísel je 94 500.
odpoveď:
LCM(140, 9, 54, 250) = 94 500.
V mnohých prípadoch sa najmenší spoločný násobok troch alebo viacerých čísel pohodlne nájde použitím prvočíselných rozkladov daných čísel. V tomto prípade je potrebné dodržiavať nasledujúce pravidlo. Najmenší spoločný násobok viacerých čísel sa rovná súčinu, ktorý sa skladá takto: chýbajúce činitele z rozšírenia druhého čísla sa pripočítajú ku všetkým súčiniteľom z rozšírenia prvého čísla, chýbajúce činitele z rozšírenia prvého čísla tretie číslo sa pripočíta k získaným faktorom atď.
Uvažujme o príklade hľadania najmenšieho spoločného násobku pomocou rozkladu čísel na prvočísla.
Príklad.
Nájdite najmenší spoločný násobok piatich čísel 84, 6, 48, 7, 143.
Riešenie.
Najprv získame expanzie týchto čísel na prvočísla: 84=2 2 3 7, 6=2 3, 48=2 2 2 2 3, 7 prvočiniteľov) a 143=11 13 .
Ak chcete nájsť LCM týchto čísel, k faktorom prvého čísla 84 (sú to 2 , 2 , 3 a 7 ) musíte pridať chýbajúce faktory z rozšírenia druhého čísla 6 . Rozšírenie čísla 6 neobsahuje chýbajúce faktory, keďže 2 aj 3 sú už prítomné v rozšírení prvého čísla 84 . K faktorom 2 , 2 , 3 a 7 pripočítame chýbajúce faktory 2 a 2 z rozšírenia tretieho čísla 48 , dostaneme množinu faktorov 2 , 2 , 2 , 2 , 3 a 7 . V ďalšom kroku nie je potrebné pridávať faktory do tejto sady, pretože 7 je v nej už obsiahnutých. Nakoniec k faktorom 2 , 2 , 2 , 2 , 3 a 7 pridáme chýbajúce faktory 11 a 13 z rozšírenia čísla 143 . Dostaneme súčin 2 2 2 2 3 7 11 13 , čo sa rovná 48 048 .
Lancinova Aisa
Stiahnuť ▼:
Náhľad:
Ak chcete použiť ukážku prezentácií, vytvorte si Google účet (účet) a prihláste sa: https://accounts.google.com
Popisy snímok:
Úlohy pre GCD a LCM čísel Práca žiačky 6. ročníka MKOU "Kamyshovskaya OOSh" Lantsinova Aisa školiteľka Goryaeva Zoya Erdnigoryaevna, učiteľka matematiky p. Kamyshovo, 2013
Príklad nájdenia GCD čísel 50, 75 a 325. 1) Rozložme čísla 50, 75 a 325 na prvočiniteľa. 50= 2 ∙ 5 ∙ 5 75= 3 ∙ 5 ∙ 5 325= 5 ∙ 5 ∙ 13 50= 2 ∙ 5 ∙ 5 75= 3 ∙ 5 ∙ 5 325= 5 ∙ 5 ∙13 delíme bezo zvyšku čísla a a b nazývame najväčším spoločným deliteľom týchto čísel.
Príklad nájdenia LCM čísel 72, 99 a 117. 1) Rozložme čísla 72, 99 a 117 na rozklad. Vypíšte faktory zahrnuté v rozvoji jedného z čísel 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 a pridajte k nim chýbajúce faktory zvyšných čísel. 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11 ∙ 13 3) Nájdite súčin výsledných faktorov. 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11 ∙ 13= 10296 Odpoveď: LCM (72, 99 a 117) = 10296 Najmenší spoločný násobok prirodzených čísel aab je najmenšie prirodzené číslo, ktoré je násobkom a a b.
Hárok lepenky má tvar obdĺžnika, ktorého dĺžka je 48 cm a šírka 40 cm Tento hárok je potrebné bez odpadu rozrezať na rovnaké štvorce. Aké najväčšie štvorce možno získať z tohto listu a koľko? Riešenie: 1) S = a ∙ b je plocha obdĺžnika. S \u003d 48 ∙ 40 \u003d 1960 cm². je plocha kartónu. 2) a - strana štvorca 48: a - počet štvorcov, ktoré je možné položiť po dĺžke kartónu. 40: a - počet štvorcov, ktoré možno položiť po šírke kartónu. 3) GCD (40 a 48) \u003d 8 (cm) - strana štvorca. 4) S \u003d a² - plocha jedného štvorca. S \u003d 8² \u003d 64 (cm².) - plocha jedného štvorca. 5) 1960: 64 = 30 (počet štvorcov). Odpoveď: 30 štvorcov so stranou 8 cm. Úlohy pre GCD
Krb v miestnosti musí byť vyložený dokončovacími dlaždicami v tvare štvorca. Koľko kachlí bude potrebných na krb 195 ͯ 156 cm a aké najväčšie rozmery dlaždice? Riešenie: 1) S = 196 ͯ 156 = 30420 (cm²) - S povrchu krbu. 2) GCD (195 a 156) = 39 (cm) - strana dlaždice. 3) S = a² = 39² = 1521 (cm²) - plocha 1 dlaždice. 4) 30420: = 20 (kusov). Odpoveď: 20 dlaždíc s rozmermi 39 ͯ 39 (cm). Úlohy pre GCD
Záhradný pozemok s rozmermi 54 ͯ 48 m po obvode musí byť oplotený, preto treba v pravidelných rozostupoch umiestniť betónové stĺpy. Koľko stožiarov treba priniesť na miesto a v akej maximálnej vzdialenosti od seba budú stožiare stáť? Riešenie: 1) P = 2(a + b) – obvod lokality. P \u003d 2 (54 + 48) \u003d 204 m. 2) GCD (54 a 48) \u003d 6 (m) - vzdialenosť medzi stĺpmi. 3) 204: 6 = 34 (piliere). Odpoveď: 34 stĺpov, vo vzdialenosti 6 m.Úlohy pre GCD
Z 210 bordových, 126 bielych, 294 červených ruží sa nazbieralo kytíc, pričom v každej kytici je rovnaký počet ruží rovnakej farby. Ktoré najväčší počet kytice vyrobené z týchto ruží a koľko ruží z každej farby je v jednej kytici? Riešenie: 1) GCD (210, 126 a 294) = 42 (kytice). 2) 210: 42 = 5 (bordové ruže). 3) 126: 42 = 3 (biele ruže). 4) 294:42 = 7 (červené ruže). Odpoveď: 42 kytíc: 5 bordových, 3 biele, 7 červených ruží v každej kytici. Úlohy pre GCD
Tanya a Masha kúpili rovnaký počet poštových schránok. Tanya zaplatila 90 rubľov a Masha zaplatila 5 rubľov. viac. Koľko stojí jedna sada? Koľko súprav si každý kúpil? Riešenie: 1) Masha zaplatila 90 + 5 = 95 (rubľov). 2) GCD (90 a 95) = 5 (rubľov) - cena 1 sady. 3) 980: 5 = 18 (sady) - kúpila Tanya. 4) 95: 5 = 19 (sady) - Masha kúpila. Odpoveď: 5 rubľov, 18 sád, 19 sád. Úlohy pre GCD
V prístavnom meste začínajú tri turistické výlety loďou, z ktorých prvý trvá 15 dní, druhý - 20 a tretí - 12 dní. Po návrate do prístavu sa lode v ten istý deň opäť vydajú na plavbu. Motorové lode dnes opustili prístav na všetkých troch trasách. O koľko dní sa prvýkrát spolu plavia? Koľko ciest vykoná každá loď? Riešenie: 1) NOC (15.20 a 12) = 60 (dní) - čas stretnutia. 2) 60: 15 = 4 (plavby) - 1 loď. 3) 60: 20 = 3 (plavby) - 2 motorová loď. 4) 60: 12 = 5 (plavby) - 3 motorová loď. Odpoveď: 60 dní, 4 lety, 3 lety, 5 letov. Úlohy pre NOC
Máša kúpila vajcia pre medveďa v obchode. Cestou do lesa si uvedomila, že počet vajec je deliteľný 2, 3, 5, 10 a 15. Koľko vajec kúpila Máša? Riešenie: LCM (2;3;5;10;15) = 30 (vajcia) Odpoveď: Máša kúpila 30 vajec. Úlohy pre NOC
Na stohovanie škatúľ s rozmermi 16 ͯ 20 cm je potrebné vyrobiť škatuľu so štvorcovým dnom Aká by mala byť najkratšia strana štvorcového dna, aby sa škatuľky tesne zmestili do škatule? Riešenie: 1) NOC (16 a 20) = 80 (boxy). 2) S = a ∙ b je plocha 1 krabice. S \u003d 16 ∙ 20 \u003d 320 (cm²) - plocha dna 1 škatule. 3) 320 ∙ 80 = 25600 (cm ²) - štvorcová spodná plocha. 4) S \u003d a² \u003d a ∙ a 25600 \u003d 160 ∙ 160 - rozmery škatule. Odpoveď: 160 cm je strana štvorcového dna. Úlohy pre NOC
Pozdĺž cesty z bodu K sú stĺpy elektrického vedenia každých 45 m. Bolo rozhodnuté nahradiť tieto stĺpy inými s ich umiestnením vo vzdialenosti 60 m od seba. Koľko stožiarov tam bolo a koľko budú stáť? Riešenie: 1) NOK (45 a 60) = 180. 2) 180: 45 = 4 - boli tam stĺpy. 3) 180: 60 = 3 - boli tam stĺpy. Odpoveď: 4 piliere, 3 piliere. Úlohy pre NOC
Koľko vojakov pochoduje na prehliadke, ak pochodujú vo formácii 12 ľudí v rade a menia sa na kolónu 18 ľudí v rade? Riešenie: 1) NOC (12 a 18) = 36 (ľudí) - pochod. Odpoveď: 36 ľudí. Úlohy pre NOC
Definícia. Nazýva sa najväčšie prirodzené číslo, ktorým sú čísla a a b deliteľné bezo zvyšku najväčší spoločný deliteľ (gcd) tieto čísla.
Nájdite najväčšieho spoločného deliteľa čísel 24 a 35.
Deliteľmi 24 budú čísla 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 a deliteľmi 35 budú čísla 1, 5, 7, 35.
Vidíme, že čísla 24 a 35 majú len jedného spoločného deliteľa – číslo 1. Takéto čísla sa nazývajú nesúdeliteľné.
Definícia. Prirodzené čísla sa nazývajú nesúdeliteľné ak ich najväčší spoločný deliteľ (gcd) je 1.
Najväčší spoločný deliteľ (GCD) možno nájsť bez vypisovania všetkých deliteľov daných čísel.
Rozložením čísel 48 a 36 dostaneme:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Z faktorov zahrnutých do rozšírenia prvého z týchto čísel vypúšťame tie, ktoré nie sú zahrnuté do rozšírenia druhého čísla (t. j. dve dvojky).
Zostávajú faktory 2 * 2 * 3. Ich súčin je 12. Toto číslo je najväčším spoločným deliteľom čísel 48 a 36. Nájdeme aj najväčšieho spoločného deliteľa troch alebo viacerých čísel.
Nájsť najväčší spoločný deliteľ
2) z faktorov zahrnutých do rozšírenia jedného z týchto čísel prečiarknite tie, ktoré nie sú zahrnuté do rozšírenia iných čísel;
3) nájdite súčin zostávajúcich faktorov.
Ak sú všetky dané čísla deliteľné jedným z nich, potom toto číslo je najväčší spoločný deliteľ dané čísla.
Napríklad najväčší spoločný deliteľ 15, 45, 75 a 180 je 15, pretože delí všetky ostatné čísla: 45, 75 a 180.
Najmenší spoločný násobok (LCM)
Definícia. Najmenší spoločný násobok (LCM) prirodzené čísla a a b sú najmenšie prirodzené číslo, ktoré je násobkom oboch a a b. Najmenší spoločný násobok (LCM) čísel 75 a 60 možno nájsť bez vypisovania násobkov týchto čísel za sebou. Aby sme to dosiahli, rozložíme 75 a 60 na jednoduché faktory: 75 \u003d 3 * 5 * 5 a 60 \u003d 2 * 2 * 3 * 5.
Vypíšeme faktory zahrnuté do rozšírenia prvého z týchto čísel a doplníme k nim chýbajúce faktory 2 a 2 z rozšírenia druhého čísla (čiže faktory skombinujeme).
Dostaneme päť faktorov 2 * 2 * 3 * 5 * 5, ktorých súčin je 300. Toto číslo je najmenší spoločný násobok čísel 75 a 60.
Nájdite tiež najmenší spoločný násobok troch alebo viacerých čísel.
Komu nájsť najmenší spoločný násobok niekoľko prirodzených čísel, potrebujete:
1) rozložiť ich na hlavné faktory;
2) napíšte faktory zahrnuté do rozšírenia jedného z čísel;
3) pridajte k nim chýbajúce faktory z expanzií zostávajúcich čísel;
4) nájdite súčin výsledných faktorov.
Všimnite si, že ak je jedno z týchto čísel deliteľné všetkými ostatnými číslami, potom je toto číslo najmenším spoločným násobkom týchto čísel.
Napríklad najmenší spoločný násobok 12, 15, 20 a 60 by bol 60, pretože je deliteľný všetkými danými číslami.
Pytagoras (VI. storočie pred Kristom) a jeho študenti študovali problematiku deliteľnosti čísel. Číslo, ktoré sa rovná súčtu všetkých jeho deliteľov (bez samotného čísla), nazývali dokonalé číslo. Napríklad čísla 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) sú dokonalé. Ďalšie dokonalé čísla sú 496, 8128, 33 550 336. Pytagorejci poznali iba prvé tri dokonalé čísla. Štvrtý - 8128 - sa stal známym v 1. storočí. n. e. Piata - 33 550 336 - bola nájdená v 15. storočí. Do roku 1983 už bolo známych 27 dokonalých čísel. Doteraz však vedci nevedia, či existujú nepárne dokonalé čísla, či existuje najväčšie dokonalé číslo.
Záujem starovekých matematikov o prvočísla je spôsobený skutočnosťou, že akékoľvek číslo je buď prvočíslo, alebo môže byť reprezentované ako súčin. základné čísla, teda prvočísla sú akoby tehly, z ktorých sa skladá zvyšok prirodzených čísel.
Pravdepodobne ste si všimli, že prvočísla v rade prirodzených čísel sa vyskytujú nerovnomerne – v niektorých častiach radu je ich viac, v iných menej. Ale čím ďalej číselný rad, vzácnejšie sú prvočísla. Vzniká otázka: existuje posledné (najväčšie) prvočíslo? Staroveký grécky matematik Euclid (3. storočie pred Kristom) vo svojej knihe „Začiatky“, ktorá bola dvetisíc rokov hlavnou učebnicou matematiky, dokázal, že prvočísel je nekonečne veľa, to znamená, že za každým prvočíslom je párne číslo. väčšie prvočíslo.
Na nájdenie prvočísel prišiel s takouto metódou iný grécky matematik tej istej doby, Eratosthenes. Zapísal si všetky čísla od 1 po nejaké číslo a potom preškrtol jednotku, ktorá nie je ani prvočíslo, ani zložené číslo, potom cez jednu prečiarkli všetky čísla po 2 (čísla, ktoré sú násobkom 2, t.j. 4, 6, 8 atď.). Prvé zostávajúce číslo po 2 bolo 3. Potom sa po dvojke prečiarkli všetky čísla po 3 (čísla, ktoré sú násobkami 3, t.j. 6, 9, 12 atď.). nakoniec zostali neprečiarknuté len prvočísla.
Zvážte tri spôsoby, ako nájsť najmenší spoločný násobok.
Hľadanie faktoringom
Prvým spôsobom je nájsť najmenší spoločný násobok rozdelením daných čísel na prvočísla.
Predpokladajme, že potrebujeme nájsť LCM čísel: 99, 30 a 28. Aby sme to dosiahli, rozložíme každé z týchto čísel na prvočísla:
Aby bolo požadované číslo deliteľné 99, 30 a 28, je potrebné a postačujúce, aby zahŕňalo všetky prvočísla týchto deliteľov. Aby sme to dosiahli, musíme zobrať všetky prvočísla týchto čísel na najvyššiu vyskytujúcu sa mocninu a vynásobiť ich:
2 2 3 2 5 7 11 = 13 860
Takže LCM (99, 30, 28) = 13 860. Žiadne iné číslo menšie ako 13 860 nie je rovnomerne deliteľné 99, 30 alebo 28.
Ak chcete nájsť najmenší spoločný násobok daných čísel, musíte ich vynásobiť prvočíselnými činiteľmi a potom použiť každý prvočiniteľ najvyšší ukazovateľ mieru, v akej sa vyskytuje, a znásobiť tieto faktory medzi sebou.
Keďže prvočísla nemajú žiadne spoločné prvočísla, ich najmenší spoločný násobok sa rovná súčinu týchto čísel. Napríklad tri čísla: 20, 49 a 33 sú koprimé. Preto
LCM (20, 49, 33) = 204933 = 32,340.
To isté treba urobiť pri hľadaní najmenšieho spoločného násobku rôznych prvočísel. Napríklad LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.
Hľadanie výberom
Druhým spôsobom je nájsť najmenší spoločný násobok preložením.
Príklad 1. Keď je najväčšie z daných čísel rovnomerne deliteľné inými danými číslami, potom sa LCM týchto čísel rovná väčšiemu z nich. Napríklad zadané štyri čísla: 60, 30, 10 a 6. Každé z nich je deliteľné 60, preto:
NOC(60; 30; 10; 6) = 60
V ostatných prípadoch sa na nájdenie najmenšieho spoločného násobku používa nasledujúci postup:
- Určte najväčšie číslo z daných čísel.
- Ďalej nájdeme čísla, ktoré sú násobkami najväčšieho čísla, vynásobíme ho prirodzenými číslami vo vzostupnom poradí a skontrolujeme, či zostávajúce dané čísla sú deliteľné výsledným súčinom.
Príklad 2. Dané tri čísla 24, 3 a 18. Určte najväčšie z nich – toto je číslo 24. Ďalej nájdite násobky 24 a skontrolujte, či je každé z nich deliteľné 18 a 3:
24 1 = 24 je deliteľné 3, ale nie je deliteľné 18.
24 2 = 48 - deliteľné 3, ale nie deliteľné 18.
24 3 \u003d 72 - deliteľné 3 a 18.
Takže LCM(24; 3; 18) = 72.
Hľadanie pomocou postupného hľadania LCM
Tretím spôsobom je nájsť najmenší spoločný násobok postupným hľadaním LCM.
LCM dvoch daných čísel sa rovná súčinu týchto čísel vydelenému ich najväčším spoločným deliteľom.
Príklad 1. Nájdite LCM dvoch daných čísel: 12 a 8. Určte ich najväčšieho spoločného deliteľa: GCD (12, 8) = 4. Vynásobte tieto čísla:
Produkt delíme na ich GCD:
Takže LCM(12; 8) = 24.
Na nájdenie LCM troch alebo viacerých čísel sa používa nasledujúci postup:
- Najprv sa nájde LCM ľubovoľných dvoch z daných čísel.
- Potom LCM nájdeného najmenšieho spoločného násobku a tretieho daného čísla.
- Potom LCM výsledného najmenšieho spoločného násobku a štvrtého čísla atď.
- Vyhľadávanie LCM teda pokračuje, pokiaľ existujú čísla.
Príklad 2. Nájdite LCM troch daných čísel: 12, 8 a 9. LCM čísel 12 a 8 sme už našli v predchádzajúcom príklade (toto je číslo 24). Zostáva nájsť najmenší spoločný násobok 24 a tretie dané číslo - 9. Určte ich najväčšieho spoločného deliteľa: gcd (24, 9) = 3. LCM vynásobte číslom 9:
Produkt delíme na ich GCD:
Takže LCM(12; 8; 9) = 72.
Aby ste pochopili, ako vypočítať LCM, mali by ste najprv určiť význam pojmu "viacnásobný".
Násobok A je prirodzené číslo, ktoré je bezo zvyšku deliteľné číslom A. Za násobky 5 teda možno považovať 15, 20, 25 atď.
Deliteľmi konkrétneho čísla môžu byť obmedzené množstvo, ale existuje nekonečný počet násobkov.
Spoločný násobok prirodzených čísel je číslo, ktoré je nimi bezo zvyšku deliteľné.
Ako nájsť najmenší spoločný násobok čísel
Najmenší spoločný násobok (LCM) čísel (dve, tri alebo viac) je najmenšie prirodzené číslo, ktoré je rovnomerne deliteľné všetkými týmito číslami.
Na nájdenie NOC môžete použiť niekoľko metód.
Pre malé čísla je vhodné zapísať do riadku všetky násobky týchto čísel, kým sa medzi nimi nenájde spoločné. Násobky sú v zázname označené veľkým písmenom K.
Napríklad násobky 4 možno zapísať takto:
K(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)
K(6) = (12, 18, 24, ...)
Takže vidíte, že najmenší spoločný násobok čísel 4 a 6 je číslo 24. Toto zadanie sa vykonáva takto:
LCM(4,6) = 24
Ak sú čísla veľké, nájdite spoločný násobok troch alebo viacerých čísel, potom je lepšie použiť iný spôsob výpočtu LCM.
Na splnenie úlohy je potrebné rozložiť navrhnuté čísla na prvočísla.
Najprv musíte napísať rozšírenie najväčšieho z čísel v riadku a pod ním - zvyšok.
Pri rozšírení každého čísla môže existovať iný počet faktorov.
Zoberme si napríklad čísla 50 a 20 do prvočísel.
Pri rozširovaní menšieho počtu treba zdôrazniť faktory, ktoré pri rozširovaní prvého z nich absentujú. Vysoké číslo a potom ich k tomu pridajte. V prezentovanom príklade chýba dvojka.
Teraz môžeme vypočítať najmenší spoločný násobok 20 a 50.
LCM (20, 50) = 2 x 5 x 5 x 2 = 100
Teda súčin prvočiniteľov väčšieho čísla a činiteľov druhého čísla, ktoré nie sú zahrnuté do rozkladu väčšieho čísla, bude najmenším spoločným násobkom.
Ak chcete nájsť LCM troch alebo viacerých čísel, všetky by sa mali rozložiť na prvočísla, ako v predchádzajúcom prípade.
Ako príklad môžete nájsť najmenší spoločný násobok čísel 16, 24, 36.
36 = 2 * 2 * 3 * 3
24 = 2 * 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
Do rozkladu na väčšie číslo sa teda nedostali len dve dvojky z rozkladu šestnástky (jedna je pri rozklade dvadsaťštyri).
Preto je potrebné ich pridávať do rozkladu väčšieho počtu.
LCM (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9
Existujú špeciálne prípady určenia najmenšieho spoločného násobku. Takže, ak je možné jedno z čísel deliť bezo zvyšku druhým, potom väčšie z týchto čísel bude najmenší spoločný násobok.
Napríklad NOC s dvanástimi a dvadsiatimi štyrmi by bolo dvadsaťštyri.
Ak je potrebné nájsť najmenší spoločný násobok prvočísel, ktoré nemajú rovnakých deliteľov, potom sa ich LCM bude rovnať ich súčinu.
Napríklad LCM(10; 11) = 110.