Niektoré algebraické príklady jedného druhu dokážu školákov vydesiť. Dlhé výrazy sú nielen zastrašujúce, ale aj veľmi ťažko vypočítateľné. Snažiť sa okamžite pochopiť, čo nasleduje a čo nasleduje, nenechať sa dlho zmiasť. Z tohto dôvodu sa matematici vždy snažia „strašnú“ úlohu čo najviac zjednodušiť a až potom pristúpia k jej riešeniu. Napodiv, takýto trik značne urýchľuje proces.
Zjednodušenie je jedným zo základných bodov algebry. Ak v jednoduché úlohy stále sa bez neho zaobídete, potom sa ťažšie vypočítateľné príklady môžu ukázať ako „príliš ťažké“. Tu sa tieto zručnosti hodia! Okrem toho nie sú potrebné zložité matematické znalosti: postačí, ak si zapamätáte a naučíte sa uviesť do praxe niekoľko základných techník a vzorcov.
Bez ohľadu na zložitosť výpočtov je pri riešení akéhokoľvek výrazu dôležitý postupujte podľa poradia operácií s číslami:
- konzoly;
- umocňovanie;
- násobenie;
- rozdelenie;
- prídavok;
- odčítanie.
Posledné dva body sa dajú pokojne prehodiť a výsledok to nijako neovplyvní. Ale sčítanie dvoch susedných čísel, keď vedľa jedného z nich je znak násobenia, je absolútne nemožné! Odpoveď, ak existuje, je nesprávna. Preto si treba zapamätať poradie.
Použitie takých
Takéto prvky zahŕňajú čísla s premennou rovnakého rádu alebo rovnakého stupňa. Existujú aj takzvaní voľní členovia, ktorí nemajú vedľa seba písmenové označenie neznámy.
Pointa je, že v prípade absencie zátvoriek Výraz môžete zjednodušiť pridaním alebo odčítaním like.
Niekoľko názorných príkladov:
- 8x 2 a 3x 2 - obe čísla majú rovnakú premennú druhého rádu, sú teda podobné a po sčítaní sa zjednodušia na (8+3)x 2 =11x 2, pričom pri odčítaní vyjde (8-3) x 2 = 5 x 2;
- 4x 3 a 6x - a tu "x" má iný stupeň;
- 2y 7 a 33x 7 - obsahujú rôzne premenné, preto rovnako ako v predchádzajúcom prípade nepatria k podobným.
Faktorizácia čísla
Tento malý matematický trik, ak sa ho naučíte správne používať, vám v budúcnosti pomôže vyrovnať sa so zložitým problémom viackrát. A je ľahké pochopiť, ako „systém“ funguje: rozklad je súčin viacerých prvkov, ktorých výpočet dáva pôvodnú hodnotu. 20 teda môže byť vyjadrené ako 20x1, 2x10, 5x4, 2x5x2 alebo iným spôsobom.
Na poznámku: násobiče sú vždy rovnaké ako deliče. Musíte teda hľadať fungujúci „pár“ na rozšírenie medzi číslami, ktorými je originál bezo zvyšku deliteľný.
Takúto operáciu môžete vykonať s voľnými členmi aj s číslicami pripojenými k premennej. Hlavnou vecou je nestratiť to posledné počas výpočtov - dokonca po rozklade neznáme nemôže vziať a „nikam neísť“. Zostáva pri jednom z faktorov:
- 15x=3(5x);
- 60r 2 \u003d (15r 2) 4.
Prvočísla, ktoré sa dajú deliť len samy sebou alebo 1 nikdy nefaktorujú – to nedáva zmysel..
Základné metódy zjednodušenia
Prvá vec, ktorá upúta pozornosť:
- prítomnosť zátvoriek;
- zlomky;
- korene.
Algebraické príklady v školských osnovách sú často zostavované s predpokladom, že sa dajú krásne zjednodušiť.
Výpočty zátvoriek
Venujte zvýšenú pozornosť značke pred zátvorkami! Násobenie alebo delenie sa aplikuje na každý prvok vo vnútri a mínus - obráti existujúce znamienka "+" alebo "-".
Zátvorky sa vypočítajú podľa pravidiel alebo podľa vzorcov skráteného násobenia, po ktorých sú uvedené podobné.
Zníženie frakcií
Znížte zlomky je tiež ľahké. Oni sami raz za čas „ochotne utečú“, stojí za to robiť operácie s privedením takýchto členov. Ale príklad môžete zjednodušiť ešte predtým: dávajte pozor na čitateľa a menovateľa. Často obsahujú explicitné alebo skryté prvky, ktoré sa dajú vzájomne zmenšiť. Je pravda, že ak v prvom prípade potrebujete len odstrániť nadbytočné, v druhom budete musieť premýšľať a priniesť časť výrazu do formulára na zjednodušenie. Použité metódy:
- hľadanie a hranie najväčšieho spoločného deliteľa čitateľa a menovateľa;
- delením každého horného prvku menovateľom.
Keď je výraz alebo jeho časť pod koreňom, primárny problém zjednodušenia je takmer rovnaký ako v prípade zlomkov. Je potrebné hľadať spôsoby, ako sa ho úplne zbaviť, alebo ak to nie je možné, minimalizovať znamienko zasahujúce do výpočtov. Napríklad na nenápadné √(3) alebo √(7).
Správna cesta zjednodušiť radikálne vyjadrenie - skúste to faktorizovať, z ktorých niektoré sú mimo znamenia. Názorný príklad: √(90)=√(9×10) =√(9)×√(10)=3√(10).
Ďalšie malé triky a nuansy:
- táto operácia zjednodušenia môže byť vykonaná so zlomkami, pričom sa zo znamienka odstráni ako celok aj samostatne ako čitateľ alebo menovateľ;
- nie je možné rozložiť a vybrať časť súčtu alebo rozdielu za koreň;
- pri práci s premennými určite berte do úvahy jej stupeň, pre možnosť vykreslenia musí byť rovný alebo násobok odmocniny: √(x 2 y)=x√(y), √(x 3)= √(x 2 ×x)=x√( x);
- niekedy je dovolené zbaviť sa radikálovej premennej jej umocnením na zlomkovú mocninu: √ (y 3)=y 3/2.
Zjednodušenie vyjadrenia sily
Ak sú v prípade jednoduchých výpočtov pre mínus alebo plus príklady zjednodušené prinesením podobných, čo potom pri násobení alebo delení premenných pomocou rôznej miere? Možno ich ľahko zjednodušiť zapamätaním dvoch hlavných bodov:
- Ak je medzi premennými znak násobenia, exponenty sa sčítajú.
- Pri vzájomnom delení sa od stupňa čitateľa odpočíta rovnaký menovateľ.
Jedinou podmienkou takéhoto zjednodušenia je, aby oba pojmy mali rovnaký základ. Príklady pre prehľadnosť:
- 5x 2 × 4x 7 + (y 13 / y 11) \u003d (5 × 4) x 2+7 + y 13- 11 \u003d 20x 9 + y 2;
- 2z 3 +z×z 2 -(3×z 8 /z 5)=2z 3 +z 1+2 -(3×z 8-5)=2z 3 +z 3 -3z 3 = 3z 3 -3z 3 = 0.
Poznamenávame, že operácie s číselnými hodnotami pred premennými sa vyskytujú podľa obvyklého postupu matematické pravidlá. A ak sa pozriete pozorne, je zrejmé, že mocenské prvky výrazu „fungujú“ podobným spôsobom:
- povýšenie člena na moc znamená jeho vynásobenie určitým počtom krát, t.j. x 2 \u003d x × x;
- delenie je podobné: ak rozšírite stupeň čitateľa a menovateľa, niektoré premenné sa znížia, zatiaľ čo ostatné sa „zhromaždia“, čo je ekvivalentné odčítaniu.
Ako v každom biznise, aj pri zjednodušovaní algebraických výrazov je potrebná nielen znalosť základov, ale aj prax. Už po niekoľkých lekciách sa príklady, ktoré sa kedysi zdali komplikované, bez väčších ťažkostí zredukujú na krátke a ľahko vyriešiteľné.
Video
Toto video vám pomôže pochopiť a zapamätať si, ako sú výrazy zjednodušené.
Nedostali ste odpoveď na svoju otázku? Navrhnite autorom tému.
Pohodlné a jednoduché online kalkulačka zlomky s podrobným riešením Možno:
- Sčítajte, odčítajte, násobte a delte zlomky online,
- Získajte hotové riešenie zlomkov ako obrázok a pohodlne ho preneste.
Výsledok riešenia zlomkov bude tu ...
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Znak zlomku "/" + - * :
_wipe Clear
Naša online kalkulačka zlomkov má rýchly vstup. Ak chcete získať napríklad riešenie zlomkov, stačí napísať 1/2+2/7
do kalkulačky a stlačte tlačidlo " riešiť zlomky". Napíše vám kalkulačka podrobné riešenie zlomkov a vydať obrázok vhodný pre kopírovanie.
Znaky používané na písanie v kalkulačke
Príklad riešenia môžete zadať z klávesnice aj pomocou tlačidiel.
Funkcie online kalkulačky zlomkov
Počítadlo zlomkov môže vykonávať operácie iba s 2 jednoduché zlomky. Môžu byť správne (čitateľ je menší ako menovateľ) alebo nesprávne (čitateľ je väčší ako menovateľ). Čísla v čitateli a menovateli nemôžu byť záporné a väčšie ako 999.Naša online kalkulačka rieši zlomky a prevedie odpoveď do správneho tvaru – zlomok zredukuje a v prípade potreby zvýrazní celú časť.
Ak potrebujete vyriešiť záporné zlomky, stačí použiť mínusové vlastnosti. Pri násobení a delení záporných zlomkov mínus mínus dáva plus. To znamená, že súčin a delenie záporných zlomkov sa rovná súčinu a deleniu tých istých kladných. Ak je jeden zlomok pri násobení alebo delení záporný, jednoducho odstráňte mínus a potom ho pridajte k odpovedi. Pri pridávaní záporných zlomkov bude výsledok rovnaký, ako keby ste pridali rovnaké kladné zlomky. Ak pridáte jeden záporný zlomok, je to rovnaké ako odčítanie rovnakého kladného zlomku.
Pri odčítaní záporných zlomkov bude výsledok rovnaký, ako keby boli obrátené a kladné. To znamená, že mínus a mínus v tomto prípade dáva plus a súčet sa nemení z preskupenia podmienok. Rovnaké pravidlá používame pri odčítaní zlomkov, z ktorých jeden je záporný.
Pre riešenia zmiešané frakcie(zo zlomkov so zvýraznenou celočíselnou časťou) jednoducho preveďte celú časť na zlomok. Ak to chcete urobiť, vynásobte časť celého čísla menovateľom a pridajte do čitateľa.
Ak potrebujete vyriešiť 3 alebo viac zlomkov online, mali by ste ich vyriešiť jeden po druhom. Najprv spočítajte prvé 2 zlomky, potom vyriešte ďalší zlomok s prijatou odpoveďou atď. Vykonajte operácie postupne pre 2 zlomky a nakoniec dostanete správnu odpoveď.
Uvažujme o téme transformácie výrazov pomocou mocnin, ale najprv sa zastavíme pri množstve transformácií, ktoré je možné vykonať s akýmikoľvek výrazmi, vrátane mocninových. Naučíme sa otvárať zátvorky, dávať podobné pojmy, pracovať so základom a exponentom, používať vlastnosti stupňov.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Čo sú mocenské výrazy?
V školskom kurze málokto používa frázu „ mocenské výrazy“, ale tento termín sa neustále nachádza v zbierkach na prípravu na skúšku. Vo väčšine prípadov fráza označuje výrazy, ktoré vo svojich záznamoch obsahujú stupne. To je to, čo budeme odrážať v našej definícii.
Definícia 1
Silový prejav je výraz, ktorý obsahuje stupne.
Uveďme niekoľko príkladov mocenských výrazov, počnúc stupňom s prirodzený indikátor a končiac titulom so skutočným exponentom.
Za najjednoduchšie mocniny možno považovať mocniny čísla s prirodzeným exponentom: 3 2 , 7 5 + 1 , (2 + 1) 5 , (− 0 , 1) 4 , 2 2 3 3 , 3 a 2 − a + a 2, x 3 - 1, (a 2) 3. Rovnako ako mocniny s nulovým exponentom: 5 0 , (a + 1) 0 , 3 + 5 2 − 3 , 2 0 . A mocniny so zápornými celočíselnými mocninami: (0 , 5) 2 + (0 , 5) - 2 2 .
Trochu ťažšie je pracovať s titulom, ktorý má racionálne a iracionálne exponenty: 264 1 4 - 3 3 3 1 2 , 2 3 , 5 2 - 2 2 - 1 , 5 , 1 a 1 4 a 1 2 - 2 a - 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 - π , 2 3 3 + 5 .
Indikátor môže byť premenná 3 x - 54 - 7 3 x - 58 alebo logaritmus x 2 l g x − 5 x l g x.
Zaoberali sme sa otázkou, čo sú to mocenské výrazy. Teraz sa poďme pozrieť na ich premenu.
Hlavné typy transformácií mocenských výrazov
Najprv zvážime základné transformácie identity výrazov, ktoré možno vykonať pomocou mocenských výrazov.
Príklad 1
Vypočítajte hodnotu mocninového výrazu 2 3 (4 2 − 12).
Riešenie
Všetky transformácie vykonáme v súlade s poradím úkonov. V tomto prípade začneme vykonaním akcií v zátvorkách: stupeň nahradíme digitálnou hodnotou a vypočítame rozdiel medzi týmito dvoma číslami. Máme 2 3 (4 2 − 12) = 2 3 (16 − 12) = 2 3 4.
Zostáva nám nahradiť stupeň 2 3 jeho význam 8 a vypočítajte súčin 84 = 32. Tu je naša odpoveď.
odpoveď: 2 3 (4 2 − 12) = 32 .
Príklad 2
Zjednodušte vyjadrovanie pomocou právomocí 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7.
Riešenie
Výraz, ktorý sme dostali v podmienke problému, obsahuje podobné pojmy, ktoré môžeme priniesť: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1.
odpoveď: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1 .
Príklad 3
Vyjadrite výraz s mocninami 9 - b 3 · π - 1 2 ako súčin.
Riešenie
Predstavme si číslo 9 ako mocninu 3 2 a použite skrátený vzorec násobenia:
9 - b 3 π - 1 2 = 3 2 - b 3 π - 1 2 = = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1
odpoveď: 9 - b 3 π - 1 2 = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1 .
A teraz prejdime k analýze identických transformácií, ktoré sa dajú konkrétne aplikovať na mocninné výrazy.
Práca so základom a exponentom
Stupeň v základe alebo exponent môže mať čísla, premenné a niektoré výrazy. Napríklad, (2 + 0, 3 7) 5 − 3, 7 A . S takýmito záznamami sa ťažko pracuje. Oveľa jednoduchšie je nahradiť výraz v základe stupňa alebo výraz v exponente identicky rovnakým výrazom.
Transformácie stupňa a ukazovateľa sa vykonávajú podľa pravidiel, ktoré sú nám známe, oddelene od seba. Najdôležitejšie je, že v dôsledku transformácií sa získa výraz, ktorý je identický s pôvodným.
Účelom transformácií je zjednodušiť pôvodný výraz alebo získať riešenie problému. Napríklad v príklade, ktorý sme uviedli vyššie, (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7 môžete vykonávať operácie na prechod na stupeň 4 , 1 1 , 3 . Otvorením zátvoriek môžeme uviesť podobné výrazy v základe stupňa (a (a + 1) − a 2) 2 (x + 1) a získajte mocenský výraz jednoduchá forma a 2 (x + 1).
Používanie vlastností napájania
Vlastnosti stupňov, zapísané ako rovnosti, sú jedným z hlavných nástrojov na transformáciu výrazov so stupňami. Vzhľadom na to uvádzame tie hlavné a A b je akýkoľvek kladné čísla, A r A s- ľubovoľné reálne čísla:
Definícia 2
- a ra s = a r + s;
- a r: a s = a r − s ;
- (ab) r = a r b r;
- (a: b) r = a r: br;
- (a r) s = a r s .
V prípadoch, keď máme čo do činenia s prirodzenými, celými, kladnými exponentmi, môžu byť obmedzenia pre čísla a a b oveľa menej prísne. Ak teda vezmeme do úvahy napríklad rovnosť a m a n = a m + n, Kde m A n sú prirodzené čísla, potom to bude platiť pre všetky hodnoty a, kladné aj záporné, ako aj pre a = 0.
Vlastnosti stupňov môžete použiť bez obmedzení v prípadoch, keď sú základy stupňov kladné alebo obsahujú premenné, oblasť povolené hodnoty ktorá je taká, že základy na nej nadobúdajú len kladné hodnoty. V skutočnosti vo vnútri školské osnovy v matematike je úlohou žiaka vybrať vhodnú vlastnosť a správne ju aplikovať.
Pri príprave na prijatie na vysoké školy sa môžu vyskytnúť úlohy, pri ktorých nepresná aplikácia vlastností povedie k zúženiu ODZ a iným ťažkostiam s riešením. V tejto časti zvážime iba dva takéto prípady. Viac informácií k téme nájdete v téme "Transformovanie výrazov pomocou vlastností exponentov".
Príklad 4
Reprezentovať výraz a2, 5 (a2) - 3: a - 5, 5 ako titul so základom a.
Riešenie
Na začiatok použijeme vlastnosť umocňovania a pomocou nej transformujeme druhý faktor (a 2) − 3. Potom použijeme vlastnosti násobenia a delenia mocnín s rovnakým základom:
a 2 , 5 a − 6: a − 5 , 5 = a 2 , 5 − 6: a − 5 , 5 = a − 3 , 5: a − 5 , 5 = a − 3 , 5 − (− 5 , 5 ) = a 2.
odpoveď: a 2 , 5 (a 2) − 3: a − 5 , 5 = a 2 .
Transformáciu mocninných výrazov podľa vlastnosti stupňov je možné robiť tak zľava doprava, ako aj v opačnom smere.
Príklad 5
Nájdite hodnotu mocninného výrazu 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 .
Riešenie
Ak uplatníme rovnosť (a b) r = a r b r, sprava doľava, potom dostaneme súčin v tvare 3 7 1 3 21 2 3 a potom 21 1 3 21 2 3 . Pri násobení mocnín s rovnakými základmi spočítajme exponenty: 21 1 3 21 2 3 \u003d 21 1 3 + 2 3 \u003d 21 1 \u003d 21.
Existuje ďalší spôsob, ako vykonať transformáciu:
3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 3 7 1 3 (3 7) 2 3 = 3 1 3 7 1 3 3 2 3 7 2 3 = = 3 1 3 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21
odpoveď: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21
Príklad 6
Daný mocenský výraz a 1, 5 - a 0, 5 - 6, zadajte novú premennú t = a 0, 5.
Riešenie
Predstavte si titul a 1, 5 Ako a 0, 5 3. Použitie vlastnosti stupňa v stupni (a r) s = a r s sprava doľava a získajte (a 0 , 5) 3: a 1 , 5 - a 0 , 5 - 6 = (a 0 , 5) 3 - a 0 , 5 - 6 . Vo výslednom výraze môžete jednoducho zaviesť novú premennú t = a 0, 5: dostať t 3 − t − 6.
odpoveď: t 3 − t − 6 .
Prevod zlomkov obsahujúcich mocniny
Zvyčajne sa zaoberáme dvoma variantmi mocninných výrazov so zlomkami: výraz je zlomok so stupňom alebo takýto zlomok obsahuje. Všetky základné transformácie zlomkov sú použiteľné na takéto výrazy bez obmedzení. Dajú sa zredukovať, priviesť na nového menovateľa, pracovať oddelene s čitateľom a menovateľom. Ilustrujme si to na príkladoch.
Príklad 7
Zjednodušte vyjadrenie sily 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 .
Riešenie
Máme čo do činenia so zlomkom, preto vykonáme transformácie v čitateli aj v menovateli:
3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2
Ak chcete zmeniť znamienko menovateľa, vložte pred zlomok mínus: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2
odpoveď: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2
Zlomky obsahujúce mocniny sa redukujú na nového menovateľa rovnakým spôsobom ako racionálne zlomky. Aby ste to dosiahli, musíte nájsť ďalší faktor a vynásobiť ním čitateľa a menovateľa zlomku. Dodatočný faktor je potrebné vybrať tak, aby pre žiadne hodnoty premenných nezanikol z premenných ODZ pre pôvodný výraz.
Príklad 8
Preneste zlomky do nového menovateľa: a) a + 1 a 0, 7 do menovateľa a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 do menovateľa x + 8 y 1 2 .
Riešenie
a) Vyberieme faktor, ktorý nám umožní zredukovať na nového menovateľa. a 0 , 7 a 0 , 3 = a 0 , 7 + 0 , 3 = a , preto berieme ako dodatočný faktor a 0, 3. Rozsah prípustných hodnôt premennej a zahŕňa množinu všetkých kladných reálnych čísel. V tejto oblasti je stupeň a 0, 3 nejde na nulu.
Vynásobme čitateľa a menovateľa zlomku číslom a 0, 3:
a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a 0, 7 a 0, 3 = a + 1 a 0, 3 a
b) Venujte pozornosť menovateľovi:
x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2
Tento výraz vynásobíme x 1 3 + 2 · y 1 6, dostaneme súčet kociek x 1 3 a 2 · y 1 6, t.j. x + 8 · y 1 2 . Toto je náš nový menovateľ, ku ktorému musíme priviesť pôvodný zlomok.
Našli sme teda ďalší faktor x 1 3 + 2 · y 1 6 . V rozsahu prijateľných hodnôt premenných X A r výraz x 1 3 + 2 y 1 6 nezaniká, preto ním môžeme vynásobiť čitateľa a menovateľa zlomku:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 y 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2
odpoveď: a) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2 .
Príklad 9
Zmenšenie zlomku: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2.
Riešenie
a) Použite najväčšieho spoločného menovateľa (GCD), o ktorý možno čitateľa a menovateľa zmenšiť. Pre čísla 30 a 45 je to 15 . Môžeme aj znížiť x 0, 5 + 1 a na x + 2 x 113-53.
Dostaneme:
30 x 3 (x 0 , 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0 , 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0, 5 + 1)
b) Prítomnosť rovnakých faktorov tu nie je zrejmá. Budete musieť vykonať nejaké transformácie, aby ste získali rovnaké faktory v čitateli a menovateli. Aby sme to dosiahli, rozšírime menovateľa pomocou vzorca rozdielu štvorcov:
a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4
odpoveď: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1) , b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4 .
Medzi hlavné operácie so zlomkami patrí redukcia na nový menovateľ a redukcia zlomkov. Obe akcie sa vykonávajú v súlade s množstvom pravidiel. Pri sčítaní a odčítaní zlomkov sa zlomky najskôr zredukujú na spoločného menovateľa, potom sa vykonajú akcie (sčítanie alebo odčítanie) s čitateľmi. Menovateľ zostáva rovnaký. Výsledkom nášho konania je nový zlomok, ktorého čitateľ je súčinom čitateľov a menovateľ je súčinom menovateľov.
Príklad 10
Vykonajte kroky x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 .
Riešenie
Začnime odčítaním zlomkov, ktoré sú v zátvorkách. Priveďme ich k spoločnému menovateľovi:
x 1 2 - 1 x 1 2 + 1
Odčítajme čitateľa:
x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2
Teraz vynásobíme zlomky:
4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2
Znížime o stupeň x 12 dostaneme 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1.
Okrem toho môžete výraz mocniny v menovateli zjednodušiť pomocou vzorca pre rozdiel druhých mocnín: štvorce: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1.
odpoveď: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1
Príklad 11
Zjednodušte vyjadrenie sily x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 .
Riešenie
Zlomok môžeme znížiť o (x 2, 7 + 1) 2. Dostaneme zlomok x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1.
Pokračujme v transformáciách x mocnín x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2 , 7 + 1 . Teraz môžete použiť vlastnosť delenia mocniny s rovnakými základmi: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2 , 7 + 1.
Od posledného produktu prejdeme na zlomok x 1 3 8 x 2, 7 + 1.
odpoveď: x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2, 7 + 1.
Vo väčšine prípadov je vhodnejšie preniesť násobiče so zápornými exponentmi z čitateľa do menovateľa a naopak zmenou znamienka exponentu. Toto opatrenie zjednodušuje ďalšie rozhodovanie. Uveďme príklad: mocninný výraz (x + 1) - 0 , 2 3 · x - 1 môžeme nahradiť x 3 · (x + 1) 0 , 2 .
Konverzia výrazov s koreňmi a mocninami
V úlohách sú mocninné výrazy, ktoré obsahujú nielen stupne so zlomkovými exponentmi, ale aj odmocniny. Je žiaduce zredukovať takéto výrazy len na odmocniny alebo len na mocniny. Prechod na stupne je vhodnejší, pretože sa s nimi ľahšie pracuje. Takýto prechod je výhodný najmä vtedy, keď vám DPV premenných pre pôvodný výraz umožňuje nahradiť odmocniny bez toho, aby ste museli pristupovať k modulu alebo rozdeliť DPV do niekoľkých intervalov.
Príklad 12
Vyjadrite výraz x 1 9 x x 3 6 ako mocninu.
Riešenie
Platný rozsah premennej X je určená dvoma nerovnosťami x ≥ 0 a x · x 3 ≥ 0, ktoré definujú množinu [ 0 , + ∞) .
V tomto súbore máme právo prejsť od koreňov k mocnostiam:
x 1 9 x x 3 6 = x 1 9 x x 1 3 1 6
Pomocou vlastností stupňov zjednodušíme výsledné mocninné vyjadrenie.
x 1 9 x x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 1 3 6 = = x 1 9 x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3
odpoveď: x 1 9 x x 3 6 = x 1 3 .
Prevod mocnin s premennými v exponente
Tieto transformácie sú pomerne jednoduché, ak správne používate vlastnosti stupňa. Napríklad, 5 2 x + 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x − 1 = 0.
Môžeme nahradiť súčin stupňa, v zmysle ktorého sa nájde súčet nejakej premennej a čísla. Na ľavej strane to možno urobiť s prvým a posledným výrazom na ľavej strane výrazu:
5 2 x 5 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x 7 − 1 = 0, 5 5 2 x − 3 5 x 7 x − 2 7 2 x = 0 .
Teraz vydeľme obe strany rovnice 7 2 x. Tento výraz na ODZ premennej x nadobúda iba kladné hodnoty:
5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0
Zmenšme zlomky s mocninami, dostaneme: 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x - 2 = 0 .
Nakoniec je pomer mocnin s rovnakými exponentmi nahradený mocninami pomerov, čo vedie k rovnici 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0 , čo je ekvivalentné 5 5 7 x 2 - 3 5 7 x-2 = 0.
Zavedme novú premennú t = 5 7 x , ktorá redukuje riešenie pôvodnej exponenciálna rovnica k rozhodnutiu kvadratická rovnica 5 t 2 − 3 t − 2 = 0 .
Prevod výrazov s mocninami a logaritmami
V problémoch sa nachádzajú aj výrazy obsahujúce mocniny a logaritmy. Príklady takýchto výrazov sú: 1 4 1 - 5 log 2 3 alebo log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) log 5 3 . Transformácia takýchto výrazov sa vykonáva pomocou vyššie uvedených prístupov a vlastností logaritmov, ktoré sme podrobne analyzovali v téme „Transformácia logaritmických výrazov“.
Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter
§ 1 Pojem zjednodušenia doslovného vyjadrenia
V tejto lekcii sa zoznámime s pojmom „podobné termíny“ a na príkladoch sa naučíme, ako vykonať redukciu podobných termínov, a tým zjednodušiť doslovné výrazy.
Poďme zistiť význam pojmu "zjednodušenie". Slovo „zjednodušenie“ je odvodené od slova „zjednodušiť“. Zjednodušiť znamená urobiť jednoduchým, jednoduchším. Preto zjednodušiť doslovný výraz znamená skrátiť ho s minimálnym počtom akcií.
Zvážte výraz 9x + 4x. Toto je doslovný výraz, ktorý je súčtom. Termíny sú tu prezentované ako súčin čísla a písmena. Číselný faktor takýchto pojmov sa nazýva koeficient. V tomto výraze budú koeficienty čísla 9 a 4. Upozorňujeme, že násobiteľ reprezentovaný písmenom je rovnaký v oboch podmienkach tohto súčtu.
Spomeňte si na distributívny zákon násobenia:
Ak chcete vynásobiť súčet číslom, môžete každý výraz vynásobiť týmto číslom a pridať výsledné produkty.
IN všeobecný pohľad sa píše takto: (a + b) ∙ c \u003d ac + bc.
Tento zákon platí v oboch smeroch ac + bc = (a + b) ∙ c
Aplikujme to na náš doslovný výraz: súčet súčinov 9x a 4x sa rovná súčinu, ktorého prvý súčin je súčet 9 a 4, druhý súčin x.
9 + 4 = 13 je 13x.
9x + 4x = (9 + 4)x = 13x.
Namiesto troch akcií vo výraze zostala jedna akcia - násobenie. Takže sme zjednodušili naše doslovné vyjadrenie, t.j. zjednodušil to.
§ 2 Zníženie podobných podmienok
Pojmy 9x a 4x sa líšia iba svojimi koeficientmi - takéto pojmy sa nazývajú podobné. Písmenová časť podobných výrazov je rovnaká. Podobné výrazy zahŕňajú aj čísla a rovnaké výrazy.
Napríklad vo výraze 9a + 12 - 15 budú čísla 12 a -15 podobné pojmy a v súčte súčinov 12 a 6a čísla 14 a súčinov 12 a 6a (12 ∙ 6a + 14 + 12 ∙ 6a), rovnaké členy budú podobné, reprezentované súčinom 12 a 6a.
Je dôležité poznamenať, že pojmy, ktoré majú rovnaké koeficienty a rôzne doslovné faktory, nie sú podobné, aj keď je niekedy užitočné použiť na ne distributívny zákon násobenia, napríklad súčet súčinov 5x a 5y sa rovná súčin čísla 5 a súčtu x a y
5x + 5y = 5(x + y).
Zjednodušme výraz -9a + 15a - 4 + 10.
V tomto prípade sú členy -9a a 15a podobné členy, pretože sa líšia iba svojimi koeficientmi. Majú rovnaký písmenový násobiteľ a výrazy -4 a 10 sú tiež podobné, pretože sú to čísla. Pridávame podobné výrazy:
9a + 15a - 4 + 10
9a + 15a = 6a;
Dostaneme: 6a + 6.
Pri zjednodušení výrazu sme našli súčty podobných výrazov, v matematike sa to nazýva redukcia podobných výrazov.
Ak je prinesenie takýchto výrazov ťažké, môžete pre ne vymyslieť slová a pridať objekty.
Zvážte napríklad výraz:
Pre každé písmeno vezmeme svoj vlastný predmet: b-jablko, c-hruška, potom to dopadne: 2 jablká mínus 5 hrušiek plus 8 hrušiek.
Môžeme odpočítať hrušky od jabĺk? Samozrejme, že nie. Ale môžeme pridať 8 hrušiek do mínus 5 hrušiek.
Dávame ako termíny -5 hrušiek + 8 hrušiek. Podobné výrazy majú rovnakú doslovnú časť, preto pri znižovaní podobných výrazov stačí pridať koeficienty a pridať doslovnú časť k výsledku:
(-5 + 8) hrušiek - dostanete 3 hrušky.
Ak sa vrátime k nášmu doslovnému výrazu, máme -5s + 8s = 3s. Po redukcii podobných členov teda dostaneme výraz 2b + 3c.
Takže v tejto lekcii ste sa zoznámili s pojmom „podobné výrazy“ a naučili ste sa, ako zjednodušiť doslovné výrazy tým, že použijete podobné výrazy.
Zoznam použitej literatúry:
- Matematika. 6. ročník: učebné plány k učebnici I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich // autor-zostavovateľ L.A. Topilin. Mnemosyne 2009.
- Matematika. 6. ročník: žiacka učebnica vzdelávacie inštitúcie. I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich.- M.: Mnemozina, 2013.
- Matematika. 6. ročník: učebnica pre vzdelávacie inštitúcie / G.V. Dorofeev, I.F. Sharygin, S.B. Suvorov a ďalší / upravil G.V. Dorofeeva, I.F. Sharygin; Ruská akadémia vied, Ruská akadémia vzdelávania. M.: "Osvietenie", 2010.
- Matematika. 6. ročník: učebnica pre všeobecné vzdelávacie inštitúcie / N.Ya. Vilenkin, V.I. Zhokhov, A.S. Česnokov, S.I. Schwarzburd. – M.: Mnemozina, 2013.
- Matematika. 6. ročník: učebnica / G.K. Muravin, O.V. Ant. – M.: Drop, 2014.
Použité obrázky:
Medzi rôznymi výrazmi, ktoré sa berú do úvahy v algebre, zaujímajú dôležité miesto súčty monomilov. Tu sú príklady takýchto výrazov:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)
Súčet monočlenov sa nazýva polynóm. Termíny v polynóme sa nazývajú členy polynómu. Mononomy sa označujú aj ako polynómy, pričom monomizmus považujeme za polynóm pozostávajúci z jedného člena.
Napríklad polynóm
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
možno zjednodušiť.
Všetky výrazy reprezentujeme ako monomály štandardného tvaru:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)
Vo výslednom polynóme dávame podobné výrazy:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Výsledkom je polynóm, ktorého všetky členy sú monomály štandardného tvaru a medzi nimi nie sú žiadne podobné. Takéto polynómy sa nazývajú polynómy štandardného tvaru.
vzadu polynomický stupeňštandardná forma preberá najväčšiu z právomocí svojich členov. Takže dvojčlen \(12a^2b - 7b \) má tretí stupeň a trojčlen \(2b^2 -7b + 6 \) má druhý stupeň.
Termíny štandardných polynómov obsahujúcich jednu premennú sú zvyčajne usporiadané v zostupnom poradí podľa jej exponentov. Napríklad:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)
Súčet niekoľkých polynómov možno previesť (zjednodušiť) na polynóm štandardnej formy.
Niekedy je potrebné členy polynómu rozdeliť do skupín, pričom každú skupinu uzatvoríme do zátvoriek. Keďže zátvorky sú opakom zátvoriek, je ľahké ich formulovať pravidlá otvárania zátvoriek:
Ak je znamienko + umiestnené pred zátvorkami, potom sa výrazy v zátvorkách píšu s rovnakými znamienkami.
Ak je znamienko "-" umiestnené pred zátvorkami, potom sa výrazy v zátvorkách píšu s opačnými znamienkami.
Transformácia (zjednodušenie) súčinu jednočlenu a mnohočlenu
Pomocou distributívnej vlastnosti násobenia je možné transformovať (zjednodušiť) súčin jednočlenu a mnohočlenu na mnohočlen. Napríklad:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)
Súčin monočlenu a mnohočlenu sa zhodne rovná súčtu súčinov tohto monočlenu a každého z členov mnohočlenu.
Tento výsledok je zvyčajne formulovaný ako pravidlo.
Ak chcete vynásobiť monočlen polynómom, musíte tento monočlen vynásobiť každým členom polynómu.
Toto pravidlo sme opakovane použili na násobenie súčtom.
Súčin polynómov. Transformácia (zjednodušenie) súčinu dvoch polynómov
Vo všeobecnosti sa súčin dvoch polynómov rovná súčtu súčinu každého člena jedného polynómu a každého člena druhého.
Zvyčajne použite nasledujúce pravidlo.
Ak chcete vynásobiť polynóm polynómom, musíte vynásobiť každý člen jedného polynómu každým členom druhého a pridať výsledné produkty.
Skrátené vzorce násobenia. Štvorce súčtu, rozdielu a rozdielu
Niektoré výrazy v algebraických transformáciách sa musia zaoberať častejšie ako iné. Možno najbežnejšie výrazy sú \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) a \(a^2 - b^2 \), teda druhá mocnina súčtu, druhá mocnina rozdielu a druhá mocnina rozdielu. Všimli ste si, že názvy týchto výrazov sa zdajú byť neúplné, takže napríklad \((a + b)^2 \) nie je, samozrejme, len druhá mocnina súčtu, ale druhá mocnina súčtu a a b. Druhá mocnina súčtu a a b však nie je taká častá, spravidla namiesto písmen a a b obsahuje rôzne, niekedy dosť zložité výrazy.
Výrazy \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) sa dajú ľahko previesť (zjednodušiť) na polynómy štandardného tvaru, v skutočnosti ste sa s takouto úlohou už stretli pri násobení polynómov :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)
Výsledné identity je užitočné zapamätať si a použiť ich bez prechodných výpočtov. Pomáhajú tomu krátke slovné formulácie.
\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - druhá mocnina súčtu sa rovná súčtu druhých mocnín a dvojitého súčinu.
\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - druhá mocnina rozdielu je súčet druhých mocnín bez zdvojnásobenia súčinu.
\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - rozdiel štvorcov sa rovná súčinu rozdielu a súčtu.
Tieto tri identity umožňujú pri transformáciách nahradiť ich ľavé časti pravými a naopak - pravé časti ľavými. Najťažšie je v tomto prípade vidieť zodpovedajúce výrazy a pochopiť, čím sú v nich premenné a a b nahradené. Pozrime sa na niekoľko príkladov použitia skrátených vzorcov na násobenie.