Prednáška: "Metódy riešenia exponenciálnych rovníc."
1 . exponenciálne rovnice.
Rovnice obsahujúce v exponente neznáme sa nazývajú exponenciálne rovnice. Najjednoduchšia z nich je rovnica ax = b, kde a > 0 a a ≠ 1.
1) Pre b< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 exponenciálna funkcia, nemá riešenie.
2) Pre b > 0 má rovnica pomocou monotónnosti funkcie a koreňovej vety jeden koreň. Aby sme ho našli, musí byť b reprezentované ako b = aс, ax = bс ó x = c alebo x = logab.
exponenciálne rovnice podľa algebraické transformácie vedú k štandardným rovniciam, ktoré sa riešia pomocou nasledujúcich metód:
1) metóda redukcie na jednu základňu;
2) metóda hodnotenia;
3) grafická metóda;
4) metóda zavádzania nových premenných;
5) metóda faktorizácie;
6) exponenciálne - mocninné rovnice;
7) exponenciálny s parametrom.
2 . Spôsob redukcie na jeden základ.
Metóda je založená na nasledujúcej vlastnosti stupňov: ak sú dva stupne rovnaké a ich základy sú rovnaké, potom sú ich exponenty rovnaké, t. j. rovnicu je potrebné zredukovať do tvaru
Príklady. Vyriešte rovnicu:
1 . 3x = 81;
Predstavme si pravú stranu rovnice v tvare 81 = 34 a napíšme rovnicu ekvivalentnú pôvodnému 3 x = 34; x = 4. Odpoveď: 4.
2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49"> a prejdite na rovnicu pre exponenty 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4; x = 0,5 Odpoveď: 0,5
3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">
Všimnite si, že čísla 0,2, 0,04, √5 a 25 sú mocniny 5. Využime to a transformujme pôvodnú rovnicu takto:
,
odkiaľ 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x - 1 = - 2x - 2, z čoho nájdeme riešenie x = -1. odpoveď: -1.
5. 3x = 5. Podľa definície logaritmu x = log35. Odpoveď: log35.
6. 62x+4 = 33x. 2x+8.
Prepíšme rovnicu ako 32x+4,22x+4 = 32x,2x+8, t.j.png" width="181" height="49 src="> Preto x - 4 =0, x = 4. Odpoveď: 4.
7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. Pomocou vlastností mocnín zapíšeme rovnicu v tvare e. x+1 = 2, x =1. odpoveď: 1.
Banka úloh č.1.
Vyriešte rovnicu:
Test číslo 1.
1) 0 2) 4 3) -2 4) -4 |
|
A2 32x-8 = √3. | 1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4 |
A3 | 1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) bez koreňov |
1) 7;1 2) bez koreňov 3) -7;1 4) -1;-7 |
|
A5 | 1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0 |
A6 | 1) -1 2) 0 3) 2 4) 1 |
Test č. 2
A1 | 1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1 |
A2 | 1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11 |
A3 | 1) 2;-1 2) bez koreňov 3) 0 4) -2;1 |
A4 | 1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2 |
A5 | 1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3 |
3 Metóda hodnotenia.
Koreňová veta: ak funkcia f (x) rastie (klesá) na intervale I, číslo a je ľubovoľná hodnota, ktorú na tomto intervale nadobúda f, potom rovnica f (x) = a má jeden koreň na intervale I.
Pri riešení rovníc metódou odhadu sa využíva táto veta a vlastnosti monotónnosti funkcie.
Príklady. Riešiť rovnice: 1. 4x = 5 - x.
Riešenie. Prepíšme rovnicu ako 4x + x = 5.
1. ak x \u003d 1, potom 41 + 1 \u003d 5, 5 \u003d 5 platí, potom 1 je koreň rovnice.
Funkcia f(x) = 4x je rastúca na R a g(x) = x je rastúca na R => h(x)= f(x)+g(x) je rastúca na R ako súčet rastúcich funkcií, takže x = 1 je jediným koreňom rovnice 4x = 5 – x. odpoveď: 1.
2.
Riešenie. Rovnicu prepíšeme do tvaru 
.
1. ak x = -1, potom 
, 3 = 3-pravda, takže x = -1 je koreň rovnice.
2. dokázať, že je jedinečný.
3. Funkcia f(x) = - klesá na R, a g(x) = - x - klesá na R => h(x) = f(x) + g(x) - klesá na R, ako súčet klesajúcich funkcií. Takže podľa koreňovej vety je x = -1 jediným koreňom rovnice. odpoveď: -1.
Banka úloh č.2. vyriešiť rovnicu
a) 4x + 1 = 6 - x;
b) 
c) 2x – 2 = 1 – x;
4. Metóda zavádzania nových premenných.
Metóda je opísaná v časti 2.1. Zavedenie novej premennej (substitúcia) sa zvyčajne uskutočňuje po transformáciách (zjednodušení) členov rovnice. Zvážte príklady.
Príklady.
R jesť rovnica: 1.
.
Prepíšme rovnicu inak: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> t.j.png" width="210" height = "45">
Riešenie. Prepíšme rovnicu inak: 
Označte https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - nevhodné.
t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> - iracionálna rovnica. Podotýkame 
Riešenie rovnice je x = 2,5 ≤ 4, teda 2,5 je koreň rovnice. Odpoveď: 2.5.
Riešenie. Prepíšme rovnicu do tvaru a obe strany vydeľme 56x+6 ≠ 0. Dostaneme rovnicu
2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, takže..png" width="118" height="56">
Korene kvadratickej rovnice - t1 = 1 a t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.
Riešenie . Rovnicu prepíšeme do tvaru
a všimnite si, že ide o homogénnu rovnicu druhého stupňa.
Vydelíme rovnicu 42x a dostaneme 
Nahraďte https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> .
Odpoveď: 0; 0,5.
Banka úloh č. 3. vyriešiť rovnicu
b) 
G) 
Test č. 3 s výberom odpovedí. Minimálna úroveň.
A1 | 1) -0,2;2 2) log52 3) –log52 4) 2 |
A2 0,52x – 3 0,5x +2 = 0. | 1) 2; 1 2) -1; 0 3) bez koreňov 4) 0 |
1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5 |
|
A4 52x-5x - 600 = 0. | 1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2 |
1) bez koreňov 2) 2;4 3) 3 4) -1;2 |
Test č. 4 s výberom odpovedí. Všeobecná úroveň.
A1 | 1) 2; 1 2) ½; 0 3) 2; 0 4) 0 |
А2 2x – (0,5)2x – (0,5)x + 1 = 0 | 1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1 |
1) 64 2) -14 3) 3 4) 8 |
|
1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0 |
|
A5 | 1) 0 2) 1 3) 0;1 4) bez koreňov |
5. Metóda faktorizácie.
1. Vyriešte rovnicu: 5x+1 - 5x-1 = 24.
Riešenie..png" width="169" height="69"> , odkiaľ
2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.
Riešenie. Vyberme 6x na ľavej strane rovnice a 2x na pravej strane. Dostaneme rovnicu 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x.
Keďže 2x >0 pre všetky x, môžeme obe strany tejto rovnice vydeliť 2x bez strachu, že stratíme riešenia. Dostaneme 3x = 1ó x = 0.
3. 
Riešenie. Rovnicu riešime faktoringom.
Vyberieme druhú mocninu binomu 
4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">
x = -2 je koreň rovnice.
Rovnica x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">
A1 5x-1 +5x -5x+1 = -19.
1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1
A2 3x+1 +3x-1 = 270.
1) 2 2) -4 3) 0 4) 4
A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x = 1,5
1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3
1) 1 2) -3 3) -1 4) 0
A5 2x -2x-4 = 15,x=4
1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2
Test č. 6 Všeobecná úroveň.
A1 (22x-1)(24x+22x+1)=7. | 1) ½ 2) 2 3) -1; 3 4) 0,2 |
A2 | 1) 2,5 2) 3;4 3) log43/2 4) 0 |
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2. | 1) 2 2) -1 3) 3 4) -3 |
A4 | 1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4 |
A5 | 1) 2 2) -2 3) 5 4) 0 |
6. Exponenciálne - mocninné rovnice.
Exponenciálne rovnice sú spojené s takzvanými exponenciálnymi rovnicami, t. j. rovnicami v tvare (f(x))g(x) = (f(x))h(x).
Ak je známe, že f(x)>0 a f(x) ≠ 1, potom rovnicu, podobne ako exponenciálnu, riešime rovnítkom exponentov g(x) = f(x).
Ak podmienka nevylučuje možnosť f(x)=0 a f(x)=1, tak pri riešení exponenciálnej mocninnej rovnice musíme tieto prípady zvážiť.
1..png" width="182" height="116 src=">
2. 
Riešenie. x2 +2x-8 - dáva zmysel pre ľubovoľné x, pretože polynóm, takže rovnica je ekvivalentná množine
https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">
b) 
7. Exponenciálne rovnice s parametrami.
1. Pre aké hodnoty parametra p má rovnica 4 (5 – 3)•2 +4p2–3p = 0 (1) jednoznačné riešenie?
Riešenie. Zavedme zmenu 2x = t, t > 0, potom rovnica (1) bude mať tvar t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0. (2)
Diskriminant rovnice (2) je D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.
Rovnica (1) má jedinečné riešenie, ak rovnica (2) má jeden kladný koreň. To je možné v nasledujúcich prípadoch.
1. Ak D = 0, teda p = 1, potom rovnica (2) bude mať tvar t2 – 2t + 1 = 0, teda t = 1, preto rovnica (1) má jedinečné riešenie x = 0.
2. Ak p1, potom 9(p – 1)2 > 0, potom rovnica (2) má dva rôzne korene t1 = p, t2 = 4p – 3. Množina systémov spĺňa podmienku úlohy
Nahradením t1 a t2 do systémov máme
https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}
Riešenie. Nechaj 
potom rovnica (3) bude mať tvar t2 – 6t – a = 0. (4)
Nájdite hodnoty parametra a, pre ktoré aspoň jeden koreň rovnice (4) spĺňa podmienku t > 0.
Zaveďme funkciu f(t) = t2 – 6t – a. Možné sú nasledujúce prípady.
https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант !} štvorcový trojčlen f(t);
https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}
Prípad 2. Rovnica (4) má jedinečné kladné riešenie, ak
D = 0, ak a = – 9, potom rovnica (4) bude mať tvar (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1.
Prípad 3. Rovnica (4) má dva korene, ale jeden z nich nespĺňa nerovnosť t > 0. To je možné, ak
https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="no35_17" width="267" height="63">!}
Teda pri a 0 má rovnica (4) jediný kladný koreň 
. Potom rovnica (3) má jedinečné riešenie 
Pre< – 9 уравнение (3) корней не имеет.
Ak< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
ak a = – 9, potom x = – 1;
ak je 0, potom
Porovnajme metódy riešenia rovníc (1) a (3). Všimnite si, že pri riešení rovnice (1) bola redukovaná na kvadratickú rovnicu, ktorej diskriminant je plný štvorec; teda korene rovnice (2) boli okamžite vypočítané podľa vzorca koreňov kvadratickej rovnice a potom boli vyvodené závery týkajúce sa týchto koreňov. Rovnica (3) bola zredukovaná na kvadratickú rovnicu (4), ktorej diskriminant nie je dokonalý štvorec, preto pri riešení rovnice (3) je vhodné použiť vety o umiestnení koreňov štvorcového trinomu a grafický model. Všimnite si, že rovnicu (4) možno vyriešiť pomocou Vietovej vety.
Poďme riešiť zložitejšie rovnice.
Úloha 3. Vyriešte rovnicu 
Riešenie. ODZ: x1, x2.
Predstavme si náhradu. Nech 2x = t, t > 0, potom v dôsledku transformácií bude mať rovnica tvar t2 + 2t – 13 – a = 0. (*) Nájdite hodnoty a, pre ktoré je aspoň jeden koreň rovnica (*) spĺňa podmienku t > 0.
https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}
https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}
https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}
Odpoveď: ak a > - 13, a 11, a 5, potom ak a - 13,
a = 11, a = 5, potom neexistujú žiadne korene.
Bibliografia.
1. Guzeev základy vzdelávacej technológie.
2. Technológia Guzeev: od recepcie k filozofii.
M. "Riaditeľ" č.4, 1996
3. Guzeev a organizačné formy vzdelávania.
4. Guzeev a prax integrálnej vzdelávacej technológie.
M. "Vzdelávanie ľudí", 2001
5. Guzeev z foriem lekcie - seminár.
Matematika v škole číslo 2, 1987, s. 9 - 11.
6. Vzdelávacie technológie Selevko.
M. "Výchova ľudí", 1998
7. Školáci Episheva sa učia matematiku.
M. "Osvietenie", 1990
8. Ivanov pripraviť hodiny - workshopy.
Matematika v škole číslo 6, 1990, s. 37-40.
9. Smirnov model vyučovania matematiky.
Matematika v škole číslo 1, 1997, s. 32-36.
10. Tarasenko spôsoby organizácie praktickej práce.
Matematika v škole číslo 1, 1993, s. 27 - 28.
11. O jednom z typov samostatnej práce.
Matematika v škole číslo 2, 1994, s. 63 - 64.
12. Chazankinské tvorivé schopnosti školákov.
Matematika v škole číslo 2, 1989, s. 10.
13. Scanavi. Vydavateľstvo, 1997
14. a kol., Algebra a začiatky analýzy. Didaktické materiály Pre
15. Krivonogovove úlohy z matematiky.
M. "Prvý september", 2002
16. Čerkasov. Príručka pre stredoškolákov a
vstup na univerzity. "A S T - tlačová škola", 2002
17. Zhevnyak pre uchádzačov o štúdium na univerzitách.
Minsk a RF "Recenzia", 1996
18. Písomné D. Príprava na skúšku z matematiky. M. Rolf, 1999
19. a iné.Učiť sa riešiť rovnice a nerovnice.
M. "Intelekt - Stred", 2003
20. a iné Vzdelávacie a školiace materiály pre prípravu na E G E.
M. "Intelekt - Stred", 2003 a 2004
21 a iné.Varianty CMM. Testovacie centrum Ministerstva obrany Ruskej federácie, 2002, 2003
22. Goldbergove rovnice. "Quantum" č. 3, 1971
23. Volovič M. Ako úspešne učiť matematiku.
Matematika, 1997 č. 3.
24 Okunev za lekciu, deti! M. Osveta, 1988
25. Yakimanskaya - orientované učenie V škole.
26. Liimets pracujú na lekcii. M. Vedomosti, 1975
Na youtube kanál našej stránky, aby ste boli informovaní o všetkých nových video lekciách.
Najprv si pripomeňme základné vzorce stupňov a ich vlastnosti.
Súčin čísla a sa samo o sebe stane n-krát, môžeme tento výraz napísať ako a a … a=a n
1. a 0 = 1 (a ≠ 0)
3. a n a m = a n + m
4. (a n) m = a nm
5. a n b n = (ab) n
7. a n / a m \u003d a n - m
Mocninné alebo exponenciálne rovnice- sú to rovnice, v ktorých sú premenné v mocninách (alebo exponentoch) a základom je číslo.
Príklady exponenciálnych rovníc:
V tomto príklade je číslo 6 základ, je vždy na spodku a premenná X stupňa alebo miery.
Uveďme viac príkladov exponenciálnych rovníc.
2 x * 5 = 10
16x-4x-6=0
Teraz sa pozrime, ako sa riešia exponenciálne rovnice?
Zoberme si jednoduchú rovnicu:
2 x = 2 3
Takýto príklad sa dá vyriešiť aj v mysli. Je možné vidieť, že x=3. Koniec koncov, aby boli ľavá a pravá strana rovnaké, musíte namiesto x zadať číslo 3.
Teraz sa pozrime, ako by sa malo toto rozhodnutie urobiť:
2 x = 2 3
x = 3
Na vyriešenie tejto rovnice sme odstránili rovnaké dôvody(teda dvojky) a zapísal čo ostalo, to sú stupne. Dostali sme odpoveď, ktorú sme hľadali.
Teraz si zhrňme naše riešenie.
Algoritmus na riešenie exponenciálnej rovnice:
1. Treba skontrolovať rovnakýči základy rovnice vpravo a vľavo. Ak dôvody nie sú rovnaké, hľadáme možnosti riešenia tohto príkladu.
2. Keď sú základy rovnaké, prirovnať stupňa a vyriešiť výslednú novú rovnicu.
Teraz poďme vyriešiť niekoľko príkladov:
Začnime jednoducho.
Základy na ľavej a pravej strane sa rovnajú číslu 2, čo znamená, že môžeme základňu zahodiť a prirovnať ich stupne.
x+2=4 Ukázalo sa, že najjednoduchšia rovnica.
x = 4 - 2
x=2
Odpoveď: x=2
V nasledujúcom príklade môžete vidieť, že základy sú rôzne, sú to 3 a 9.
3 3x - 9x + 8 = 0
Na začiatok prenesieme deväť na pravú stranu, dostaneme:
Teraz musíte urobiť rovnaké základy. Vieme, že 9=3 2 . Použime mocninný vzorec (a n) m = a nm .
3 3x \u003d (3 2) x + 8
Dostaneme 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16
3 3x \u003d 3 2x + 16 teraz môžete vidieť, že vľavo a pravá strana základy sú rovnaké a rovnajú sa trom, čo znamená, že ich môžeme zahodiť a prirovnať stupne.
3x=2x+16 dostala najjednoduchšiu rovnicu
3x-2x=16
x=16
Odpoveď: x=16.
Pozrime sa na nasledujúci príklad:
2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4
Najprv sa pozrieme na základne, základne sú rôzne dva a štyri. A my musíme byť rovnakí. Štvornásobok transformujeme podľa vzorca (a n) m = a nm .
4 x = (2 2) x = 2 2x
A tiež používame jeden vzorec a n a m = a n + m:
2 2x+4 = 2 2x 2 4
Pridajte do rovnice:
2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24
Z rovnakých dôvodov sme uviedli príklad. Ale prekážajú nám iné čísla 10 a 24. Čo s nimi? Ak sa pozriete pozorne, môžete vidieť, že na ľavej strane opakujeme 2 2x, tu je odpoveď - môžeme dať 2 2x zo zátvoriek:
2 2x (2 4 - 10) = 24
Vypočítajme výraz v zátvorkách:
2 4 — 10 = 16 — 10 = 6
Celú rovnicu vydelíme 6:
Predstavte si 4=2 2:
2 2x \u003d 2 2 základy sú rovnaké, zahoďte ich a porovnajte stupne.
2x \u003d 2 sa ukázalo ako najjednoduchšia rovnica. Vydelíme 2, dostaneme
x = 1
Odpoveď: x = 1.
Poďme vyriešiť rovnicu:
9 x - 12 x 3 x +27 = 0
Poďme sa transformovať:
9 x = (3 2) x = 3 2x
Dostaneme rovnicu:
3 2x - 12 3x +27 = 0
Naše základy sú rovnaké, rovné 3. V tomto príklade je zrejmé, že prvá trojka má stupeň dvakrát (2x) ako druhá (len x). V tomto prípade sa môžete rozhodnúť substitučná metóda. Číslo s najmenším stupňom sa nahrádza takto:
Potom 3 2x \u003d (3x) 2 \u003d t 2
Všetky stupne nahradíme x v rovnici s t:
t 2 - 12 t + 27 \u003d 0
Dostaneme kvadratickú rovnicu. Riešime cez diskriminant, dostaneme:
D = 144-108 = 36
t1 = 9
t2 = 3
Späť na premennú X.
Berieme t 1:
t 1 \u003d 9 \u003d 3 x
teda
3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2
Našiel sa jeden koreň. Hľadáme druhého, od t 2:
t 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Odpoveď: x 1 \u003d 2; x 2 = 1.
Na stránke sa môžete v sekcii POMOC ROZHODNÚŤ klásť otázky, ktoré vás zaujímajú, určite vám odpovieme.
Pripojte sa ku skupine
Rovnice sa nazývajú exponenciálne, ak je neznáma obsiahnutá v exponente. Najjednoduchšia exponenciálna rovnica má tvar: a x \u003d a b, kde a> 0 a 1, x je neznáma.
Hlavné vlastnosti stupňov, pomocou ktorých sa transformujú exponenciálne rovnice: a>0, b>0.
Pri riešení exponenciálnych rovníc sa využívajú aj tieto vlastnosti exponenciálnej funkcie: y = a x , a > 0, a1:
Na vyjadrenie čísla ako mocniny použite základ logaritmická identita: b =, a > 0, a1, b > 0.
Úlohy a testy na tému "Exponenciálne rovnice"
- exponenciálne rovnice
Lekcie: 4 Zadania: 21 Testy: 1
- exponenciálne rovnice - Dôležité témy na opakovanie skúšky z matematiky
Úlohy: 14
- Systémy exponenciálnych a logaritmických rovníc - Exponenciálne a logaritmické funkcie 11. stupeň
Lekcie: 1 Zadania: 15 Testy: 1
- §2.1. Riešenie exponenciálnych rovníc
Lekcie: 1 Úlohy: 27
- §7 Exponenciálne a logaritmické rovnice a nerovnice - Časť 5. Exponenciálne a logaritmické funkcie 10. stupeň
Lekcie: 1 Zadania: 17
Ak chcete úspešne vyriešiť exponenciálne rovnice, musíte poznať základné vlastnosti mocnin, vlastnosti exponenciálnej funkcie a základnú logaritmickú identitu.
Pri riešení exponenciálnych rovníc sa používajú dve hlavné metódy:
- prechod z rovnice a f(x) = a g(x) na rovnicu f(x) = g(x);
- zavedenie nových liniek.
Príklady.
1. Redukcia rovníc na najjednoduchšie. Riešia sa privedením oboch strán rovnice k mocnine s rovnakým základom.
3x \u003d 9x – 2.
Riešenie:
3 x \u003d (3 2) x - 2;
3x = 3 2x - 4;
x = 2x-4;
x=4.
odpoveď: 4.
2. Rovnice riešené zátvorkou spoločného činiteľa.
Riešenie:
3x - 3x - 2 = 24
3 x - 2 (3 2 - 1) = 24
3 x - 2 x 8 = 24
3 x - 2 = 3
x - 2 = 1
x=3.
odpoveď: 3.
3. Rovnice riešené zmenou premennej.
Riešenie:
2 2x + 2x - 12 = 0
Označujeme 2 x \u003d y.
y2 + y-12 = 0
yi = -4; y2 = 3.
a) 2 x = - 4. Rovnica nemá riešenia, pretože 2 x > 0.
b) 2 x = 3; 2 x = 2 log23; x = log 2 3.
odpoveď: denník 2 3.
4. Rovnice obsahujúce mocniny s dvoma rôznymi (na seba neredukovateľnými) bázami.
3 × 2 x + 1 - 2 × 5 x - 2 \u003d 5 x + 2 x - 2.
3 x 2 x + 1 - 2 x - 2 = 5 x - 2 x 5 x - 2
2 x - 2 x 23 = 5 x - 2
×23
2 x - 2 = 5 x - 2
(5/2) x– 2 = 1
x - 2 = 0
x = 2.
odpoveď: 2.
5. Rovnice, ktoré sú homogénne vzhľadom na a x a b x .
9 x + 4 x = 2,5 x 6 x.
Riešenie:
3 2x – 2,5 × 2x × 3x +2 2x = 0 |: 2 2x > 0
(3/2) 2x – 2,5 × (3/2) x + 1 = 0.
Označme (3/2) x = y.
r 2 – 2,5 r + 1 \u003d 0,
yi = 2; y2 = ½. 
odpoveď: poleno 3/2 2; - denník 3/2 2.
Používanie rovníc je v našich životoch veľmi rozšírené. Používajú sa pri mnohých výpočtoch, stavbe konštrukcií a dokonca aj v športe. Rovnice používal človek už od staroveku a odvtedy sa ich používanie len zvyšuje. Mocninné alebo exponenciálne rovnice sa nazývajú rovnice, v ktorých sú premenné v mocninách a základom je číslo. Napríklad:
Riešenie exponenciálnej rovnice pozostáva z 2 pomerne jednoduchých krokov:
1. Je potrebné skontrolovať, či sú základy rovnice vpravo a vľavo rovnaké. Ak základy nie sú rovnaké, hľadáme možnosti riešenia tohto príkladu.
2. Keď sa základy stanú rovnakými, zrovnáme stupne a vyriešime výslednú novú rovnicu.
Predpokladajme, že dostaneme exponenciálnu rovnicu nasledujúceho tvaru:
Riešenie tejto rovnice sa oplatí začať analýzou bázy. Základy sú rôzne - 2 a 4 a na riešenie potrebujeme, aby boli rovnaké, preto transformujeme 4 podľa nasledujúceho vzorca - \ [ (a ^ n) ^ m = a ^ (nm): \]
Pridajte k pôvodnej rovnici:
Odstránime zátvorky \
Expresné \
Keďže stupne sú rovnaké, zahodíme ich:
Odpoveď: \
Kde môžem vyriešiť exponenciálnu rovnicu online pomocou riešiteľa?
Rovnicu môžete vyriešiť na našej webovej stránke https: //. Bezplatný online riešiteľ vám umožní vyriešiť online rovnicu akejkoľvek zložitosti v priebehu niekoľkých sekúnd. Jediné, čo musíte urobiť, je zadať svoje údaje do riešiteľa. Môžete si tiež pozrieť video návod a naučiť sa riešiť rovnicu na našej webovej stránke. A ak máte nejaké otázky, môžete sa ich opýtať v našej skupine Vkontakte http://vk.com/pocketteacher. Pridajte sa do našej skupiny, vždy vám radi pomôžeme.
Riešenie exponenciálnych rovníc. Príklady.
Pozor!
Existujú ďalšie
materiál v osobitnom oddiele 555.
Pre tých, ktorí silne „nie veľmi...“
A pre tých, ktorí „veľmi...“)
Čo sa stalo exponenciálna rovnica? Toto je rovnica, v ktorej sú neznáme (x) a výrazy s nimi ukazovatele niektoré stupne. A len tam! To je dôležité.
Tak tu si príklady exponenciálnych rovníc:
3 x 2 x = 8 x + 3
Poznámka! V základoch stupňov (nižšie) - iba čísla. IN ukazovatele stupne (vyššie) - široká škála výrazov s x. Ak sa zrazu v rovnici objaví x niekde inde ako indikátor, napríklad:
toto bude rovnica zmiešaný typ. Takéto rovnice nemajú jasné pravidlá riešenia. Zatiaľ ich nebudeme zvažovať. Tu sa budeme zaoberať riešenie exponenciálnych rovníc vo svojej najčistejšej forme.
V skutočnosti ani čisté exponenciálne rovnice nie sú vždy jasne vyriešené. Existujú však určité typy exponenciálnych rovníc, ktoré sa dajú a mali by vyriešiť. Toto sú typy, na ktoré sa pozrieme.
Riešenie najjednoduchších exponenciálnych rovníc.
Začnime niečím úplne základným. Napríklad:
Aj bez akejkoľvek teórie je jednoduchým výberom jasné, že x = 2. Nič viac, však!? Žiadne ďalšie hody s hodnotou x. A teraz sa pozrime na riešenie tejto zložitej exponenciálnej rovnice:
čo sme urobili? My sme vlastne len vyhodili tie isté spodky (trojky). Úplne vyhodené. A čo sa páči, trafiť sa do čierneho!
Skutočne, ak v exponenciálnej rovnici vľavo a vpravo sú rovnakýčísla v akomkoľvek stupni, tieto čísla môžu byť odstránené a majú rovnaké exponenty. Matematika umožňuje. Zostáva vyriešiť oveľa jednoduchšiu rovnicu. Je to dobré, však?)
Pripomeňme si však ironicky: základne môžete odstrániť len vtedy, keď sú čísla základne vľavo a vpravo v nádhernej izolácii! Bez akýchkoľvek susedov a koeficientov. Povedzme v rovniciach:
2 x +2 x + 1 = 2 3, alebo
Nemôžete odstrániť dvojníkov!
No to najdôležitejšie sme zvládli. Ako prejsť od zlých exponenciálnych výrazov k jednoduchším rovniciam.
"Tu sú tie časy!" - ty hovoríš. "Kto dá takého primitíva na kontrolu a skúšky!?"
Nútený súhlasiť. Nikto nebude. Teraz však viete, kam sa obrátiť pri riešení mätúcich príkladov. Je potrebné si to pripomenúť, keď rovnaké základné číslo je vľavo - vpravo. Potom bude všetko jednoduchšie. V skutočnosti je to klasika matematiky. Berieme pôvodný príklad a transformujeme ho na požadované nás myseľ. Podľa pravidiel matematiky, samozrejme.
Zvážte príklady, ktoré si vyžadujú ďalšie úsilie, aby ste ich priviedli k najjednoduchším. Zavolajme im jednoduché exponenciálne rovnice.
Riešenie jednoduchých exponenciálnych rovníc. Príklady.
Pri riešení exponenciálnych rovníc sú hlavné pravidlá akcie s právomocami. Bez znalosti týchto akcií nebude fungovať nič.
K činom s titulmi treba pridať osobný postreh a vynaliezavosť. Potrebujeme rovnaké základné čísla? V príklade ich teda hľadáme v explicitnej alebo zašifrovanej podobe.
Pozrime sa, ako sa to robí v praxi?
Uveďme si príklad:
2 2x - 8x+1 = 0
Prvý pohľad na dôvodov. Oni... Sú iní! Dva a osem. Ale je príliš skoro na to, aby sme sa nechali odradiť. Je načase si to pripomenúť
Dva a osem sú príbuzní v stupni.) Je celkom možné zapísať:
8 x + 1 = (2 3) x + 1
Ak si spomenieme na vzorec z akcií s právomocami:
(a n) m = a nm,
vo všeobecnosti to funguje skvele:
8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3 (x+1)
Pôvodný príklad vyzerá takto:
2 2x - 2 3(x+1) = 0
Prenášame 2 3 (x+1) doprava (nikto nezrušil základné matematické úkony!), dostaneme:
2 2x \u003d 2 3 (x + 1)
To je prakticky všetko. Odstránenie základov:
Vyriešime toto monštrum a dostaneme
Toto je správna odpoveď.
V tomto príklade nám pomohlo poznať sily dvoch. my identifikované v osmičke, zašifrovaná dvojka. Táto technika (kódovanie spoločných základov pod rôznymi číslami) je veľmi obľúbeným trikom v exponenciálnych rovniciach! Áno, dokonca aj v logaritmoch. Človek musí vedieť rozpoznať mocniny iných čísel v číslach. To je mimoriadne dôležité pre riešenie exponenciálnych rovníc.
Faktom je, že zvýšiť akékoľvek číslo na akúkoľvek moc nie je problém. Vynásobte, hoci aj na papieri, a to je všetko. Napríklad každý môže zvýšiť 3 na piatu mocninu. 243 vyjde, ak poznáte tabuľku násobenia.) Ale v exponenciálnych rovniciach je oveľa častejšie potrebné nezvýšiť na mocninu, ale naopak ... aké číslo v akom rozsahu skrýva sa za číslom 243, alebo povedzme 343... Tu vám nepomôže žiadna kalkulačka.
Musíš poznať mocniny niektorých čísel zrakom, áno... Zacvičíme si?
Určte, aké mocniny a aké čísla sú čísla:
2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.
Odpovede (samozrejme v neporiadku!):
5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .
Ak sa pozriete pozorne, môžete vidieť zvláštny fakt. Odpovedí je viac ako otázok! No, stáva sa... Napríklad 2 6 , 4 3 , 8 2 je všetko 64.
Predpokladajme, že ste zobrali na vedomie informáciu o oboznámení sa s číslami.) Pripomínam, že na riešenie exponenciálnych rovníc platí celá zásoba matematických vedomostí. Vrátane z nižšej strednej triedy. Nešiel si rovno na strednú, však?
Napríklad pri riešení exponenciálnych rovníc veľmi často pomáha vyňatie spoločného činiteľa zo zátvoriek (ahoj 7. ročník!). Pozrime sa na príklad:
3 2x+4 -119x = 210
A opäť prvý pohľad – na pozemok! Základy stupňov sú rôzne ... Tri a deväť. A chceme, aby boli rovnaké. No, v tomto prípade je túžba celkom uskutočniteľná!) Pretože:
9 x = (3 2) x = 3 2x
Podľa rovnakých pravidiel pre akcie s titulmi:
3 2x+4 = 3 2x 3 4
To je skvelé, môžete napísať:
3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210
Z rovnakých dôvodov sme uviedli príklad. Takže, čo bude ďalej!? Trojky sa nedajú vyhodiť... Slepá ulička?
Vôbec nie. Pamätajte na najuniverzálnejšie a najsilnejšie rozhodovacie pravidlo všetky matematické úlohy:
Ak nevieš, čo máš robiť, rob, čo môžeš!
Vyzeráš, všetko sa tvorí).
Čo je v tejto exponenciálnej rovnici Môcť robiť? Áno, ľavá strana si priamo pýta zátvorky! Spoločný faktor 3 2x tomu jasne napovedá. Skúsme a potom uvidíme:
3 2x (3 4 - 11) = 210
3 4 - 11 = 81 - 11 = 70
Príklad je stále lepší a lepší!
Pripomíname, že na odstránenie báz potrebujeme čistý stupeň, bez akýchkoľvek koeficientov. Trápi nás číslo 70. Takže obe strany rovnice vydelíme 70, dostaneme:
Op-pa! Všetko bolo v poriadku!
Toto je konečná odpoveď.
Stáva sa však, že sa dosiahne vyjazdenie z rovnakých dôvodov, ale nie ich likvidácia. To sa deje v exponenciálnych rovniciach iného typu. Zoberme si tento typ.
Zmena premennej pri riešení exponenciálnych rovníc. Príklady.
Poďme vyriešiť rovnicu:
4 x - 3 2 x +2 = 0
Najprv - ako obvykle. Prejdime k základni. Na dvojku.
4 x = (2 2) x = 2 2x
Dostaneme rovnicu:
2 2x - 3 2x +2 = 0
A tu budeme visieť. Predchádzajúce triky nebudú fungovať, nech to otočíte akokoľvek. Budeme sa musieť dostať z arzenálu iným mocným a všestranným spôsobom. Volá sa variabilná substitúcia.
Podstata metódy je prekvapivo jednoduchá. Namiesto jednej zložitej ikony (v našom prípade 2 x) napíšeme inú, jednoduchšiu (napríklad t). Takáto zdanlivo nezmyselná výmena vedie k úžasným výsledkom!) Všetko sa stáva jasným a zrozumiteľným!
Tak nech
Potom 2 2 x \u003d 2 x 2 \u003d (2 x) 2 \u003d t 2
V našej rovnici nahradíme všetky mocniny x za t:
No, svitá?) Kvadratické rovnice ešte si nezabudol? Riešime cez diskriminant, dostaneme:
Tu je hlavná vec nezastaviť sa, ako sa to stáva ... Toto ešte nie je odpoveď, potrebujeme x, nie t. Vraciame sa do Xs, t.j. vykonaním náhrady. Najprv pre t 1:
teda
Našiel sa jeden koreň. Hľadáme druhého, od t 2:
Hm... Vľavo 2 x, Vpravo 1... Zádrhel? Áno, vôbec nie! Stačí si zapamätať (z akcií s titulmi áno ...), že jednota je akýkoľvekčíslo na nulu. Akýkoľvek. Čokoľvek potrebujete, dáme to. Potrebujeme dvojku. znamená:
Teraz je to všetko. Mám 2 korene:
Toto je odpoveď.
O riešenie exponenciálnych rovníc na konci sa niekedy získa nejaký nepríjemný výraz. Typ:
Od siedmych, dvoch cez jednoduchý stupeň nefunguje. Nie sú príbuzní... Ako tu môžem byť? Niekto môže byť zmätený ... Ale osoba, ktorá čítal na tejto stránke tému "Čo je logaritmus?" , len sa striedmo usmejte a pevnou rukou napíšte absolútne správnu odpoveď:
V úlohách „B“ na skúške takáto odpoveď nemôže byť. Vyžaduje sa konkrétne číslo. Ale v úlohách "C" - ľahko.
Táto lekcia poskytuje príklady riešenia najbežnejších exponenciálnych rovníc. Vyzdvihnime to hlavné.
1. V prvom rade sa pozrieme na dôvodov stupňa. Pozrime sa, či sa nedajú urobiť rovnaký. Skúsme to urobiť aktívnym používaním akcie s právomocami. Nezabudnite, že čísla bez x sa dajú zmeniť aj na stupne!
2. Snažíme sa dostať exponenciálnu rovnicu do tvaru, keď je ľavá a pravá rovnakýčísla v akomkoľvek stupni. Používame akcie s právomocami A faktorizácia.Čo sa dá spočítať na čísla - počítame.
3. Ak druhá rada nezabrala, skúsime použiť premennú substitúciu. Výsledkom môže byť rovnica, ktorá sa dá ľahko vyriešiť. Najčastejšie - štvorcový. Alebo zlomkové, ktoré sa tiež zmenší na štvorec.
4. Na úspešné vyriešenie exponenciálnych rovníc potrebujete poznať stupne niektorých čísel „z videnia“.
Ako obvykle, na konci hodiny ste vyzvaní, aby ste niečo vyriešili.) Na vlastnú päsť. Od jednoduchých po zložité.
Riešte exponenciálne rovnice:
Ťažšie:
2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x \u003d 48
9 x - 8 3 x = 9
2 x - 2 0,5 x + 1 - 8 = 0
Nájdite produkt koreňov:
2 3-x + 2 x = 9
Stalo?
Dobre teda najťažší príklad(rozhodnuté však v duchu...):
7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3
Čo je zaujímavejšie? Potom je tu pre vás zlý príklad. Dosť ťahá na zvýšenej obtiažnosti. Naznačím, že v tomto príklade šetrí vynaliezavosť a najuniverzálnejšie pravidlo na riešenie všetkých matematických úloh.)
2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x
Príklad je jednoduchší, pre relaxáciu):
9 2 x - 4 3 x = 0
A na dezert. Nájdite súčet koreňov rovnice:
x 3 x - 9 x + 7 3 x - 63 = 0
Áno áno! Toto je rovnica zmiešaného typu! Čo sme v tejto lekcii nezohľadnili. A čo ich považovať, treba ich vyriešiť!) Táto lekcia úplne stačí na vyriešenie rovnice. No, vynaliezavosť je potrebná ... A áno, siedma trieda vám pomôže (toto je nápoveda!).
Odpovede (v neporiadku, oddelené bodkočiarkou):
1; 2; 3; 4; neexistujú žiadne riešenia; 2; -2; -5; 4; 0.
Je všetko úspešné? Skvelé.
Je tu problém? Žiaden problém! V špeciálnej časti 555 sú všetky tieto exponenciálne rovnice vyriešené pomocou podrobné vysvetlenia. Čo, prečo a prečo. A samozrejme sú tu ďalšie cenné informácie o práci so všetkými druhmi exponenciálnych rovníc. Nielen s týmito.)
Posledná zábavná otázka na zváženie. V tejto lekcii sme pracovali s exponenciálnymi rovnicami. Prečo som tu nepovedal ani slovo o ODZ? V rovniciach je to mimochodom veľmi dôležitá vec ...
Ak sa vám táto stránka páči...
Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)
Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učenie - so záujmom!)
môžete sa zoznámiť s funkciami a deriváciami.