Rozšírenie polynómov na získanie produktu sa niekedy zdá mätúce. Ale nie je to také ťažké, ak pochopíte proces krok za krokom. Článok podrobne popisuje, ako rozdeliť štvorcovú trojčlenku na rozklad.
Mnohí nechápu, ako faktorizovať štvorcovú trojčlenku a prečo sa to robí. Spočiatku sa môže zdať, že ide o zbytočné cvičenie. Ale v matematike sa nič nerobí len tak. Transformácia je potrebná na zjednodušenie výrazu a pohodlia výpočtu.
Polynóm v tvare - ax² + bx + c, sa nazýva štvorcová trojčlenka. Výraz „a“ musí byť záporný alebo kladný. V praxi sa tento výraz nazýva kvadratická rovnica. Preto niekedy hovoria inak: ako rozšíriť kvadratickú rovnicu.
Zaujímavé!Štvorcový polynóm sa nazýva podľa jeho najväčšieho stupňa - štvorec. A trojčlenka - kvôli 3 zložkovým pojmom.
Niektoré ďalšie druhy polynómov:
- lineárny binomický (6x+8);
- kubický štvoruholník (x³+4x²-2x+9).
Faktorizácia štvorcového trojčlenu
Po prvé, výraz sa rovná nule, potom musíte nájsť hodnoty koreňov x1 a x2. Nemusí tam byť žiadne korene, môže existovať jeden alebo dva korene. Prítomnosť koreňov je určená diskriminantom. Jeho vzorec musí byť známy naspamäť: D=b²-4ac.
Ak je výsledok D negatívny, neexistujú žiadne korene. Ak je kladný, existujú dva korene. Ak je výsledok nula, koreň je jedna. Korene sú tiež vypočítané podľa vzorca.
Ak je výsledkom výpočtu diskriminantu nula, môžete použiť ktorýkoľvek zo vzorcov. V praxi sa vzorec jednoducho skráti: -b / 2a.
Vzorce pre rôzne hodnoty diskriminačné sú rôzne.
Ak je D kladné:
Ak je D nula:
Online kalkulačky
Internet má online kalkulačka. Dá sa použiť na faktorizáciu. Niektoré zdroje poskytujú možnosť vidieť riešenie krok za krokom. Takéto služby pomáhajú lepšie porozumieť téme, ale musíte sa pokúsiť dobre pochopiť.
Užitočné video: Faktorizácia štvorcového trojčlenu
Príklady
Odporúčame pozrieť sa na jednoduché príklady, ako faktorizovať kvadratickú rovnicu.
Príklad 1
Tu je jasne ukázané, že výsledok bude dva x, pretože D je kladné. Je potrebné ich nahradiť do vzorca. Ak sú korene záporné, znamienko vo vzorci sa obráti.
Poznáme vzorec na rozklad štvorcového trinomu: a(x-x1)(x-x2). Hodnoty vložíme do zátvoriek: (x+3)(x+2/3). V exponente nie je žiadne číslo pred členom. To znamená, že existuje jednotka, je znížená.
Príklad 2
Tento príklad jasne ukazuje, ako vyriešiť rovnicu, ktorá má jeden koreň.
Dosaďte výslednú hodnotu:
Príklad 3
Dané: 5x²+3x+7
Najprv vypočítame diskriminant, ako v predchádzajúcich prípadoch.
D=9-4*5*7=9-140= -131.
Diskriminant je záporný, čo znamená, že neexistujú žiadne korene.
Po obdržaní výsledku sa oplatí otvoriť zátvorky a skontrolovať výsledok. Mal by sa objaviť pôvodný trojčlen.
Alternatívne riešenie
Niektorí ľudia sa nikdy nedokázali spriateliť s diskriminantmi. Existuje ďalší spôsob rozkladu štvorcového trojčlenu. Pre pohodlie je spôsob uvedený v príklade.
Dané: x²+3x-10
Vieme, že by sme mali skončiť s 2 zátvorkami: (_)(_). Keď výraz vyzerá takto: x² + bx + c, umiestnime x na začiatok každej zátvorky: (x_) (x_). Zvyšné dve čísla sú súčin, ktorý dáva "c", t.j. v tomto prípade -10. Ak chcete zistiť, aké sú tieto čísla, môžete použiť iba metódu výberu. Nahradené čísla sa musia zhodovať so zostávajúcim termínom.
Napríklad vynásobením nasledujúcich čísel získate -10:
- -1, 10;
- -10, 1;
- -5, 2;
- -2, 5.
- (x-1)(x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. Nie
- (x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. Nie
- (x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. Nie
- (x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. Pasuje.
Transformácia výrazu x2+3x-10 teda vyzerá takto: (x-2)(x+5).
Dôležité! Mali by ste byť opatrní, aby ste si nepomýlili znamenia.
Rozklad komplexnej trojčlenky
Ak je „a“ väčšie ako jedna, začínajú ťažkosti. Ale všetko nie je také ťažké, ako sa zdá.
Aby sme mohli faktorizovať, musíme najprv zistiť, či je možné niečo vypočítať.
Napríklad pri výraze: 3x²+9x-30. Tu je číslo 3 vyňaté zo zátvoriek:
3(x²+3x-10). Výsledkom je už známa trojčlenka. Odpoveď vyzerá takto: 3(x-2)(x+5)
Ako rozložiť, ak je výraz na druhú mocninu záporný? V tomto prípade je číslo -1 vyňaté zo zátvorky. Napríklad: -x²-10x-8. Výraz potom bude vyzerať takto:
Schéma sa len málo líši od predchádzajúcej. Je tam len pár nových vecí. Povedzme, že je daný výraz: 2x²+7x+3. Odpoveď je tiež napísaná v 2 zátvorkách, ktoré je potrebné vyplniť (_) (_). X je napísané v 2. zátvorke a to, čo zostalo v 1. zátvorke. Vyzerá to takto: (2x_) (x_). V opačnom prípade sa zopakuje predchádzajúca schéma.
Číslo 3 udáva čísla:
- -1, -3;
- -3, -1;
- 3, 1;
- 1, 3.
Rovnice riešime dosadením daných čísel. Posledná možnosť sedí. Transformácia výrazu 2x²+7x+3 teda vyzerá takto: (2x+1)(x+3).
Iné prípady
Nie vždy je možné výraz transformovať. V druhej metóde sa riešenie rovnice nevyžaduje. Ale možnosť premeny výrazov na produkt sa kontroluje len cez diskriminant.
Stojí za prax rozhodovania kvadratické rovnice aby pri používaní vzorcov nevznikali žiadne ťažkosti.
Užitočné video: faktorizácia trinomu
Záver
Môžete ho použiť akýmkoľvek spôsobom. Ale je lepšie pracovať na automatizme. Tiež tí, ktorí sa chystajú spojiť svoj život s matematikou, sa musia naučiť dobre riešiť kvadratické rovnice a rozkladať polynómy na faktory. Na tom sú postavené všetky nasledujúce matematické témy.
rozvoj otvorená lekcia
Algebra v 8. ročníku
na tému: „Štvorcový trojčlen. Rozklad štvorcového trojčlenu na faktory.
Učiteľ matematiky KSU stredná škola č. 16 v Karagande
Bekeňová G.M.
Karaganda 2015
"Matematika sa nedá naučiť pozorovaním."
Larry Niven - profesor matematiky
Téma lekcie:
Štvorcový trojčlen.
Faktorizácia štvorcového trojčlenu.
Ciele lekcie:
1. Dosiahnuť od všetkých žiakov v triede úspešné rozvíjanie a aplikáciu poznatkov pri rozklade štvorcovej trojčlenky na faktory.
2. Podporovať: a) rozvoj sebakontroly a sebaučenia,
b) schopnosť používať interaktívnu tabuľu,
c) rozvoj matematickej gramotnosti, presnosti.
3. Pestovať schopnosť kompetentne, stručne vyjadrovať svoje myšlienky, byť tolerantný k pohľadu spolužiakov, prijímať uspokojenie z dosiahnutých výsledkov.
Typ lekcie: kombinovaná hodina s diferencovaným a individuálnym prístupom, s prvkami rozvojového a pokročilého učenia.
Miesto lekcie: tretia lekcia na túto tému (hlavná), v prvých dvoch sa študenti naučili definíciu štvorcového trojčlenu, naučili sa nájsť jeho korene, zoznámili sa s algoritmom na faktorizáciu štvorcového trojčlenu, čo im pomôže v budúcnosti riešenie rovníc, redukcia zlomkov, transformácia algebraických výrazov.
Štruktúra lekcie:
1 Aktualizácia vedomostí diferencovaným prístupom k žiakom.
2 Kontrola je sebaskúmaním predtým získaných vedomostí.
3 Prezentácia nového materiálu je čiastočne rešeršnou metódou.
4 Primárna konsolidácia študovaného, individuálne diferencovaného prístupu.
5 Porozumenie, zovšeobecnenie vedomostí.
6 Stanovenie domácich úloh pomocou problémového učenia.
Vybavenie: interaktívna tabuľa, bežná tabuľa, kartičky s úlohami, učebnica Algebra 8, uhlíkový papier a prázdne hárky, fyziognostické symboly.
Počas vyučovania
Organizovanie času(1 minúta).
1. Pozdrav žiakov; kontrola ich pripravenosti na lekciu.
2. Komunikácia účelu lekcie.
ja inscenujem.
“Opakovanie je matkou učenia.“
1. Kontrola domácich úloh. č. 476 (b, d), č. 474, č. 475
2. Samostatná práca na kartičkách (4 osoby) (pri kontrole domácich úloh) (5 minút)
II etapa.
"Dôveruj, ale preveruj"
Otestujte si prácu so sebakontrolou.
Testovacia práca (cez uhlíkový papier) s autotestom.
I možnosť variant m II
1) 2)
2. Faktorizujte štvorcovú trojčlenku:
Odpovede
Komu overovacie práce
"Dôveruj, ale preveruj."
1. Nájdite korene štvorcového trojčlenu:
I možnosť II možnosť nT
2. Faktorizujte štvorcovú trojčlenku:
1) (X-3) (X+5); 1) (X+9) (X-7)
2) 9X (X-14); 2) 8X(X-16);
3) 4 (X-6) (X+6). 3) 7 (X-3) (X+3).
Niekoľko jasných odpovedí na vedomie.
Otázka pre študentov:
Kde si myslíte, že môžete použiť rozklad štvorcového trinomu?
Pravda: pri riešení rovníc,
pri redukcii zlomkov,
pri transformácii algebraických výrazov.
III etapa
” Zručnosť a práca rozdrvia všetko“(10 minút)
1. Zvážte použitie rozkladu štvorcového trojčlenu pri redukcii zlomkov. Práca žiakov pri tabuli.
Znížiť zlomok:
2. A teraz uvažujme o použití rozkladu štvorcového trojčlenu pri transformáciách algebraických výrazov.
Učebnica. Algebra 8. str. 126 č. 570 (b)
Teraz ukážte, ako použijete rozklad štvorcového trinomu.
IV štádium
"Kuj železo zahorúca!"
samostatná práca (13 minút)
І možnosť І I možnosť
Znížiť zlomok:
5. Uvedomil som si, že…….
6. Teraz môžem…….
7. Cítil som, že...
8. Kúpil som...
9. Naučil som sa......
10. mám to......
11. Dokázal som...
12. Pokúsim sa.....
13. Bol som prekvapený....
14. Lekcia mi dala na celý život...
15. Chcel som ....
Informácie o domáca úloha: na ďalšiu hodinu si prineste domácu úlohu, ktorú ste dostali pred týždňom.
Domáca samostatná práca.
І možnosť І I možnosť
№ 560 (a, c) č. 560 (b, d)
№ 564 (a, c) č. 564 (b, d)
№ 566 (a) č. 566 (b)
№ 569 (a) č. 569 (b)
№ 571 (a, c) č. 571 (b, d)
Lekcia sa skončila.
Faktorizácia štvorcového trojčlenu môže byť užitočné pri riešení nerovností z úlohy C3 alebo úlohy s parametrom C5. Tiež veľa slovných úloh B13 bude vyriešených oveľa rýchlejšie, ak poznáte Vietovu vetu.
Táto veta sa, samozrejme, môže posudzovať z hľadiska 8. ročníka, v ktorom sa prvýkrát prejde. Našou úlohou je ale dobre sa na skúšku pripraviť a naučiť sa čo najefektívnejšie riešiť skúškové úlohy. Preto je v tejto lekcii prístup mierne odlišný od školského.
Vzorec pre korene rovnice podľa Vietovej vety poznáte (alebo ste aspoň videli) veľa:
$$x_1+x_2 = -\frac(b)(a), \quad x_1 x_2 = \frac(c)(a),$$
kde „a, b“ a „c“ sú koeficienty štvorcového trinomu „ax^2+bx+c“.
Aby sme sa naučili, ako vetu ľahko používať, pochopme, odkiaľ pochádza (takto si ju bude naozaj ľahšie pamätať).
Majme rovnicu `ax^2+ bx+ c = 0`. Pre väčšie pohodlie ho vydelíme `a` a dostaneme `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = 0`. Taká rovnica sa nazýva redukovaná kvadratická rovnica.
Dôležité body lekcie: každý štvorcový polynóm, ktorý má korene, možno rozložiť do zátvoriek. Predpokladajme, že náš môže byť reprezentovaný ako „x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = (x + k)(x+l)“, kde „k“ a „l“ - nejaké konštanty.
Pozrime sa, ako sa otvárajú zátvorky:
$$(x + k)(x+l) = x^2 + kx+ lx+kl = x^2 +(k+l)x+kl.$$
Teda `k+l = \frac(b)(a), kl = \frac(c)(a)`.
To sa mierne líši od klasickej interpretácie Vietove teorémy- v nej hľadáme korene rovnice. Navrhujem hľadať podmienky rozšírenia konzol- takže si nemusíte pamätať mínus zo vzorca (čo znamená `x_1+x_2 = -\frac(b)(a)`). Stačí si vybrať dve také čísla, ktorých súčet sa rovná priemernému koeficientu a súčin sa rovná voľnému termínu.
Ak potrebujeme riešenie rovnice, potom je zrejmé: korene `x=-k` alebo `x=-l` (pretože v týchto prípadoch bude jedna zo zátvoriek nula, čo znamená, že celý výraz bude rovná nule).
Napríklad ukážem algoritmus, ako rozložiť štvorcový polynóm do zátvoriek.
Príklad jedna. Algoritmus na faktorizáciu štvorcovej trojčlenky
Cesta, ktorú máme, je štvorcová trojčlenka `x^2+5x+4`.
Je znížená (koeficient `x^2` rovný jednej). Má korene. (Pre istotu môžete odhadnúť diskriminant a uistiť sa, že je väčší ako nula.)
Ďalšie kroky (treba sa ich naučiť robiť všetko výcvikové úlohy):
- Urobte nasledujúci zápis: $$x^2+5x+4=(x \ldots)(x \ldots).$$ Namiesto bodiek nechajte voľné miesto, doplníme tam príslušné čísla a znamienka.
- Zobraziť všetky možné možnosti, ako môžete rozložiť číslo `4` na súčin dvoch čísel. Dostaneme dvojice "kandidátov" na korene rovnice: `2, 2` a `1, 4`.
- Odhadnite, z ktorého páru môžete získať priemerný koeficient. Je zrejmé, že je to „1, 4“.
- Napíšte $$x^2+5x+4=(x \quad 4)(x \quad 1)$$.
- Ďalším krokom je umiestnenie značiek pred vložené čísla.
Ako pochopiť a navždy si zapamätať, aké znaky by mali byť pred číslami v zátvorkách? Skúste ich rozšíriť (zátvorky). Koeficient pred `x` k prvej mocnine bude `(± 4 ± 1)` (zatiaľ nepoznáme znamienka – musíme si vybrať) a mal by sa rovnať `5`. Je zrejmé, že tu budú dve plusy $$x^2+5x+4=(x + 4)(x + 1)$$.
Vykonajte túto operáciu niekoľkokrát (ahoj, tréningové úlohy!) a nikdy s tým nebudú ďalšie problémy.
Ak potrebujete vyriešiť rovnicu `x^2+5x+4`, jej riešenie teraz nie je ťažké. Jeho korene sú `-4, -1`.
Druhý príklad. Faktorizácia štvorcového trinomu s koeficientmi rôznych znamienok
Musíme vyriešiť rovnicu `x^2-x-2=0`. Offhand, diskriminant je pozitívny.
Postupujeme podľa algoritmu.
- $$x^2-x-2=(x \ldots) (x \ldots).$$
- Existuje len jedna celočíselná faktorizácia 2: `2 · 1`.
- Pointu preskočíme – nie je z čoho vyberať.
- $$x^2-x-2=(x \quad 2) (x \quad 1).$$
- Súčin našich čísel je záporný (`-2` je voľný termín), čo znamená, že jedno z nich bude záporné a druhé kladné.
Keďže ich súčet sa rovná `-1` (koeficient `x`), potom `2` bude záporné (intuitívne vysvetlenie – dvojka je väčšie z dvoch čísel, bude to „ťahať“ výraznejšie negatívna stránka). Získame $$x^2-x-2=(x - 2) (x + 1). $$
Tretí príklad. Faktorizácia štvorcového trojčlenu
Rovnica `x^2+5x -84 = 0`.
- $$x+ 5x-84=(x \ldots) (x \ldots).$$
- Rozklad 84 na celočíselné faktory: `4 21, 6 14, 12 7, 2 42`.
- Keďže potrebujeme, aby rozdiel (alebo súčet) čísel bol 5, postačí pár `7, 12`.
- $$x+ 5x-84=(x\quad 12) (x \quad 7).$$
- $$x+ 5x-84=(x + 12) (x - 7).$$
Nádej, rozklad tejto štvorcovej trojčlenky do zátvoriek To je jasné.
Ak potrebujete riešenie rovnice, tu je: `12, -7`.
Úlohy na školenie
Tu je niekoľko príkladov, ktoré sú jednoduché sú riešené pomocou Vietovej vety.(Príklady prevzaté z matematiky, 2002.)
- `x^2+x-2=0`
- `x^2-x-2=0`
- `x^2+x-6=0`
- `x^2-x-6=0`
- `x^2+x-12=0`
- `x^2-x-12=0`
- `x^2+x-20=0`
- `x^2-x-20=0`
- `x^2+x-42=0`
- `x^2-x-42=0`
- `x^2+x-56=0`
- `x^2-x-56=0`
- `x^2+x-72=0`
- `x^2-x-72=0`
- `x^2+x-110=0`
- `x^2-x-110=0`
- `x^2+x-420=0`
- `x^2-x-420=0`
Pár rokov po napísaní článku sa objavila zbierka 150 úloh na rozšírenie kvadratického polynómu pomocou Vietovej vety.
Lajkujte a pýtajte sa v komentároch!