Iracionálne rovnice pre figuríny. Riešenie iracionálnych rovníc, metódy riešenia, príklady

Odpoveď: x = 3.

8 spôsob. Aplikácia derivácie pri riešení iracionálnych rovníc

Najčastejšie sa pri riešení rovníc derivačnou metódou používa metóda odhadu.

PRÍKLAD 15:

Vyriešte rovnicu: (1)

Riešenie: Pretože https://pandia.ru/text/78/021/images/image122_1.gif" width="371" height="29">, alebo (2). Zvážte funkciu ..gif" width="400" height="23 src=">.gif" width="215" height="49"> vôbec a teda rastie. Preto rovnica je ekvivalentná rovnici, ktorá má koreň, ktorý je koreňom pôvodnej rovnice.

odpoveď:

PRÍKLAD 16:

Vyriešte iracionálnu rovnicu:

Oblasťou definície funkcie je segment. Nájdite najväčšie a najmenšia hodnota hodnoty tejto funkcie na intervale . Aby sme to dosiahli, nájdeme deriváciu funkcie f(X): https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37 height=19" height="19">. Poďme nájsť hodnoty funkcie f(X) na koncoch segmentu a v bode: Takže, Ale a teda rovnosť je možná len za podmienky https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37" height="19 src=">. Kontrola ukazuje, že číslo 3 je koreňom tejto rovnice.

odpoveď: x = 3.

9 spôsob. Funkčné

Na skúškach niekedy ponúkajú riešenie rovníc, ktoré sa dajú napísať v tvare , kde je určitá funkcia.

Napríklad niektoré rovnice: 1) 2) . Pravdaže, v prvom prípade , v druhom prípade . Preto riešte iracionálne rovnice pomocou nasledujúceho výroku: ak je funkcia striktne rastúca na množine X a pre ľubovoľné , potom sú rovnice atď. na množine ekvivalentné X .

Vyriešte iracionálnu rovnicu: https://pandia.ru/text/78/021/images/image145_1.gif" width="103" height="25"> na pľaci sa prísne zvyšuje R, a https://pandia.ru/text/78/021/images/image153_1.gif" width="45" height="24 src=">..gif" width="104" height="24 src="> ktorý má jeden koreň Preto má aj ekvivalentná rovnica (1) jeden koreň

odpoveď: x = 3.

PRÍKLAD 18:

Vyriešte iracionálnu rovnicu: (1)

Na základe definície druhej odmocniny dostaneme, že ak rovnica (1) má korene, potom patria do množiny https://pandia.ru/text/78/021/images/image159_0.gif" width="163" height="47">. (2)

Uvažujme, že funkcia https://pandia.ru/text/78/021/images/image147_1.gif" width="35" height="21"> sa v tejto množine striktne zvyšuje pre každú ..gif" width="100" height="41">, ktorá má jeden koreň. Preto a ekvivalentná v množine X rovnica (1) má jeden koreň

odpoveď: https://pandia.ru/text/78/021/images/image165_0.gif" width="145" height="27 src=">

Riešenie: Táto rovnica je ekvivalentná zmiešanému systému

Prvá časť materiálu tohto článku tvorí myšlienku iracionálnych rovníc. Po jeho preštudovaní ľahko rozoznáte iracionálne rovnice od rovníc iných typov. V druhej časti sú podrobne rozobraté hlavné metódy riešenia iracionálnych rovníc, sú uvedené podrobné riešenia pre obrovské množstvo typických príkladov. Ak ovládate tieto informácie, takmer určite si poradíte s takmer každou iracionálnou rovnicou zo školského kurzu matematiky. Veľa šťastia pri získavaní vedomostí!

Čo sú to iracionálne rovnice?

Najprv si ujasnime, čo sú iracionálne rovnice. K tomu nájdeme príslušné definície v učebniciach odporúčaných Ministerstvom školstva a vedy Ruskej federácie.

Podrobný rozhovor o iracionálnych rovniciach a ich riešení sa vedie na hodinách algebry a analýza sa začala na strednej škole. Niektorí autori však zaviedli rovnice tohto druhu už skôr. Napríklad tí, ktorí študujú podľa učebníc Mordkoviča A. G., sa o iracionálnych rovniciach učia už v 8. ročníku: učebnica uvádza, že

Existujú aj príklady iracionálnych rovníc, , , a tak ďalej. Je zrejmé, že v každej z vyššie uvedených rovníc odmocnina obsahuje premennú x, čo znamená, že podľa vyššie uvedenej definície sú tieto rovnice iracionálne. Tu je okamžite analyzovaná jedna z hlavných metód ich riešenia -. O metódach riešenia si však povieme trochu nižšie, zatiaľ si dáme definície iracionálnych rovníc z iných učebníc.

V učebniciach Kolmogorov A. N. a Kolyagin Yu. M.

Definícia

iracionálny sa nazývajú rovnice, v ktorých je premenná obsiahnutá pod znamienkom odmocniny.

Všimnime si zásadný rozdiel medzi touto definíciou a predchádzajúcou: hovorí jednoducho odmocnina, nie odmocnina, teda nie je určený stupeň odmocniny, pod ktorým sa premenná nachádza. To znamená, že koreň môže byť nielen štvorcový, ale aj tretí, štvrtý atď. stupňa. Posledná definícia teda definuje širší súbor rovníc.

Vynára sa prirodzená otázka, prečo na strednej škole začíname používať túto širšiu definíciu iracionálnych rovníc? Všetko je vysvetliteľné a jednoduché: keď sa v 8. ročníku zoznámime s iracionálnymi rovnicami, dobre poznáme iba druhú odmocninu, akékoľvek odmocniny, odmocniny štvrtého a ďalšie. vysoké stupne ešte nevieme. A na strednej škole sa pojem odmocnina zovšeobecňuje, učíme sa a keď hovoríme o iracionálnych rovniciach, už sa neobmedzujeme na odmocninu, ale máme na mysli odmocninu ľubovoľného stupňa.

Pre názornosť predvedieme niekoľko príkladov iracionálnych rovníc. - tu sa premenná x nachádza pod znamienkom kocky, takže táto rovnica je iracionálna. Ďalší príklad: - tu je premenná x pod znamienkom odmocniny aj odmocniny štvrtého stupňa, to znamená, že je to tiež iracionálna rovnica. Tu je niekoľko ďalších príkladov iracionálnych rovníc komplexný typ: A .

Vyššie uvedené definície nám umožňujú poznamenať, že v zázname akejkoľvek iracionálnej rovnice sú znaky koreňov. Je tiež jasné, že ak neexistujú žiadne známky koreňov, potom rovnica nie je iracionálna. Nie všetky rovnice obsahujúce koreňové znaky sú však iracionálne. Skutočne, v iracionálnej rovnici musí byť pod koreňovým znakom premenná, ak pod koreňovým znakom nie je žiadna premenná, potom rovnica nie je iracionálna. Ako ilustráciu uvádzame príklady rovníc, ktoré obsahujú korene, ale nie sú iracionálne. Rovnice A nie sú iracionálne, keďže neobsahujú premenné pod koreňom - ​​pod koreňmi sú čísla a pod koreňmi nie sú žiadne premenné, preto tieto rovnice nie sú iracionálne.

Za zmienku stojí množstvo premenných, ktoré sa môžu podieľať na písaní iracionálnych rovníc. Všetky vyššie uvedené iracionálne rovnice obsahujú jednu premennú x, to znamená, že sú to rovnice s jednou premennou. Nič nám však nebráni uvažovať o iracionálnych rovniciach s dvojkou, trojkou atď. premenných. Uveďme príklad iracionálnej rovnice s dvoma premennými a s tromi premennými.

Všimnite si, že v škole musíte väčšinou pracovať s iracionálnymi rovnicami s jednou premennou. Iracionálne rovnice s niekoľkými premennými sú oveľa menej bežné. Možno ich nájsť v zložení, ako napríklad v úlohe „riešte sústavu rovníc ” alebo povedzme pri algebraickom popise geometrických objektov, takže rovnici zodpovedá polkruh so stredom v počiatku, polomer 3 jednotky, ležiaci v hornej polrovine.

Niektoré zbierky úloh na prípravu na skúšku v časti „iracionálne rovnice“ obsahujú úlohy, v ktorých je premenná nielen pod znamienkom odmocniny, ale aj pod znamienkom inej funkcie, napríklad modulu, logaritmu atď. Tu je príklad , prevzaté z knihy a tu - zo zbierky. V prvom príklade je premenná x pod znamienkom logaritmu a logaritmus je tiež pod znamienkom koreňa, to znamená, že máme, takpovediac, iracionálnu logaritmickú (alebo logaritmickú iracionálnu) rovnicu. V druhom príklade je premenná pod znakom modulu a modul je tiež pod znakom koreňa, s vaším dovolením, nazvime to iracionálna rovnica s modulom.

Považujú sa rovnice tohto druhu za iracionálne? Otázka je dobrá. Zdá sa, že pod koreňovým znakom je premenná, ale mätie, že nie je vo svojej „čistej forme“, ale pod znakom inej alebo viacerých funkcií. Inými slovami, zdá sa, že neexistuje žiadny rozpor s tým, ako sme definovali iracionálne rovnice vyššie, ale existuje určitý stupeň neistoty v dôsledku prítomnosti iných funkcií. Z nášho pohľadu by sme nemali byť fanatickí v „nazývaní vecí pravými menami“. V praxi stačí jednoducho povedať „rovnicu“ bez špecifikácie, o aký druh ide. A všetky tieto dodatky sú „iracionálne“, „logaritmické“ atď. slúžia z väčšej časti na uľahčenie prezentácie a zoskupovania materiálu.

Vo svetle informácií v poslednom odseku je zaujímavá definícia iracionálnych rovníc uvedená v učebnici Mordkovich A. G. pre ročník 11

Definícia

iracionálny sa nazývajú rovnice, v ktorých je premenná obsiahnutá pod znamienkom radikálu alebo pod znamienkom zvyšovania na zlomkovú mocninu.

Tu sa okrem rovníc s premennou pod znamienkom odmocniny považujú za iracionálne aj rovnice s premennými pod znamienkom zvyšovania na zlomkovú mocninu. Napríklad podľa tejto definície rovnica považovaný za iracionálny. Prečo zrazu? Už sme zvyknutí na korene v iracionálnych rovniciach, ale tu to nie je koreň, ale stupeň, a chcete túto rovnicu nazvať viac, napríklad mocninným zákonom, a nie iracionálnym? Všetko je jednoduché: je to definované cez korene a na premennú x pre danú rovnicu (za predpokladu x 2 +2 x≥0 ) sa dá prepísať pomocou koreňa ako , a posledná rovnosť je nám známa iracionálna rovnica s premennou pod koreňovým znakom. A metódy riešenia rovníc s premennými v základe zlomkových mocnín sú úplne rovnaké ako metódy riešenia iracionálnych rovníc (budú rozoberané v ďalšom odseku). Preto je vhodné nazvať ich iracionálnymi a zvažovať ich v tomto svetle. Ale buďme k sebe úprimní: na začiatku máme rovnicu , ale nie a jazyk nie je veľmi ochotný nazvať pôvodnú rovnicu iracionálnou kvôli chýbajúcemu koreňu v zápise. Rovnaký trik vám umožňuje vyhnúť sa takým kontroverzným bodom týkajúcim sa terminológie: nazvať rovnicu jednoducho rovnicou bez akýchkoľvek špecifických špecifikácií.

Najjednoduchšie iracionálne rovnice

Za zmienku stojí tzv najjednoduchšie iracionálne rovnice. Povedzme hneď, že tento termín sa nevyskytuje v hlavných učebniciach algebry a na začiatku analýzy, ale niekedy sa nachádza v problémových knihách a príručkách, ako napríklad v. Nemalo by sa to považovať za všeobecne akceptované, ale nezaškodí vedieť, čo sa zvyčajne chápe pod najjednoduchšími iracionálnymi rovnicami. Toto je zvyčajne názov pre iracionálne rovnice formulára , kde f(x) a g(x) sú nejaké . V tomto svetle možno najjednoduchšiu iracionálnu rovnicu nazvať napríklad rovnicou resp .

Ako možno vysvetliť vzhľad takého názvu „najjednoduchšie iracionálne rovnice“? Napríklad to, že riešenie iracionálnych rovníc si často vyžaduje ich prvotnú redukciu do tvaru A ďalšia aplikácia akékoľvek štandardné riešenie. Tu sa iracionálne rovnice v tejto forme nazývajú najjednoduchšie.

Základné metódy riešenia iracionálnych rovníc

Podľa definície koreňa

Jedna z metód riešenia iracionálnych rovníc je založená na. S jeho pomocou sa zvyčajne riešia iracionálne rovnice najjednoduchšieho tvaru , kde f(x) a g(x) sú nejaké racionálne prejavy(definíciu najjednoduchších iracionálnych rovníc sme uviedli v). Iracionálne rovnice tvaru , ale v ktorých f(x) a/alebo g(x) sú neracionálne výrazy. V mnohých prípadoch je však vhodnejšie riešiť takéto rovnice inými metódami, o ktorých budeme diskutovať v nasledujúcich odsekoch.

Pre pohodlie prezentácie materiálu oddeľujeme iracionálne rovnice párnymi koreňovými exponentmi, teda rovnicami , 2 k=2, 4, 6, … , z rovníc s nepárnymi koreňovými exponentmi , 2 k+1=3, 5, 7, … Okamžite vyslovíme prístupy k ich riešeniu:

Vyššie uvedené prístupy priamo vyplývajú z A .

takže, metóda riešenia iracionálnych rovníc podľa definície koreňa je nasledujúca:

Podľa definície koreňa je najpohodlnejšie riešiť najjednoduchšie iracionálne rovnice s číslami na pravej strane, teda rovnice tvaru , kde C je nejaké číslo. Keď je na pravej strane rovnice číslo, potom aj s párnym koreňovým exponentom nemusíte ísť do systému: ak je C nezáporné číslo, potom podľa definície koreň párneho stupňa a ak je C záporné číslo, môžete okamžite dospieť k záveru, že neexistujú žiadne korene rovnice, pretože podľa definície koreň párneho stupňa je nezáporné číslo pre číselnú premennú, potom sa rovnica kvality nepremení na žiadne reálne číslo.

Prejdime k typickým príkladom.

Prejdeme od jednoduchého k zložitému. Začnime riešením najjednoduchšej iracionálnej rovnice, na ľavej strane ktorej je koreň párneho stupňa, a na pravej strane - kladné číslo, teda z riešenia rovnice v tvare , kde C je kladné číslo. Definícia koreňa umožňuje prejsť od riešenia danej iracionálnej rovnice k riešeniu jednoduchšej rovnice bez koreňov C 2·k =f(x) .

Podobne podľa definície koreňa sa riešia najjednoduchšie iracionálne rovnice s nulou na pravej strane.

Zastavme sa oddelene pri iracionálnych rovniciach, na ľavej strane ktorých je koreň párneho stupňa s premennou pod znamienkom a na pravej strane záporné číslo. Takéto rovnice nemajú riešenia na množine reálnych čísel (o zložitých koreňoch budeme hovoriť po oboznámení sa s komplexné čísla ). To je celkom zrejmé: koreň párneho stupňa je podľa definície nezáporné číslo, čo znamená, že sa nemôže rovnať zápornému číslu.

Ľavé strany iracionálnych rovníc z predchádzajúcich príkladov boli odmocniny párnych mocnín a pravé strany boli čísla. Teraz zvážte príklady s premennými na pravej strane, to znamená, že budeme riešiť iracionálne rovnice tvaru . Na ich vyriešenie sa určením koreňa vykoná prechod do systému , ktorá má rovnakú množinu riešení ako pôvodná rovnica.

Treba mať na pamäti, že systém , na riešenie ktorého je riešenie pôvodnej iracionálnej rovnice , je žiaduce riešiť nie mechanicky, ale pokiaľ možno racionálne. Je jasné, že toto je skôr otázka z témy “ systémové riešenie“, no napriek tomu uvádzame tri často sa vyskytujúce situácie s príkladmi, ktoré ich ilustrujú:

1. Napríklad, ak jej prvá rovnica g 2 k (x)=f(x) nemá riešenia, potom nemá zmysel riešiť aj nerovnosť g(x)≥0, pretože už z absencie riešení rovnice môžeme usúdiť, že systém nemá žiadne riešenia.

1. Podobne, ak nerovnosť g(x)≥0 nemá riešenia, potom nie je potrebné riešiť rovnicu g 2·k (x)=f(x) , pretože aj bez nej je jasné, že v tomto prípade systém nemá riešenia.

1. Pomerne často sa nerovnosť g(x)≥0 vôbec nerieši, ale iba kontroluje, ktorý z koreňov rovnice g 2·k (x)=f(x) ju spĺňa. Množina všetkých tých, ktoré vyhovujú nerovnici, je riešením systému, čo znamená, že je aj riešením jemu ekvivalentnej pôvodnej iracionálnej rovnice.

Dosť o rovniciach s párnymi koreňovými exponentmi. Je čas venovať pozornosť iracionálnym rovniciam s koreňmi nepárnych mocnín tvaru . Ako sme už povedali, na ich vyriešenie prejdeme k ekvivalentnej rovnici , ktorý sa rieši akýmikoľvek dostupnými metódami.

Na konci tohto odseku uvádzame overenie rozhodnutia. Metóda riešenia iracionálnych rovníc určením koreňa zaručuje ekvivalenciu prechodov. To znamená, že nie je potrebné kontrolovať nájdené riešenia. Tento moment možno pripísať výhodám túto metódu riešenie iracionálnych rovníc, pretože vo väčšine ostatných metód je overenie povinným krokom pri riešení, čo vám umožňuje odrezať cudzie korene. Zároveň však treba pripomenúť, že kontrola dosadením nájdených riešení do pôvodnej rovnice nie je nikdy zbytočná: zrazu sa tam vkradla chyba vo výpočte.

Poznamenávame tiež, že problematika kontroly a filtrovania cudzích koreňov je pri riešení iracionálnych rovníc veľmi dôležitá, preto sa k nej vrátime v niektorom z ďalších odsekov tohto článku.

Zvýšenie oboch strán rovnice na rovnakú moc

Ďalšia prezentácia znamená, že čitateľ má predstavu o ekvivalentných rovniciach a rovniciach-dôsledkoch.

Metóda zvýšenia oboch strán rovnice na rovnakú mocninu je založená na nasledujúcom tvrdení:

Vyhlásenie

zvýšenie oboch strán rovnice na rovnakú párnu prirodzenú mocninu dáva dôsledok rovnice a zvýšenie oboch strán rovnice na rovnakú nepárnu prirodzenú mocninu dáva ekvivalentnú rovnicu.

Dôkaz

Dokážme to pre rovnice s jednou premennou. Pre rovnice s viacerými premennými sú princípy dôkazu rovnaké.

Nech A(x)=B(x) je pôvodná rovnica a x 0 je jej koreň. Pretože x 0 je koreň tejto rovnice, potom A(x 0)=B(x 0) - skutočná číselná rovnosť. Poznáme túto vlastnosť číselnej rovnosti: násobenie skutočných číselných rovníc po členoch dáva správnu číselnú rovnosť. Člen vynásobíme členom 2 k, kde k je prirodzené číslo, správnych číselných rovníc A(x 0)=B(x 0) , dostaneme správnu číselnú rovnosť A 2 k (x 0)=B 2 k (x 0) . A výsledná rovnosť znamená, že x 0 je koreň rovnice A 2 k (x)=B 2 k (x) , ktorý sa získa z pôvodnej rovnice zvýšením oboch jej častí na rovnakú párnu prirodzenú mocninu 2 k .

Na zdôvodnenie možnosti existencie koreňa rovnice A 2·k (x)=B 2·k (x) , ktorý nie je koreňom pôvodnej rovnice A(x)=B(x) , stačí uviesť príklad. Zvážte iracionálnu rovnicu a rovnica , ktorý sa z originálu získa kvadratúrou oboch jeho častí. Je ľahké skontrolovať, že nula je koreňom rovnice , naozaj, , čo je rovnaké 4=4 - správna rovnosť. Ale zároveň je nula cudzí koreň rovnice , keďže po dosadení nuly dostaneme rovnosť , čo je rovnaké ako 2=−2 , čo je nesprávne. To dokazuje, že rovnica získaná z originálu zvýšením oboch jej častí na rovnakú párnu mocninu môže mať korene, ktoré sú pre pôvodnú rovnicu cudzie.

Je teda dokázané, že zvýšenie oboch častí rovnice na rovnakú prirodzenú mocninu vedie k výsledku rovnice.

Zostáva dokázať, že zvýšenie oboch strán rovnice na rovnakú nepárnu prirodzenú moc dáva ekvivalentnú rovnicu.

Ukážme, že každý koreň rovnice je koreňom rovnice získanej z originálu zvýšením oboch jej častí na nepárnu mocninu a naopak, že každý koreň rovnice získaný z originálu zvýšením oboch jej častí na nepárnu mocninu je koreňom pôvodnej rovnice.

Majme rovnicu A(x)=B(x) . Nech x 0 je jeho koreň. Potom platí číselná rovnosť A(x 0)=B(x 0). Študovaním vlastností skutočných číselných rovníc sme sa naučili, že skutočné číselné rovnosti možno násobiť výrazom. Vynásobením člena členom 2 k+1, kde k je prirodzené číslo, zo správnych číselných rovníc A(x 0)=B(x 0) dostaneme správnu číselnú rovnosť A 2 k+1 (x 0)=B 2 k+1 (x 0) , čo znamená, že x 0 je koreň rovnice A 2 k+2 k+1 = (x) = Teraz späť. Nech x 0 je koreň rovnice A 2 k+1 (x)=B 2 k+1 (x) . To znamená, že číselná rovnosť A 2 k+1 (x 0)=B 2 k+1 (x 0) je správna. Na základe existencie koreňa nepárneho stupňa z akéhokoľvek reálneho čísla a jeho jedinečnosti bude platiť aj rovnosť. To zase kvôli identite , kde a je akékoľvek reálne číslo, ktoré vyplýva z vlastností odmocnín a mocnín, môžeme prepísať ako A(x 0)=B(x 0) . A to znamená, že x 0 je koreň rovnice A(x)=B(x) .

Je teda dokázané, že zvýšenie oboch častí iracionálnej rovnice na nepárnu mocninu dáva ekvivalentnú rovnicu.

Osvedčené tvrdenie dopĺňa nám známy arzenál, ktorý sa používa na riešenie rovníc, ešte jednou transformáciou rovníc - zvýšením oboch častí rovnice na rovnakú prirodzenú silu. Zvýšenie oboch častí rovnice na rovnakú nepárnu mocninu je transformácia vedúca k rovnici dôsledkov a zvýšenie na párnu mocninu je ekvivalentná transformácia. Na tejto transformácii je založená metóda zvýšenia oboch strán rovnice na rovnakú mocninu.

Zvýšenie oboch častí rovnice na rovnakú prirodzenú silu sa používa hlavne na riešenie iracionálnych rovníc, pretože v určitých prípadoch vám táto transformácia umožňuje zbaviť sa znakov koreňov. Napríklad zvýšenie oboch strán rovnice na mocninu n dáva rovnicu , ktorú možno neskôr pretransformovať na rovnicu f(x)=g n (x) , ktorá už na ľavej strane neobsahuje koreň. Tento príklad ilustruje podstata metódy zvýšenia oboch strán rovnice na rovnakú mocninu: pomocou vhodnej transformácie získajte jednoduchšiu rovnicu, ktorá nemá vo svojom zápise radikály, a jej riešením získajte riešenie pôvodnej iracionálnej rovnice.

Teraz môžeme pristúpiť priamo k popisu metódy zvýšenia oboch častí rovnice na rovnakú prirodzenú moc. Začnime s algoritmom na riešenie najjednoduchších iracionálnych rovníc s párnymi koreňovými exponentmi, teda rovníc tvaru , kde k je prirodzené číslo, f(x) a g(x) sú racionálne výrazy. Algoritmus na riešenie najjednoduchších iracionálnych rovníc s nepárnymi koreňovými exponentmi, teda rovníc tvaru , dáme trochu neskôr. Potom pôjdeme ešte ďalej: metódu umocnenia oboch strán rovnice na rovnakú mocninu rozšírime na zložitejšie iracionálne rovnice obsahujúce korene pod koreňovými znakmi, niekoľko koreňových znakov atď.

zvýšením oboch strán rovnice na rovnakú párnu mocninu:

Z vyššie uvedených informácií je zrejmé, že po prvom kroku algoritmu prídeme k rovnici, ktorej korene obsahujú všetky korene pôvodnej rovnice, ale ktorá môže mať aj korene, ktoré sú pre pôvodnú rovnicu cudzie. Preto algoritmus obsahuje klauzulu o preosievaní cudzích koreňov.

Analyzujme aplikáciu vyššie uvedeného algoritmu na riešenie iracionálnych rovníc pomocou príkladov.

Začnime riešením jednoduchej a pomerne typickej iracionálnej rovnice, ktorej umocnenie oboch strán vedie ku kvadratickej rovnici, ktorá nemá korene.

Tu je príklad, v ktorom sa všetky korene rovnice získané z pôvodnej iracionálnej rovnice kvadratúrou oboch jej strán ukážu ako cudzie voči pôvodnej rovnici. Záver: nemá korene.

Ďalší príklad je trochu komplikovanejší. Jej riešenie na rozdiel od dvoch predchádzajúcich vyžaduje kvadratúru oboch častí už nie na druhú mocninu, ale na šiestu mocninu, a to už nepovedie k lineárnej alebo kvadratickej rovnici, ale ku kubickej rovnici. Tu nám kontrola ukáže, že všetky tri jej korene budú koreňmi iracionálnej rovnice uvedenej na začiatku.

A tu ideme ešte ďalej. Aby ste sa zbavili koreňa, budete musieť zvýšiť obe strany iracionálnej rovnice na štvrtý stupeň, čo zase povedie k rovnici štvrtého stupňa. Overenie ukáže, že iba jeden zo štyroch potenciálnych koreňov bude požadovaným koreňom iracionálnej rovnice a zvyšok bude cudzí.

Posledné tri príklady sú ilustráciou nasledujúceho tvrdenia: ak sa obe časti iracionálnej rovnice zvýšia na rovnakú párnu mocninu, získa sa rovnica s koreňmi, potom ich následné overenie môže ukázať, že

• alebo sú to všetky cudzie korene pôvodnej rovnice a tá nemá žiadne korene,
• alebo medzi nimi nie sú vôbec žiadne cudzie korene a všetky sú koreňmi pôvodnej rovnice,
• alebo outsideri sú len niektorí z nich.

Je čas prejsť k riešeniu najjednoduchších iracionálnych rovníc s nepárnym koreňovým exponentom, teda rovníc tvaru . Napíšeme zodpovedajúci algoritmus.

Algoritmus riešenia iracionálnych rovníc zvýšením oboch strán rovnice na rovnakú nepárnu mocninu:

• Obe časti iracionálnej rovnice sú umocnené na rovnakú nepárnu mocninu 2·k+1 .
• Výsledná rovnica je vyriešená. Jeho riešením je riešenie pôvodnej rovnice.

Upozornenie: vyššie uvedený algoritmus, na rozdiel od algoritmu na riešenie najjednoduchších iracionálnych rovníc s exponentom párneho koreňa, neobsahuje klauzulu o odstránení cudzích koreňov. Vyššie sme ukázali, že zvýšenie oboch častí rovnice na nepárnu mocninu je ekvivalentné transformácii rovnice, čo znamená, že takáto transformácia nevedie k objaveniu sa cudzích koreňov, takže ich nie je potrebné filtrovať.

Riešenie iracionálnych rovníc zvýšením oboch častí na rovnakú nepárnu silu sa teda môže uskutočniť bez preosievania cudzincov. Zároveň nezabudnite, že pri zvýšení na rovnomerný výkon je potrebná kontrola.

Znalosť tejto skutočnosti umožňuje, legálne, nevylučovať cudzie korene pri riešení iracionálnej rovnice . Najmä v tomto prípade je kontrola spojená s „nepríjemnými“ výpočtami. Aj tak tam nebudú žiadne cudzie korene, pretože sa zvýši na nepárnu mocninu, konkrétne na kocku, čo je ekvivalentná transformácia. Je jasné, že kontrolu je možné vykonať, ale skôr pre sebakontrolu, aby sa dodatočne overila správnosť nájdeného riešenia.

Zhrňme si priebežné výsledky. V tomto odseku sme po prvé doplnili arzenál riešenia rôznych nám už známych rovníc ďalšou transformáciou, ktorá spočíva v zvýšení oboch častí rovnice na rovnakú moc. Keď sa zvýši na rovnomernú moc, táto transformácia nemusí byť ekvivalentná a pri jej použití je potrebné skontrolovať, či sa odfiltrujú cudzie korene. Keď sa zvýši na nepárnu mocninu, špecifikovaná transformácia je ekvivalentná a nie je potrebné filtrovať cudzie korene. A po druhé, naučili sme sa, ako použiť túto transformáciu na riešenie najjednoduchších iracionálnych rovníc tvaru , kde n je koreňový exponent, f(x) a g(x) sú racionálne výrazy.

Teraz je čas pozrieť sa na zvýšenie oboch strán rovnice na rovnakú mocnosť zo všeobecného hľadiska. To nám umožní rozšíriť metódu na nej založenú na riešenie iracionálnych rovníc z najjednoduchších iracionálnych rovníc na iracionálne rovnice zložitejšieho tvaru. Poďme na to.

V skutočnosti pri riešení rovníc zvýšením oboch strán rovnice na rovnakú mocninu sa používa nám už známy všeobecný prístup: pôvodná rovnica sa niekoľkými transformáciami transformuje na jednoduchšiu rovnicu, transformuje sa na ešte jednoduchšiu atď., až po rovnicu, ktorú sme schopní vyriešiť. Je jasné, že ak sa v reťazci takýchto transformácií uchýlime k umocneniu oboch častí rovnice na rovnakú mocninu, potom môžeme povedať, že konáme podľa rovnakého spôsobu umocnenia oboch častí rovnice na rovnakú mocninu. Zostáva len zistiť, aké transformácie a v akom poradí by sa mali vykonať na vyriešenie iracionálnych rovníc zvýšením oboch častí rovnice na rovnakú úroveň.

Tu je všeobecný prístup k riešeniu iracionálnych rovníc zvýšením oboch strán rovnice na rovnakú mocninu:

• Po prvé, musíme prejsť od pôvodnej iracionálnej rovnice k viac jednoduchá rovnica, čo sa zvyčajne dosahuje cyklickým vykonávaním nasledujúcich troch akcií:
  • Izolácia radikálu (alebo podobné techniky, napríklad izolácia produktu radikálov, izolácia zlomku, ktorého čitateľ a/alebo menovateľ je koreň, čo umožňuje zbaviť sa koreňa, keď sa obe strany rovnice následne umocnia).
  • Zjednodušenie typu rovnice.
• Po druhé, musíte vyriešiť výslednú rovnicu.
• Nakoniec, ak sa v procese riešenia vyskytli prechody na dôsledkové rovnice (najmä ak boli obe časti rovnice umocnené na párnu mocninu), musia sa eliminovať cudzie korene.

Uveďme nadobudnuté poznatky do praxe.

Vyriešme príklad, v ktorom izolácia radikálu redukuje iracionálnu rovnicu na najjednoduchšiu formu, po ktorej zostáva vykonať kvadratúru oboch častí, vyriešiť výslednú rovnicu a odstrániť cudzie korene pomocou kontroly.

Nasledujúca iracionálna rovnica môže byť vyriešená izoláciou zlomku s radikálom v menovateli, ktorý môže byť eliminovaný umocnením oboch strán rovnice. A potom je všetko jednoduché: výsledná zlomkovo-racionálna rovnica sa vyrieši a vykoná sa kontrola, aby sa do odpovede nedostali cudzie korene.

Celkom charakteristické sú iracionálne rovnice, v zázname ktorých sú dva korene. Zvyčajne sa úspešne vyriešia zvýšením oboch strán rovnice na rovnakú mocninu. Ak majú korene rovnaký stupeň a okrem nich neexistujú žiadne iné výrazy, potom na zbavenie sa radikálov stačí radikál izolovať a raz vykonať umocnenie, ako v nasledujúcom príklade.

A tu je príklad, v ktorom sú tiež dva korene, okrem nich neexistujú žiadne výrazy, ale stupne koreňov sú rôzne. V tomto prípade, po izolácii radikálu, je vhodné zvýšiť obe strany rovnice na mocnosť, ktorá uvoľní oba radikály naraz. Takýmto stupňom sú napríklad ukazovatele koreňov. V našom prípade sú stupne koreňov 2 a 3 , LCM(2, 3)=6 , preto obe časti umocníme na šiestu mocninu. Všimnite si, že môžeme konať aj štandardným spôsobom, ale v tomto prípade sa budeme musieť uchýliť k zvýšeniu výkonu oboch častí dvakrát: najprv na druhú, potom na tretiu. Ukážeme si obe riešenia.

Vo viac ťažké prípady, pri riešení iracionálnych rovníc zvýšením oboch častí rovnice na rovnakú mocninu sa musíte uchýliť k umocneniu dvakrát, menej často - trikrát, ešte menej často - viac raz. Prvá iracionálna rovnica ilustrujúca to, čo bolo povedané, obsahuje dva radikály a jeden ďalší výraz.

Riešenie nasledujúcej iracionálnej rovnice tiež vyžaduje dve po sebe nasledujúce umocnenia. Ak nezabudneme izolovať radikály, tak na zbavenie sa troch radikálov prítomných v jeho zápise stačia dve umocnenia.

Metóda zvýšenia oboch častí iracionálnej rovnice na rovnakú moc vám umožňuje vyrovnať sa s iracionálnymi rovnicami, v ktorých je pod koreňom ďalší koreň. Tu je riešenie typického príkladu.

Nakoniec, skôr ako pristúpime k analýze nasledujúcich metód riešenia iracionálnych rovníc, je potrebné poznamenať, že zvýšenie oboch častí iracionálnej rovnice na rovnakú mocninu môže v dôsledku ďalších transformácií poskytnúť rovnicu, ktorá má nekonečný počet riešení. Rovnica, ktorá má nekonečne veľa koreňov, sa získa napríklad ako výsledok kvadratúry oboch strán iracionálnej rovnice a následné zjednodušenie tvaru výslednej rovnice. Zároveň z pochopiteľných dôvodov nemôžeme vykonať kontrolu zámeny. V takýchto prípadoch sa treba buď uchýliť k iným metódam overovania, o ktorých budeme hovoriť, alebo opustiť metódu zvýšenia oboch častí rovnice na rovnakú moc v prospech inej metódy riešenia, napríklad v prospech metódy, ktorá predpokladá .

Uvažovali sme o riešeniach najcharakteristickejších iracionálnych rovníc zvýšením oboch strán rovnice na rovnakú mocninu. Študovaný všeobecný prístup umožňuje vyrovnať sa aj s inými iracionálnymi rovnicami, ak je pre ne tento spôsob riešenia vôbec vhodný.

Riešenie iracionálnych rovníc zavedením novej premennej

Existovať všeobecné metódy riešenia rovníc. Umožňujú vám riešiť rovnice odlišné typy. Na riešenie iracionálnych rovníc sa používajú najmä všeobecné metódy. V tomto odseku sa budeme zaoberať jednou z bežných metód − metóda na zavedenie novej premennej, respektíve jeho využitie pri riešení presne iracionálnych rovníc. Podstata a podrobnosti samotnej metódy sú uvedené v článku, na ktorý je odkaz uvedený v predchádzajúcej vete. Tu sa zameriame na praktickú časť, to znamená, že budeme analyzovať riešenia typických iracionálnych rovníc zavedením novej premennej.

Nasledujúce časti tohto článku sú venované riešeniu iracionálnych rovníc inými všeobecnými metódami.

Najprv uvádzame algoritmus na riešenie rovníc zavedením novej premennej. Hneď po ňom poskytneme potrebné vysvetlenia. Takže algoritmus:

Teraz sľúbené vysvetlenie.

Druhý, tretí a štvrtý krok algoritmu sú čisto technické a často nie sú zložité. A hlavným záujmom je prvý krok – zavedenie novej premennej. Ide o to, že často nie je ani zďaleka zrejmé, ako zaviesť novú premennú, a v mnohých prípadoch je potrebné urobiť nejaké transformácie rovnice, aby sa ukázal vhodný výraz na nahradenie t g(x) . Inými slovami, zavedenie novej premennej je často kreatívny a zložitý proces. Ďalej sa pokúsime dotknúť najzákladnejších a najtypickejších príkladov, ktoré vysvetľujú, ako zaviesť novú premennú pri riešení iracionálnych rovníc.

Budeme dodržiavať nasledujúcu postupnosť prezentácie:

Začnime teda s najjednoduchšími prípadmi zavedenia novej premennej pri riešení iracionálnych rovníc.

Poďme vyriešiť iracionálnu rovnicu , ktorý sme už uviedli ako príklad o niečo vyššie. Je zrejmé, že v tomto prípade je možná výmena. Dovedie nás to k racionálnej rovnici, ktorá, ako sa ukazuje, má dva korene, ktoré keď obrátia, dajú množinu dvoch jednoduchých iracionálnych rovníc, ktorých riešenie nie je ťažké. Pre porovnanie ukážeme alternatívny spôsob riešenia vykonaním transformácií, ktoré povedú k najjednoduchšej iracionálnej rovnici.

V nasledujúcej iracionálnej rovnici je zrejmá aj možnosť zavedenia novej premennej. Je ale pozoruhodný tým, že pri jeho riešení sa nemusíme vracať k pôvodnej premennej. Faktom je, že získané po úvode premenná rovnica nemá žiadne riešenia, čo znamená, že pôvodná rovnica nemá žiadne riešenia.

iracionálna rovnica , rovnako ako predchádzajúci, je pohodlne vyriešený zavedením novej premennej. Navyše, rovnako ako predchádzajúci, nemá žiadne riešenia. Ale neprítomnosť koreňov je určená inými prostriedkami: tu rovnica získaná po zavedení premennej má riešenia a množina rovníc napísaná pri spätnej substitúcii nemá riešenia, preto ani pôvodná rovnica nemá riešenia. Poďme analyzovať riešenie tejto rovnice.

Doplňme sériu príkladov, v ktorých je zámena zjavná, o iracionálnu rovnicu, ktorá vyzerá komplikovane, obsahujúcu koreň pod koreňom v zápise. Zavedenie novej premennej často robí štruktúru rovnice zrozumiteľnejšou, čo platí najmä pre tento príklad. Pravdaže, ak prijmeme , potom sa pôvodná iracionálna rovnica transformuje na jednoduchšiu iracionálnu rovnicu , čo sa dá vyriešiť napríklad umocnením oboch strán rovnice. Riešenie prezentujeme zavedením novej premennej a pre porovnanie ukážeme riešenie pomocou druhej mocniny oboch strán rovnice.

Záznamy všetkých predchádzajúcich príkladov obsahovali niekoľko rovnakých výrazov, ktoré sme prevzali za novú premennú. Všetko bolo jednoduché a zrejmé: vidíme vhodné identické výrazy a namiesto nich zavedieme novú premennú, ktorá dáva jednoduchšiu rovnicu s novou premennou. Teraz sa posunieme trochu ďalej - prídeme na to, ako vyriešiť iracionálne rovnice, v ktorých výraz vhodný na nahradenie nie je taký zrejmý, ale je celkom ľahké ho explicitne vidieť a extrahovať pomocou jednoduchých transformácií.

Zvážte základné techniky, ktoré vám umožňujú explicitne vybrať výraz vhodný na zavedenie novej premennej. Prvý je tento. Ukážme si, čo bolo povedané.

Je zrejmé, že v iracionálnej rovnici na zavedenie novej premennej stačí vziať x 2 +x=t . Je možné do rovnice zaviesť aj novú premennú? ? Toto je možnosť, pretože je to zrejmé . Posledná rovnosť umožňuje vykonať ekvivalentnú transformáciu rovnice, ktorá spočíva v nahradení výrazu identicky rovnakým výrazom, ktorý nemení ODZ, čo umožňuje prejsť z pôvodnej rovnice na ekvivalentnú rovnicu. a už to vyriešiť. Ukážme úplné riešenie iracionálnej rovnice zavedením novej premennej.

Čo iné, okrem zátvorky spoločného činiteľa, umožňuje explicitne vyčleniť výraz vhodný na zavedenie novej premennej do iracionálnej rovnice? V určitých prípadoch sú to , a . Pozrime sa na typické príklady.

Ako by sme zaviedli novú premennú pri riešení iracionálnej rovnice ? Samozrejme by sme prijali. A keby úlohou bolo vyriešiť iracionálnu rovnicu , je možné zaviesť novú premennú ako ? Explicitne - nie je vidieť, ale takáto možnosť je viditeľná, keďže na ODZ premennej x pre túto rovnicu je vďaka definícii koreňa a vlastnostiam koreňov rovnosť pravdivá, čo nám umožňuje prejsť na ekvivalentnú rovnicu .

Urobme malé zovšeobecnenie na základe predchádzajúceho príkladu. V prípadoch, keď je exponent jedného koreňa násobkom exponentu druhého (k n a k), zvyčajne sa uchyľuje k rovnosti a zaviesť novú premennú ako . Tak sme konali a riešili rovnicu . O niečo ďalej si povieme, ako riešiť iracionálne rovnice s nerovnakými a nie viacnásobnými koreňovými exponentmi.

Stojí za to krátko sa zastaviť pri zavedení novej premennej v iracionálnych rovniciach, ktoré obsahujú koreň, ako aj radikálny výraz a / alebo jeho určitý stupeň. V týchto prípadoch je zrejmé, že koreň by sa mal brať ako nová premenná. Napríklad pri riešení rovnice prijali by sme , podľa definície koreňa by sme pôvodnú rovnicu transformovali do tvaru , a po zavedení novej premennej by sme dospeli ku kvadratickej rovnici 2·t 2 +3·t−2=0 .

V trochu komplikovanejších prípadoch môže byť potrebná ďalšia transformácia rovnice na extrahovanie výrazu, ktorý sa zhoduje s koreňom. Poďme si to vysvetliť. Ako by sme zaviedli novú premennú do rovnice ? Je zrejmé, že výraz x 2 +5 sa zhoduje s radikálnym výrazom, preto by sme podľa informácií z predchádzajúceho odseku na základe definície koreňa prešli na ekvivalentnú rovnicu a zaviesť novú premennú ako . A ako by sme zaviedli novú premennú, keby sme sa nezaoberali rovnicou a s rovnicou ? tiež áno. Len by sme najprv museli reprezentovať x 2 +1 ako x 2 +5−4, aby sme explicitne zvýraznili koreňový výraz x 2 +5 . To znamená, že by sme z iracionálnej rovnice prešiel do ekvivalentnej rovnice , potom do rovnice , po ktorom by sme jednoducho zaviedli novú premennú .

V takýchto prípadoch existuje iný univerzálnejší prístup k zavedeniu novej premennej: vezmite koreň ako novú premennú a na základe tejto rovnosti vyjadrite zvyšok starých premenných prostredníctvom novej. Pre rovnicu akceptovali by sme , z tejto rovnosti by sme x 2 vyjadrili v podmienkach t ako t 2 −5 (, x2+5=t2, x2=t2-5), odkiaľ x2+1=t2-4. To nám umožňuje prejsť na rovnicu s novou premennou t 2 −4+3 t=0 . Na rozvoj zručností budeme riešiť typickú iracionálnu rovnicu.

Zavedenie novej premennej v takýchto príkladoch môže viesť k tomu, že sa pod znakmi koreňov výrazov objavia dokonalé štvorce. Napríklad, ak prijmeme v iracionálnej rovnici, potom to povedie k rovnici, kde prvý radikálny výraz je druhá mocnina lineárneho binomu t−2 a druhý radikálový výraz je druhá mocnina lineárneho binomu t−3. A najlepšie je prejsť od takýchto rovníc k rovniciam s modulmi: , , . Je to spôsobené tým, že takéto rovnice môžu mať nekonečný počet koreňov, pričom ich riešenie kvadratúrou oboch strán rovnice neumožní substitučný test a riešenie určením koreňa povedie k potrebe riešenia iracionálnej nerovnice. Riešenie takéhoto príkladu si ukážeme nižšie v časti o prechode z iracionálnej rovnice na rovnicu s modulom .

Kedy je ešte celkom ľahké vidieť možnosť zavedenia novej premennej? Keď rovnica obsahuje "prevrátené" zlomky a (s vaším dovolením ich budeme nazývať vzájomne inverzné analogicky s). Ako by sme vyriešili racionálnu rovnicu s takýmito zlomkami? Jeden z týchto zlomkov by sme brali ako novú premennú t, zatiaľ čo druhý zlomok by sme vyjadrili pomocou novej premennej ako 1/t. V iracionálnych rovniciach nie je úplne praktické zavádzať novú premennú týmto spôsobom, pretože na ďalšie zbavenie sa koreňov bude pravdepodobne potrebné zaviesť ešte jednu premennú. Najlepšie prevzaté ako nové variabilný koreň zo zlomku. Potom transformujte pôvodnú rovnicu pomocou jednej z rovníc A , čo vám umožní prejsť na rovnicu s novou premennou. Zvážte príklad.

Nezabudnite na už známe možnosti výmeny. Napríklad pri písaní iracionálnej rovnice sa môžu objaviť výrazy x+1/x a x 2 +1/x 2, čo núti zamyslieť sa nad možnosťou zavedenia novej premennej x+1/x=t. Táto myšlienka nevzniká náhodou, pretože sme to už urobili, keď sme sa rozhodli návratové rovnice. Tento spôsob zavedenia novej premennej, ako aj iné nám už známe metódy, treba mať na pamäti pri riešení iracionálnych rovníc, ale aj rovníc iných typov.

Prejdeme k zložitejším iracionálnym rovniciam, v ktorých je ťažšie rozlíšiť výraz vhodný na zavedenie novej premennej. A začnime rovnicami, v ktorých sú radikálové výrazy rovnaké, ale na rozdiel od vyššie uvedeného prípadu väčší exponent jedného odmocnina nie je deliteľný menším exponentom druhého. Pozrime sa, ako v takýchto prípadoch vybrať správny výraz na zavedenie novej premennej.

Keď sú radikálové výrazy rovnaké a väčší exponent jedného koreňa k 1 nie je rovnomerne deliteľný menším exponentom druhého koreňa k 2, koreň stupňa LCM (k 1 , k 2) možno brať ako novú premennú, kde LCM je . Napríklad v iracionálnej rovnici sú exponenty koreňov 2 a 3 , tri nie sú násobkom dvoch, LCM(3, 2)=6 , takže novú premennú možno zaviesť ako . Ďalej, definícia koreňa, ako aj vlastnosti koreňov, vám umožňujú transformovať pôvodnú rovnicu, aby ste explicitne zvýraznili výraz a potom ho nahradili novou premennou. Ponúkame úplné a podrobné riešenie tejto rovnice.

Podľa podobných princípov sa nová premenná zavádza v prípadoch, keď sa výrazy pod koreňmi líšia v stupňoch. Napríklad, ak je v iracionálnej rovnici premenná obsiahnutá iba pod koreňmi a samotné korene vyzerajú ako a , potom by ste mali vypočítať najmenší spoločný násobok koreňových exponentov LCM(3, 4)=12 a vziať . V tomto prípade, podľa vlastností koreňov a stupňov, korene a mali by byť transformované ako A respektíve, čo umožní zavedenie novej premennej.

Podobným spôsobom sa dá konať v iracionálnych rovniciach, v ktorých sú vzájomne prevrátené zlomky a sú pod koreňmi s rôznymi exponentmi. To znamená, že ako novú premennú je vhodné zakoreniť s ukazovateľom rovným LCM koreňových ukazovateľov. Potom prejdite na rovnicu s novou premennou, ktorá vám umožňuje robiť rovnosti A , definícia koreňa a vlastnosti koreňov a mocniny. Zvážte príklad.

Teraz si povedzme o rovniciach, v ktorých možno len tušiť možnosť zavedenia novej premennej a ktoré sa v úspešnom scenári otvoria až po dosť vážnych transformáciách. Napríklad iracionálna rovnica až po sérii nie najzreteľnejších transformácií sa zredukuje na tvar , čo otvára cestu k náhrade . Pozrime sa na riešenie tohto príkladu.

Na záver pridajme trochu exotiky. Niekedy sa dá iracionálna rovnica vyriešiť zavedením viac ako jednej premennej. Tento prístup k riešeniu rovníc je navrhnutý v učebnici. Tam vyriešiť iracionálnu rovnicu navrhuje sa zaviesť dve premenné . Návod dáva krátke riešenie, obnovme aj detaily.

Riešenie iracionálnych rovníc pomocou faktoringu

Okrem metódy zavedenia novej premennej sa na riešenie iracionálnych rovníc používajú aj iné všeobecné metódy, najmä faktorizačná metóda. V článku na odkaze uvedenom v predchádzajúcej vete je podrobne rozobraté, kedy sa metóda faktorizácie používa, aká je jej podstata a na čom je založená. Tu nás viac zaujíma nie samotná metóda, ale jej využitie pri riešení iracionálnych rovníc. Preto uvádzame materiál nasledovne: stručne si pripomenieme hlavné ustanovenia metódy, po ktorej podrobne analyzujeme riešenia charakteristických iracionálnych rovníc faktorovaním.

Metóda faktorizácie sa používa na riešenie rovníc, v ktorých ľavých častiach je určitý súčin a v pravých sú nuly, teda na riešenie rovníc tvaru f 1 (x) f 2 (x) ... f n (x) = 0, kde f 1 , f 2 , …, f n sú niektoré funkcie. Podstatou metódy je nahradiť rovnicu f 1 (x) f 2 (x) ... f n (x) = 0 na premennej x pre pôvodnú rovnicu.

Prvá časť poslednej vety o prechode na zostavu vyplýva zo známeho ZÁKLADNÁ ŠKOLA skutočnosť: súčin viacerých čísel sa rovná nule práve vtedy, ak sa aspoň jedno z čísel rovná nule. Prítomnosť druhej časti o ODZ sa vysvetľuje tým, že prechod z rovnice f 1 (x) f 2 (x) ... f n (x) = 0 do sústavy rovníc f 1 (x) = 0, f 2 (x) = 0, …, f n (x) = 0 môžu byť nerovnaké a viesť k objaveniu sa cudzích koreňov, ktoré je možné v tomto prípade eliminovať zohľadnením ODZ. Treba poznamenať, že preosievanie cudzích koreňov, ak je to vhodné, je možné vykonať nielen prostredníctvom ODZ, ale aj inými spôsobmi, napríklad kontrolou nahradením nájdených koreňov do pôvodnej rovnice.

Takže vyriešiť rovnicu f 1 (x) f 2 (x) ... f n (x) = 0 faktorizačná metóda vrátane tej iracionálnej, ktorú potrebujete

• Prejdite na sadu rovníc f 1 (x) = 0, f 2 (x) = 0, …, f n (x) = 0,
• Vyriešte zostavu,
• Ak množina riešení nemá, potom urobte záver, že pôvodná rovnica nemá korene. Ak existujú korene, odstráňte cudzie korene.

Prejdime k praktickej časti.

Ľavé strany typických iracionálnych rovníc, ktoré sú riešené metódou faktorizácie, sú produktmi niekoľkých algebraických výrazov, zvyčajne lineárnych binomických a štvorcové trojčlenky a niekoľko koreňov s algebraickými výrazmi pod nimi. Nuly na pravej strane. Takéto rovnice sú ideálne na získanie počiatočných zručností pri ich riešení. Začneme riešením podobnej rovnice. Pritom sa pokúsime dosiahnuť dva ciele:

• pri riešení iracionálnej rovnice zvážte všetky kroky algoritmu faktorizačnej metódy,
• pripomenúť tri hlavné spôsoby preosievania cudzích koreňov (podľa ODZ, podľa podmienok ODZ a priamym dosadením riešení do pôvodnej rovnice).

Nasledujúca iracionálna rovnica je typická v tom zmysle, že keď je vyriešená faktorizačnou metódou, je vhodné vylúčiť cudzie korene podľa podmienok ODZ, a nie podľa ODZ vo forme číselnej množiny, pretože je ťažké získať ODZ vo forme číselného faktora. Ťažkosť spočíva v tom, že jednou z podmienok, ktoré určujú DHS, je iracionálna nerovnosť . Naznačený prístup preosievania cudzích koreňov umožňuje zaobísť sa bez riešenia, navyše sa niekedy v školskom kurze matematiky s riešením iracionálnych nerovností vôbec neoboznámia.

Je dobré, keď rovnica má súčin na ľavej strane a nulu na pravej strane. V takom prípade môžete okamžite prejsť na sadu rovníc, vyriešiť ju, nájsť a zahodiť korene, ktoré sú pre pôvodnú rovnicu cudzie, čo poskytne požadované riešenie. Ale častejšie majú rovnice inú formu. Ak je zároveň možné ich transformovať do formy vhodnej na aplikáciu faktorizačnej metódy, tak prečo neskúsiť vykonať príslušné transformácie. Napríklad, aby sme dostali produkt na ľavú stranu nasledujúcej iracionálnej rovnice, stačí sa uchýliť k rozdielu štvorcov.

Existuje ďalšia trieda rovníc, ktoré sa zvyčajne riešia metódou faktorizácie. Zahŕňa rovnice, ktorých obe časti sú súčinmi, ktoré majú rovnaký činiteľ vo forme výrazu s premennou. Taká je napríklad iracionálna rovnica . Môžete postupovať tak, že obe časti rovnice vydelíte rovnakým koeficientom, ale nesmiete zabudnúť na oddelenú kontrolu hodnôt, ktoré tieto výrazy vynulujú, inak môžete prísť o riešenia, pretože delenie oboch častí rovnice rovnakým výrazom môže byť neekvivalentná transformácia. Spoľahlivejšie je konať podľa faktorizačnej metódy, to umožňuje vyhnúť sa strate koreňov pri ďalšom správnom riešení. Je jasné, že na to musíte najprv dostať súčin na ľavú stranu rovnice a dostať nulu na pravú stranu. Je to jednoduché: stačí preniesť výraz z pravej strany na ľavú, zmeniť jeho znamienko a zo zátvoriek odstrániť spoločný činiteľ. Ukážme úplné riešenie podobnej, ale o niečo zložitejšej iracionálnej rovnice.

Riešenie akejkoľvek rovnice (ako aj riešenie mnohých iných úloh) je užitočné začať nájdením ODZ, najmä ak sa dá ODZ ľahko nájsť. Tu sú niektoré z najzrejmejších argumentov v prospech tohto.

Takže, keď ste dostali úlohu vyriešiť rovnicu, nemali by ste sa ponáhľať do transformačných výpočtov bez toho, aby ste sa pozreli späť, možno sa len pozrite na ODZ? Jasne to demonštruje nasledujúca iracionálna rovnica.

Funkčno-grafická metóda

Funkčno-grafická metóda- toto je ďalší všeobecná metóda riešenie rovníc. Ako každá všeobecná metóda vám umožňuje riešiť rovnice rôzneho druhu, najmä ju možno použiť na riešenie iracionálnych rovníc. Práve táto aplikácia funkčno-grafickej metódy nás v rámci aktuálneho článku zaujíma najviac.

Funkčno-grafická metóda zapája funkcie, ich vlastnosti a grafy do procesu riešenia rovníc. Toto je veľmi silný nástroj. A ako každý výkonný nástroj, aj tento sa zvyčajne používa, keď sú jednoduchšie nástroje bezmocné.

Existujú tri hlavné smery funkčno-grafickej metódy riešenia rovníc:

• Prvým je použitie funkčných grafov. Tento smer sa nazýva grafická metóda.
• Druhým je využitie vlastností rastúcich a klesajúcich funkcií.
• Tretím je použitie vlastností obmedzených funkcií. Pravdepodobne podľa metódy hodnotenia, ktorá v V poslednej dobe sluchom presne chápu tento smer funkčno-grafickej metódy.

Tieto tri smery umožňujú vyrovnať sa s drvivou väčšinou iracionálnych rovníc, pre ktoré je vo všeobecnosti vhodná funkčno-grafická metóda. V zadanej postupnosti - použitie grafov, využitie nárast-úbytok, využitie vlastností ohraničených funkcií - rozoberieme riešenia najtypickejších príkladov.

Grafická metóda

Začnime teda grafickou metódou riešenia iracionálnych rovníc.

Podľa grafickej metódy potrebujete:

• najprv v jednom súradnicovom systéme nakreslite grafy funkcií f a g zodpovedajúcich ľavej a pravej časti rovnice, ktorá sa rieši,
• po druhé, ich vzájomným usporiadaním vyvodiť závery o koreňoch rovnice:
  • ak sa grafy funkcií nepretínajú, potom rovnica nemá riešenia,
  • ak majú grafy funkcií priesečníky, potom korene rovnice sú úsečkami týchto bodov.

Riešenie iracionálnych rovníc cez ODZ

Veľmi často je súčasťou procesu riešenia rovníc. Dôvody hľadania ODZ môžu byť rôzne: je potrebné vykonať transformácie rovnice a tie, ako viete, sa vykonávajú na ODZ, zvolený spôsob riešenia zahŕňa nájdenie ODZ, kontrolu podľa ODZ atď. A v určitých prípadoch ODZ pôsobí nielen ako pomocný alebo kontrolný nástroj, ale umožňuje vám tiež získať riešenie rovnice. Tu máme na mysli dve situácie: keď je ODZ prázdna množina a keď je ODZ konečná množina čísel.

Je jasné, že ak je ODZ rovnice, najmä iracionálnej, prázdnou množinou, potom rovnica nemá riešenia. Takže ODZ premennej x pre nasledujúcu iracionálnu rovnicu je prázdna množina, čo znamená, že rovnica nemá žiadne riešenia.

Keď je ODZ premennej pre rovnicu konečnou množinou čísel, potom postupnou kontrolou nahradením týchto čísel môžete získať riešenie rovnice. Uvažujme napríklad iracionálnu rovnicu, ktorej ODZ pozostáva z dvoch čísel a substitúcia ukazuje, že iba jedno z nich je koreňom rovnice, z čoho sa usudzuje, že tento koreň je jediným riešením rovnice.

Riešenie iracionálnych rovníc v tvare "zlomok sa rovná nule"

akýkoľvek rovnica v tvare "zlomok sa rovná nule", najmä iracionálne, na ODZ premennej x je pre túto rovnicu ekvivalentná rovnici f(x)=0 . Z tohto tvrdenia vyplývajú dva prístupy k riešeniu rovníc tohto typu:

Je jasné, že je lepšie uchýliť sa k prvému prístupu k riešeniu rovnice, keď je jednoduchšie nájsť ODZ, ako riešiť rovnicu f(x)=0 . V tomto prípade sa ODZ môže ukázať ako prázdna množina alebo pozostávať z niekoľkých čísel, v týchto prípadoch bude možné urobiť bez riešenia rovnice f (x) = 0 (pozri). Poďme vyriešiť typickú iracionálnu rovnicu.

Druhý vyjadrený prístup k riešeniu rovnice je výhodnejší, keď je riešenie rovnice f(x)=0 celkom jednoduché. Po vyriešení rovnice f(x)=0 zostáva skontrolovať nájdené korene, čo sa zvyčajne robí jedným z nasledujúcich spôsobov:

• prostredníctvom substitúcie do menovateľa pôvodnej rovnice tie nájdené korene, ktoré menia menovateľa na nulu alebo na výraz, ktorý nedáva zmysel, nie sú koreňmi a nájdené korene, ktoré menia menovateľa na nenulové číslo, sú koreňmi pôvodnej rovnice.
• priamo z ODZ (keď sa ODZ nájde pomerne ľahko, zatiaľ čo prvý a druhý prístup k riešeniu iracionálnych rovníc v tvare „zlomok sa rovná nule“ sú prakticky ekvivalentné), nájdené korene patriace do ODZ sú koreňmi pôvodnej rovnice a nepatria - nie sú.
• alebo cez podmienky ODZ (často je ľahké zapísať podmienky, ktoré určujú ODZ, ale ťažko z nich nájsť ODZ vo forme číselného súboru), tie nájdené korene, ktoré spĺňajú všetky podmienky ODZ, sú koreňmi pôvodnej rovnice, zvyšok nie.

Iracionálne rovnice redukujúce na číselné rovnice

Prejsť na moduly

Ak je v zázname iracionálnej rovnice pod znamienkom odmocniny párneho stupňa stupeň nejakého výrazu s exponentom rovným exponentu odmocniny, potom môžeme prejsť do modulu. Takáto transformácia prebieha vďaka jednému z , čo zodpovedá vzorcu , kde 2·m je párne číslo, a je akékoľvek reálne číslo. Stojí za zmienku, že táto transformácia je ekvivalentná transformácii rovnice. Pri takejto transformácii je totiž koreň nahradený identicky rovnakým modulom, pričom ODZ sa nemení.

Zvážte charakteristickú iracionálnu rovnicu, ktorú možno vyriešiť prechodom na modul.

Oplatí sa vždy prejsť na moduly, keď je to možné? Vo veľkej väčšine prípadov je takýto prechod opodstatnený. Výnimkou sú prípady, keď je to jasné alternatívne metódy riešenie iracionálnej rovnice vyžaduje relatívne menej práce. Vezmime si iracionálnu rovnicu, ktorá sa dá vyriešiť jednak modulmi, jednak niektorými inými metódami, napríklad kvadratúrou oboch strán rovnice alebo určením odmocniny, a uvidíme, ktoré z riešení bude najjednoduchšie a najkompaktnejšie.

V riešenom príklade je najvýhodnejším riešením určenie koreňa: je kratšie a jednoduchšie ako riešenie prechodom do modulu a riešenie metódou kvadratúry oboch strán rovnice. Mohli sme to vedieť pred riešením rovnice všetkými tromi metódami? Priznajme si to, nebolo to zrejmé. Takže keď sa pozriete na niekoľko spôsobov riešenia a nie je okamžite jasné, ktorý z nich uprednostniť, stojí za to pokúsiť sa nájsť riešenie s ktorýmkoľvek z nich. Ak to vyjde, tak dobre. Ak zvolená metóda nevedie k výsledku alebo sa ukáže, že riešenie je veľmi ťažké, potom stojí za to vyskúšať inú metódu.

Na záver tohto odseku sa vráťme k iracionálnej rovnici. V predchádzajúcom odseku sme to už vyriešili a videli sme, že pokus vyriešiť to izoláciou radikálu a kvadratúrou oboch častí rovnice viedol k numerickej rovnosti 0=0 a neschopnosti urobiť záver o koreňoch. A rozhodnutie určiť koreň bolo spojené s riešením iracionálnej nerovnosti, ktorá je sama o sebe dosť náročná. dobrá metóda riešením tejto iracionálnej rovnice je prechod na moduly. Uveďme podrobné riešenie.

Transformácia iracionálnych rovníc

Riešenie iracionálnych rovníc nie je takmer nikdy úplné bez ich transformácie. V čase štúdia iracionálnych rovníc už poznáme ekvivalentné transformácie rovníc. Pri riešení iracionálnych rovníc sa používajú rovnako ako pri riešení predtým študovaných typov rovníc. Príklady takýchto transformácií iracionálnych rovníc ste videli v predchádzajúcich odsekoch a budete súhlasiť, boli celkom prirodzene vnímané, keďže sú nám dobre známe. Vyššie sme sa dozvedeli aj o pre nás novej transformácii - umocnení oboch častí rovnice na rovnakú mocninu, čo je typické pre iracionálne rovnice, vo všeobecnom prípade to nie je ekvivalentné. Stojí za to hovoriť o všetkých týchto transformáciách podrobne, aby ste poznali všetky jemné body, ktoré vznikajú počas ich implementácie, a vyhli sa chybám.

Budeme analyzovať transformácie iracionálnych rovníc v nasledujúcom poradí:

1. Nahradenie výrazov identicky rovnakými výrazmi, ktoré nemenia DPV.
2. Pridanie rovnakého čísla na obe strany rovnice alebo odčítanie rovnakého čísla od oboch strán rovnice.
3. Pridanie rovnakého výrazu, ktorý nemení DPV na obe strany rovnice, alebo odčítanie rovnakého výrazu, ktorý nemení DPV, od oboch strán rovnice.
4. Prenos pojmov z jednej časti rovnice do druhej s opačným znamienkom.
5. Násobenie a delenie oboch strán rovnice rovnakým nenulovým číslom.
6. Násobenie a delenie oboch častí rovnice rovnakým výrazom, ktorý nemení rozsah prijateľných hodnôt premennej a nezaniká na ňom.
7. Zvýšte obe strany rovnice na rovnakú mocninu.

Takže okruh otázok je načrtnutý. Začnime príkladmi.

Prvou transformáciou, ktorá nás zaujíma, je nahradenie výrazov v rovnici identicky rovnakými výrazmi. Vieme, že je ekvivalentné, ak je ODZ pre rovnicu získanú ako výsledok transformácie rovnaká ako ODZ pre pôvodnú rovnicu. Z toho je zrejmé, že pre vznik chýb pri tejto transformácii existujú dva hlavné dôvody: prvým je zmena ODZ, ktorá nastáva v dôsledku transformácie, druhým je nahradenie výrazu výrazom, ktorý mu nie je identicky rovný. Analyzujme tieto aspekty podrobne a v poradí, berúc do úvahy príklady typických transformácií tohto typu.

Najprv si prejdeme typické transformácie rovníc, ktoré spočívajú v nahradení výrazu výrazom, ktorý sa mu identicky rovná, ktoré sú vždy ekvivalentné. Tu je príslušný zoznam.

• Preskupenie pojmov a faktorov. Táto transformácia môže byť vykonaná na ľavej aj pravej strane iracionálnej rovnice. Môže sa použiť napríklad na zoskupenie a následnú redukciu podobných výrazov, aby sa zjednodušil tvar rovnice. Zámena pojmov alebo faktorov je samozrejme ekvivalentná transformácia rovnice. Je pochopiteľné: pôvodný výraz a výraz s preskupenými pojmami alebo činiteľmi sú identicky rovnaké (ak je permutácia samozrejme vykonaná správne) a je zrejmé, že takáto transformácia nezmení ODZ. Vezmime si príklad. Na ľavej strane iracionálnej rovnice v súčine x 3 x môžete zameniť prvý a druhý faktor x a 3, čo vám v budúcnosti umožní reprezentovať polynóm pod znamienkom koreňa v štandardnom tvare. A na pravej strane rovnice v súčte 4 + x + 5 môžete zmeniť usporiadanie výrazov 4 a x, čo vám v budúcnosti umožní pridať čísla 4 a 5. Po týchto permutáciách bude mať iracionálna rovnica tvar , výsledná rovnica je ekvivalentná pôvodnej.
• Otvorenie držiaka. Ekvivalencia tejto transformácie rovníc je zrejmá: výrazy pred a po otvorení zátvoriek sú identicky rovnaké a majú rovnaký rozsah platných hodnôt. Vezmime si napríklad iracionálnu rovnicu . Jeho riešenie vyžaduje otváranie zátvoriek. Otvorením zátvoriek na ľavej strane rovnice, ako aj na pravej strane rovnice, dostaneme ekvivalentnú rovnicu .
• Zoskupenie výrazov a/alebo faktorov. Táto transformácia rovnice je vo svojej podstate nahradením akéhokoľvek výrazu, ktorý je súčasťou rovnice, výrazom, ktorý sa mu identicky rovná, so zoskupenými výrazmi alebo faktormi. Očividne sa tým ODZ nemení. Naznačená transformácia rovnice je teda ekvivalentná. Pre ilustráciu si zoberme iracionálnu rovnicu. Permutácia pojmov (hovorili sme o tom o dva odseky vyššie) a zoskupenie pojmov nám umožňuje prejsť na ekvivalentnú rovnicu. Účel takéhoto zoskupenia pojmov je jasne viditeľný – vykonať nasledujúcu ekvivalentnú transformáciu, ktorá nám umožní zaviesť novú premennú.
• Zátvorka spoločného činiteľa. Je jasné, že výrazy pred zátvorkou spoločného činiteľa a po zátvorke spoločného činiteľa sú identicky rovnaké. Je tiež zrejmé, že vyňatie spoločného činiteľa zo zátvoriek nemení ODZ. Preto vyňatie spoločného činiteľa zo zátvoriek vo výraze, ktorý je súčasťou rovnice, je ekvivalentnou transformáciou rovnice. Takáto transformácia sa používa napríklad na znázornenie ľavej strany rovnice ako súčinu, aby sa vyriešila metódou faktorizácie. Tu konkrétny príklad. Zvážte iracionálnu rovnicu. ľavá strana Táto rovnica môže byť reprezentovaná ako súčin, preto musíte zo zátvoriek vyňať spoločný faktor. V dôsledku tejto transformácie sa získa iracionálna rovnica , ekvivalentný pôvodnému, ktorý je možné vyriešiť metódou faktorizácie.
• Nahradenie číselných výrazov ich hodnotami. Je jasné, že ak je v zázname rovnice nejaký číselný výraz a tento číselný výraz nahradíme jeho hodnotou (správne vypočítanou), tak takéto nahradenie bude ekvivalentné. V skutočnosti je výraz nahradený výrazom zhodne rovným a zároveň sa ODZ rovnice nemení. Takže nahradenie v iracionálnej rovnici súčtom dvoch čísel -3 a 1 o hodnotu tohto súčtu, ktorá sa rovná -2, dostaneme ekvivalentnú iracionálnu rovnicu. Podobne môžeme vykonať ekvivalentnú transformáciu iracionálnej rovnice vykonávajúce operácie s číslami pod znamienkom koreňa (1+2=3 a ), táto transformácia nás privedie k ekvivalentnej rovnici .
• Vykonávanie akcií s jednočlenmi a mnohočlenmi, ktoré sú v zázname iracionálnej rovnice. Je jasné že správne prevedenie tieto akcie povedú k ekvivalentnej rovnici. V tomto prípade bude výraz skutočne nahradený výrazom, ktorý sa mu zhodne rovná a DPV sa nezmení. Napríklad v iracionálnej rovnici môžete pridať monočlánky x 2 a 3 x 2 a prejsť na ekvivalentnú rovnicu . Ďalší príklad: odčítanie polynómov na ľavej strane iracionálnej rovnice je ekvivalentná transformácia, ktorá vedie k ekvivalentnej rovnici .

Naďalej uvažujeme o transformáciách rovníc, ktoré spočívajú v nahradení výrazov identicky rovnakými výrazmi. Takéto transformácie môžu byť tiež nerovnomerné, pretože môžu zmeniť ODZ. Môže dôjsť najmä k rozšíreniu ODZ. Môže k tomu dôjsť pri pridávaní podobných pojmov, pri zmenšovaní zlomkov, pri nulovaní súčinu s niekoľkými nulovými faktormi alebo zlomku s nulovým čitateľom a najčastejšie pri použití vzorcov, ktoré zodpovedajú vlastnostiam odmocnín. Mimochodom, neopatrné používanie vlastností koreňov môže viesť aj k zúženiu ODZ. A ak sú pri riešení rovníc prípustné transformácie, ktoré rozširujú ODZ (môžu spôsobiť výskyt cudzích koreňov, ktoré sú určitým spôsobom eliminované), potom transformácie, ktoré zužujú ODZ, musia byť bezpodmienečne opustené, pretože môžu spôsobiť stratu koreňov. Zastavme sa pri týchto bodoch.

Prvá iracionálna rovnica je . Jej riešenie začína premenou rovnice do tvaru na základe jednej z vlastností stupňov. Táto transformácia je ekvivalentná, pretože výraz je nahradený identicky rovnakým výrazom a DPV sa nemení. Ale ďalší prechod na rovnicu, uskutočnený na základe definície koreňa, už môže byť neekvivalentnou transformáciou rovnice, pretože pri takejto transformácii sa ODZ rozširuje. Ukážme úplné riešenie tejto rovnice.

Druhá iracionálna rovnica, ktorá sa dobre hodí na ilustráciu toho, že transformácie iracionálnych rovníc pomocou vlastností koreňov a definície koreňa môžu byť neekvivalentné, je . No ak si nedovolíte začať rozhodnutie takto

Alebo tak

Začíname prvým prípadom. Prvou transformáciou je prechod z pôvodnej iracionálnej rovnice do rovnice spočíva v nahradení výrazu x+3 výrazom . Tieto výrazy sú identicky rovnaké. Ale pri takejto náhrade sa ODZ zúži z množiny (−∞, −3)∪[−1, +∞) na množinu [−1, +∞) . A dohodli sme sa, že sa zdržíme reforiem, ktoré zužujú ODZ, pretože môžu viesť k strate koreňov.

Čo je zlé na druhom prípade? Rozšírenie ODZ pri poslednom prechode z na číslo −3 ? Nielen toto. Veľkým problémom je prvý prechod z pôvodnej iracionálnej rovnice do rovnice . Podstatou tohto prechodu je nahradenie výrazu x + 3 výrazom . Ale tieto výrazy nie sú identicky rovnaké: pre x + 3<0 значения этих выражений не совпадают. Действительно, согласно свойству квадратного корня из квадрата , z čoho vyplýva, že .

Ako teda vyriešiť túto iracionálnu rovnicu ? Tu je najlepšie okamžite zaviesť novú premennú zatiaľ čo (x+3) (x+1)=t2. Uveďme podrobné riešenie.

Zhrňme si prvú z uvažovaných transformácií rovníc - nahradenie výrazu, ktorý je súčasťou rovnice, výrazom, ktorý sa mu identicky rovná. Pri každom jej realizácii musia byť splnené dve podmienky: prvou je, že výraz je nahradený presne zhodne rovnakým výrazom a druhou je, že nedochádza k zúženiu ODZ. Ak sa pri takejto výmene ODZ nezmení, potom sa v dôsledku transformácie získa ekvivalentná rovnica. Ak sa pri takejto výmene ODZ rozšíri, môžu sa objaviť cudzie korene a je potrebné dbať na ich vylúčenie.

Obraciame sa na druhú transformáciu zoznamu - pridanie rovnakého čísla na obe strany rovnice a odčítanie rovnakého čísla z oboch strán rovnice. Toto je ekvivalentná transformácia rovnice. Zvyčajne sa k tomu uchýlime, keď sú na ľavej a pravej strane rovnice rovnaké čísla, odčítanie týchto čísel od oboch strán rovnice nám umožňuje sa ich v budúcnosti zbaviť. Napríklad na ľavej aj pravej strane iracionálnej rovnice existuje termín 3. Odčítaním trojky od oboch strán rovnice dostaneme rovnicu, ktorá po manipulácii s číslami nadobudne tvar a ďalej zjednodušuje na . Podľa výsledku má uvažovaná transformácia niečo spoločné s prenosom člena z jednej časti rovnice do druhej s opačným znamienkom, ale o tejto transformácii trochu neskôr. Existujú aj ďalšie príklady aplikácie tejto transformácie. Napríklad v iracionálnej rovnici je pridanie čísla 3 na obe strany potrebné na usporiadanie celého štvorca na ľavej strane rovnice a na ďalšiu transformáciu rovnice do tvaru, aby sa zaviedla nová premenná.

Zovšeobecnením práve uvažovanej transformácie je pridanie do oboch častí rovnice alebo odčítanie z oboch častí rovnice toho istého výrazu. Táto transformácia rovníc je ekvivalentná, keď sa ODZ nemení. Táto transformácia sa vykonáva hlavne preto, aby sa ďalej zbavili tých istých členov, ktoré sú súčasne na ľavej a pravej strane rovnice. Vezmime si príklad. Predpokladajme, že máme iracionálnu rovnicu. Je zrejmé, že na ľavej aj pravej strane rovnice je výraz. Je rozumné odčítať tento výraz z oboch strán rovnice: . V našom prípade sa pri takomto prechode ODZ nemení, takže vykonaná transformácia je ekvivalentná. A robí sa to preto, aby sme prešli k jednoduchšej iracionálnej rovnici.

Ďalšou transformáciou rovníc, ktorej sa v tomto odseku dotkneme, je presun členov z jednej časti rovnice do druhej s opačným znamienkom. Táto transformácia rovnice je vždy ekvivalentná. Rozsah jeho aplikácie je pomerne široký. S jeho pomocou je možné napríklad izolovať radikál alebo zhromaždiť podobné členy v jednej časti rovnice, aby sa neskôr dali zredukovať a tým zjednodušiť tvar rovnice. Vezmime si príklad. Riešiť iracionálnu rovnicu je možné preniesť členy −1 na pravú stranu zmenou ich znamienka, čím vznikne ekvivalentná rovnica , čo sa dá ďalej riešiť napríklad umocnením oboch strán rovnice.

Ďalej sa posúvame po ceste uvažovania transformácií rovníc na násobenie alebo delenie oboch častí rovnice rovnakým číslom iným ako nula. Táto transformácia je ekvivalentnou transformáciou rovnice. Násobenie oboch strán rovnice rovnakým číslom sa používa hlavne na prechod zo zlomkov na celé čísla. Napríklad v iracionálnej rovnici aby ste sa zbavili zlomkov, vynásobte obe jeho časti číslom 8, čím získate ekvivalentnú rovnicu , ktorý sa ďalej redukuje na formu . Rozdelenie oboch častí rovnice sa uskutočňuje najmä za účelom zníženia číselných koeficientov. Napríklad obe strany iracionálnej rovnice je vhodné deliť číselnými koeficientmi 18 a 12, teda 6, takéto delenie dáva ekvivalentnú rovnicu , z ktorej môžeme neskôr prejsť k rovnici , ktorý má menšie, ale aj celočíselné koeficienty.

Ďalšou transformáciou rovnice je násobenie a delenie oboch strán rovnice rovnakým výrazom. Táto transformácia je ekvivalentná, keď výraz, ktorým sa násobenie alebo delenie vykonáva, nemení rozsah prípustných hodnôt premennej a nezmizne na ňom. Násobenie oboch strán rovnakým výrazom je zvyčajne z hľadiska účelu ako násobenie oboch strán rovnice rovnakým číslom. Najčastejšie sa k tejto transformácii pristupuje s cieľom zbaviť sa zlomkov ďalšími transformáciami. Ukážme si to na príklade.

Neobídeme iracionálne rovnice, pri riešení ktorých sa treba uchýliť k deleniu oboch častí rovnice tým istým výrazom. O niečo vyššie sme poznamenali, že takéto rozdelenie je ekvivalentnou transformáciou, ak nemá vplyv na ODZ a tento výraz na ODZ nezaniká. Ale niekedy sa rozdelenie musí vykonať na výraz, ktorý zmizne na ODZ. Je to celkom možné, ak sa súčasne nuly tohto výrazu oddelene skontrolujú, či medzi nimi nie sú nejaké korene riešenej rovnice, inak sa tieto korene môžu pri takomto delení stratiť.

Poslednou transformáciou iracionálnych rovníc, ktorej sa v tejto časti dotkneme, je zvýšenie oboch strán rovnice na rovnakú mocninu. Túto transformáciu možno nazvať typickou pre iracionálne rovnice, pretože sa prakticky nepoužíva pri riešení rovníc iných typov. Túto transformáciu sme už spomenuli v aktuálnom článku, keď sme analyzovali . Existuje tiež veľa príkladov tejto transformácie. Nebudeme sa tu opakovať, len pripomenieme, že vo všeobecnom prípade táto transformácia nie je ekvivalentná. Môže to viesť k objaveniu sa cudzích koreňov. Preto, ak sme sa v procese riešenia obrátili na túto transformáciu, potom je potrebné skontrolovať nájdené korene na prítomnosť cudzích koreňov medzi nimi.

O strate koreňov

Čo môže spôsobiť stratu koreňov pri riešení rovnice? Hlavným dôvodom straty koreňov je transformácia rovnice, v ktorej sa ODZ zužuje. Aby sme pochopili tento bod, uveďme si príklad.

Zoberme si iracionálnu rovnicu , ktorý sme už riešili v aktuálnom článku. Začali sme to riešiť varovaním pred nasledujúcimi transformáciami rovnice

Prvou transformáciou je prechod z rovnice do rovnice - zužuje ODZ. V skutočnosti je ODZ pre pôvodnú rovnicu (−∞, −3)∪[−1, +∞) a pre výslednú rovnicu je [−1, +∞) . To znamená stratu intervalu (−∞, −3) z úvahy a v dôsledku toho stratu všetkých koreňov rovnice z tohto intervalu. V našom prípade sa pri vykonávaní naznačenej transformácie stratia všetky korene rovnice, ktorými sú dva a .

Ak teda transformácia rovnice vedie k zúženiu ODZ, tak sa stratia všetky korene rovnice, ktoré sú v časti, na ktorej došlo k zúženiu. Preto vyzývame, aby sme sa neuchyľovali k reformám, ktoré zužujú DHS. Je tu však jedna výhrada.

Táto výhrada platí pre transformácie, pri ktorých je ODZ zúžená o jedno alebo viac čísel. Najcharakteristickejšou transformáciou, pri ktorej z ODZ vypadáva niekoľko samostatných čísel, je rozdelenie oboch častí rovnice do rovnakého výrazu. Je jasné, že pri vykonávaní takejto transformácie sa môžu stratiť iba korene, ktoré sú medzi touto konečnou množinou čísel, ktoré pri zúžení ODZ vypadnú. Ak sa teda všetky čísla tejto množiny samostatne skontrolujú, či medzi nimi nie sú korene rovnice, ktorá sa rieši napríklad substitúciou, a nájdené korene sú zahrnuté v odpovedi, potom možno zamýšľanú transformáciu vykonať ďalej bez obáv zo straty koreňov. Vyššie uvedené si ilustrujme na príklade.

Zoberme si iracionálnu rovnicu , ktorá už bola tiež vyriešená v predchádzajúcom odseku. Na vyriešenie tejto rovnice zavedením novej premennej je užitočné najprv vydeliť obe strany rovnice 1+x. Pri takomto delení vypadne z ODZ číslo -1. Nahradením tejto hodnoty do pôvodnej rovnice sa získa nesprávna číselná rovnosť (), čo znamená, že −1 nie je koreňom rovnice. Po takejto kontrole môžete bezpečne vykonať zamýšľané rozdelenie bez obáv zo straty koreňa.

Na záver tohto odseku poznamenávame, že najčastejšie pri riešení iracionálnych rovníc vedie k zúženiu ODZ delenie oboch častí rovnice rovnakým výrazom, ako aj transformácie založené na vlastnostiach koreňov. Takže pri vykonávaní takýchto transformácií musíte byť veľmi opatrní a nedovoliť stratu koreňov.

O cudzích koreňoch a spôsoboch ich odstránenia

Riešenie veľkej väčšiny rovníc sa uskutočňuje transformáciou rovníc. Určité transformácie môžu viesť ku korollárnym rovniciam a medzi riešeniami dôsledkovej rovnice môžu byť korene, ktoré sú mimo pôvodnej rovnice. Cudzie korene nie sú koreňmi pôvodnej rovnice, takže by nemali byť zahrnuté do odpovede. Inými slovami, musia byť odstránené.

Ak je teda v reťazci transformácií riešenej rovnice aspoň jedna dôsledková rovnica, potom sa musíte postarať o detekciu a preosievanie cudzích koreňov.

Metódy zisťovania a odstraňovania cudzích koreňov závisia od dôvodov, ktoré spôsobujú ich potenciálny vzhľad. A existujú dva dôvody pre možný výskyt cudzích koreňov pri riešení iracionálnych rovníc: prvým je rozšírenie ODZ v dôsledku transformácie rovnice, druhým je zvýšenie oboch častí rovnice na rovnomernú mocninu. Poďme sa pozrieť na príslušné metódy.

Začnime metódami preosievania cudzích koreňov, keď jediným dôvodom ich možného vzhľadu je rozšírenie ODZ. V tomto prípade sa odstraňovanie vonkajších koreňov vykonáva jedným z nasledujúcich troch spôsobov:

• Podľa ODZ. Na tento účel sa nájde ODZ premennej pre pôvodnú rovnicu a skontroluje sa príslušnosť nájdených koreňov k nej. Tie korene, ktoré patria do ODZ, sú koreňmi pôvodnej rovnice a tie, ktoré nepatria do ODZ, sú cudzie korene pôvodnej rovnice.
• Cez podmienky ODZ. Zapíšu sa podmienky, ktoré určujú ODV premennej pre pôvodnú rovnicu a postupne sa do nich dosadia nájdené korene. Tie korene, ktoré spĺňajú všetky podmienky, sú korene a tie, ktoré nespĺňajú aspoň jednu podmienku, sú cudzie korene pre pôvodnú rovnicu.
• Prostredníctvom substitúcie v pôvodnej rovnici (alebo v ktorejkoľvek rovnici ekvivalentnej). Nájdené korene sa postupne dosadia do pôvodnej rovnice, tie z nich, pri ktorých dosadení sa rovnica zmení na správnu číselnú rovnosť, sú koreňmi a tie z nich, keď dosadíme výraz, ktorý nedáva zmysel, sú cudzími koreňmi pôvodnej rovnice.

Pri riešení nasledujúcej iracionálnej rovnice vyraďme cudzie korene každým z uvedených spôsobov, aby sme o každom z nich získali všeobecnú predstavu.

Je jasné, že nie vždy identifikujeme a odstránime cudzie korene všetkými známymi metódami. Aby sme odfiltrovali cudzie korene, zvolíme v každom prípade najvhodnejšiu metódu. Napríklad v nasledujúcom príklade je najvhodnejšie odfiltrovať cudzie korene cez podmienky ODZ, pretože za týchto podmienok je ťažké nájsť ODZ vo forme číselnej množiny.

Teraz hovorme o skríningu cudzích koreňov, keď sa riešenie iracionálnej rovnice vykonáva zvýšením oboch častí rovnice na rovnomernú mocninu. Tu už nepomôže skríning cez ODZ alebo cez podmienky ODZ, pretože nám nedovolí vyradiť cudzie korene, ktoré vznikajú z iného dôvodu - kvôli zvýšeniu oboch častí rovnice na rovnakú rovnomernú silu. Prečo sa objavujú cudzie korene, keď sú obe strany rovnice umocnené na rovnakú párnu mocninu? Výskyt cudzích koreňov v tomto prípade vyplýva zo skutočnosti, že zvýšenie oboch častí nesprávnej číselnej rovnosti na rovnakú párnu mocninu môže poskytnúť správnu číselnú rovnosť. Napríklad nesprávna číselná rovnosť 3=−3 sa po umocnení oboch jej strán na druhú stane správnou číselnou rovnosťou 3 2 =(−3) 2 , čo je rovnaké ako 9=9 .

Dôvody objavenia sa cudzích koreňov, keď sú obe časti rovnice zvýšené na rovnakú mieru, boli vyriešené. Zostáva uviesť, ako sa v tomto prípade eliminujú cudzie korene. Skríning sa vykonáva hlavne dosadením nájdených potenciálnych koreňov do pôvodnej rovnice alebo do akejkoľvek rovnice, ktorá je jej ekvivalentná. Ukážme si to na príklade.

Ale stojí za to mať na pamäti inú metódu, ktorá vám umožňuje vyradiť cudzie korene v prípadoch, keď sú obe časti iracionálnej rovnice s osamelým radikálom povýšené na rovnakú rovnomernú silu. Pri riešení iracionálnych rovníc , kde 2·k je párne číslo, zvýšením oboch častí rovníc na rovnakú mocninu možno vykonať preosievanie cudzích koreňov pomocou podmienky g(x)≥0 (to znamená v skutočnosti riešenie iracionálnej rovnice určením koreňa). Táto metóda často prichádza na záchranu, keď sa ukáže, že preosievanie cudzích koreňov prostredníctvom substitúcie je spojené so zložitými výpočtami. Nasledujúci príklad je dobrou ilustráciou toho, čo bolo povedané.

Literatúra

1. Mordkovič A.G. Algebra. 8. trieda. O 14:00 1. časť Učebnica pre študentov vzdelávacích inštitúcií / A. G. Mordkovich. - 11. vyd., vymazané. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 s.: chor. ISBN 978-5-346-01155-2.
2. Mordkovič A.G. Algebra a začiatok matematickej analýzy. 11. ročník O 14.00 h Časť 1. Učebnica pre študentov vzdelávacích inštitúcií (profilová úroveň) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2. vyd., vymazané. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 s.: chor. ISBN 978-5-346-01027-2.
3. Algebra a začiatok analýzy: Proc. pre 10-11 buniek. všeobecné vzdelanie inštitúcie / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn a ďalší; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14. vyd.- M.: Osveta, 2004.- 384 s.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
4. Algebra a začiatok matematickej analýzy. 10. ročník: učebnica. pre všeobecné vzdelanie inštitúcie: základné a profilové. úrovne / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; vyd. A. B. Žižčenko. - 3. vyd. - M.: Osveta, 2010.- 368 s.: Ill.-ISBN 978-5-09-022771-1.
5. Matematika. Zvýšená úroveň USE-2012 (C1, C3). Tematické testy. Rovnice, nerovnice, systémy / editovali F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhov. - Rostov na Done: Legion-M, 2011. - 112 s. - (Príprava na skúšku) ISBN 978-5-91724-094-7
6. Absolvent 2004. Matematika. Zbierka úloh na podkotovku ku skúške. Časť 1. I. V. Boikov, L. D. Romanová.

Iracionálna rovnica je každá rovnica, ktorá obsahuje funkciu pod znamienkom odmocniny. Napríklad:

Takéto rovnice sa vždy riešia v 3 krokoch:

1. Oddeľte koreň. Inými slovami, ak sú naľavo od znamienka rovnosti okrem odmocniny aj iné čísla alebo funkcie, toto všetko treba zmenou znamienka posunúť doprava. Zároveň by mal zostať vľavo iba radikál - bez akýchkoľvek koeficientov.
2. 2. Odmocníme obe strany rovnice. Zároveň si pamätajte, že rozsahom odmocniny sú všetky nezáporné čísla. Preto funkcia vpravo iracionálna rovnica musí byť tiež nezáporné: g (x) ≥ 0.
3. Tretí krok logicky vyplýva z druhého: musíte vykonať kontrolu. Faktom je, že v druhom kroku by sme mohli mať korene navyše. A aby sme ich odrezali, je potrebné dosadiť výsledné kandidátne čísla do pôvodnej rovnice a skontrolovať: je skutočne dosiahnutá správna číselná rovnosť?

Riešenie iracionálnej rovnice

Poďme sa zaoberať našou iracionálnou rovnicou uvedenou na samom začiatku lekcie. Tu je koreň už v ústraní: naľavo od znamienka rovnosti nie je nič iné ako koreň. Vyrovnajme obe strany:

2x 2 - 14x + 13 = (5 - x) 2
2x2 - 14x + 13 = 25 - 10x + x2
x 2 - 4 x - 12 = 0

Výslednú kvadratickú rovnicu riešime cez diskriminant:

D = b 2 − 4ac = (−4) 2 − 4 1 (−12) = 16 + 48 = 64
x 1 = 6; x 2 \u003d -2

Zostáva len dosadiť tieto čísla do pôvodnej rovnice, t.j. vykonať kontrolu. Ale aj tu môžete urobiť správnu vec pre zjednodušenie konečného rozhodnutia.

Ako zjednodušiť rozhodovanie

Zamyslime sa: prečo vôbec kontrolujeme na konci riešenia iracionálnej rovnice? Chceme sa uistiť, že pri dosadzovaní našich koreňov bude napravo od znamienka rovnosti nezáporné číslo. Veď už s istotou vieme, že ide o nezáporné číslo vľavo, pretože aritmetická druhá odmocnina (kvôli ktorej sa naša rovnica nazýva iracionálna) podľa definície nemôže byť menšia ako nula.

Preto všetko, čo musíme skontrolovať, je, že funkcia g ( x ) = 5 − x , ktorá je napravo od znamienka rovnosti, je nezáporná:

g(x) ≥ 0

Do tejto funkcie nahradíme naše korene a získame:

g (x 1) \u003d g (6) \u003d 5 - 6 \u003d -1< 0
g (x 2) = g (−2) = 5 − (−2) = 5 + 2 = 7 > 0

Zo získaných hodnôt vyplýva, že odmocnina x 1 = 6 nám nevyhovuje, keďže pri dosadení do pravej strany pôvodnej rovnice dostaneme záporné číslo. Ale koreň x 2 \u003d −2 je pre nás celkom vhodný, pretože:

1. Tento koreň je riešením kvadratickej rovnice získanej zdvihnutím oboch strán iracionálna rovnica do štvorca.
2. Pravá strana pôvodnej iracionálnej rovnice sa pri dosadení koreňa x 2 = −2 zmení na kladné číslo, t.j. rozsah aritmetický koreň nie zlomené.

To je celý algoritmus! Ako vidíte, riešenie rovníc s radikálmi nie je také ťažké. Hlavnou vecou je nezabudnúť skontrolovať prijaté korene, inak je veľmi pravdepodobné, že dostanete ďalšie odpovede.