I. Obyčajné diferenciálne rovnice
1.1. Základné pojmy a definície
Diferenciálna rovnica je rovnica, ktorá sa týka nezávislej premennej X, požadovaná funkcia r a jeho deriváty alebo diferenciály.
Symbolicky je diferenciálna rovnica napísaná takto:
F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y (n))=0
Diferenciálna rovnica sa nazýva obyčajná, ak požadovaná funkcia závisí od jednej nezávislej premennej.
Riešenie diferenciálnej rovnice sa nazýva funkcia, ktorá mení túto rovnicu na identitu.
Poradie diferenciálnej rovnice je poradie najvyššej derivácie zahrnuté v tejto rovnici
Príklady.
1. Uvažujme diferenciálnu rovnicu prvého poriadku
Riešením tejto rovnice je funkcia y = 5 ln x. Naozaj, nahrádzanie y" do rovnice dostaneme identitu.
A to znamená, že funkcia y = 5 ln x– je riešením tejto diferenciálnej rovnice.
2. Uvažujme diferenciálnu rovnicu druhého rádu y" - 5r" +6y = 0. Funkcia je riešením tejto rovnice.
Naozaj,.
Dosadením týchto výrazov do rovnice získame: , – identitu.
A to znamená, že funkcia je riešením tejto diferenciálnej rovnice.
Integrovanie diferenciálnych rovníc je proces hľadania riešení diferenciálnych rovníc.
Všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice nazývaná funkcia formulára 
, ktorá zahŕňa toľko nezávislých ľubovoľných konštánt, koľko je poradie rovnice.
Parciálne riešenie diferenciálnej rovnice je riešenie získané zo všeobecného riešenia pre rôzne číselné hodnoty ľubovoľných konštánt. Hodnoty ľubovoľných konštánt sa nachádzajú pri určitých počiatočných hodnotách argumentu a funkcie.
Graf konkrétneho riešenia diferenciálnej rovnice sa nazýva integrálna krivka.
Príklady
1. Nájdite konkrétne riešenie diferenciálnej rovnice prvého poriadku
xdx + ydy = 0, Ak r= 4 at X = 3.
Riešenie. Integráciou oboch strán rovnice dostaneme
Komentujte. Ľubovoľná konštanta C získaná ako výsledok integrácie môže byť reprezentovaná v akejkoľvek forme vhodnej pre ďalšie transformácie. V tomto prípade, berúc do úvahy kanonickú rovnicu kruhu, je vhodné reprezentovať ľubovoľnú konštantu C v tvare .
- všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice.
Konkrétne riešenie rovnice spĺňajúce počiatočné podmienky r = 4 at X = 3 sa zistí zo všeobecného dosadením počiatočných podmienok do všeobecného riešenia: 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.
Dosadením C=5 do všeobecného riešenia dostaneme x 2 + y 2 = 5 2 .
Toto je konkrétne riešenie diferenciálnej rovnice získanej zo všeobecného riešenia za daných počiatočných podmienok.
2. Nájdite všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice
Riešením tejto rovnice je ľubovoľná funkcia tvaru , kde C je ľubovoľná konštanta. Vskutku, dosadením do rovníc dostaneme: , .
V dôsledku toho má táto diferenciálna rovnica nekonečný počet riešení, pretože pre rôzne hodnoty konštanty C rovnosť určuje rôzne riešenia rovnice.
Napríklad priamou substitúciou môžete overiť, že funkcie 
sú riešenia rovnice.
Problém, v ktorom musíte nájsť konkrétne riešenie rovnice y" = f(x,y) splnenie počiatočnej podmienky y(x 0) = y 0, sa nazýva Cauchyho problém.
Riešenie rovnice y" = f(x,y), spĺňajúce počiatočnú podmienku, y(x 0) = y 0, sa nazýva riešenie Cauchyho problému.
Riešenie Cauchyho úlohy má jednoduchý geometrický význam. V skutočnosti, podľa týchto definícií, vyriešiť Cauchyho problém y" = f(x,y) vzhľadom na to y(x 0) = y 0, znamená nájsť integrálnu krivku rovnice y" = f(x,y) ktorý prechádza daným bodom M 0 (x 0,y 0).
II. Diferenciálne rovnice prvého rádu
2.1. Základné pojmy
Diferenciálna rovnica prvého rádu je rovnica tvaru F(x,y,y") = 0.
Diferenciálna rovnica prvého rádu zahŕňa prvú deriváciu a nezahŕňa derivácie vyššieho rádu.
Rovnica y" = f(x,y) sa nazýva rovnica prvého rádu vyriešená vzhľadom na deriváciu.
Všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice prvého rádu je funkciou tvaru , ktorý obsahuje jednu ľubovoľnú konštantu.
Príklad. Zvážte diferenciálnu rovnicu prvého poriadku.
Riešením tejto rovnice je funkcia.
Nahradením tejto rovnice jej hodnotou skutočne dostaneme
to jest 3x = 3x
Preto je funkcia všeobecným riešením rovnice pre akúkoľvek konštantu C.
Nájdite konkrétne riešenie tejto rovnice, ktoré spĺňa počiatočnú podmienku y(1)=1 Nahradenie počiatočných podmienok x = 1, y = 1 do všeobecného riešenia rovnice sa dostaneme odkiaľ C=0.
Zo všeobecného teda získame konkrétne riešenie dosadením výslednej hodnoty do tejto rovnice C=0– súkromné riešenie.
2.2. Diferenciálne rovnice so separovateľnými premennými
Diferenciálna rovnica so separovateľnými premennými je rovnica v tvare: y"=f(x)g(y) alebo cez diferenciály, kde f(x) A g(y)– špecifikované funkcie.
Pre tých r, pre ktorú platí rovnica y"=f(x)g(y) je ekvivalentná rovnici, 
v ktorom premenná r je prítomná iba na ľavej strane a premenná x je iba na pravej strane. Hovoria: „v rov. y"=f(x)g(y Poďme oddeliť premenné."
Rovnica formulára nazývaná separovaná premenná rovnica.
Integrácia oboch strán rovnice Autor: X, dostaneme G(y) = F(x) + C je všeobecné riešenie rovnice, kde G(y) A F(x)– niektoré primitívne deriváty funkcií resp f(x), Cľubovoľná konštanta.
Algoritmus na riešenie diferenciálnej rovnice prvého rádu so separovateľnými premennými
Príklad 1
Vyriešte rovnicu y" = xy
Riešenie. Derivácia funkcie y" nahradiť ho
oddeľme premenné
Poďme integrovať obe strany rovnosti:
Príklad 2
2yy" = 1- 3x 2, Ak y0 = 3 pri x 0 = 1
Toto je oddelená premenná rovnica. Predstavme si to v diferenciáloch. Aby sme to dosiahli, prepíšeme túto rovnicu do tvaru 
Odtiaľ 
Zistili sme, že integrujeme obe strany poslednej rovnosti
Nahradenie počiatočných hodnôt x 0 = 1, yo = 3 nájdeme S 9=1-1+C, t.j. C = 9.
Preto požadovaný parciálny integrál bude 
alebo 
Príklad 3
Napíšte rovnicu pre krivku prechádzajúcu bodom M(2;-3) a majúci dotyčnicu s uhlovým koeficientom
Riešenie. Podľa stavu
Toto je rovnica s oddeliteľnými premennými. Rozdelením premenných dostaneme: 
Integráciou oboch strán rovnice dostaneme: 
Pomocou počiatočných podmienok, x = 2 A y = - 3 nájdeme C:
Požadovaná rovnica má teda tvar 
2.3. Lineárne diferenciálne rovnice prvého rádu
Lineárna diferenciálna rovnica prvého rádu je rovnicou tvaru y" = f(x)y + g(x)
Kde f(x) A g(x)- niektoré špecifikované funkcie.
Ak g(x)=0 potom sa lineárna diferenciálna rovnica nazýva homogénna a má tvar: y" = f(x)y
Ak potom rovnica y" = f(x)y + g(x) nazývané heterogénne.
Všeobecné riešenie lineárnej homogénnej diferenciálnej rovnice y" = f(x)y je dané vzorcom: kde S– ľubovoľná konštanta.
Najmä ak C = 0, potom je riesenie y = 0 Ak má lineárna homogénna rovnica tvar y" = ky Kde k je nejaká konštanta, potom má jej všeobecné riešenie tvar: .
Všeobecné riešenie lineárnej nehomogénnej diferenciálnej rovnice y" = f(x)y + g(x) je daný vzorcom 
,
tie. sa rovná súčtu všeobecného riešenia zodpovedajúcej lineárnej homogénnej rovnice a partikulárneho riešenia tejto rovnice.
Pre lineárnu nehomogénnu rovnicu tvaru y" = kx + b,
Kde k A b- niektoré čísla a konkrétne riešenie budú konštantnou funkciou. Preto má všeobecné riešenie tvar .
Príklad. Vyriešte rovnicu y" + 2 y + 3 = 0
Riešenie. Predstavme si rovnicu vo forme y" = -2r - 3 Kde k = -2, b = -3 Všeobecné riešenie je dané vzorcom.
Preto, kde C je ľubovoľná konštanta.
2.4. Riešenie lineárnych diferenciálnych rovníc prvého rádu Bernoulliho metódou
Nájdenie všeobecného riešenia lineárnej diferenciálnej rovnice prvého rádu y" = f(x)y + g(x) redukuje na riešenie dvoch diferenciálnych rovníc so separovanými premennými pomocou substitúcie y=uv, Kde u A v- neznáme funkcie z X. Táto metóda riešenia sa nazýva Bernoulliho metóda.
Algoritmus riešenia lineárnej diferenciálnej rovnice prvého rádu
y" = f(x)y + g(x)
1. Zadajte náhradu y=uv.
2. Diferencujte túto rovnosť y" = u"v + uv"
3. Náhradník r A y" do tejto rovnice: u"v + uv" =f(x)uv + g(x) alebo u"v + uv" + f(x)uv = g(x).
4. Zoskupte členy rovnice tak, aby u vytiahnite to zo zátvoriek:
5. V zátvorke, prirovnajúc ju k nule, nájdite funkciu
Toto je oddeliteľná rovnica: 
Rozdeľme premenné a získame: 
Kde 
.
.
6. Dosaďte výslednú hodnotu v do rovnice (z kroku 4):
a nájdite funkciu Toto je rovnica s oddeliteľnými premennými:
7. Napíšte všeobecné riešenie v tvare: 
, t.j. .
Príklad 1
Nájdite konkrétne riešenie rovnice y" = -2y +3 = 0 Ak y = 1 pri x = 0
Riešenie. Vyriešme to pomocou substitúcie y=uv,.y" = u"v + uv"
Nahrádzanie r A y" do tejto rovnice dostaneme
Zoskupením druhého a tretieho člena na ľavej strane rovnice odstránime spoločný faktor u mimo zátvoriek
Výraz v zátvorkách prirovnáme k nule a po vyriešení výslednej rovnice nájdeme funkciu v = v(x)
Dostaneme rovnicu s oddelenými premennými. Poďme integrovať obe strany tejto rovnice: Nájdite funkciu v:
Dosadíme výslednú hodnotu v do rovnice dostaneme:
Toto je oddelená premenná rovnica. Integrujme obe strany rovnice: 
Poďme nájsť funkciu u = u(x,c) 
Poďme nájsť všeobecné riešenie: 
Nájdime konkrétne riešenie rovnice, ktoré spĺňa počiatočné podmienky y = 1 pri x = 0:
III. Diferenciálne rovnice vyššieho rádu
3.1. Základné pojmy a definície
Diferenciálna rovnica druhého rádu je rovnica obsahujúca derivácie nie vyššieho ako druhého rádu. Vo všeobecnom prípade je diferenciálna rovnica druhého rádu napísaná ako: F(x,y,y",y") = 0
Všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice druhého rádu je funkciou tvaru , ktorý obsahuje dve ľubovoľné konštanty C 1 A C 2.
Konkrétnym riešením diferenciálnej rovnice druhého rádu je riešenie získané zo všeobecného riešenia pre určité hodnoty ľubovoľných konštánt C 1 A C 2.
3.2. Lineárne homogénne diferenciálne rovnice druhého rádu s konštantné koeficienty.
Lineárna homogénna diferenciálna rovnica druhého rádu s konštantnými koeficientmi nazývaná rovnica tvaru y" + py" + qy = 0, Kde p A q- konštantné hodnoty.
Algoritmus riešenia homogénnych diferenciálnych rovníc druhého rádu s konštantnými koeficientmi
1. Napíšte diferenciálnu rovnicu v tvare: y" + py" + qy = 0.
2. Vytvorte jeho charakteristickú rovnicu, označte y" cez r 2, y" cez r, r v 1: r2 + pr + q = 0
Riešenie rôznych geometrických, fyzikálnych a inžinierskych problémov často vedie k rovniciach, ktoré spájajú nezávislé premenné charakterizujúce konkrétny problém s nejakou funkciou týchto premenných a deriváciami tejto funkcie rôznych rádov.
Ako príklad môžeme uvažovať o najjednoduchšom prípade rovnomerne zrýchleného pohybu hmotného bodu.
Je známe, že posunutie hmotného bodu počas rovnomerne zrýchleného pohybu je funkciou času a je vyjadrené vzorcom:
Na druhej strane zrýchlenie a je derivovaný vzhľadom na čas t z rýchlosti V, čo je tiež časová derivácia t z pohybu S. Tie.
Potom dostaneme: 
- rovnica spája funkciu f(t) s nezávisle premennou t a deriváciou druhého rádu funkcie f(t).
Definícia. Diferenciálnej rovnice je rovnica, ktorá dáva do súvislosti nezávislé premenné, ich funkcie a derivácie (alebo diferenciály) tejto funkcie.
Definícia. Ak má diferenciálna rovnica jednu nezávislú premennú, potom sa nazýva obyčajná diferenciálna rovnica , ak existujú dve alebo viac nezávislých premenných, potom sa takáto diferenciálna rovnica nazýva parciálna diferenciálna rovnica.
Definícia. Najvyšší rad derivátov vyskytujúcich sa v rovnici sa nazýva poriadku diferenciálnej rovnice .
Príklad.
- obyčajná diferenciálna rovnica 1. rádu. Vo všeobecnosti sa píše 
.
- obyčajná diferenciálna rovnica 2. rádu. Vo všeobecnosti sa píše 
- parciálna diferenciálna rovnica prvého rádu.
Definícia. Všeobecné riešenie diferenciálna rovnica je taká diferencovateľná funkcia y = (x, C), ktorá po dosadení do pôvodnej rovnice namiesto neznámej funkcie zmení rovnicu na identitu
Vlastnosti všeobecného riešenia.
1) Pretože konštanta C je ľubovoľná hodnota, potom vo všeobecnosti má diferenciálna rovnica nekonečný počet riešení.
2) Za akýchkoľvek počiatočných podmienok x = x 0, y(x 0) = y 0 existuje hodnota C = C 0, pri ktorej je riešením diferenciálnej rovnice funkcia y = (x, C 0).
Definícia. Nazýva sa riešenie tvaru y = (x, C 0). súkromné riešenie Diferenciálnej rovnice.
Definícia. Cauchy problém (Augustin Louis Cauchy (1789-1857) - francúzsky matematik) je nájdenie akéhokoľvek konkrétneho riešenia diferenciálnej rovnice v tvare y = (x, C 0), spĺňajúce počiatočné podmienky y(x 0) = y 0.
Cauchyho veta. (veta o existencii a jednoznačnosti riešenia diferenciálnej rovnice 1. rádu)
Ak funkciaf(X,
r) je v niektorom regióne súvislýDv lietadleXOYa má v tejto oblasti spojitú parciálnu deriváciu 
, potom bez ohľadu na bod (x 0
, r 0
) v oblastiD, existuje len jedno riešenie 
rovníc 
, definovaný v nejakom intervale obsahujúcom bod x 0
, pričom pri x = x 0
význam
(X 0
) = y 0
, t.j. existuje jedinečné riešenie diferenciálnej rovnice.
Definícia.
Integrálne
Diferenciálna rovnica je každá rovnica, ktorá neobsahuje derivácie a pre ktorú je daná diferenciálna rovnica dôsledkom. 
Príklad. Nájdite všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice 
.
Všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice sa hľadá integráciou ľavej a pravej strany rovnice, ktorá sa predtým transformovala takto:
Teraz integrujme: 
je všeobecné riešenie pôvodnej diferenciálnej rovnice.
Povedzme, že sú dané nejaké počiatočné podmienky: x 0 = 1; y 0 = 2, potom máme
Dosadením získanej hodnoty konštanty do všeobecného riešenia získame partikulárne riešenie pre dané počiatočné podmienky (riešenie Cauchyho úlohy).
Definícia. Integrálna krivka sa nazýva graf y = (x) riešenia diferenciálnej rovnice v rovine XOY.
Definícia. Osobitným rozhodnutím diferenciálnej rovnice je také riešenie vo všetkých bodoch, ktoré sa nazýva Cauchyho podmienka jednoznačnosti (pozri. Cauchyho veta.) nie je splnená, t.j. v okolí nejakého bodu (x, y) sú aspoň dve integrálne krivky.
Špeciálne riešenia nezávisia od konštanty C.
Špeciálne riešenia nemožno získať zo všeobecného riešenia pre žiadnu hodnotu konštanty C. Ak zostrojíme rodinu integrálnych kriviek diferenciálnej rovnice, potom špeciálne riešenie bude reprezentované priamkou, ktorá sa v každom bode dotýka aspoň jednej integrálnej krivky .
Všimnite si, že nie každá diferenciálna rovnica má špeciálne riešenia.
Príklad. Nájdite všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice: 
Nájdite špeciálne riešenie, ak existuje.
Táto diferenciálna rovnica má tiež špeciálne riešenie pri= 0. Toto riešenie nie je možné získať zo všeobecného, ale pri dosadení do pôvodnej rovnice získame identitu. Názor, že riešenie r = 0 možno získať zo všeobecného riešenia s S 1 = 0 nesprávne, pretože C 1 = e C 0.
Obyčajná diferenciálna rovnica je rovnica, ktorá dáva do vzťahu nezávislú premennú, neznámu funkciu tejto premennej a jej deriváty (alebo diferenciály) rôznych rádov.
Poradie diferenciálnej rovnice sa nazýva poradie najvyššieho derivátu v ňom obsiahnutého.
Okrem obyčajných sa študujú aj parciálne diferenciálne rovnice. Ide o rovnice týkajúce sa nezávislých premenných, neznámej funkcie týchto premenných a jej parciálnych derivácií vzhľadom na rovnaké premenné. Ale budeme len uvažovať obyčajné diferenciálne rovnice a preto pre stručnosť vynecháme slovo „obyčajný“.
Príklady diferenciálnych rovníc:
(1) 
;
(3) 
;
(4) 
;
Rovnica (1) je štvrtého rádu, rovnica (2) je tretieho rádu, rovnice (3) a (4) sú druhého rádu, rovnica (5) je prvého rádu.
Diferenciálnej rovnice n rád nemusí nevyhnutne obsahovať explicitnú funkciu, všetky jej deriváty od prvého do n-tého rádu a nezávisle premenná. Nesmie explicitne obsahovať deriváty určitých rádov, funkciu alebo nezávislú premennú.
Napríklad v rovnici (1) zjavne nie sú žiadne derivácie tretieho a druhého rádu, ani funkcia; v rovnici (2) - derivácia druhého rádu a funkcia; v rovnici (4) - nezávislá premenná; v rovnici (5) - funkcie. Iba rovnica (3) obsahuje explicitne všetky derivácie, funkciu a nezávislú premennú.
Riešenie diferenciálnej rovnice volá sa každá funkcia y = f(x), po dosadení do rovnice sa zmení na identitu.
Proces hľadania riešenia diferenciálnej rovnice sa nazýva jej integrácia.
Príklad 1 Nájdite riešenie diferenciálnej rovnice.
Riešenie. Napíšme túto rovnicu v tvare . Riešením je nájsť funkciu z jej derivácie. Pôvodná funkcia, ako je známe z integrálneho počtu, je primitívom pre, t.j.
Tak to je riešenie tejto diferenciálnej rovnice . Zmena v ňom C, získame rôzne riešenia. Zistili sme, že existuje nekonečný počet riešení diferenciálnej rovnice prvého poriadku.
Všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice n poradie je jeho riešenie, vyjadrené explicitne vzhľadom na neznámu funkciu a obsahujúce n nezávislé ľubovoľné konštanty, t.j.
Riešenie diferenciálnej rovnice v príklade 1 je všeobecné.
Parciálne riešenie diferenciálnej rovnice nazýva sa riešenie, v ktorom sú ľubovoľným konštantám dané špecifické číselné hodnoty.
Príklad 2 Nájdite všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice a konkrétne riešenie pre 
.
Riešenie. Integrujme obe strany rovnice toľkokrát, koľkokrát sa rovná rádu diferenciálnej rovnice.
,
.
V dôsledku toho sme dostali všeobecné riešenie -
danej diferenciálnej rovnice tretieho rádu.
Teraz poďme nájsť konkrétne riešenie za špecifikovaných podmienok. Ak to chcete urobiť, nahraďte ich hodnoty namiesto ľubovoľných koeficientov a získajte
.
Ak je okrem diferenciálnej rovnice počiatočná podmienka uvedená v tvare , potom sa takýto problém nazýva Cauchy problém . Nahraďte hodnoty a do všeobecného riešenia rovnice a nájdite hodnotu ľubovoľnej konštanty C a potom konkrétne riešenie rovnice pre nájdenú hodnotu C. Toto je riešenie Cauchyho problému.
Príklad 3 Vyriešte Cauchyho úlohu pre diferenciálnu rovnicu z príkladu 1 s výhradou .
Riešenie. Nahradme hodnoty z počiatočný stav r = 3, X= 1. Dostávame
Zapíšeme riešenie Cauchyho úlohy pre túto diferenciálnu rovnicu prvého rádu:
Riešenie diferenciálnych rovníc, aj tých najjednoduchších, si vyžaduje dobré integračné a derivačné schopnosti, vrátane zložitých funkcií. Vidno to na nasledujúcom príklade.
Príklad 4. Nájdite všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice.
Riešenie. Rovnica je napísaná v takej forme, že môžete okamžite integrovať obe strany.
.
Aplikujeme metódu integrácie zmenou premennej (substitúciou). Nech je to potom.
Vyžaduje sa vziať dx a teraz - pozor - robíme to podľa pravidiel diferenciácie komplexnej funkcie, pretože X a existuje komplexná funkcia („jablko“ - extrakt odmocnina alebo, čo je to isté - zvýšenie sily „na polovicu“ a „mleté mäso“ je samotný výraz pod koreňom):
Nájdeme integrál:
Návrat k premennej X, dostaneme:
.
Toto je všeobecné riešenie tejto diferenciálnej rovnice prvého stupňa.
Pri riešení diferenciálnych rovníc sa budú vyžadovať nielen zručnosti z predchádzajúcich sekcií vyššej matematiky, ale aj zručnosti zo elementárnej, teda školskej matematiky. Ako už bolo spomenuté, v diferenciálnej rovnici akéhokoľvek rádu nemusí existovať nezávislá premenná, teda premenná X. Tento problém pomôžu vyriešiť poznatky o proporciách zo školy, na ktoré sa nezabudlo (však podľa koho) zo školy. Toto je ďalší príklad.
diferenciálna rovnica (DE)
- toto je rovnica,
kde sú nezávislé premenné, y je funkcia a sú parciálne derivácie.
Obyčajná diferenciálna rovnica je diferenciálna rovnica, ktorá má iba jednu nezávislú premennú, .
Parciálna diferenciálna rovnica je diferenciálna rovnica, ktorá má dve alebo viac nezávislých premenných.
Slová „obyčajné“ a „čiastočné deriváty“ možno vynechať, ak je jasné, o ktorej rovnici sa uvažuje. V nasledujúcom texte sú uvažované obyčajné diferenciálne rovnice.
Poradie diferenciálnej rovnice je poradie najvyššej derivácie.
Tu je príklad rovnice prvého poriadku:
Tu je príklad rovnice štvrtého rádu:
Niekedy je diferenciálna rovnica prvého poriadku napísaná z hľadiska diferenciálov:
V tomto prípade sú premenné x a y rovnaké. To znamená, že nezávislá premenná môže byť buď x alebo y. V prvom prípade je y funkciou x. V druhom prípade je x funkciou y. V prípade potreby môžeme túto rovnicu zredukovať na formu, ktorá explicitne obsahuje deriváciu y′.
Vydelením tejto rovnice dx dostaneme:
.
Od a z toho vyplýva
.
Riešenie diferenciálnych rovníc
Derivácie elementárnych funkcií sú vyjadrené prostredníctvom elementárnych funkcií. Integrály elementárnych funkcií sa často nevyjadrujú ako elementárne funkcie. S diferenciálnymi rovnicami je situácia ešte horšia. V dôsledku riešenia môžete získať:
- explicitná závislosť funkcie od premennej;
Riešenie diferenciálnej rovnice je funkcia y = u (X), ktorý je definovaný, n-krát diferencovateľný a .
- implicitná závislosť vo forme rovnice typu Φ (x, y) = 0 alebo sústavy rovníc;
Integrál diferenciálnej rovnice je riešením diferenciálnej rovnice, ktorá má implicitný tvar.
- závislosť vyjadrená prostredníctvom elementárnych funkcií a integrálov z nich;
Riešenie diferenciálnej rovnice v kvadratúrach - ide o hľadanie riešenia v podobe kombinácie elementárnych funkcií a ich integrálov.
- riešenie nemôže byť vyjadrené elementárnymi funkciami.
Keďže pri riešení diferenciálnych rovníc ide o výpočet integrálov, riešenie zahŕňa sústavu konštánt C 1, C 2, C 3, ... C n. Počet konštánt sa rovná poradiu rovnice. Parciálny integrál diferenciálnej rovnice je všeobecný integrál pre dané hodnoty konštánt C 1, C 2, C 3, ..., C n.
Referencie:
V.V. Stepanov, Priebeh diferenciálnych rovníc, "LKI", 2015.
N.M. Gunter, R.O. Kuzmin, Zbierka úloh z vyššej matematiky, „Lan“, 2003.