Definícia. Vektorový súčin vektora a (násobiteľa) vektorom (násobiteľom), ktorý s ním nie je kolineárny, je tretí vektor c (súčin), ktorý je skonštruovaný takto:

1) jeho modul je číselný rovná ploche rovnobežník na obr. 155), postavený na vektoroch, t.j. rovná sa smeru kolmému na rovinu uvedeného rovnobežníka;

3) smer vektora c sa v tomto prípade volí (z dvoch možných) tak, aby vektory c tvorili pravotočivú sústavu (§ 110).

Označenie: alebo

Dodatok k definícii. Ak sú vektory kolineárne, potom vzhľadom na obrázok ako (podmienečne) rovnobežník je prirodzené priradiť nulovú plochu. Preto vektorový produkt kolineárne vektory sa považujú za rovné nulovému vektoru.

Keďže nulovému vektoru možno priradiť akýkoľvek smer, táto konvencia nie je v rozpore s bodmi 2 a 3 definície.

Poznámka 1. Vo výraze "vektorový súčin" prvé slovo označuje, že výsledkom činnosti je vektor (na rozdiel od skalárneho súčinu; porovnaj § 104, poznámka 1).

Príklad 1. Nájdite vektorový súčin, kde sú hlavné vektory pravého súradnicového systému (obr. 156).

1. Keďže dĺžky hlavných vektorov sa rovnajú jednotke mierky, plocha rovnobežníka (štvorca) sa číselne rovná jednej. Takže modul vektorového súčinu rovný jednej.

2. Keďže kolmica na rovinu je osou, požadovaný vektorový súčin je vektor kolineárny s vektorom k; a keďže obidve majú modul 1, požadovaný krížový súčin je buď k alebo -k.

3. Z týchto dvoch možných vektorov treba vybrať prvý, keďže vektory k tvoria pravý systém (a vektory tvoria ľavý).

Príklad 2. Nájdite krížový súčin

Riešenie. Ako v príklade 1 sme dospeli k záveru, že vektor je buď k alebo -k. Teraz však musíme zvoliť -k, pretože vektory tvoria pravý systém (a vektory tvoria ľavý). takže,

Príklad 3 Vektory majú dĺžku 80 a 50 cm a zvierajú uhol 30°. Ak vezmeme meter ako jednotku dĺžky, nájdite dĺžku vektorového súčinu a

Riešenie. Plocha rovnobežníka postaveného na vektoroch sa rovná Dĺžka požadovaného vektorového produktu sa rovná

Príklad 4. Nájdite dĺžku krížového súčinu tých istých vektorov, pričom ako jednotku dĺžky vezmite centimeter.

Riešenie. Keďže plocha rovnobežníka postaveného na vektoroch sa rovná dĺžke vektorového súčinu je 2000 cm, t.j.

Porovnanie príkladov 3 a 4 ukazuje, že dĺžka vektora závisí nielen od dĺžok faktorov, ale aj od voľby dĺžkovej jednotky.

Fyzikálny význam vektorového produktu. Z početných fyzikálnych veličín, reprezentovaný vektorovým súčinom, zvážte iba moment sily.

Nech je bod pôsobenia sily A. Moment sily vzhľadom na bod O sa nazýva vektorový súčin. Keďže modul tohto vektorového súčinu sa numericky rovná ploche rovnobežníka (obr. 157), modul momentu sa rovná súčinu základne výškou, t.j. sila vynásobená vzdialenosťou od bodu O k priamke, pozdĺž ktorej sila pôsobí.

V mechanike je dokázané, že pre rovnováhu pevné telo je potrebné, aby sa nule rovnal nielen súčet vektorov reprezentujúcich sily pôsobiace na teleso, ale aj súčet momentov síl. V prípade, že sú všetky sily rovnobežné s tou istou rovinou, sčítanie vektorov reprezentujúcich momenty môže byť nahradené sčítaním a odčítaním ich modulov. Ale pre svojvoľné smery síl je takáto náhrada nemožná. V súlade s tým je krížový súčin definovaný presne ako vektor a nie ako číslo.

Jednotkový vektor- Toto vektor, ktorého absolútna hodnota (modul) sa rovná jednej. Na označenie jednotkového vektora použijeme dolný index e. Ak je teda daný vektor A, potom jeho jednotkovým vektorom bude vektor A e) Tento jednotkový vektor ukazuje rovnakým smerom ako samotný vektor A a jeho modul sa rovná jednej, to znamená ae \u003d 1.

samozrejme, A= a A e (a - vektorový modul A). Vyplýva to z pravidla, podľa ktorého sa vykonáva operácia násobenia skaláru vektorom.

Jednotkové vektoryčasto spojené so súradnicovými osami súradnicového systému (najmä s osami karteziánskeho súradnicového systému). Smery týchto vektory sa zhodujú so smermi zodpovedajúcich osí a ich počiatky sú často kombinované s počiatkom súradnicového systému.

Dovoľte mi, aby som vám to pripomenul Kartézsky súradnicový systém v priestore sa tradične nazýva trojica vzájomne kolmých osí pretínajúcich sa v bode nazývanom počiatok. Súradnicové osi sa zvyčajne označujú písmenami X, Y, Z a nazývajú sa os x, zvislá os a os aplikácie. Samotný Descartes použil iba jednu os, na ktorej boli vynesené úsečky. zásluhou používania systémov sekery patrí jeho žiakom. Preto tá veta Kartézsky súradnicový systém historicky nesprávne. Radšej sa porozprávaj pravouhlý súradnicový systém alebo ortogonálny súradnicový systém. Napriek tomu nezmeníme tradície a v budúcnosti budeme predpokladať, že kartézsky a pravouhlý (ortogonálny) súradnicový systém sú jedno a to isté.

Jednotkový vektor, nasmerovaný pozdĺž osi X, je označený i, jednotkový vektor, nasmerovaný pozdĺž osi Y, je označený j, A jednotkový vektor, smerujúci pozdĺž osi Z, je označený k. vektory i, j, k volal orts(obr. 12, vľavo), majú jednotlivé moduly, tj
i = 1, j = 1, k = 1.

osi a orts pravouhlý súradnicový systém v niektorých prípadoch majú iné názvy a označenia. Takže úsečku X možno nazvať os dotyčnice a jej jednotkový vektor je označený τ (malé grécke písmeno tau), os y je normálna os, jej jednotkový vektor je označený n, os aplikácie je os binormály, označuje sa jej jednotkový vektor b. Prečo meniť mená, ak podstata zostáva rovnaká?

Faktom je, že napríklad v mechanike sa pri štúdiu pohybu telies veľmi často používa pravouhlý súradnicový systém. Ak je teda samotný súradnicový systém nehybný a zmena súradníc pohybujúceho sa objektu je sledovaná v tomto nehybnom systéme, potom zvyčajne osi označujú X, Y, Z a ich orts resp i, j, k.

Ale často, keď sa objekt pohybuje po nejakej krivočiarej trajektórii (napríklad po kruhu), je vhodnejšie zvážiť mechanické procesy v súradnicovom systéme, ktorý sa pohybuje s týmto objektom. Práve pre takýto pohyblivý súradnicový systém sa používajú iné názvy osí a ich jednotkové vektory. Je to len prijaté. V tomto prípade je os X nasmerovaná tangenciálne k trajektórii v bode, kde tento moment tento objekt sa nachádza. A potom sa táto os už nenazýva os X, ale os dotyčnice a jej jednotkový vektor sa už neoznačuje i, A τ . Os Y smeruje pozdĺž polomeru zakrivenia trajektórie (v prípade pohybu v kruhu - do stredu kruhu). A keďže polomer je kolmý na dotyčnicu, os sa nazýva os normály (kolmica a normála sú to isté). Ort tejto osi sa už neoznačuje j, A n. Tretia os (bývalá Z) je kolmá na dve predchádzajúce. Toto je binormálne s vektorom b(obr. 12, vpravo). Mimochodom, v tomto prípade pravouhlý súradnicový systémčasto označované ako „prírodné“ alebo prirodzené.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Predtým, ako uvedieme pojem vektorového súčinu, prejdime k otázke orientácie usporiadanej trojice vektorov a → , b → , c → v trojrozmernom priestore.

Na začiatok odložme vektory a → , b → , c → z jedného bodu. Orientácia trojice a → , b → , c → je pravá alebo ľavá v závislosti od smeru vektora c → . Zo smeru, v ktorom je najkratší obrat z vektora a → do b → od konca vektora c → , sa určí tvar trojice a → , b → , c →.

Ak je najkratšia rotácia proti smeru hodinových ručičiek, potom sa nazýva trojica vektorov a → , b → , c → správny ak v smere hodinových ručičiek - vľavo.

Ďalej zoberte dva nekolineárne vektory a → a b → . Odložme potom vektory A B → = a → a A C → = b → z bodu A. Zostrojme vektor A D → = c → , ktorý je súčasne kolmý na A B → aj A C → . Pri konštrukcii vektora A D → = c → teda môžeme urobiť dve veci a dať mu buď jeden smer alebo opačný (pozri obrázok).

Usporiadaná trojica vektorov a → , b → , c → môže byť, ako sme zistili, pravá alebo ľavá v závislosti od smeru vektora.

Z vyššie uvedeného môžeme zaviesť definíciu vektorového súčinu. Táto definícia je uvedená pre dva vektory definované v pravouhlom súradnicovom systéme trojrozmerného priestoru.

Definícia 1

Vektorový súčin dvoch vektorov a → a b → budeme volať taký vektor daný v pravouhlom súradnicovom systéme trojrozmerného priestoru tak, že:

• ak sú vektory a → a b → kolineárne, bude to nula;
• bude kolmá na vektor a →​​ aj vektor b → t.j. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
• jeho dĺžka je určená vzorcom: c → = a → b → sin ∠ a → , b → ;
• trojica vektorov a → , b → , c → má rovnakú orientáciu ako pre tento systém súradnice.

Krížový súčin vektorov a → a b → má nasledujúci zápis: a → × b → .

Súradnice krížových produktov

Keďže každý vektor má v súradnicovom systéme určité súradnice, je možné zaviesť druhú definíciu vektorového súčinu, ktorá vám umožní nájsť jeho súradnice z daných súradníc vektorov.

Definícia 2

V pravouhlom súradnicovom systéme trojrozmerného priestoru vektorový súčin dvoch vektorov a → = (a x ; a y ; a z) a b → = (b x ; b y ; b z) nazývame vektor c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , kde i → , j → , k → sú súradnicové vektory.

Vektorový súčin možno znázorniť ako determinant štvorcovej matice tretieho rádu, kde prvý riadok sú orta vektory i → , j → , k → , druhý riadok obsahuje súradnice vektora a → a tretí riadok sú súradnice vektora b → v danom pravouhlom súradnicovom systéme, tento determinant matice vyzerá takto: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

Rozšírením tohto determinantu o prvky prvého riadku dostaneme rovnosť: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z i → - a x a z b x b z j → + a x a y b x b y k → = = ( a → × b → a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →

Vlastnosti krížových produktov

Je známe, že vektorový súčin v súradniciach je reprezentovaný ako determinant matice c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z , potom na zákl. vlastnosti determinantu matrice nasledujúci Vlastnosti vektorového produktu:

1. antikomutatívnosť a → × b → = - b → × a → ;
2. distributivita a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → alebo a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
3. asociativita λ a → × b → = λ a → × b → alebo a → × (λ b →) = λ a → × b → , kde λ je ľubovoľné reálne číslo.

Tieto vlastnosti nemajú zložité dôkazy.

Môžeme napríklad dokázať antikomutatívnosť vektorového súčinu.

Dôkaz antikomutatívnosti

Podľa definície a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z a b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z . A ak sa vymenia dva riadky matice, potom by sa hodnota determinantu matice mala zmeniť na opačnú, teda a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a y a z = - b → × a → , čo a dokazuje antikomutatívnosť vektorového súčinu.

Vektorový produkt – príklady a riešenia

Vo väčšine prípadov ide o tri typy úloh.

V úlohách prvého typu sa zvyčajne udávajú dĺžky dvoch vektorov a uhol medzi nimi, ale musíte nájsť dĺžku krížového produktu. V tomto prípade použite nasledujúci vzorec c → = a → b → sin ∠ a → , b → .

Príklad 1

Nájdite dĺžku krížového súčinu vektorov a → a b → ak je známe a → = 3 , b → = 5 , ∠ a → , b → = π 4 .

Riešenie

Pomocou definície dĺžky vektorového súčinu vektorov a → a b → riešime tento problém: a → × b → = a → b → sin ∠ a → , b → = 3 5 sin π 4 = 15 2 2 .

odpoveď: 15 2 2 .

Úlohy druhého typu majú súvislosť so súradnicami vektorov, obsahujú vektorový súčin, jeho dĺžku atď. sa hľadajú cez známe súradnice daných vektorov a → = (a x ; a y ; a z) A b → = (b x ; b y ; b z) .

Pre tento typ úloh môžete vyriešiť veľa možností úloh. Napríklad nie súradnice vektorov a → a b → , ale ich expanzie v súradnicových vektoroch tvaru b → = b x i → + b y j → + b z k → a c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , alebo vektory a → a b → môžu byť dané súradnicami ich počiatočné a koncové body.

Zvážte nasledujúce príklady.

Príklad 2

V pravouhlom súradnicovom systéme sú nastavené dva vektory a → = (2 ; 1 ; - 3) , b → = (0 ; - 1 ; 1) . Nájdite ich vektorový produkt.

Riešenie

Podľa druhej definície nájdeme vektorový súčin dvoch vektorov v daných súradniciach: a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → = = (1 1 - (- 3) (- 1)) i → + ((- 3) 0 - 2 1) j → + (2 (- 1) - 1 0) k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Ak vektorový súčin zapíšeme cez maticový determinant, potom riešenie tohto príkladu je nasledovné: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

odpoveď: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Príklad 3

Nájdite dĺžku krížového súčinu vektorov i → - j → a i → + j → + k → , kde i → , j → , k → - orty pravouhlého karteziánskeho súradnicového systému.

Riešenie

Najprv nájdime súradnice daného vektorového súčinu i → - j → × i → + j → + k → v danom pravouhlom súradnicovom systéme.

Je známe, že vektory i → - j → a i → + j → + k → majú súradnice (1 ; - 1 ; 0) a (1 ; 1; 1). Nájdite dĺžku vektorového súčinu pomocou maticového determinantu, potom máme i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .

Preto vektorový súčin i → - j → × i → + j → + k → má súradnice (- 1 ; - 1 ; 2) v danom súradnicovom systéme.

Dĺžku vektorového súčinu zistíme podľa vzorca (pozri časť o zisťovaní dĺžky vektora): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6.

odpoveď: i → - j → × i → + j → + k → = 6 . .

Príklad 4

Súradnice troch bodov A (1, 0, 1), B (0, 2, 3) ​​, C (1, 4, 2) sú uvedené v pravouhlom karteziánskom súradnicovom systéme. Nájdite nejaký vektor kolmý na A B → a A C → súčasne.

Riešenie

Vektory A B → a AC → majú nasledujúce súradnice (-1; 2; 2) a (0; 4; 1). Keď sme našli vektorový súčin vektorov A B → a A C → , je zrejmé, že ide o kolmý vektor podľa definície k A B → aj A C → , to znamená, že je riešením nášho problému. Nájdite to A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .

odpoveď: - 6 i → + j → - 4 k → . je jedným z kolmých vektorov.

Úlohy tretieho typu sú zamerané na využitie vlastností vektorového súčinu vektorov. Po jeho aplikácii získame riešenie daného problému.

Príklad 5

Vektory a → a b → sú kolmé a ich dĺžky sú 3 a 4. Nájdite dĺžku krížového produktu 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → .

Riešenie

Vlastnosťou distributivity vektorového súčinu môžeme napísať 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

Vlastnosťou asociatívnosti vyberáme číselné koeficienty za znamienkom vektorových súčinov v poslednom výraze: 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × × - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 (- 2) a → × b → + (- 1) b → × a → + (- 1) (- 2) b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

Vektorové produkty a → × a → a b → × b → sa rovnajú 0, pretože a → × a → = a → a → sin 0 = 0 a b → × b → = b → b → sin 0 = 0 , potom 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b → = - 6 a → × b → - b → × a → . .

Z antikomutatívnosti vektorového súčinu vyplýva - 6 a → × b → - b → × a → = - 6 a → × b → - (- 1) a → × b → = - 5 a → × b → . .

Pomocou vlastností vektorového súčinu získame rovnosť 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .

Podľa podmienky sú vektory a → a b → kolmé, to znamená, že uhol medzi nimi je rovný π 2 . Teraz zostáva len nahradiť nájdené hodnoty do zodpovedajúcich vzorcov: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = = 5 a → × b → = 5 a → b → hriech (a →, b →) = 5 3 4 sin π 2 = 60.

odpoveď: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60 .

Dĺžka krížového súčinu vektorov je podľa definície a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . Pretože je už známe (zo školského kurzu), že plocha trojuholníka sa rovná polovici súčinu dĺžok jeho dvoch strán vynásobených sínusom uhla medzi týmito stranami. Preto sa dĺžka vektorového súčinu rovná ploche rovnobežníka - zdvojeného trojuholníka, konkrétne súčinu strán vo forme vektorov a → a b → , odložených z jedného bodu sínusom. uhla medzi nimi sin ∠ a → , b → .

Toto je geometrický význam vektorového súčinu.

Fyzikálny význam vektorového produktu

V mechanike, jednom z odvetví fyziky, môžete vďaka vektorovému súčinu určiť moment sily vzhľadom na bod v priestore.

Definícia 3

Pod momentom sily F → , pôsobiacim na bod B , relatívne k bodu A budeme rozumieť nasledujúci vektorový súčin A B → × F → .

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

V tejto lekcii sa pozrieme na ďalšie dve operácie s vektormi: krížový súčin vektorov A zmiešaný súčin vektorov (okamžitý odkaz pre tých, ktorí to potrebujú). Nevadí, občas sa stane, že pre úplné šťastie sa navyše bodový súčin vektorov, je potrebné stále viac a viac. Taká je vektorová závislosť. Niekto môže mať dojem, že sa dostávame do džungle analytickej geometrie. Toto je nesprávne. V tejto časti vyššej matematiky je vo všeobecnosti málo palivového dreva, snáď až na dosť pre Pinocchia. V skutočnosti je materiál veľmi bežný a jednoduchý - sotva ťažší ako ten istý skalárny produkt, dokonca aj typických úloh bude menej. Hlavnou vecou v analytickej geometrii, ako mnohí vidia alebo už videli, je NEMÝLIŤ SA VÝPOČTOV. Opakujte ako kúzlo a budete šťastní =)

Ak sa vektory lesknú niekde ďaleko, ako blesky na obzore, nevadí, začnite lekciou Vektory pre figuríny obnoviť alebo znovu získať základné vedomosti o vektoroch. Pripravenejší čitatelia sa môžu s informáciami zoznámiť selektívne, snažil som sa zhromaždiť čo najkompletnejšiu zbierku príkladov, ktoré sa často nachádzajú praktická práca

Čo ti urobí radosť? Keď som bol malý, vedel som žonglovať s dvoma a dokonca aj s tromi loptičkami. Dobre to dopadlo. Teraz nie je potrebné vôbec žonglovať, pretože zvážime iba priestorové vektory a ploché vektory s dvoma súradnicami budú vynechané. prečo? Takto sa zrodili tieto akcie – vektor a zmiešaný súčin vektorov sú definované a fungujú v trojrozmernom priestore. Už jednoduchšie!

V tejto operácii, rovnakým spôsobom ako v skalárnom súčine, dva vektory. Nech sú to nezničiteľné písmená.

Samotná akcia označené nasledujúcim spôsobom: . Sú aj iné možnosti, ale ja som zvyknutý takto označovať krížový súčin vektorov v hranatých zátvorkách krížikom.

A hneď otázka: ak je v bodový súčin vektorov sú zapojené dva vektory a tu sa teda dva vektory tiež vynásobia v čom je rozdiel? Jasný rozdiel predovšetkým vo VÝSLEDKU:

Výsledkom skalárneho súčinu vektorov je ČÍSLO:

Výsledkom krížového súčinu vektorov je VEKTOR: , čiže vektory vynásobíme a opäť dostaneme vektor. Uzavretý klub. Odtiaľ vlastne pochádza aj názov operácie. V rôznej náučnej literatúre sa môžu označenia aj líšiť, ja použijem písmeno .

Definícia krížového produktu

Najprv bude definícia s obrázkom, potom komentáre.

Definícia: krížový súčin nekolineárne vektory, prijaté v tomto poradí, sa nazýva VEKTOR, dĺžkačo je číselne rovná ploche rovnobežníka, postavené na týchto vektoroch; vektor ortogonálne k vektorom a je nasmerovaný tak, aby základ mal správnu orientáciu:

Rozoberáme definíciu podľa kostí, je tam veľa zaujímavých vecí!

Môžeme teda zdôrazniť nasledujúce dôležité body:

1) Zdrojové vektory označené červenými šípkami podľa definície nie kolineárne. O niečo neskôr bude vhodné zvážiť prípad kolineárnych vektorov.

2) Nasnímané vektory v prísnom poradí: – "a" sa vynásobí "byť", nie "byť" na "a". Výsledok násobenia vektorov je VECTOR , ktorý je označený modrou farbou. Ak sa vektory vynásobia v opačnom poradí, dostaneme vektor rovnakej dĺžky a opačného smeru (karmínová farba). Teda rovnosť .

3) Teraz sa zoznámime s geometrickým významom vektorového súčinu. Toto je veľmi dôležitý bod! DĹŽKA modrého vektora (a teda karmínového vektora ) sa numericky rovná PLOHE rovnobežníka postaveného na vektoroch . Na obrázku je tento rovnobežník vytieňovaný čiernou farbou.

Poznámka : výkres je schematický a nominálna dĺžka krížového produktu sa samozrejme nerovná ploche rovnobežníka.

Pripomíname si jeden z geometrických vzorcov: plocha rovnobežníka sa rovná súčinu susedných strán a sínusu uhla medzi nimi. Preto na základe vyššie uvedeného platí vzorec na výpočet DĹŽKY vektorového produktu:

Zdôrazňujem, že vo vzorci hovoríme o DĹŽKE vektora, a nie o vektore samotnom. Aký je praktický význam? A význam je taký, že v problémoch analytickej geometrie sa oblasť rovnobežníka často nachádza prostredníctvom konceptu vektorového produktu:

Dostávame druhý dôležitý vzorec. Uhlopriečka rovnobežníka (červená bodkovaná čiara) ho rozdeľuje na dve časti rovnaký trojuholník. Preto oblasť trojuholníka postavená na vektoroch (červené tieňovanie) možno nájsť podľa vzorca:

4) Nemenej dôležitým faktom je, že vektor je ortogonálny k vektorom, tj . Samozrejme, opačne orientovaný vektor (karmínová šípka) je tiež ortogonálny k pôvodným vektorom.

5) Vektor smeruje tak, že základ Má správny orientácia. V lekcii o prechod na nový základ Hovoril som podrobne o rovinná orientácia a teraz zistíme, aká je orientácia priestoru. Vysvetlím na vašich prstoch pravá ruka . Mentálne kombinovať ukazovák s vektorom a prostredník s vektorom. Prstenník a malíček zatlačte do dlane. Ako výsledok palec - vektorový produkt sa vyhľadá. Toto je správne orientovaný základ (je na obrázku). Teraz vymeňte vektory ( ukazovákom a prostredníkom) v dôsledku toho sa na niektorých miestach palec otočí a vektorový produkt sa už bude pozerať nadol. Toto je tiež správne orientovaný základ. Možno máte otázku: aký základ má ľavicová orientácia? "Priraďte" rovnaké prsty ľavá ruka vectors a získajte ľavú základňu a orientáciu ľavého priestoru (v tomto prípade bude palec umiestnený v smere spodného vektora). Obrazne povedané, tieto základy „krútia“ alebo orientujú priestor v rôznych smeroch. A tento koncept by sa nemal považovať za niečo pritiahnuté za vlasy alebo abstraktné - napríklad najbežnejšie zrkadlo mení orientáciu priestoru a ak „vytiahnete odrazený predmet zo zrkadla“, vo všeobecnosti to nebude možné. skombinujte ho s „originálom“. Mimochodom, priložte tri prsty k zrkadlu a analyzujte odraz ;-)

... aké je dobré, že o tom teraz viete orientované vpravo a vľavo základy, lebo vyjadrenia niektorých lektorov o zmene orientácie sú hrozné =)

Vektorový súčin kolineárnych vektorov

Definícia bola podrobne vypracovaná, zostáva zistiť, čo sa stane, keď sú vektory kolineárne. Ak sú vektory kolineárne, potom môžu byť umiestnené na jednej priamke a náš rovnobežník sa tiež „zloží“ do jednej priamky. Oblasť takých, ako hovoria matematici, degenerovať rovnobežník je nulový. To isté vyplýva zo vzorca - sínus nuly alebo 180 stupňov sa rovná nule, čo znamená, že plocha je nula

Teda ak , tak . Presne povedané, samotný krížový súčin sa rovná nulovému vektoru, ale v praxi sa to často zanedbáva a píše sa, že sa jednoducho rovná nule.

Špeciálnym prípadom je vektorový súčin vektora a samotného:

Pomocou krížového súčinu môžete skontrolovať kolinearitu trojrozmerných vektorov a túto úlohu okrem iného budeme tiež analyzovať.

Na riešenie praktických príkladov môže byť potrebné trigonometrická tabuľka nájsť z neho hodnoty sínusov.

No, založme oheň:

Príklad 1

a) Nájdite dĺžku vektorového súčinu vektorov ak

b) Nájdite oblasť rovnobežníka postaveného na vektoroch, ak

Riešenie: Nie, toto nie je preklep, zámerne som urobil počiatočné údaje v položkách podmienky rovnaké. Pretože dizajn riešení bude iný!

a) Podľa podmienky je potrebné nájsť dĺžka vektor (vektorový súčin). Podľa zodpovedajúceho vzorca:

Odpoveď:

Keďže sa pýtali na dĺžku, tak v odpovedi uvádzame rozmer - jednotky.

b) Podľa stavu sa vyžaduje nájsť námestie rovnobežník postavený na vektoroch. Plocha tohto rovnobežníka sa číselne rovná dĺžke krížového produktu:

Odpoveď:

Upozorňujeme, že v odpovedi o vektorovom produkte sa vôbec nehovorí, na čo sa nás pýtali oblasť postavy, respektíve rozmer je štvorcových jednotiek.

Vždy sa pozrieme na to, ČO sa má podľa podmienky nájsť, a na základe toho formulujeme jasný odpoveď. Môže sa to zdať ako doslovnosť, ale doslovníkov je medzi učiteľmi dosť a úloha s dobrými šancami sa vráti na prepracovanie. Aj keď to nie je obzvlášť napätá hnidopišská záležitosť - ak je odpoveď nesprávna, potom má človek dojem, že človek nerozumie jednoduchým veciam a / alebo nepochopil podstatu úlohy. Tento moment treba mať vždy pod kontrolou, riešiť akýkoľvek problém vo vyššej matematike, ale aj v iných predmetoch.

Kam zmizlo veľké písmeno „en“? V zásade by sa to dalo dodatočne prilepiť k riešeniu, ale v záujme skrátenia záznamu som to neurobil. Dúfam, že to každý chápe a je to označenie toho istého.

Populárny príklad riešenia „urob si sám“:

Príklad 2

Nájdite oblasť trojuholníka postaveného na vektoroch, ak

Vzorec na nájdenie oblasti trojuholníka cez vektorový produkt je uvedený v komentároch k definícii. Riešenie a odpoveď na konci hodiny.

V praxi je úloha naozaj veľmi bežná, trojuholníky sa dajú vo všeobecnosti mučiť.

Na vyriešenie iných problémov potrebujeme:

Vlastnosti krížového súčinu vektorov

Niektoré vlastnosti vektorového súčinu sme už zvážili, do tohto zoznamu ich však zaradím.

Pre ľubovoľné vektory a ľubovoľné číslo platia nasledujúce vlastnosti:

1) V iných zdrojoch informácií sa táto položka zvyčajne nerozlišuje vo vlastnostiach, ale z praktického hľadiska je veľmi dôležitá. Tak nech je.

2) - o majetku sa hovorí aj vyššie, niekedy je tzv antikomutatívnosť. Inými slovami, na poradí vektorov záleží.

3) - kombinácia resp asociatívne zákony o vektorových produktoch. Konštanty sú ľahko vyňaté z limitov vektorového súčinu. Ozaj, čo tam robia?

4) - distribúcia resp distribúcia zákony o vektorových produktoch. Problémy nie sú ani s otváraním zátvoriek.

Ako ukážku zvážte krátky príklad:

Príklad 3

Nájdite ak

Riešenie: Podľa podmienky je opäť potrebné nájsť dĺžku vektorového súčinu. Namaľujeme si našu miniatúru:

(1) Podľa asociatívnych zákonov vyberáme konštanty za hranice vektorového súčinu.

(2) Vyberieme konštantu z modulu, zatiaľ čo modul „žerie“ znamienko mínus. Dĺžka nemôže byť záporná.

(3) Čo nasleduje, je jasné.

Odpoveď:

Je čas hodiť drevo do ohňa:

Príklad 4

Vypočítajte obsah trojuholníka postaveného na vektoroch, ak

Riešenie: Nájdite oblasť trojuholníka pomocou vzorca . Háčik je v tom, že samotné vektory „ce“ a „te“ sú reprezentované ako súčty vektorov. Algoritmus je tu štandardný a trochu pripomína príklady č. 3 a 4 z lekcie. Bodový súčin vektorov. Pre prehľadnosť si to rozložme do troch krokov:

1) V prvom kroku vyjadríme vektorový produkt prostredníctvom vektorového produktu, v skutočnosti, vyjadriť vektor v termínoch vektora. O dĺžke zatiaľ nepadlo ani slovo!

(1) Dosadíme výrazy vektorov .

(2) Pomocou distributívnych zákonov otvorte zátvorky podľa pravidla násobenia polynómov.

(3) Pomocou asociatívnych zákonov odstránime všetky konštanty za vektorovými súčinmi. S malými skúsenosťami je možné vykonať akcie 2 a 3 súčasne.

(4) Prvý a posledný člen sa rovnajú nule (vektor nula) kvôli príjemnej vlastnosti . V druhom termíne používame vlastnosť antikomutativity vektorového produktu:

(5) Uvádzame podobné výrazy.

V dôsledku toho sa ukázalo, že vektor je vyjadrený prostredníctvom vektora, čo bolo potrebné na dosiahnutie:

2) V druhom kroku nájdeme dĺžku vektorového súčinu, ktorý potrebujeme. Táto akcia pripomína príklad 3:

3) Nájdite oblasť požadovaného trojuholníka:

Kroky 2-3 riešenia by mohli byť usporiadané v jednej línii.

Odpoveď:

Uvažovaný problém je celkom bežný v kontrolná práca, tu je príklad riešenia „urob si sám“:

Príklad 5

Nájdite ak

Krátke riešenie a odpoveď na konci hodiny. Pozrime sa, ako pozorní ste boli pri štúdiu predchádzajúcich príkladov ;-)

Krížový súčin vektorov v súradniciach

uvedené na ortonormálnom základe , sa vyjadruje vzorcom:

Vzorec je naozaj jednoduchý: súradnicové vektory napíšeme do horného riadku determinantu, súradnice vektorov „zabalíme“ do druhého a tretieho riadku a dáme v prísnom poradí- najprv súradnice vektora "ve", potom súradnice vektora "double-ve". Ak je potrebné vynásobiť vektory v inom poradí, riadky by sa mali tiež vymeniť:

Príklad 10

Skontrolujte, či sú nasledujúce priestorové vektory kolineárne:
A)
b)

Riešenie: Test je založený na jednom z tvrdení v tejto lekcii: ak sú vektory kolineárne, ich krížový súčin je nula (nulový vektor): .

a) Nájdite vektorový súčin:

Takže vektory nie sú kolineárne.

b) Nájdite vektorový súčin:

Odpoveď: a) nie kolineárne, b)

Tu sú snáď všetky základné informácie o vektorovom súčine vektorov.

Táto časť nebude príliš veľká, pretože existuje len málo problémov, kde sa používa zmiešaný súčin vektorov. V skutočnosti bude všetko spočívať na definícii, geometrickom význame a niekoľkých pracovných vzorcoch.

Zmiešaný súčin vektorov je produkt troch vektory:

Takto sa zoradili ako vlak a čakajú, nevedia sa dočkať, kým sa spočítajú.

Najprv opäť definícia a obrázok:

Definícia: Zmiešaný produkt nekoplanárne vektory, prijaté v tomto poradí, sa volá objem rovnobežnostena, postavené na týchto vektoroch, vybavené znamienkom „+“, ak je základ pravý, a znamienkom „-“, ak je základ ľavý.

Urobme kresbu. Pre nás neviditeľné čiary sú nakreslené bodkovanou čiarou:

Poďme sa ponoriť do definície:

2) Nasnímané vektory v určitom poradí, to znamená, že permutácia vektorov v produkte, ako by ste mohli hádať, nezostane bez následkov.

3) Pred komentovaním geometrického významu si všimnem zrejmú skutočnosť: zmiešaný súčin vektorov je ČÍSLO: . Vo vzdelávacej literatúre môže byť dizajn trochu odlišný, zvykol som označovať zmiešaný produkt a výsledok výpočtov písmenom „pe“.

A-priorstvo zmiešaný produkt je objem kvádra, postavený na vektoroch (postava je nakreslená červenými vektormi a čiernymi čiarami). To znamená, že číslo sa rovná objemu daného rovnobežnostena.

Poznámka : Výkres je schematický.

4) Nezaťažujme sa opäť pojmom orientácia základne a priestoru. Význam záverečnej časti je, že k objemu možno pridať znamienko mínus. Jednoducho povedané, zmiešaný produkt môže byť negatívny: .

Vzorec na výpočet objemu kvádra postaveného na vektoroch priamo vyplýva z definície.

Definícia Usporiadaná zbierka (x 1 , x 2 , ... , x n) n reálnych čísel sa nazýva n-rozmerný vektor a čísla x i (i = ) - komponentov alebo súradnice,

Príklad. Ak má napríklad určitá automobilka za zmenu vyrobiť 50 osobných automobilov, 100 nákladných áut, 10 autobusov, 50 súprav náhradných dielov pre osobné automobily a 150 súprav pre nákladné autá a autobusy, potom výrobný program tohto závodu možno zapísať ako vektor (50, 100, 10, 50, 150), ktorý má päť zložiek.

Notový zápis. Vektory sú označené tučným písmom malými písmenami alebo písmená s pruhom alebo šípkou v hornej časti, napr. a alebo. Tieto dva vektory sa nazývajú rovný ak majú rovnaký počet komponentov a ich zodpovedajúce komponenty sú rovnaké.

Komponenty vektora nie je možné zamieňať, napr. (3, 2, 5, 0, 1) a (2, 3, 5, 0, 1) rôzne vektory.
Operácie na vektoroch. práca X= (x 1 , x 2 , ... ,x n) na reálne čísloλ nazývaný vektorλ X= (Ax1,Ax2,...,Axn).

súčetX= (x 1, x 2, ..., x n) a r= (y 1 , y 2 , ... ,y n) sa nazýva vektor x+y= (x1 + y1, x 2 + y2, ..., x n + + y n).

Priestor vektorov. N -rozmerný vektorový priestor R n je definované ako množina všetkých n-rozmerných vektorov, pre ktoré sú definované operácie násobenia reálnymi číslami a sčítania.

Ekonomická ilustrácia. Ekonomická ilustrácia n-rozmerného vektorového priestoru: priestor tovaru (tovar). Pod tovar budeme rozumieť nejakému tovaru alebo službe, ktoré sa začali predávať v určitom čase na určitom mieste. Predpokladajme, že je k dispozícii konečný počet statkov n; množstvá každého z nich zakúpené spotrebiteľom sú charakterizované súborom tovaru

X= (x 1 , x 2 , ..., x n),

kde x i označuje množstvo i-tého tovaru zakúpeného spotrebiteľom. Budeme predpokladať, že všetky tovary majú vlastnosť ľubovoľnej deliteľnosti, takže je možné kúpiť akékoľvek nezáporné množstvo každého z nich. Potom všetky možné množiny tovarov sú vektormi priestoru tovarov C = ( X= (x 1 , x 2 , ... , x n) x i ≥ 0, i =).

Lineárna nezávislosť. Systém e 1 , e 2 , ... , e m n-rozmerných vektorov sa nazýva lineárne závislé ak sú také číslaλ1, λ2, ..., λm , z ktorých aspoň jeden je nenulový, čo spĺňa rovnosťλ1 e 1 + λ2 e 2+...+λm e m = 0; inak sa tento systém vektorov nazýva lineárne nezávislé, teda táto rovnosť je možná len v prípade, keď všetky . geometrický zmysel lineárna závislosť vektorov v R 3, interpretované ako smerované segmenty, vysvetlite nasledujúce vety.

Veta 1. Systém pozostávajúci z jedného vektora je lineárne závislý práve vtedy, ak je tento vektor nulový.

Veta 2. Aby boli dva vektory lineárne závislé, je potrebné a postačujúce, aby boli kolineárne (paralelné).

Veta 3 . Aby boli tri vektory lineárne závislé, je potrebné a postačujúce, aby boli koplanárne (ležali v rovnakej rovine).

Ľavá a pravá trojica vektorov. Trojica nekoplanárnych vektorov a, b, c volal správny, ak pozorovateľ z ich spoločného pôvodu obchádza konce vektorov a, b, c zdá sa, že v tomto poradí postupuje v smere hodinových ručičiek. Inak a, b, c -vľavo trojitý. Všetky pravé (alebo ľavé) trojice vektorov sa nazývajú rovnako orientovaný.

Základ a súradnice. Trojka e 1, e 2 , e 3 nekoplanárne vektory v R 3 tzv základ a samotné vektory e 1, e 2 , e 3 - základné. Akýkoľvek vektor a môže byť rozšírený jedinečným spôsobom z hľadiska bázových vektorov, to znamená, že môže byť reprezentovaný vo forme

A= x 1 e 1 + x2 e 2 + x 3 e 3, (1.1)

volajú sa čísla x 1 , x 2 , x 3 v expanzii (1.1). súradnicea v základe e 1, e 2 , e 3 a sú označené a(x 1, x 2, x 3).

Ortonormálny základ. Ak vektory e 1, e 2 , e 3 sú párovo kolmé a dĺžka každého z nich je rovná jednej, potom sa základ nazýva ortonormálny a súradnice x 1 , x 2 , x 3 - pravouhlý. Bázové vektory ortonormálnej bázy budú označené i, j, k.

Budeme predpokladať, že vo vesmíre R 3 pravý systém karteziánskych pravouhlých súradníc (0, i, j, k}.

Vektorový produkt. vektorové umenie A na vektor b nazývaný vektor c, ktorý je určený týmito tromi podmienkami:

1. Dĺžka vektora cčíselne sa rovná ploche rovnobežníka postaveného na vektoroch a A b, t.j.
c= |a||b| hriech( a^b).

2. Vektor c kolmo na každý z vektorov a A b.

3. Vektory a, b A c, brané v tomto poradí, tvoria pravú trojicu.

Pre vektorový produkt c uvádza sa označenie c=[ab] alebo
c = a × b.

Ak vektory a A b sú kolineárne, potom hriech( a^b) = 0 a [ ab] = 0, najmä [ aa] = 0. Vektorové produkty orts: [ ij]=k, [jk] = i, [ki]=j.

Ak vektory a A b uvedené v zákl i, j, k súradnice a(a 1, a 2, a 3), b(b1, b2, b3), potom

Zmiešaná práca. Ak krížový súčin dvoch vektorov A A b skalárne vynásobené tretím vektorom c, potom sa takýto súčin troch vektorov nazýva zmiešaný produkt a je označený symbolom a bc.

Ak vektory a, b A c v základe i, j, k nastavené ich súradnicami
a(a 1, a 2, a 3), b(b 1, b 2, b 3), c(c1, c2, c3), potom

.

Zmiešaný produkt má jednoduchú geometrickú interpretáciu - je to skalár, v absolútnej hodnote rovnajúci sa objemu kvádra postaveného na troch daných vektoroch.

Ak vektory tvoria pravú trojicu, potom ich zmiešaný produkt je kladné číslo rovnajúce sa uvedenému objemu; ak tí traja a, b, c - vľavo teda a b c<0 и V = - a b c, teda V =|a b c|.

Predpokladá sa, že súradnice vektorov, s ktorými sa stretávame v úlohách prvej kapitoly, sú dané vzhľadom na správnu ortonormálnu bázu. Jednotkový vektor kosmerný k vektoru A, označené symbolom A O. Symbol r=OM označený vektorom polomeru bodu M, symboly a, AB alebo|a|, | AB |moduly vektorov sú označené A A AB.

Príklad 1.2. Nájdite uhol medzi vektormi a= 2m+4n A b= m-n, Kde m A n- jednotkové vektory a uhol medzi nimi m A n rovný 120 o.

Riešenie. Máme: cos φ = ab/ab, ab=(2m+4n) (m-n) = 2m 2 - 4n 2 +2mn=
= 2 - 4 + 2cos120 o = -2 + 2 (-0,5) = -3; a = ; a 2 = (2m+4n) (2m+4n) =
= 4m 2 +16mn+16n 2 = 4+16(-0,5)+16=12, takže a = . b= ; b 2 =
= (m-n)(m-n) = m 2 -2mn+n 2 = 1-2(-0,5)+1 = 3, takže b = . Nakoniec tu máme: cosφ \u003d -1/2, φ \u003d 120 o.

Príklad 1.3.Poznanie vektorov AB(-3,-2,6) a BC(-2,4,4), vypočítajte výšku AD trojuholníka ABC.

Riešenie. Označením oblasti trojuholníka ABC pomocou S dostaneme:
S = 1/2 pred Kr. Potom AD=2S/BC, BC== = 6,
S = 1/2| AB ×AC|. AC=AB+BC, teda vektor AC má súradnice
. .

Príklad 1.4 . Dané dva vektory a(11,10,2) a b(4,0,3). Nájdite jednotkový vektor c, ortogonálne k vektorom a A b a nasmerované tak, aby usporiadaná trojica vektorov a, b, c mal pravdu.

Riešenie.Označme súradnice vektora c vzhľadom na daný pravý ortonormálny základ v zmysle x, y, z.

Pretože c ⊥ a, c ⊥b, To cca= 0, cb= 0. Podľa podmienky problému sa vyžaduje, aby c = 1 a a b c >0.

Máme systém rovníc pre nájdenie x,y,z: 11x +10y + 2z = 0, 4x + 3z = 0, x 2 + y2 + z2 = 0.

Z prvej a druhej rovnice sústavy dostaneme z = -4/3 x, y = -5/6 x. Dosadením y a z do tretej rovnice budeme mať: x 2 = 36/125, odkiaľ
x=± . Použitie podmienky a b c > 0, dostaneme nerovnosť

S prihliadnutím na výrazy pre z a y prepíšeme výslednú nerovnosť v tvare: 625/6 x > 0, z čoho vyplýva, že x>0. Takže x =, y = -, z = -.