Plocha krivočiareho lichobežníka sa číselne rovná určitému integrálu. Ako nájsť oblasť krivočiareho lichobežníka

Určitý integrál. Ako vypočítať plochu obrázku

Teraz prejdeme k úvahám o aplikáciách integrálneho počtu. V tejto lekcii budeme analyzovať typickú a najbežnejšiu úlohu. Ako použiť určitý integrál na výpočet plochy rovinného útvaru. Napokon, tí, ktorí hľadajú zmysel vo vyššej matematike – nech ho nájdu. Nikdy nevieš. V skutočnom živote budete musieť priblížiť letnú chatu so základnými funkciami a nájsť jej oblasť pomocou určitého integrálu.

Ak chcete úspešne zvládnuť materiál, musíte:

1) pochopiť neurčitý integrál aspoň na priemernej úrovni. Preto by si figuríny mali lekciu najskôr prečítať nie.

2) Byť schopný použiť Newtonov-Leibnizov vzorec a vypočítať určitý integrál. S určitými integrálmi na stránke môžete nadviazať vrúcne priateľské vzťahy Určitý integrál. Príklady riešení.

V skutočnosti, aby ste našli oblasť obrázku, nepotrebujete toľko vedomostí o neurčitom a určitom integráli. Úloha "vypočítať plochu pomocou určitého integrálu" vždy zahŕňa konštrukciu výkresu, takže vaše znalosti a zručnosti v kreslení budú oveľa relevantnejšou záležitosťou. V tomto ohľade je užitočné osviežiť si pamäť grafov hlavných elementárnych funkcií a prinajmenšom vedieť zostaviť priamku, parabolu a hyperbolu. To sa dá (mnohí potrebujú) pomocou metodický materiál a články o geometrických transformáciách grafov.

V skutočnosti každý pozná problém hľadania oblasti pomocou určitého integrálu už od školy a my trochu predbehneme školské osnovy. Tento článok by možno vôbec neexistoval, ale faktom je, že problém nastáva v 99 prípadoch zo 100, keď študenta s nadšením s ovládaním kurzu vyššej matematiky trápi nenávidená veža.

Materiály tohto workshopu sú prezentované jednoducho, podrobne a s minimom teórie.

Začnime s krivočiary lichobežník.

Krivočiary lichobežník nazývaný plochý útvar ohraničený osou , priamkami , a grafom funkcie súvislej na segmente, ktorý nemení znamienko na tomto intervale. Nechajte tento obrázok nájsť nie menejúsečka:

Potom plocha krivočiareho lichobežníka sa číselne rovná určitému integrálu. Akýkoľvek určitý integrál (ktorý existuje) má veľmi dobrý geometrický význam. Na lekcii Určitý integrál. Príklady riešení Povedal som, že určitý integrál je číslo. A teraz je čas uviesť ďalšie užitočná skutočnosť. Z hľadiska geometrie je určitým integrálom PLOCHA.

teda určitý integrál (ak existuje) geometricky zodpovedá ploche nejakého obrázku. Uvažujme napríklad určitý integrál . Integrand definuje krivku v rovine, ktorá sa nachádza nad osou (tí, ktorí si želajú, môžu dokončiť výkres) a samotný určitý integrál sa číselne rovná ploche zodpovedajúceho krivočiareho lichobežníka.

Príklad 1

Toto je typická úloha. Najprv a rozhodujúci moment riešenia - kreslenie. Okrem toho musí byť vytvorený výkres SPRÁVNY.

Pri zostavovaní plánu odporúčam nasledujúce poradie: najprv je lepšie zostaviť všetky čiary (ak existujú) a len po- paraboly, hyperboly, grafy iných funkcií. Vytváranie funkčných grafov je výhodnejšie bod po bode, techniku bodovej konštrukcie nájdete v referenčný materiál Grafy a vlastnosti elementárnych funkcií. Nájdete tam aj materiál, ktorý je veľmi užitočný v súvislosti s našou lekciou - ako rýchlo postaviť parabolu.

V tomto probléme môže riešenie vyzerať takto.
Urobme nákres (všimnite si, že rovnica definuje os):

Nebudem šrafovať krivočiary lichobežník, je zrejmé, o akej oblasti sa tu bavíme. Riešenie pokračuje takto:

Na segmente sa nachádza graf funkcie cez os, preto:

odpoveď:

Kto má ťažkosti s výpočtom určitého integrálu a aplikáciou Newtonovho-Leibnizovho vzorca , pozrite si prednášku Určitý integrál. Príklady riešení.

Po dokončení úlohy je vždy užitočné pozrieť sa na výkres a zistiť, či je odpoveď skutočná. V tomto prípade „od oka“ spočítame počet buniek na výkrese - no, napíše sa asi 9, zdá sa, že je to pravda. Je celkom jasné, že ak by sme mali povedzme odpoveď: 20 štvorcových jednotiek, tak sa evidentne niekde stala chyba – 20 buniek sa evidentne nezmestí do predmetného čísla, nanajvýš tucet. Ak bola odpoveď záporná, úloha bola tiež vyriešená nesprávne.

Príklad 2

Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami , , a osou

Toto je príklad „urob si sám“. Úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Čo robiť, ak sa nachádza krivočiary lichobežník pod nápravou?

Príklad 3

Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami a súradnicovými osami.

Riešenie: Urobme kresbu:

Ak sa nachádza krivočiary lichobežník pod nápravou(alebo nakoniec nie vyššie danú os), potom jeho plochu možno nájsť podľa vzorca:
V tomto prípade:

Pozor! Nezamieňajte si tieto dva typy úloh:

1) Ak ste požiadaní, aby ste vyriešili len určitý integrál bez akéhokoľvek geometrického významu, potom môže byť záporný.

2) Ak ste požiadaní, aby ste našli plochu obrazca pomocou určitého integrálu, potom je plocha vždy kladná! Preto sa v práve uvažovanom vzorci objavuje mínus.

V praxi sa najčastejšie figúrka nachádza v hornej aj dolnej polrovine, a preto od najjednoduchších školských úloh prechádzame k zmysluplnejším príkladom.

Príklad 4

Nájdite plochu plochej postavy ohraničenú čiarami , .

Riešenie: Najprv musíte dokončiť výkres. Všeobecne povedané, pri konštrukcii výkresu v plošných úlohách nás najviac zaujímajú priesečníky čiar. Nájdite priesečníky paraboly a priamky. Dá sa to urobiť dvoma spôsobmi. Prvý spôsob je analytický. Riešime rovnicu:

Preto spodná hranica integrácie, horná hranica integrácie.
Ak je to možné, je lepšie túto metódu nepoužívať..

Oveľa výhodnejšie a rýchlejšie je stavať linky bod po bode, pričom hranice integrácie sa zistia akoby „samo od seba“. Technika vytvárania bodov po bode pre rôzne grafy je podrobne popísaná v pomocníkovi Grafy a vlastnosti elementárnych funkcií. Analytická metóda hľadania limitov sa však stále niekedy musí použiť, ak je napríklad graf dostatočne veľký alebo závitová konštrukcia neodhalila limity integrácie (môžu byť zlomkové alebo iracionálne). A tiež zvážime taký príklad.

Vraciame sa k našej úlohe: racionálnejšie je najprv zostrojiť priamku a až potom parabolu. Urobme si kresbu:

Opakujem, že pri bodovej konštrukcii sa hranice integrácie najčastejšie zisťujú „automaticky“.

A teraz pracovný vzorec: Ak je na intervale nejaká súvislá funkcia väčší alebo rovný nejaká spojitá funkcia, potom oblasť obrázku ohraničená grafmi týchto funkcií a priamkami, možno nájsť podľa vzorca:

Tu už nie je potrebné premýšľať o tom, kde sa postava nachádza - nad osou alebo pod osou, a zhruba povedané, záleží na tom, ktorý graf je NAHOR(vo vzťahu k inému grafu), a ktorý je NIŽŠIE.

V uvažovanom príklade je zrejmé, že na segmente sa parabola nachádza nad priamkou, a preto je potrebné odpočítať od

Dokončenie riešenia môže vyzerať takto:

Požadovaný údaj je ohraničený parabolou zhora a priamkou zdola.
Na segmente podľa zodpovedajúceho vzorca:

odpoveď:

V skutočnosti je školský vzorec pre oblasť krivočiareho lichobežníka v dolnej polrovine (pozri jednoduchý príklad č. 3) špeciálnym prípadom vzorca . Keďže os je daná rovnicou , a graf funkcie je umiestnený nie vyššie osy teda

A teraz pár príkladov pre nezávislé riešenie

Príklad 5

Príklad 6

Nájdite oblasť obrázku ohraničenú čiarami , .

Pri riešení úloh na výpočet plochy pomocou určitého integrálu sa občas stane vtipná príhoda. Výkres bol urobený správne, výpočty boli správne, ale kvôli nepozornosti ... našiel oblasť nesprávnej postavy, tak sa tvoj poslušný sluha niekoľkokrát posral. Tu je skutočný prípad:

Príklad 7

Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami , , , .

Riešenie: Najprv urobme kresbu:

...Eh, kresba vypadla, ale všetko sa zdá byť čitateľné.

Postava, ktorej oblasť potrebujeme nájsť, je vytieňovaná modrou farbou.(pozorne sa pozrite na stav - ako je postava obmedzená!). V praxi sa však v dôsledku nepozornosti často vyskytuje „závada“, že musíte nájsť oblasť obrázku, ktorá je zatienená v zelenej farbe!

Tento príklad je užitočný aj v tom, že sa v ňom plocha obrázku počíta pomocou dvoch určitých integrálov. naozaj:

1) Na segmente nad osou je priamkový graf;

2) Na segmente nad osou je hyperbolový graf.

Je celkom zrejmé, že oblasti sa môžu (a mali by) pridať, preto:

odpoveď:

Prejdime ešte k jednej zmysluplnej úlohe.

Príklad 8

Vypočítajte plochu obrazca ohraničenú čiarami,
Uveďme rovnice v „školskej“ forme a vykonajte kreslenie bod po bode:

Z nákresu je vidieť, že naša horná hranica je „dobrá“: .
Aká je však spodná hranica? Je jasné, že to nie je celé číslo, ale čo? Možno ? Ale kde je záruka, že výkres je vyrobený s dokonalou presnosťou, môže sa to ukázať. Alebo root. Čo ak sme ten graf vôbec nepochopili?

V takýchto prípadoch je potrebné venovať viac času a analyticky spresniť hranice integrácie.

Nájdite priesečníky priamky a paraboly.
Aby sme to dosiahli, riešime rovnicu:

,

Naozaj,.

Ďalšie riešenie je triviálne, hlavnou vecou nie je zmiasť sa v zámenách a znamienkach, výpočty tu nie sú najjednoduchšie.

Na segmente , podľa zodpovedajúceho vzorca:

odpoveď:

Na záver lekcie zvážime dve ťažšie úlohy.

Príklad 9

Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami , ,

Riešenie: Nakreslite tento obrázok do výkresu.

Sakra, zabudol som podpísať rozvrh a prerobiť obrázok, pardon, nie hotz. Nie kresba, dnes je skrátka deň =)

Pre bodovú konštrukciu potrebujete vedieť vzhľad sínusoidy (a vo všeobecnosti je užitočné vedieť grafy všetkých elementárnych funkcií), ako aj niektoré sínusové hodnoty, možno ich nájsť v trigonometrická tabuľka. V niektorých prípadoch (ako v tomto prípade) je dovolené zostaviť schematický výkres, na ktorom musia byť grafy a integračné limity zobrazené v zásade správne.

Problémy s integračnými limitmi tu nie sú, vyplývajú priamo z podmienky: - "x" sa zmení z nuly na "pi". Robíme ďalšie rozhodnutie:

Na segmente je graf funkcie umiestnený nad osou, preto:

Plocha krivočiareho lichobežníka sa číselne rovná určitému integrálu

Akýkoľvek určitý integrál (ktorý existuje) má veľmi dobrý geometrický význam. V triede som povedal, že určitý integrál je číslo. A teraz je čas uviesť ďalší užitočný fakt. Z hľadiska geometrie je určitým integrálom PLOCHA.

teda určitý integrál (ak existuje) geometricky zodpovedá ploche nejakého obrázku. Uvažujme napríklad určitý integrál . Integrand definuje určitú krivku v rovine (v prípade potreby ju možno vždy nakresliť) a samotný určitý integrál sa číselne rovná ploche zodpovedajúceho krivočiareho lichobežníka.

Príklad 1

Toto je typická úloha. Prvým a najdôležitejším momentom rozhodnutia je konštrukcia výkresu. Okrem toho musí byť vytvorený výkres SPRÁVNY.

Nájdete tam aj materiál, ktorý je veľmi užitočný v súvislosti s našou lekciou - ako rýchlo postaviť parabolu.

V tomto probléme môže riešenie vyzerať takto.
Urobme nákres (všimnite si, že rovnica definuje os):

Nebudem šrafovať krivočiary lichobežník, je zrejmé, o akej oblasti sa tu bavíme. Riešenie pokračuje takto:

Na segmente sa nachádza graf funkcie cez os, preto:

odpoveď:

Kto má ťažkosti s výpočtom určitého integrálu a aplikáciou Newtonovho-Leibnizovho vzorca , pozrite si prednášku Určitý integrál. Príklady riešení.

Príklad 2

Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami , , a osou

Toto je príklad „urob si sám“. Úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Čo robiť, ak sa nachádza krivočiary lichobežník pod nápravou?

Príklad 3

Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami a súradnicovými osami.

Riešenie: Urobme kresbu:

Ak krivočiary lichobežník úplne pod nápravou, potom jeho oblasť možno nájsť podľa vzorca:
V tomto prípade:

Pozor! Tieto dva typy úloh by sa nemali zamieňať:

1) Ak ste požiadaní, aby ste vyriešili len určitý integrál bez akéhokoľvek geometrického významu, potom môže byť záporný.

2) Ak ste požiadaní, aby ste našli plochu obrazca pomocou určitého integrálu, potom je plocha vždy kladná! Preto sa v práve uvažovanom vzorci objavuje mínus.

V praxi sa najčastejšie figúrka nachádza v hornej aj dolnej polrovine, a preto od najjednoduchších školských úloh prechádzame k zmysluplnejším príkladom.

Príklad 4

Nájdite plochu plochej postavy ohraničenú čiarami , .

Riešenie: Najprv musíte urobiť kresbu. Všeobecne povedané, pri konštrukcii výkresu v plošných úlohách nás najviac zaujímajú priesečníky čiar. Nájdite priesečníky paraboly a priamky. Dá sa to urobiť dvoma spôsobmi. Prvý spôsob je analytický. Riešime rovnicu:

Preto spodná hranica integrácie, horná hranica integrácie.
Ak je to možné, je lepšie túto metódu nepoužívať.

Oveľa výhodnejšie a rýchlejšie je stavať linky bod po bode, pričom hranice integrácie sa zistia akoby „sami od seba“. Technika vytvárania bodov po bode pre rôzne grafy je podrobne popísaná v pomocníkovi Grafy a vlastnosti elementárnych funkcií. Analytická metóda hľadania limitov sa však stále niekedy musí použiť, ak je napríklad graf dostatočne veľký alebo závitová konštrukcia neodhalila limity integrácie (môžu byť zlomkové alebo iracionálne). A tiež zvážime taký príklad.

A teraz pracovný vzorec: Ak na segmente nejaká spojitá funkcia väčší alebo rovný nejaká spojitá funkcia, potom oblasť zodpovedajúceho obrázku možno nájsť podľa vzorca:

V uvažovanom príklade je zrejmé, že na segmente sa parabola nachádza nad priamkou, a preto je potrebné odpočítať od

Dokončenie riešenia môže vyzerať takto:

Požadovaný údaj je ohraničený parabolou zhora a priamkou zdola.
Na segmente podľa zodpovedajúceho vzorca:

odpoveď:

V skutočnosti je školský vzorec pre oblasť krivočiareho lichobežníka v dolnej polrovine (pozri jednoduchý príklad č. 3) špeciálnym prípadom vzorca . Keďže os je daná rovnicou a graf funkcie je umiestnený pod osou, tak

A teraz pár príkladov pre nezávislé riešenie

Príklad 5

Príklad 6

Nájdite oblasť obrázku ohraničenú čiarami , .

Príklad 7

Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami , , , .

Najprv nakreslíme:

Postava, ktorej oblasť potrebujeme nájsť, je vytieňovaná modrou farbou.(pozorne sa pozrite na stav - ako je postava obmedzená!). V praxi sa však v dôsledku nepozornosti často stáva, že musíte nájsť oblasť postavy, ktorá je zatienená zelenou farbou!

Tento príklad je užitočný aj v tom, že sa v ňom plocha obrázku počíta pomocou dvoch určitých integrálov. naozaj:

1) Na segmente nad osou je priamkový graf;

2) Na segmente nad osou je hyperbolový graf.

Je celkom zrejmé, že oblasti sa môžu (a mali by) pridať, preto:

odpoveď:

Príklad 8

V takýchto prípadoch je potrebné venovať viac času a analyticky spresniť hranice integrácie.

Nájdite priesečníky priamky a paraboly.
Aby sme to dosiahli, riešime rovnicu:

V dôsledku toho, .

Ďalšie riešenie je triviálne, hlavnou vecou nie je zmiasť sa v zámenách a znamienkach, výpočty tu nie sú najjednoduchšie.

Na segmente , podľa zodpovedajúceho vzorca:

Na záver lekcie zvážime dve ťažšie úlohy.

Príklad 9

Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami , ,

Riešenie: Nakreslite tento obrázok na výkres.

Pre bodovú konštrukciu výkresu je potrebné poznať vzhľad sínusoidy (a vo všeobecnosti je užitočné poznať grafy všetkých elementárnych funkcií), ako aj niektoré sínusové hodnoty, možno ich nájsť v trigonometrická tabuľka. V niektorých prípadoch (ako v tomto prípade) je dovolené zostaviť schematický výkres, na ktorom musia byť grafy a integračné limity zobrazené v zásade správne.

Problémy s integračnými limitmi tu nie sú, vyplývajú priamo z podmienky: - "x" sa zmení z nuly na "pi". Robíme ďalšie rozhodnutie:

Na segmente je graf funkcie umiestnený nad osou, preto:

(1) Ako sú sínusy a kosínusy integrované do nepárnych mocnín, môžete vidieť v lekcii Integrály goniometrických funkcií. Ide o typickú techniku, odštipneme jeden sínus.

(2) Použite základné trigonometrická identita ako

(3) Zmeňme premennú , potom:

Nové prerozdelenia integrácie:

Kto naozaj zle obchoduje so suplovaním, choďte na lekciu Náhradná metóda v neurčitom integráli. Pre tých, ktorým nie je veľmi jasný algoritmus náhrady v určitom integráli, navštívte stránku Určitý integrál. Príklady riešení.

Téma: Výpočet plochy plochého útvaru pomocou určitého integrálu

Úlohy: naučiť sa definíciu a vzorce na nájdenie oblasti krivočiareho lichobežníka;

zvážiť rôzne prípady nájdenia oblasti krivočiareho lichobežníka;

Vedieť vypočítať plochu krivočiareho lichobežníka.

Plán:

Krivočiary lichobežník.

Vzorce na výpočet plochy krivočiareho lichobežníka.

Krivočiary lichobežník nazýva sa obrazec, ktorý je ohraničený grafom spojitej nezápornej funkcie f (x) na intervale , úsečkami x=a a x=b, ako aj úsečkou osi x medzi bodmi a a b.

Obrázky krivočiarych lichobežníkov:

Teraz prejdime k možnosti umiestnenie obrazcov, ktorých plocha sa musí vypočítať v rovine súradníc.

najprv bude tu najjednoduchšia možnosť (prvý obrázok), obvyklá krivočiary lichobežník, ako v definícii. Tu nie je potrebné nič vymýšľať, stačí vziať integrál z a predtým b z funkcie f(x). Nájdeme integrál - budeme poznať oblasť tohto lichobežníka.

In druhý možnosť, náš údaj nebude obmedzený osou x, ale inou funkciou g(x). Preto nájsť oblasť CEFD, najprv musíme nájsť oblasť AEFB(pomocou integrálu z f(x)), potom nájdite oblasť ACDB(pomocou integrálu z g(x)). A požadovaná oblasť obrázku CEFD, bude rozdiel medzi prvou a druhou oblasťou krivočiareho lichobežníka. Keďže integračné hranice sú tu rovnaké, toto všetko sa dá zapísať pod jeden integrál (pozri vzorce pod obrázkom), všetko závisí od zložitosti funkcií, v takom prípade bude jednoduchšie integrál nájsť.

Po tretie veľmi podobný prvému, ale len náš lichobežník je umiestnený, nie nad os x, a pod ním. Preto tu musíme vziať rovnaký integrál, len so znamienkom mínus, pretože hodnota integrálu bude záporná a hodnota plochy musí byť kladná. Ak namiesto funkcie f(x) prevziať funkciu -f(x), potom bude jeho graf rovnaký jednoducho symetricky zobrazený vzhľadom na os x.

A štvrtý možnosť, keď je časť nášho obrázku nad osou x a časť je pod ňou. Preto musíme najprv nájsť oblasť obrázku AEFB, ako v prvej verzii, a potom oblasť obrázku A B C D, ako v tretej možnosti a potom ich pridajte. Výsledkom je, že dostaneme oblasť obrázku DEFC. Keďže integračné hranice sú tu rovnaké, toto všetko sa dá zapísať pod jeden integrál (pozri vzorce pod obrázkom), všetko závisí od zložitosti funkcií, v takom prípade bude jednoduchšie integrál nájsť.

Otázky na samovyšetrenie:

Aký tvar sa nazýva krivočiary lichobežník?

Ako nájsť oblasť krivočiareho lichobežníka?

Nech je funkcia nezáporná a spojitá na intervale . Potom podľa geometrický zmysel určitého integrálu sa plocha krivočiareho lichobežníka ohraničená zhora grafom tejto funkcie, zdola osou, zľava a sprava priamkami a (pozri obr. 2) sa vypočíta podľa vzorca

Príklad 9 Nájdite oblasť obrázku ohraničenú čiarou a osou.

Riešenie. Graf funkcií je parabola, ktorej vetvy smerujú nadol. Poďme si ho postaviť (obr. 3). Na určenie hraníc integrácie nájdeme priesečníky priamky (paraboly) s osou (priamka). Aby sme to dosiahli, riešime sústavu rovníc

Dostaneme: , kde , ; V dôsledku toho, ,.

Ryža. 3

Oblasť obrázku sa zistí podľa vzorca (5):

Ak je funkcia na segmente nekladná a spojitá, potom je plocha krivočiareho lichobežníka ohraničená zospodu grafom tejto funkcie, zhora osou, zľava a sprava priamkami a , je vypočítané podľa vzorca

. (6)

Ak je funkcia spojitá na segmente a mení znamienko na konečnom počte bodov, potom sa plocha tieňovaného útvaru (obr. 4) rovná algebraickému súčtu zodpovedajúcich určitých integrálov:

Ryža. štyri

Príklad 10 Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú osou a graf funkcie pre .

Ryža. 5

Riešenie. Urobme si nákres (obr. 5). Požadovaná plocha je súčtom plôch a . Poďme nájsť každú z týchto oblastí. Najprv určíme hranice integrácie riešením systému Dostaneme , . V dôsledku toho:

;

Oblasť tieňovaného obrázku je teda

(jednotky štvorcových).

Ryža. 6

Nech je nakoniec krivočiary lichobežník ohraničený zhora a zdola grafmi funkcií spojitých na segmente a ,
a na ľavej a pravej strane - rovné a (obr. 6). Potom sa jeho plocha vypočíta podľa vzorca

. (8)

Príklad 11. Nájdite oblasť obrázku ohraničenú čiarami a .

Riešenie. Tento obrázok je znázornený na obr. 7. Jeho plochu vypočítame pomocou vzorca (8). Riešením sústavy rovníc nájdeme , ; V dôsledku toho, ,. Na segmente máme: . Preto vo vzorci (8) berieme ako X, a ako - . Dostaneme:

(jednotky štvorcových).

Zložitejšie problémy výpočtu plôch sa riešia tak, že sa obrazec rozdelí na nepretínajúce sa časti a plocha celého obrazca sa vypočíta ako súčet plôch týchto častí.

Ryža. 7

Príklad 12. Nájdite plochu obrázku ohraničenú čiarami , , .

Riešenie. Urobme si nákres (obr. 8). Tento obrazec možno považovať za krivočiary lichobežník ohraničený zospodu osou, zľava a sprava priamkami a zhora grafmi funkcií a. Keďže obrazec je zhora ohraničený grafmi dvoch funkcií, na výpočet jeho plochy rozdelíme tento rovný obrazec na dve časti (1 je úsečka priesečníka priamok a). Plochu každej z týchto častí nájdeme podľa vzorca (4):

(jednotky štvorcových); (jednotky štvorcových). V dôsledku toho:

(jednotky štvorcových).

Ryža. osem

X= j( pri)

Ryža. 9

Na záver poznamenávame, že ak je krivočiary lichobežník ohraničený priamkami a , osou a spojitým na krivke (obr. 9), potom jeho obsah nájdeme podľa vzorca

Objem rotačného telesa

Necháme krivočiary lichobežník ohraničený grafom funkcie súvislej na úsečke, osi, priamkach a rotuje okolo osi (obr. 10). Potom sa objem výsledného rotačného telesa vypočíta podľa vzorca

. (9)

Príklad 13 Vypočítajte objem telesa získaného rotáciou okolo osi krivočiareho lichobežníka ohraničeného hyperbolou, priamkami a osou.

Riešenie. Urobme si nákres (obr. 11).

Z podmienky problému vyplýva, že , . Podľa vzorca (9) dostaneme

Ryža. desať

Ryža. jedenásť

Objem telesa získaný rotáciou okolo osi OU krivočiary lichobežník ohraničený priamkami y = c a y = d, os OU a graf funkcie spojitej na segmente (obr. 12), je určený vzorcom

. (10)

X= j( pri)

Ryža. 12

Príklad 14. Vypočítajte objem telesa získaného rotáciou okolo osi OU krivočiary lichobežník ohraničený čiarami X 2 = 4pri, y= 4, x = 0 (obr. 13).

Riešenie. V súlade s podmienkou problému nachádzame hranice integrácie: , . Podľa vzorca (10) dostaneme:

Ryža. 13

Dĺžka oblúka plochej krivky

Nech krivka daná rovnicou , kde , leží v rovine (obr. 14).

Ryža. štrnásť

Definícia. Dĺžka oblúka je chápaná ako limit, ku ktorému smeruje dĺžka lomenej čiary vpísanej do tohto oblúka, keď počet článkov lomenej čiary smeruje k nekonečnu a dĺžka najväčšieho spoja smeruje k nule.

Ak je funkcia a jej derivácia spojitá na segmente , potom sa dĺžka oblúka krivky vypočíta podľa vzorca

. (11)

Príklad 15. Vypočítajte dĺžku oblúka krivky uzavretého medzi bodmi, pre ktoré .

Riešenie. Od stavu problému, ktorý máme . Podľa vzorca (11) dostaneme:

4. Nevlastné integrály
s nekonečnými hranicami integrácie

Pri zavádzaní pojmu určitého integrálu sa predpokladalo, že sú splnené tieto dve podmienky:

a) limity integrácie a a sú konečné;

b) integrand je ohraničený segmentom .

Ak nie je splnená aspoň jedna z týchto podmienok, potom sa volá integrál nesprávny.

Uvažujme najprv nevlastné integrály s nekonečnými limitmi integrácie.

Definícia. Nech je funkcia definovaná a spojitá na intervale a vpravo neohraničený (obr. 15).

Ak nevlastný integrál konverguje, potom je táto oblasť konečná; ak sa nevlastný integrál diverguje, potom je táto oblasť nekonečná.

Ryža. pätnásť

Nevlastný integrál s nekonečnou spodnou hranicou integrácie je definovaný podobne:

. (13)

Tento integrál konverguje, ak limita na pravej strane rovnosti (13) existuje a je konečná; inak sa hovorí, že integrál je divergentný.

Nevlastný integrál s dvoma nekonečnými hranicami integrácie je definovaný takto:

, (14)

kde с je ľubovoľný bod intervalu. Integrál konverguje len vtedy, ak oba integrály konvergujú na pravej strane rovnosti (14).

;

G) = [vyberte celý štvorec v menovateli: ] = [náhrada:

] =

Nevlastný integrál teda konverguje a jeho hodnota sa rovná .

Uvažujme krivočiary lichobežník ohraničený osou Ox, krivku y \u003d f (x) a dve priame čiary: x \u003d a a x \u003d b (obr. 85). Vezmite ľubovoľnú hodnotu x (len nie a a nie b). Dajme tomu prírastok h = dx a uvažujme pás ohraničený priamkami AB a CD, osou Ox a oblúkom BD patriacim do uvažovanej krivky. Tento pás sa bude nazývať elementárny pás. Plocha elementárneho pruhu sa líši od plochy obdĺžnika ACQB krivočiarym trojuholníkom BQD a jeho plochou menšiu plochu obdĺžnik BQDM so stranami BQ = h=dx) QD=Ay a plocha rovná hAy = Ay dx. S klesajúcou stranou h sa zmenšuje aj strana Du a súčasne s h má tendenciu k nule. Preto je oblasť BQDM nekonečne malá druhého rádu. Plocha elementárneho pásika je prírastok plochy a plocha obdĺžnika ACQB, ktorá sa rovná AB-AC==/(x) dx> je plošný rozdiel. Preto nájdeme samotnú oblasť integrovaním jej diferenciálu. V medziach uvažovaného obrázku sa nezávislá premenná l: mení z a na b, takže požadovaná plocha 5 sa bude rovnať 5= \f (x) dx. (I) Príklad 1. Vypočítajte plochu ohraničenú parabolou y - 1 -x *, priamkami X \u003d - Fj-, x \u003d 1 a osou O * (obr. 86). na obr. 87. Obr. 86. 1 Tu f(x) = 1 - l?, hranice integrácie a = - a t = 1, teda 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* Príklad 2. Vypočítajte plochu ohraničenú sínusoidou y = sinXy, os Ox a priamka (obr. 87). Použitím vzorca (I) dostaneme L 2 S= J sinxdx= [-cos x] Q =0 -(-1) = lf s osou Ox (napríklad medzi počiatkom a bodom s osou i). Všimnite si, že z geometrických úvah je jasné, že táto oblasť bude dvojnásobkom plochy predchádzajúceho príkladu. Urobme však výpočty: i 5= | s \ nxdx \u003d [ - cosx) * - - cos i- (- cos 0) \u003d 1 + 1 \u003d 2. o Náš predpoklad sa skutočne ukázal ako spravodlivý. Príklad 4. Vypočítajte plochu ohraničenú sínusoidou a osou ^ Ox na jednej perióde (obr. 88). Predbežné rozsudky ras-číslo naznačujú, že plocha bude štyrikrát väčšia ako v pr. 2. Po vykonaní výpočtov však dostaneme „i G, * i S - \ sin x dx \u003d [- cos x ] 0 = = - cos 2n - (-cos 0) \u003d - 1 + 1 \u003d 0. Tento výsledok vyžaduje objasnenie. Aby sme objasnili podstatu veci, vypočítame aj oblasť ohraničenú rovnakou sínusoidou y \u003d sin l: a os Ox v rozmedzí od l do 2n. Aplikovaním vzorca (I) dostaneme Vidíme teda, že táto oblasť dopadla negatívne. Pri porovnaní s plochou vypočítanou v príklade 3 zistíme, že ich absolútne hodnoty sú rovnaké, ale znamienka sú odlišné. Ak použijeme vlastnosť V (pozri kap. XI, § 4), dostaneme sa náhodou. Vždy plocha pod osou x, za predpokladu, že sa nezávislá premenná mení zľava doprava, sa získa výpočtom pomocou záporných integrálov. V tomto kurze budeme vždy brať do úvahy nepodpísané oblasti. Preto bude odpoveď v práve analyzovanom príklade takáto: požadovaná plocha sa rovná 2 + |-2| = 4. Príklad 5. Vypočítajme plochu BAB znázornenú na obr. 89. Táto oblasť je ohraničená osou Ox, parabolou y = - xr a priamkou y - = -x + \. Plocha krivočiareho lichobežníka Vyhľadávaná plocha OAB pozostáva z dvoch častí: OAM a MAB. Keďže bod A je priesečníkom paraboly a priamky, nájdeme jeho súradnice vyriešením systému rovníc 3 2 Y \u003d mx. (potrebujeme nájsť iba úsečku bodu A). Pri riešení systému nájdeme l; =~. Preto sa plocha musí vypočítať po častiach, najskôr pl. OAM, a potom pl. MAV: .... G 3 2, 3 G xP 3 1/2 Y 2. QAM-^x)