Ako nájsť oblasť krivočiareho lichobežníka? Určitý integrál. Ako vypočítať plochu obrázku

Téma: Výpočet plochy plochého útvaru pomocou určitého integrálu

Úlohy: naučiť sa definíciu a vzorce na nájdenie oblasti krivočiary lichobežník;

zvážiť rôzne prípady nájdenia oblasti krivočiareho lichobežníka;

Vedieť vypočítať plochu krivočiareho lichobežníka.

Plán:

Krivočiary lichobežník.

Vzorce na výpočet plochy krivočiareho lichobežníka.

Krivočiary lichobežník nazýva sa obrazec, ktorý je ohraničený grafom spojitej nezápornej funkcie f (x) na intervale , úsečkami x=a a x=b, ako aj úsečkou osi x medzi bodmi a a b.

Obrázky krivočiarych lichobežníkov:

Teraz prejdime k možnosti umiestnenie obrazcov, ktorých plocha sa musí vypočítať v rovine súradníc.

najprv bude tu najjednoduchšia možnosť (prvý obrázok), obvyklá krivočiary lichobežník, ako v definícii. Tu nie je potrebné nič vymýšľať, stačí vziať integrál z a predtým b z funkcie f(x). Nájdeme integrál - budeme poznať oblasť tohto lichobežníka.

In druhý možnosť, náš údaj nebude obmedzený osou x, ale inou funkciou g(x). Preto nájsť oblasť CEFD, najprv musíme nájsť oblasť AEFB(pomocou integrálu z f(x)), potom nájdite oblasť ACDB(pomocou integrálu z g(x)). A požadovaná oblasť obrázku CEFD, bude rozdiel medzi prvou a druhou oblasťou krivočiareho lichobežníka. Keďže integračné hranice sú tu rovnaké, toto všetko sa dá zapísať pod jeden integrál (pozri vzorce pod obrázkom), všetko závisí od zložitosti funkcií, v takom prípade bude jednoduchšie integrál nájsť.

Po tretie veľmi podobný prvému, ale len náš lichobežník je umiestnený, nie nad os x, a pod ním. Preto tu musíme vziať rovnaký integrál, len so znamienkom mínus, pretože hodnota integrálu bude záporná a hodnota plochy musí byť kladná. Ak namiesto funkcie f(x) prevziať funkciu -f(x), potom bude jeho graf rovnaký jednoducho symetricky zobrazený vzhľadom na os x.

A štvrtý možnosť, keď je časť nášho obrázku nad osou x a časť je pod ňou. Preto musíme najprv nájsť oblasť obrázku AEFB, ako v prvej verzii, a potom oblasť obrázku A B C D, ako v tretej možnosti a potom ich pridajte. Výsledkom je, že dostaneme oblasť obrázku DEFC. Keďže integračné hranice sú tu rovnaké, toto všetko sa dá zapísať pod jeden integrál (pozri vzorce pod obrázkom), všetko závisí od zložitosti funkcií, v takom prípade bude jednoduchšie integrál nájsť.

Otázky na samovyšetrenie:

Aký tvar sa nazýva krivočiary lichobežník?

Ako nájsť oblasť krivočiareho lichobežníka?

Útvar ohraničený grafom spojitej nezápornej funkcie $f(x)$ na intervale $$ a priamkami $y=0, \ x=a$ a $x=b$ sa nazýva krivočiary lichobežník.

Plocha zodpovedajúceho krivočiareho lichobežníka sa vypočíta podľa vzorca:

$S=\int\limits_(a)^(b)(f(x)dx).$ (*)

Problémy s nájdením oblasti krivočiareho lichobežníka podmienečne rozdelíme na typy 4 $. Zvážme každý typ podrobnejšie.

Typ I: krivočiary lichobežník je uvedený výslovne. Potom okamžite použite vzorec (*).

Napríklad nájdite oblasť krivočiareho lichobežníka ohraničenú grafom funkcie $y=4-(x-2)^(2)$ a čiarami $y=0, \ x=1$ a $x = 3 doláre.

Nakreslíme tento krivočiary lichobežník.

Použitím vzorca (*) nájdeme oblasť tohto krivočiareho lichobežníka.

$S=\int\limits_(1)^(3)(\left(4-(x-2)^(2)\right)dx)=\int\limits_(1)^(3)(4dx)- \int\limits_(1)^(3)((x-2)^(2)dx)=4x|_(1)^(3) – \left.\frac((x-2)^(3) )(3)\vpravo|_(1)^(3)=$

$=4(3-1)-\frac(1)(3)\left((3-2)^(3)-(1-2)^(3)\right)=4 \cdot 2 - \frac (1)(3)\vľavo((1)^(3)-(-1)^(3)\vpravo) = 8 – \frac(1)(3)(1+1) =$

$=8-\frac(2)(3)=7\frac(1)(3)$ (jednotka $^(2)$).

Typ II: krivočiary lichobežník je špecifikovaný implicitne. V tomto prípade priame čiary $x=a, \ x=b$ zvyčajne nie sú špecifikované alebo sú špecifikované čiastočne. V tomto prípade musíte nájsť priesečníky funkcií $y=f(x)$ a $y=0$. Tieto body budú body $a$ a $b$.

Napríklad nájdite plochu obrázku ohraničenú grafmi funkcií $y=1-x^(2)$ a $y=0$.

Poďme nájsť priesečníky. Aby sme to dosiahli, porovnávame správne časti funkcií.

Takže $a=-1$ a $b=1$. Nakreslíme tento krivočiary lichobežník.

Nájdite oblasť tohto krivočiareho lichobežníka.

$S=\int\limits_(-1)^(1)(\left(1-x^(2)\right)dx)=\int\limits_(-1)^(1)(1dx)-\int \limits_(-1)^(1)(x^(2)dx)=x|_(-1)^(1) – \left.\frac(x^(3))(3)\right|_ (-1)^(1)=$

$=(1-(-1))-\frac(1)(3)\left(1^(3)-(-1)^(3)\right)=2 – \frac(1)(3) \left(1+1\right) = 2 – \frac(2)(3) = 1\frac(1)(3)$ (jednotka$^(2)$).

Typ III: plocha obrazca ohraničená priesečníkom dvoch súvislých nezáporných funkcií. Toto číslo nebude krivočiary lichobežník, čo znamená, že pomocou vzorca (*) nemôžete vypočítať jeho plochu. Ako byť? Ukazuje sa, že oblasť tohto obrázku možno nájsť ako rozdiel medzi plochami krivočiarych lichobežníkov ohraničených hornou funkciou a $y=0$ ($S_(uf)$) a dolnou funkciou a $y= 0$ ($S_(lf)$), kde úlohu $x=a, \ x=b$ zohrávajú $x$ súradnice priesečníkov týchto funkcií, t.j.

$S=S_(uf)-S_(lf)$. (**)

Najdôležitejšou vecou pri výpočte takýchto plôch je „neprehliadnuť“ výber hornej a dolnej funkcie.

Nájdite napríklad oblasť obrázku ohraničenú funkciami $y=x^(2)$ a $y=x+6$.

Nájdite priesečníky týchto grafov:

Podľa Vietovej vety,

$x_(1)=-2, \ x_(2)=3,$

To znamená $a=-2, \b=3$. Nakreslíme tvar:

teda špičková funkcia– $y=x+6$ a spodný – $y=x^(2)$. Ďalej nájdite $S_(uf)$ a $S_(lf)$ pomocou vzorca (*).

$S_(uf)=\int\limits_(-2)^(3)((x+6)dx)=\int\limits_(-2)^(3)(xdx)+\int\limits_(-2 )^(3)(6dx)=\vľavo.\frac(x^(2))(2)\vpravo|_(-2)^(3) + 6x|_(-2)^(3)= 32 ,5$ (jednotka $^(2)$).

$S_(lf)=\int\limits_(-2)^(3)(x^(2)dx)=\vľavo.\frac(x^(3))(3)\vpravo|_(-2) ^(3) = \frac(35)(3)$ (jednotka$^(2)$).

Náhradu nájdete v (**) a získate:

$S=32,5-\frac(35)(3)= \frac(125)(6)$ (jednotka $^(2)$).

Typ IV: oblasť obrazca ohraničená funkciou (funkciami), ktorá nespĺňa podmienku nezápornosti. Aby ste našli oblasť takejto postavy, musíte byť symetrická okolo osi $Ox$ ( inými slovami, dať „mínusy“ pred funkcie) zobrazte oblasť a pomocou metód popísaných v typoch I - III nájdite oblasť zobrazenej oblasti. Táto oblasť bude požadovaná oblasť. Najprv možno budete musieť nájsť priesečníky grafov funkcií.

Napríklad nájdite oblasť obrázku ohraničenú grafmi funkcií $y=x^(2)-1$ a $y=0$.

Nájdite priesečníky grafov funkcií:

tie. $a=-1$ a $b=1$. Nakreslíme oblasť.

Zobrazme oblasť symetricky:

$y=0 \ \Šípka doprava \ y=-0=0$

$y=x^(2)-1 \ \Šípka doprava \ y= -(x^(2)-1) = 1-x^(2)$.

Získate krivočiary lichobežník ohraničený grafom funkcie $y=1-x^(2)$ a $y=0$. Toto je problém nájsť krivočiary lichobežník druhého typu. Už sme to vyriešili. Odpoveď bola: $S= 1\frac(1)(3)$ (jednotky $^(2)$). Takže plocha požadovaného krivočiareho lichobežníka sa rovná:

$S=1\frac(1)(3)$ (jednotka$^(2)$).

Späť dopredu

Pozor! Ukážka snímky slúži len na informačné účely a nemusí predstavovať celý rozsah prezentácie. Ak máš záujem táto práca prosím stiahnite si plnú verziu.

Kľúčové slová: integrálny, krivočiary lichobežník, plocha figúr ohraničená ľaliami

Vybavenie: tabuľa, počítač, multimediálny projektor

Typ lekcie: lekcia-prednáška

Ciele lekcie:

vzdelávacie: formovať kultúru duševnej práce, vytvárať pre každého študenta situáciu úspechu, formovať pozitívnu motiváciu k učeniu; rozvíjať schopnosť hovoriť a počúvať druhých.
vyvíja: formovanie samostatného myslenia žiaka o aplikácii poznatkov v rôzne situácie, schopnosť analyzovať a vyvodzovať závery, rozvoj logiky, rozvoj schopnosti správne klásť otázky a nájsť na ne odpovede. Zlepšenie formovania výpočtových, výpočtových zručností, rozvoj myslenia študentov pri plnení navrhovaných úloh, rozvoj algoritmickej kultúry.
vzdelávacie: formovať predstavy o krivočiarom lichobežníku, o integráli, osvojiť si zručnosti výpočtu plôch plochých útvarov

Vyučovacia metóda: vysvetľujúce a názorné.

Počas vyučovania

V predchádzajúcich triedach sme sa naučili, ako vypočítať plochy útvarov, ktorých hranice sú prerušované čiary. V matematike existujú metódy, ktoré vám umožňujú vypočítať plochu číslic ohraničenú krivkami. Takéto obrazce sa nazývajú krivočiare lichobežníky a ich plocha sa vypočítava pomocou primitívnych prvkov.

Krivočiary lichobežník ( snímka 1)

Krivkový lichobežník je útvar ohraničený funkčným grafom, ( w.m.), rovný x = a A x = b a úsečka

Rôzne typy krivočiarych lichobežníkov ( snímka 2)

zvažujeme rôzne druhy krivočiare lichobežníky a všimnite si, že jedna z čiar je degenerovaná do bodu, úlohu obmedzujúcej funkcie zohráva čiara

Oblasť krivočiareho lichobežníka (snímka 3)

Opravte ľavý koniec intervalu A, a správne X zmeníme, t.j. posunieme pravú stenu krivočiareho lichobežníka a získame meniacu sa postavu. Plocha premenného krivočiareho lichobežníka ohraničeného funkčným grafom je primitívna F pre funkciu f

A v segmente [ a; b] oblasť krivočiareho lichobežníka tvoreného funkciou f, sa rovná prírastku primitívnej funkcie tejto funkcie:

Cvičenie 1:

Nájdite oblasť krivočiareho lichobežníka ohraničeného grafom funkcie: f(x) = x 2 a priamy y=0, x=1, x=2.

Riešenie: ( podľa algoritmu snímky 3)

Nakreslite graf funkcie a čiar

Poďme nájsť jeden z primitívne funkcie f(x) = x 2 :

Samokontrola posúvača

Integrálne

Uvažujme krivočiary lichobežník daný funkciou f na segmente [ a; b]. Rozdeľme tento segment na niekoľko častí. Plocha celého lichobežníka bude rozdelená na súčet plôch menších krivočiarych lichobežníkov. ( snímka 5). Každý takýto lichobežník možno považovať približne za obdĺžnik. Súčet plôch týchto obdĺžnikov dáva približnú predstavu o celej ploche krivočiareho lichobežníka. Čím menší zlomíme segment [ a; b], tým presnejšie vypočítame plochu.

Tieto úvahy zapisujeme vo forme vzorcov.

Rozdeľte segment [ a; b] na n častí s bodkami x 0 \u003d a, x1, ..., xn \u003d b. Dĺžka k- th označovať podľa xk = xk - xk-1. Poďme si to zhrnúť

Geometricky je tento súčet oblasťou obrázku vytieňovaného na obrázku ( sh.m.)

Súčty tvaru sa nazývajú integrálne súčty funkcie f. (sch.m.)

Celočíselné súčty udávajú približnú hodnotu plochy. Presná hodnota získané prechodom na limit. Predstavte si, že upravíme rozdelenie segmentu [ a; b], takže dĺžky všetkých malých segmentov majú tendenciu k nule. Potom sa plocha zloženej figúry priblíži k oblasti krivočiareho lichobežníka. Môžeme povedať, že plocha krivočiareho lichobežníka sa rovná limitu integrálnych súčtov, Sk.t. (sch.m.) alebo integrálne, t.j.

Definícia:

funkčný integrál f(x) od a predtým b sa nazýva limita integrálnych súčtov

= (sch.m.)

Newtonov-Leibnizov vzorec.

Pamätajte, že limit integrálnych súčtov sa rovná ploche krivočiareho lichobežníka, takže môžeme písať:

Sk.t. = (sch.m.)

Na druhej strane sa plocha krivočiareho lichobežníka vypočíta podľa vzorca

S až. (sch.m.)

Porovnaním týchto vzorcov dostaneme:

= (sch.m.)

Táto rovnosť sa nazýva Newton-Leibnizov vzorec.

Pre pohodlie výpočtov je vzorec napísaný takto:

= = (sch.m.)

Úlohy: (sch.m.)

1. Vypočítajte integrál pomocou Newtonovho-Leibnizovho vzorca: ( skontrolujte snímku 5)

2. Zostavte integrály podľa nákresu ( skontrolujte na snímke 6)

3. Nájdite plochu obrazca ohraničenú čiarami: y \u003d x 3, y \u003d 0, x \u003d 1, x \u003d 2. ( Snímka 7)

Nájdenie oblastí rovinných figúrok ( snímka 8)

Ako nájsť oblasť figúr, ktoré nie sú krivočiarymi lichobežníkmi?

Nech sú uvedené dve funkcie, ktorých grafy vidíte na snímke . (sch.m.) Nájdite oblasť tieňovanej postavy . (sch.m.). Je daný obrazec krivočiary lichobežník? A ako môžete nájsť jeho oblasť pomocou vlastnosti aditívnosti oblasti? Zvážte dva krivočiare lichobežníky a odpočítajte plochu druhého od plochy jedného z nich ( w.m.)

Urobme si algoritmus na nájdenie oblasti z animácie na snímke:

Funkcie grafu
Premietnite priesečníky grafov na os x
Vytieňujte obrázok získaný krížením grafov
Nájdite krivočiare lichobežníky, ktorých priesečník alebo spojenie je daný obrazec.
Vypočítajte plochu každého z nich
Nájdite rozdiel alebo súčet oblastí

Ústna úloha: Ako získať oblasť tieňovanej postavy (povedzte pomocou animácie, snímka 8 a 9)

Domáca úloha: Vypracujte abstrakt, č. 353 (a), č. 364 (a).

Bibliografia

Algebra a začiatok analýzy: učebnica pre ročníky 9-11 večernej (zmennej) školy / ed. G.D. Glaser. - M: Osvietenie, 1983.
Bašmakov M.I. Algebra a začiatok analýzy: učebnica pre ročníky 10-11 strednej školy / Bashmakov M.I. - M: Osvietenie, 1991.
Bašmakov M.I. Matematika: učebnica pre inštitúcie zač. a priem. Prednášal prof. vzdelanie / M.I. Bašmakov. - M: Akadémia, 2010.
Kolmogorov A.N. Algebra a začiatok analýzy: učebnica pre 10-11 buniek. vzdelávacie inštitúcie / A.N. Kolmogorov. - M: Osvietenie, 2010.
Ostrovsky S.L. Ako urobiť prezentáciu na lekciu? / S.L. Ostrovského. – M.: Prvý september 2010.

Úloha 1(o výpočte plochy krivočiareho lichobežníka).

V karteziánskom pravouhlom súradnicovom systéme xOy je uvedený údaj (pozri obrázok) ohraničený osou x, priamkami x \u003d a, x \u003d b (krivkový lichobežník. Je potrebné vypočítať plochu \ krivočiary lichobežník.
Riešenie. Geometria nám dáva recepty na výpočet plôch mnohouholníkov a niektorých častí kruhu (sektor, segment). Pomocou geometrických úvah budeme schopní nájsť len približnú hodnotu požadovanej plochy, pričom argumentujeme nasledovne.

Rozdeľme segment [a; b] (základňa krivočiareho lichobežníka) na n rovnakých dielov; toto rozdelenie je realizovateľné pomocou bodov x 1 , x 2 , ... x k , ... x n-1 . Nakreslite čiary cez tieto body rovnobežné s osou y. Potom sa daný krivočiary lichobežník rozdelí na n častí, na n úzkych stĺpikov. Plocha celého lichobežníka sa rovná súčtu plôch stĺpcov.

Uvažujme samostatne k-tý stĺpec, t.j. krivočiary lichobežník, ktorého základňou je segment. Nahradíme ho obdĺžnikom s rovnakou základňou a výškou rovnou f(x k) (pozri obrázok). Oblasť obdĺžnika je $f(x_k) \cdot \Delta x_k $, kde $\Delta x_k $ je dĺžka segmentu; je prirodzené považovať zostavený produkt za približnú hodnotu plochy k-tého stĺpca.

Ak teraz urobíme to isté so všetkými ostatnými stĺpcami, dospejeme k nasledovnému výsledku: plocha S daného krivočiareho lichobežníka sa približne rovná ploche S n stupňovitého útvaru zloženého z n obdĺžnikov (pozri obrázok):
$S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \bodky + f(x_k)\Delta x_k + \bodky + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $
V záujme jednotnosti zápisu tu uvažujeme, že a \u003d x 0, b \u003d x n; $\Delta x_0 $ - dĺžka segmentu , $\Delta x_1 $ - dĺžka segmentu atď.; zatiaľ čo, ako sme sa zhodli vyššie, $\Delta x_0 = \bodky = \Delta x_(n-1) $

Takže, $S \približne S_n $, a táto približná rovnosť je tým presnejšia, čím je n väčšie.
Podľa definície sa predpokladá, že požadovaná oblasť krivočiareho lichobežníka sa rovná limitu sekvencie (S n):
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Úloha 2(o posunutí bodu)
Hmotný bod sa pohybuje po priamke. Závislosť rýchlosti od času vyjadruje vzorec v = v(t). Nájdite posunutie bodu za časový interval [a; b].
Riešenie. Ak by bol pohyb rovnomerný, potom by sa úloha riešila veľmi jednoducho: s = vt, t.j. s = v(b-a). Pre nerovnomerný pohyb treba použiť tie isté myšlienky, na ktorých bolo založené riešenie predchádzajúceho problému.
1) Rozdeľte časový interval [a; b] na n rovnakých častí.
2) Uvažujme časový interval a predpokladajme, že počas tohto časového intervalu bola rýchlosť konštantná, ako napríklad v čase t k . Takže predpokladáme, že v = v(t k).
3) Nájdite približnú hodnotu posunutia bodu za časový interval , túto približnú hodnotu označíme s k
$s_k = v(t_k) \Delta t_k $
4) Nájdite približnú hodnotu posunutia s:
$s \približne S_n $ kde
$S_n = s_0 + \bodky + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \bodky + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) $
5) Požadované posunutie sa rovná limitu postupnosti (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Poďme si to zhrnúť. Riešenia rôznych úloh boli zredukované na rovnaký matematický model. Mnohé problémy z rôznych oblastí vedy a techniky vedú v procese riešenia k rovnakému modelu. Takže toto matematický model treba špeciálne študovať.

Pojem určitého integrálu

Uveďme matematický popis modelu, ktorý bol zostavený v troch uvažovaných úlohách pre funkciu y = f(x), ktorá je spojitá (ale nie nevyhnutne nezáporná, ako sa predpokladalo v uvažovaných úlohách) na segmente [ a; b]:
1) rozdeliť segment [a; b] na n rovnakých častí;
2) súčet $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \bodky + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) vypočítajte $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$

V priebehu matematickej analýzy sa dokázalo, že táto limita existuje v prípade spojitej (alebo po častiach spojitej) funkcie. Volá sa určitý integrál funkcie y = f(x) cez segment [a; b] a sú označené takto:
$\int\limits_a^b f(x) dx $
Čísla a a b sa nazývajú hranice integrácie (dolné a horné).

Vráťme sa k vyššie uvedeným úlohám. Definícia oblasti uvedená v probléme 1 môže byť teraz prepísaná takto:
$S = \int\limits_a^b f(x) dx $
tu S je oblasť krivočiareho lichobežníka znázorneného na obrázku vyššie. To je čo geometrický význam určitého integrálu.

Definíciu posunutia s bodu, ktorý sa pohybuje v priamom smere rýchlosťou v = v(t) v časovom intervale od t = a do t = b, uvedenú v úlohe 2, možno prepísať takto:

Newtonov - Leibnizov vzorec

Na začiatok si odpovedzme na otázku: aký je vzťah medzi určitým integrálom a primitívom?

Odpoveď možno nájsť v úlohe 2. Na jednej strane, posunutie s bodu, ktorý sa pohybuje po priamke rýchlosťou v = v(t) za časový interval od t = a do t = b, sa vypočíta ako vzorec
$S = \int\limits_a^b v(t) dt $

Na druhej strane súradnica pohybujúceho sa bodu je primitívom pre rýchlosť - označme ju s(t); preto posunutie s je vyjadrené vzorcom s = s(b) - s(a). V dôsledku toho dostaneme:
$S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) $
kde s(t) je primitívna derivácia pre v(t).

Nasledujúca veta bola dokázaná v priebehu matematickej analýzy.
Veta. Ak je funkcia y = f(x) spojitá na segmente [a; b], potom vzorec
$S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) $
kde F(x) je primitívna derivácia pre f(x).

Tento vzorec sa zvyčajne nazýva Newtonov-Leibnizov vzorec na počesť anglického fyzika Isaaca Newtona (1643-1727) a nemeckého filozofa Gottfrieda Leibniza (1646-1716), ktorí ho dostali nezávisle od seba a takmer súčasne.

V praxi namiesto písania F(b) - F(a) používajú zápis $\left. F(x)\right|_a^b $ (niekedy je tzv. dvojitá substitúcia) a podľa toho prepíšte Newtonov-Leibnizov vzorec do tohto tvaru:
$S = \int\limits_a^b f(x) dx = \vľavo. F(x)\vpravo|_a^b $

Pri výpočte určitého integrálu najprv nájdite primitívnu deriváciu a potom vykonajte dvojitú substitúciu.

Na základe Newtonovho-Leibnizovho vzorca možno získať dve vlastnosti určitého integrálu.

Nehnuteľnosť 1. Integrál súčtu funkcií sa rovná súčtu integrálov:
$\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx $

Nehnuteľnosť 2. Konštantný faktor možno vyňať z integrálneho znamienka:
$\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx $

Výpočet plôch rovinných útvarov pomocou určitého integrálu

Pomocou integrálu môžete vypočítať plochu nielen krivočiarych lichobežníkov, ale aj plochých tvarov viac ako komplexný typ, ako je znázornené na obrázku. Obrazec P je ohraničený priamkami x = a, x = b a grafmi spojitých funkcií y = f(x), y = g(x) a na úsečke [a; b] platí nerovnosť $g(x) \leq f(x) $. Na výpočet plochy S takéhoto obrázku budeme postupovať takto:
$S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = $
$= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx $

Takže plocha S obrázku ohraničená priamkami x = a, x = b a grafmi funkcií y = f(x), y = g(x), spojité na segmente a také, že pre ľubovoľné x od segment [a; b] nerovnosť $g(x) \leq f(x) $ je splnená, vypočíta sa podľa vzorca
$S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx $

Tabuľka neurčitých integrálov (antiderivátov) niektorých funkcií

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch )x+C $$

Nech je funkcia nezáporná a spojitá na intervale . Potom podľa geometrický zmysel určitého integrálu sa plocha krivočiareho lichobežníka ohraničená zhora grafom tejto funkcie, zdola osou, zľava a sprava priamkami a (pozri obr. 2) sa vypočíta podľa vzorca

Príklad 9 Nájdite oblasť obrázku ohraničenú čiarou a osou.

Riešenie. Graf funkcií je parabola, ktorej vetvy smerujú nadol. Poďme si ho postaviť (obr. 3). Na určenie hraníc integrácie nájdeme priesečníky priamky (paraboly) s osou (priamka). Aby sme to dosiahli, riešime sústavu rovníc

Dostaneme: , kde , ; teda, ,.

Ryža. 3

Oblasť obrázku sa zistí podľa vzorca (5):

Ak je funkcia na segmente nekladná a spojitá, potom je plocha krivočiareho lichobežníka ohraničená zospodu grafom tejto funkcie, zhora osou, zľava a sprava priamkami a , je vypočítané podľa vzorca

. (6)

Ak je funkcia spojitá na segmente a mení znamienko na konečnom počte bodov, potom sa plocha tieňovaného útvaru (obr. 4) rovná algebraickému súčtu zodpovedajúcich určitých integrálov:

Ryža. 4

Príklad 10 Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú osou a graf funkcie pre .

Ryža. 5

Riešenie. Urobme si nákres (obr. 5). Požadovaná plocha je súčtom plôch a . Poďme nájsť každú z týchto oblastí. Najprv určíme hranice integrácie riešením systému Dostaneme , . Preto:

;

Oblasť tieňovaného obrázku je teda

(jednotky štvorcových).

Ryža. 6

Nech je nakoniec krivočiary lichobežník ohraničený zhora a zdola grafmi funkcií spojitých na segmente a ,
a na ľavej a pravej strane - rovné a (obr. 6). Potom sa jeho plocha vypočíta podľa vzorca

. (8)

Príklad 11. Nájdite oblasť obrázku ohraničenú čiarami a .

Riešenie. Tento obrázok je znázornený na obr. 7. Jeho plochu vypočítame pomocou vzorca (8). Riešením sústavy rovníc nájdeme , ; teda,,. Na segmente máme: . Preto vo vzorci (8) berieme ako X, a ako - . Dostaneme:

(jednotky štvorcových).

Zložitejšie problémy výpočtu plôch sa riešia tak, že sa obrazec rozdelí na nepretínajúce sa časti a plocha celého obrazca sa vypočíta ako súčet plôch týchto častí.

Ryža. 7

Príklad 12. Nájdite plochu obrázku ohraničenú čiarami , , .

Riešenie. Urobme si nákres (obr. 8). Tento obrazec možno považovať za krivočiary lichobežník ohraničený zospodu osou, zľava a sprava priamkami a zhora grafmi funkcií a. Keďže obrazec je zhora ohraničený grafmi dvoch funkcií, na výpočet jeho plochy rozdelíme tento rovný obrazec na dve časti (1 je úsečka priesečníka priamok a). Plochu každej z týchto častí nájdeme podľa vzorca (4):

(jednotky štvorcových); (jednotky štvorcových). Preto:

(jednotky štvorcových).

Ryža. 8

X= j( pri)

Ryža. 9

Na záver poznamenávame, že ak je krivočiary lichobežník ohraničený priamkami a , osou a spojitým na krivke (obr. 9), potom jeho obsah nájdeme podľa vzorca

Objem rotačného telesa

Necháme krivočiary lichobežník ohraničený grafom funkcie súvislej na úsečke, osi, priamkach a rotuje okolo osi (obr. 10). Potom sa objem výsledného rotačného telesa vypočíta podľa vzorca

. (9)

Príklad 13 Vypočítajte objem telesa získaného rotáciou okolo osi krivočiareho lichobežníka ohraničeného hyperbolou, priamkami a osou.

Riešenie. Urobme si nákres (obr. 11).

Z podmienky problému vyplýva, že , . Podľa vzorca (9) dostaneme

Ryža. 10

Ryža. jedenásť

Objem telesa získaný rotáciou okolo osi OU krivočiary lichobežník ohraničený priamkami y = c A y = d, os OU a graf funkcie spojitej na segmente (obr. 12), je určený vzorcom

. (10)

X= j( pri)

Ryža. 12

Príklad 14. Vypočítajte objem telesa získaného rotáciou okolo osi OU krivočiary lichobežník ohraničený čiarami X 2 = 4pri, y= 4, x = 0 (obr. 13).

Riešenie. V súlade s podmienkou problému nachádzame hranice integrácie: , . Podľa vzorca (10) dostaneme:

Ryža. 13

Dĺžka oblúka plochej krivky

Nech krivka daná rovnicou , kde , leží v rovine (obr. 14).

Ryža. 14

Definícia. Dĺžka oblúka je chápaná ako limit, ku ktorému smeruje dĺžka lomenej čiary vpísanej do tohto oblúka, keď počet článkov lomenej čiary smeruje k nekonečnu a dĺžka najväčšieho spoja smeruje k nule.

Ak je funkcia a jej derivácia spojitá na segmente , potom sa dĺžka oblúka krivky vypočíta podľa vzorca

. (11)

Príklad 15. Vypočítajte dĺžku oblúka krivky uzavretého medzi bodmi, pre ktoré .

Riešenie. Od stavu problému, ktorý máme . Podľa vzorca (11) dostaneme:

4. Nevlastné integrály
s nekonečnými hranicami integrácie

Pri zavádzaní pojmu určitého integrálu sa predpokladalo, že sú splnené tieto dve podmienky:

a) limity integrácie A a sú konečné;

b) integrand je ohraničený segmentom .

Ak nie je splnená aspoň jedna z týchto podmienok, potom sa volá integrál nesprávny.

Uvažujme najprv nevlastné integrály s nekonečnými limitmi integrácie.

Definícia. Nech je funkcia definovaná a spojitá na intervale a vpravo neohraničený (obr. 15).

Ak nevlastný integrál konverguje, potom je táto oblasť konečná; ak sa nevlastný integrál diverguje, potom je táto oblasť nekonečná.

Ryža. 15

Nevlastný integrál s nekonečnou spodnou hranicou integrácie je definovaný podobne:

. (13)

Tento integrál konverguje, ak limita na pravej strane rovnosti (13) existuje a je konečná; inak sa hovorí, že integrál je divergentný.

Nevlastný integrál s dvoma nekonečnými hranicami integrácie je definovaný takto:

, (14)

kde с je ľubovoľný bod intervalu. Integrál konverguje len vtedy, ak oba integrály konvergujú na pravej strane rovnosti (14).

;

G) = [vyberte celý štvorec v menovateli: ] = [náhrada:

] =

Nevlastný integrál teda konverguje a jeho hodnota sa rovná .