V škole mnohí nedokážu riešiť integrály alebo s nimi majú nejaké ťažkosti. Tento článok vám pomôže prísť na to, keďže v ňom nájdete všetko. tabuľky integrálov.
Integrálne je jedným z hlavných výpočtov a konceptov v počte. Jeho vzhľad vznikol z dvoch dôvodov:
Prvý cieľ- obnoviť funkciu pomocou jej derivátu.
Druhý gól- výpočet plochy umiestnenej vo vzdialenosti od grafu k funkcii f (x) na priamke, kde a je väčšie alebo rovné x je väčšie alebo rovné b a os x.
Tieto ciele nás vedú k určitým a neurčitým integrálom. Spojenie medzi týmito integrálmi spočíva v hľadaní vlastností a výpočte. Ale všetko plynie a všetko sa časom mení, našli sa nové riešenia, odkryli sa dodatky, čím sa do iných foriem integrácie dostali určité a neurčité integrály.
Čo sa stalo neurčitý integrál pýtaš sa. Toto je primitívna funkcia F(x) jednej premennej x v intervale a väčšom ako x väčšom ako b. sa nazýva ľubovoľná funkcia F(x), v danom intervale pre ľubovoľný zápis x sa derivácia rovná F(x). Je jasné, že F(x) je primitívna derivácia pre f(x) v intervale a väčšom ako x väčšom ako b. Preto F1(x) = F(x) + C. C - je ľubovoľná konštanta a primitívna derivácia pre f(x) v danom intervale. Toto vyhlásenie reverzibilne, pre funkciu f(x) - 2 sa primitívy líšia len konštantou. Na základe vety o integrálnom počte sa ukazuje, že každá spojitá v intervale a
Určitý integrál sa chápe ako limita v celočíselných súčtoch, alebo v situácii danej funkcie f(x) definovanej na niektorom riadku (a, b), na ktorom je primitívum F, čo znamená rozdiel jeho výrazov na koncoch tohto riadku. F(b) - F(a).
Pre prehľadnosť, štúdium tejto témy navrhujem pozrieť si video. Podrobne vysvetľuje a ukazuje, ako nájsť integrály.
Každá tabuľka integrálov je sama o sebe veľmi užitočná, pretože pomáha pri riešení určitého druhu integrálu.
Všetky možné typy písacie potreby a ďalšie. Môžete si kúpiť prostredníctvom internetového obchodu v-kant.ru. Alebo jednoducho kliknite na odkaz Papiernictvo Samara (http://v-kant.ru) kvalita a ceny vás milo prekvapia.
Základné vzorce a metódy integrácie. Pravidlo integrácie súčtu alebo rozdielu. Vyňatie konštanty zo znamienka integrálu. Variabilná metóda výmeny. Vzorec pre integráciu po častiach. Príklad riešenia problému.
Nižšie sú uvedené štyri hlavné integračné metódy.
1)
Pravidlo integrácie súčtu alebo rozdielu.
.
Tu a nižšie sú u, v, w funkcie integračnej premennej x .
2)
Vyňatie konštanty zo znamienka integrálu.
Nech c je konštanta nezávislá od x. Potom ho možno vyňať zo znamienka integrálu.
3)
Variabilná metóda výmeny.
Zvážte neurčitý integrál.
Ak je možné zvoliť takúto funkciu φ (X) od x, teda
,
potom po zmene premennej t = φ(x) máme
.
4)
Vzorec pre integráciu po častiach.
,
kde u a v sú funkcie integračnej premennej.
Konečný cieľ výpočtu neurčité integrály- to transformáciou dostať daný integrál na najjednoduchšie integrály, ktoré sa nazývajú tabuľkové. Tabuľkové integrály sú vyjadrené pomocou elementárnych funkcií pomocou dobre známych vzorcov.
Pozri tabuľku integrálov >>>
Príklad
Vypočítajte neurčitý integrál
Riešenie
Všimnite si, že integrand je súčet a rozdiel troch členov:
, A .
Aplikujeme metódu 1
.
Ďalej si všimneme, že integrandy nových integrálov sa násobia konštantami 5, 4,
A 2
, resp. Aplikujeme metódu 2
.
V tabuľke integrálov nájdeme vzorec
.
Nastavenie n = 2
, nájdeme prvý integrál.
Prepíšme druhý integrál do tvaru
.
Všímame si to. Potom
Využime tretiu metódu. Urobíme zmenu premennej t = φ (x) = log x.
.
V tabuľke integrálov nájdeme vzorec
Keďže premennú integrácie možno označiť ľubovoľným písmenom
Prepíšme tretí integrál do tvaru
.
Aplikujeme vzorec na integráciu po častiach.
Nechaj .
Potom
;
;
;
;
.
V skoršom materiáli bola zvažovaná otázka hľadania derivácie a boli ukázané jej rôzne aplikácie: výpočet sklonu dotyčnice ku grafu, riešenie optimalizačných problémov, štúdium funkcií pre monotónnosť a extrémy. $\newcommand(\tg)(\mathop(\mathrm(tg))\nolimits)$ $\newcommand(\ctg)(\mathop(\mathrm(ctg))\nolimits)$ $\newcommand(\arctg)( \mathop(\mathrm(arctg))\nolimits)$ $\newcommand(\arcctg)(\mathop(\mathrm(arctg))\nolimits)$
Obrázok 1.
Uvažovalo sa aj o probléme nájdenia okamžitej rýchlosti $v(t)$ pomocou derivácie vzhľadom na predtým známu prejdenú vzdialenosť, vyjadrenú funkciou $s(t)$.
Obrázok 2
Inverzný problém je tiež veľmi častý, keď potrebujete nájsť cestu $s(t)$ prejdenú bodom v čase $t$, pričom poznáte rýchlosť bodu $v(t)$. Ak si pamätáte, okamžitú rýchlosť $v(t)$ nájdeme ako deriváciu funkcie cesty $s(t)$: $v(t)=s’(t)$. To znamená, že na vyriešenie inverzného problému, teda na výpočet dráhy, musíte nájsť funkciu, ktorej derivácia sa bude rovnať funkcii rýchlosti. Ale vieme, že deriváciou cesty je rýchlosť, teda: $s'(t) = v(t)$. Rýchlosť sa rovná súčinu zrýchlenia a času: $v=at$. Je ľahké určiť, že požadovaná funkcia cesty bude mať tvar: $s(t) = \frac(at^2)(2)$. Ale toto nie je úplne úplné riešenie. Kompletné riešenie bude vyzerať takto: $s(t)= \frac(at^2)(2)+C$, kde $C$ je nejaká konštanta. Prečo je to tak, o tom bude reč neskôr. Zatiaľ si skontrolujeme správnosť nájdeného riešenia: $s"(t)=\left(\frac(at^2)(2)+C\right)"=2\frac(at)(2)+ 0=at=v(t)$.
Stojí za zmienku, že nájdenie cesty rýchlosťou je fyzikálnym významom primitívnej funkcie.
Výsledná funkcia $s(t)$ sa nazýva primitívna funkcia $v(t)$. Celkom zaujímavé a nezvyčajné meno, však? Je v tom veľký význam, ktorý vysvetľuje podstatu tohto pojmu a vedie k jeho pochopeniu. Môžete vidieť, že obsahuje dve slová „prvý“ a „obrázok“. Hovoria sami za seba. To znamená, že toto je funkcia, ktorá je originálom pre deriváciu, ktorú máme. A touto deriváciou hľadáme funkciu, ktorá bola na začiatku, bol „prvý“, „prvý obrázok“, teda primitívna. Niekedy sa nazýva aj primitívna funkcia alebo anti-derivát.
Ako už vieme, proces hľadania derivácie sa nazýva diferenciácia. A proces hľadania primitívnej zložky sa nazýva integrácia. Integračná operácia je inverznou operáciou diferenciácie. Opak je tiež pravdou.
Definícia. Primitívna derivácia funkcie $f(x)$ na nejakom intervale je funkcia $F(x)$, ktorej derivácia sa rovná tejto funkcii $f(x)$ pre všetky $x$ zo zadaného intervalu: $F'( x) = f (x) $.
Niekto môže mať otázku: odkiaľ sa v definícii vzali $F(x)$ a $f(x)$, ak pôvodne išlo o $s(t)$ a $v(t)$. Faktom je, že $s(t)$ a $v(t)$ sú špeciálne prípady označovania funkcií, ktoré majú v tomto prípade špecifický význam, teda sú funkciou času a funkciou rýchlosti. To isté platí pre premennú $t$ – predstavuje čas. A $f$ a $x$ sú tradičným variantom všeobecného označenia funkcie a premennej. Osobitnú pozornosť je potrebné venovať zápisu primitívneho prvku $F(x)$. Po prvé, $F$ je kapitál. Primitíva sú označené veľkými písmenami. Po druhé, písmená sú rovnaké: $F$ a $f$. To znamená, že pre funkciu $g(x)$ bude primitívna derivácia označená $G(x)$, pre $z(x)$ - $Z(x)$. Bez ohľadu na zápis sú pravidlá na nájdenie primitívnej funkcie vždy rovnaké.
Pozrime sa na pár príkladov.
Príklad 1 Dokážte, že funkcia $F(x)=\frac(1)(5)\sin5x$ je primitívnym derivátom funkcie $f(x)=\cos5x$.
Aby sme to dokázali, používame definíciu a presnejšie tie skutočnosť, že $F'(x)=f(x)$, a nájdite deriváciu funkcie $F(x)$: $F'(x)=(\frac(1)(5) \sin5x)' =\frac (1)(5)\cdot 5\cos5x= \cos5x$. Takže $F(x)=\frac(1)(5) \sin5x$ je primitívna derivácia $f(x)=\cos5x$. Q.E.D.
Príklad 2 Zistite, ktorým funkciám zodpovedajú nasledujúce primitívne funkcie: a) $F(z)=\tg z$; b) $G(l) = \sin l$.
Aby sme našli požadované funkcie, vypočítame ich derivácie:
a) $F'(z)=(\tg z)'=\frac(1)(\cos^2 z)$;
b) $G(l) = (\sin l)' = \cos l$.
Príklad 3 Aký bude primitívny prvok pre $f(x)=0$?
Použime definíciu. Zamyslime sa nad tým, ktorá funkcia môže mať deriváciu rovnajúcu sa $0$. Keď si zapamätáme tabuľku derivácií, dostaneme, že každá konštanta bude mať takúto deriváciu. Dostaneme, že primitívna funkcia, ktorú hľadáme: $F(x)= C$.
Výsledné riešenie je možné vysvetliť geometricky a fyzikálne. Geometricky to znamená, že dotyčnica ku grafu $y=F(x)$ je v každom bode tohto grafu vodorovná, a preto sa zhoduje s osou $Ox$. Fyzikálne vysvetlené skutočnosťou, že bod s rýchlosťou rovnajúcou sa nule zostáva na svojom mieste, to znamená, že dráha, ktorú prejde, je nezmenená. Na základe toho môžeme sformulovať nasledujúcu vetu.
Veta. (Znak stálosti funkcie). Ak $F'(x) = 0$ na nejakom intervale, potom funkcia $F(x)$ je na tomto intervale konštantná.
Príklad 4 Určte primitívne funkcie, ktorých funkciami sú funkcie a) $F_1 = \frac(x^7)(7)$; b) $F_2 = \frac(x^7)(7) – 3 $; c) $F_3 = \frac(x^7)(7) + 9$; d) $F_4 = \frac(x^7)(7) + a$, kde $a$ je nejaké číslo.
Použitím definície primitívnej funkcie sme dospeli k záveru, že na vyriešenie tejto úlohy potrebujeme vypočítať derivácie priradených funkcií, ktoré nám boli dané. Pri výpočte nezabúdajte, že derivácia konštanty, teda ľubovoľného čísla, sa rovná nule.
a) $F_1 =(\frac(x^7)(7))"= 7 \cdot \frac(x^6)(7) = x^6$;
b) $F_2 =\left(\frac(x^7)(7) – 3\right)"=7 \cdot \frac(x^6)(7)= x^6$;
c) $F_3 =(\frac(x^7)(7) + 9)’= x^6$;
d) $F_4 =(\frac(x^7)(7) + a)’ = x^6$.
čo vidíme? Niekoľko rôznych funkcií je priradením rovnakej funkcie. To znamená, že každá funkcia má nekonečne veľa primitív a tie majú tvar $F(x) + C$, kde $C$ je ľubovoľná konštanta. To znamená, že operácia integrácie je viachodnotová, na rozdiel od operácie diferenciácie. Na základe toho formulujeme vetu popisujúcu hlavnú vlastnosť primitívnych derivátov.
Veta. (Hlavná vlastnosť primitívov). Nech funkcie $F_1$ a $F_2$ sú primitívne deriváty funkcie $f(x)$ na nejakom intervale. Potom pre všetky hodnoty z tohto intervalu platí nasledujúca rovnosť: $F_2=F_1+C$, kde $C$ je nejaká konštanta.
Fakt existencie nekonečnej množiny primitívnych derivátov možno interpretovať geometricky. Pomocou paralelného prekladu pozdĺž osi $Oy$ je možné získať grafy akýchkoľvek dvoch primitívnych derivátov pre $f(x)$ jeden od druhého. Toto je geometrický význam primitívny.
Je veľmi dôležité venovať pozornosť tomu, že voľbou konštanty $C$ je možné dosiahnuť, aby graf primitívnej derivácie prechádzal určitým bodom.
Obrázok 3
Príklad 5 Nájdite primitívnu funkciu pre funkciu $f(x)=\frac(x^2)(3)+1$, ktorej graf prechádza bodom $(3; 1)$.
Najprv nájdime všetky primitívne deriváty pre $f(x)$: $F(x)=\frac(x^3)(9)+x + C$.
Ďalej nájdeme číslo C, pre ktoré bude graf $y=\frac(x^3)(9)+x + C$ prechádzať bodom $(3; 1)$. Aby sme to urobili, dosadíme súradnice bodu do rovnice grafu a vyriešime to vzhľadom na $C$:
$1= \frac(3^3)(9)+3 + C$, $C=-5$.
Získali sme graf $y=\frac(x^3)(9)+x-5$, ktorý zodpovedá primitívnej funkcii $F(x)=\frac(x^3)(9)+x-5$.
Tabuľka primitívnych derivátov
Tabuľku vzorcov na hľadanie primitívnych derivátov možno zostaviť pomocou vzorcov na hľadanie derivátov.
| Funkcie | primitívne deriváty |
| $0$ | $C$ |
| $1$ | $x+C$ |
| $a\v R$ | $ax+C$ |
| $x^n, n\ne1$ | $\displaystyle \frac(x^(n+1))(n+1)+C$ |
| $\displaystyle \frac(1)(x)$ | $\ln|x|+C$ |
| $\sinx$ | $-\cosx+C$ |
| $\cos x$ | $\sinx+C$ |
| $\displaystyle \frac(1)(\sin^2 x)$ | $-\ctgx+C$ |
| $\displaystyle \frac(1)(\cos^2 x)$ | $\tgx+C$ |
| $e^x$ | $e^x+C$ |
| $a^x, a>0, a\ne1$ | $\displaystyle \frac(a^x)(\ln a) +C$ |
| $\displaystyle \frac(1)(\sqrt(1-x^2))$ | $\arcsin x+C$ |
| $\displaystyle -\frac(1)(\sqrt(1-x^2))$ | $\arccos x+C$ |
| $\displaystyle \frac(1)(1+x^2)$ | $\arctgx+C$ |
| $\displaystyle -\frac(1)(1+x^2)$ | $\arctg x+C$ |
Správnosť tabuľky môžete skontrolovať nasledovne: pre každú sadu primitívnych prvkov umiestnených v pravom stĺpci nájdite derivát, v dôsledku čoho sa získajú zodpovedajúce funkcie v ľavom stĺpci.
Niektoré pravidlá pre hľadanie primitívnych derivátov
Ako viete, mnohé funkcie majú viac komplexný pohľad ako tie, ktoré sú uvedené v tabuľke priradení, a môže to byť ľubovoľná kombinácia súčtov a súčinov funkcií z tejto tabuľky. A tu vyvstáva otázka, ako vypočítať primitívne deriváty podobných funkcií. Napríklad z tabuľky vieme, ako vypočítať primitívne deriváty $x^3$, $\sin x$ a $10$. Ale ako napríklad vypočítať primitívnu vlastnosť $x^3-10\sin x$? Pri pohľade do budúcnosti stojí za zmienku, že sa bude rovnať $\frac(x^4)(4)+10\cos x$.
1. Ak $F(x)$ je primitívny derivát pre $f(x)$, $G(x)$ je pre $g(x)$, potom pre $f(x)+g(x)$ je primitívny sa bude rovnať $ F(x)+G(x)$.
2. Ak je $F(x)$ primitívom pre $f(x)$ a $a$ je konštanta, potom pre $af(x)$ je primitívom $aF(x)$.
3. Ak pre $f(x)$ je primitívna derivácia $F(x)$, $a$ a $b$ sú konštanty, potom $\frac(1)(a) F(ax+b)$ je primitívna pre $f (ax+b)$.
Pomocou získaných pravidiel môžeme rozšíriť tabuľku primitív.
| Funkcie | primitívne deriváty |
| $(ax+b)^n, n\ne1, a\ne0$ | $\displaystyle \frac((ax+b)^n)(a(n+1)) +C$ |
| $\displaystyle \frac(1)(ax+b), a\ne0$ | $\displaystyle \frac(1)(a)\ln|ax+b|+C$ |
| $e^(ax+b), a\ne0$ | $\displaystyle \frac(1)(a) e^(ax+b)+C$ |
| $\sin(ax+b), a\ne0$ | $\displaystyle -\frac(1)(a)\cos(ax+b)+C$ |
| $\cos(ax+b), a\ne0$ | $\displaystyle \frac(1)(a)\sin(ax+b)+C$ |
Príklad 5 Nájsť primitívne deriváty pre:
a) $\displaystyle 4x^3+10x^7$;
b) $\displaystyle \frac(6)(x^5) -\frac(2)(x)$;
c) $\displaystyle 5\cos x+\sin(3x+15)$;
d) $\displaystyle \sqrt(x)-2\sqrt(x)$.
a) $4\frac (x^(3+1))(3+1)+10\frac(x^(7+1))(7+1)+C=x^4+\frac(5)( 4) x^8+C$;
b) $-\frac(3)(2x^4) -2\ln|x|+C$;
c) $5 \sin x - \frac(1)(3)\cos(3x + 15) + C$;
d) $\frac(2)(3)x\sqrt(x) - \frac(3)(2) x\sqrt(x) + C$.
Na tejto stránke nájdete:
1. Vlastne tabuľka priradení - dá sa stiahnuť v vo formáte PDF a tlačiť;
2. Video o tom, ako používať túto tabuľku;
3. Kopa príkladov na výpočet primitív z rôznych učebníc a testov.
V samotnom videu rozoberieme množstvo úloh, pri ktorých je potrebné vypočítať primitívne funkcie, často pomerne zložité, no hlavne nie sú mocninné. Všetky funkcie zhrnuté vo vyššie navrhovanej tabuľke musia byť známe naspamäť, podobne ako deriváty. Bez nich je ďalšie štúdium integrálov a ich aplikácia na riešenie praktických problémov nemožné.
Dnes sa budeme naďalej zaoberať primitívmi a prejdeme k niečomu viac ťažká téma. Ak sme minule zvažovali primitívne funkcie len od mocenských funkcií a trochu zložitejších štruktúr, dnes si rozoberieme trigonometriu a mnoho ďalšieho.
Ako som povedal v minulej lekcii, primitívne derivácie sa na rozdiel od derivátov nikdy neriešia „naprázdno“ pomocou žiadnych štandardných pravidiel. Navyše, zlou správou je, že na rozdiel od derivátu nemusí byť priradený vôbec zvažovaný. Ak napíšeme úplne náhodnú funkciu a pokúsime sa nájsť jej deriváciu, tak sa nám to s veľmi vysokou pravdepodobnosťou podarí, ale primitívna derivácia sa v tomto prípade takmer nikdy nevypočíta. Ale je tu aj dobrá správa: existuje pomerne veľká trieda funkcií nazývaných elementárne funkcie, ktorých primitívne funkcie sa dajú veľmi ľahko vypočítať. A všetky ostatné zložitejšie konštrukcie, ktoré sa dávajú pri rôznych kontrolách, nezávislých a skúškach, sa v skutočnosti skladajú z týchto elementárnych funkcií sčítaním, odčítaním a inými jednoduchými úkonmi. Primitívne deriváty takýchto funkcií sú už dlho vypočítané a zhrnuté v špeciálnych tabuľkách. Práve s takýmito funkciami a tabuľkami budeme dnes pracovať.
Začneme však, ako vždy, opakovaním: pamätajte, čo je to primitívna derivácia, prečo je ich nekonečne veľa a ako ich určiť. všeobecná forma. Aby som to urobil, vybral som si dve jednoduché úlohy.
Riešenie jednoduchých príkladov
Príklad #1
Okamžite si všimnite, že $\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$ a prítomnosť $\text( )\!\!\pi\!\! \ text( )$ nám okamžite napovedá, že požadovaná primitívna derivácia funkcie súvisí s trigonometriou. A skutočne, ak sa pozrieme na tabuľku, zistíme, že $\frac(1)(1+((x)^(2)))$ nie je nič iné ako $\text(arctg)x$. Tak si napíšme:
Ak chcete nájsť, musíte napísať nasledovné:
\[\frac(\pi )(6)=\text(arctg)\sqrt(3)+C\]
\[\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+C\]
Príklad č. 2
Tu tiež hovoríme o goniometrické funkcie. Ak sa pozrieme na tabuľku, skutočne to dopadne takto:
Musíme nájsť medzi celou množinou primitívnych prvkov tú, ktorá prechádza zadaným bodom:
\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\arcsin \frac(1)(2)+C\]
\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+C\]
Poďme si to konečne napísať:
Je to také jednoduché. Jediným problémom je spočítať primitívov jednoduché funkcie, musíte sa naučiť tabuľku priradení. Keď sa však naučíte tabuľku derivátov, myslím, že to nebude problém.
Riešenie problémov obsahujúcich exponenciálnu funkciu
Začnime písaním nasledujúcich vzorcov:
\[((e)^(x))\to ((e)^(x))\]
\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)\]
Pozrime sa, ako to celé funguje v praxi.
Príklad #1
Ak sa pozrieme na obsah hranatých zátvoriek, všimneme si, že v tabuľke priradení nie je taký výraz, že $((e)^(x))$ je v štvorci, takže tento štvorec musí byť otvorený. Na tento účel používame skrátené vzorce násobenia:
Nájdime primitívny prvok pre každý z výrazov:
\[((e)^(2x))=((\left(((e)^(2)) \right))^(x))\to \frac(((\left(((e)^) (2)) \vpravo))^(x)))(\ln ((e)^(2)))=\frac(((e)^(2x)))(2)\]
\[((e)^(-2x))=((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))\to \frac(((\left(((e) )^(-2)) \vpravo))^(x)))(\ln ((e)^(-2)))=\frac(1)(-2((e)^(2x))) \]
A teraz zhromaždíme všetky výrazy do jedného výrazu a získame spoločnú primitívu:
Príklad č. 2
Tentoraz je už exponent väčší, takže skrátený vzorec na násobenie bude dosť komplikovaný. Rozšírime zátvorky:
Teraz skúsme z tejto konštrukcie vziať primitívnu vlastnosť nášho vzorca:
Ako vidíte, v priraďovacích prvkoch exponenciálnej funkcie nie je nič zložité a nadprirodzené. Všetka jedna sa vypočítava pomocou tabuliek, no pozorní študenti si určite všimnú, že primitívna derivácia $((e)^(2x))$ je oveľa bližšie len k $((e)^(x)))$ ako k $((a). )^(x))$. Takže možno existuje nejaké špeciálnejšie pravidlo, ktoré umožňuje, ak poznáte primitívnu vlastnosť $((e)^(x))$, nájsť $((e)^(2x))$? Áno, existuje také pravidlo. A navyše je to neoddeliteľná súčasť práce s tabuľkou primitív. Teraz to analyzujeme pomocou rovnakých výrazov, s ktorými sme práve pracovali ako príklad.
Pravidlá práce s tabuľkou primitív
Prepíšme našu funkciu:
V predchádzajúcom prípade sme na riešenie použili nasledujúci vzorec:
\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\názov operátora(lna))\]
Ale teraz urobme niečo iné: zapamätajte si, na akom základe $((e)^(x))\to ((e)^(x))$. Ako už bolo povedané, pretože derivát $((e)^(x))$ nie je nič iné ako $((e)^(x))$, takže jeho primitívny derivát sa bude rovnať rovnakému $((e) ^( x)) $. Problém je však v tom, že máme $((e)^(2x))$ a $((e)^(-2x))$. Teraz sa pokúsme nájsť derivát $((e)^(2x))$:
\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(2x))\cdot ((\left(2x \right))^( \prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]
Opäť prepíšme našu konštrukciu:
\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]
\[((e)^(2x))=((\left(\frac(((e)^(2x)))(2) \right))^(\prime ))\]
A to znamená, že keď nájdeme primitívnu položku $((e)^(2x))$, dostaneme nasledovné:
\[((e)^(2x))\to \frac(((e)^(2x)))(2)\]
Ako vidíte, dostali sme rovnaký výsledok ako predtým, ale nepoužili sme vzorec na nájdenie $((a)^(x))$. Teraz sa to môže zdať hlúpe: prečo komplikovať výpočty, keď existuje štandardný vzorec? Pri trochu zložitejších prejavoch však uvidíte, že táto technika je veľmi účinná, t.j. použitie derivátov na nájdenie primitívnych derivátov.
Na zahriatie nájdime primitívnu vlastnosť $((e)^(2x))$ podobným spôsobom:
\[((\left(((e)^(-2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(-2x))\cdot \left(-2 \right)\]
\[((e)^(-2x))=((\left(\frac(((e)^(-2x)))(-2) \right))^(\prime ))\]
Pri výpočte bude naša konštrukcia napísaná takto:
\[((e)^(-2x))\to -\frac(((e)^(-2x)))(2)\]
\[((e)^(-2x))\to -\frac(1)(2\cdot ((e)^(2x)))\]
Dosiahli sme presne rovnaký výsledok, ale išli sme opačným smerom. Práve tento spôsob, ktorý sa nám teraz zdá trochu komplikovanejší, bude v budúcnosti efektívnejší pri výpočtoch zložitejších primitív a tabuliek.
Poznámka! Toto je veľmi dôležitý bod: Antideriváty, podobne ako deriváty, možno počítať mnohými rôznymi spôsobmi. Ak sú však všetky výpočty a výpočty rovnaké, odpoveď bude rovnaká. Práve sme to videli na príklade $((e)^(-2x))$ - na jednej strane sme túto primitívu vypočítali „cez“ pomocou definície a vypočítali sme ju pomocou transformácií na na druhej strane sme si zapamätali, že $ ((e)^(-2x))$ môže byť reprezentované ako $((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))$ a potom použite primitívnu funkciu pre funkciu $( (a)^(x))$. Po všetkých transformáciách je však výsledok rovnaký, ako sa očakávalo.
A teraz, keď sme to všetko pochopili, je čas prejsť na niečo podstatnejšie. Teraz si rozoberieme dve jednoduché konštrukcie, avšak technika, ktorá bude stanovená pri ich riešení, je mocnejším a užitočnejším nástrojom ako jednoduché „behanie“ medzi susednými primitívnymi prvkami od stola.
Riešenie problémov: nájdite primitívnu vlastnosť funkcie
Príklad #1
Uveďte množstvo, ktoré je v čitateloch, rozložte na tri samostatné zlomky:
Ide o celkom prirodzený a pochopiteľný prechod – väčšina študentov s ním nemá problémy. Prepíšme náš výraz takto:
Teraz si spomeňme na tento vzorec:
V našom prípade dostaneme nasledovné:
Aby ste sa zbavili všetkých týchto trojposchodových zlomkov, navrhujem urobiť nasledovné:
Príklad č. 2
Na rozdiel od predchádzajúceho zlomku nie je menovateľom súčin, ale súčet. V tomto prípade už nemôžeme náš zlomok deliť súčtom niekoľkých jednoduché zlomky, ale musíte sa nejako pokúsiť, aby čitateľ mal približne rovnaký výraz ako menovateľ. V tomto prípade je to celkom jednoduché:
Takýto zápis, ktorý sa v jazyku matematiky nazýva „sčítanie nuly“, nám umožní opäť rozdeliť zlomok na dve časti:
Teraz poďme nájsť to, čo sme hľadali:
To sú všetky výpočty. Napriek zjavne väčšej zložitosti ako v predchádzajúcom probléme sa množstvo výpočtov ukázalo byť ešte menšie.
Nuansy riešenia
A tu je hlavná náročnosť práce s tabuľkovými primitívmi, čo je obzvlášť viditeľné v druhej úlohe. Faktom je, že na to, aby sme vybrali niektoré prvky, ktoré sa dajú ľahko spočítať cez tabuľku, musíme vedieť, čo presne hľadáme, a práve v hľadaní týchto prvkov sa skladá celý výpočet primitív.
Inými slovami, nestačí sa len naučiť naspamäť tabuľku primitív – musíte vidieť niečo, čo tam ešte nie je, ale čo tým myslel autor a zostavovateľ tohto problému. To je dôvod, prečo mnohí matematici, učitelia a profesori neustále argumentujú: „Čo je brať primitívne derivácie alebo integrácia - je to len nástroj alebo je to skutočné umenie? V skutočnosti podľa môjho osobného názoru integrácia vôbec nie je umenie – nie je v nej nič vznešené, je to len prax a zase prax. A na precvičenie vyriešme tri vážnejšie príklady.
Cvičte integráciu v praxi
Úloha č.1
Napíšme si nasledujúce vzorce:
\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]
\[\frac(1)(x)\to \ln x\]
\[\frac(1)(1+((x)^(2)))\to \text(arctg)x\]
Napíšme si nasledovné:
Úloha č. 2
Prepíšme to takto:
Celkový primitívny prvok sa bude rovnať:
Úloha č. 3
Zložitosť tejto úlohy spočíva v tom, že na rozdiel od predchádzajúcich funkcií nie je nad premennou $x$, t.j. nie je nám jasné, čo pridať, ubrať, aby sme dostali aspoň niečo podobné tomu, čo je nižšie. V skutočnosti sa však tento výraz považuje za ešte jednoduchší ako ktorýkoľvek výraz z predchádzajúcich konštruktov, pretože túto funkciu možno prepísať nasledovne:
Teraz sa môžete opýtať: prečo sú tieto funkcie rovnaké? Skontrolujme to:
Opäť prepíšeme:
Zmeňme trochu náš výraz:
A keď to všetko vysvetlím svojim študentom, takmer vždy vyvstane rovnaký problém: s prvou funkciou je všetko viac-menej jasné, s druhou na to môžete prísť aj so šťastím alebo cvikom, ale aké alternatívne vedomie musíte mať, aby ste vyriešili tretí príklad? Vlastne sa neboj. Technika, ktorú sme použili pri výpočte poslednej primitívnej funkcie, sa nazýva „rozloženie funkcie na najjednoduchšiu“ a je to veľmi vážna technika a bude jej venovaná samostatná video lekcia.
Medzitým navrhujem vrátiť sa k tomu, čo sme práve študovali, teda k exponenciálnym funkciám a trochu skomplikovať úlohy ich obsahom.
Zložitejšie problémy na riešenie primitívnych exponenciálnych funkcií
Úloha č.1
Všimnite si nasledovné:
\[((2)^(x))\cdot ((5)^(x))=((\left(2\cdot 5 \right))^(x))=((10)^(x) )\]
Ak chcete nájsť primitívnu vlastnosť tohto výrazu, jednoducho použite štandardný vzorec $((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)$.
V našom prípade bude primitív vyzerať takto:
Samozrejme, na pozadí konštrukcie, ktorú sme práve riešili, táto vyzerá jednoduchšie.
Úloha č. 2
Opäť je ľahké vidieť, že túto funkciu je ľahké rozdeliť na dva samostatné pojmy – dva samostatné zlomky. Poďme prepísať:
Zostáva nájsť primitívny derivát každého z týchto výrazov podľa vyššie uvedeného vzorca:
Napriek zdanlivej zložitosti exponenciálne funkcie v porovnaní s výkonovými sa celkové množstvo výpočtov a výpočtov ukázalo oveľa jednoduchšie.
Samozrejme, pre znalých študentov sa to, čím sme sa práve zaoberali (najmä na pozadí toho, čím sme sa zaoberali predtým), môže zdať elementárnymi výrazmi. Pri výbere týchto dvoch úloh do dnešného videonávodu som si však nedal za cieľ povedať vám ďalší zložitý a zložitý trik – chcel som vám len ukázať, že by ste sa nemali báť použiť štandardné algebrické triky na transformáciu pôvodných funkcií. .
Pomocou "tajnej" techniky
Na záver by som rád rozobral ďalšiu zaujímavú techniku, ktorá na jednej strane presahuje to, čo sme dnes hlavne rozoberali, no na druhej strane nie je po prvé nijako zložitá, t.j. zvládnu ju aj začínajúci študenti a po druhé, pomerne často sa vyskytuje pri všelijakej kontrole a samostatnej práci, t.j. Vedieť to bude veľmi užitočné popri znalosti tabuľky primitív.
Úloha č.1
Je zrejmé, že máme niečo veľmi podobné ako mocenská funkcia. Ako máme v tomto prípade postupovať? Zamyslime sa nad tým: $x-5$ sa od $x$ až tak nelíši – len pridaných $-5$. Napíšme to takto:
\[((x)^(4))\to \frac(((x)^(5)))(5)\]
\[((\left(\frac(((x)^(5)))(5) \right))^(\prime ))=\frac(5\cdot ((x)^(4))) (5)=((x)^(4))\]
Skúsme nájsť deriváciu $((\left(x-5 \right))^(5))$:
\[((\left(((\left(x-5 \right))^(5)) \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right)) ^(4))\cdot ((\left(x-5 \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right))^(4))\]
To znamená:
\[((\left(x-5 \right))^(4))=((\left(\frac(((\left(x-5 \right))^(5)))(5) \ vpravo))^(\prime ))\]
V tabuľke takáto hodnota nie je, preto sme tento vzorec teraz odvodili sami pomocou štandardného priraďovacieho vzorca pre výkonová funkcia. Napíšme odpoveď takto:
Úloha č. 2
Mnohým študentom, ktorí sa pozerajú na prvé riešenie, sa môže zdať, že všetko je veľmi jednoduché: stačí nahradiť $x$ v mocninovej funkcii lineárnym výrazom a všetko zapadne na svoje miesto. Bohužiaľ, všetko nie je také jednoduché a teraz to uvidíme.
Analogicky s prvým výrazom píšeme nasledovné:
\[((x)^(9))\to \frac(((x)^(10)))(10)\]
\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=10\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\cdot ((\left(4-3x \right))^(\prime ))=\]
\[=10\cbodka ((\ľavá(4-3x \vpravo))^(9))\cbodka \ľavá(-3 \pravá)=-30\cbodka ((\ľavá(4-3x \pravá)) ^(9))\]
Keď sa vrátime k našej derivácii, môžeme napísať:
\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=-30\cdot ((\left(4-3x \right) )^(9))\]
\[((\left(4-3x \right))^(9))=((\left(\frac(((\left(4-3x \right))^(10)))(-30) \right))^(\prime ))\]
Odtiaľto hneď nasleduje:
Nuansy riešenia
Poznámka: ak sa minule v podstate nič nezmenilo, v druhom prípade sa namiesto -10 $ objavilo $ -30 $. Aký je rozdiel medzi -10 $ a -30 $? Samozrejme, faktorom -3 $. Otázka: odkiaľ to prišlo? Pri bližšom pohľade môžete vidieť, že to bolo vzaté ako výsledok výpočtu derivácie komplexnej funkcie – koeficient, ktorý bol $x$, sa objaví v priradenej funkcii nižšie. Toto je veľmi dôležité pravidlo, ktorý som pôvodne vôbec nemal v pláne rozoberať v dnešnom videonávode, no bez neho by bola prezentácia tabuľkových primitív neúplná.
Tak si to zopakujme. Nech je naša hlavná silová funkcia:
\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]
A teraz namiesto $x$ nahraďme výraz $kx+b$. čo sa stane potom? Potrebujeme nájsť nasledovné:
\[((\left(kx+b \right))^(n))\to \frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+ 1 \vpravo)\cbodka k)\]
Na základe čoho to tvrdíme? Veľmi jednoduché. Poďme nájsť derivát konštrukcie napísanej vyššie:
\[((\left(\frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+1 \right)\cdot k) \right))^( \prime ))=\frac(1)(\left(n+1 \right)\cdot k)\cdot \left(n+1 \right)\cdot ((\left(kx+b \right))^ (n))\cdot k=((\left(kx+b \right))^(n))\]
Toto je rovnaký výraz ako pôvodne. Aj tento vzorec je teda správny a možno ho použiť na doplnenie tabuľky priradení, ale je lepšie si zapamätať celú tabuľku.
Závery z „tajomstva: recepcia:
- Obe funkcie, o ktorých sme práve uvažovali, sa v skutočnosti otvorením stupňov dajú zredukovať na primitívne prvky uvedené v tabuľke, ale ak sa viac-menej nejako vyrovnáme so štvrtým stupňom, potom by som deviaty stupeň nerobil vôbec. sa odvážil odhaliť.
- Ak by sme otvorili stupne, potom by sme dostali taký objem výpočtov, že jednoduchá úloha by nás zabralo neadekvátne veľké množstvočas.
- Preto takéto úlohy, vo vnútri ktorých sú lineárne výrazy, netreba riešiť „naprázdno“. Akonáhle sa stretnete s primitívom, ktorý sa od toho v tabuľke líši iba prítomnosťou výrazu $kx+b$ vo vnútri, okamžite si zapamätajte vzorec napísaný vyššie, dosaďte ho do svojho tabuľkového priraďovacieho prvku a všetko dopadne oveľa lepšie rýchlejšie a jednoduchšie.
Prirodzene, vzhľadom na zložitosť a závažnosť tejto techniky sa k jej zváženiu budeme opakovane vracať v budúcich video tutoriáloch, ale pre dnešok mám všetko. Dúfam, že táto lekcia skutočne pomôže tým študentom, ktorí chcú porozumieť primitívnym derivátom a integrácii.
Naučiť sa integrovať nie je ťažké. Aby ste to dosiahli, musíte sa naučiť určitý, pomerne malý súbor pravidiel a vytvoriť si určitý druh vkusu. Samozrejme, je ľahké naučiť sa pravidlá a vzorce, ale je dosť ťažké pochopiť, kde a kedy uplatniť to či ono pravidlo integrácie alebo diferenciácie. Toto je v skutočnosti schopnosť integrácie.
1. Antiderivát. Neurčitý integrál.
Predpokladá sa, že v čase čítania tohto článku už čitateľ má určité rozlišovacie schopnosti (t. j. nájdenie derivátov).
Definícia 1.1: Funkcia sa nazýva primitívna, ak platí rovnosť:
Komentáre:> Prízvuk v slove „prvotný“ možno umiestniť dvoma spôsobmi: O nervózny alebo originálny A vediac.
Vlastnosť 1: Ak je funkcia primitívnou vlastnosťou funkcie, potom je táto funkcia tiež priradenou funkciou.
dôkaz: Dokážme to z definície primitívneho derivátu. Poďme nájsť deriváciu funkcie:
Prvý termín v definícia 1.1 rovná sa a druhý člen je deriváciou konštanty, ktorá sa rovná 0.
.
Zhrnúť. Napíšme začiatok a koniec reťazca rovnosti: 
Derivácia funkcie je teda rovná, a preto je podľa definície jej primitívna. Nehnuteľnosť bola preukázaná.
Definícia 1.2: Neurčitý integrál funkcie je celá množina primitívnych prvkov tejto funkcie. Označuje sa takto: 
.
Zvážte podrobne názvy každej časti záznamu:
je všeobecný zápis pre integrál,
je integrandový (integrandový) výraz, integrovateľná funkcia.
je diferenciál a výraz za písmenom sa v tomto prípade bude nazývať integračná premenná.
Komentáre: Kľúčové slová v tejto definícii – „celý súbor“. Tie. ak v budúcnosti toto „plus C“ nebude napísané v odpovedi, potom má inšpektor plné právo nepripísať túto úlohu, pretože je potrebné nájsť celý súbor primitívnych derivátov a ak C chýba, nájde sa iba jeden.
Záver: Aby sme skontrolovali, či je integrál vypočítaný správne, je potrebné nájsť deriváciu výsledku. Musí zodpovedať integrandu.
Príklad:
Cvičenie: Vypočítajte neurčitý integrál a skontrolujte.
Riešenie:
Spôsob výpočtu tohto integrálu v tomto prípade nezáleží. Predpokladajme, že je to zjavenie zhora. Našou úlohou je ukázať, že zjavenie nás neoklamalo, a to sa dá urobiť pomocou overenia.
Vyšetrenie:
Pri diferencovaní výsledku sa získal integrand, čo znamená, že integrál bol vypočítaný správne.
2. Začnite. Tabuľka integrálov.
Pri integrácii nie je potrebné si zakaždým pamätať funkciu, ktorej derivácia sa rovná danému integrandu (t. j. použiť priamo definíciu integrálu). Každá zbierka úloh alebo učebnica matematickej analýzy obsahuje zoznam vlastností integrálov a tabuľku najjednoduchších integrálov.
Uveďme si vlastnosti.
Vlastnosti:
1.
Integrál diferenciálu sa rovná integračnej premennej.
2. , kde je konštanta.
Konštantný násobiteľ môže byť vyňatý zo znamienka integrálu.
3.
Integrál súčtu sa rovná súčtu integrálov (ak je počet členov konečný).
Integrálna tabuľka:
1.  |
10. |
| 2. | 11.  |
| 3. | 12.  |
4.  |
13.  |
5.  |
14.  |
| 6. | 15. |
7.  |
16. |
| 8. | 17.  |
| 9. | 18.  |
Najčastejšie je úlohou redukovať skúmaný integrál na tabuľkový pomocou vlastností a vzorcov.
Príklad:
[Použime tretiu vlastnosť integrálov a zapíšme ju ako súčet troch integrálov.]
[Použime druhú vlastnosť a odoberme konštanty zo znaku integrácie.]
[ V prvom integráli použijeme tabuľkový integrál č. 1 (n=2), v druhom - rovnaký vzorec, ale n=1, a pre tretí integrál môžete použiť buď rovnaký tabuľkový integrál, ale s n=0 alebo prvá vlastnosť. ]
.
Skontrolujeme diferenciáciou:
Pôvodný integrand bol získaný, preto integrácia prebehla bez chýb (a nezabudlo sa ani na pridanie ľubovoľnej konštanty C).
Tabuľkové integrály sa treba naučiť naspamäť z jedného jednoduchého dôvodu – aby ste vedeli, o čo sa snažiť, t.j. poznať účel transformácie daného výrazu.
Tu je niekoľko ďalších príkladov:
1) 
2) 
3) 
Úlohy na samostatné riešenie:
Cvičenie 1. Vypočítajte neurčitý integrál:
+ Zobraziť/skryť tip č. 1.
1) Použite tretiu vlastnosť a prezentujte tento integrál ako súčet troch integrálov.
+ Zobraziť/skryť tip č. 2.
+ Zobraziť/skryť tip č. 3.
3) Pre prvé dva pojmy použite prvý tabuľkový integrál a pre tretí - druhý tabuľkový integrál.
+ Zobraziť/skryť riešenie a odpoveď.
4) Riešenie: 
odpoveď: 