Dôkaz a odvodenie vzorcov pre deriváciu exponentu (e na mocninu x) a exponenciálna funkcia(a na mocninu x). Príklady výpočtu derivácií e^2x, e^3x a e^nx. Vzorce pre deriváty vyšších rádov.
Derivácia exponentu sa rovná samotnému exponentu (derivácia e mocniny x sa rovná e mocniny x):
(1)
(e x)' = e x.
Derivácia exponenciálnej funkcie so základom stupňa a sa rovná samotnej funkcii, vynásobenej prirodzeným logaritmom a:
(2)
.
Odvodenie vzorca pre deriváciu exponentu, e na mocninu x
Exponent je exponenciálna funkcia, ktorej základ exponentu sa rovná číslu e, čo je nasledujúca limita:
.
Tu to môže byť prirodzené alebo reálne číslo. Ďalej odvodíme vzorec (1) pre deriváciu exponentu.
Odvodenie vzorca pre deriváciu exponentu
Zvážte exponent e na mocninu x :
y = e x.
Táto funkcia je definovaná pre všetkých. Nájdite jeho deriváciu vzhľadom na x . Podľa definície je derivát nasledujúci limit:
(3)
.
Transformujme tento výraz, aby sme ho zredukovali na známe matematické vlastnosti a pravidlá. Na to potrebujeme nasledujúce fakty:
A) Vlastnosť exponentu:
(4)
;
B) Vlastnosť logaritmu:
(5)
;
IN) Spojitosť logaritmu a vlastnosť limity pre spojitú funkciu:
(6)
.
Tu je nejaká funkcia, ktorá má limit a tento limit je pozitívny.
G) Význam druhej nádhernej hranice:
(7)
.
Tieto skutočnosti aplikujeme na naše limity (3). Používame majetok (4):
;
.
Urobme náhradu. Potom ; .
Vzhľadom na kontinuitu exponentu,
.
Preto o , . V dôsledku toho dostaneme:
.
Urobme náhradu. Potom . O , . A máme:
.
Použijeme vlastnosť logaritmu (5):
. Potom
.
Použime vlastnosť (6). Pretože existuje kladný limit a logaritmus je spojitý, potom:
.
Tu sme použili aj druhú pozoruhodnú hranicu (7). Potom
.
Získali sme teda vzorec (1) pre deriváciu exponentu.
Odvodenie vzorca pre deriváciu exponenciálnej funkcie
Teraz odvodíme vzorec (2) pre deriváciu exponenciálnej funkcie so základom stupňa a. Veríme, že a . Potom exponenciálna funkcia
(8)
Definované pre každého.
Transformujme vzorec (8). Na to používame vlastnosti exponenciálnej funkcie a logaritmus.
;
.
Vzorec (8) sme teda transformovali do nasledujúceho tvaru:
.
Deriváty vyššieho rádu e na mocninu x
Teraz nájdime deriváty vyšších rádov. Najprv sa pozrime na exponent:
(14)
.
(1)
.
Vidíme, že derivácia funkcie (14) sa rovná samotnej funkcii (14). Diferencovaním (1) získame deriváty druhého a tretieho rádu:
;
.
To ukazuje, že derivácia n-tého rádu sa tiež rovná pôvodnej funkcii:
.
Derivácie vyššieho rádu exponenciálnej funkcie
Teraz zvážte exponenciálnu funkciu so základňou stupňa a:
.
Našli sme jeho derivát prvého rádu:
(15)
.
Diferencovaním (15) získame deriváty druhého a tretieho rádu:
;
.
Vidíme, že každá diferenciácia vedie k vynásobeniu pôvodnej funkcie číslom . Preto má n-tá derivácia nasledujúci tvar:
.
komplexné deriváty. Logaritmická derivácia.
Derivácia exponenciálnej funkcie
Pokračujeme v zlepšovaní našej techniky diferenciácie. V tejto lekcii si skonsolidujeme preberaný materiál, zvážime zložitejšie deriváty a tiež sa zoznámime s novými trikmi a trikmi na nájdenie derivátu, najmä s logaritmickou deriváciou.
Pre tých čitateľov, ktorí nízky level príprava, pozri článok Ako nájsť derivát? Príklady riešeníčo vám umožní zvýšiť svoje zručnosti takmer od nuly. Ďalej si musíte stránku dôkladne preštudovať Derivácia komplexnej funkcie, pochopiť a vyriešiť Všetky príklady, ktoré som uviedol. Táto lekcia je logicky tretia v poradí a po jej zvládnutí s istotou odlíšite dosť zložité funkcie. Je nežiaduce držať sa pozície „Kde inde? A to je dosť!", pretože všetky príklady a riešenia sú prevzaté zo skutočnosti kontrolné práce a často sa s nimi stretávame v praxi.
Začnime opakovaním. Na lekcii Derivácia komplexnej funkcie zvážili sme niekoľko príkladov s podrobnými komentármi. V priebehu štúdia diferenciálneho počtu a iných častí matematickej analýzy budete musieť veľmi často rozlišovať a nie je vždy vhodné (a nie vždy potrebné) maľovať príklady veľmi podrobne. Preto sa precvičíme v ústnom zisťovaní derivátov. Najvhodnejšími „kandidátmi“ na to sú deriváty najjednoduchších alebo komplexných funkcií, napríklad:
Podľa pravidla diferenciácie komplexnej funkcie 
:
Pri štúdiu iných matanských tém v budúcnosti sa takýto podrobný záznam najčastejšie nevyžaduje, predpokladá sa, že študent je schopný nájsť podobné deriváty na autopilotovi. Predstavme si, že o 3. hodine ráno bola a hovor, a príjemný hlas sa spýtal: "Aká je derivácia dotyčnice dvoch x?". Potom by mala nasledovať takmer okamžitá a zdvorilá odpoveď: 
.
Prvý príklad bude okamžite určený na nezávislé riešenie.
Príklad 1
Nájdite nasledujúce deriváty ústne, v jednom kroku, napríklad: . Na dokončenie úlohy stačí použiť tabuľka derivácií elementárnych funkcií(ak si už nespomenula). Ak máte nejaké ťažkosti, odporúčam si lekciu znovu prečítať Derivácia komplexnej funkcie.
, , ,
, 
, , 
, , ,
, , 
,
, , 
,
, , ,
, 
,
Odpovede na konci hodiny
Komplexné deriváty
Po predbežnej delostreleckej príprave budú príklady s 3-4-5 prílohami funkcií menej desivé. Možno sa niekomu budú zdať nasledujúce dva príklady komplikované, ale ak budú pochopené (niekto trpí), potom takmer všetko ostatné v diferenciálnom počte bude pôsobiť ako detský vtip.
Príklad 2
Nájdite deriváciu funkcie 
Ako už bolo uvedené, pri hľadaní derivácie komplexnej funkcie je to predovšetkým potrebné Správny ROZUMIEŤ INVESTÍCIÁM. V prípadoch, keď existujú pochybnosti, pripomínam užitočná technika: vezmeme napríklad experimentálnu hodnotu „x“ a pokúsime sa (mentálne alebo na koncepte) nahradiť túto hodnotu do „strašného výrazu“.
1) Najprv musíme vypočítať výraz, takže súčet je najhlbšie vnorenie.
2) Potom musíte vypočítať logaritmus:
4) Potom položte kosínus na kocku:
5) V piatom kroku rozdiel:
6) A nakoniec najvzdialenejšia funkcia je Odmocnina: 
Vzorec na diferenciáciu komplexných funkcií 
sa aplikujú v opačnom poradí, od vonkajšej funkcie po najvnútornejšiu. Rozhodujeme sa:
Zdá sa, že bez chyby...
(1) Vezmeme deriváciu druhej odmocniny.
(2) Zoberieme deriváciu rozdielu pomocou pravidla 
(3) Derivácia trojky sa rovná nule. V druhom člene vezmeme deriváciu stupňa (kocku).
(4) Vezmeme deriváciu kosínusu.
(5) Zoberieme deriváciu logaritmu.
(6) Nakoniec vezmeme derivát najhlbšieho hniezdenia .
Môže sa to zdať príliš ťažké, ale toto nie je najbrutálnejší príklad. Vezmite si napríklad Kuznecovovu zbierku a oceníte všetko čaro a jednoduchosť analyzovaného derivátu. Všimol som si, že podobnú vec radi dávajú na skúške, aby si overili, či študent rozumie, ako nájsť deriváciu komplexnej funkcie, alebo nerozumie.
Nasledujúci príklad je pre samostatné riešenie.
Príklad 3
Nájdite deriváciu funkcie
Pomôcka: Najprv použijeme pravidlá linearity a pravidlo diferenciácie súčinu
Úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny.
Je čas prejsť na niečo kompaktnejšie a krajšie.
Nie je nezvyčajné, že v príklade je uvedený súčin nie dvoch, ale troch funkcií. Ako nájsť derivát produkty troch multiplikátory?
Príklad 4
Nájdite deriváciu funkcie
Najprv sa pozrieme, ale je možné premeniť súčin troch funkcií na súčin dvoch funkcií? Napríklad, ak by sme v súčine mali dva polynómy, mohli by sme otvoriť zátvorky. Ale v tomto príklade sú všetky funkcie odlišné: stupeň, exponent a logaritmus.
V takýchto prípadoch je to nevyhnutné postupne uplatňovať pravidlo diferenciácie produktov 
dvakrát
Trik je v tom, že pre "y" označujeme súčin dvoch funkcií: a pre "ve" - logaritmus:. Prečo sa to dá urobiť? je to? 
- to nie je súčin dvoch faktorov a pravidlo nefunguje?! Nie je nič zložité:
Teraz zostáva použiť pravidlo druhýkrát 
do zátvorky:
Stále môžete prevrátiť a niečo vyňať zo zátvoriek, ale v tomto prípade je lepšie ponechať odpoveď v tejto forme - bude ľahšie kontrolovať.
Vyššie uvedený príklad možno vyriešiť druhým spôsobom: 
Obe riešenia sú absolútne ekvivalentné.
Príklad 5
Nájdite deriváciu funkcie
Toto je príklad na nezávislé riešenie, v ukážke je to riešené prvým spôsobom.
Zvážte podobné príklady so zlomkami.
Príklad 6
Nájdite deriváciu funkcie 
Tu môžete ísť niekoľkými spôsobmi:
Alebo takto:
Riešenie však možno napísať kompaktnejšie, ak najskôr použijeme pravidlo diferenciácie kvocientu 
, pričom za celého čitateľa:
V zásade je príklad vyriešený a ak sa nechá v tejto podobe, nebude to chyba. Ale ak máte čas, vždy je vhodné skontrolovať návrh, ale je možné zjednodušiť odpoveď? Vyjadrenie čitateľa prinášame do spoločného menovateľa a zbaviť sa trojposchodového zlomku:
Nevýhodou dodatočných zjednodušení je, že existuje riziko, že sa pomýlime nie pri hľadaní derivátu, ale pri banálnych transformáciách škôl. Na druhej strane učitelia často úlohu odmietajú a žiadajú, aby im „pripomenuli“ derivát.
Jednoduchší príklad riešenia „urob si sám“:
Príklad 7
Nájdite deriváciu funkcie
Pokračujeme v ovládaní techník na nájdenie derivácie a teraz zvážime typický prípad, keď sa na diferenciáciu navrhuje „hrozný“ logaritmus.
Príklad 8
Nájdite deriváciu funkcie
Tu môžete prejsť dlhú cestu pomocou pravidla diferenciácie komplexnej funkcie:
Ale hneď prvý krok vás okamžite uvrhne do skľúčenosti - musíte vziať nepríjemnú deriváciu zlomkového stupňa a potom aj zlomku.
Preto predtým ako vziať derivát „fantastického“ logaritmu, bol predtým zjednodušený pomocou dobre známych školských vlastností:
! Ak máte po ruke cvičný zošit, skopírujte si tieto vzorce priamo tam. Ak nemáte zošit, nakreslite si ich na papier, pretože zvyšok príkladov z lekcií sa bude točiť okolo týchto vzorcov.
Samotné riešenie môže byť formulované takto:
Transformujme funkciu:
Nájdeme derivát: 
Predbežná transformácia samotnej funkcie značne zjednodušila riešenie. Preto, keď sa navrhuje podobný logaritmus na diferenciáciu, vždy sa odporúča „rozbiť“.
A teraz pár jednoduchých príkladov pre nezávislé riešenie:
Príklad 9
Nájdite deriváciu funkcie 
Príklad 10
Nájdite deriváciu funkcie
Všetky transformácie a odpovede na konci lekcie.
logaritmická derivácia
Ak je derivácia logaritmov taká sladká hudba, potom vyvstáva otázka, či je možné v niektorých prípadoch logaritmus umelo usporiadať? Môcť! A dokonca nevyhnutné.
Príklad 11
Nájdite deriváciu funkcie 
Podobné príklady sme nedávno zvažovali. Čo robiť? Postupne možno aplikovať pravidlo diferenciácie kvocientu a potom pravidlo diferenciácie produktu. Nevýhodou tejto metódy je, že získate obrovský trojposchodový zlomok, s ktorým sa vôbec nechcete zaoberať.
Ale v teórii a praxi existuje taká úžasná vec ako logaritmická derivácia. Logaritmy možno umelo organizovať ich „zavesením“ na obe strany:
Teraz musíte čo najviac „rozložiť“ logaritmus pravej strany (vzorce pred vašimi očami?). Popíšem tento proces veľmi podrobne:
Začnime s diferenciáciou.
Obe časti uzatvárame ťahom:
Derivácia pravej strany je celkom jednoduchá, nebudem sa k nej vyjadrovať, pretože ak čítate tento text, mali by ste to s istotou zvládnuť.
A čo ľavá strana?
Na ľavej strane máme komplexná funkcia. Predpokladám otázku: „Prečo, je pod logaritmom jedno písmeno „y“?
Faktom je, že toto "jedno písmeno y" - JE FUNKCIOU SAMA O SEBE(ak to nie je veľmi jasné, pozrite si článok Derivácia implicitne špecifikovanej funkcie). Preto je logaritmus vonkajšia funkcia a "y" je vnútorná funkcia. A používame pravidlo diferenciácie zložených funkcií 
:
Na ľavej strane akoby kúzlom máme derivát. Ďalej, podľa pravidla proporcie, hodíme „y“ z menovateľa ľavej strany do hornej časti pravej strany:
A teraz si spomenieme, o akej "hernej" funkcii sme hovorili pri rozlišovaní? Pozrime sa na stav: 
Konečná odpoveď: 
Príklad 12
Nájdite deriváciu funkcie
Toto je príklad „urob si sám“. Vzorový návrh príkladu tohto typu na konci lekcie.
Pomocou logaritmickej derivácie bolo možné vyriešiť ktorýkoľvek z príkladov č. 4-7, ďalšia vec je, že funkcie sú tam jednoduchšie a možno použitie logaritmickej derivácie nie je veľmi opodstatnené.
Derivácia exponenciálnej funkcie
O tejto funkcii sme zatiaľ neuvažovali. Exponenciálna funkcia je funkcia, ktorá má a stupeň a základ závisia od "x". Klasický príklad, ktorý dostanete v ktorejkoľvek učebnici alebo na akejkoľvek prednáške:
Ako nájsť deriváciu exponenciálnej funkcie?
Je potrebné použiť práve uvažovanú techniku - logaritmickú deriváciu. Logaritmy zavesíme na obe strany:
Stupeň sa spravidla odoberá spod logaritmu na pravej strane:
Výsledkom je, že na pravej strane máme súčin dvoch funkcií, ktoré budú diferencované podľa štandardného vzorca 
.
Nájdeme deriváciu, preto obe časti uzatvoríme pod ťahy:
Nasledujúce kroky sú jednoduché:
Nakoniec: 
Ak niektorá transformácia nie je úplne jasná, pozorne si znovu prečítajte vysvetlenia príkladu #11.
V praktických úlohách bude exponenciálna funkcia vždy komplikovanejšia ako uvažovaný príklad z prednášky.
Príklad 13
Nájdite deriváciu funkcie
Používame logaritmickú deriváciu. 
Na pravej strane máme konštantu a súčin dvoch faktorov - "x" a "logaritmus logaritmu x" (ďalší logaritmus je vnorený pod logaritmus). Pri derivovaní konštanty, ako si pamätáme, je lepšie ju hneď vyňať zo znamienka derivácie, aby neprekážala; a samozrejme použiť známe pravidlo 
:
Ako vidíte, algoritmus na aplikáciu logaritmickej derivácie neobsahuje žiadne špeciálne triky alebo triky a nájdenie derivácie exponenciálnej funkcie zvyčajne nie je spojené s „trápením“.
Pri odvodení úplne prvého vzorca tabuľky budeme vychádzať z definície derivácie funkcie v bode. Vezmime kam X- akékoľvek reálne číslo, tj. X– ľubovoľné číslo z oblasti definície funkcie . Napíšme limit pomeru prírastku funkcie k prírastku argumentu na: 
Treba poznamenať, že pod znamienkom limity sa získa výraz, ktorý nie je neistota nuly delená nulou, pretože čitateľ neobsahuje nekonečne malú hodnotu, ale práve nulu. Inými slovami, prírastok konštantnej funkcie je vždy nula.
teda derivácia konštantnej funkciesa rovná nule na celej doméne definície.
Derivácia mocninovej funkcie.
Vzorec pre deriváciu mocninnej funkcie má tvar 
, kde exponent p je akékoľvek reálne číslo.
Dokážme najprv vzorec pre prirodzený exponent, teda pre p = 1, 2, 3, ...
Použijeme definíciu derivátu. Napíšme limitu pomeru prírastku mocninnej funkcie k prírastku argumentu: 
Aby sme zjednodušili výraz v čitateli, obrátime sa na Newtonov binomický vzorec: 
teda 
To dokazuje vzorec pre deriváciu mocninnej funkcie pre prirodzený exponent.
Derivácia exponenciálnej funkcie.
Odvodený vzorec odvodíme na základe definície:
Došlo k neistote. Na jej rozšírenie uvádzame novú premennú , a pre . Potom . Pri poslednom prechode sme použili vzorec na prechod na nový základ logaritmu.
Vykonajte substitúciu v pôvodnom limite: 
Ak si spomenieme na druhú pozoruhodnú limitu, dostaneme sa k vzorcu pre deriváciu exponenciálnej funkcie: 
Derivácia logaritmickej funkcie.
Dokážme vzorec pre deriváciu logaritmickej funkcie pre všetkých X z rozsahu a všetkých platných základných hodnôt a logaritmus. Podľa definície derivátu máme: 
Ako ste si všimli, v dôkaze boli transformácie vykonané pomocou vlastností logaritmu. Rovnosť 
platí kvôli druhej pozoruhodnej hranici.
Derivácie goniometrických funkcií.
Aby sme odvodili vzorce pre derivácie goniometrických funkcií, budeme si musieť pripomenúť niektoré trigonometrické vzorce, ako aj prvú pozoruhodnú limitu.
Podľa definície derivácie funkcie sínus máme 
.
Na rozdiel sínusov používame vzorec: 
Zostáva sa obrátiť na prvý pozoruhodný limit: 
Takže derivácia funkcie hriech x Existuje cos x.
Vzorec pre kosínusový derivát je dokázaný presne rovnakým spôsobom. 
Preto derivácia funkcie cos x Existuje - hriech x.
Odvodenie vzorcov pre tabuľku derivácií pre tangens a kotangens sa uskutoční pomocou osvedčených pravidiel diferenciácie (derivácia zlomku). 
Deriváty hyperbolických funkcií.
Pravidlá diferenciácie a vzorec pre deriváciu exponenciálnej funkcie z tabuľky derivácií nám umožňujú odvodiť vzorce pre derivácie hyperbolického sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu. 
Derivácia inverznej funkcie.
Aby v prezentácii nedošlo k zámene, označme v dolnom indexe argument funkcie, ktorou sa derivácia vykonáva, teda je to derivácia funkcie. f(x) Autor: X.
Teraz formulujeme pravidlo na nájdenie derivácie inverznej funkcie.
Nechajte funkcie y = f(x) A x = g(y) vzájomne inverzné, definované na intervaloch resp. Ak v určitom bode existuje konečná nenulová derivácia funkcie f(x), potom v bode existuje konečná derivácia inverznej funkcie g(y), a 
. V inom zázname 
.
Toto pravidlo je možné preformulovať pre kohokoľvek X z intervalu , potom dostaneme 
.
Overme si platnosť týchto vzorcov.
Nájdite inverznú funkciu pre prirodzený logaritmus 
(Tu r je funkcia a X- argument). Riešenie tejto rovnice pre X, dostaneme (tu X je funkcia a r jej argument). teda 
a vzájomne inverzné funkcie.
Z tabuľky derivátov to vidíme 
A 
.
Uistime sa, že vzorce na nájdenie derivácií inverznej funkcie nás vedú k rovnakým výsledkom: 
Prvá úroveň
Derivácia funkcie. Komplexný sprievodca (2019)
Predstavte si rovnú cestu vedúcu cez kopcovitú oblasť. To znamená, že ide hore a dole, ale nezatáča doprava ani doľava. Ak je os nasmerovaná horizontálne pozdĺž cesty a vertikálne, potom bude čiara cesty veľmi podobná grafu nejakej súvislej funkcie:
Os je určitá úroveň nulovej výšky, v živote ako to používame hladinu mora.
Po takejto ceste vpred sa pohybujeme aj nahor alebo nadol. Môžeme tiež povedať: keď sa argument zmení (pohyb pozdĺž osi x), zmení sa hodnota funkcie (pohyb pozdĺž osi y). Teraz sa zamyslime nad tým, ako určiť „strmosť“ našej cesty? Aká by mohla byť táto hodnota? Veľmi jednoduché: ako veľmi sa zmení výška pri pohybe dopredu o určitú vzdialenosť. Skutočne, na rôznych úsekoch cesty, pri pohybe vpred (pozdĺž osi x) o jeden kilometer budeme stúpať alebo klesať o iná suma metrov vzhľadom na hladinu mora (pozdĺž osi y).
Označujeme postup vpred (čítaj "delta x").
Grécke písmeno (delta) sa bežne používa v matematike ako predpona s významom „zmena“. To je - to je zmena veľkosti, - zmena; čo je potom? Presne tak, zmena veľkosti.
Dôležité: výraz je jedna entita, jedna premenná. Nikdy by ste nemali odtrhávať "delta" od "x" alebo akéhokoľvek iného písmena! To je napríklad .
Takže sme sa posunuli vpred, horizontálne, ďalej. Ak porovnáme čiaru cesty s grafom funkcie, ako potom označíme stúpanie? Určite,. To znamená, že keď sa pohybujeme vpred, stúpame vyššie.
Je ľahké vypočítať hodnotu: ak sme na začiatku boli vo výške a po presune sme boli vo výške, potom. Ak sa ukáže, že koncový bod je nižší ako počiatočný bod, bude záporný - to znamená, že nestúpame, ale klesáme.
Späť na "strmosť": toto je hodnota, ktorá udáva, o koľko (strmé) sa výška zväčší pri pohybe dopredu na jednotku vzdialenosti:
Predpokladajme, že na niektorom úseku cesty pri postupovaní o km stúpa cesta o km. Potom je strmosť v tomto mieste rovnaká. A ak cesta pri postupe o m klesla o km? Potom je sklon rovnaký.
Teraz zvážte vrchol kopca. Ak vezmete začiatok úseku pol kilometra na vrchol a koniec - pol kilometra za ním, môžete vidieť, že výška je takmer rovnaká.
To znamená, že podľa našej logiky sa ukazuje, že sklon je tu takmer rovný nule, čo zjavne nie je pravda. Len pár kilometrov odtiaľ sa môže veľa zmeniť. Pre adekvátnejší a presnejší odhad strmosti je potrebné zvážiť menšie plochy. Ak napríklad zmeriate zmenu výšky pri pohybe o jeden meter, výsledok bude oveľa presnejší. Ale ani táto presnosť nám nemusí stačiť – veď ak je v strede cesty stĺp, môžeme sa cez neho jednoducho prešmyknúť. Akú vzdialenosť by sme teda mali zvoliť? Centimeter? Milimeter? Menej je lepšie!
IN skutočný život meranie vzdialenosti s presnosťou na milimeter je viac než dosť. Ale matematici sa vždy snažia o dokonalosť. Preto bol koncept nekonečne malý, to znamená, že hodnota modulo je menšia ako akékoľvek číslo, ktoré vieme pomenovať. Napríklad poviete: jeden bilión! O koľko menej? A toto číslo vydelíte - a bude ešte menej. A tak ďalej. Ak chceme napísať, že hodnota je nekonečne malá, napíšeme takto: (čítame „x inklinuje k nule“). Je veľmi dôležité pochopiť že toto číslo sa nerovná nule! Ale veľmi blízko k tomu. To znamená, že sa dá rozdeliť na.
Pojem opačný k nekonečne malému je nekonečne veľký (). Pravdepodobne ste sa s tým už stretli, keď ste pracovali na nerovnostiach: toto číslo je v module väčšie ako akékoľvek číslo, ktoré si dokážete predstaviť. Ak vám vyjde čo najväčšie číslo, stačí ho vynásobiť dvomi a dostanete ešte viac. A nekonečno je ešte viac ako to, čo sa deje. V skutočnosti sú nekonečne veľké a nekonečne malé navzájom inverzné, teda at, a naopak: at.
Teraz späť k našej ceste. Ideálne vypočítaný sklon je sklon vypočítaný pre nekonečne malý úsek cesty, to znamená:
Podotýkam, že pri nekonečne malom posunutí bude aj zmena výšky nekonečne malá. Ale pripomínam, že nekonečne malý neznamená rovný nule. Ak medzi sebou delíte nekonečne malé čísla, dostanete napríklad úplne obyčajné číslo. To znamená, že jedna malá hodnota môže byť presne dvakrát väčšia ako druhá.
Prečo toto všetko? Cesta, strmosť ... Nejdeme na rely, ale učíme sa matematiku. A v matematike je všetko úplne rovnaké, len sa inak volá.
Pojem derivát
Derivácia funkcie je pomer prírastku funkcie k prírastku argumentu pri infinitezimálnom prírastku argumentu.
Prírastok v matematike sa nazýva zmena. Ako veľmi sa zmenil argument () pri pohybe pozdĺž osi, sa nazýva prírastok argumentov a označuje sa ako veľmi sa zmenila funkcia (výška) pri pohybe vpred pozdĺž osi o vzdialenosť tzv. prírastok funkcie a je označený.
Derivácia funkcie je teda vzťah k tomu, kedy. Deriváciu označujeme rovnakým písmenom ako funkciu, len ťahom vpravo hore: alebo jednoducho. Takže napíšme odvodený vzorec pomocou týchto zápisov:
Rovnako ako v analógii s cestou, aj tu, keď sa funkcia zvyšuje, derivácia je kladná, a keď klesá, je záporná.
Ale rovná sa derivácia nule? určite. Napríklad, ak ideme po rovnej vodorovnej ceste, strmosť je nulová. V skutočnosti sa výška vôbec nemení. Takže s deriváciou: derivácia konštantnej funkcie (konštanta) sa rovná nule:
keďže prírastok takejto funkcie je nulový pre ľubovoľnú.
Vezmime si príklad z kopca. Ukázalo sa, že je možné usporiadať konce segmentu na opačných stranách vrcholu tak, aby výška na koncoch bola rovnaká, to znamená, že segment bol rovnobežný s osou:
Ale veľké segmenty sú znakom nepresného merania. Zdvihneme náš segment nahor rovnobežne so sebou, potom sa jeho dĺžka zníži.
Nakoniec, keď sme nekonečne blízko vrcholu, dĺžka segmentu bude nekonečne malá. Zároveň však zostal rovnobežný s osou, to znamená, že výškový rozdiel na jej koncoch sa rovná nule (nemá tendenciu, ale je rovný). Takže derivát
Dá sa to chápať takto: keď stojíme na samom vrchole, malý posun doľava alebo doprava zmení našu výšku zanedbateľne.
Existuje aj čisto algebraické vysvetlenie: vľavo od vrchu sa funkcia zvyšuje a vpravo klesá. Ako sme už skôr zistili, keď funkcia rastie, derivácia je kladná, a keď klesá, je záporná. Mení sa ale plynulo, bez skokov (pretože cesta nikde prudko nemení sklon). Preto musia existovať záporné a kladné hodnoty. Bude to tam, kde sa funkcia ani nezväčšuje, ani neznižuje – v bode vrcholu.
To isté platí pre údolie (oblasť, kde funkcia vľavo klesá a vpravo rastie):
Trochu viac o prírastkoch.
Takže zmeníme argument na hodnotu. Z akej hodnoty sa meníme? Čím sa stal (argument) teraz? Môžeme si vybrať ľubovoľný bod a teraz z neho budeme tancovať.
Zvážte bod so súradnicou. Hodnota funkcie v ňom je rovnaká. Potom urobíme rovnaký prírastok: zvýšime súradnicu o. Aký je teraz argument? Veľmi ľahké: . Akú hodnotu má funkcia teraz? Kam ide argument, tam ide funkcia: . A čo prírastok funkcie? Nič nové: toto je stále suma, o ktorú sa funkcia zmenila:
Precvičte si nájdenie prírastkov:
- Nájdite prírastok funkcie v bode s prírastkom argumentu rovným.
- To isté pre funkciu v bode.
Riešenia:
IN rôzne body pri rovnakom prírastku argumentu bude prírastok funkcie iný. To znamená, že derivácia v každom bode má svoj vlastný (to sme rozoberali úplne na začiatku – strmosť cesty v rôznych bodoch je rôzna). Preto, keď píšeme derivát, musíme uviesť, v ktorom bode:
Funkcia napájania.
Mocninná funkcia sa nazýva funkcia, kde je argument do určitej miery (logický, však?).
A - v akomkoľvek rozsahu: .
Najjednoduchší prípad je, keď je exponent:
Nájdite jeho derivát v bode. Pamätajte na definíciu derivátu:
Takže argument sa mení z na. Aký je prírastok funkcie?
Prírastok je. Ale funkcia v ktoromkoľvek bode sa rovná jej argumentu. Preto:
Derivát je:
Derivát je:
b) Teraz zvážte kvadratickej funkcie (): .
Teraz si to pripomeňme. To znamená, že hodnotu prírastku možno zanedbať, pretože je nekonečne malá, a preto na pozadí iného výrazu nevýznamná:
Takže máme ďalšie pravidlo:
c) Pokračujeme v logickom rade: .
Tento výraz je možné zjednodušiť rôznymi spôsobmi: otvorte prvú zátvorku pomocou vzorca na skrátené násobenie kocky súčtu alebo celý výraz rozložte na faktory pomocou vzorca pre rozdiel kociek. Skúste to urobiť sami niektorým z navrhovaných spôsobov.
Takže som dostal nasledovné:
A pripomeňme si to ešte raz. To znamená, že môžeme zanedbať všetky výrazy obsahujúce:
Dostaneme: .
d) Podobné pravidlá možno získať pre veľké právomoci:
e) Ukazuje sa, že toto pravidlo možno zovšeobecniť na mocninovú funkciu s ľubovoľný ukazovateľ, dokonca ani celé číslo:
| (2) |
Pravidlo môžete formulovať slovami: „stupeň sa posunie dopredu ako koeficient a potom sa zníži o“.
Toto pravidlo si preukážeme neskôr (takmer na samom konci). Teraz sa pozrime na niekoľko príkladov. Nájdite deriváciu funkcií:
- (dvoma spôsobmi: vzorcom a pomocou definície derivácie - počítaním prírastku funkcie);
- . Verte či nie, toto je mocenská funkcia. Ak máte otázky typu „Ako sa máš? A kde je titul? “, Pamätajte na tému„ “!
Áno, áno, koreň je tiež stupeň, len zlomkový:.
Takže naša druhá odmocnina je len mocnina s exponentom:
.
Hľadáme derivát pomocou nedávno naučeného vzorca:Ak to v tomto bode bude opäť nejasné, zopakujte tému "" !!! (asi stupeň so záporným ukazovateľom)
- . Teraz exponent:
A teraz cez definíciu (ešte ste zabudli?):
;
.
Teraz, ako obvykle, zanedbávame výraz obsahujúci:
. - . Kombinácia predchádzajúcich prípadov: .
goniometrické funkcie.
Tu použijeme jeden fakt z vyššej matematiky:
Keď výraz.
Dôkaz sa naučíte v prvom ročníku inštitútu (a aby ste sa tam dostali, musíte dobre zložiť skúšku). Teraz to ukážem graficky:
Vidíme, že keď funkcia neexistuje - bod na grafe je prerazený. Ale čím bližšie k hodnote, tým bližšie je funkcia.
Toto pravidlo môžete navyše skontrolovať pomocou kalkulačky. Áno, áno, nehanbite sa, vezmite si kalkulačku, ešte nie sme na skúške.
Tak skúsme: ;
Nezabudnite prepnúť kalkulačku do režimu Radians!
atď. Vidíme, že čím je menší, tým je hodnota pomeru bližšie.
a) Uvažujme funkciu. Ako obvykle nájdeme jeho prírastok:
Premeňme rozdiel sínusov na produkt. Na tento účel používame vzorec (zapamätajte si tému ""):.
Teraz derivát:
Urobme náhradu: . Potom je pre nekonečne malý aj nekonečne malý: . Výraz pre má tvar:
A teraz si to pamätáme s výrazom. A tiež, čo ak sa dá v súčte (teda at) zanedbať nekonečne malá hodnota.
Takže dostaneme nasledujúce pravidlo: derivácia sínusu sa rovná kosínusu:
Ide o základné („tabuľkové“) deriváty. Tu sú v jednom zozname:
Neskôr k nim pridáme niekoľko ďalších, no tieto sú najdôležitejšie, keďže sa používajú najčastejšie.
Cvičenie:
- Nájdite deriváciu funkcie v bode;
- Nájdite deriváciu funkcie.
Riešenia:
- Najprv nájdeme derivát v všeobecný pohľad a potom zaň nahraďte jeho hodnotu:
;
. - Tu máme niečo podobné ako výkonová funkcia. Skúsme ju priviesť
normálny vzhľad:
.
Dobre, teraz môžete použiť vzorec:
.
. - . Eeeeeee.... Čo to je????
Dobre, máte pravdu, stále nevieme, ako takéto deriváty nájsť. Tu máme kombináciu niekoľkých typov funkcií. Ak chcete s nimi pracovať, musíte sa naučiť niekoľko ďalších pravidiel:
Exponent a prirodzený logaritmus.
V matematike existuje taká funkcia, ktorej derivácia pre ľubovoľnú sa rovná hodnote samotnej funkcie pre to isté. Nazýva sa „exponent“ a je to exponenciálna funkcia
Základom tejto funkcie je konštanta – je nekonečná desiatkový, teda iracionálne číslo (ako napr.). Nazýva sa „Eulerovo číslo“, preto sa označuje písmenom.
Pravidlo teda znie:
Je veľmi ľahké si to zapamätať.
No nepôjdeme ďaleko, hneď zvážime inverznú funkciu. Čo je inverzná funkcia exponenciálnej funkcie? Logaritmus:
V našom prípade je základom číslo:
Takýto logaritmus (teda logaritmus so základom) sa nazýva „prirodzený“ a používame preň špeciálny zápis: namiesto toho píšeme.
Čomu sa rovná? Samozrejme, .
Derivát z prirodzený logaritmus tiež veľmi jednoduché:
Príklady:
- Nájdite deriváciu funkcie.
- Aká je derivácia funkcie?
Odpovede: Exponent a prirodzený logaritmus sú funkcie, ktoré sú z hľadiska derivácie jedinečne jednoduché. Exponenciálne a logaritmické funkcie s akoukoľvek inou bázou budú mať inú deriváciu, ktorú budeme analyzovať neskôr, keď si prejdeme pravidlá diferenciácie.
Pravidlá diferenciácie
aké pravidlá? Opäť nový termín?!...
Diferenciácia je proces hľadania derivátu.
Len a všetko. Aké je iné slovo pre tento proces? Nie proizvodnovanie... Diferenciál matematiky sa nazýva samotný prírastok funkcie at. Tento výraz pochádza z latinského differentia – rozdiel. Tu.
Pri odvodzovaní všetkých týchto pravidiel použijeme dve funkcie, napríklad a. Budeme tiež potrebovať vzorce pre ich prírastky:
Celkovo existuje 5 pravidiel.
Konštanta je vyňatá zo znamienka derivácie.
Ak - nejaké konštantné číslo (konštanta), potom.
Je zrejmé, že toto pravidlo funguje aj pre rozdiel: .
Poďme to dokázať. Nechajte, alebo jednoduchšie.
Príklady.
Nájdite deriváty funkcií:
- v bode;
- v bode;
- v bode;
- v bode.
Riešenia:
- (derivát je vo všetkých bodoch rovnaký, pretože je lineárna funkcia, pamätáte?);
Derivát produktu
Všetko je tu rovnaké: predstavujeme Nová funkcia a nájdite jeho prírastok:
odvodený:
Príklady:
- Nájdite deriváty funkcií a;
- Nájdite deriváciu funkcie v bode.
Riešenia:
Derivácia exponenciálnej funkcie
Teraz sú vaše znalosti dostatočné na to, aby ste sa naučili nájsť deriváciu akejkoľvek exponenciálnej funkcie, a nielen exponentu (zabudli ste už, čo to je?).
Tak kde je nejaké číslo.
Deriváciu funkcie už poznáme, takže skúsme preniesť našu funkciu na nový základ:
Na to používame jednoduché pravidlo: . potom:
No podarilo sa. Teraz skúste nájsť deriváciu a nezabudnite, že táto funkcia je zložitá.
Stalo?
Tu sa presvedčte:
Ukázalo sa, že vzorec je veľmi podobný derivátu exponentu: ako to bolo, zostalo, objavil sa iba faktor, ktorý je len číslom, ale nie premennou.
Príklady:
Nájdite deriváty funkcií:
Odpovede:
Toto je len číslo, ktoré sa nedá vypočítať bez kalkulačky, to znamená, že nie je možné ho zapísať viac jednoduchá forma. Preto je v odpovedi ponechaná v tejto podobe.
Derivácia logaritmickej funkcie
Tu je to podobné: deriváciu prirodzeného logaritmu už poznáte:
Preto nájsť ľubovoľný z logaritmu s iným základom, napríklad:
Tento logaritmus musíme preniesť na základňu. Ako zmeníte základ logaritmu? Dúfam, že si pamätáte tento vzorec:
Len teraz namiesto napíšeme:
Ukázalo sa, že menovateľ je len konštanta (stále číslo, bez premennej). Derivát je veľmi jednoduchý:
Deriváty exponenciálnych a logaritmických funkcií sa v skúške takmer nikdy nenachádzajú, ale nebude zbytočné ich poznať.
Derivácia komplexnej funkcie.
Čo je to „komplexná funkcia“? Nie, toto nie je logaritmus ani arkus tangens. Tieto funkcie môžu byť ťažko pochopiteľné (hoci ak sa vám logaritmus zdá ťažký, prečítajte si tému „Logaritmy“ a všetko bude fungovať), ale z hľadiska matematiky slovo „zložitý“ neznamená „ťažký“.
Predstavte si malý dopravník: dvaja ľudia sedia a robia nejaké akcie s nejakými predmetmi. Napríklad prvý zabalí čokoládovú tyčinku do obalu a druhý ju previaže stuhou. Ukazuje sa taký zložený objekt: čokoládová tyčinka zabalená a zviazaná stuhou. Ak chcete jesť čokoládovú tyčinku, musíte urobiť opačné kroky v opačnom poradí.
Vytvorme podobný matematický reťazec: najprv nájdeme kosínus čísla a potom výsledné číslo odmocníme. Takže nám dajú číslo (čokoládu), ja nájdem jeho kosínus (obal) a potom zarovnáte, čo som dostal (previažte to stuhou). Čo sa stalo? Funkcia. Toto je príklad komplexnej funkcie: keď, aby sme našli jej hodnotu, vykonáme prvú akciu priamo s premennou a potom ďalšiu druhú akciu s tým, čo sa stalo ako výsledok prvej.
Môžeme urobiť tie isté akcie v opačnom poradí: najprv odmocni a potom hľadám kosínus výsledného čísla:. Je ľahké uhádnuť, že výsledok bude takmer vždy iný. Dôležitá vlastnosť komplexné funkcie: keď zmeníte poradie akcií, funkcia sa zmení.
Inými slovami, Komplexná funkcia je funkcia, ktorej argumentom je iná funkcia: .
Pre prvý príklad, .
Druhý príklad: (rovnaký). .
Posledná akcia, ktorú vykonáme, bude tzv „vonkajšiu“ funkciu, a úkon vykonaný ako prvý – resp „vnútorná“ funkcia(sú to neformálne názvy, používam ich len na vysvetlenie látky jednoduchým jazykom).
Skúste sami určiť, ktorá funkcia je vonkajšia a ktorá vnútorná:
Odpovede: Oddelenie vnútorných a vonkajších funkcií je veľmi podobné zmene premenných: napríklad vo funkcii
- Aké kroky podnikneme ako prvé? Najprv vypočítame sínus a až potom ho zdvihneme na kocku. Ide teda o vnútornú funkciu, nie vonkajšiu.
A pôvodnou funkciou je ich zloženie: . - Vnútorné: ; vonkajší: .
Vyšetrenie: . - Vnútorné: ; vonkajší: .
Vyšetrenie: . - Vnútorné: ; vonkajší: .
Vyšetrenie: . - Vnútorné: ; vonkajší: .
Vyšetrenie: .
zmeníme premenné a dostaneme funkciu.
Teraz vytiahneme našu čokoládu - hľadajte derivát. Postup je vždy opačný: najprv hľadáme deriváciu vonkajšej funkcie, potom výsledok vynásobíme deriváciou vnútornej funkcie. Pre pôvodný príklad to vyzerá takto:
Ďalší príklad:
Takže konečne sformulujme oficiálne pravidlo:
Algoritmus na nájdenie derivácie komplexnej funkcie:
Všetko sa zdá byť jednoduché, však?
Pozrime sa na príklady:
Riešenia:
1) Interné: ;
Vonkajšie: ;
2) Interné: ;
(len sa teraz nepokúšajte znížiť! Spod kosínusu sa nič nevyberá, pamätáte?)
3) Interné: ;
Vonkajšie: ;
Okamžite je jasné, že tu existuje trojúrovňová komplexná funkcia: koniec koncov, toto je už sama o sebe komplexná funkcia a stále z nej extrahujeme koreň, to znamená, že vykonávame tretiu akciu (vložiť čokoládu do obalu a so stuhou v kufríku). Nie je však dôvod na strach: každopádne túto funkciu „rozbalíme“ v rovnakom poradí ako obvykle: od konca.
To znamená, že najprv diferencujeme koreň, potom kosínus a až potom výraz v zátvorkách. A potom to všetko vynásobíme.
V takýchto prípadoch je vhodné akcie očíslovať. To znamená, predstavme si, čo vieme. V akom poradí vykonáme akcie na výpočet hodnoty tohto výrazu? Pozrime sa na príklad:
Čím neskôr sa akcia vykoná, tým „externejšia“ bude príslušná funkcia. Postupnosť akcií - ako predtým:
Tu je hniezdenie vo všeobecnosti 4-úrovňové. Stanovme si postup.
1. Radikálny výraz. .
2. Koreň. .
3. Sínus. .
4. Štvorec. .
5. Daj to všetko dokopy:
DERIVÁT. STRUČNE O HLAVNOM
Derivácia funkcie- pomer prírastku funkcie k prírastku argumentu s nekonečne malým prírastkom argumentu:
Základné deriváty:
Pravidlá diferenciácie:
Konštanta je vyňatá zo znamienka derivácie:
Derivát súčtu:
odvodený produkt:
Derivát kvocientu:
Derivácia komplexnej funkcie:
Algoritmus na nájdenie derivácie komplexnej funkcie:
- Definujeme „internú“ funkciu, nájdeme jej deriváciu.
- Definujeme „vonkajšiu“ funkciu, nájdeme jej deriváciu.
- Výsledky prvého a druhého bodu vynásobíme.
Dôkaz a odvodenie vzorcov pre deriváciu prirodzeného logaritmu a logaritmu v základe a. Príklady výpočtu derivácií ln 2x, ln 3x a ln nx. Dôkaz vzorca pre deriváciu logaritmu n-tého rádu metódou matematickej indukcie.
Odvodenie vzorcov pre derivácie prirodzeného logaritmu a logaritmu v základe a
Derivácia prirodzeného logaritmu x sa rovná jednej delenej x:
(1)
(lnx)′ =.
Derivácia logaritmu k základu a sa rovná jednej delenej premennou x vynásobenej prirodzeným logaritmom a :
(2)
(log x)′ =.
Dôkaz
Nech sú nejaké kladné číslo, Nie rovný jednej. Uvažujme funkciu, ktorá závisí od premennej x , čo je základný logaritmus:
.
Táto funkcia je definovaná pomocou . Nájdite jeho deriváciu vzhľadom na x . Podľa definície je derivát nasledujúci limit:
(3)
.
Transformujme tento výraz, aby sme ho zredukovali na známe matematické vlastnosti a pravidlá. Aby sme to dosiahli, musíme poznať nasledujúce skutočnosti:
A) Vlastnosti logaritmu. Potrebujeme nasledujúce vzorce:
(4)
;
(5)
;
(6)
;
B) Spojitosť logaritmu a vlastnosť limity pre spojitú funkciu:
(7)
.
Tu je nejaká funkcia, ktorá má limit a tento limit je pozitívny.
IN) Význam druhej nádhernej hranice:
(8)
.
Tieto fakty aplikujeme v rámci našich možností. Najprv transformujeme algebraický výraz
.
Na tento účel použijeme vlastnosti (4) a (5).
.
Používame vlastnosť (7) a druhú pozoruhodnú hranicu (8):
.
A nakoniec použite vlastnosť (6):
.
základný logaritmus e volal prirodzený logaritmus. Označuje sa takto:
.
Potom ;
.
Takto sme získali vzorec (2) pre deriváciu logaritmu.
Derivácia prirodzeného logaritmu
Opäť napíšeme vzorec pre deriváciu logaritmu v základe a:
.
Tento vzorec má najjednoduchší tvar pre prirodzený logaritmus, pre ktorý , . Potom
(1)
.
Kvôli tejto jednoduchosti je prirodzený logaritmus veľmi široko používaný v počte a iných oblastiach matematiky súvisiacich s diferenciálnym počtom. Logaritmické funkcie s inými bázami možno vyjadriť prirodzeným logaritmom pomocou vlastnosti (6):
.
Základnú deriváciu logaritmu možno nájsť zo vzorca (1), ak je konštanta vyňatá zo znamienka diferenciácie:
.
Iné spôsoby, ako dokázať deriváciu logaritmu
Tu predpokladáme, že poznáme vzorec pre deriváciu exponentu:
(9)
.
Potom môžeme odvodiť vzorec pre deriváciu prirodzeného logaritmu za predpokladu, že logaritmus je inverznou hodnotou k exponentu.
Dokážme vzorec pre deriváciu prirodzeného logaritmu, použitie vzorca pre deriváciu inverznej funkcie:
.
V našom prípade. Inverzia prirodzeného logaritmu je exponent:
.
Jeho derivácia je určená vzorcom (9). Premenné môžu byť označené ľubovoľným písmenom. Vo vzorci (9) nahradíme premennú x za y:
.
Odvtedy
.
Potom
.
Vzorec bol osvedčený.
Teraz dokážeme vzorec pre deriváciu prirodzeného logaritmu pomocou pravidlá pre diferenciáciu zloženej funkcie. Pretože funkcie a sú navzájom inverzné
.
Diferencujte túto rovnicu vzhľadom na premennú x:
(10)
.
Derivácia x sa rovná jednej:
.
Aplikujeme pravidlo diferenciácie komplexnej funkcie:
.
Tu . Nahradiť za (10):
.
Odtiaľ
.
Príklad
Nájdite deriváty 2x, ln 3x A ln nx.
Riešenie
Pôvodné funkcie majú podobnú formu. Preto nájdeme deriváciu funkcie y = log nx. Potom dosadíme n = 2 a n = 3 . A tak získame vzorce pre deriváty z ln 2x A ln 3x .
Hľadáme teda deriváciu funkcie
y = log nx
.
Predstavme si túto funkciu ako komplexnú funkciu pozostávajúcu z dvoch funkcií:
1)
Funkcie závislé od premenných: ;
2)
Funkcie závislé na premennej : .
Potom sa pôvodná funkcia skladá z funkcií a :
.
Nájdite deriváciu funkcie vzhľadom na premennú x:
.
Nájdite deriváciu funkcie vzhľadom na premennú:
.
Aplikujeme vzorec pre deriváciu komplexnej funkcie.
.
Tu sme nahradili .
Tak sme našli:
(11)
.
Vidíme, že derivácia nezávisí od n. Tento výsledok je celkom prirodzený, ak transformujeme pôvodnú funkciu pomocou vzorca logaritmu súčinu:
.
- je konštanta. Jeho derivácia je nulová. Potom, podľa pravidla diferenciácie súčtu, máme:
.
Odpoveď
; ; .
Derivácia logaritmu modulo x
Nájdite derivát iného veľmi dôležitá funkcia- prirodzený logaritmus modulu x:
(12)
.
Pozrime sa na prípad. Potom funkcia vyzerá takto:
.
Jeho derivát je určený vzorcom (1):
.
Teraz zvážte prípad. Potom funkcia vyzerá takto:
,
Kde .
Vo vyššie uvedenom príklade sme však našli aj deriváciu tejto funkcie. Nezávisí od n a rovná sa
.
Potom
.
Tieto dva prípady spojíme do jedného vzorca:
.
Pre logaritmus k základu a teda máme:
.
Deriváty vyššieho rádu prirodzeného logaritmu
Zvážte funkciu
.
Našli sme jeho derivát prvého rádu:
(13)
.
Poďme nájsť deriváciu druhého rádu:
.
Poďme nájsť derivát tretieho rádu:
.
Poďme nájsť derivát štvrtého rádu:
.
Je možné vidieť, že derivácia n-tého rádu má tvar:
(14)
.
Dokážme to matematickou indukciou.
Dôkaz
Dosadíme hodnotu n = 1 do vzorca (14):
.
Keďže , potom pre n = 1
platí vzorec (14).
Predpokladajme, že vzorec (14) je splnený pre n = k . Dokážme, že z toho vyplýva, že vzorec platí pre n = k + 1 .
V skutočnosti pre n = k máme:
.
Diferencujte vzhľadom na x:
.
Takže sme dostali:
.
Tento vzorec sa zhoduje so vzorcom (14) pre n = k + 1
. Teda z predpokladu, že vzorec (14) platí pre n = k, vyplýva, že vzorec (14) platí pre n = k + 1
.
Preto vzorec (14) pre deriváciu n-tého rádu platí pre ľubovoľné n .
Deriváty logaritmu vyššieho rádu k základu a
Ak chcete nájsť n-tú deriváciu základného logaritmu a , musíte ju vyjadriť pomocou prirodzeného logaritmu:
.
Použitím vzorca (14) nájdeme n-tú deriváciu:
.