Úvod …………………………………………………………………. 3
I. Graf kvadratickej funkcie, ktorý obsahuje premennú
pod znamienkom absolútnej hodnoty
1.1. Základné definície a vlastnosti ………………………… 4
1.2. Vykreslenie kvadratickej funkcie obsahujúcej
premenná pod označením modulu……………………………… 5
II. Vykreslenie kvadratickej funkcie obsahujúcej
premennej pod znakom modulu v programe
Microsoft Excel ………………………………………………………. 12
Záver …………………………………………………………. …. pätnásť
Zoznam použitej literatúry……………………………………….. 16
Úvod
Musel som svoj čas rozdeliť medzi politiku a rovnice. Rovnice sú však podľa mňa oveľa dôležitejšie, pretože politika existuje len pre tento moment a rovnice budú existovať navždy.
Keď „štandardné“ rovnice čiar, parabol, hyperbol zahŕňajú znamienko modulu, ich grafy sa stanú nezvyčajnými a dokonca krásnymi. Aby ste sa naučili vytvárať takéto grafy, musíte ovládať techniky vytvárania základných obrázkov a tiež pevne poznať a pochopiť definíciu modulu čísla. V kurze školskej matematiky sa grafy s modulom nezohľadňujú dostatočne do hĺbky, a preto som si chcel rozšíriť svoje vedomosti o tejto téme a urobiť si vlastný výskum.
Cieľom práce je zvážiť konštrukciu grafu kvadratickej funkcie obsahujúcej premennú pod znamienkom modulu.
Predmet štúdia: graf kvadratickej funkcie.
Predmet štúdia: zmeny v grafe kvadratickej funkcie v závislosti od umiestnenia znamienka absolútnej hodnoty.
Úlohy:
1) Preštudujte si literatúru o vlastnostiach absolútnej hodnoty a kvadratickej funkcie.
2) Preskúmajte zmeny v grafe kvadratickej funkcie v závislosti od umiestnenia znamienka absolútnej hodnoty.
3) Naučte sa vykresľovať rovnice pomocou rôznych programov na vytváranie grafov vrátane programu Microsoft Excel.
Výskumné metódy:
1) teoretická (logická etapa poznania);
2) empirické (výskum, experiment);
3) modelovanie.
Praktický význam mojej práce je:
1) vo využívaní nadobudnutých vedomostí o tejto téme, ako aj ich prehlbovaní a aplikovaní na iné funkcie a rovnice;
2) vo využívaní zručností výskumná práca v budúcnosti vzdelávacie aktivity.
I. Graf kvadratickej funkcie obsahujúcej premennú pod znamienkom absolútnej hodnoty
1.1. Základné definície a vlastnosti.
Funkcia je jedným z najdôležitejších matematických pojmov. Funkcia je taká závislosť premennej y od premennej x, v ktorej každej hodnote premennej x zodpovedá jedna hodnota premennej y.
Spôsoby nastavenia funkcie:
1) analytická metóda (funkcia je nastavená pomocou matematického vzorca);
2) tabuľková metóda (funkcia je špecifikovaná pomocou tabuľky);
3) deskriptívna metóda (funkcia je daná slovným popisom);
4) grafická metóda (funkcia sa nastavuje pomocou grafu).
Graf funkcie je množina všetkých bodov súradnicovej roviny, ktorých úsečky sa rovnajú hodnote argumentu a súradnice sa rovnajú zodpovedajúcim hodnotám funkcie.
Funkcia definovaná vzorcom y=ax2+in+c, kde x a y sú premenné a parametre a, b a c sú ľubovoľné reálne čísla a a 0, sa nazýva kvadratická.
Graf funkcie y=ax2+in+c je parabola; os symetrie paraboly y \u003d ax2 + bx + c je priamka, pre a> 0 smerujú „vetvy“ paraboly nahor, pre a<0 – вниз.
Na vykreslenie kvadratickej funkcie potrebujete:
1) nájdite súradnice vrcholu paraboly a označte ju v rovine súradníc;
2) zostrojte niekoľko ďalších bodov patriacich do paraboly;
3) spojte označené body hladkou čiarou.
Súradnice vrcholu paraboly sú určené vzorcami:
, .
Absolútna hodnota kladného čísla je samotné kladné číslo, absolútna hodnota záporného čísla je opačné kladné číslo. Absolútna hodnota nuly sa berie rovná nule, t.j.
.
Vlastnosti:
1) Absolútna hodnota súčtu čísel nie je väčšia ako súčet absolútnych hodnôt jej členov, t.j.
|a+b| |a|+|c|
2) Absolútna hodnota rozdielu medzi dvoma číslami nie je menšia ako rozdiel medzi absolútnymi hodnotami týchto čísel, t.j.
|a-c| |a|-|c| alebo |a-c| |v|-|a|
3) Absolútna hodnota súčinu sa rovná súčinu absolútnych hodnôt faktorov, t.j.
|a v|=|a| |v|
4) Absolútna hodnota podielu sa rovná podielu z delenia absolútnych hodnôt dividendy a deliteľa, t.j.
5) Absolútna hodnota stupňa s kladným celým číslom sa rovná rovnakému stupňu absolútnej hodnoty základu, t.j.
|an|=|a|n.
1.2. Vykreslenie kvadratickej funkcie obsahujúcej premennú pod znamienkom modulo.
…Matematické informácie sa dajú zručne a so ziskom aplikovať iba vtedy, ak sú kreatívne asimilované, takže študent sám vidí, ako by k nim bolo možné dospieť samostatne.
A.N. Kolmogorov.
Ak chcete zostrojiť grafy funkcií obsahujúcich znamienko modulu, ako pri riešení rovníc, najskôr nájdite korene výrazov, ktoré sú pod znamienkom modulu. V dôsledku toho je os x rozdelená na intervaly. Odstránime znamienka modulu, pričom každý výraz v každom intervale vezmeme s určitým znamienkom, ktoré nájdeme pomocou intervalovej metódy.
V každom intervale sa získa funkcia bez znamienka modulu. Zostavíme graf každej funkcie v každom intervale.
V najjednoduchšom prípade, keď je pod znamienkom modulu iba jeden výraz a neexistujú žiadne ďalšie výrazy bez znamienka modulu, môžete vykresliť funkčný graf vynechaním znamienka modulu a potom zobraziť časť grafu umiestnenú v oblasti záporné hodnoty y vzhľadom na os Ox.
Ukážme si na príkladoch niektoré techniky konštrukcie grafov funkcií s modulmi.
Príklad 1
Najprv zostrojíme parabolu y \u003d x2 - 6x +5. Aby ste z neho dostali graf funkcie y \u003d |x2 - 6x + 5|, musíte nahradiť každý bod paraboly zápornou ordinátou bodom s rovnakou osou, ale s opačnou (kladnou) ordinátou. Inými slovami, časť paraboly, ktorá sa nachádza pod osou Ox, musí byť nahradená čiarou, ktorá je k nej symetrická vzhľadom na os Ox (obr. 1).
Príklad 2
Uvažujme graf funkcie y = |x|2– 6x +5.
Od |x| je na druhú, potom bez ohľadu na znamienko čísla x po umocnení bude kladné. Z toho vyplýva, že graf funkcie y = |x|2 - 6x +5 bude zhodný s grafom funkcie y = x2 - 6x +5, t.j. graf funkcie, ktorá neobsahuje znamienko absolútnej hodnoty (obr. 2). 
Obr.2
Príklad 3
Uvažujme graf funkcie y = x2 – 6|x| +5.
Pomocou definície modulu čísla nahradíme vzorec
y = x2 – 6|x| +5
Teraz máme čo do činenia so známou špecifikáciou po častiach. Vytvoríme takýto graf:
1) zostrojte parabolu y = x2 - 6x + 5 a zakrúžkujte jej časť, ktorá zodpovedá nezáporným hodnotám x, t.j. časť napravo od osi y.
2) v tej istej súradnicovej rovine zostrojíme parabolu y = x2 + 6x + 5 a zakrúžkujeme tú jej časť, ktorá zodpovedá záporným hodnotám x, t.j. časť naľavo od osi y. Zakrúžkované časti parabol spolu tvoria graf funkcie y = x2 - 6|x| +5 (obr. 3).
Uvažujme graf funkcie y = |x|2 - 6|x|+5.
Pretože graf rovnice y \u003d |x|2 - 6x +5 je rovnaký ako graf funkcie bez znamienka modulu (uvažované v príklade 2), z toho vyplýva, že graf funkcie y \u003d |x| 2 - 6|x| +5 je totožné s grafom funkcie y = x2 – 6|x| +5, uvažované v príklade 3 (obr. 3).
Príklad 5
Za týmto účelom vytvoríme graf funkcie y \u003d x2 - 6x. Ak chcete z neho získať graf funkcie y \u003d |x2 - 6x|, musíte nahradiť každý bod paraboly zápornou ordinátou bodom s rovnakou úsečkou, ale s opačnou (kladnou) ordinátou. Inými slovami, časť paraboly nachádzajúca sa pod osou x musí byť nahradená priamkou symetrickou podľa osi x. Pretože potrebujeme nakresliť funkciu y = |x2 - 6x| +5, potom graf funkcie, ktorú sme považovali za y \u003d |x2 - 6x| stačí zdvihnúť os y o 5 jednotiek nahor (obr. 4). 
Príklad 6
Nakreslíme funkciu y = x2 - |6x+5|. Používame na to známu funkciu po častiach. Poďme nájsť nuly funkcie
y = 6x +5
6x + 5 = 0 at.
Zvážte dva prípady:
1) Ak, potom rovnica bude mať tvar y \u003d x2 - 6x -5. Postavme túto parabolu a zakrúžkujme tú jej časť, kde.
2) Ak, potom rovnica má tvar y \u003d x2 + 6x +5. Postavme túto parabolu a zakrúžkujme tú jej časť, ktorá sa nachádza naľavo od bodu so súradnicami (obr. 5).
Na tento účel zostrojíme graf funkcie y \u003d x2 - 6 | x | +5. Tento graf sme nakreslili v príklade 3. Keďže naša funkcia je úplne pod znamienkom modulu, na vykreslenie grafu funkcie y = |x2 - 6|x| +5|, musíte nahradiť každý bod grafu funkcie y = x2 - 6|x|+5 zápornou ordinátou bodom s rovnakou úsečkou, ale opačnou (kladnou) ordinátou, t.j. časť paraboly nachádzajúcu sa pod osou Ox je potrebné nahradiť čiarou, ktorá je symetrická vzhľadom na os Ox (obr. 6).
Obr.6
Príklad 8
Zvážte konštrukciu grafov v tvare = f (x).
Vzhľadom na to, že vo vzorci = f (x), f (x) , a na základe definície modulu =
Prepíšme vzorec = f (x) v tvare y \u003d f (x), kde f (x) .
Na základe toho sformulujeme pravidlo-algoritmus.
Na vykreslenie grafov tvaru = f (x) stačí vykresliť funkciu y \u003d f (x) pre tie x z definičnej oblasti, pre ktorú f (x), a výslednú časť grafu zobraziť symetricky okolo os x.
Graf závislosti \u003d f (x) teda pozostáva z grafov dvoch funkcií: y \u003d f (x) a y \u003d - f (x).
Zostavme graf funkcie.
Ďalšie vkladanie obrázkov a vzorcov je technicky nemožné
Obr.7
Príklad 9
Zvážte konštrukciu grafov formulára
Vykonaním už známych transformácií grafov najprv zostrojíme graf y = │f (x)│ a potom množinu bodov, ktorých súradnice spĺňajú podmienku
Konštrukčný algoritmus:
1) Zostavíme graf funkcie.
2) Časť grafu je zobrazená symetricky okolo osi x.
3) Výsledný graf je zobrazený symetricky okolo osi Ox (obr. 8).
Obr.8
Závery:
1. Graf funkcie y \u003d │f (x) │ možno získať z grafu y \u003d f (x), pričom na mieste ponecháme jeho časť, kde f (x), a symetricky odrážame jeho druhú časť okolo osi Ox, kde f (x )< 0. Это следует из равенства │ f (x)│=
2. Graf funkcie y = f (│x│) sa zhoduje s grafom funkcie y = f (x) na množine nezáporných hodnôt argumentu a je s ním symetrický okolo osi Oy na množine záporných hodnôt argumentu.
3. Graf funkcie \u003d f (x) možno získať vynesením funkcie y \u003d f (x) pre tie x z definičnej oblasti, pre ktorú f (x), a symetrickým odrazom výslednej časti grafu okolo osi x.
4. Graf funkcie možno získať vynesením grafu funkcie
y \u003d f (x) a symetrické zobrazenie časti grafu vzhľadom na os Ox. Výsledný graf je zobrazený symetricky okolo osi x.
II. Vykreslenie kvadratickej funkcie obsahujúcej premennú pod znamienkom modulu v programe Microsoft Excel.
Príklad 1
Nakreslíme funkciu y = |x2 - 6x +5|.
Príklad 2
Nakreslíme funkciu y = x2 – 6|x| +5.
Príklad 3
Nakreslíme funkciu y = |х2 – 6х| +5.
Príklad 4
Nakreslíme funkciu y = x2 - |6x+5|.
Príklad 5
Nakreslíme funkciu y = |х2 – 6|х| +5|.
Príklad 6
Zostavme graf funkcie.
Príklad 7
Zostavme graf funkcie.
Záver
Vedomosti sú vedomosťami len vtedy, keď sa získavajú myšlienkovým úsilím a nie pamäťou.
L. N. Tolstoj.
Veríme, že v tejto výskumnej práci sa cieľ podarilo naplniť, keďže všetky úlohy boli vyriešené.
Uvažovali sme o zostrojení grafu kvadratickej funkcie obsahujúcej premennú pod znamienkom modulu a skúmali sme zmeny v grafe kvadratickej funkcie v závislosti od umiestnenia znamienka absolútnej hodnoty. Boli zvládnuté techniky konštrukcie grafov funkcií tvaru: y = f (│x│), y = │f (x)│, y = │f (│x │)│,
Napísať túto výskumnú prácu
1) bola preštudovaná literatúra o vlastnostiach absolútnej hodnoty a kvadratickej funkcie;
2) skúmal a analyzoval zmeny v konštrukcii grafu kvadratickej funkcie, v ktorej znamienko modulu obsahuje rôzne premenné;
3) grafy rovníc boli zostavené pomocou grafických programov Graph Master v 1.1, Microsoft Excel a iných;
Pri písaní práce sme vychádzali z náučnej literatúry, internetových zdrojov, pracovali sme v takých programoch ako Microsoft Word, Paint, Formula Editor, Microsoft Excel.
Ukázalo sa, že téma výskumu je veľmi mnohostranná, vyžadujúca si úplne nové zručnosti tak v štádiu výskumu, ako aj pri písaní a navrhovaní práce.
Tieto praktické skúsenosti s programami na vykresľovanie grafov, na písanie matematických vzorcov, ako aj nadobudnuté bádateľské zručnosti využijeme v ďalšej vzdelávacej činnosti, vrátane štúdia ďalších funkcií a rovníc s modulom pri vykresľovaní týchto funkcií.
Zoznam použitej literatúry
1.Matematika. Algebra. Funkcie. Analýza dát. 9. ročník: M.: Proc. pre všeobecné vzdelanie inštitúcie / G. V. Dorofeev, S. B. Suvorova, E. A. Bunimovich, L. V. Kuznetsova, S. S. Minaeva; Ed. G. V. Dorofeeva. – 5. vyd., stereotyp. – M.: Drop, 2004. – 352 s.: chorý.
2. Kurz vyššej matematiky pre technické školy. I. F. Suvorov, Moskva - 1967.
3. Matematika. Algebra a elementárne funkcie. M. I. Abramovič, M. T. Starodubtsev.
4. A.G. Mordkovich Kniha pre učiteľa. Rozhovory s učiteľmi. Moskva - "Onyx 21. storočie", "Svet a vzdelávanie", 2005
5. Voliteľný predmet. Zoznámte sa s modulom! Algebra. Ročníky 8-9./ Porov. Baukova T.T.-Volgograd: ITD "Coripheus" - 96 s.
Internetové zdroje
http://festival.1september.ru/articles/504401/
http://www.uztest.ru/abstracts/?idabstract=18
http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc3p/45426
http://www.zaitseva-irina.ru/html/f1128423553.html
http://www.sorobr1.ru/index.php?option=com_content&task=view&id=8&Itemid=41
http://mschool.kubsu.ru/cdo/shabitur/kniga/sprav/function/kvfunc/kvfunct.htm
http://tvsh2004.narod.ru/alg02.html
http://info.territory.ru/univer/qvadro_func.htm
http://en.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0 %BD%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F
Konštrukcia grafov funkcií obsahujúcich znamienko modulu.
Dúfam, že ste si pozorne preštudovali bod 23 a pochopili ste rozdiel medzi funkciou zobrazenia a funkciou . Teraz sa pozrime na niekoľko ďalších príkladov, ktoré by vám mali pomôcť pri vykresľovaní grafov.
Príklad 1. Vytvorte graf funkcie
Máme funkciu formulára , kde .
1. Najprv zostrojíme graf submodulárnej funkcie, teda funkcie. Ak to chcete urobiť, vyberte celú časť tohto zlomku. Pripomínam, že to možno urobiť dvoma spôsobmi: vydelením čitateľa menovateľom „v stĺpci“ alebo vymaľovaním čitateľa tak, aby sa v ňom objavil výraz, ktorý je násobkom menovateľa. Druhým spôsobom vyberieme celú časť.
Takže pod modulárna funkcia má formu 
. Jeho graf je teda hyperbolou v tvare posunutom o 1 jednotku doprava a o 3 jednotky nahor.
Zostavme tento graf.
2. Na získanie grafu požadovanej funkcie je potrebné ponechať časť grafu funkcie, ktorá leží nad osou Ox, nezmenenú a časť grafu ležiacu pod osou Ox musí byť zobrazená symetricky v hornej časti grafu. polorovina. Urobme tieto premeny.
Graf bol zostavený.
Abscisa priesečníka grafu s osou x sa dá vypočítať riešením rovnice
y = 0, t.j. Chápeme to.
Teraz môžete podľa grafu určiť všetky vlastnosti funkcie, nájsť najmenšie a najväčšie hodnoty funkcie na intervale, vyriešiť problémy s parametrom.
Môžete napríklad odpovedať na túto otázku. „Pre aké hodnoty parametra a rovnica má práve jedno riešenie?
Poďme kresliť rovno y=a pre rôzne hodnoty parametra a. (tenké červené čiary na nasledujúcom obrázku)
Je vidieť, že ak a<0 , potom graf zostrojenej funkcie a priamka nemajú spoločné body, čo znamená, že rovnica nemá jediné riešenie.
Ak 0< a<3 alebo a>3, potom priamka y=a a zostrojený graf majú dva spoločné body, t.j. rovnica má dve riešenia.
Ak a = 0 alebo a = 3, potom rovnica má práve jedno riešenie, pretože pre tieto hodnoty aČiara a graf funkcie majú práve jeden spoločný bod.
Príklad 2 Nakreslite funkciu
Riešenie
Najprv zostrojme graf funkcie pre nezáporné hodnoty x. Ak , potom aj naša funkcia nadobudne tvar a požadovaná funkcia je funkciou tvaru .
Grafom funkcie je vetva paraboly "nasmerovaná" doľava, posunutá o 4 jednotky správny. (Pretože si vieme predstaviť 
).
Nakreslíme túto funkciu
a budeme brať do úvahy len tú jeho časť, ktorá sa nachádza napravo od osi Oy. Zvyšok vymažeme.
Upozorňujeme, že sme vypočítali hodnotu ordináty bodu grafu ležiaceho na osi y. K tomu stačí vypočítať hodnotu funkcie v x = 0. V našom prípade at x = 0 dostal y=2.
Teraz nakreslíme funkciu pre X< 0 . Aby sme to urobili, postavíme čiaru symetrickú k tej, ktorú sme už postavili, vzhľadom na os Oy.
Takto sme vytvorili graf požadovanej funkcie.
Príklad 3. Vytvorte graf funkcie
To už nie je ľahká úloha. Vidíme, že sú tu prítomné oba typy funkcií s modulom: a , a . Poďme stavať v poradí:
Najprv nakreslite graf funkcie bez všetkých modulov: Potom pridajte modul pre každý argument. Dostaneme funkciu tvaru , t.j. Ak chcete vytvoriť takýto graf, musíte použiť symetriu okolo osi Oy. Pridajme externý modul. Nakoniec dostaneme požadovanú funkciu. Keďže táto funkcia bola získaná z predchádzajúcej pomocou externého modulu, máme funkciu form , čo znamená, že je potrebné aplikovať symetriu vzhľadom na Ox.
Teraz viac.
Toto je zlomková lineárna funkcia, na zostavenie grafu musíte vybrať časť celého čísla, čo urobíme.
To znamená, že graf tejto funkcie je hyperbola v tvare posunutá o 2 doprava a o 4 nadol.
Vypočítajme súradnice priesečníkov so súradnicovými osami.
y = 0 pri x = 0, takže graf bude prechádzať počiatkom.
2. Teraz nakreslíme funkciu .
Ak to chcete urobiť, v pôvodnom grafe najskôr vymažte tú časť, ktorá sa nachádza naľavo od osi Oy:
a potom ho zobrazte symetricky okolo osi Oy. Upozorňujeme, že asymptoty sú tiež zobrazené symetricky!
Teraz zostavme konečný graf funkcie: . K tomu ponecháme časť predchádzajúceho grafu ležiacu nad osou Ox nezmenenú a to, čo je pod osou Ox, symetricky zobrazíme v hornej polrovine. Opäť nezabudnite, že asymptoty sa zobrazujú spolu s grafom!
Graf bol zostavený.
Príklad 4: Pomocou rôznych grafových transformácií nakreslite funkciu 
Niečo úplne prekrútené a zložité! Tony modulov! A ten x nemá modul!!! Nie je možné postaviť!
Tak či onak, priemerný žiak 8. ročníka, neznalý techniky kreslenia, môže argumentovať.
Ale nie my! Pretože poznáme RÔZNE spôsoby transformácie grafov funkcií a poznáme aj rôzne vlastnosti modulu.
Začnime teda pekne po poriadku.
Prvým problémom je nedostatok modulu pre x na druhú. Žiaden problém. My to vieme . Dobre. Takže naša funkcia môže byť napísaná ako 
. Toto je už lepšie, pretože to vyzerá ako .
Ďaleko. Funkcia má externý modul, takže sa zdá, že budete musieť použiť pravidlá na vykreslenie funkcie. Pozrime sa teda, čo je výraz submodulu. Toto je funkcia formulára 
. Ak nie pre -2, tak funkcia by opäť obsahovala externý modul a vieme funkciu nakresliť do grafu 
pomocou symetrií. Aha! Ale koniec koncov, ak to postavíme, potom, keď to posunieme o 2 jednotky nižšie, dostaneme to, čo hľadáme!
Niečo sa teda začína objavovať. Skúsme vytvoriť algoritmus na vykreslenie grafu.
1. 
5.
A nakoniec . Všetko, čo leží pod osou Ox, sa zobrazí symetricky v hornej polrovine.
Hurá! Rozvrh je pripravený!
Veľa šťastia vo vašej tvrdej práci na mapovaní!
Znak modulo je možno jedným z najzaujímavejších javov v matematike. V tejto súvislosti má mnoho školákov otázku, ako zostaviť grafy funkcií obsahujúcich modul. Pozrime sa na tento problém podrobne.
1. Vykresľovanie funkcií obsahujúcich modul
Príklad 1
Nakreslite funkciu y = x 2 – 8|x| + 12.
Riešenie.
Definujme paritu funkcie. Hodnota pre y(-x) je rovnaká ako hodnota pre y(x), takže táto funkcia je párna. Potom je jeho graf symetrický vzhľadom na os Oy. Zostavíme graf funkcie y \u003d x 2 - 8x + 12 pre x ≥ 0 a symetricky zobrazíme graf vzhľadom na Oy pre záporné x (obr. 1).
Príklad 2
Ďalší graf je y = |x 2 – 8x + 12|.
– Aký je rozsah navrhovanej funkcie? (y ≥ 0).
- Ako je na tom graf? (Nad alebo dotýkajúc sa osi x).
To znamená, že graf funkcie sa získa takto: vynesú funkciu y \u003d x 2 - 8x + 12, časť grafu, ktorá leží nad osou Ox, ponechajú nezmenenú a časť grafu, ktorá leží pod os x je zobrazená symetricky vzhľadom na os Ox (obr. 2).
Príklad 3
Na vykreslenie funkcie y = |x 2 – 8|x| + 12| vykonajte kombináciu transformácií:
y = x 2 - 8x + 12 → y = x 2 - 8|x| + 12 → y = |x 2 – 8|x| + 12|.
Odpoveď: obrázok 3.
Uvažované transformácie sú platné pre všetky druhy funkcií. Urobme si tabuľku:
2. Vykresľovanie funkcií obsahujúcich "vnorené moduly" vo vzorci
Už sme sa zoznámili s príkladmi kvadratickej funkcie obsahujúcej modul, ako aj so všeobecnými pravidlami na zostavovanie grafov funkcií tvaru y = f(|x|), y = |f(x)| a y = |f(|x|)|. Tieto transformácie nám pomôžu pri zvažovaní nasledujúceho príkladu.
Príklad 4
Uvažujme funkciu tvaru y = |2 – |1 – |x|||. Výraz, ktorý definuje funkciu, obsahuje „vnorené moduly“.
Riešenie.
Používame metódu geometrických transformácií.
Zapíšme si reťazec postupných transformácií a urobme zodpovedajúci výkres (obr. 4):
y = x → y = |x| → y = -|x| → y = -|x| + 1 → y = |-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1| + 2 → y = |2 –|1 – |x|||.
Uvažujme o prípadoch, keď symetria a paralelné translačné transformácie nie sú hlavnou technikou vykresľovania.
Príklad 5
Zostrojte graf funkcie v tvare y \u003d (x 2 - 4) / √ (x + 2) 2.
Riešenie.
Pred vytvorením grafu transformujeme vzorec, ktorý definuje funkciu a získame ďalšiu analytickú definíciu funkcie (obr. 5). 
y = (x 2 – 4)/√(x + 2) 2 = (x– 2) (x + 2)/|x + 2|.
Rozviňme modul v menovateli:
Pre x > -2 je y = x - 2 a pre x< -2, y = -(x – 2).
Doména D(y) = (-∞; -2)ᴗ(-2; +∞).
Rozsah E(y) = (-4; +∞).
Body, v ktorých sa graf pretína so súradnicovou osou: (0; -2) a (2; 0).
Funkcia klesá pre všetky x z intervalu (-∞; -2), zvyšuje sa pre x z -2 na +∞.
Tu sme museli odhaliť znamienko modulu a vykresliť funkciu pre každý prípad.
Príklad 6
Uvažujme funkciu y = |x + 1| – |x – 2|.
Riešenie.
Pri rozšírení znaku modulu je potrebné zvážiť všetky možné kombinácie znakov výrazov podmodulu.
Existujú štyri možné prípady:
(x + 1 - x + 2 = 3, pričom x > -1 a x > 2;
(-x - 1 + x - 2 = -3, pričom x< -1 и x < 2;
(x + 1 + x - 2 = 2x - 1, pre x ≥ -1 a x< 2;
(-x - 1 - x + 2 = -2x + 1, pričom x< -1 и x ≥ 2 – пустое множество.
Potom bude pôvodná funkcia vyzerať takto:
(3, pre x > 2;
y = (-3, v x< -1;
(2x – 1, pričom -1 ≤ x< 2.
Dostali sme po častiach danú funkciu, ktorej graf je znázornený na obrázku 6.
3. Algoritmus na vytváranie grafov funkcií formulára
y = a 1 | x – x 1 | + a 2 |x – x 2 | + … + a n |x – x n | + sekera + b.
V predchádzajúcom príklade bolo dosť jednoduché rozšíriť značky modulu. Ak je súčtov modulov viac, potom je problematické zvážiť všetky možné kombinácie znakov výrazov podmodulov. Ako môžeme v tomto prípade zobraziť funkciu grafu?
Všimnite si, že graf je lomená čiara s vrcholmi v bodoch s úsečkami -1 a 2. Pre x = -1 a x = 2 sú výrazy submodulu rovné nule. Praktickým spôsobom sme pristúpili k pravidlu na vytváranie takýchto grafov:
Graf funkcie v tvare y = a 1 |x – x 1 | + a 2 |x – x 2 | + … + a n |x – x n | + ax + b je prerušovaná čiara s nekonečnými koncovými článkami. Na zostrojenie takejto lomenej čiary stačí poznať všetky jej vrcholy (úsečky vrcholov sú nuly výrazov submodulu) a jeden riadiaci bod na ľavom a pravom nekonečnom spoji. 
Úloha.
Nakreslite funkciu y = |x| + |x – 1| + |x + 1| a nájsť jeho najmenšiu hodnotu.
Riešenie:
Nuly výrazov submodulu: 0; - jeden; 1. Vrcholy lomenej čiary (0; 2); (-13); (13). Kontrolný bod vpravo (2; 6), vľavo (-2; 6). Zostavíme graf (obr. 7). min f(x) = 2.
Máte nejaké otázky? Neviete ako nakresliť funkciu s modulom?
Ak chcete získať pomoc od tútora -.
blog.site, pri úplnom alebo čiastočnom skopírovaní materiálu je potrebný odkaz na zdroj.
Bežné príklady s modulmi sú modul typu rovnice v module. Dvojitý modul možno zapísať ako vzorec
||a*x-b|-c|=k*x+m.
Ak k=0, tak takáto rovnica s modulom sa ľahšie rieši pomocou grafickej metódy. Klasické zverejňovanie modulov v takýchto situáciách je ťažkopádne a neprináša požadovaný efekt (úspora času) na kontroly a testy. Grafická metóda umožňuje zostaviť modulárne funkcie v krátkom čase a nájsť počet koreňov rovnice.
Algoritmus na zostavenie dvojitého, trojitého modulu je pomerne jednoduchý a mnohým sa budú páčiť nižšie uvedené príklady. Na konsolidáciu metodológie nižšie sú uvedené príklady samokalkulácie.
Príklad 1 Vyriešte modul rovnice v module ||x-3|-5|=3.
Riešenie: Rovnicu s modulmi riešime klasickou metódou a graficky. Nájdite nulu vnútorného modulu
x-3=0 x=3.
V bode x=3 je rovnica s modulom delená 2 . Navyše nula vnútorného modulu je bodom symetrie grafu modulov a ak je pravá strana rovnice konštantná, potom korene ležia v rovnakej vzdialenosti od tohto bodu. To znamená, že môžete vyriešiť jednu rovnicu z dvoch a vypočítať zostávajúce korene z tejto podmienky.
Rozšírme vnútorný modul pre x>3
|x-3-5|=3; |x-8|=3 .
Výsledná rovnica pri rozširovaní modulu sa vydelí 2
Submodulárna funkcia >0
x-8=3; x = 3 + 8 = 11;
a pre hodnoty< 0
получим
-(x-8)=3; x=8-3=5.
Oba korene rovnice spĺňajú podmienku x>3, čiže sú riešeniami.
Berúc do úvahy pravidlo symetrie riešení rovnice s modulmi napísanými vyššie, nemôžeme hľadať korene rovnice pre x< 3,
которое имеет вид
|-(x-3)-5|=3; |-x-2|=3 ,
a vypočítať ich.
Hodnota je symetrická okolo x=3 pre x=11 je
x = 3-(11-3) = 6-11 = -5.
Pomocou rovnakého vzorca nájdeme druhé riešenie
x=3-(5-3)=6-5=1.
Daná modulová rovnica v module má 4 riešenia
x = -5; x = 1; x = 5; x=11.
Teraz poďme nájsť riešenia rovnice s modulmi grafická metóda. Z interného modulu |x-3| Z toho vyplýva, že graf štandardného modulu funkcie je posunutý pozdĺž osi Ox doprava o 3 .
Ďalej - odčítanie 5 znamená, že graf musí byť znížený o 5 buniek pozdĺž osi Oy. Aby sme získali modul výslednej funkcie, symetricky odrážame všetko, čo je pod osou Ox.
A nakoniec postavíme priamku y=3 , rovnobežnú s osou Ox . Na výpočet rovníc s modulmi je najlepšie graficky použiť notebook v krabici, pretože je vhodné v ňom vytvárať grafy.
Výsledná podoba grafu modulu vyzerá takto
Priesečníky modulu funkcie a priamky y=3 a sú požadované riešenia x=-5;x=1; x = 5; x = 11.
Výhoda grafickej metódy oproti rozširovaniu modulov pre jednoduché rovnice samozrejme. Je však graficky nepohodlné hľadať korene, keď pravá strana vyzerá ako k*x+m , teda je to priamka naklonená k osi x pod uhlom.
Takéto rovnice tu nebudeme uvažovať.
Príklad 2 Koľko koreňov má rovnica ||2x-3|-2|=2?
Riešenie: Pravá strana je konštantná, takže je pravdepodobnejšie, že nájde riešenie pomocou grafickej metódy. Vnútorný modul sa vynuluje
|2x-3|=0 x=3/2=1,5
v bode x=1,5.
Takže posunieme graf funkcie y=|2x| do tohto bodu. Ak ho chcete postaviť, nahraďte niekoľko bodov a nakreslite cez ne priame čiary. Od výslednej funkcie odčítame 2, to znamená, že znížime graf o dve a aby sme dostali modul, prenesieme záporné hodnoty(y< 0)
симметрично относительно оси Ox
.
Vidíme, že daná rovnica má tri riešenia.
Príklad 3 Pre akú hodnotu parametra a má rovnica s modulom |||x+1|-2|-5|=a 5 riešení?
Riešenie: Máme rovnicu s tromi vnorenými modulmi. Nájdite odpoveď pomocou grafická analýza. Začnime ako vždy od interného modulu. Ide to na nulu
|x+1|=0 x=-1
v bode x=-1.
V tomto bode vykreslíme modul funkcie
Opäť posuňme graf modulu funkcie nadol o 5 a symetricky preneste záporné hodnoty funkcie. V dôsledku toho dostaneme ľavá strana rovnice s modulmi
y=|||x+1|-2|-5| .
Parameter a zodpovedá hodnote rovnobežky, ktorá musí pretínať graf modulu funkcie v 5 bodoch. Najprv nakreslíme takú priamku, potom hľadáme priesečník s osou Oy.
Toto je priamka y=3, to znamená, že požadovaný parameter sa rovná a=3.
Spôsob rozšírenia modulu túto úlohu Mohli by ste vyriešiť celú lekciu, ak nie viac. Tu je to všetko na niekoľkých grafoch.
Odpoveď: a=3.
Príklad 4 Koľko riešení má rovnica |||3x-3|-2|-7|=x+5?
Riešenie: Rozviňte vnútorný modul rovnice
|3x-3|=0<=>x=3/3=1.
Zostrojíme graf funkcie y=|3x-3|. Ak to chcete urobiť, pre zmenu jednej bunky x od nájdeného bodu pridajte 3 bunky v y. Vykonajte konštrukciu koreňov rovnice v zošite v krabici a poviem vám, ako sa to dá urobiť v prostredí Maple.
Restart; with(plots): Nastavte všetky premenné na nulu a pripojte modul pre prácu s grafikou.
> plot(abs(3*x-3),x=-2..4):
Ďalej znížime graf o 2 bunky nadol a symetricky prenesieme záporné hodnoty (y<0)
.
Získame graf dvoch vnútorných modulov Výsledný graf znížime o dvojku a odzrkadľujeme ho symetricky. získať graf
y=||3x-3|-2|.
V matematickom balíku javor toto je ekvivalentné napísaniu iného modulu
>plot(abs(abs(3*x-3)-2),x=-2..4):
Znova posuňte graf nadol o sedem jednotiek a preneste ho symetricky. Získajte graf funkcie
y=|||3x-3|-2|-7|
V Maple je to ekvivalentné nasledujúcej kódovej páske
> plot(abs(abs(abs(3*x-3)-2)-7),x=-5..7):
Postavíme priamku y=x+5 dvoma bodmi. Prvým je priesečník priamky s osou x