Pripomeňme si problém, ktorému sme čelili pri hľadaní určitých integrálov:
alebo dy = f(x)dx. Jej riešenie:
a to sa scvrkáva na počítanie neurčitý integrál. V praxi je bežnejšia náročnejšia úloha: nájsť funkciu r, ak je známe, že spĺňa vzťah formy
Tento vzťah sa týka nezávislej premennej X, neznáma funkcia r a jeho deriváty až po poradie n vrátane, sú tzv .
Diferenciálna rovnica obsahuje funkciu pod znamienkom derivácií (alebo diferenciálov) jedného alebo druhého rádu. Poradie najvyššieho sa nazýva poradie (9.1) .
Diferenciálne rovnice:
- prvá objednávka
druhá objednávka,
- piaty rád atď.
Funkcia, ktorá spĺňa danú diferenciálnu rovnicu, sa nazýva jej riešenie , alebo integrál . Vyriešiť to znamená nájsť všetky jeho riešenia. Ak pre požadovanú funkciu r podarilo získať vzorec, ktorý dáva všetky riešenia, potom hovoríme, že sme našli jeho všeobecné riešenie , alebo všeobecný integrál .
Spoločné rozhodnutie
obsahuje nľubovoľné konštanty 
a vyzerá ako
Ak sa získa vzťah, ktorý súvisí x, y a nľubovoľné konštanty vo forme, ktorá nie je povolená vzhľadom na r -
potom sa takýto vzťah nazýva všeobecný integrál rovnice (9.1).
Cauchy problém
Každé špecifické riešenie, t. j. každá špecifická funkcia, ktorá spĺňa danú diferenciálnu rovnicu a nezávisí od ľubovoľných konštánt, sa nazýva konkrétne riešenie. , alebo súkromný integrál. Na získanie konkrétnych riešení (integrálov) zo všeobecných je potrebné ku konštantám pripojiť konkrétne číselné hodnoty.
Graf konkrétneho riešenia sa nazýva integrálna krivka. Všeobecné riešenie, ktoré obsahuje všetky konkrétne riešenia, je rodina integrálnych kriviek. Pre rovnicu prvého rádu táto rodina závisí od jednej ľubovoľnej konštanty; pre rovnicu n objednávka - od nľubovoľné konštanty.
Cauchyho problémom je nájsť konkrétne riešenie rovnice n objednávky, spokojnosť n počiatočné podmienky:
ktoré určujú n konštánt с 1, с 2,..., c n.
Diferenciálne rovnice 1. rádu
Pre nevyriešené vzhľadom na deriváciu má diferenciálna rovnica 1. rádu tvar
alebo za povolené relatívne
Príklad 3.46. Nájdite všeobecné riešenie rovnice
Riešenie. Integrácia, chápeme
kde C je ľubovoľná konštanta. Ak dáme C špecifické číselné hodnoty, dostaneme konkrétne riešenia, napr.
Príklad 3.47. Zvážte zvyšujúce sa množstvo peňazí uložených v banke s časovým rozlíšením 100 r zložené úročenie ročne. Nech Yo je počiatočná suma peňazí a Yx po uplynutí platnosti X rokov. Keď sa úrok vypočíta raz ročne, dostaneme
kde x = 0, 1, 2, 3,.... Keď sa úrok počíta dvakrát do roka, dostaneme
kde x = 0, 1/2, 1, 3/2,.... Pri výpočte úroku n raz ročne a ak x nadobúda postupne hodnoty 0, 1/n, 2/n, 3/n,..., potom
Označte 1/n = h , potom bude predchádzajúca rovnosť vyzerať takto:
S neobmedzeným zväčšením n(at 
) v limite sa dostávame k procesu zvyšovania množstva peňazí s priebežným pripisovaním úrokov:
Je teda vidieť, že s neustálou zmenou X zákon zmeny peňažnej zásoby vyjadruje diferenciálna rovnica 1. rádu. kde Y x je neznáma funkcia, X- nezávislá premenná, r- stály. Riešime túto rovnicu, preto ju prepíšeme takto:
kde 
, alebo 
, kde P znamená e C .
Z počiatočných podmienok Y(0) = Yo nájdeme P: Yo = Pe o , odkiaľ, Yo = P. Riešenie teda vyzerá takto:
Zvážte druhý ekonomický problém. Makroekonomické modely sú popísané aj lineárnymi diferenciálnymi rovnicami 1. rádu, ktoré popisujú zmenu príjmu alebo výstupu Y ako funkciu času.
Príklad 3.48. Nech národný dôchodok Y rastie rýchlosťou úmernou jeho veľkosti:
a nech, deficit vo vládnych výdavkoch je priamo úmerný príjmu Y s koeficientom proporcionality q. Deficit vo výdavkoch vedie k zvýšeniu štátneho dlhu D:
Počiatočné podmienky Y = Yo a D = Do pri t = 0. Z prvej rovnice Y= Yoe kt . Dosadením Y dostaneme dD/dt = qYoe kt . Všeobecné riešenie má formu
D = (q/ k) Yoe kt +С, kde С = const, ktorá je určená z počiatočných podmienok. Nahradením počiatočných podmienok dostaneme Do = (q/k)Yo + C. Takže nakoniec,
D = Do +(q/k)Yo (ekt -1),
to ukazuje, že štátny dlh rastie rovnakou relatívnou rýchlosťou k, čo je národný dôchodok.
Zoberme do úvahy najviac diferenciálne rovnice n poriadku, to sú rovnice tvaru
Jeho všeobecné riešenie je možné získať pomocou nčasy integrácie.
Príklad 3.49. Zoberme si príklad y """ = cos x.
Riešenie. Zistili sme, že integrácia
Všeobecné riešenie má formu
Lineárne diferenciálne rovnice
V ekonómii majú veľké využitie, zvážte riešenie takýchto rovníc. Ak má (9.1) tvar:
potom sa nazýva lineárna, kde po(x), p1(x),..., pn(x), f(x) sú dané funkcie. Ak f(x) = 0, potom (9.2) sa nazýva homogénna, inak sa nazýva nehomogénna. Všeobecné riešenie rovnice (9.2) sa rovná súčtu ktoréhokoľvek z jej partikulárnych riešení y(x) a jemu zodpovedajúce všeobecné riešenie homogénnej rovnice:
Ak sú koeficienty p o (x), p 1 (x),..., p n (x) konštanty, potom (9.2)
(9.4) sa nazýva lineárna diferenciálna rovnica s konštantnými koeficientmi rádu n .
Pre (9.4) má tvar:
Môžeme nastaviť bez straty všeobecnosti p o = 1 a do formulára zapísať (9.5).
Budeme hľadať riešenie (9.6) v tvare y = e kx , kde k je konštanta. Máme: ; y " = ke kx , y "" = k 2 e kx , ..., y (n) = kne kx Dosaďte získané výrazy do (9.6), dostaneme:
(9.7) je algebraická rovnica, jej neznáma je k, hovorí sa tomu charakteristika. Charakteristická rovnica má stupeň n a n korene, medzi ktorými môžu byť viaceré aj zložité. Nech je teda k 1, k 2,..., k n skutočné a zreteľné 
sú partikulárne riešenia (9.7), kým všeobecné
Uvažujme lineárnu homogénnu diferenciálnu rovnicu druhého rádu s konštantnými koeficientmi:
Jeho charakteristická rovnica má tvar
(9.9)
jeho diskriminant D = p 2 - 4q, v závislosti od znamienka D sú možné tri prípady.
1. Ak D>0, potom korene k 1 a k 2 (9.9) sú skutočné a rôzne a všeobecné riešenie má tvar:
Riešenie. Charakteristická rovnica: k 2 + 9 = 0, odkiaľ k = ± 3i, a = 0, b = 3, všeobecné riešenie je:
y = C 1 cos 3x + C 2 sin 3x.
Lineárne diferenciálne rovnice druhého rádu sa používajú na štúdium webového ekonomického modelu so zásobami tovaru, kde rýchlosť zmeny ceny P závisí od veľkosti zásob (pozri odsek 10). Ak sú ponuka a dopyt lineárnymi funkciami ceny, tj.
a - je konštanta, ktorá určuje rýchlosť reakcie, potom je proces zmeny ceny opísaný diferenciálnou rovnicou:
Pre konkrétne riešenie môžete použiť konštantu
ktorá má význam rovnovážnej ceny. Odchýlka 
spĺňa homogénnu rovnicu
(9.10)
Charakteristická rovnica bude nasledovná:
V prípade, že termín je kladný. Označiť 
. Korene charakteristickej rovnice k 1,2 = ± i w, takže všeobecné riešenie (9.10) má tvar:
kde C a ľubovoľné konštanty, sú určené z počiatočných podmienok. Získali sme zákon zmeny ceny v čase:
Buď už vyriešené vzhľadom na deriváciu, alebo môžu byť vyriešené s ohľadom na deriváciu 
.
Spoločné rozhodnutie diferenciálne rovnice zadajte interval X, ktorý je daný, možno nájsť tak, že vezmeme integrál oboch strán tejto rovnosti.
Získajte 
.
Ak sa pozrieme na vlastnosti neurčitého integrálu, nájdeme požadované všeobecné riešenie:
y = F(x) + C,
kde F(x)- jeden z primitívne funkcie f(x) medzi X, a OD je ľubovoľná konštanta.
Upozorňujeme, že vo väčšine úloh interval X neuvádzajú. To znamená, že riešenie sa musí nájsť pre každého. X, pre ktorú a požadovanú funkciu r a pôvodná rovnica dáva zmysel.
Ak potrebujete vypočítať konkrétne riešenie diferenciálnej rovnice, ktoré spĺňa počiatočnú podmienku y(x0) = y0, potom po výpočte všeobecného integrálu y = F(x) + C, je ešte potrebné určiť hodnotu konštanty C=C0 pomocou počiatočnej podmienky. Teda konštanta C=C0 určené z rovnice F(x 0) + C = y 0 a požadované konkrétne riešenie diferenciálnej rovnice bude mať tvar:
y = F(x) + CO.
Zvážte príklad:
Nájdite všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice, skontrolujte správnosť výsledku. Poďme nájsť konkrétne riešenie tejto rovnice, ktoré by spĺňalo počiatočnú podmienku .
Riešenie:
Po integrácii danej diferenciálnej rovnice dostaneme:
.
Tento integrál berieme metódou integrácie po častiach:
To., 
je všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice.
Skontrolujeme, či je výsledok správny. Aby sme to dosiahli, dosadíme riešenie, ktoré sme našli, do danej rovnice:
.
Teda pri 
pôvodná rovnica sa zmení na identitu:
preto bolo všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice určené správne.
Riešenie, ktoré sme našli, je všeobecným riešením diferenciálnej rovnice pre každú z nich platné hodnoty argumentov X.
Zostáva vypočítať konkrétne riešenie ODR, ktoré by spĺňalo počiatočnú podmienku. Inými slovami, je potrebné vypočítať hodnotu konštanty OD, pri ktorej bude platiť rovnosť:
.
.
Potom nahrádzanie C = 2 do všeobecného riešenia ODR dostaneme konkrétne riešenie diferenciálnej rovnice, ktoré spĺňa počiatočnú podmienku:
.
Obyčajná diferenciálna rovnica 
možno vyriešiť vzhľadom na deriváciu delením 2 častí rovnice o f(x). Táto transformácia bude ekvivalentná, ak f(x) pri žiadnom nejde na nulu X z intervalu integrácie diferenciálnej rovnice X.
Situácie sú pravdepodobné, keď pre niektoré hodnoty argumentu X ∈ X funkcie f(x) a g(x) otočte súčasne na nulu. Pre podobné hodnoty X všeobecným riešením diferenciálnej rovnice je ľubovoľná funkcia r, ktorý je v nich definovaný, pretože .
Ak pre niektoré hodnoty argumentu X ∈ X podmienka je splnená, čo znamená, že v tomto prípade ODR nemá žiadne riešenia.
Pre všetkých ostatných X z intervalu X všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice sa určí z transformovanej rovnice.
Pozrime sa na príklady:
Príklad 1
Poďme nájsť všeobecné riešenie ODR: 
.
Riešenie.
Z vlastností základných elementárnych funkcií je zrejmé, že funkcia prirodzený logaritmus je definovaný pre nezáporné hodnoty argumentov, teda rozsah výrazu log(x+3) je tam interval X > -3 . Daná diferenciálna rovnica teda dáva zmysel X > -3 . S týmito hodnotami argumentu, výrazu x + 3 nezmizne, takže ODR vzhľadom na deriváciu možno vyriešiť vydelením 2 častí x + 3.
Dostaneme 
.
Ďalej integrujeme výslednú diferenciálnu rovnicu vyriešenú vzhľadom na deriváciu: 
. Na získanie tohto integrálu používame metódu súčtu pod znamienko diferenciálu.
Diferenciálne rovnice (DE). Tieto dve slová obyčajného laika zvyčajne vydesia. Zdá sa, že diferenciálne rovnice sú pre mnohých študentov niečo poburujúce a ťažko zvládnuteľné. Uuuuuu... diferenciálne rovnice, ako toto všetko prežijem?!
Takýto názor a takýto postoj je zásadne nesprávny, pretože v skutočnosti DIFERENCIÁLNE ROVNICE SÚ JEDNODUCHÉ A DOKONCA ZÁBAVNÉ. Čo potrebujete vedieť a vedieť sa naučiť riešiť diferenciálne rovnice? Ak chcete úspešne študovať rozdiely, musíte byť dobrí v integrácii a rozlišovaní. Čím lepšie sa témy študujú Derivácia funkcie jednej premennej a Neurčitý integrál, tým ľahšie bude porozumieť diferenciálnym rovniciam. Poviem viac, ak máte viac-menej slušné integračné schopnosti, tak téma je prakticky zvládnutá! Čím viac integrálov rôzne druhy vieš sa rozhodnúť - tým lepšie. prečo? Pretože sa musíte veľa integrovať. A rozlišovať. Tiež vysoko odporucany naučiť sa nájsť derivácia funkcie definovanej implicitne.
V 95% prípadov v kontrolná práca existujú 3 typy diferenciálnych rovníc prvého rádu: rovnice so separovateľnými premennými, o ktorých budeme v tejto lekcii uvažovať; homogénne rovnice a lineárne nehomogénne rovnice. Pre začiatočníkov na štúdium difúzorov vám odporúčam, aby ste si prečítali lekcie v tomto poradí. Existujú ešte zriedkavejšie typy diferenciálnych rovníc: rovnice v totálnych diferenciáloch, Bernoulliho rovnice a niektoré ďalšie. Z posledných dvoch typov sú najdôležitejšie rovnice v totálnych diferenciáloch, keďže okrem tohto DE uvažujem nový materiál je osobitná integrácia.
Najprv sa pozrime na obvyklé rovnice. Obsahujú premenné a čísla. Najjednoduchší príklad: . Čo znamená vyriešiť obyčajnú rovnicu? To znamená nájsť súbor čísel ktoré spĺňajú túto rovnicu. Je ľahké vidieť, že detská rovnica má jeden koreň: . Pre zábavu si urobme kontrolu a nahraďte nájdený koreň do našej rovnice:
- získa sa správna rovnosť, čo znamená, že riešenie je nájdené správne.
Difúzory sú usporiadané takmer rovnakým spôsobom!
Diferenciálnej rovnice prvá objednávka, obsahuje:
1) nezávislá premenná;
2) závislá premenná (funkcia);
3) prvá derivácia funkcie: .
V niektorých prípadoch rovnica prvého rádu nemusí mať "x" alebo (a) "y" - dôležité takže v DU bol prvá derivácia a nemal deriváty vyšších rádov - atď.
Čo znamená ? Riešiť diferenciálnu rovnicu znamená nájsť veľa funkcií ktoré spĺňajú túto rovnicu. Táto sada funkcií sa nazýva všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice.
Príklad 1
Riešiť diferenciálnu rovnicu
Plná munícia. Kde začať riešiť akúkoľvek diferenciálnu rovnicu prvého rádu?
Najprv musíte prepísať derivát do trochu inej podoby. Pripomíname si ťažkopádny zápis pre derivát: . Takéto označenie derivátu sa mnohým z vás zrejme zdalo smiešne a zbytočné, no práve toto vládne v diffuroch!
Takže v prvej fáze prepíšeme derivát do tvaru, ktorý potrebujeme:
V druhej fáze vždy uvidíme, či môžeme rozdelené premenné?Čo to znamená oddeliť premenné? Zhruba povedané, na ľavej strane musíme odísť len "hry", a napravo organizovať iba x. Separácia premenných sa vykonáva pomocou „školských“ manipulácií: zátvorky, prenos termínov z časti do časti so zmenou znamienka, prenos faktorov z časti do časti podľa pravidla proporcie atď.
Diferenciály a sú plnými multiplikátormi a aktívnymi účastníkmi nepriateľských akcií. V tomto príklade sú premenné ľahko oddelené preklápacími faktormi podľa pravidla proporcie:
Premenné sú oddelené. Na ľavej strane - iba "Hra", na pravej strane - iba "X".
Ďalšia fáza - integrácia diferenciálnych rovníc. Je to jednoduché, integrály zavesíme na obe časti:
Samozrejme, treba brať integrály. V tomto prípade sú tabuľkové:
Ako si pamätáme, konštanta je priradená akejkoľvek primitívnej derivácii. Sú tu dva integrály, ale konštantu stačí napísať raz. Takmer vždy sa pripisuje pravej strane.
Presne povedané, po zobratí integrálov sa diferenciálna rovnica považuje za vyriešenú. Jediná vec je, že naše „y“ nie je vyjadrené pomocou „x“, to znamená, že je prezentované riešenie v implicitnom formulár. Implicitné riešenie diferenciálnej rovnice sa nazýva všeobecný integrál diferenciálnej rovnice. To znamená, že ide o všeobecný integrál.
Teraz sa musíme pokúsiť nájsť všeobecné riešenie, to znamená pokúsiť sa reprezentovať funkciu v explicitnej forme.
Zapamätajte si prosím prvú techniku, je veľmi bežná a často používaná v praktických úlohách. Keď sa po integrácii objaví logaritmus na pravej strane, takmer vždy je vhodné zapísať konštantu aj pod logaritmus.
teda namiesto zvyčajne sa píšu záznamy 
.
Tu je rovnaká plnohodnotná konštanta ako . Prečo je to potrebné? A aby sa ľahšie vyjadrilo „y“. Používame školskú vlastnosť logaritmov: 
. V tomto prípade:
Teraz môžu byť logaritmy a moduly odstránené z oboch častí s čistým svedomím:
Funkcia je uvedená explicitne. Toto je všeobecné riešenie.
Veľa funkcií 
je všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice.
Zadaním rôznych hodnôt konštanty môžete získať nekonečný počet súkromné rozhodnutia Diferenciálnej rovnice. Ktorákoľvek z funkcií, atď. bude spĺňať diferenciálnu rovnicu .
Niekedy sa nazýva všeobecné riešenie rodina funkcií. V tomto príklade je všeobecné riešenie - toto je rodina lineárne funkcie alebo skôr rodina priamych úmerností.
Mnoho diferenciálnych rovníc sa dá pomerne ľahko skontrolovať. To sa robí veľmi jednoducho, vezmeme nájdené riešenie a nájdeme derivát:
Naše riešenie a nájdenú deriváciu dosadíme do pôvodnej rovnice:
- získa sa správna rovnosť, čo znamená, že riešenie je nájdené správne. Inými slovami, všeobecné riešenie spĺňa rovnicu .
Po podrobnej diskusii o prvom príklade je vhodné odpovedať na niekoľko naivných otázok o diferenciálnych rovniciach.
1)V tomto príklade sa nám podarilo oddeliť premenné: . Je to vždy možné? Nie vždy. A ešte častejšie sa premenné nedajú oddeliť. Napríklad v homogénne rovnice prvého poriadku treba najskôr vymeniť. V iných typoch rovníc, napr. v lineárnej nehomogénnej rovnici prvého rádu, musíte použiť rôzne triky a metódy na nájdenie všeobecného riešenia. Oddeliteľné premenné rovnice, o ktorých uvažujeme v prvej lekcii, sú najjednoduchším typom diferenciálnych rovníc.
2) Je vždy možné integrovať diferenciálnu rovnicu? Nie vždy. Je veľmi jednoduché vymyslieť „vymyslenú“ rovnicu, ktorá sa nedá integrovať, navyše existujú integrály, ktoré sa nedajú vziať. Ale takéto DE možno vyriešiť približne pomocou špeciálnych metód. Záruka D'Alembert a Cauchy. ... fuj, lurkmore.ru len veľa číta.
3) V tomto príklade sme dostali riešenie vo forme všeobecného integrálu . Dá sa vždy zo všeobecného integrálu nájsť všeobecné riešenie, teda vyjadrenie „y“ v explicitnej forme? Nie vždy. Napríklad: . No, ako tu môžem vyjadriť "y"?! V takýchto prípadoch by mala byť odpoveď napísaná ako všeobecný integrál. Okrem toho sa niekedy dá nájsť všeobecné riešenie, ktoré je však napísané tak ťažkopádne a nemotorne, že je lepšie nechať odpoveď vo forme všeobecného integrálu
Neponáhľajme sa. Ďalšie jednoduché diaľkové ovládanie a ďalšie typické riešenie.
Príklad 2
Nájdite konkrétne riešenie diferenciálnej rovnice, ktoré spĺňa počiatočnú podmienku
Podmienkou je nájsť súkromné riešenie DE, ktorý spĺňa počiatočnú podmienku. Tento druh otázok sa tiež nazýva Cauchy problém.
Najprv nájdeme všeobecné riešenie. V rovnici nie je žiadna premenná „x“, ale to by nemalo byť trápne, hlavná vec je, že má prvú deriváciu.
Deriváciu prepíšeme do požadovaného tvaru:
Je zrejmé, že premenné možno rozdeliť, chlapci naľavo, dievčatá napravo:
Integrujeme rovnicu: 
Získa sa všeobecný integrál. Tu som nakreslil konštantu s prízvukovou hviezdou, faktom je, že veľmi skoro sa zmení na inú konštantu.
Teraz sa snažíme previesť všeobecný integrál na všeobecné riešenie (explicitne vyjadrite „y“). Spomíname na starú, dobrú školu: 
. V tomto prípade:
Konštanta v ukazovateli akosi nevyzerá kóšer, preto je zvyčajne spustená z neba na zem. V detailoch sa to deje takto. Pomocou vlastnosti stupňov prepíšeme funkciu takto:
Ak je konštanta, potom je aj nejaká konštanta, ktorú označíme písmenom:
Pamätajte na "drift" konštanty, toto je druhá technika, ktorá sa často používa pri riešení diferenciálnych rovníc.
Takže všeobecné riešenie je: Taká pekná rodina exponenciálnych funkcií.
V záverečnej fáze musíte nájsť konkrétne riešenie, ktoré spĺňa danú počiatočnú podmienku. Je to tiež jednoduché.
aká je úloha? Treba vyzdvihnúť taký hodnotu konštanty tak, aby bola splnená daná počiatočná podmienka .
Môžete to zariadiť rôznymi spôsobmi, ale najzrozumiteľnejšie to bude asi takto. Vo všeobecnom riešení namiesto „x“ nahradíme nulu a namiesto „y“ dve:
teda
Štandardné prevedenie:
Nájdenú hodnotu konštanty dosadíme do všeobecného riešenia:
– toto je konkrétne riešenie, ktoré potrebujeme.
Urobme kontrolu. Overenie konkrétneho riešenia zahŕňa dve etapy.
Najprv je potrebné skontrolovať, či nájdené konkrétne riešenie skutočne spĺňa počiatočnú podmienku? Namiesto "x" dosadíme nulu a uvidíme, čo sa stane:
- áno, skutočne bola získaná dvojka, čo znamená, že počiatočná podmienka je splnená.
Druhá etapa je už známa. Zoberieme výsledné konkrétne riešenie a nájdeme deriváciu:
Dosaďte do pôvodnej rovnice:
- získa sa správna rovnosť.
Záver: konkrétne riešenie bolo nájdené správne.
Prejdime k zmysluplnejším príkladom.
Príklad 3
Riešiť diferenciálnu rovnicu
Riešenie: Deriváciu prepíšeme do tvaru, ktorý potrebujeme: 
Posúdenie, či je možné premenné oddeliť? Môcť. Druhý výraz prenesieme na pravú stranu so zmenou znamienka: 
A preklopíme faktory podľa pravidla proporcie: 
Premenné sú oddelené, integrujme obe časti: 
Musím vás varovať, blíži sa súdny deň. Ak ste sa dobre neučili neurčité integrály, vyriešil niekoľko príkladov, potom už nie je kam ísť - musíte ich teraz ovládať.
Integrál ľavej strany je ľahké nájsť, s integrálom kotangens sa zaoberáme štandardnou technikou, ktorú sme uvažovali v lekcii integrácia goniometrické funkcie
V minulom roku: 
Na pravej strane sme dostali logaritmus, podľa môjho prvého technického odporúčania, v tomto prípade by sa pod logaritmus mala zapísať aj konštanta.
Teraz sa pokúsime zjednodušiť všeobecný integrál. Keďže máme iba logaritmy, je celkom možné (a nevyhnutné) sa ich zbaviť. Logaritmy „balíme“ čo najviac. Balenie sa vykonáva pomocou troch vlastností: 
Prepíšte si tieto tri vzorce pre seba pracovný zošit, veľmi často sa využívajú pri riešení difúzov.
Riešenie napíšem veľmi podrobne: 
Balenie je dokončené, odstráňte logaritmy: 
Je možné vyjadriť "y"? Môcť. Obe časti musia byť štvorcové. Ale nemusíš.
Tretí technický tip: Ak na získanie všeobecného riešenia potrebujete získať moc alebo zakoreniť, potom Väčšinou mali by ste sa zdržať týchto akcií a nechať odpoveď vo forme všeobecného integrálu. Faktom je, že všeobecné riešenie bude vyzerať domýšľavo a hrozne - s veľkými koreňmi, znakmi.
Preto odpoveď píšeme ako všeobecný integrál. Za dobrú formu sa považuje uvádzanie všeobecného integrálu vo forme, to znamená, že na pravej strane, ak je to možné, ponechajte iba konštantu. Nie je to potrebné, ale potešiť profesora je vždy prospešné ;-)
odpoveď: všeobecný integrál:
Poznámka:všeobecný integrál ktorejkoľvek rovnice možno zapísať viacerými spôsobmi. Ak sa teda váš výsledok nezhoduje s predtým známou odpoveďou, neznamená to, že ste rovnicu vyriešili nesprávne.
Všeobecný integrál sa tiež kontroluje pomerne ľahko, hlavná vec je vedieť ho nájsť deriváty funkcie definovanej implicitne. Rozlišujme odpoveď: 
Oba výrazy vynásobíme: 
A delíme podľa: 
Pôvodná diferenciálna rovnica bola získaná presne, čo znamená, že všeobecný integrál bol nájdený správne.
Príklad 4
Nájdite konkrétne riešenie diferenciálnej rovnice, ktoré spĺňa počiatočnú podmienku. Spustite kontrolu.
Toto je príklad „urob si sám“. Pripomínam, že Cauchyho problém pozostáva z dvoch fáz:
1) Nájdenie všeobecného riešenia.
2) Nájdenie konkrétneho riešenia.
Kontrola sa tiež vykonáva v dvoch fázach (pozri aj vzor v príklade 2), potrebujete:
1) Uistite sa, že konkrétne nájdené riešenie skutočne spĺňa počiatočnú podmienku.
2) Skontrolujte, či konkrétne riešenie vo všeobecnosti vyhovuje diferenciálnej rovnici.
Úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny.
Príklad 5
Nájdite konkrétne riešenie diferenciálnej rovnice 
, spĺňajúce počiatočnú podmienku . Spustite kontrolu.
Riešenie: Najprv nájdime všeobecné riešenie Táto rovnica už obsahuje hotové diferenciály a , čo znamená, že riešenie je zjednodušené. Oddelenie premenných: 
Integrujeme rovnicu: 
Integrál vľavo je tabuľkový, integrál vpravo je braný metóda sčítania funkcie pod znamienkom diferenciálu:
Všeobecný integrál bol získaný, je možné úspešne vyjadriť všeobecné riešenie? Môcť. Zavesíme logaritmy: 
(Dúfam, že každý chápe premenu, také veci by už mali byť známe)
Takže všeobecné riešenie je:
Nájdite konkrétne riešenie zodpovedajúce danej počiatočnej podmienke. Vo všeobecnom riešení namiesto „x“ nahradíme nulu a namiesto „y“ logaritmus dvoch: 
Známejší dizajn:
Nájdenú hodnotu konštanty dosadíme do všeobecného riešenia.
odpoveď: súkromné riešenie:
Kontrola: Najprv skontrolujte, či je splnená počiatočná podmienka:
- všetko je dobré.
Teraz skontrolujme, či nájdené konkrétne riešenie vôbec vyhovuje diferenciálnej rovnici. Nájdeme derivát:
Pozrime sa na pôvodnú rovnicu: – uvádza sa v diferenciáloch. Existujú dva spôsoby kontroly. Je možné vyjadriť diferenciál z nájdenej derivácie:
Nájdené partikulárne riešenie a výsledný diferenciál dosadíme do pôvodnej rovnice : 
Používame hlavné logaritmická identita :
Získa sa správna rovnosť, čo znamená, že konkrétne riešenie je nájdené správne.
Druhý spôsob kontroly je zrkadlový a známejší: z rovnice vyjadrite deriváciu, preto všetky časti vydelíme takto: 
A v transformovanom DE dosadíme získané partikulárne riešenie a nájdenú deriváciu. V dôsledku zjednodušení by sa mala dosiahnuť aj správna rovnosť.
Príklad 6
Vyriešte diferenciálnu rovnicu. Vyjadrite odpoveď ako všeobecný integrál.
Toto je príklad na samoriešenie, úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny.
Aké ťažkosti čakajú pri riešení diferenciálnych rovníc so separovateľnými premennými?
1) Nie vždy je zrejmé (najmä pre čajník), že premenné možno oddeliť. Zvážte podmienený príklad: . Tu je potrebné vyňať faktory zo zátvoriek: a oddeliť korene:. Ako ďalej postupovať je jasné.
2) Ťažkosti pri samotnej integrácii. Integrály často vznikajú nie najjednoduchšie, a ak existujú nedostatky v zručnostiach hľadania neurčitý integrál, potom to bude s mnohými difúzormi ťažké. Okrem toho je medzi kompilátormi zbierok a príručiek populárna logika „keďže diferenciálna rovnica je jednoduchá, integrály nech sú komplikovanejšie“.
3) Transformácie s konštantou. Ako si každý všimol, s konštantou v diferenciálnych rovniciach môžete robiť takmer čokoľvek. A nie vždy sú takéto premeny pre začiatočníka jasné. Zvážte ďalší podmienený príklad: 
. V ňom je vhodné vynásobiť všetky výrazy 2: 
. Výsledná konštanta je tiež nejaký druh konštanty, ktorú možno označiť: 
. Áno, a keďže na pravej strane je logaritmus, je vhodné prepísať konštantu ako inú konštantu: 
.
Problém je v tom, že sa často neobťažujú indexmi a používajú rovnaké písmeno . Výsledkom je, že záznam o rozhodnutí má nasledujúcu formu: 
Čo to do čerta? Tu sú chyby. Formálne áno. A neformálne - neexistuje žiadna chyba, rozumie sa, že pri prevode konštanty sa stále získa nejaká iná konštanta.
Alebo taký príklad, predpokladajme, že v priebehu riešenia rovnice sa získa všeobecný integrál. Táto odpoveď vyzerá škaredo, preto je vhodné zmeniť znamienka všetkých multiplikátorov: 
. Formálne je tam podľa záznamu opäť chyba, mala byť napísaná. Ale neformálne sa predpokladá, že - je to stále nejaká iná konštanta (o to viac môže nadobudnúť akúkoľvek hodnotu), takže zmena znamienka konštanty nemá zmysel a môžete použiť rovnaké písmeno .
Pokúsim sa vyhnúť neopatrnému prístupu a pri prevode stále uvádzam rôzne indexy pre konštanty.
Príklad 7
Vyriešte diferenciálnu rovnicu. Spustite kontrolu.
Riešenie: Táto rovnica pripúšťa separáciu premenných. Oddelenie premenných: 
Integrujeme: 
Konštanta tu nemusí byť definovaná pod logaritmom, pretože z toho nebude nič dobré.
odpoveď: všeobecný integrál:
Kontrola: Diferencujte odpoveď (implicitná funkcia): 
Zbavíme sa zlomkov, preto oba pojmy vynásobíme takto: 
Pôvodná diferenciálna rovnica bola získaná, čo znamená, že všeobecný integrál bol nájdený správne.
Príklad 8
Nájdite konkrétne riešenie DE.
,
Toto je príklad „urob si sám“. Jediný komentár, tu získate všeobecný integrál, a správnejšie, musíte sa snažiť nájsť nie konkrétne riešenie, ale súkromný integrál. Úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny.
Ako už bolo uvedené, v difúrach so separovateľnými premennými sa často nevyskytujú najjednoduchšie integrály. A tu je pár takýchto príkladov pre nezávislé rozhodnutie. Odporúčam každému riešiť príklady č.9-10 bez ohľadu na úroveň zaškolenia, umožní vám to aktualizovať si zručnosti hľadania integrálov alebo doplniť medzery vo vedomostiach.
Príklad 9
Riešiť diferenciálnu rovnicu 
Príklad 10
Riešiť diferenciálnu rovnicu 
Pamätajte, že všeobecný integrál možno zapísať viacerými spôsobmi a vzhľad vašich odpovedí sa môže líšiť vzhľad moje odpovede. krátky zdvih riešenia a odpovede na konci hodiny.
Úspešná propagácia!
Príklad 4:Riešenie:
Poďme nájsť všeobecné riešenie. Oddelenie premenných:
Integrujeme:
Všeobecný integrál bol získaný, snažíme sa ho zjednodušiť. Logaritmy zabalíme a zbavíme sa ich:
The online kalkulačka umožňuje riešiť diferenciálne rovnice online. Stačí zadať svoju rovnicu do príslušného poľa, pričom „derivát funkcie“ označíte apostrofom a kliknete na tlačidlo „vyriešiť rovnicu.“ A systém implementovaný na základe populárnej webovej stránky WolframAlpha vám poskytne podrobný riešenie diferenciálnej rovniceúplne zadarmo. Problém Cauchy môžete nastaviť aj tak, že z celej sady možné riešenia vyberte kvocient zodpovedajúci zadaným počiatočným podmienkam. Cauchyho problém sa zadáva do samostatného poľa.
Diferenciálnej rovnice
Štandardne je v rovnici funkcia r je funkciou premennej X. Môžete si však nastaviť vlastný zápis premennej, ak do rovnice napíšete napríklad y(t), kalkulačka to automaticky rozpozná r je funkciou premennej t. Pomocou kalkulačky môžete riešiť diferenciálne rovnice akejkoľvek zložitosti a typu: homogénne a nehomogénne, lineárne alebo nelineárne, prvého rádu alebo druhého a vyššieho rádu, rovnice so separovateľnými alebo neoddeliteľnými premennými atď. Riešenie rozdiel. rovnica je uvedená v analytickej forme, má Detailný popis. Diferenciálne rovnice sú veľmi bežné vo fyzike a matematike. Bez ich výpočtu nie je možné vyriešiť mnohé problémy (najmä v matematickej fyzike).
Jedným z krokov pri riešení diferenciálnych rovníc je integrácia funkcií. Na riešenie diferenciálnych rovníc existujú štandardné metódy. Je potrebné uviesť rovnice do tvaru so separovateľnými premennými y a x a separátne integrovať separované funkcie. Aby ste to dosiahli, niekedy musíte vykonať určitú náhradu.