Na tejto stránke nájdete:
1. Vlastne tabuľka priradení - dá sa stiahnuť v vo formáte PDF a tlačiť;
2. Video o tom, ako používať túto tabuľku;
3. Kopa príkladov na výpočet primitív z rôznych učebníc a testov.
V samotnom videu rozoberieme množstvo úloh, pri ktorých je potrebné vypočítať primitívne funkcie, často pomerne zložité, no hlavne nie sú mocninné. Všetky funkcie zhrnuté vo vyššie navrhovanej tabuľke musia byť známe naspamäť, podobne ako deriváty. Bez nich je ďalšie štúdium integrálov a ich aplikácia na riešenie praktických problémov nemožné.
Dnes sa budeme naďalej zaoberať primitívmi a prejdeme k niečomu viac ťažká téma. Ak sme minule zvažovali primitívne funkcie len od mocenských funkcií a trochu zložitejších štruktúr, dnes si rozoberieme trigonometriu a mnohé ďalšie.
Ako som povedal v minulej lekcii, primitívne derivácie sa na rozdiel od derivátov nikdy neriešia „naprázdno“ pomocou žiadnych štandardných pravidiel. Navyše, zlou správou je, že na rozdiel od derivátu nemusí byť priradený vôbec zvažovaný. Ak napíšeme úplne náhodnú funkciu a pokúsime sa nájsť jej deriváciu, tak sa nám to s veľmi vysokou pravdepodobnosťou podarí, ale primitívna derivácia sa v tomto prípade takmer nikdy nevypočíta. Ale je tu aj dobrá správa: existuje pomerne veľká trieda funkcií nazývaných elementárne funkcie, ktorých primitívne deriváty sa dajú veľmi ľahko vypočítať. A všetky ostatné zložitejšie konštrukcie, ktoré sa dávajú pri rôznych kontrolách, nezávislých a skúškach, sa v skutočnosti skladajú z týchto elementárnych funkcií sčítaním, odčítaním a inými jednoduchými úkonmi. Primitívne deriváty takýchto funkcií sú už dlho vypočítané a zhrnuté v špeciálnych tabuľkách. Práve s takýmito funkciami a tabuľkami budeme dnes pracovať.
Začneme však, ako vždy, opakovaním: pamätajte, čo je to primitív, prečo ich je nekonečne veľa a ako ich určiť. všeobecná forma. Aby som to urobil, vybral som si dve jednoduché úlohy.
Riešenie jednoduchých príkladov
Príklad #1
Okamžite si všimnite, že $\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$ a prítomnosť $\text( )\!\!\pi\!\! \ text( )$ nám okamžite napovedá, že požadovaná primitívna derivácia funkcie súvisí s trigonometriou. A skutočne, ak sa pozrieme na tabuľku, zistíme, že $\frac(1)(1+((x)^(2)))$ nie je nič iné ako $\text(arctg)x$. Tak si napíšme:
Ak chcete nájsť, musíte napísať nasledovné:
\[\frac(\pi )(6)=\text(arctg)\sqrt(3)+C\]
\[\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+C\]
Príklad č. 2
Tu tiež hovoríme o goniometrické funkcie. Ak sa pozrieme na tabuľku, skutočne to dopadne takto:
Musíme nájsť medzi celou množinou primitívnych prvkov tú, ktorá prechádza zadaným bodom:
\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\arcsin \frac(1)(2)+C\]
\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+C\]
Poďme si to konečne napísať:
Je to také jednoduché. Jediným problémom je spočítať primitívov jednoduché funkcie, musíte sa naučiť tabuľku priradení. Keď sa však naučíte tabuľku derivátov, myslím, že to nebude problém.
Riešenie problémov obsahujúcich exponenciálnu funkciu
Začnime písaním nasledujúcich vzorcov:
\[((e)^(x))\to ((e)^(x))\]
\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)\]
Pozrime sa, ako to celé funguje v praxi.
Príklad #1
Ak sa pozrieme na obsah hranatých zátvoriek, všimneme si, že v tabuľke priradení nie je taký výraz, že $((e)^(x))$ je v štvorci, takže tento štvorec musí byť otvorený. Na tento účel používame skrátené vzorce násobenia:
Nájdime primitívny prvok pre každý z výrazov:
\[((e)^(2x))=((\left(((e)^(2)) \right))^(x))\to \frac(((\left(((e)^) (2)) \vpravo))^(x)))(\ln ((e)^(2)))=\frac(((e)^(2x)))(2)\]
\[((e)^(-2x))=((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))\to \frac(((\left(((e) )^(-2)) \vpravo))^(x)))(\ln ((e)^(-2)))=\frac(1)(-2((e)^(2x))) \]
A teraz zhromaždíme všetky výrazy do jedného výrazu a získame spoločnú primitívu:
Príklad č. 2
Tentoraz je už exponent väčší, takže skrátený vzorec na násobenie bude dosť komplikovaný. Rozšírime zátvorky:
Teraz skúsme z tejto konštrukcie vziať primitívnu vlastnosť nášho vzorca:
Ako vidíte, v primitíve exponenciálna funkcia nie je nič zložité a nadprirodzené. Všetka jedna je vypočítaná pomocou tabuliek, no pozorní študenti si určite všimnú, že primitívna derivácia $((e)^(2x))$ je oveľa bližšie len k $((e)^(x)))$ ako k $((a). )^(x))$. Takže možno existuje nejaké špeciálnejšie pravidlo, ktoré umožňuje, ak poznáte primitívnu vlastnosť $((e)^(x))$, nájsť $((e)^(2x))$? Áno, existuje také pravidlo. A navyše je to neoddeliteľná súčasť práce s tabuľkou primitív. Teraz to analyzujeme pomocou rovnakých výrazov, s ktorými sme práve pracovali ako príklad.
Pravidlá práce s tabuľkou primitív
Prepíšme našu funkciu:
V predchádzajúcom prípade sme na riešenie použili nasledujúci vzorec:
\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\názov operátora(lna))\]
Ale teraz urobme niečo iné: zapamätajte si, na akom základe $((e)^(x))\to ((e)^(x))$. Ako už bolo povedané, pretože derivát $((e)^(x))$ nie je nič iné ako $((e)^(x))$, takže jeho primitívny derivát sa bude rovnať rovnakému $((e) ^( x)) $. Problém je však v tom, že máme $((e)^(2x))$ a $((e)^(-2x))$. Teraz sa pokúsme nájsť derivát $((e)^(2x))$:
\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(2x))\cdot ((\left(2x \right))^( \prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]
Opäť prepíšme našu konštrukciu:
\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]
\[((e)^(2x))=((\left(\frac(((e)^(2x)))(2) \right))^(\prime ))\]
A to znamená, že keď nájdeme primitívnu položku $((e)^(2x))$, dostaneme nasledovné:
\[((e)^(2x))\to \frac(((e)^(2x)))(2)\]
Ako vidíte, dostali sme rovnaký výsledok ako predtým, ale nepoužili sme vzorec na nájdenie $((a)^(x))$. Teraz sa to môže zdať hlúpe: prečo komplikovať výpočty, keď existuje štandardný vzorec? Pri trochu zložitejších prejavoch však uvidíte, že táto technika je veľmi účinná, t.j. použitie derivátov na nájdenie primitívnych derivátov.
Na zahriatie nájdime primitívnu vlastnosť $((e)^(2x))$ podobným spôsobom:
\[((\left(((e)^(-2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(-2x))\cdot \left(-2 \right)\]
\[((e)^(-2x))=((\left(\frac(((e)^(-2x)))(-2) \right))^(\prime ))\]
Pri výpočte bude naša konštrukcia napísaná takto:
\[((e)^(-2x))\to -\frac(((e)^(-2x)))(2)\]
\[((e)^(-2x))\to -\frac(1)(2\cdot ((e)^(2x)))\]
Dosiahli sme presne rovnaký výsledok, ale išli sme opačným smerom. Práve tento spôsob, ktorý sa nám teraz zdá trochu komplikovanejší, bude v budúcnosti efektívnejší pri výpočtoch zložitejších primitív a tabuliek.
Poznámka! Toto je veľmi dôležitý bod: Antideriváty, podobne ako deriváty, možno počítať mnohými rôznymi spôsobmi. Ak sú však všetky výpočty a výpočty rovnaké, odpoveď bude rovnaká. Práve sme to videli na príklade $((e)^(-2x))$ - na jednej strane sme túto primitívu vypočítali „cez“ pomocou definície a vypočítali sme ju pomocou transformácií na na druhej strane sme si zapamätali, že $ ((e)^(-2x))$ môže byť reprezentované ako $((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))$ a potom použite primitívnu funkciu pre funkciu $( (a)^(x))$. Po všetkých transformáciách je však výsledok rovnaký, ako sa očakávalo.
A teraz, keď sme to všetko pochopili, je čas prejsť na niečo podstatnejšie. Teraz si rozoberieme dve jednoduché konštrukcie, avšak technika, ktorá bude stanovená pri ich riešení, je mocnejším a užitočnejším nástrojom ako jednoduché „behanie“ medzi susednými primitívnymi prvkami od stola.
Riešenie problémov: nájdite primitívnu vlastnosť funkcie
Príklad #1
Uveďte množstvo, ktoré je v čitateloch, rozložte na tri samostatné zlomky:
Ide o celkom prirodzený a pochopiteľný prechod – väčšina študentov s ním nemá problémy. Prepíšme náš výraz takto:
Teraz si spomeňme na tento vzorec:
V našom prípade dostaneme nasledovné:
Aby ste sa zbavili všetkých týchto trojposchodových zlomkov, navrhujem urobiť nasledovné:
Príklad č. 2
Na rozdiel od predchádzajúceho zlomku nie je menovateľom súčin, ale súčet. V tomto prípade už nemôžeme náš zlomok deliť súčtom niekoľkých jednoduché zlomky, ale musíte sa nejako pokúsiť, aby čitateľ mal približne rovnaký výraz ako menovateľ. V tomto prípade je to celkom jednoduché:
Takýto zápis, ktorý sa v jazyku matematiky nazýva „sčítanie nuly“, nám umožní opäť rozdeliť zlomok na dve časti:
Teraz poďme nájsť to, čo sme hľadali:
To sú všetky výpočty. Napriek zjavne väčšej zložitosti ako v predchádzajúcom probléme sa množstvo výpočtov ukázalo byť ešte menšie.
Nuansy riešenia
A tu je hlavná náročnosť práce s tabuľkovými primitívmi, čo je obzvlášť viditeľné v druhej úlohe. Faktom je, že na to, aby sme vybrali niektoré prvky, ktoré sa dajú ľahko spočítať cez tabuľku, musíme vedieť, čo presne hľadáme, a práve v hľadaní týchto prvkov sa skladá celý výpočet primitív.
Inými slovami, nestačí sa len naučiť naspamäť tabuľku primitív – musíte vidieť niečo, čo tam ešte nie je, ale čo tým myslel autor a zostavovateľ tohto problému. To je dôvod, prečo mnohí matematici, učitelia a profesori neustále argumentujú: „Čo je brať primitívne derivácie alebo integrácia - je to len nástroj alebo je to skutočné umenie? V skutočnosti podľa môjho osobného názoru integrácia vôbec nie je umenie – nie je v nej nič vznešené, je to len prax a zase prax. A na precvičenie vyriešme tri vážnejšie príklady.
Cvičte integráciu v praxi
Úloha č.1
Napíšme si nasledujúce vzorce:
\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]
\[\frac(1)(x)\to \ln x\]
\[\frac(1)(1+((x)^(2)))\to \text(arctg)x\]
Napíšme si nasledovné:
Úloha č. 2
Prepíšme to takto:
Celkový primitívny prvok sa bude rovnať:
Úloha č. 3
Zložitosť tejto úlohy spočíva v tom, že na rozdiel od predchádzajúcich funkcií nie je nad premennou $x$, t.j. nie je nám jasné, čo pridať, ubrať, aby sme dostali aspoň niečo podobné tomu, čo je nižšie. V skutočnosti sa však tento výraz považuje za ešte jednoduchší ako ktorýkoľvek výraz z predchádzajúcich konštruktov, pretože túto funkciu možno prepísať nasledovne:
Teraz sa môžete opýtať: prečo sú tieto funkcie rovnaké? Skontrolujme to:
Ešte raz prepíšeme:
Zmeňme trochu náš výraz:
A keď to všetko vysvetlím svojim študentom, takmer vždy vyvstane rovnaký problém: s prvou funkciou je všetko viac-menej jasné, s druhou na to môžete prísť aj so šťastím alebo cvikom, ale aké alternatívne vedomie musíte mať, aby ste vyriešili tretí príklad? Vlastne sa neboj. Technika, ktorú sme použili pri výpočte poslednej primitívnej funkcie, sa nazýva „rozloženie funkcie na najjednoduchšiu“ a je to veľmi vážna technika a bude jej venovaná samostatná video lekcia.
Medzitým navrhujem vrátiť sa k tomu, čo sme práve študovali, teda k exponenciálnym funkciám a trochu skomplikovať úlohy ich obsahom.
Zložitejšie problémy na riešenie primitívnych exponenciálnych funkcií
Úloha č.1
Všimnite si nasledovné:
\[((2)^(x))\cdot ((5)^(x))=((\left(2\cdot 5 \right))^(x))=((10)^(x) )\]
Ak chcete nájsť primitívnu vlastnosť tohto výrazu, jednoducho použite štandardný vzorec $((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)$.
V našom prípade bude primitív vyzerať takto:
Samozrejme, na pozadí konštrukcie, ktorú sme práve riešili, táto vyzerá jednoduchšie.
Úloha č. 2
Opäť je ľahké vidieť, že túto funkciu je ľahké rozdeliť na dva samostatné pojmy – dva samostatné zlomky. Poďme prepísať:
Zostáva nájsť primitívny derivát každého z týchto výrazov podľa vyššie uvedeného vzorca:
Napriek zjavnej väčšej zložitosti exponenciálnych funkcií v porovnaní s mocninnými funkciami sa celkové množstvo výpočtov a výpočtov ukázalo oveľa jednoduchšie.
Samozrejme, pre znalých študentov sa to, čím sme sa práve zaoberali (najmä na pozadí toho, čím sme sa zaoberali predtým), môže zdať elementárnymi výrazmi. Pri výbere týchto dvoch úloh do dnešného videonávodu som si však nedal za cieľ povedať vám ďalší zložitý a zložitý trik – chcel som vám len ukázať, že by ste sa nemali báť použiť štandardné algebrické triky na transformáciu pôvodných funkcií. .
Pomocou "tajnej" techniky
Na záver by som rád rozobral ďalšiu zaujímavú techniku, ktorá na jednej strane presahuje to, čo sme dnes hlavne rozoberali, no na druhej strane nie je po prvé nijako zložitá, t.j. zvládnu ju aj začínajúci študenti a po druhé, pomerne často sa vyskytuje pri všelijakej kontrole a samostatnej práci, t.j. Vedieť to bude veľmi užitočné popri znalosti tabuľky primitív.
Úloha č.1
Je zrejmé, že máme niečo veľmi podobné výkonová funkcia. Ako máme v tomto prípade postupovať? Zamyslime sa nad tým: $x-5$ sa od $x$ až tak nelíši – len pridaných $-5$. Napíšme to takto:
\[((x)^(4))\to \frac(((x)^(5)))(5)\]
\[((\left(\frac(((x)^(5)))(5) \right))^(\prime ))=\frac(5\cdot ((x)^(4))) (5)=((x)^(4))\]
Skúsme nájsť deriváciu $((\left(x-5 \right))^(5))$:
\[((\left(((\left(x-5 \right))^(5)) \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right)) ^(4))\cdot ((\left(x-5 \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right))^(4))\]
To znamená:
\[((\left(x-5 \right))^(4))=((\left(\frac(((\left(x-5 \right))^(5)))(5) \ vpravo))^(\prime ))\]
V tabuľke takáto hodnota nie je, takže tento vzorec sme teraz odvodili sami pomocou štandardného priraďovacieho vzorca pre mocninovú funkciu. Napíšme odpoveď takto:
Úloha č. 2
Mnohým študentom, ktorí sa pozerajú na prvé riešenie, sa môže zdať, že všetko je veľmi jednoduché: stačí nahradiť $x$ v mocninovej funkcii lineárnym výrazom a všetko zapadne na svoje miesto. Bohužiaľ, všetko nie je také jednoduché a teraz to uvidíme.
Analogicky s prvým výrazom píšeme nasledovné:
\[((x)^(9))\to \frac(((x)^(10)))(10)\]
\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=10\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\cdot ((\left(4-3x \right))^(\prime ))=\]
\[=10\cbodka ((\ľavá(4-3x \vpravo))^(9))\cbodka \ľavá(-3 \pravá)=-30\cbodka ((\ľavá(4-3x \pravá)) ^(9))\]
Keď sa vrátime k našej derivácii, môžeme napísať:
\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=-30\cdot ((\left(4-3x \right) )^(9))\]
\[((\left(4-3x \right))^(9))=((\left(\frac(((\left(4-3x \right))^(10)))(-30) \right))^(\prime ))\]
Odtiaľto hneď nasleduje:
Nuansy riešenia
Poznámka: ak sa minule v podstate nič nezmenilo, v druhom prípade sa namiesto -10 $ objavilo $ -30 $. Aký je rozdiel medzi -10 $ a -30 $? Samozrejme, faktorom -3 $. Otázka: odkiaľ to prišlo? Pri bližšom pohľade môžete vidieť, že to bolo vzaté ako výsledok výpočtu derivácie komplexnej funkcie – koeficient, ktorý bol $x$, sa objaví v priradenej funkcii nižšie. Toto je veľmi dôležité pravidlo, ktorý som pôvodne vôbec neplánoval rozoberať v dnešnom videonávode, no bez neho by bola prezentácia tabuľkových primitív neúplná.
Tak si to zopakujme. Nech je naša hlavná silová funkcia:
\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]
A teraz namiesto $x$ nahraďme výraz $kx+b$. čo sa stane potom? Potrebujeme nájsť nasledovné:
\[((\left(kx+b \right))^(n))\to \frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+ 1 \vpravo)\cdot k)\]
Na základe čoho to tvrdíme? Veľmi jednoduché. Poďme nájsť derivát konštrukcie napísanej vyššie:
\[((\left(\frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+1 \right)\cdot k) \right))^( \prime ))=\frac(1)(\left(n+1 \right)\cdot k)\cdot \left(n+1 \right)\cdot ((\left(kx+b \right))^ (n))\cdot k=((\left(kx+b \right))^(n))\]
Toto je rovnaký výraz ako pôvodne. Tento vzorec je teda tiež správny a možno ho použiť na doplnenie tabuľky priradení, ale je lepšie si zapamätať celú tabuľku.
Závery z „tajomstva: recepcia:
- Obe funkcie, o ktorých sme práve uvažovali, sa v skutočnosti otvorením stupňov dajú zredukovať na primitívne prvky uvedené v tabuľke, ale ak sa viac-menej nejako vyrovnáme so štvrtým stupňom, potom by som deviaty stupeň nerobil vôbec. sa odvážil odhaliť.
- Ak by sme otvorili stupne, potom by sme dostali taký objem výpočtov, že jednoduchá úloha by nás trvalo neadekvátne veľké množstvočas.
- Preto takéto úlohy, vo vnútri ktorých sú lineárne výrazy, netreba riešiť „naprázdno“. Akonáhle sa stretnete s primitívom, ktorý sa od toho v tabuľke líši iba prítomnosťou výrazu $kx+b$ vo vnútri, okamžite si zapamätajte vzorec napísaný vyššie, dosaďte ho do svojho tabuľkového priradení a všetko dopadne oveľa lepšie rýchlejšie a jednoduchšie.
Prirodzene, vzhľadom na zložitosť a závažnosť tejto techniky sa k jej zváženiu v budúcich video tutoriáloch budeme opakovane vracať, ale pre dnešok mám všetko. Dúfam, že táto lekcia skutočne pomôže tým študentom, ktorí chcú porozumieť primitívnym derivátom a integrácii.
Hlavné integrály by mal poznať každý študent
Uvedené integrály sú základom, základom základov. Tieto vzorce si, samozrejme, treba pamätať. Pri výpočte zložitejších integrálov ich budete musieť neustále používať.
Venujte zvláštnu pozornosť vzorcom (5), (7), (9), (12), (13), (17) a (19). Pri integrácii nezabudnite do odpovede pridať ľubovoľnú konštantu C!
Integrál konštanty
∫ A d x = A x + C (1)Integrácia funkcie napájania
V skutočnosti by sme sa mohli obmedziť na vzorce (5) a (7), ale ostatné integrály z tejto skupiny sú také bežné, že stojí za to venovať im trochu pozornosti.
∫ x d x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 d x = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x d x = 2 x + C (4)
∫ 1 x d x = log | x | +C(5)
∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C (6)
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) (7)
Integrály exponenciálnej funkcie a hyperbolických funkcií
Samozrejme, vzorec (8) (možno najpohodlnejší na zapamätanie) možno považovať za špeciálny prípad vzorca (9). Vzorce (10) a (11) pre integrály hyperbolického sínusu a hyperbolického kosínusu sa dajú ľahko odvodiť zo vzorca (8), ale je lepšie si tieto vzťahy zapamätať.
∫ e x d x = e x + C (8)
∫ a x d x = a x log a + C (a > 0, a ≠ 1) (9)
∫ s h x d x = c h x + C (10)
∫ c h x d x = s h x + C (11)
Základné integrály goniometrických funkcií
Chyba, ktorej sa žiaci často dopúšťajú: zamieňajú si znamienka vo vzorcoch (12) a (13). Pamätajúc si, že derivácia sínusu sa rovná kosínusu, z nejakého dôvodu mnohí ľudia veria, že integrál funkcie sinx sa rovná cosx. To nie je pravda! Integrál sínusu je "mínus kosínus", ale integrál cosx je "len sínus":
∫ sin x d x = − cos x + C (12)
∫ cos x d x = hriech x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C (15)
Integrály redukujúce na inverzné goniometrické funkcie
Vzorec (16), ktorý vedie k arkustangensu, je prirodzene špeciálny prípad vzorca (17) pre a=1. Podobne (18) je špeciálny prípad (19).
∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C (18)
∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0) (19)
Zložitejšie integrály
Tieto vzorce je tiež žiaduce zapamätať si. Používajú sa tiež pomerne často a ich výstup je dosť únavný.
∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x2 + a2 | +C(20)
∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | +C(21)
∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0) (22)
∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x2 + a2 | + C (a > 0) (23)
∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0) (24)
Všeobecné pravidlá integrácie
1) Integrál súčtu dvoch funkcií sa rovná súčtu zodpovedajúcich integrálov: ∫ (f (x) + g (x)) d x = ∫ f (x) d x + ∫ g (x) d x (25)
2) Integrál rozdielu dvoch funkcií sa rovná rozdielu zodpovedajúcich integrálov: ∫ (f (x) − g (x)) d x = ∫ f (x) d x − ∫ g (x) d x (26)
3) Konštantu možno vyňať zo znamienka integrálu: ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)
Je ľahké vidieť, že vlastnosť (26) je jednoducho kombináciou vlastností (25) a (27).
4) Integrál komplexnej funkcie, ak vnútorná funkcia je lineárny: ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)
Tu F(x) je primitívna derivácia funkcie f(x). Upozorňujeme, že tento vzorec funguje iba vtedy, keď je vnútorná funkcia Ax + B.
Dôležité: neexistuje univerzálny vzorec pre integrál súčinu dvoch funkcií, ako aj pre integrál zlomku:
∫ f (x) g (x) d x = ? ∫ f (x) g (x) d x = ? (tridsať)
To samozrejme neznamená, že zlomok alebo produkt nemožno integrovať. Proste vždy, keď uvidíte integrál typu (30), musíte vymyslieť spôsob, ako sa s ním „pobiť“. V niektorých prípadoch vám pomôže integrácia po častiach, niekde budete musieť urobiť zmenu premennej a niekedy môžu pomôcť aj „školské“ vzorce algebry či trigonometrie.
Jednoduchý príklad na výpočet neurčitého integrálu
Príklad 1. Nájdite integrál: ∫ (3 x 2 + 2 sin x − 7 e x + 12) d xPoužívame vzorce (25) a (26) (integrál súčtu alebo rozdielu funkcií sa rovná súčtu alebo rozdielu príslušných integrálov. Dostaneme: ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 sin x d x − ∫ 7 e x d x + ∫ 12 d x
Pripomeňme, že konštanta môže byť vyňatá zo znamienka integrálu (vzorec (27)). Výraz sa prevedie do formy
3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ sin x d x − 7 ∫ e x d x + 12 ∫ 1 d x
Teraz použijeme tabuľku základných integrálov. Budeme musieť použiť vzorce (3), (12), (8) a (1). Integrujme mocninnú funkciu, sínus, exponent a konštantu 1. Nezabudnite na koniec pridať ľubovoľnú konštantu C:
3 x 3 3 - 2 cos x - 7 x + 12 x + C
Po elementárnych transformáciách dostaneme konečnú odpoveď:
X 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C
Otestujte sa s diferenciáciou: zoberte deriváciu výslednej funkcie a uistite sa, že sa rovná pôvodnému integrandu.
Súhrnná tabuľka integrálov
| ∫ Ad x = A x + C |
| ∫ x d x = x 2 2 + C |
| ∫ x 2 d x = x 3 3 + C |
| ∫ 1 x d x = 2 x + C |
| ∫ 1 x d x = log | x | + C |
| ∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C |
| ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) |
| ∫ e x d x = e x + C |
| ∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1) |
| ∫ s h x d x = c h x + C |
| ∫ c h x d x = s h x + C |
| ∫ sin x d x = − cos x + C |
| ∫ cos x d x = sin x + C |
| ∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C |
| ∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C |
| ∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C |
| ∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) |
| ∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C |
| ∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0) |
| ∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x2 + a2 | + C |
| ∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | + C |
| ∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0) |
| ∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x2 + a2 | + C (a > 0) |
| ∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0) |
Stiahnite si tabuľku integrálov (časť II) z tohto odkazu
Ak študujete na vysokej škole, ak máte problémy s vyššou matematikou (matematická analýza, lineárna algebra, teória pravdepodobnosti, štatistika), ak potrebujete služby kvalifikovaného učiteľa, prejdite na stránku tútora vyššej matematiky. Poďme spoločne vyriešiť vaše problémy!
Tiež by vás mohlo zaujímať
V škole mnohí nedokážu riešiť integrály alebo s nimi majú nejaké ťažkosti. Tento článok vám pomôže prísť na to, keďže v ňom nájdete všetko. tabuľky integrálov.
Integrálne je jedným z hlavných výpočtov a konceptov v počte. Jeho vzhľad vznikol z dvoch dôvodov:
Prvý cieľ- obnoviť funkciu pomocou jej derivátu.
Druhý gól- výpočet plochy umiestnenej vo vzdialenosti od grafu k funkcii f (x) na priamke, kde a je väčšie alebo rovné x je väčšie alebo rovné b a os x.
Tieto ciele nás vedú k určitým a neurčitým integrálom. Spojenie medzi týmito integrálmi spočíva v hľadaní vlastností a výpočte. Ale všetko plynie a všetko sa časom mení, našli sa nové riešenia, odkryli sa dodatky, čím sa do iných foriem integrácie dostali určité a neurčité integrály.
Čo sa stalo neurčitý integrál pýtaš sa. Toto je primitívna funkcia F(x) jednej premennej x v intervale a väčšom ako x väčšom ako b. sa nazýva ľubovoľná funkcia F(x), v danom intervale pre ľubovoľný zápis x sa derivácia rovná F(x). Je jasné, že F(x) je primitívna derivácia pre f(x) v intervale a väčšom ako x väčšom ako b. Preto F1(x) = F(x) + C. C - je ľubovoľná konštanta a primitívna derivácia pre f(x) v danom intervale. Toto vyhlásenie reverzibilne, pre funkciu f(x) - 2 sa primitívy líšia len konštantou. Na základe vety o integrálnom počte sa ukazuje, že každá spojitá v intervale a
Určitý integrál sa chápe ako limita v celočíselných súčtoch, alebo v situácii danej funkcie f(x) definovanej na niektorom riadku (a, b), na ktorom je primitívum F, čo znamená rozdiel jeho výrazov na koncoch tohto riadku. F(b) - F(a).
Pre prehľadnosť, štúdium tejto témy navrhujem pozrieť si video. Podrobne vysvetľuje a ukazuje, ako nájsť integrály.
Každá tabuľka integrálov je sama o sebe veľmi užitočná, pretože pomáha pri riešení určitého druhu integrálu.
Všetky možné typy písacie potreby a ďalšie. Môžete si kúpiť prostredníctvom internetového obchodu v-kant.ru. Alebo jednoducho kliknite na odkaz Papiernictvo Samara (http://v-kant.ru) kvalita a ceny vás milo prekvapia.
Uvádzame integrály elementárnych funkcií, ktoré sa niekedy nazývajú tabuľkové:
Ktorýkoľvek z vyššie uvedených vzorcov môže byť dokázaný deriváciou pravej strany (výsledkom je, že sa získa integrand).
Integračné metódy
Pozrime sa na niektoré základné metódy integrácie. Tie obsahujú:
1. Metóda rozkladu(priama integrácia).
Táto metóda je založená na priamej aplikácii tabuľkových integrálov, ako aj na aplikácii vlastností 4 a 5 neurčitého integrálu (t. j. vyňatie konštantného faktora zo zátvorky a/alebo reprezentovanie integrandu ako súčet funkcií - rozšírenie integrandu do pojmov).
Príklad 1 Napríklad na nájdenie (dx/x 4) môžete priamo použiť tabuľkový integrál pre x n dx. Skutočne, (dx/x 4) = x -4 dx=x -3 /(-3) +C= -1/3x 3 +C.
Pozrime sa na niekoľko ďalších príkladov.
Príklad 2 Na nájdenie použijeme rovnaký integrál:
Príklad 3 Ak chcete nájsť, musíte vziať
Príklad 4 Aby sme našli, reprezentujeme integrand vo forme 
a použite tabuľkový integrál pre exponenciálnu funkciu:
Zvážte použitie bracketingu konštantného faktora.
Príklad 5
Nájdime si napr 
. Vzhľadom na to, dostávame
Príklad 6 Poďme nájsť. Pretože 
, používame tabuľkový integrál 
Získajte
V nasledujúcich dvoch príkladoch môžete použiť aj zátvorky a integrály tabuľky:
Príklad 7
(používame a 
);
Príklad 8
(používame 
A 
).
Pozrime sa na zložitejšie príklady, ktoré používajú súčtový integrál.
Príklad 9 Napríklad nájdime 
. Na aplikáciu metódy expanzie v čitateli použijeme vzorec súčtovej kocky a potom výsledný polynóm vydelíme členom menovateľom.
=((8x 3/2 + 12x+ 6x 1/2 + 1)/(x 3/2))dx=(8 + 12x -1/2 + 6/x+x -3/2)dx= 8 dx+ 12x -1/2 dx+ + 6dx/x+x -3/2 dx= 
Treba poznamenať, že na konci riešenia je napísaná jedna spoločná konštanta C (a nie samostatné pri integrácii každého člena). V budúcnosti sa tiež navrhuje vynechať z integrácie jednotlivých členov v procese riešenia konštanty, pokiaľ výraz obsahuje aspoň jeden neurčitý integrál (jedna konštantu napíšeme na koniec riešenia).
Príklad 10 Poďme nájsť 
. Aby sme tento problém vyriešili, rozložíme čitateľa na faktor (potom môžeme menovateľa zmenšiť).
Príklad 11. Poďme nájsť. Tu možno použiť trigonometrické identity.
Niekedy, aby ste rozložili výraz na pojmy, musíte použiť zložitejšie techniky.
Príklad 12. Poďme nájsť 
. V integrande vyberieme celočíselnú časť zlomku 
. Potom
Príklad 13 Poďme nájsť
2. Variabilná náhradná metóda (substitučná metóda)
Metóda je založená na nasledujúcom vzorci: f(x)dx=f((t))`(t)dt, kde x =(t) je funkcia diferencovateľná na uvažovanom intervale.
Dôkaz. Nájdite derivácie vzhľadom na premennú t z ľavej a pravej časti vzorca.
Všimnite si, že na ľavej strane je komplexná funkcia, ktorej stredný argument je x = (t). Preto, aby sme ho diferencovali vzhľadom na t, najprv derivujeme integrál vzhľadom na x a potom zoberieme deriváciu stredného argumentu vzhľadom na t.
( f(x)dx)` t = ( f(x)dx)` x *x` t = f(x) `(t)
Derivát pravej strany:
(f((t))`(t)dt)` t =f((t))`(t) =f(x)`(t)
Keďže tieto derivácie sú rovnaké, ako dôsledok Lagrangeovej vety, ľavá a pravá časť dokazovaného vzorca sa líšia o nejakú konštantu. Keďže samotné neurčité integrály sú definované až do neurčitého konštantného člena, túto konštantu možno v konečnom zápise vynechať. Osvedčené.
Úspešná zmena premennej nám umožňuje pôvodný integrál zjednodušiť a v najjednoduchších prípadoch zredukovať na tabuľkový. Pri aplikácii tejto metódy sa rozlišujú metódy lineárnej a nelineárnej substitúcie.
a) Lineárna substitučná metóda pozrime sa na príklad.
Príklad 1
. Lett = 1 – 2x, teda
dx=d(½-½t) = -½dt
Je potrebné poznamenať, že nová premenná nemusí byť explicitne zapísaná. V takýchto prípadoch sa hovorí o transformácii funkcie pod znamienkom diferenciálu, alebo o zavedení konštánt a premenných pod znamienkom diferenciálu, t.j. O implicitná premenná substitúcia.
Príklad 2 Napríklad nájdime cos(3x + 2)dx. Podľa vlastností diferenciálu dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2), potomcos(3x + 2)dx =(1/3)cos(3x + 2)d (3x + 2) = (1/3)cos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sin(3x + 2) +C.
V oboch uvažovaných príkladoch bola na nájdenie integrálov použitá lineárna substitúcia t=kx+b(k0).
Vo všeobecnom prípade platí nasledujúca veta.
Veta o lineárnej substitúcii. Nech F(x) je nejaká primitívna derivácia funkcie f(x). Potomf(kx+b)dx= (1/k)F(kx+b) +C, kde k a b sú nejaké konštanty,k0.
Dôkaz.
Podľa definície integrálu f(kx+b)d(kx+b) =F(kx+b) +C. Hod(kx+b)= (kx+b)`dx=kdx. Vyberieme konštantný faktor k pre znamienko integrálu: kf(kx+b)dx=F(kx+b) +C. Teraz môžeme rozdeliť ľavú a pravú časť rovnosti k a získať tvrdenie, ktoré sa má dokázať, až po zápis konštantného člena.
Táto veta hovorí, že ak je výraz (kx+b) nahradený v definícii integrálu f(x)dx= F(x) + C, potom to povedie k objaveniu sa ďalšieho faktora 1/k vpredu. primitívneho derivátu.
Pomocou dokázanej vety riešime nasledujúce príklady.
Príklad 3
Poďme nájsť 
. Tu kx+b= 3 –x, teda k= -1,b= 3. Potom
Príklad 4
Poďme nájsť. Tu kx+b= 4x+ 3, t.j. k= 4,b= 3. Potom
Príklad 5
Poďme nájsť 
. Tu kx+b= -2x+ 7, t.j. k= -2,b= 7. Potom
.
Príklad 6 Poďme nájsť 
. Tu kx+b= 2x+ 0, t.j. k= 2,b= 0.
.
Získaný výsledok porovnajme s príkladom 8, ktorý bol riešený rozkladovou metódou. Vyriešením rovnakého problému inou metódou sme dostali odpoveď 
. Porovnajme výsledky: Tieto výrazy sa teda navzájom líšia konštantným pojmom 
, t.j. prijaté odpovede si navzájom neodporujú.
Príklad 7 Poďme nájsť 
. V menovateli vyberieme celý štvorec.
V niektorých prípadoch zmena premennej neredukuje integrál priamo na tabuľkový, ale môže zjednodušiť riešenie tým, že v ďalšom kroku je možné použiť metódu rozkladu.
Príklad 8 Napríklad nájdime 
. Nahraďte t=x+ 2, potom dt=d(x+ 2) =dx. Potom
,
kde C \u003d C 1 - 6 (pri nahradení výrazu (x + 2) namiesto t namiesto prvých dvoch výrazov dostaneme ½ x 2 - 2 x - 6).
Príklad 9 Poďme nájsť 
. Nech t= 2x+ 1, potom dt= 2dx;dx= ½dt;x= (t– 1)/2.
Namiesto t dosadíme výraz (2x + 1), otvoríme zátvorky a dáme podobné.
Všimnite si, že v procese transformácií sme prešli k inému konštantnému členu, pretože skupinu konštantných členov v procese transformácií možno vynechať.
b) Metóda nelineárnej substitúcie pozrime sa na príklad.
Príklad 1
. Nech t= -x2. Ďalej je možné vyjadriť x pomocou t, potom nájsť výraz pre dx a implementovať zmenu premennej v požadovanom integráli. Ale v tomto prípade je jednoduchšie urobiť niečo iné. Nájdite dt=d(-x 2) = -2xdx. Všimnite si, že výraz xdx je faktorom integrandu požadovaného integrálu. Vyjadríme ju z výslednej rovnosti xdx= - ½dt. Potom
V skoršom materiáli bola zvažovaná otázka hľadania derivácie a boli ukázané jej rôzne aplikácie: výpočet sklonu dotyčnice ku grafu, riešenie optimalizačných problémov, štúdium funkcií pre monotónnosť a extrémy. $\newcommand(\tg)(\mathop(\mathrm(tg))\nolimits)$ $\newcommand(\ctg)(\mathop(\mathrm(ctg))\nolimits)$ $\newcommand(\arctg)( \mathop(\mathrm(arctg))\nolimits)$ $\newcommand(\arcctg)(\mathop(\mathrm(arctg))\nolimits)$
Obrázok 1.
Uvažovalo sa aj o probléme nájdenia okamžitej rýchlosti $v(t)$ pomocou derivácie vzhľadom na predtým známu prejdenú vzdialenosť, vyjadrenú funkciou $s(t)$.
Obrázok 2
Inverzný problém je tiež veľmi častý, keď potrebujete nájsť cestu $s(t)$ prejdenú bodom v čase $t$, pričom poznáte rýchlosť bodu $v(t)$. Ak si pamätáte, okamžitú rýchlosť $v(t)$ nájdeme ako deriváciu funkcie cesty $s(t)$: $v(t)=s’(t)$. To znamená, že na vyriešenie inverzného problému, teda na výpočet dráhy, musíte nájsť funkciu, ktorej derivácia sa bude rovnať funkcii rýchlosti. Ale vieme, že deriváciou cesty je rýchlosť, teda: $s'(t) = v(t)$. Rýchlosť sa rovná súčinu zrýchlenia a času: $v=at$. Je ľahké určiť, že požadovaná funkcia cesty bude mať tvar: $s(t) = \frac(at^2)(2)$. Ale toto nie je úplne úplné riešenie. Kompletné riešenie bude vyzerať takto: $s(t)= \frac(at^2)(2)+C$, kde $C$ je nejaká konštanta. Prečo je to tak, o tom bude reč neskôr. Zatiaľ si skontrolujeme správnosť nájdeného riešenia: $s"(t)=\left(\frac(at^2)(2)+C\right)"=2\frac(at)(2)+ 0=at=v(t)$.
Stojí za zmienku, že nájdenie cesty rýchlosťou je fyzikálnym významom primitívnej funkcie.
Výsledná funkcia $s(t)$ sa nazýva primitívna funkcia $v(t)$. Celkom zaujímavé a nezvyčajné meno, však? Je v tom veľký význam, ktorý vysvetľuje podstatu tohto pojmu a vedie k jeho pochopeniu. Môžete vidieť, že obsahuje dve slová „prvý“ a „obrázok“. Hovoria sami za seba. To znamená, že toto je funkcia, ktorá je originálom pre deriváciu, ktorú máme. A touto deriváciou hľadáme funkciu, ktorá bola na začiatku, bol „prvý“, „prvý obrázok“, teda primitívna. Niekedy sa nazýva aj primitívna funkcia alebo anti-derivát.
Ako už vieme, proces hľadania derivácie sa nazýva diferenciácia. A proces hľadania primitívnej zložky sa nazýva integrácia. Integračná operácia je inverznou operáciou diferenciácie. Opak je tiež pravdou.
Definícia. Primitívna derivácia funkcie $f(x)$ na nejakom intervale je funkcia $F(x)$, ktorej derivácia sa rovná tejto funkcii $f(x)$ pre všetky $x$ zo zadaného intervalu: $F'( x) = f (x) $.
Niekto môže mať otázku: odkiaľ sa v definícii vzali $F(x)$ a $f(x)$, ak pôvodne išlo o $s(t)$ a $v(t)$. Faktom je, že $s(t)$ a $v(t)$ sú špeciálne prípady označovania funkcií, ktoré majú v tomto prípade špecifický význam, teda sú funkciou času a funkciou rýchlosti. To isté platí pre premennú $t$ – predstavuje čas. A $f$ a $x$ sú tradičným variantom všeobecného označenia funkcie a premennej. Osobitnú pozornosť je potrebné venovať zápisu primitívneho prvku $F(x)$. Po prvé, $F$ je kapitál. Primitíva sú označené veľkými písmenami. Po druhé, písmená sú rovnaké: $F$ a $f$. To znamená, že pre funkciu $g(x)$ bude primitívna derivácia označená $G(x)$, pre $z(x)$ - $Z(x)$. Bez ohľadu na zápis sú pravidlá na nájdenie primitívnej funkcie vždy rovnaké.
Pozrime sa na pár príkladov.
Príklad 1 Dokážte, že funkcia $F(x)=\frac(1)(5)\sin5x$ je primitívnym derivátom funkcie $f(x)=\cos5x$.
Aby sme to dokázali, používame definíciu a presnejšie tie skutočnosť, že $F'(x)=f(x)$, a nájdite deriváciu funkcie $F(x)$: $F'(x)=(\frac(1)(5) \sin5x)' =\frac (1)(5)\cdot 5\cos5x= \cos5x$. Takže $F(x)=\frac(1)(5) \sin5x$ je primitívna derivácia $f(x)=\cos5x$. Q.E.D.
Príklad 2 Zistite, ktorým funkciám zodpovedajú nasledujúce primitívne funkcie: a) $F(z)=\tg z$; b) $G(l) = \sin l$.
Aby sme našli požadované funkcie, vypočítame ich derivácie:
a) $F'(z)=(\tg z)'=\frac(1)(\cos^2 z)$;
b) $G(l) = (\sin l)' = \cos l$.
Príklad 3 Aký bude primitívny prvok pre $f(x)=0$?
Použime definíciu. Zamyslime sa nad tým, ktorá funkcia môže mať deriváciu rovnajúcu sa $0$. Keď si zapamätáme tabuľku derivácií, dostaneme, že každá konštanta bude mať takúto deriváciu. Dostaneme, že primitívna funkcia, ktorú hľadáme: $F(x)= C$.
Výsledné riešenie je možné vysvetliť geometricky a fyzikálne. Geometricky to znamená, že dotyčnica ku grafu $y=F(x)$ je v každom bode tohto grafu vodorovná, a preto sa zhoduje s osou $Ox$. Fyzikálne vysvetlené skutočnosťou, že bod s rýchlosťou rovnajúcou sa nule zostáva na svojom mieste, to znamená, že dráha, ktorú prejde, je nezmenená. Na základe toho môžeme sformulovať nasledujúcu vetu.
Veta. (Znak stálosti funkcie). Ak $F'(x) = 0$ na nejakom intervale, potom funkcia $F(x)$ je na tomto intervale konštantná.
Príklad 4 Určte primitívne funkcie, ktorých funkciami sú funkcie a) $F_1 = \frac(x^7)(7)$; b) $F_2 = \frac(x^7)(7) – 3 $; c) $F_3 = \frac(x^7)(7) + 9$; d) $F_4 = \frac(x^7)(7) + a$, kde $a$ je nejaké číslo.
Použitím definície primitívnej funkcie sme dospeli k záveru, že na vyriešenie tejto úlohy potrebujeme vypočítať derivácie priradených funkcií, ktoré nám boli dané. Pri výpočte nezabúdajte, že derivácia konštanty, teda ľubovoľného čísla, sa rovná nule.
a) $F_1 =(\frac(x^7)(7))"= 7 \cdot \frac(x^6)(7) = x^6$;
b) $F_2 =\left(\frac(x^7)(7) – 3\right)"=7 \cdot \frac(x^6)(7)= x^6$;
c) $F_3 =(\frac(x^7)(7) + 9)’= x^6$;
d) $F_4 =(\frac(x^7)(7) + a)’ = x^6$.
čo vidíme? Niekoľko rôznych funkcií je priradením rovnakej funkcie. To znamená, že každá funkcia má nekonečne veľa primitív a tie majú tvar $F(x) + C$, kde $C$ je ľubovoľná konštanta. To znamená, že operácia integrácie je viachodnotová, na rozdiel od operácie diferenciácie. Na základe toho formulujeme vetu popisujúcu hlavnú vlastnosť primitívnych derivátov.
Veta. (Hlavná vlastnosť primitívov). Nech sú funkcie $F_1$ a $F_2$ primitívne funkcie$f(x)$ na nejakom intervale. Potom pre všetky hodnoty z tohto intervalu platí nasledujúca rovnosť: $F_2=F_1+C$, kde $C$ je nejaká konštanta.
Fakt existencie nekonečnej množiny primitívnych derivátov možno interpretovať geometricky. Pomocou paralelného prekladu pozdĺž osi $Oy$ je možné získať grafy akýchkoľvek dvoch primitívnych derivátov pre $f(x)$ jeden od druhého. Toto je geometrický význam primitívny.
Je veľmi dôležité venovať pozornosť tomu, že voľbou konštanty $C$ je možné dosiahnuť, aby graf primitívnej derivácie prechádzal určitým bodom.
Obrázok 3
Príklad 5 Nájdite primitívnu funkciu pre funkciu $f(x)=\frac(x^2)(3)+1$, ktorej graf prechádza bodom $(3; 1)$.
Najprv nájdime všetky primitívne deriváty pre $f(x)$: $F(x)=\frac(x^3)(9)+x + C$.
Ďalej nájdeme číslo C, pre ktoré bude graf $y=\frac(x^3)(9)+x + C$ prechádzať bodom $(3; 1)$. Aby sme to urobili, dosadíme súradnice bodu do rovnice grafu a vyriešime to vzhľadom na $C$:
$1= \frac(3^3)(9)+3 + C$, $C=-5$.
Získali sme graf $y=\frac(x^3)(9)+x-5$, ktorý zodpovedá primitívnej funkcii $F(x)=\frac(x^3)(9)+x-5$.
Tabuľka primitívnych derivátov
Tabuľku vzorcov na hľadanie primitívnych derivátov možno zostaviť pomocou vzorcov na hľadanie derivátov.
| Funkcie | primitívne deriváty |
| $0$ | $C$ |
| $1$ | $x+C$ |
| $a\v R$ | $ax+C$ |
| $x^n, n\ne1$ | $\displaystyle \frac(x^(n+1))(n+1)+C$ |
| $\displaystyle \frac(1)(x)$ | $\ln|x|+C$ |
| $\sinx$ | $-\cosx+C$ |
| $\cosx$ | $\sinx+C$ |
| $\displaystyle \frac(1)(\sin^2 x)$ | $-\ctgx+C$ |
| $\displaystyle \frac(1)(\cos^2 x)$ | $\tgx+C$ |
| $e^x$ | $e^x+C$ |
| $a^x, a>0, a\ne1$ | $\displaystyle \frac(a^x)(\ln a) +C$ |
| $\displaystyle \frac(1)(\sqrt(1-x^2))$ | $\arcsin x+C$ |
| $\displaystyle -\frac(1)(\sqrt(1-x^2))$ | $\arccos x+C$ |
| $\displaystyle \frac(1)(1+x^2)$ | $\arctgx+C$ |
| $\displaystyle -\frac(1)(1+x^2)$ | $\arctg x+C$ |
Správnosť tabuľky môžete skontrolovať nasledovne: pre každú skupinu primitívnych prvkov umiestnených v pravom stĺpci nájdite derivát, v dôsledku čoho sa získajú zodpovedajúce funkcie v ľavom stĺpci.
Niektoré pravidlá pre hľadanie primitívnych derivátov
Ako viete, mnohé funkcie majú viac komplexný pohľad ako tie, ktoré sú uvedené v tabuľke priradení, a môže to byť ľubovoľná kombinácia súčtov a súčinov funkcií z tejto tabuľky. A tu vyvstáva otázka, ako vypočítať primitívne deriváty podobných funkcií. Napríklad z tabuľky vieme, ako vypočítať primitívne deriváty $x^3$, $\sin x$ a $10$. Ale ako napríklad vypočítať primitívnu vlastnosť $x^3-10\sin x$? Pri pohľade do budúcnosti stojí za zmienku, že sa bude rovnať $\frac(x^4)(4)+10\cos x$.
1. Ak $F(x)$ je primitívny derivát pre $f(x)$, $G(x)$ je pre $g(x)$, potom pre $f(x)+g(x)$ je primitívny sa bude rovnať $ F(x)+G(x)$.
2. Ak je $F(x)$ primitívom pre $f(x)$ a $a$ je konštanta, potom pre $af(x)$ je primitívom $aF(x)$.
3. Ak pre $f(x)$ je primitívna derivácia $F(x)$, $a$ a $b$ sú konštanty, potom $\frac(1)(a) F(ax+b)$ je primitívna pre $f (ax+b)$.
Pomocou získaných pravidiel môžeme rozšíriť tabuľku primitív.
| Funkcie | primitívne deriváty |
| $(ax+b)^n, n\ne1, a\ne0$ | $\displaystyle \frac((ax+b)^n)(a(n+1)) +C$ |
| $\displaystyle \frac(1)(ax+b), a\ne0$ | $\displaystyle \frac(1)(a)\ln|ax+b|+C$ |
| $e^(ax+b), a\ne0$ | $\displaystyle \frac(1)(a) e^(ax+b)+C$ |
| $\sin(ax+b), a\ne0$ | $\displaystyle -\frac(1)(a)\cos(ax+b)+C$ |
| $\cos(ax+b), a\ne0$ | $\displaystyle \frac(1)(a)\sin(ax+b)+C$ |
Príklad 5 Nájsť primitívne deriváty pre:
a) $\displaystyle 4x^3+10x^7$;
b) $\displaystyle \frac(6)(x^5) -\frac(2)(x)$;
c) $\displaystyle 5\cos x+\sin(3x+15)$;
d) $\displaystyle \sqrt(x)-2\sqrt(x)$.
a) $4\frac (x^(3+1))(3+1)+10\frac(x^(7+1))(7+1)+C=x^4+\frac(5)( 4) x^8+C$;
b) $-\frac(3)(2x^4) -2\ln|x|+C$;
c) $5 \sin x - \frac(1)(3)\cos(3x + 15) + C$;
d) $\frac(2)(3)x\sqrt(x) - \frac(3)(2) x\sqrt(x) + C$.