Nájdite hodnotu výrazu pre rôzne racionálne hodnoty premennej x=2; 0; -3; -
Všimnite si, že bez ohľadu na to, aké číslo dosadíme namiesto premennej x, vždy môžete nájsť hodnotu tohto výrazu. Preto uvažujeme o exponenciálnej funkcii (y sa rovná 3 x mocnine) definovanej na množine racionálne čísla: .
Zostavme graf tejto funkcie vytvorením tabuľky jej hodnôt.
Narysujme hladkú čiaru prechádzajúcu týmito bodmi (obr. 1)
Pomocou grafu tejto funkcie zvážte jej vlastnosti:
3. Zvyšuje sa po celej oblasti definície.
- rozsah od nuly do plus nekonečna.
8. Funkcia je konvexná nadol.
Ak v jednom súradnicovom systéme zostavovať grafy funkcií; y=(y sa rovná dvom mocnine x, y sa rovná päť mocnine x, y sa rovná siedmim mocnine x), môžete vidieť, že majú rovnaké vlastnosti ako y=(y sa rovná tri mocnine x) ( .2), teda všetky funkcie tvaru y = (y sa rovná a mocnine x, pričom je väčšie ako jedna) budú mať takéto vlastnosti
Nakreslíme funkciu:
1. Zostavenie tabuľky jeho hodnôt.
Získané body označíme na súradnicovej rovine.
Narysujme hladkú čiaru prechádzajúcu týmito bodmi (obr. 3).
Pomocou grafu tejto funkcie naznačíme jej vlastnosti:
1. Definičný obor je množina všetkých reálnych čísel.
2. Nie je párne ani nepárne.
3. Znižuje sa v celej oblasti definície.
4. Nemá najväčšie ani najmenšie hodnoty.
5. Obmedzené zdola, ale nie obmedzené zhora.
6. Kontinuálne v celej oblasti definície.
7. rozsah hodnôt od nuly do plus nekonečna.
8. Funkcia je konvexná nadol.
Podobne, ak v jednom súradnicovom systéme zostavovať grafy funkcií; y=(y sa rovná jednej sekunde mocnine x, y sa rovná jednej pätine mocnine x, y sa rovná jednej sedmine mocnine x), môžete vidieť, že majú rovnaké vlastnosti ako y=(y sa rovná jednej tretine mocniny mocnina x). x) (obr. 4), teda všetky funkcie tvaru y \u003d (y sa rovná jednej delenej a na mocninu x, pričom je väčšia ako nula, ale menšia ako jedna) mať takéto vlastnosti
Zostrojme grafy funkcií v jednom súradnicovom systéme
to znamená, že grafy funkcií y=y= budú tiež symetrické (y sa rovná a mocnine x a y rovný jednej delené a na mocninu x) pre rovnakú hodnotu a.
Zhrnieme to, čo bolo povedané, uvedením definície exponenciálnej funkcie a uvedením jej hlavných vlastností:
Definícia: Funkcia tvaru y \u003d, kde (y sa rovná a mocnine x, kde a je kladné a odlišné od jednotky), sa nazýva exponenciálna funkcia.
Je potrebné si zapamätať rozdiely medzi exponenciálnou funkciou y= a mocninnou funkciou y=, a=2,3,4,…. sluchovo aj vizuálne. Exponenciálna funkcia X je titul a výkonová funkcia X je základ.
Príklad 1: Vyriešte rovnicu (tri na mocninu x sa rovná deviatim)
(y sa rovná tri mocnine x a y sa rovná deviatke) obr.7
Všimnite si, že majú jeden spoločný bod M (2; 9) (em so súradnicami dva; deväť), čo znamená, že úsečka bodu bude koreňom tejto rovnice. To znamená, že rovnica má jeden koreň x = 2.
Príklad 2: Vyriešte rovnicu
V jednom súradnicovom systéme zostrojíme dva grafy funkcie y \u003d (y sa rovná päť mocnine x a y sa rovná jednej dvadsaťpäťke) Obr.8. Grafy sa pretínajú v jednom bode T (-2; (te so súradnicami mínus dva; jedna dvadsiata pätina). Koreň rovnice je teda x \u003d -2 (číslo mínus dva).
Príklad 3: Vyriešte nerovnicu
V jednom súradnicovom systéme zostrojíme dva grafy funkcie y \u003d
(y sa rovná tri na mocninu x a y sa rovná dvadsiatim siedmim).
Obr.9 Graf funkcie sa nachádza nad grafom funkcie y=kedy
x Riešením nerovnosti je teda interval (od mínus nekonečna do troch)
Príklad 4: Vyriešte nerovnicu
V jednom súradnicovom systéme zostrojíme dva grafy funkcie y \u003d (y sa rovná jednej štvrtine mocniny x a y sa rovná šestnástim). (obr. 10). Grafy sa pretínajú v jednom bode K (-2;16). To znamená, že riešením nerovnosti je interval (-2; (od mínus dva do plus nekonečno), pretože graf funkcie y \u003d je umiestnený pod grafom funkcie na x
Naša úvaha nám umožňuje overiť platnosť nasledujúcich teorémov:
Terem 1: Ak je pravda vtedy a len vtedy, ak m=n.
Veta 2: Ak je pravda vtedy a len vtedy, potom nerovnosť je pravdivá vtedy a len vtedy (obr. *)
Veta 4: Ak je pravda vtedy a len vtedy (obr.**), nerovnosť je pravdivá vtedy a len vtedy Veta 3: Ak je pravdivá vtedy a len vtedy, ak m=n.
Príklad 5: Nakreslite funkciu y=
Funkciu upravíme aplikáciou vlastnosti stupňa y=
Postavme si dodatočný súradnicový systém a do nového súradnicového systému nakreslíme funkciu y = (y sa rovná dvom mocnine x) Obr.11.
Príklad 6: Vyriešte rovnicu
V jednom súradnicovom systéme zostrojíme dva grafy funkcie y \u003d
(Y sa rovná siedmim mocnine x a Y sa rovná ôsmim mínus x) Obr.12.
Grafy sa pretínajú v jednom bode E (1; (e so súradnicami jedna; sedem). Koreňom rovnice je teda x = 1 (x sa rovná jednej).
Príklad 7: Vyriešte nerovnicu
V jednom súradnicovom systéme zostrojíme dva grafy funkcie y \u003d
(Y sa rovná jednej štvrtine mocniny x a Y sa rovná x plus päť). Graf funkcie y= sa nachádza pod grafom funkcie y=x+5 at, riešením nerovnosti je interval x (od mínus jedna do plus nekonečno).
Najprv predstavíme definíciu exponenciálnej funkcie.
Exponenciálna funkcia$f\left(x\right)=a^x$, kde $a >1$.
Predstavme si vlastnosti exponenciálnej funkcie pre $a >1$.
\ \[bez koreňov\] \
Priesečník so súradnicovými osami. Funkcia nepretína os $Ox$, ale pretína os $Oy$ v bode $(0,1)$.
$f""\left(x\right)=(\left(a^xlna\right))"=a^x(ln)^2a$
\ \[bez koreňov\] \
Graf (obr. 1).
Obrázok 1. Graf funkcie $f\left(x\right)=a^x,\ pre \ a >1$.
Exponenciálna funkcia $f\left(x\right)=a^x$, kde $0
Predstavme si vlastnosti exponenciálnej funkcie pre $0
Oblasťou definície sú všetky reálne čísla.
$f\left(-x\right)=a^(-x)=\frac(1)(a^x)$ -- funkcia nie je ani párna, ani nepárna.
$f(x)$ je spojité na celej doméne definície.
Rozsah hodnôt je interval $(0,+\infty)$.
$f"(x)=\vľavo(a^x\vpravo)"=a^xlna$
\ \[bez koreňov\] \ \[bez koreňov\] \
Funkcia je konvexná v celej oblasti definície.
Správanie na konci rozsahu:
\[(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) a^x\ )=+\infty \] \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) a^x\ ) =0\]
Graf (obr. 2).
Príklad úlohy na zostrojenie exponenciálnej funkcie
Preskúmajte a nakreslite funkciu $y=2^x+3$.
Riešenie.
Urobme štúdiu na príklade vyššie uvedenej schémy:
Oblasťou definície sú všetky reálne čísla.
$f\left(-x\right)=2^(-x)+3$ -- funkcia nie je ani párna, ani nepárna.
$f(x)$ je spojité na celej doméne definície.
Rozsah hodnôt je interval $(3,+\infty)$.
$f"\left(x\right)=(\left(2^x+3\right))"=2^xln2>0$
Funkcia sa zvyšuje v celej oblasti definície.
$f(x)\ge 0$ cez celú doménu definície.
Priesečník so súradnicovými osami. Funkcia nepretína os $Ox$, ale pretína os $Oy$ v bode ($0,4)$
$f""\left(x\right)=(\left(2^xln2\right))"=2^x(ln)^22>0$
Funkcia je konvexná v celej oblasti definície.
Správanie na konci rozsahu:
\[(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) a^x\ )=0\] \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) a^x\ )=+ \infty\]
Graf (obr. 3).
Obrázok 3. Graf funkcie $f\left(x\right)=2^x+3$
1. Exponenciálna funkcia je funkcia tvaru y(x) \u003d a x v závislosti od exponentu x s konštantnou hodnotou základne stupňa a, kde a > 0, a ≠ 0, xϵR (R je množina reálnych čísel).
Zvážte graf funkcie, ak základ nespĺňa podmienku: a>0
a) a< 0
Ak< 0 – возможно возведение в целую степень или в racionálny stupeň s nepárnym skóre.
a = -2
Ak a = 0 - funkcia y = je definovaná a má konštantnú hodnotu 0
c) a \u003d 1
Ak a = 1 - funkcia y = je definovaná a má konštantnú hodnotu 1
Funkčná doména (OOF) Oblasť povolených funkčných hodnôt (ODZ) 3. Nuly funkcie (y = 0) 4. Priesečníky s osou y (x = 0) 5. Zvyšujúca sa, klesajúca funkcia Ak , potom funkcia f(x) rastie 6. Párne, nepárne funkcie Funkcia y = nie je symetrická okolo osi 0y a okolo pôvodu, preto nie je ani párna, ani nepárna. (všeobecná funkcia) 7. Funkcia y \u003d nemá žiadne extrémy 8. Vlastnosti stupňa so skutočným exponentom: Nech a > 0; a≠1 Potom pre xϵR; yϵR: Vlastnosti stupňa monotónnosti: Ak potom Ak a > 0, potom . 9. Relatívne umiestnenie funkcie Čím väčšia je základňa a, tým bližšie k osám x a y a > 1, a = 20 Príklad 1
lekcia č.2
Téma: Exponenciálna funkcia, jej vlastnosti a graf. Cieľ: Skontrolujte kvalitu asimilácie konceptu „exponenciálnej funkcie“; rozvíjať zručnosti v rozpoznávaní exponenciálnej funkcie, v používaní jej vlastností a grafov, naučiť študentov používať analytické a grafické formy zaznamenávania exponenciálnej funkcie; poskytnúť pracovné prostredie v triede. Vybavenie: tabule, plagáty Formulár lekcie: učebňa Typ lekcie: praktická lekcia Typ lekcie: lekcia nácviku zručností Plán lekcie 1. Organizačný moment 2. Samostatná práca a overovanie domáca úloha 3. Riešenie problémov 4. Zhrnutie 5. Domáce úlohy Počas vyučovania. 1. Organizačný moment
: Ahoj. Otvorte zošity, zapíšte si dnešný dátum a tému hodiny „Exponenciálna funkcia“. Dnes budeme pokračovať v štúdiu exponenciálnej funkcie, jej vlastností a grafu. 2. Samostatná práca a kontrola domácich úloh
.
Cieľ: skontrolovať kvalitu asimilácie pojmu „exponenciálna funkcia“ a skontrolovať splnenie teoretickej časti domácej úlohy metóda: testovacia úloha, frontálny prieskum Ako domácu úlohu ste dostali čísla z učebnice úloh a odsek z učebnice. Vykonávanie čísel z učebnice teraz nebudeme kontrolovať, ale zošity odovzdáte na konci hodiny. Teraz bude teória testovaná formou malého testu. Úloha je pre všetkých rovnaká: dostanete zoznam funkcií, musíte zistiť, ktoré z nich sú orientačné (podčiarknite ich). A k exponenciálnej funkcii treba napísať, či je rastúca alebo klesajúca.
2. Zvážte exponenciálnu funkciu podrobnejšie:
0
Ak , potom funkcia f(x) klesá
Funkcia y= , pri 0
Vyplýva to z vlastností monotónnosti stupňa so skutočným exponentom.
b > 0; b≠1
Napríklad:
Exponenciálna funkcia je spojitá v akomkoľvek bode ϵ R.
Ak a0, potom má exponenciálna funkcia tvar blízky y = 0.
Ak a1, potom ďalej od osí x a y a graf má tvar blízky funkcii y \u003d 1.
Zápletka y=
možnosť 1 Odpoveď B) D) - exponenciálny, klesajúci | Možnosť 2 Odpoveď D) - exponenciálny, klesajúci D) - orientačný, zvyšujúci sa |
Možnosť 3 Odpoveď A) - orientačný, zvyšujúci sa B) - exponenciálny, klesajúci | Možnosť 4 Odpoveď A) - exponenciálny, klesajúci IN) - orientačný, zvyšujúci sa |
Teraz si spoločne pripomeňme, aká funkcia sa nazýva exponenciálna?
Funkcia tvaru , kde a , sa nazýva exponenciálna funkcia.
Aký je rozsah tejto funkcie?
Všetky reálne čísla.
Aký je rozsah exponenciálnej funkcie?
Všetky kladné reálne čísla.
Znižuje sa, ak je základ väčší ako nula, ale menší ako jedna.
Kedy klesá exponenciálna funkcia na svojom doméne?
Zvyšuje sa, ak je základňa väčšia ako jedna.
3. Riešenie problémov
Cieľ: rozvíjať zručnosti v rozpoznávaní exponenciálnej funkcie, v používaní jej vlastností a grafov, naučiť študentov používať analytické a grafické formy zaznamenávania exponenciálnej funkcie
Metóda: ukážka riešenia typických úloh učiteľom, ústna práca, práca pri tabuli, práca v zošite, rozhovor učiteľa so žiakmi.
Vlastnosti exponenciálnej funkcie možno využiť pri porovnávaní 2 a viacerých čísel. Napríklad: č. 000. Porovnajte hodnoty a ak a) 
..gif" width="37" height="20 src=">, potom je to dosť zložitá úloha: museli by sme vziať odmocninu z 3 a 9 a porovnať ich. Vieme však, že sa to zvyšuje, je vo svojom vlastnom rade znamená, že keď sa argument zvyšuje, hodnota funkcie sa zvyšuje, to znamená, že nám stačí porovnať hodnoty argumentu medzi sebou a samozrejme, že 
(možno demonštrovať na plagáte so zvyšujúcou sa exponenciálnou funkciou). A vždy pri riešení takýchto príkladov najprv určte bázu exponenciálnej funkcie, porovnajte s 1, určte monotónnosť a pristúpte k porovnávaniu argumentov. V prípade klesajúcej funkcie: ako argument rastie, hodnota funkcie klesá, preto sa pri prechode z nerovnosti argumentov na nerovnosť funkcií zmení znamienko nerovnosti. Potom riešime ústne: b) 
- 
IN) 
- 
G) 
- 
- č. 000. Porovnajte čísla: a) a
Preto sa funkcia zvyšuje
prečo?
Zvýšenie funkcie a 
Preto funkcia klesá 
Obe funkcie sa zvyšujú v celej svojej doméne definície, pretože sú exponenciálne so základom väčším ako jedna.
aký to má zmysel?
Vytvárame grafy:
Ktorá funkcia rastie rýchlejšie pri snahe https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width="20 height=25" height="25">
Ktorá funkcia klesá rýchlejšie pri snahe https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width="20 height=25" height="25">
Ktorá z funkcií má na intervale najväčšiu hodnotu v určitom bode?
D), https://pandia.ru/text/80/379/images/image068_0.gif" width="69" height="57 src=">. Najprv zistime rozsah týchto funkcií. zhodovať sa?
Áno, doménou týchto funkcií sú všetky reálne čísla.
Pomenujte rozsah každej z týchto funkcií.
Rozsahy týchto funkcií sa zhodujú: všetky kladné reálne čísla.
Určte typ monotónnosti každej z funkcií.
Všetky tri funkcie klesajú v celej svojej doméne definície, pretože sú exponenciálne so základom menším ako jedna a väčším ako nula.
Aký je singulárny bod grafu exponenciálnej funkcie?
aký to má zmysel?
Bez ohľadu na základ stupňa exponenciálnej funkcie, ak je exponent 0, potom je hodnota tejto funkcie 1.
Vytvárame grafy:
Poďme analyzovať grafy. Koľko priesečníkov majú grafy funkcií?
Ktorá funkcia sa pri úsilí znižuje rýchlejšie? https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif
Ktorá funkcia rastie rýchlejšie, keď sa snažíte? https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif
Ktorá z funkcií má na intervale najväčšiu hodnotu v určitom bode?
Ktorá z funkcií má na intervale najväčšiu hodnotu v určitom bode?
Prečo majú exponenciálne funkcie s rôznymi základňami iba jeden priesečník?
Exponenciálne funkcie sú prísne monotónne v celej svojej doméne definície, takže sa môžu pretínať iba v jednom bode.
Ďalšia úloha sa zameria na využitie tejto vlastnosti. № 000. Nájdite najväčšiu a najmenšiu hodnotu danej funkcie na danom intervale a). Pripomeňme, že striktne monotónna funkcia má svoje minimálne a maximálne hodnoty na konci daného intervalu. A ak sa funkcia zvyšuje, potom jej najvyššia hodnota bude na pravom konci segmentu a najmenší na ľavom konci segmentu (ukážka na plagáte s použitím exponenciálnej funkcie ako príkladu). Ak je funkcia klesajúca, jej najväčšia hodnota bude na ľavom konci segmentu a najmenšia na pravom konci segmentu (demonštrácia na plagáte s použitím exponenciálnej funkcie ako príkladu). Funkcia sa zvyšuje, pretože preto najmenšia hodnota funkcie bude v bode https://pandia.ru/text/80/379/images/image075_0.gif" width="145" height="29" >. Body b) 
, V) 
d) riešte zošity svojpomocne, skontrolujeme to ústne.
Žiaci riešia úlohu vo svojom zošite
|
Funkcia klesania
|
Funkcia klesania
|
Zvyšujúca sa funkcia
|
najväčšia hodnota funkcie na intervale
najmenšia hodnota funkcie na intervale
najmenšia hodnota funkcie na intervale
najväčšia hodnota funkcie na intervale- № 000. Nájdite najväčšiu a najmenšiu hodnotu danej funkcie na danom intervale a) 
. Táto úloha je takmer rovnaká ako predchádzajúca. Ale tu nie je daný segment, ale lúč. Vieme, že funkcia sa zvyšuje a nemá ani najväčšiu, ani najmenšiu hodnotu na celom číselnom rade https://pandia.ru/text/80/379/images/image063_0.gif" width="68" height = "20"> a má tendenciu k , t.j. na lúči má funkcia at tendenciu k 0, ale nemá vlastnú najmenšia hodnota, ale v bode má najväčšiu hodnotu 
. Body b) 
, V) 
, G) 
Vyriešte si vlastné zošity, skontrolujeme to ústne.
Koncentrácia pozornosti:
Definícia. Funkcia druh sa nazýva exponenciálna funkcia .
Komentujte. Základné vylúčenie ačísla 0; 1 a záporné hodnoty a vysvetlené nasledujúcimi okolnosťami:
Samotný analytický výraz a x v týchto prípadoch si zachováva svoj význam a možno sa s ním stretnúť pri riešení problémov. Napríklad za výraz x y bodka x = 1; r = 1 sa dostane do rozsahu prijateľných hodnôt.
Zostrojte grafy funkcií: a .
 |
 |
| Graf exponenciálnej funkcie | |
| y= a X, a > 1 | y= a X , 0< a < 1 |
 |
 |
Vlastnosti exponenciálnej funkcie
| Vlastnosti exponenciálnej funkcie | y= a X, a > 1 | y= a X , 0< a < 1 |
|
||
| 2. Rozsah funkčných hodnôt | ||
| 3. Intervaly porovnávania s jednotkou | pri X> 0, a X > 1 | pri X > 0, 0< a X < 1 |
| pri X < 0, 0< a X < 1 | pri X < 0, a X > 1 | |
| 4. Párne, nepárne. | Funkcia nie je párna ani nepárna (všeobecná funkcia). | |
| 5. Monotónnosť. | zvyšuje monotónne o R | klesá monotónne o R |
| 6. Extrémy. | Exponenciálna funkcia nemá žiadne extrémy. | |
| 7.Asymptota | Os O X je horizontálna asymptota. | |
| 8. Pre akékoľvek skutočné hodnoty X A r; |  |
|
Keď je tabuľka naplnená, paralelne s plnením sa riešia úlohy.
Úloha číslo 1. (Nájsť doménu funkcie).
Aké hodnoty argumentov sú platné pre funkcie:
Úloha číslo 2. (Zistiť rozsah funkcie).
Na obrázku je znázornený graf funkcie. Zadajte rozsah a rozsah funkcie:
 |
 |
 |
 |
Úloha číslo 3. (Určiť intervaly porovnávania s jednotkou).
Porovnajte každú z nasledujúcich mocností s jednou:
Úloha číslo 4. (Preštudovať funkciu pre monotónnosť).
Porovnajte skutočné čísla podľa veľkosti m A n Ak:
Úloha číslo 5. (Preštudovať funkciu pre monotónnosť).
Urobte záver o základe a, Ak:
y(x) = 10 x; f(x) = 6 x; z(x) - 4x
Ako sú grafy exponenciálnych funkcií voči sebe navzájom pre x > 0, x = 0, x< 0?
V jednej súradnicovej rovine sú vykreslené grafy funkcií:
y(x) = (0,1) x; f(x) = (0,5) x; z(x) = (0,8) x.
Ako sú grafy exponenciálnych funkcií voči sebe navzájom pre x > 0, x = 0, x< 0?
| číslo
jedna z najdôležitejších konštánt v matematike. Podľa definície to rovná limite postupnosti
s neobmedzeným
zvýšenie n
. Označenie e zavedené Leonard Euler
v roku 1736. Vypočítal prvých 23 číslic tohto čísla v desiatkovom zápise a samotné číslo bolo pomenované po Napierovi „číslo, ktoré nie je rovnocenné“.
číslo e zohráva osobitnú úlohu v matematickej analýze. Exponenciálna funkcia so základňou e, nazývaný exponent a označené y = e x. Prvé známky čísla eľahko zapamätateľné: dva, čiarka, sedem, rok narodenia Leva Tolstého - dva krát, štyridsaťpäť, deväťdesiat, štyridsaťpäť. |
 |
Domáca úloha:
Kolmogorov s. 35; č. 445-447; 451; 453.
Zopakujte algoritmus na vytváranie grafov funkcií obsahujúcich premennú pod znakom modulu.