príklady exponenciálnych funkcií. Exponenciálna funkcia, jej vlastnosti a graf - Znalostný hypermarket

Koncentrácia pozornosti:

Definícia. Funkcia druh sa nazýva exponenciálna funkcia .

Komentujte. Základné vylúčenie ačísla 0; 1 a záporné hodnoty a vysvetlené nasledujúcimi okolnosťami:

Samotný analytický výraz a x v týchto prípadoch si zachováva svoj význam a možno sa s ním stretnúť pri riešení problémov. Napríklad za výraz x y bodka x = 1; r = 1 zahrnuté v oblasti povolené hodnoty.

Zostrojte grafy funkcií: a .

Graf exponenciálnej funkcie
y= a X, a > 1	y= a X , 0< a < 1

Vlastnosti exponenciálnej funkcie

Vlastnosti exponenciálnej funkcie	y= a X, a > 1	y= a X , 0< a < 1
Rozsah funkcie
2. Rozsah funkčných hodnôt
3. Intervaly porovnávania s jednotkou	pri X> 0, a X > 1	pri X > 0, 0< a X < 1
	pri X < 0, 0< a X < 1	pri X < 0, a X > 1
4. Párne, nepárne.	Funkcia nie je párna ani nepárna (všeobecná funkcia).
5. Monotónnosť.	zvyšuje monotónne o R	klesá monotónne o R
6. Extrémy.	Exponenciálna funkcia nemá extrémy.
7.Asymptota	Os O X je horizontálna asymptota.
8. Pre akékoľvek skutočné hodnoty X a r;

Keď je tabuľka naplnená, paralelne s plnením sa riešia úlohy.

Úloha číslo 1. (Nájsť doménu funkcie).

Aké hodnoty argumentov sú platné pre funkcie:

Úloha číslo 2. (Zistiť rozsah funkcie).

Na obrázku je znázornený graf funkcie. Zadajte rozsah a rozsah funkcie:

Úloha číslo 3. (Určiť intervaly porovnávania s jednotkou).

Porovnajte každú z nasledujúcich mocností s jednou:

Úloha číslo 4. (Preštudovať funkciu pre monotónnosť).

Porovnajte skutočné čísla podľa veľkosti m a n ak:

Úloha číslo 5. (Preštudovať funkciu pre monotónnosť).

Urobte záver o základe a, ak:

y(x) = 10 x; f(x) = 6 x; z(x) - 4x

Ako sú grafy exponenciálnych funkcií voči sebe navzájom pre x > 0, x = 0, x< 0?

V jednej súradnicovej rovine sú vykreslené grafy funkcií:

y(x) = (0,1) x; f(x) = (0,5) x; z(x) = (0,8) x.

Ako sú grafy exponenciálnych funkcií voči sebe navzájom pre x > 0, x = 0, x< 0?

číslo jedna z najdôležitejších konštánt v matematike. Podľa definície to rovná limite postupnosti s neobmedzeným zvýšenie n . Označenie e zavedené Leonard Euler v roku 1736. Vypočítal prvých 23 číslic tohto čísla v desiatkovom zápise a samotné číslo bolo pomenované po Napierovi „číslo, ktoré nie je rovnocenné“. číslo e zohráva osobitnú úlohu v matematickej analýze. Exponenciálna funkcia so základňou e, nazývaný exponent a označené y = e x. Prvé známky čísla eľahko zapamätateľné: dva, čiarka, sedem, rok narodenia Leva Tolstého - dva krát, štyridsaťpäť, deväťdesiat, štyridsaťpäť.

Domáca úloha:

Kolmogorov s. 35; č. 445-447; 451; 453.

Zopakujte algoritmus na vytváranie grafov funkcií obsahujúcich premennú pod znakom modulu.

Riešenie väčšiny matematických úloh je nejakým spôsobom spojené s transformáciou číselných, algebraických alebo funkčných výrazov. Týka sa to najmä riešenia. Vo variantoch USE v matematike tento typ úloh zahŕňa najmä úlohu C3. Naučiť sa riešiť úlohy C3 je dôležité nielen pre úspech absolvovanie skúšky, ale aj z toho dôvodu, že táto zručnosť je užitočná pri štúdiu matematického kurzu na vysokej škole.

Pri vykonávaní úloh C3 sa musíte rozhodnúť rôzne druhy rovnice a nerovnice. Medzi nimi sú racionálne, iracionálne, exponenciálne, logaritmické, trigonometrické, obsahujúce moduly (absolútne hodnoty), ako aj kombinované. Tento článok sa zaoberá hlavnými typmi exponenciálnych rovníc a nerovníc, ako aj rôzne metódy ich rozhodnutia. Prečítajte si o riešení iných typov rovníc a nerovníc pod nadpisom "" v článkoch venovaných metódam riešenia úloh C3 z r. POUŽÍVAŤ možnosti matematiky.

Pred pristúpením k analýze konkrétnych exponenciálne rovnice a nerovnice, ako učiteľ matematiky vám navrhujem oprášiť niektoré teoretický materiál ktoré budeme potrebovať.

Exponenciálna funkcia

Čo je to exponenciálna funkcia?

Funkcia zobrazenia r = a x, kde a> 0 a a≠ 1, tzv exponenciálna funkcia.

Hlavné vlastnosti exponenciálnej funkcie r = a x:

Graf exponenciálnej funkcie

Graf exponenciálnej funkcie je vystavovateľ:

Grafy exponenciálnych funkcií (exponentov)

Riešenie exponenciálnych rovníc

orientačné nazývané rovnice, v ktorých sa neznáma premenná nachádza iba v exponentoch akýchkoľvek mocnín.

Pre riešenia exponenciálne rovnice musíte poznať a vedieť používať nasledujúcu jednoduchú vetu:

Veta 1. exponenciálna rovnica a f(X) = a g(X) (kde a > 0, a≠ 1) je ekvivalentná rovnici f(X) = g(X).

Okrem toho je užitočné zapamätať si základné vzorce a akcie so stupňami:

Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Príklad 1 Vyriešte rovnicu:

Riešenie: použite vyššie uvedené vzorce a substitúciu:

Rovnica potom znie:

Prijaté diskriminačné kvadratická rovnica pozitívne:

Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}

To znamená, že táto rovnica má dva korene. Nájdeme ich:

Keď sa vrátime k substitúcii, dostaneme:

Druhá rovnica nemá korene, pretože exponenciálna funkcia je striktne kladná v celej oblasti definície. Vyriešme to druhé:

Berúc do úvahy to, čo bolo povedané vo vete 1, prejdeme k ekvivalentnej rovnici: X= 3. Toto bude odpoveď na úlohu.

odpoveď: X = 3.

Príklad 2 Vyriešte rovnicu:

Riešenie: rovnica nemá žiadne obmedzenia na oblasť prípustných hodnôt, pretože radikálny výraz má zmysel pre akúkoľvek hodnotu X(exponenciálna funkcia r = 9 4 -X kladné a nerovnajúce sa nule).

Rovnicu riešime ekvivalentnými transformáciami pomocou pravidiel násobenia a delenia mocnin:

Posledný prechod sa uskutočnil v súlade s vetou 1.

odpoveď:X= 6.

Príklad 3 Vyriešte rovnicu:

Riešenie: obe strany pôvodnej rovnice možno deliť 0,2 X. Tento prechod bude ekvivalentný, pretože tento výraz je väčší ako nula pre akúkoľvek hodnotu X(exponenciálna funkcia je na svojom doméne striktne kladná). Potom má rovnica tvar:

odpoveď: X = 0.

Príklad 4 Vyriešte rovnicu:

Riešenie: rovnicu zjednodušíme na elementárnu ekvivalentnými transformáciami pomocou pravidiel delenia a násobenia mocnin uvedených na začiatku článku:

Delenie oboch strán rovnice 4 X, ako v predchádzajúcom príklade, je ekvivalentná transformácia, pretože tento výraz sa pre žiadne hodnoty nerovná nule X.

odpoveď: X = 0.

Príklad 5 Vyriešte rovnicu:

Riešenie: funkciu r = 3X, stojaci na ľavej strane rovnice, sa zvyšuje. Funkcia r = —X-2/3, stojace na pravej strane rovnice, klesá. To znamená, že ak sa grafy týchto funkcií pretínajú, tak maximálne v jednom bode. V tomto prípade je ľahké uhádnuť, že grafy sa v bode pretínajú X= -1. Nebudú žiadne iné korene.

odpoveď: X = -1.

Príklad 6 Vyriešte rovnicu:

Riešenie: rovnicu zjednodušujeme ekvivalentnými transformáciami, pričom máme všade na pamäti, že exponenciálna funkcia je striktne väčšia ako nula pre akúkoľvek hodnotu X a použitím pravidiel pre výpočet súčinu a čiastkových mocnín uvedených na začiatku článku:

odpoveď: X = 2.

Riešenie exponenciálnych nerovností

orientačné nazývané nerovnice, v ktorých je neznáma premenná obsiahnutá len v exponentoch niektorých mocnín.

Pre riešenia exponenciálne nerovnosti vyžaduje sa znalosť nasledujúcej vety:

Veta 2. Ak a> 1, potom nerovnosť a f(X) > a g(X) sa rovná nerovnosti rovnakého významu: f(X) > g(X). Ak 0< a < 1, то exponenciálna nerovnosť a f(X) > a g(X) sa rovná nerovnosti opačného významu: f(X) < g(X).

Príklad 7 Vyriešte nerovnosť:

Riešenie: predstavujú pôvodnú nerovnosť v tvare:

Vydeľte obe strany tejto nerovnosti 3 2 X, a (vzhľadom na pozitívnosť funkcie r= 3 2X) znamienko nerovnosti sa nezmení:

Použijeme náhradu:

Potom má nerovnosť tvar:

Takže riešením nerovnosti je interval:

prechodom na opačnú substitúciu dostaneme:

Ľavá nerovnosť sa vzhľadom na pozitívnosť exponenciálnej funkcie splní automaticky. Pomocou známej vlastnosti logaritmu prejdeme k ekvivalentnej nerovnosti:

Keďže základom stupňa je číslo väčšie ako jedna, ekvivalentom (podľa vety 2) bude prechod na nasledujúcu nerovnosť:

Tak sa konečne dostávame odpoveď:

Príklad 8 Vyriešte nerovnosť:

Riešenie: pomocou vlastností násobenia a delenia mocnin prepíšeme nerovnosť do tvaru:

Predstavme si novú premennú:

Pri tejto substitúcii má nerovnosť podobu:

Vynásobte čitateľa a menovateľa zlomku číslom 7, dostaneme nasledujúcu ekvivalentnú nerovnosť:

Takže nerovnosť je splnená nasledujúcimi hodnotami premennej t:

Potom, keď sa vrátime k substitúcii, dostaneme:

Pretože základ stupňa je tu väčší ako jedna, je ekvivalentné (podľa vety 2) prejsť na nerovnosť:

Konečne sa dostávame odpoveď:

Príklad 9 Vyriešte nerovnosť:

Riešenie:

Obe strany nerovnosti delíme výrazom:

Je vždy väčšia ako nula (pretože exponenciálna funkcia je kladná), takže znamienko nerovnosti nie je potrebné meniť. Dostaneme:

t , ktoré sú v intervale:

Prechodom na opačnú substitúciu zistíme, že pôvodná nerovnosť sa rozdelí na dva prípady:

Prvá nerovnosť nemá riešenia kvôli kladnosti exponenciálnej funkcie. Vyriešme to druhé:

Príklad 10 Vyriešte nerovnosť:

Riešenie:

Vetvy paraboly r = 2X+2-X 2 smerujú nadol, preto je zhora ohraničený hodnotou, ktorú dosahuje na svojom vrchole:

Vetvy paraboly r = X 2 -2X+2, ktoré sú v ukazovateli, smerujú nahor, čo znamená, že je zdola obmedzené hodnotou, ktorú dosahuje v hornej časti:

Zároveň sa ukáže, že funkcia je ohraničená zdola r = 3 X 2 -2X+2 na pravej strane rovnice. Dosiahne ju najmenšia hodnota v rovnakom bode ako parabola v exponente a táto hodnota je 3 1 = 3. Pôvodná nerovnosť teda môže byť pravdivá iba vtedy, ak funkcia vľavo a funkcia vpravo nadobudnú hodnotu 3 v jednom bode (podľa prekročenie rozsahov týchto funkcií je len toto číslo). Táto podmienka je splnená v jednom bode X = 1.

odpoveď: X= 1.

Aby ste sa naučili riešiť exponenciálne rovnice a nerovnosti ich riešenie treba neustále trénovať. V tejto neľahkej úlohe vám môžu pomôcť rôzne učebné pomôcky, učebnice základných úloh z matematiky, zbierky súťažných úloh, hodiny matematiky v škole, ale aj individuálne hodiny s profesionálnym lektorom. Úprimne vám želám úspech vo vašej príprave a skvelé výsledky na skúške.

Sergej Valerijevič

P.S. Vážení hostia! Do komentárov prosím nepíšte požiadavky na riešenie vašich rovníc. Bohužiaľ na to vôbec nemám čas. Takéto správy budú vymazané. Prečítajte si prosím článok. Možno v ňom nájdete odpovede na otázky, ktoré vám nedovolili vyriešiť svoju úlohu sami.

Vedomostný hypermarket >>Matematika >>Matematika 10. ročník >>

Exponenciálna funkcia, jej vlastnosti a graf

Zvážte výraz 2x a nájdite jeho hodnoty pre rôzne racionálne hodnoty premennej x, napríklad pre x=2;

Vo všeobecnosti platí, že bez ohľadu na to, akú racionálnu hodnotu dáme premennej x, vždy vieme vypočítať zodpovedajúcu číselnú hodnotu výrazu 2x. Dá sa teda hovoriť o exponenciáli funkcie y=2 x definované na množine Q racionálnych čísel:

Pozrime sa na niektoré vlastnosti tejto funkcie.

Nehnuteľnosť 1. je rastúca funkcia. Dôkaz vykonávame v dvoch etapách.
Prvé štádium. Dokážme, že ak je r kladné racionálne číslo, potom 2 r >1.
Možné sú dva prípady: 1) r je prirodzené číslo, r = n; 2) obyčajný neredukovateľný zlomok,

Na ľavej strane poslednej nerovnosti máme , a na pravej strane 1. Posledná nerovnosť teda môže byť prepísaná ako

V každom prípade teda podľa potreby platí nerovnosť 2 r > 1.

Druhá fáza. Nech x 1 a x 2 sú čísla a x 1 a x 2< х2. Составим разность 2 х2 -2 х1 и выполним некоторые ее преобразования:

(rozdiel x 2 -x 1 sme označovali písmenom r).

Keďže r je kladné racionálne číslo, potom, čo bolo dokázané v prvej fáze, 2 r > 1, t.j. 2 r-1 >0. Číslo 2x" je tiež kladné, čo znamená, že súčin 2 x-1 (2 Г -1) je tiež kladný. Dokázali sme teda, že nerovnosť 2 Xr -2x "\u003e 0.

Takže z nerovnosti x 1< х 2 следует, что 2х" <2 x2 , а это и означает, что функция у -2х - возрастающая.

Nehnuteľnosť 2. obmedzené zdola a neobmedzené zhora.
Ohraničenosť funkcie zdola vyplýva z nerovnosti 2 x > 0, ktorá platí pre ľubovoľné hodnoty x z definičného oboru funkcie. Zároveň čokoľvek kladné číslo Zober žiadne M, vždy si môžeš zvoliť taký ukazovateľ x, že sa naplní nerovnosť 2 x > M - čo charakterizuje neohraničenosť funkcie zhora. Uveďme niekoľko príkladov.

Nehnuteľnosť 3. nemá ani minimálnu, ani maximálnu hodnotu.

To, že táto funkcia nemá najväčší význam, je zrejmé, pretože, ako sme práve videli, nie je zhora ohraničená. Ale je to obmedzené zdola, prečo to nemá najmenšiu hodnotu?

Predpokladajme, že 2r je najmenšia hodnota funkcie (r je nejaká racionálny ukazovateľ). Vezmite racionálne číslo q<г. Тогда в силу возрастания функции у=2 х будем иметь 2 x <2г. А это значит, что 2 r не может служить наименьшим значением функции.

To všetko je dobré, hovoríte si, ale prečo funkciu y-2 x uvažujeme len na množine racionálnych čísel, prečo ju neuvažujeme, ako iné známe funkcie, na celej číselnej osi alebo na nejakom súvislom intervale číselný rad? Čo nám bráni? Zamyslime sa nad situáciou.

Číselný rad obsahuje nielen racionálne, ale aj iracionálne čísla. Pri predtým študovaných funkciách nám to neprekážalo. Napríklad hodnoty funkcie y \u003d x 2 sme našli rovnako ľahko pre racionálne aj iracionálne hodnoty x: stačilo odmocniť danú hodnotu x.

Ale s funkciou y \u003d 2 x je situácia komplikovanejšia. Ak má argument x racionálnu hodnotu, potom sa v princípe x dá vypočítať (návrat na začiatok odseku, kde sme to urobili). A ak má argument x iracionálnu hodnotu? Ako napríklad vypočítať? Toto ešte nevieme.
Matematici našli cestu von; takto sa rozprávali.

To je známe Zvážte postupnosť racionálnych čísel - desiatkové aproximácie čísla podľa nedostatku:

1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,7320; 1,73205; 1,732050; 1,7320508;... .

Je jasné, že 1,732 = 1,7320 a 1,732050 = 1,73205. Aby sme sa vyhli takýmto opakovaniam, vyradíme tie členy postupnosti, ktoré končia číslom 0.

Potom dostaneme rastúcu postupnosť:

1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,73205; 1,7320508;... .

Zodpovedajúcim spôsobom sa zvyšuje aj postupnosť.

Všetky členy tejto postupnosti sú kladné čísla menšie ako 22, t.j. táto postupnosť je obmedzená. Podľa Weierstrassovej vety (pozri § 30), ak je postupnosť rastúca a ohraničená, potom konverguje. Navyše z § 30 vieme, že ak postupnosť konverguje, tak len k jednej limite. Bolo dohodnuté, že tento jediný limit sa bude považovať za hodnotu číselného výrazu. A nezáleží na tom, že je veľmi ťažké nájsť čo i len približnú hodnotu číselného výrazu 2; dôležité je, že ide o konkrétne číslo (napokon, nebáli sme sa povedať, že je to napríklad koreň racionálnej rovnice, koreň trigonometrickej rovnice, bez toho, aby sme skutočne premýšľali o tom, čo presne sú tieto čísla:
Zistili sme teda, aký význam vkladajú matematici do symbolu 2 ^. Podobne sa dá určiť, čo je a vo všeobecnosti čo je a, kde a je iracionálne číslo a a > 1.
Ale čo keď 0<а <1? Как вычислить, например, ? Самым естественным способом: считать, что свести вычисления к случаю, когда основание степени больше 1.
Teraz môžeme hovoriť nielen o mocniciach s ľubovoľnými racionálnymi exponentmi, ale aj o mocninách s ľubovoľnými skutočnými exponentmi. Je dokázané, že stupne s akýmikoľvek reálnymi exponentmi majú všetky obvyklé vlastnosti stupňov: pri násobení stupňov s rovnakými základmi sa exponenty sčítajú, pri delení sa odčítajú, pri zvýšení stupňa na mocninu sa násobia atď. . Najdôležitejšie však je, že teraz môžeme hovoriť o funkcii y-ax definovanej na množine všetkých reálnych čísel.
Vráťme sa k funkcii y \u003d 2 x, zostavme jej graf. Za týmto účelom zostavíme tabuľku funkčných hodnôt podľa \u003d 2 x:

Všimnime si body na súradnicovej rovine (obr. 194), vytýčia určitú čiaru, narysujú ju (obr. 195).

Vlastnosti funkcie y - 2 x:
1)
2) nie je párne ani nepárne; 248
3) zvyšuje;

5) nemá najväčšie ani najmenšie hodnoty;
6) kontinuálne;
7)
8) konvexné nadol.

Striktné dôkazy uvedených vlastností funkcie y-2 x sú uvedené v kurze vyššej matematiky. Niektoré z týchto vlastností sme v tej či onej miere diskutovali skôr, niektoré z nich jasne demonštruje vytvorený graf (pozri obr. 195). Napríklad absencia parity alebo nepárnosti funkcie geometricky súvisí s nedostatkom symetrie grafu, respektíve okolo osi y alebo okolo začiatku.

Akákoľvek funkcia tvaru y=a x, kde a >1, má podobné vlastnosti. Na obr. 196 v jednom súradnicovom systéme sú zostrojené, grafy funkcií y=2 x, y=3 x, y=5 x.

Teraz zvážime funkciu, urobme pre ňu tabuľku hodnôt:

Vyznačme si body na súradnicovej rovine (obr. 197), vytýčia určitú čiaru, narysujeme ju (obr. 198).

Vlastnosti funkcie

1)
2) nie je párne ani nepárne;
3) klesá;
4) neobmedzené zhora, obmedzené zdola;
5) neexistujú ani najväčšie, ani najmenšie hodnoty;
6) kontinuálne;
7)
8) konvexné nadol.
Akákoľvek funkcia tvaru y \u003d a x, kde O<а <1. На рис. 200 в одной системе координат построены графики функций
Poznámka: funkčné grafy tie. y \u003d 2 x, symetricky okolo osi y (obr. 201). Je to dôsledok všeobecného tvrdenia (pozri § 13): grafy funkcií y = f(x) a y = f(-x) sú symetrické podľa osi y. Podobne aj grafy funkcií y \u003d 3 x a

Zhrnutím toho, čo bolo povedané, uvedieme definíciu exponenciálnej funkcie a zdôrazníme jej najdôležitejšie vlastnosti.

Definícia. Funkcia zobrazenia sa nazýva exponenciálna funkcia.
Hlavné vlastnosti exponenciálnej funkcie y \u003d a x

Graf funkcie y \u003d a x pre a> 1 je znázornený na obr. 201 a za 0<а < 1 - на рис. 202.

Krivka znázornená na obr. 201 alebo 202 sa nazýva exponent. V skutočnosti matematici zvyčajne nazývajú samotnú exponenciálnu funkciu y = a x. Takže výraz "exponent" sa používa v dvoch významoch: ako pre názov exponenciálnej funkcie, tak aj pre názov grafu exponenciálnej funkcie. Zvyčajne je významovo jasné, či hovoríme o exponenciálnej funkcii alebo o jej grafe.

Venujte pozornosť geometrickej vlastnosti grafu exponenciálnej funkcie y \u003d ax: os x je horizontálna asymptota grafu. Je pravda, že toto tvrdenie sa zvyčajne spresňuje nasledovne.
Os x je horizontálna asymptota grafu funkcie

Inými slovami

Prvá dôležitá poznámka. Školáci si často zamieňajú pojmy: mocenská funkcia, exponenciálna funkcia. Porovnaj:

Toto sú príklady mocenských funkcií;

sú príklady exponenciálnych funkcií.

Vo všeobecnosti y \u003d x r, kde r je konkrétne číslo, je mocninová funkcia (argument x je obsiahnutý v základe stupňa);
y \u003d a", kde a je konkrétne číslo (kladné a odlišné od 1), je exponenciálna funkcia (argument x je obsiahnutý v exponente).

Útočná "exotická" funkcia ako y = x" sa nepovažuje za exponenciálnu ani mocninnú (niekedy sa nazýva aj exponenciálna mocninná funkcia).

Druhá dôležitá poznámka. Zvyčajne sa nepovažuje exponenciálna funkcia so základom a = 1 alebo so základom a, ktorá spĺňa nerovnosť a<0 (вы, конечно, помните, что выше, в определении показательной функции, оговорены условия: а >0 a a Faktom je, že ak a \u003d 1, potom pre akúkoľvek hodnotu x platí rovnosť Ix \u003d 1. Exponenciálna funkcia y \u003d a „pre a \u003d 1“ sa zvrhne „na konštantnú funkciu y \ u003d 1 - to nie je zaujímavé. Ak \u003d 0, potom 0x \u003d 0 pre akúkoľvek kladnú hodnotu x, t.j. dostaneme funkciu y \u003d 0 definovanú pre x\u003e 0 - to tiež nie je zaujímavé.<0, то выражение а" имеет смысл лишь при целых значениях х, а мы все-таки предпочитаем рассматривать функции, определенные на сплошных промежутках.

Predtým, ako prejdeme k riešeniu príkladov, poznamenávame, že exponenciálna funkcia sa výrazne líši od všetkých funkcií, ktoré ste doteraz študovali. Ak chcete dôkladne preštudovať nový objekt, musíte ho zvážiť z rôznych uhlov, v rôznych situáciách, takže príkladov bude veľa.
Príklad 1

Riešenie, a) Po vykreslení grafov funkcií y \u003d 2 x a y \u003d 1 v jednom súradnicovom systéme si všimneme (obr. 203), že majú jeden spoločný bod (0; 1). Takže rovnica 2x = 1 má jeden koreň x = 0.

Takže z rovnice 2x = 2° sme dostali x = 0.

b) Po zostrojení grafov funkcií y \u003d 2 x a y \u003d 4 v jednom súradnicovom systéme si všimneme (obr. 203), že majú jeden spoločný bod (2; 4). Takže rovnica 2x = 4 má jeden koreň x = 2.

Takže z rovnice 2 x \u003d 2 2 sme dostali x \u003d 2.

c) a d) Na základe rovnakých úvah sme dospeli k záveru, že rovnica 2 x \u003d 8 má jeden koreň a na jej nájdenie nie je možné zostaviť grafy zodpovedajúcich funkcií;

je jasné, že x=3, keďže 2 3 =8. Podobne nájdeme jediný koreň rovnice

Takže z rovnice 2x = 2 3 sme dostali x = 3 a z rovnice 2 x = 2 x sme dostali x = -4.
e) Graf funkcie y \u003d 2 x je umiestnený nad grafom funkcie y \u003d 1 pre x\u003e 0 - to je dobre čitateľné na obr. 203. Riešením nerovnosti 2x > 1 je teda interval
f) Graf funkcie y \u003d 2 x sa nachádza pod grafom funkcie y \u003d 4 v bode x<2 - это хорошо читается по рис. 203. Значит, решением неравенства 2х <4служит промежуток
Pravdepodobne ste si všimli, že základom všetkých záverov urobených pri riešení príkladu 1 bola vlastnosť monotónnosti (zvýšenie) funkcie y \u003d 2 x. Podobná úvaha nám umožňuje overiť platnosť nasledujúcich dvoch teorémov.

Riešenie. Môžete postupovať takto: vytvorte graf funkcie y-3 x, potom ho roztiahnite od osi x koeficientom 3 a potom výsledný graf zdvihnite o 2 jednotky mierky. Je však pohodlnejšie použiť skutočnosť, že 3- 3* \u003d 3 * + 1, a teda vykresliť funkciu y \u003d 3 x * 1 + 2.

Prejdime, ako sme to už v takýchto prípadoch opakovane robili, k pomocnému súradnicovému systému s počiatkom v bode (-1; 2) - bodkované čiary x = - 1 a 1x = 2 na obr. 207. „Pripojme“ funkciu y=3* do nového súradnicového systému. Aby sme to dosiahli, vyberieme kontrolné body pre funkciu , no postavíme ich nie v starom, ale v novom súradnicovom systéme (tieto body sú vyznačené na obr. 207). Potom zostrojíme exponent po bodoch – to bude požadovaný graf (pozri obr. 207).
Na nájdenie najväčšej a najmenšej hodnoty danej funkcie na segmente [-2, 2] využívame fakt, že daná funkcia je rastúca, a teda naberá svoje najmenšie a najväčšie hodnoty vľavo resp. pravé konce segmentu.
Takže:

Príklad 4 Vyriešte rovnicu a nerovnice:

Riešenie, a) Zostrojme grafy funkcií y=5* a y=6-x v jednom súradnicovom systéme (obr. 208). Pretínajú sa v jednom bode; súdiac podľa kresby ide o bod (1; 5). Kontrola ukazuje, že v skutočnosti bod (1; 5) spĺňa rovnicu y = 5* aj rovnicu y=6x. Úsečka tohto bodu slúži ako jediný koreň danej rovnice.

Takže rovnica 5 x = 6-x má jeden koreň x = 1.

b) a c) Exponent y-5x leží nad priamkou y=6-x, ak x>1, - to je jasne vidieť na obr. 208. Riešenie nerovnice 5*>6-x teda možno zapísať takto: x>1. A riešenie nerovnosti 5x<6 - х можно записать так: х < 1.
Odpoveď: a) x = 1; b) x > 1; c)x<1.

Príklad 5 Daná funkcia Dokáž to
Riešenie. Podľa podmienok Máme.

Nájdite hodnotu výrazu pre rôzne racionálne hodnoty premennej x=2; 0; -3; -

Všimnite si, že bez ohľadu na to, aké číslo dosadíme namiesto premennej x, vždy môžete nájsť hodnotu tohto výrazu. Uvažujeme teda o exponenciálnej funkcii (y sa rovná trojke x mocnine), definovanej na množine racionálnych čísel: .

Zostavme graf tejto funkcie vytvorením tabuľky jej hodnôt.

Narysujme hladkú čiaru prechádzajúcu týmito bodmi (obr. 1)

Pomocou grafu tejto funkcie zvážte jej vlastnosti:

3. Zvyšuje sa po celej oblasti definície.

1. rozsah od nuly do plus nekonečna.

8. Funkcia je konvexná nadol.

Ak v jednom súradnicovom systéme zostavovať grafy funkcií; y=(y sa rovná dvom mocnine x, y sa rovná päť mocnine x, y sa rovná siedmim mocnine x), môžete vidieť, že majú rovnaké vlastnosti ako y=(y sa rovná tri mocnine x) ( .2), teda všetky funkcie tvaru y = (y sa rovná a mocnine x, pričom je väčšie ako jedna) budú mať takéto vlastnosti

Nakreslíme funkciu:

1. Zostavenie tabuľky jeho hodnôt.

Získané body označíme na súradnicovej rovine.

Narysujme hladkú čiaru prechádzajúcu týmito bodmi (obr. 3).

Pomocou grafu tejto funkcie naznačíme jej vlastnosti:

1. Definičný obor je množina všetkých reálnych čísel.

2. Nie je párne ani nepárne.

3. Znižuje sa v celej oblasti definície.

4. Nemá najväčšie ani najmenšie hodnoty.

5. Obmedzené zdola, ale nie obmedzené zhora.

6. Kontinuálne v celej oblasti definície.

7. rozsah hodnôt od nuly do plus nekonečna.

8. Funkcia je konvexná nadol.

Podobne, ak v jednom súradnicovom systéme zostavovať grafy funkcií; y=(y sa rovná jednej sekunde mocnine x, y sa rovná jednej pätine mocnine x, y sa rovná jednej sedmine mocnine x), môžete vidieť, že majú rovnaké vlastnosti ako y=(y sa rovná jednej tretine mocniny mocnina x). x) (obr. 4), teda všetky funkcie tvaru y \u003d (y sa rovná jednej delenej a na mocninu x, pričom je väčšia ako nula, ale menšia ako jedna) mať takéto vlastnosti

Zostrojme grafy funkcií v jednom súradnicovom systéme

to znamená, že grafy funkcií y \u003d y \u003d (y sa rovná a rovná mocnine x a y sa rovná jednej delené a mocninou x) budú tiež symetrické pre rovnakú hodnotu a .

Zhrnieme to, čo bolo povedané, uvedením definície exponenciálnej funkcie a uvedením jej hlavných vlastností:

Definícia: Funkcia tvaru y \u003d, kde (y sa rovná a mocnine x, kde a je kladné a odlišné od jednotky), sa nazýva exponenciálna funkcia.

Je potrebné si zapamätať rozdiely medzi exponenciálnou funkciou y= a mocninnou funkciou y=, a=2,3,4,…. sluchovo aj vizuálne. Exponenciálna funkcia X je stupeň a pre mocenskú funkciu X je základ.

Príklad 1: Vyriešte rovnicu (tri na mocninu x sa rovná deviatim)

(y sa rovná tri mocnine x a y sa rovná deviatke) obr.7

Všimnite si, že majú jeden spoločný bod M (2; 9) (em so súradnicami dva; deväť), čo znamená, že úsečka bodu bude koreňom tejto rovnice. To znamená, že rovnica má jeden koreň x = 2.

Príklad 2: Vyriešte rovnicu

V jednom súradnicovom systéme zostrojíme dva grafy funkcie y \u003d (y sa rovná päť mocnine x a y sa rovná jednej dvadsaťpäťke) Obr.8. Grafy sa pretínajú v jednom bode T (-2; (te so súradnicami mínus dva; jedna dvadsiata pätina). Koreň rovnice je teda x \u003d -2 (číslo mínus dva).

Príklad 3: Vyriešte nerovnicu

V jednom súradnicovom systéme zostrojíme dva grafy funkcie y \u003d

(y sa rovná tri na mocninu x a y sa rovná dvadsiatim siedmim).

Obr.9 Graf funkcie sa nachádza nad grafom funkcie y=kedy

x Riešením nerovnosti je teda interval (od mínus nekonečna do troch)

Príklad 4: Vyriešte nerovnicu

V jednom súradnicovom systéme zostrojíme dva grafy funkcie y \u003d (y sa rovná jednej štvrtine mocniny x a y sa rovná šestnástim). (obr. 10). Grafy sa pretínajú v jednom bode K (-2;16). To znamená, že riešením nerovnosti je interval (-2; (od mínus dva do plus nekonečno), pretože graf funkcie y \u003d je umiestnený pod grafom funkcie na x

Naša úvaha nám umožňuje overiť platnosť nasledujúcich teorémov:

Terem 1: Ak je pravda vtedy a len vtedy, ak m=n.

Veta 2: Ak je pravda vtedy a len vtedy, potom nerovnosť je pravdivá vtedy a len vtedy (obr. *)

Veta 4: Ak je pravda vtedy a len vtedy (obr.**), nerovnosť je pravdivá vtedy a len vtedy Veta 3: Ak je pravdivá vtedy a len vtedy, ak m=n.

Príklad 5: Nakreslite funkciu y=

Funkciu upravíme aplikáciou vlastnosti stupňa y=

Postavme si dodatočný súradnicový systém a do nového súradnicového systému nakreslíme funkciu y = (y sa rovná dvom mocnine x) Obr.11.

Príklad 6: Vyriešte rovnicu

V jednom súradnicovom systéme zostrojíme dva grafy funkcie y \u003d

(Y sa rovná siedmim mocnine x a Y sa rovná ôsmim mínus x) Obr.12.

Grafy sa pretínajú v jednom bode E (1; (e so súradnicami jedna; sedem). Koreňom rovnice je teda x = 1 (x sa rovná jednej).

Príklad 7: Vyriešte nerovnicu

V jednom súradnicovom systéme zostrojíme dva grafy funkcie y \u003d

(Y sa rovná jednej štvrtine mocniny x a Y sa rovná x plus päť). Graf funkcie y= sa nachádza pod grafom funkcie y=x+5 at, riešením nerovnosti je interval x (od mínus jedna do plus nekonečno).

lekcia č.2

Téma: Exponenciálna funkcia, jej vlastnosti a graf.

Cieľ: Skontrolujte kvalitu asimilácie konceptu „exponenciálnej funkcie“; rozvíjať zručnosti v rozpoznávaní exponenciálnej funkcie, v používaní jej vlastností a grafov, naučiť študentov používať analytické a grafické formy zaznamenávania exponenciálnej funkcie; poskytnúť pracovné prostredie v triede.

Vybavenie: tabule, plagáty

Formulár lekcie: učebňa

Typ lekcie: praktická lekcia

Typ lekcie: lekcia nácviku zručností

Plán lekcie

1. Organizačný moment

2. Samostatná práca a kontrola domácich úloh

3. Riešenie problémov

4. Zhrnutie

5. Domáce úlohy

Počas vyučovania.

1. Organizačný moment :

Ahoj. Otvorte zošity, zapíšte si dnešný dátum a tému hodiny „Exponenciálna funkcia“. Dnes budeme pokračovať v štúdiu exponenciálnej funkcie, jej vlastností a grafu.

2. Samostatná práca a kontrola domácich úloh .

Cieľ: skontrolovať kvalitu asimilácie pojmu „exponenciálna funkcia“ a skontrolovať splnenie teoretickej časti domácej úlohy

metóda: testovacia úloha, frontálny prieskum

Ako domácu úlohu ste dostali čísla z učebnice úloh a odsek z učebnice. Vykonávanie čísel z učebnice teraz nebudeme kontrolovať, ale zošity odovzdáte na konci hodiny. Teraz bude teória testovaná formou malého testu. Úloha je pre všetkých rovnaká: dostanete zoznam funkcií, musíte zistiť, ktoré z nich sú orientačné (podčiarknite ich). A k exponenciálnej funkcii treba napísať, či je rastúca alebo klesajúca.

možnosť 1 Odpoveď B) D) - exponenciálny, klesajúci	Možnosť 2 Odpoveď D) - exponenciálny, klesajúci D) - orientačný, zvyšujúci sa
Možnosť 3 Odpoveď ALE) - orientačný, zvyšujúci sa B) - exponenciálny, klesajúci	Možnosť 4 Odpoveď ALE) - exponenciálny, klesajúci AT) - orientačný, zvyšujúci sa

Teraz si spoločne pripomeňme, aká funkcia sa nazýva exponenciálna?

Funkcia tvaru , kde a , sa nazýva exponenciálna funkcia.

Aký je rozsah tejto funkcie?

Všetky reálne čísla.

Aký je rozsah exponenciálnej funkcie?

Všetky kladné reálne čísla.

Znižuje sa, ak je základ väčší ako nula, ale menší ako jedna.

Kedy klesá exponenciálna funkcia na svojom doméne?

Zvyšuje sa, ak je základňa väčšia ako jedna.

3. Riešenie problémov

Cieľ: rozvíjať zručnosti v rozpoznávaní exponenciálnej funkcie, v používaní jej vlastností a grafov, naučiť študentov používať analytické a grafické formy zaznamenávania exponenciálnej funkcie

Metóda: ukážka riešenia typických úloh učiteľom, ústna práca, práca pri tabuli, práca v zošite, rozhovor učiteľa so žiakmi.

Vlastnosti exponenciálnej funkcie možno využiť pri porovnávaní 2 a viacerých čísel. Napríklad: č. 000. Porovnajte hodnoty a ak a) ..gif" width="37" height="20 src=">, potom je to dosť zložitá úloha: museli by sme vziať odmocninu z 3 a 9 a porovnať ich. Vieme však, že sa to zvyšuje, je vo svojom vlastnom rade znamená, že keď sa argument zvyšuje, hodnota funkcie sa zvyšuje, to znamená, že nám stačí porovnať hodnoty argumentu medzi sebou a samozrejme, že (možno demonštrovať na plagáte so zvyšujúcou sa exponenciálnou funkciou). A vždy pri riešení takýchto príkladov najprv určte bázu exponenciálnej funkcie, porovnajte s 1, určte monotónnosť a pristúpte k porovnávaniu argumentov. V prípade klesajúcej funkcie: ako argument rastie, hodnota funkcie klesá, preto sa pri prechode z nerovnosti argumentov na nerovnosť funkcií zmení znamienko nerovnosti. Potom riešime ústne: b)

-

AT)

-

G)

-

- č. 000. Porovnajte čísla: a) a

Preto sa funkcia zvyšuje

prečo?

Zvýšenie funkcie a

Preto funkcia klesá

Obe funkcie sa zvyšujú v celej svojej doméne definície, pretože sú exponenciálne so základom väčším ako jedna.

aký to má zmysel?

Vytvárame grafy:

Ktorá funkcia rastie rýchlejšie pri snahe https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width="20 height=25" height="25">

Ktorá funkcia klesá rýchlejšie pri snahe https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width="20 height=25" height="25">

Ktorá z funkcií má na intervale najväčšiu hodnotu v určitom bode?

D), https://pandia.ru/text/80/379/images/image068_0.gif" width="69" height="57 src=">. Najprv zistime rozsah týchto funkcií. zhodovať sa?

Áno, doménou týchto funkcií sú všetky reálne čísla.

Pomenujte rozsah každej z týchto funkcií.

Rozsahy týchto funkcií sa zhodujú: všetky kladné reálne čísla.

Určte typ monotónnosti každej z funkcií.

Všetky tri funkcie klesajú v celej svojej doméne definície, pretože sú exponenciálne so základom menším ako jedna a väčším ako nula.

Aký je singulárny bod grafu exponenciálnej funkcie?

aký to má zmysel?

Bez ohľadu na základ stupňa exponenciálnej funkcie, ak je exponent 0, potom je hodnota tejto funkcie 1.

Vytvárame grafy:

Poďme analyzovať grafy. Koľko priesečníkov majú grafy funkcií?

Ktorá funkcia sa pri úsilí znižuje rýchlejšie? https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif

Ktorá funkcia rastie rýchlejšie, keď sa snažíte? https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif

Ktorá z funkcií má na intervale najväčšiu hodnotu v určitom bode?

Ktorá z funkcií má na intervale najväčšiu hodnotu v určitom bode?

Prečo majú exponenciálne funkcie s rôznymi základňami iba jeden priesečník?

Exponenciálne funkcie sú prísne monotónne v celej svojej doméne definície, takže sa môžu pretínať iba v jednom bode.

Ďalšia úloha sa zameria na využitie tejto vlastnosti. № 000. Nájdite najväčšiu a najmenšiu hodnotu danej funkcie na danom intervale a). Pripomeňme, že striktne monotónna funkcia má svoje minimálne a maximálne hodnoty na konci daného intervalu. A ak sa funkcia zvyšuje, potom jej najvyššia hodnota bude na pravom konci segmentu a najmenší na ľavom konci segmentu (ukážka na plagáte s použitím exponenciálnej funkcie ako príkladu). Ak je funkcia klesajúca, jej najväčšia hodnota bude na ľavom konci segmentu a najmenšia na pravom konci segmentu (demonštrácia na plagáte s použitím exponenciálnej funkcie ako príkladu). Funkcia sa zvyšuje, pretože preto najmenšia hodnota funkcie bude v bode https://pandia.ru/text/80/379/images/image075_0.gif" width="145" height="29" >. Body b) , v) d) riešte zošity svojpomocne, skontrolujeme to ústne.

Žiaci riešia úlohu vo svojom zošite

Funkcia klesania

Funkcia klesania najväčšia hodnota funkcie na segmente najmenšia hodnota funkcie na segmente

Zvyšujúca sa funkcia najmenšia hodnota funkcie na segmente najväčšia hodnota funkcie na segmente

- № 000. Nájdite najväčšiu a najmenšiu hodnotu danej funkcie na danom intervale a) . Táto úloha je takmer rovnaká ako predchádzajúca. Ale tu nie je daný segment, ale lúč. Vieme, že funkcia sa zvyšuje a nemá ani najväčšiu, ani najmenšiu hodnotu na celom číselnom rade https://pandia.ru/text/80/379/images/image063_0.gif" width="68" height = "20"> a má tendenciu k , t.j. na lúči má funkcia at tendenciu k 0, ale nemá svoju najmenšiu hodnotu, ale má najväčšiu hodnotu v bode . Body b) , v) , G) Vyriešte si vlastné zošity, skontrolujeme to ústne.