Potom a + b = b + a, a + (b + c) = (a + b) + c.
Pridaním nuly sa nezmení číslo, ale súčet opačné čísla rovná sa nule.
Pre každé racionálne číslo teda platí: a + 0 = a, a + (- a) = 0.
Násobenie racionálnych čísel má tiež komutatívne a asociatívne vlastnosti. Inými slovami, ak a, b a c sú akékoľvek racionálne čísla, potom ab - ba, a(bc) - (ab)c.
Násobením 1 sa racionálne číslo nezmení, ale súčin čísla a jeho recipročného čísla je 1.
Takže pre každé racionálne číslo a máme:
a) x + 8 - x - 22; c) a-m+ 7-8+m;
b) -x-a + 12 + a-12; d) 6,1 -k + 2,8 + p - 8,8 + k - p.
1190. Po zvolení vhodného poradia výpočtov nájdite hodnotu výrazu:
1191. Slovne sformulujte komutatívnu vlastnosť násobenia ab = ba a skontrolujte, či ide o:
1192. Sformulujte slovami asociatívnu vlastnosť násobenia a(bc)=(ab)c a skontrolujte, či ide o:
1193. Výberom vhodného poradia výpočtov nájdite hodnotu výrazu:
1194. Aké bude číslo (kladné alebo záporné), ak vynásobíte:
a) jedno záporné číslo a dve kladné čísla;
b) dve záporné a jedno kladné číslo;
c) 7 záporných a niekoľko kladných čísel;
d) 20 negatív a pár pozitív? Urobte záver.
1195. Určite znamienko súčinu:
a) - 2 (- 3) (- 9) (-1,3) 14 (- 2,7) (- 2,9);
b) 4 (-11) (-12) (-13) (-15) (-17) 80 90.
a) Vitya, Kolya, Petya, Seryozha a Maxim sa zhromaždili v telocvični (obr. 91, a). Ukázalo sa, že každý z chlapcov pozná len dvoch ďalších. ktovie koho? (Okraj grafu znamená "poznáme sa.")
b) Bratia a sestry z tej istej rodiny sa prechádzajú po dvore. Ktoré z týchto detí sú chlapci a ktoré dievčatá (obr. 91, b)? (Prerušované okraje grafu znamenajú - "Som sestra" a plné - "Som brat.")
1205. Vypočítajte:
1206. Porovnaj:
a) 23 a 32; b) (-2)3 a (-3)2; c) 13 a 12; d) (-1) 3 a (-1) 2.
1207. Zaokrúhlite 5,2853 na tisíciny; predtým stotiny; až desatiny; až jednotiek.
1208. Vyriešte problém:
1) Motocyklista dobehne cyklistu. Teraz medzi nimi 23,4 km. Rýchlosť motocyklistu je 3,6-krát vyššia ako rýchlosť cyklistu. Nájdite rýchlosti cyklistu a motocyklistu, ak je známe, že motocyklista predbehne cyklistu za hodiny.
2) Auto dobieha autobus. Teraz medzi nimi 18 km. Rýchlosť autobusu je rýchlosť auta. Nájdite rýchlosti autobusu a auta, ak je známe, že auto predbehne autobus za niekoľko hodín.
1209. Nájdite hodnotu výrazu:
1) (0,7245:0,23 - 2,45) 0,18 + 0,07 4;
2) (0,8925:0,17 - 4,65) 0,17+0,098;
3) (-2,8 + 3,7 -4,8) 1,5:0,9;
4) (5,7-6,6-1,9) 2,1:(-0,49).
Skontrolujte svoje výpočty pomocou kalkulačka.
1210. Po výbere vhodného poradia výpočtov nájdite hodnotu výrazu: 
1211. Zjednodušte výraz:
1212. Nájdite hodnotu výrazu:
1213. Postupujte takto:
1214. Žiaci dostali za úlohu vyzbierať 2,5 tony kovového odpadu. Vyzbierali 3,2 tony kovového šrotu. Na koľko percent žiaci úlohu splnili a na koľko prekročili úlohu?
1215. Auto prešlo 240 km. Z toho 180 km kráčala po poľnej ceste a zvyšok cesty - po diaľnici. Spotreba benzínu na každých 10 km poľnej cesty bola 1,6 litra a na diaľnici - o 25% menej. Koľko litrov benzínu sa priemerne spotrebovalo na každých 10 km cesty?
1216. Pri výjazde z obce si cyklista všimol po moste chodca idúceho rovnakým smerom a o 12 minút ho dobehol. Nájdite rýchlosť chodca, ak rýchlosť cyklistu je 15 km/h a vzdialenosť od obce k mostu je 1 km 800 m?
1217. Postupujte takto:
a) - 4,8 3,7 - 2,9 8,7 - 2,6 5,3 + 6,2 1,9;
b) -14,31:5,3 - 27,81:2,7 + 2,565:3,42 + 4,1 0,8;
c) 3,5 0,23 - 3,5 (- 0,64) + 0,87 (- 2,5).
Ako viete, ľudia sa s racionálnymi číslami zoznamovali postupne. Najprv pri počítaní predmetov vznikali prirodzené čísla. Spočiatku ich bolo málo. Takže až donedávna mali domorodci na ostrovoch v Torresovom prielive (oddeľujúcom Novú Guineu od Austrálie) vo svojom jazyku iba dve čísla: „urapun“ (jedno) a „okaza“ (dve). Obyvatelia ostrova si to mysleli takto: „okaza-urapun“ (tri), „okaza-okaza“ (štyri) atď. Všetky čísla, počnúc siedmimi, domorodci nazývali slovo s významom „veľa“.
Vedci sa domnievajú, že slovo pre sto sa objavilo pred viac ako 7 000 rokmi, pred tisíc - 6 000 rokmi a pred 5 000 rokmi v r. Staroveký Egypt av starovekom Babylone sa objavujú mená pre obrovské čísla - až milión. Ale dlhý čas sa prirodzený rad čísel považoval za konečný: ľudia si mysleli, že je toho najviac veľké číslo.
Najväčší staroveký grécky matematik a fyzik Archimedes (287-212 pred Kr.) prišiel na spôsob, ako opísať obrovské čísla. Najväčšie číslo, ktoré vedel Archimedes pomenovať, bolo také veľké, že na jeho digitálny záznam by bola potrebná páska dvetisíckrát dlhšia, ako je vzdialenosť Zeme od Slnka.
Ale stále nevedeli, ako zapísať také obrovské čísla. To sa stalo možným až po indických matematikoch v 6. storočí. bolo vynájdené číslo nula a začalo označovať absenciu jednotiek v čísliciach desiatkového zápisu čísla.
Pri delení koristi a neskôr pri meraní hodnôt a v iných podobných prípadoch sa ľudia stretli s potrebou zaviesť „lomené čísla“ - bežné zlomky. Akcie na zlomkoch boli v stredoveku považované za najťažšiu oblasť matematiky. Doteraz Nemci o človeku, ktorý je v ťažkej situácii, hovoria, že „spadol na zlomky“.
Na uľahčenie práce so zlomkami boli vynájdené desatinné čísla. zlomky. V Európe ich v X585 predstavil holandský matematik a inžinier Simon Stevin.
Záporné čísla sa objavili neskôr ako zlomky. Takéto čísla sa dlho považovali za „neexistujúce“, „nepravdivé“ predovšetkým z dôvodu, že akceptovaná interpretácia pre pozitívne a záporné čísla"majetok - dlh" viedol k zmätku: "majetok" alebo "dlhy" môžete pridať alebo odpočítať, ale ako chápať pracovný alebo súkromný "majetok" a "dlh"?
Napriek takýmto pochybnostiam a zmätkom boli v 3. storočí navrhnuté pravidlá na násobenie a delenie kladných a záporných čísel. gréckym matematikom Diophantom (vo forme: „Odčítané, násobené sčítaným, dáva subtrahend; odčítané odčítané dáva pridané“ atď.), a neskôr indický matematik Bhaskara (XII. storočie) vyjadril to isté pravidlá v pojmoch „majetok“, „dlh“ („Súčinom dvoch nehnuteľností alebo dvoch dlhov je majetok; súčinom majetku a dlhu je dlh.“ Rovnaké pravidlo platí aj pre rozdelenie).
Zistilo sa, že vlastnosti akcií na záporných číslach sú rovnaké ako na kladných číslach (napríklad sčítanie a násobenie majú komutatívnu vlastnosť). A napokon, od začiatku minulého storočia sa záporné čísla vyrovnali kladným.
Neskôr sa v matematike objavili nové čísla – iracionálne, komplexné a iné. Dozviete sa o nich na strednej škole.
N.Ya.Vilenkin, A.S. Česnokov, S.I. Schwarzburd, V.I. Zhokhov, Matematika pre 6. ročník, Učebnica pre stredná škola
Knihy a učebnice podľa kalendárneho plánu pre 6. ročník matematiky na stiahnutie, pomôžte študentovi online
Táto lekcia zahŕňa sčítanie a odčítanie racionálnych čísel. Téma je klasifikovaná ako komplexná. Tu je potrebné využiť celý arzenál predtým nadobudnutých vedomostí.
Pravidlá pre sčítanie a odčítanie celých čísel platia aj pre racionálne čísla. Pripomeňme, že racionálne čísla sú čísla, ktoré možno znázorniť ako zlomok, kde a - je čitateľ zlomku b je menovateľ zlomku. pričom b by nemalo byť nulové.
V tejto lekcii budeme čoraz častejšie označovať zlomky a zmiešané čísla ako jednu spoločnú frázu - racionálne čísla.
Navigácia v lekcii:Príklad 1 Nájdite hodnotu výrazu:
Každé racionálne číslo uzatvárame do zátvoriek spolu s jeho znamienkami. Berieme do úvahy, že plus, ktoré je uvedené vo výraze, je znamienkom operácie a neplatí pre zlomky. Tento zlomok má svoje vlastné znamienko plus, ktoré je neviditeľné, pretože nie je zapísané. Ale pre prehľadnosť si to napíšeme:
Ide o sčítanie racionálnych čísel s rôzne znamenia. Ak chcete pridať racionálne čísla s rôznymi znamienkami, musíte odčítať menší modul od väčšieho modulu a pred odpoveď vložiť znamienko racionálneho čísla, ktorého modul je väčší. A aby ste pochopili, ktorý modul je väčší a ktorý je menší, musíte byť schopní porovnať moduly týchto zlomkov pred ich výpočtom:
Modul racionálneho čísla je väčší ako modul racionálneho čísla. Preto sme odpočítali od . Dostal som odpoveď. Potom, znížením tohto zlomku o 2, sme dostali konečnú odpoveď.
Niektoré primitívne akcie, ako je vkladanie čísel do zátvoriek a odkladanie modulov, je možné preskočiť. Tento príklad možno napísať kratšie:
Príklad 2 Nájdite hodnotu výrazu:
Každé racionálne číslo uzatvárame do zátvoriek spolu s jeho znamienkami. Berieme do úvahy, že mínus medzi racionálnymi číslami a je znakom operácie a neplatí pre zlomky. Tento zlomok má svoje vlastné znamienko plus, ktoré je neviditeľné, pretože nie je zapísané. Ale pre prehľadnosť si to napíšeme:
Odčítanie nahradíme sčítaním. Pripomeňme si, že na tento účel musíte k minuendu pridať číslo opačné k subtrahendu:
Získali sme sčítanie záporných racionálnych čísel. Ak chcete pridať záporné racionálne čísla, musíte pridať ich moduly a pred odpoveď dať mínus:
Poznámka. Nie je potrebné uzatvárať každé racionálne číslo do zátvoriek. Toto sa robí pre pohodlie, aby bolo jasné, aké znaky majú racionálne čísla.
Príklad 3 Nájdite hodnotu výrazu:
V tomto výraze zlomky rôznych menovateľov. Aby sme si to uľahčili, priveďme tieto zlomky k spoločnému menovateľovi. Nebudeme sa podrobne zaoberať tým, ako to urobiť. Ak máte ťažkosti, lekciu zopakujte.
Po zredukovaní zlomkov na spoločného menovateľa bude mať výraz nasledujúcu formu:
Ide o sčítanie racionálnych čísel s rôznymi znamienkami. Menší modul odčítame od väčšieho modulu a pred prijatú odpoveď vložíme znamienko racionálneho čísla, ktorého modul je väčší:
Zapíšme si riešenie tohto príkladu kratšie:
Príklad 4 Nájdite hodnotu výrazu
Tento výraz vypočítame nasledujúcim spôsobom: sčítame racionálne čísla a potom od získaného výsledku odčítame racionálne číslo. 
Prvá akcia:
Druhá akcia:
Príklad 5. Nájdite hodnotu výrazu:
Predstavme celé číslo −1 ako zlomok a zmiešané číslo previesť na nesprávny zlomok:
Každé racionálne číslo uzatvárame do zátvoriek spolu s jeho znamienkami:
Získali sme sčítanie racionálnych čísel s rôznymi znamienkami. Menší modul odčítame od väčšieho modulu a pred prijatú odpoveď vložíme znamienko racionálneho čísla, ktorého modul je väčší:
Dostal som odpoveď.
Existuje aj druhé riešenie. Spočíva v zložení celých častí samostatne.
Takže späť k pôvodnému výrazu:
Každé číslo uzavrite do zátvoriek. Pre toto zmiešané číslo dočasne:
Vypočítajme časti celého čísla:
(−1) + (+2) = 1
V hlavnom výraze namiesto (−1) + (+2) napíšeme výslednú jednotku:
Výsledný výraz. Za týmto účelom napíšte jednotku a zlomok spolu:
Napíšme riešenie týmto spôsobom kratšie:
Príklad 6 Nájdite hodnotu výrazu
Preveďte zmiešané číslo na nesprávny zlomok. Zvyšok prepíšeme bez zmeny:
Každé racionálne číslo uzatvárame do zátvoriek spolu s jeho znamienkami:
Nahraďte odčítanie sčítaním:
Zapíšme si riešenie tohto príkladu kratšie:
Príklad 7 Nájdite výraz hodnoty
Predstavme si celé číslo −5 ako zlomok a preložme zmiešané číslo na nesprávny zlomok:
Priveďme tieto zlomky k spoločnému menovateľovi. Po ich privedení k spoločnému menovateľovi budú mať nasledujúcu podobu:
Každé racionálne číslo uzatvárame do zátvoriek spolu s jeho znamienkami:
Nahraďte odčítanie sčítaním:
Získali sme sčítanie záporných racionálnych čísel. Pridáme moduly týchto čísel a pred prijatú odpoveď dáme mínus:
Hodnota výrazu je teda .
Vyriešme tento príklad druhým spôsobom. Vráťme sa k pôvodnému výrazu:
Napíšme zmiešané číslo v rozšírenom tvare. Zvyšok prepíšeme bez zmien:
Každé racionálne číslo uzatvárame do zátvoriek spolu s jeho znamienkami:
Vypočítajme časti celého čísla:
V hlavnom výraze namiesto písania výsledného čísla −7
Výraz je rozšírená forma zápisu zmiešaného čísla. Napíšme spolu číslo −7 a zlomok, čím vznikne konečná odpoveď:
V krátkosti napíšeme toto riešenie:
Príklad 8 Nájdite hodnotu výrazu
Každé racionálne číslo uzatvárame do zátvoriek spolu s jeho znamienkami:
Nahraďte odčítanie sčítaním:
Získali sme sčítanie záporných racionálnych čísel. Pridáme moduly týchto čísel a pred prijatú odpoveď dáme mínus:
Hodnota výrazu je teda
Tento príklad možno vyriešiť druhým spôsobom. Spočíva v pridávaní celku a zlomkových častí oddelene. Vráťme sa k pôvodnému výrazu:
Každé racionálne číslo uzatvárame do zátvoriek spolu s jeho znamienkami:
Nahraďte odčítanie sčítaním:
Získali sme sčítanie záporných racionálnych čísel. Pridáme moduly týchto čísel a pred prijatú odpoveď dáme mínus. Ale tentoraz pridávame oddelene celočíselné časti (−1 a −2) a zlomkové a
V krátkosti napíšeme toto riešenie:
Príklad 9 Nájdite výrazy 
Previesť zmiešané čísla na nesprávne zlomky:
Racionálne číslo uzatvárame do zátvoriek spolu s jeho znamienkom. Racionálne číslo nemusí byť uzavreté v zátvorkách, pretože je už v zátvorkách:
Získali sme sčítanie záporných racionálnych čísel. Pridáme moduly týchto čísel a pred prijatú odpoveď dáme mínus:
Hodnota výrazu je teda
Teraz skúsme vyriešiť ten istý príklad druhým spôsobom, a to pridaním celočíselnej a zlomkovej časti oddelene.
Tentoraz, aby sme získali krátke riešenie, skúsme preskočiť niektoré akcie, ako je písanie zmiešaného čísla v rozšírenej forme a nahradenie odčítania sčítaním:
Všimnite si, že zlomkové časti boli zredukované na spoločného menovateľa.
Príklad 10 Nájdite hodnotu výrazu 
Nahraďte odčítanie sčítaním:
Výsledný výraz neobsahuje záporné čísla, ktoré sú hlavnou príčinou chýb. A keďže neexistujú žiadne záporné čísla, môžeme odstrániť plus pred subtrahendom a tiež odstrániť zátvorky:
Výsledkom je jednoduchý výraz, ktorý sa dá ľahko vypočítať. Vypočítajme to akýmkoľvek spôsobom, ktorý nám vyhovuje:
Príklad 11. Nájdite hodnotu výrazu
Ide o sčítanie racionálnych čísel s rôznymi znamienkami. Odčítajme menší modul od väčšieho modulu a pred prijaté odpovede dáme znamienko racionálneho čísla, ktorého modul je väčší:
Príklad 12. Nájdite hodnotu výrazu 
Výraz sa skladá z niekoľkých racionálnych čísel. Podľa toho musíte v prvom rade vykonať akcie v zátvorkách.
Najprv vypočítame výraz , potom výraz Pridáme získané výsledky.
Prvá akcia:
Druhá akcia:
Tretia akcia:
odpoveď: hodnota výrazu rovná sa
Príklad 13 Nájdite hodnotu výrazu 
Previesť zmiešané čísla na nesprávne zlomky:
Racionálne číslo uzatvárame do zátvoriek spolu s jeho znamienkom. Racionálne číslo nemusí byť uzavreté v zátvorkách, pretože je už v zátvorkách:
Dajme tieto zlomky v spoločnom menovateli. Po ich privedení k spoločnému menovateľovi budú mať nasledujúcu podobu:
Nahraďte odčítanie sčítaním:
Získali sme sčítanie racionálnych čísel s rôznymi znamienkami. Odčítajme menší modul od väčšieho modulu a pred prijaté odpovede dáme znamienko racionálneho čísla, ktorého modul je väčší:
Teda hodnota výrazu rovná sa
Zvážte sčítanie a odčítanie desatinných zlomkov, ktoré sú tiež racionálnymi číslami a ktoré môžu byť kladné aj záporné.
Príklad 14 Nájdite hodnotu výrazu −3,2 + 4,3
Každé racionálne číslo uzatvárame do zátvoriek spolu s jeho znamienkami. Berieme do úvahy, že plus, ktoré je uvedené vo výraze, je znamienkom operácie a neplatí pre desatinný zlomok 4.3. Táto desatinná čiarka má svoje vlastné znamienko plus, ktoré je neviditeľné, pretože nie je zapísané. Ale pre prehľadnosť si to napíšeme:
(−3,2) + (+4,3)
Ide o sčítanie racionálnych čísel s rôznymi znamienkami. Ak chcete pridať racionálne čísla s rôznymi znamienkami, musíte odčítať menší modul od väčšieho modulu a umiestniť racionálne číslo, ktorého modul je väčší, pred odpoveď. A aby ste pochopili, ktorý modul je väčší a ktorý menší, musíte byť schopní porovnať moduly týchto desatinných zlomkov pred ich výpočtom:
(−3,2) + (+4,3) = |+4,3| − |−3,2| = 1,1
Modul 4,3 je väčší ako modul -3,2, preto sme od 4,3 odpočítali 3,2. Odpoveď som dostal 1.1. Odpoveď je áno, pretože pred odpoveďou musí byť znamienko racionálneho čísla, ktorého modul je väčší. A modul 4,3 je väčší ako modul -3,2
Hodnota výrazu −3,2 + (+4,3) je teda 1,1
−3,2 + (+4,3) = 1,1
Príklad 15 Nájdite hodnotu výrazu 3,5 + (-8,3)
Ide o sčítanie racionálnych čísel s rôznymi znamienkami. Rovnako ako v predchádzajúcom príklade odčítame menší od väčšieho modulu a pred odpoveď vložíme znamienko racionálneho čísla, ktorého modul je väčší:
3,5 + (−8,3) = −(|−8,3| − |3,5|) = −(8,3 − 3,5) = −(4,8) = −4,8
Hodnota výrazu 3,5 + (−8,3) sa teda rovná −4,8
Tento príklad možno napísať kratšie:
3,5 + (−8,3) = −4,8
Príklad 16 Nájdite hodnotu výrazu −7,2 + (−3,11)
Ide o sčítanie záporných racionálnych čísel. Ak chcete pridať záporné racionálne čísla, musíte pridať ich moduly a pred odpoveď dať mínus.
Záznam s modulmi môžete preskočiť, aby ste sa vyhli preplneniu výrazu:
−7,2 + (−3,11) = −7,20 + (−3,11) = −(7,20 + 3,11) = −(10,31) = −10,31
Hodnota výrazu −7,2 + (−3,11) sa teda rovná −10,31
Tento príklad možno napísať kratšie:
−7,2 + (−3,11) = −10,31
Príklad 17. Nájdite hodnotu výrazu −0,48 + (−2,7)
Ide o sčítanie záporných racionálnych čísel. Pridáme ich moduly a pred prijatú odpoveď dáme mínus. Záznam s modulmi môžete preskočiť, aby ste sa vyhli preplneniu výrazu:
−0,48 + (−2,7) = (−0,48) + (−2,70) = −(0,48 + 2,70) = −(3,18) = −3,18
Príklad 18. Nájdite hodnotu výrazu −4,9 − 5,9
Každé racionálne číslo uzatvárame do zátvoriek spolu s jeho znamienkami. Berieme do úvahy, že mínus, ktoré sa nachádza medzi racionálnymi číslami −4,9 a 5,9, je znamienkom operácie a neplatí pre číslo 5,9. Toto racionálne číslo má svoje vlastné znamienko plus, ktoré je neviditeľné kvôli tomu, že nie je zapísané. Ale pre prehľadnosť si to napíšeme:
(−4,9) − (+5,9)
Nahraďte odčítanie sčítaním:
(−4,9) + (−5,9)
Získali sme sčítanie záporných racionálnych čísel. Pridáme ich moduly a pred prijatú odpoveď dáme mínus:
(−4,9) + (−5,9) = −(4,9 + 5,9) = −(10,8) = −10,8
Hodnota výrazu −4,9 − 5,9 sa teda rovná −10,8
−4,9 − 5,9 = −10,8
Príklad 19. Nájdite hodnotu výrazu 7 − 9.3
Každé číslo spolu s jeho znamienkami uzavrite do zátvoriek
(+7) − (+9,3)
Odčítanie nahradíme sčítaním
(+7) + (−9,3)
(+7) + (−9,3) = −(9,3 − 7) = −(2,3) = −2,3
Hodnota výrazu 7 − 9,3 je teda −2,3
Zapíšme si riešenie tohto príkladu kratšie:
7 − 9,3 = −2,3
Príklad 20. Nájdite hodnotu výrazu −0,25 − (−1,2)
Nahraďte odčítanie sčítaním:
−0,25 + (+1,2)
Získali sme sčítanie racionálnych čísel s rôznymi znamienkami. Menší modul odčítame od väčšieho modulu a pred odpoveď dáme znamienko čísla, ktorého modul je väčší:
−0,25 + (+1,2) = 1,2 − 0,25 = 0,95
Zapíšme si riešenie tohto príkladu kratšie:
−0,25 − (−1,2) = 0,95
Príklad 21. Nájdite hodnotu výrazu -3,5 + (4,1 - 7,1)
Vykonajte činnosti v zátvorkách a potom pridajte prijatú odpoveď s číslom −3,5
Prvá akcia:
4,1 − 7,1 = (+4,1) − (+7,1) = (+4,1) + (−7,1) = −(7,1 − 4,1) = −(3,0) = −3,0
Druhá akcia:
−3,5 + (−3,0) = −(3,5 + 3,0) = −(6,5) = −6,5
odpoveď: hodnota výrazu −3,5 + (4,1 − 7,1) je −6,5.
Príklad 22. Nájdite hodnotu výrazu (3,5 - 2,9) - (3,7 - 9,1)
Urobme zátvorky. Potom od čísla, ktoré je výsledkom vykonania prvých zátvoriek, odčítajte číslo, ktoré je výsledkom vykonania druhých zátvoriek:
Prvá akcia:
3,5 − 2,9 = (+3,5) − (+2,9) = (+3,5) + (−2,9) = 3,5 − 2,9 = 0,6
Druhá akcia:
3,7 − 9,1 = (+3,7) − (+9,1) = (+3,7) + (−9,1) = −(9,1 − 3,7) = −(5,4) = −5,4
Tretie dejstvo
0,6 − (−5,4) = (+0,6) + (+5,4) = 0,6 + 5,4 = 6,0 = 6
odpoveď: hodnota výrazu (3,5 - 2,9) - (3,7 - 9,1) je 6.
Príklad 23. Nájdite hodnotu výrazu −3,8 + 17,15 − 6,2 − 6,15
Do zátvoriek uzatvorte každé racionálne číslo spolu s jeho znamienkami
(−3,8) + (+17,15) − (+6,2) − (+6,15)
Kde je to možné, nahraďme odčítanie sčítaním:
(−3,8) + (+17,15) + (−6,2) + (−6,15)
Výraz sa skladá z niekoľkých pojmov. Podľa asociatívneho zákona sčítania, ak výraz pozostáva z niekoľkých výrazov, potom súčet nebude závisieť od poradia akcií. To znamená, že výrazy môžu byť pridané v akomkoľvek poradí.
Nebudeme znovu objavovať koleso, ale pridáme všetky výrazy zľava doprava v poradí, v akom sa objavujú:
Prvá akcia:
(−3,8) + (+17,15) = 17,15 − 3,80 = 13,35
Druhá akcia:
13,35 + (−6,2) = 13,35 − −6,20 = 7,15
Tretia akcia:
7,15 + (−6,15) = 7,15 − 6,15 = 1,00 = 1
odpoveď: hodnota výrazu −3,8 + 17,15 − 6,2 − 6,15 sa rovná 1.
Príklad 24. Nájdite hodnotu výrazu
Preveďme desatinný zlomok -1,8 na zmiešané číslo. Zvyšok prepíšeme bez zmeny:
Lekcia 4
STUPEŇ S PRIRODZENÝM UKAZOVATEĽOM
Ciele: podporovať formovanie výpočtových zručností a schopností, zhromažďovanie vedomostí o tituloch na základe výpočtových skúseností; Naučte sa písať veľké a malé čísla pomocou mocniny 10.
Počas vyučovania
I. Aktualizácia základných poznatkov.
Učiteľ analyzuje výsledky overovacie práce, každý študent dostane odporúčania na vypracovanie individuálneho plánu na korekciu výpočtových zručností a schopností.
Potom sú študenti požiadaní, aby vykonali výpočty a prečítali mená slávnych matematikov, ktorí prispeli k vybudovaniu teórie stupňov:
0,3 2 ; 5 3 ; (– 12) 2 ; ; ; –7 3 ; (–0,2) 3 ; –13 2 ; 1,7 2 ; ; 1,1 2 ; 1 3 .
kľúč:
Pomocou počítača alebo epiprojektora sa na plátno premietajú portréty vedcov Diophantus, Rene Descartes, Simon Stevin. Študenti sú vyzvaní, aby v prípade záujmu pripravili historické informácie o živote a práci týchto matematikov.
II. Formovanie nových konceptov a metód konania.
Žiaci si do zošitov zapíšu tieto výrazy:
1. 2 + 2 + 2 + 2 + 2;
2. 2 + 2 + 2 + … + 2;
A podmienky
3. 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5;
4. 5 ∙ 5 … ∙ 5;
n multiplikátory
5. A∙ A∙ … ∙ A;
n multiplikátory
Študenti sú vyzvaní, aby odpovedali na otázku: „Ako môžu byť tieto záznamy prezentované kompaktnejšie, aby sa stali „viditeľnými“?
Potom učiteľ vedie rozhovor na novú tému, oboznámi študentov s pojmom prvého stupňa čísla. Študenti si môžu pripraviť dramatizáciu staroindickej legendy o vynálezcovi šachu Sethovi a kráľovi Šeramovi. Konverzáciu je potrebné ukončiť príbehom o použití mocniny 10 pri písaní veľkých a malých veličín a po tom, čo sme študentom ponúkli niekoľko referenčných kníh o fyzike, technike, astronómii, dať im príležitosť nájsť príklady takýchto veličín. v knihách.
III. Formovanie zručností a schopností.
1. Riešenie úloh č. 40 d), e), f); 51.
Počas riešenia študenti dospejú k záveru, že je užitočné zapamätať si: exponent so záporným základom je kladný, ak je exponent párny, a záporný, ak je exponent nepárny.
2. Riešenie úloh č.41,47.
IV. Zhrnutie.
Učiteľ komentuje a hodnotí prácu žiakov na hodine.
Domáca úloha: doložka 1.3, č. 42, 43, 52; voliteľné: pripravte správy o Diophantovi, Descartovi, Stevinovi.
Diophantus- starogrécky matematik z Alexandrie (III. storočie). Zachovala sa časť jeho matematického pojednania „Aritmetika“ (6 kníh z 13), kde je uvedené riešenie úloh, z ktorých väčšina vedie k takzvaným „diofanským rovnicam“, ktorých riešenie sa hľadá v racionálnom kladné čísla (Diophantus nemá žiadne záporné čísla).
Na označenie neznámeho a jeho stupňov (až do šiesteho) použil znamienko rovnosti Diophantus skrátený zápis zodpovedajúcich slov. Vedci tiež objavili arabský text ďalších 4 kníh Diofantovej aritmetiky. Diofantove spisy boli východiskom pre výskum P. Fermata, L. Eulera, K. Gaussa a i.
Descartes René (31.03.159 6 –11. 02. 1650) - francúzsky filozof a matematik, pochádzal zo starej šľachtickej rodiny. Vzdelanie získal na jezuitskej škole La Flèche v Anjou. Na začiatku tridsaťročnej vojny slúžil v armáde, ktorú opustil v roku 1621; po niekoľkých rokoch cestovania sa presťahoval do Holandska (1629), kde strávil dvadsať rokov na samotárskych vedeckých štúdiách. V roku 1649 sa na pozvanie švédskej kráľovnej presťahoval do Štokholmu, no čoskoro zomrel.
Descartes položil základy analytickej geometrie a zaviedol mnoho moderných algebraických zápisov. Descartes výrazne zlepšil notáciu zavedením všeobecne akceptovaných znakov pre premenné.
(X, pri,z…) a koeficienty ( A, b, s...), ako aj zápis stupňov ( X 4 , A 5…). Písanie Descartových vzorcov sa takmer nelíši od moderného.
V analytickej geometrii bola hlavným úspechom Descarta metóda súradníc, ktorú vytvoril.
Stevin Simon (1548 – 1620) je holandský vedec a inžinier. Od roku 1583 vyučoval na univerzite v Leidene, v roku 1600 zorganizoval inžiniersku školu na univerzite v Leidene, kde prednášal matematiku. Stevinovo dielo „Desiatok“ (1585) je venované desiatkovej sústave mier a desatinné zlomky, ktorý Simon Stevin uviedol do používania v Európe.
Kreslenie. Aritmetické operácie s racionálnymi číslami.
Text:
Pravidlá pre operácie s racionálnymi číslami:
. pri sčítavaní čísel s rovnakým znamienkom pridajte ich moduly a dajte ich pred súčet spoločné znamenie;
. pri sčítaní dvoch čísel s rôznymi znamienkami od čísla s veľkým modulom sa číslo s menším modulom odčíta a pred výsledný rozdiel sa umiestni znamienko čísla s väčším modulom;
. pri odčítaní jedného čísla od druhého je potrebné pridať opačné číslo k odčítavanému: a - b \u003d a + (-b)
. pri vynásobení dvoch čísel rovnakými znamienkami sa ich moduly vynásobia a pred výsledný produkt sa umiestni znamienko plus;
. pri násobení dvoch čísel s rôznymi znamienkami sa ich moduly vynásobia a pred výsledný produkt sa umiestni znamienko mínus;
. pri delení čísel s rovnakými znamienkami sa deliaci modul delí modulom deliča a pred výsledný kvocient sa umiestni znamienko plus;
. pri delení čísel s rôznymi znamienkami sa deliaci modul delí modulom deliča a pred výsledný kvocient sa umiestni znamienko mínus;
. Delenie a násobenie nuly akýmkoľvek nenulovým číslom vedie k nule:
. nemôžeš deliť nulou.